Estadistica Primer Examen en Casa Hecho

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS, GEOLOGÍA Y CIVIL DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL II segundo examen parcial-para la casa

Curso:

ANÁLISIS MATEMÁTICO III (MA-241)

Fecha:

20/12/13

Docente:

Ing.CIP Guillermo Tapia Calderón

Alumnos: CANCHARI ARÉSTEGUI, Pabel

AYACUCHO – PERÚ 2013

Estadística y Probabilidades (ES-241)

CUARTA PRÁCTICA CALIFICADA (ES-241)

I. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11

PARTE A: TEORÍA DE PROBABILIDAD Respecto a las siguientes proposiciones de probabilidades, conteste en forma adecuada con (V) si considera usted que es VERDADERO y con (F) si es FALSO: La probabilidad de un evento imposible es siempre cero............................................... (V) ) ( ) ( )......... (V) Para dos eventos mutuamente excluyentes A y B se cumple: ( Si ( ) , no necesariamente se cumple ........................................................ (F) Fenómenos aleatorios o no determinísticos son aquellos cuyo estado final se puede predecir con exactitud a partir del estado inicial............................................................ (F) ) ( ) ( ), los eventos A y B son mutuamente independientes Si ( ........................(V) ) ( ) ( ), los eventos A y B son dependientes........................... (V) Si ( Los modelos especiales de probabilidad discretos son: Bernoulli, Binominal, Poisson, Hipergeometrica, Geométrica, Binomial Negativa o Pascal.......................................... (V) Los modelos especiales de probabilidad continuos son: Distribución uniforme, Distribución exponencial, Distribución Normal y Distribución Normal Estándar........ (V) El Teorema de Bayes compara la probabilidad previa(a priori) ( ) con la probabilidad posterior )....................................................................................... (V) o posteriori ( Probabilidad de que ocurra un evento, sabiendo que otro evento ha ocurrido se llama Probabilidad Condicional o Condicionada..................................................................... (V) Si el rango de la function X es contable, entonces X es una v.a continua ……………………………………………………………………………………….(F)

1.12 Los modelos especiales de probabilidad discretos son: Bernoulli, Binomial, Poisson Hipergeometrica, Geométrica, Binomial Negativa…………………………………..(F) 1.13 Los modelos especiales de probabilidad continuos son: Distribucion uniforme, Distribucion exponencial, Distribucion Normal y Distribucion Normal Estandar……………………………………………………………………….……..(V) 1.14 Un problema de Lotería Electronica es una aplicación de E(x)>0 a…………………………………………………………………………………..…..(V) 1.15 Si el juego al azar es equitativo, entonces E(x)=0…………………………………….(F) II.

sean A y B eventos o sucesos tales que : P(A)=1/2 P(B)=1/3 ( Hallar: 2.1) 2.2) 2.3) 2.4)

( ( ( (

) )

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES

)

) ) 2

Estadística y Probabilidades (ES-241)

2.5) 2.6) 2.7) 2.8)

( ( ( (

2.1)

(

) ) ) )

Solución: ) (

)

(

) ( )

( )

2.2)

(

) (

)

( )

2.3)

(

) (

(

( ) ⁄ ⁄

( )

( )

(

)

)

)

(

)

(

(

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES

) (

( 2.5)

)

) (

2.4)

(

) )

(̅̅̅̅̅̅̅ ) ( ) ⁄

(

) ( )

⁄

)

3

Estadística y Probabilidades (ES-241)

(

2.6)

(

)

(

)

(

)

(

(

)

(

)

(

(

)

(

))

( )

⁄ )

(

(

)

⁄ )

(

)

( ))

(

(

( ))

)

) ( (

III.

( )(

) ( )

) (

(

( )

)

(

2.8)

)

⁄

)

( 2.7)

(

⁄

( ) (

) (

(̅̅̅̅̅̅̅̅) ( )

)

(

)

)

)

En la Escuela de Ingeniería Civil-UNI, el 25% de los estudiantes se han desmatriculado en Análisis Matemático , el 15 % se ha desmatriculado Física II y el 10% sean a desmatriculado en Análisis Matemático y Física II. Se elige un estudiante de Civil al azar: n(Ω)= 100% C

A

15 %

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES

10 %

70 %

5%

4

Estadística y Probabilidades (ES-241)

A: Alumnos desmatriculados en Análisis Matemático C: Alumnos desmatriculados en Física II

Tenemos: ( ) ( ) (

)

3.1 Si se ha desmatriculado en Física II, ¿cuál es la probabilidad de que se haya desmatriculado en Análisis Matemático ? ( ) ( ⁄ ) ( ) ( ⁄ ) ( ⁄ ) Interpretación Estocástica (I.E.): Si se ha desmatriculado en Física II, la probabilidad de que se haya desmatriculado en Análisis Matemático es 0.6667. 3.2 Si se ha desmatriculado en Análisis Matemático , ¿cuál es la probabilidad de que se haya desmatriculado en Física II? ( ) ( ) ( ) (

)

(

)

Interpretación Estocástica (I.E.): Si se ha desmatriculado en Análisis Matemático, la probabilidad de que se haya Física II es 0.4. 3.3 ¿Cuál es la probabilidad de que se haya desmatriculado en Análisis Matemático o física II? ( ) ( ) ( ) ( ) (

)

(

)

Interpretación Estocástica (I.E.): La probabilidad de que se haya desmatriculado en Análisis Matemático o Física II es 0.3.

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES

5

Estadística y Probabilidades (ES-241)

IV.

: En la ciudad de Trujillo, el porcentaje de personas que leen los periódicos: “El Comercio”(A) = 9.8 %; “La Industria” (B) = 22.9 %; “La República” (C) = 12.1 %; A y B = 5.1 %; A y C = 3.7 %; B y C=6.0 %; A, B y C=2.4 %. 4.1. ¿Qué porcentaje de la población lee al menos uno de los periódicos A, B y C? 4.2. ¿Cuál la probabilidad que una persona seleccionada aleatoriamente de esta población sea lector de “El Comercio”(A) y no lo sea de los periódicos “La Industria” (B) y “La República” (C)? Solución: 4.1. Por el teorema de adición:

(

)

(

)

(

)

( )

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

Interpretación Estocástica (I.E.): El porcentaje de la población lee al menos uno de los periódicos A, B y C es 32.4%. 4.2.

(

)

Interpretación Estocástica (I.E.): la probabilidad que una persona seleccionada aleatoriamente de esta población sea lector de “El Comercio”(A) y no lo sea de los periódicos “La Industria” (B) y “La República” (C) es 0.034.

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES

6

Estadística y Probabilidades (ES-241)

V.

La urna 1 contiene (p) (x+1) esferas blancas e (r-1) (y-1)rojas. La urna 2 contiene “s+1 (z)” esferas blancas y “t-1 (w)” rojas. Se escoge una esfera al azar de la urna 1 y se pone en la urna 2. Entonces, se escoge una esfera al azar de la urna 2. ¿Cuál es la probabilidad de que esta esfera sea blanca? Solución: (X+1) Blancas (Y-1) Rojas Urna (1) Z) Blancas (W) Rojas Urna (2)

Sea el evento: B: Esfera blanca. Por probabilidad condicional y teorema de multiplicación de eventos: ( ) ( ) ( ⁄ ) ( ) ( ⁄ ) ( )

(

) (

)

(

) (

)

Interpretación Estocástica (I.E.): La probabilidad de que esta esfera sea blanca es: (

VI.

) (

)

(

) (

)

Una compañía perforadora de petróleo debe decidir si taladra o no un lugar determinado que la compañía tiene bajo contrata. Poe investigación geológicas practicadas se sabe que existe una probabilidad de 0.45 que una formación de TIPO I se extienda debajo del lugar prefijado para taladrar, 0.30 de probabilidad que exista una formación de TIPO II y de 0.25 de TIPO III. Estudios anteriores indican que el petróleo se encuentra en un 30% de las veces en la formación de TIPO I, en un 40% en la formación de TIPO II, en un 20% en la de TIPO III. Determinar la probabilidad que si no se encontró petróleo, la perforación fue hecha en la formación TIPO I. Solución: Graficaremos el Diagrama del Árbol de la siguiente manera:

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES

7

Estadística y Probabilidades (ES-241)

Sean los eventos: A: Se encontró petróleo. I: Tipo I II: Tipo II III: Tipo III (

)

(

)

(

) ( )

()

() ( ⁄) ( ) ( ⁄ )

( ⁄)

( )

( ⁄ )

(⁄ ) (⁄ ) Interpretación Estocástica (I.E.): La probabilidad de ocurrencia del evento de que si no se encontró petróleo, la perforación fue hecha en la formación de TIPO I es de 0.4532.

VII.

En la figura Nº 6.1 se supone que la probabilidad de cada relé este cerrado es “p” y que cada relé se abre o se cierra independientemente de cualquier otro. Encontrar la probabilidad de que la corriente pase de S a T. 1 3 2

I

D 4

5

6 Figura Nº 6.1

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES

8

Estadística y Probabilidades (ES-241)

Sea A y B la corriente que pasa respectivamente, entonces: ( ) 1) ( ) ) (( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) 2)

( ) ( ) ( )

3) ( ( ( ( (

(

)

( ) ) (( ) [ ( ) ) [ ( ) ) [( )

(

)

) ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( )( )] )

Interpretación Estocástica (I.E.): La probabilidad de que la corriente pase de I a D es:

VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES VIII.

Dada la función de cuantía f, usando la x f(x)

0 0.1

1 0.3

2 0.5

3 0.1

Calcular: a) -Esperanza Matemática E(x); -Variancia o Varianza V(x); b) Momento cero alrededor del origen ( ). Además, c) Momento cero alrededor de la media ( ). Además, d) Momentos factoriales: m0, m1, m2, m3 Sea X una v.a.d o v.a.c. se define el K-ésimo momento factorial de la variable X, y se denota por mk, al número real: [ (

)(

)

(

)]

Calcular: m0, m1, m2, m3

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES

9

Estadística y Probabilidades (ES-241)

Solución: ( )

( )

( )

( )

(

( )

(

(

0 1 2 3

0.1 0.3 0.5 0.1

0 0.3 1.0 0.3

0 0.3 2.0 0.9

0 0.3 4.0 2.7

0 0.3 8.0 8.1

) ( ) 0.256 0.108 0.08 0.198

) ( ) -0.4096 -0.0648 0.032 0.2744

) ( ) 0.655 0.039 0.013 0.384

∑

1.0

1.6

3.2

7.0

16.4

0.64

-0.168

1.091

a) -Esperanza Matemática E(x); ( )

∑

( )

( ) - Variancia o Varianza V(x);

( )

(

( )

[(

) ]

)

(

)

∑

(

)

(

( )

)

(

)

( ) b) Momento cero alrededor del origen ( ). Además,     

( ) Momento cero ( ) Primer Momento ( ) Segundo Momento ( ) Tercer Momento ( ) Cuarto Momento

c) Momento cero alrededor de la media (  Momento cero

[(

 Primer Momento  Segundo Momento   Tercer Momento ESTADISTICA Y PROBABILIDADES

). Además,

) ] [(

) ] [( (

[(

(

) ]

)

( )

(

)

) (

) ]

(

) ) 10

Estadística y Probabilidades (ES-241)

(

[(

 Cuarto Momento ( ) 

(

)(

) ] )

) (

( )(

( ) ( )

) (

) (

( ) )( )

)

(

)

)

d) Momentos factoriales: m0, m1, m2, m3 [ (

)(

)

[ ] [ ( [ (

IX.

)(

)] )]

[ ] ) ( ) ( )

)]

( )

(

)

(

)

Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad dado por: ( )

a) b) c) d) e) f)

(

( )

( ( )

{

(

)

Calcular el valor de la constante k y la función de densidad específica. Graficar f y F Hallar la Función de Distribución Acumulada F(X). Calcular: ( ) ; Calcular la Esperanza Matemática E(x) Hallar la variancia o varianza V(x).

Solución: a) Calcular el valor de la constante k y la función de densidad específica. ∫ ( )

∫

∫ ( )

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES

∫

(

∫

)|

11

Estadística y Probabilidades (ES-241)

Entonces, la Densidad resultante es:

( )

{

∫ ( )

∫

(

∫

)(

)

(

∫

)(

)|

b) Graficar f y F F(x) f(x) 0.6

1

0

2

0.35 0

X

1

2

X

c) Hallar la Función de Distribución Acumulada F(X). ( )

∫ ( )

∫

∫

| ( ) Luego:

( )

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES

{

12

Estadística y Probabilidades (ES-241)

Reemplazamos t por x, se tiene:

( )

d) Calcular: ( (

)

{

) ; (

)

( )

(

)

e) Calcular la Esperanza Matemática E(x) ( )

( )

∫

( )

∫

∫

∫ (

)

)

∫

|

Es convergente por lo tanto existe.

f) Hallar la variancia o varianza V(x). ( ) ( )

∫(

) ( )

( )

∫(

) (

( )

[(

) ]

∫(

∫(

) (

)

)

( ) )

∫(

) ( )

∫

(

)| ( )

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES

13

Estadística y Probabilidades (ES-241)

XI. si la variable aleatoria continua X tiene la función de acumulación expresada por:

⁄ ⁄

⁄ ⁄

{ Hallar: a)

(| |

) (| |

)

( ( (

( ) ) )

(

(

II-a)

(

) ) )

(

)

)

(

)

)

( )

( ( )

(

)

[

)

)

( (

(

)

) )

)

(

) (

)

( d) Calcular f densidad ( )

(

) (

(

( ( ( )

2); (

c)

)

(

(

)

)

)

( )

⁄ ⁄ { ESTADISTICA Y PROBABILIDADES

⁄ 14

Estadística y Probabilidades (ES-241)

e)La Esperanza Matemática E(X) ( )

( )

∫

∫

( )

∫

( )

∫

∫

∫

∫

(

)

XII. La produccion minima de una maquina es de 2.000 toenillos y la maxima es de 6.000. si la funcion de dencidad del numero de miles de tornillos producidos se pueden representar por: f(x) = ( ) determinar la produccion esperada Solución: Sea X la producción esperada Además el límite de producción está comprendido así: Es decir cuando

( )

Entonces ( )

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES

∫

(

)

15