ESTADÍSTICA INFERENCIAL

6.4 INTRODUCCIÓN A LAS DISTRIBUCIONES DE MUESTREO Si aplicáramos lo que hemos aprendido y tomáramos varias muestras de una poblaci población, ón, las estadí estadísti sticas cas result resultant antes es para cada cada muestr muestra a no necesar necesariam iament ente e serían iguales, y lo más probable es que variaran de una muestra a otra. Suponga que cada una de las muestras tomadas consta de 10 mujeres de 2 a!os de edad resid residen ente tes s en una una ciud ciudad ad de 100, 100,00 000 0 habi habita tant ntes es "una "una pobl poblac ació ión n in#i in#ini nita ta,, de acuerdo con la terminología que hemos planteado$. %l calcular la estatura media y la desviación estándar correspondiente en cada una de estas muestras, veríamos rápid rápidam ament ente e que que la medi media a y la desvi desviaci ación ón está estánd ndar ar de cada cada muest muestra ra serí serían an di#erentes. &na distribución de probabilidad de todas las medias posibles de las muestras es una distribución de las medias de las muestras. 'os especialistas en estadística la conocen como distribución de muestreo de la media. (ambi)n es posible obtener una distribución de muestreo de una proporción. Supongamos que hemos determinado la #racción de pinos in#estados de escarabajos en muestras de 100 100 árbol árboles es,, esco escogi gido dos s de un bosq bosque ue muy gran grande. de. *emo *emos s tomad tomado o un gran gran n+mero de tales muestras de 100 elementos. Si traamos una distribución de probabilidad de las proporciones posibles de árboles in#estados en todas estas muestras, obtendríamos una distribución de las proporciones de las muestras. -n estadística, a esto se le conoce como distribución de muestreo de la proporción. "bserve que el t)rmino proporción se re#iere a la #racción de árboles in#estados.$ /escripción de las distribuciones de muestreo.

Descripción de las distri!ci"nes de #!estre" ualqu ualquier ier distri distribuci bución ón de probab probabili ilidad dad "y, "y, por tanto, tanto, cualqu cualquier ier distri distribuc bución ión de muestreo$ puede ser descrita parcialmente por su media y su desviación estándar. 'a distribución de muestreo de la media puede ser descrita parcialmente por su media y su desviación estándar. 'a distribución de muestreo de la mediana, puede ser descrita, en parte, por la media y por la desviación desviación estándar estándar de la distribución distribución de las medianas. medianas. 'a distribución distribución de muestreo de la proporción puede ser descrita parcial parcialmen mente te por la media media y la desviac desviación ión estándar estándar de la distri distribuc bución ión de las proporciones.

 C"ncept" de err"r est$ndar  -n ve de decir la desviación estándar de la distribución de las medias de la muestra para describir una distribución de medias de la muestra, los especialistas en estadística se re#ieren al error estándar de la media. /e manera similar, la desviación estándar de la distribución de las proporciones de la muestra se abrevia como error estándar de la proporción. -' t)rmino error estándar se utilia porque da a entender un signi#icado especí#ico. &n ejemplo ayudará a e3plicar el porqu) del nombre. Supongamos que deseamos saber algo sobre la estatura de los alumnos de nuevo ingreso de una gran universidad estatal. 4odríamos tomar  una serie de muestras y calcular la estatura media de cada muestra. -s altamente improbable que todas estas medias de muestra #ueran iguales5 es de esperar  alguna variabilidad en las medias observadas. -sta variabilidad en las estadísticas de muestras proviene de un error de muestreo debido al aar5 es decir5 hay di#erencias entre cada muestra y la población, y entre las diversas muestras, debido +nicamente a los elementos que decidimos escoger para las muestras.

'a desviación estándar de la distribución de las medias de las muestras mide el grado grado hast hasta a el cual cual es de espe esperar rar que que varí varíen en las las medi medias as de las las di#e di#ere rent ntes es muestras, debido a este error cometido en el proceso de muestreo. 4or tanto, la desviación estándar de la distribución de una estadística de muestra se conoce como error estándar de la estadística. -l error estándar indica no sólo el tama!o del error al aar que se ha cometido, sino tambi)n la probable precisión que puede obtenerse al utiliar una estadística de muestra para estimar un parámetro de población. &na distribución de medias de muestra que está menos e3tendida "y que tiene un error estándar peque!o$ constituye una mejor estimación de la media de la población que una distribución de medias de muestra que está ampliamente dispersa y que tiene un error estándar más grande.

Un !s" del err"r est$ndar  &na escuela que capacita pilotos privados para su e3amen de instrumentos a#irma6 7uestros egresados obtienen mejores cali#icaciones en el e3amen escrito de instrumentos que los de otras escuelas. 4ara el lector con#iado, esto parece per#ectamente claro. Si desea tener una mejor cali#icación en su e3amen escrito de instrumentos, entonces esta escuela es su mejor apuesta. /e hecho, sin embargo, siempre que usamos pruebas, tenemos que considerar el error estándar. -specí#icamente, necesitamos cierta medición de la precisión del instrumento de prueba, generalmente representada por el error estándar. -sto nos diría qu) tan grande tendría que ser una di#erencia en las cali#icaciones de una escuela para que #uera estadísticamente signi#icativa. /esa#ortunadamente, el anuncio no o#recía datos5 sólo a#irmaba que nuestros egresados lo hacen mejor.

DISTRIBUCIONES DE MUESTREO A DETALLE -3aminamos las raones por las que el muestreo de una población y el desarrollo de una distribución de estas estadísticas de la muestra producirían una distribución de muestreo, e introdujimos el concepto de error estándar. %hora estudiaremos con más detalle estos conceptos, de tal #orma que no sólo podamos comprenderlos conceptualmente, sino que tambi)n podamos manejarlos de manera operacional.

Base c"ncept!al para #!estrear distri!ci"nes -n la terminología estadística, la distribución de muestreo que obtendríamos al tomar todas las muestras de un tama!o dado constituye una distribución teórica de muestreo. -n la práctica, el tama!o y el carácter de la mayor parte de las poblaciones impiden que los responsables de las decisiones tomen todas las muestras posibles de una distribución de población. %#ortunadamente, los especialistas en estadística han desarrollado #órmulas para estimar las características de estas distribuciones teóricas de muestreo, haciendo innecesaria la recolección de grandes n+meros de muestras. -n casi todos los casos, los responsables de las decisiones sólo toman una muestra de la población, calculan estadísticas para esa muestra y de )stas in#ieren algo sobre los parámetros para

toda la población. 8lustraremos esto brevemente. -n cada ejemplo de distribuciones de muestreo de lo que resta de este capítulo, utiliaremos la distribución de muestreo de la media. 4odríamos estudiar las distribuciones de muestreo de la mediana, del rango o de la proporción, pero nos quedaremos con la media por la continuidad que a!adirá a la e3plicación. &na ve que usted desarrolle una comprensión de cómo tratar operacionalmente con la distribución de muestreo de la media, podrá aplicarla a la distribución de cualquier otra estadística de muestra.

M!estre" de p"laci"nes n"r#ales Supongamos ahora que e3traemos muestras de una población normalmente distribuida con una media de 100 y una desviación estándar de 2, y que comenamos por e3traer muestras de cinco elementos cada una y calculamos sus medias. 'a primera media podría ser 9, la segunda 10:, la tercera 101, etc. bviamente, habría igual oportunidad de que la media de muestra estuviera por  encima de la media de población de 100 como de que estuviera por debajo de ella. /ebido a que estamos promediando cinco elementos para obtener cada media de muestra, se promediarían hacia abajo valores muy grandes de la muestra y hacia arriba valores muy peque!os. -l raonamiento consistiría en que nos estaríamos e3tendiendo menos entre las medias de muestra que entre los elementos individuales de la población original. -sto es lo mismo que a#irmar que el error estándar de la media, o la desviación estándar de la distribución de muestreo, sería menor que la desviación estándar de los elementos individuales en la población %hora supongamos que aumenta el tama!o de muestra de  a 20. -sto no cambiaría la desviación estándar de los elementos de la población original, pero con muestras de 20, se incrementa el e#ecto de promediar en cada muestra y podría esperarse, incluso, una dispersión menor entre las medias de la muestra

%r"piedad Propiedades de la distribución de muestreo de la media cuando la población está normalmente distribuida.

Il!strad" si#ólica#ente

'a distribución de muestreo tiene una media igual a la media de la población. 'a distribución de muestreo tiene una desviación estándar "un error estándar$ igual a la desviación estándar de la población dividida entre la raí cuadrada del tama!o de la muestra.

&tiliaremos la ecuación para el error estándar de la media pensada para situaciones en las que la población es in#inita "más tarde introduciremos una ecuación para poblaciones #initas$6

Err"r est$ndar de la #edia para p"laci"nes in&initas -rror estándar a la media



σ =¿ Desviación estándar de la población

-n la que6

n =¿

Tamaño de la muestra

M!estre" de p"laci"nes n" n"r#ales uando la población está distribuida normalmente, la distribución de muestreo de la media tambi)n es normal. Sin embargo, los responsables de tomar decisiones deben lidiar con muchas poblaciones que no están distribuidas normalmente. 'a media de la distribución de muestreo de la media es igual a la media de población. -l incremento en el tama!o de muestras conduce a una distribución de muestreo más normal.

El te"re#a del l'#ite central 'a media de la distribución de muestreo de la media será igual a la media de la población, sin importar el tama!o de la muestra, incluso si la población no es normal. Segundo, al incrementarse el tama!o de la muestra, la distribución de muestreo de la media se acercará a la normalidad, sin importar la #orma de la distribución de la población. -sta relación entre la #orma de la distribución de la población y la #orma de la distribución de muestreo se denomina teorema del límite central. -l teorema del límite central es, tal ve, el más importante de toda la in#erencia estadística, pues asegura que la distribución de muestreo de la media se apro3ima a la normal al incrementarse el tama!o de la muestra. *ay situaciones teóricas en las que el teorema del límite central no se cumple, pero casi nunca se encuentran en la toma de decisiones práctica. /e hecho, una muestra no tiene que ser muy grande para que la distribución de muestreo de la media se acerque a la normal. 'os especialistas en estadística utilian la distribución normal como una apro3imación a la distribución de muestreo siempre que el tama!o de la muestra sea de al menos ;0, pero la distribución de muestreo de la media puede ser casi normal con muestras de incluso la mitad de ese tama!o. 'a importancia del teorema del límite central es que nos permite usar estadísticas de muestra para hacer in#erencias con respecto a los parámetros de población, sin saber sobre la #orma de la distribución de #recuencia de esa población más que lo que podamos obtener de la muestra.

 %plicaciones < =>2 'a compa!ía ?ilbert @achinery ha recibido un gran pedido para producir motores el)ctricos para una compa!ía manu#acturera. on el #in de que ajuste en su soporte, el rotor del motor debe tener un diámetro de .1 A 0.0 "pulgadas$. -l encargado de compras de la compa!ía se da cuenta de que hay en e3istencia una gran cantidad de varillas de acero con un diámetro medio de .0B pulgadas, y con una desviación estándar de 0.0B pulgadas. Cuál es la probabilidad de que una varilla de acero del inventario e3istente se ajuste en el soporteD

< =>> 'a Earrid @edical, 8nc., está desarrollando una máquina compacta para realiar diálisis de ri!ón, pero el ingeniero en je#e de la compa!ía, @iFe roGe, tiene problemas para controlar la variabilidad de la rapide con la cual se mueve el #luido por el aparato. 'os patrones m)dicos requieren que el #lujo por hora sea de cuatro litros, más o menos 0.1 litro, el H0I del tiempo. -l se!or roGe, al hacer las pruebas al prototipo, se encuentra con que el :HI del tiempo, el #lujo por hora está dentro del margen de 0.0H litros con respecto a >.02 litros. CSatis#ace el

prototipo los patrones m)dicosD

< =>: ?lenn *oGell, vicepresidente de personal de la Standard 8nsurance, ha desarrollado un nuevo programa de capacitación completamente adaptable al ritmo de los usuarios. 'os nuevos empleados trabajan en varias etapas a su propio ritmo de trabajo5 el t)rmino del entrenamiento se da cuando el material es aprendido. -l programa de *oGell ha resultado especialmente e#ectivo en acelerar  el proceso de capacitación, ya que el salario de un empleado durante el entrenamiento es de sólo el :BI del que ganaría al completar el programa. -n los +ltimos a!os, el promedio de t)rmino del programa ha sido de >> días, con una desviación estándar de 12 días. a$ -ncuentre la probabilidad de que un empleado termine el programa entre ;; y >2 días. b$ Cuál es la probabilidad de terminar el programa en menos de ;0 díasD c$ C/e terminarlo en menos de 2 o más de :0 díasD 220 apítulo  /istribuciones de probabilidad

< =>H J. K. 4oppin, el administrador del puesto concesionado de hot dogs en la pista de hielo local, acaba de tener 2 cancelaciones de sus empleados. -sto signi#ica que si más de B2,000 personas vienen al juego de hocFey esta noche, las colas para comprar hot dogs constituirán una desgracia para )l. -l se!or 4oppin sabe por e3periencia que el n+mero de personas que vienen al juego tiene una distribución normal con media de :B,000 y una desviación estándar de >,000 personas. a$ Cuál es la probabilidad de que vayan más de B2,000 personasD b$ Suponga que el se!or 4oppin puede contratar dos empleados temporales a un costo adicional de L200, para asegurar que el negocio no adquiera mala #ama en

el #uturo. Si piensa que el da!o para el negocio si llegan B2,000 seguidores al  juego sería L,000, Cdebe contratar los empleados temporalesD -3plique. "Suponga que no habrá da!o si llegan menos de B2,000 personas al juego y que el da!o debido a demasiados espectadores depende de cuántos más de B2,000 lleguen.$

< =0 'a compa!ía MuicFie Sales acaba de recibir dos estimaciones de ventas para el trimestre que se avecina contradictorias entre sí. 'a estimación 8 dice que las ventas "en millones de dólares$ estarán normalmente distribuidas con

m=¿

;2 y :0. 'a estimación 88 dice que las ventas estarán normalmente distribuidas con ;00 y 0. -l consejo directivo encuentra que cada estimación parece, a priori, ser igualmente #idedigna. on el #in de determinar cuál estimación deberá utiliarse para hacer predicciones, la junta de directores ha decidido reunirse de nuevo al #inal del trimestre y utiliar in#ormación actualiada sobre las ventas para tomar una determinación sobre la credibilidad de cada estimación. a$ Suponiendo que la estimación 8 es precisa, Ccuál es la probabilidad de que la compa!ía tenga ventas trimestrales mayores a ;0 millones de dólaresD b$ Jehaga el inciso anterior suponiendo que la estimación 88 es la correcta. c$ %l #inal del trimestre, la  junta de directores encuentra que la compa!ía tiene ventas mayores a L;0,000,000. /ada esta in#ormación actualiada, Ccuál es la probabilidad de que originalmente la estimación 8 haya sido la correctaD "Sugerencia6 recuerde el teorema de Nayes.$

Sea O la v.a. que denota las ventas trimestrales en millones de dólares de la compa!ía "a$ 4"OP;0$ Q 1=4"OR;0$ Q 1=4"Q";0=;2$T0$Q1=4"Q0.>2$Q1=0.::2H 4"OP;0$ Q 0.;;B2 "b$ 4"OP;0$ Q 1=4"OR;0$Q1=4"Q";0=;00$T0$Q1=4"Q1$Q... 4"OP;0$ Q 0.1HB "c$ 4"tipo 8 es correcta$Q 0.;;B2T"0.;;B2U0.1HB$Q0.:H "d$ 4"tipo 88 es correcta$Q 0.1HBT"0.;;B2U0.1HB$Q0.;2

:.2B-n una muestra de 1: observaciones de una distribución normal con una media de 10 y una variana de 2:, Ccuál es a$  P ( x < 160)

b$ 4"3 1>2$D Si, en

ve de 1: observaciones, se toman sólo 9, encuentre c$ 4"3 1:0$.d$ 4"3 1>2$. a$ P ( x´ < 160 ) =0.9938  /atos 2

μ=150

. σ  = 256 . n =16 . σ =16

b$

σ  x  ´ =

σ  16 = =4 √ n √ 16

 para 160 z =

160−150 4

=2.5

 < :=2H 4ara una muestra de 19 observaciones de una distribución normal con media 1H y desviación estándar >.H, calcule a$ 4"1: 3 20$. b$ 4"1: 3 20$. c$ Suponga un tama!o de muestra de >H. Cuál es la nueva probabilidad en el inciso a$D

 X − μ  z = σ  x Pero, σx es igual a:

σ  x =

σ  x

=

σ  √ n 4.8

√ 19

σ  x =1.10 Ahora si hallamos el porcentaje:

 z =

 z =

16−18 1.10

−2 1.10

 z =−1.82

 Trasladando este valor z, ue es negativo porue está por debajo de la media aritm!tica" a valores de área bajo la curva, se obtiene #.$%&%. 'e repite para el otro extremo del análisis:

 X − μ  z = σ 

 z =

 z =

20−18 1.10

2 1.10

 z =1.82

(s igual para este dato el área bajo la curva es #.$%&% Para la respuesta del literal a, sumamos las dos áreas )a ue los datos de *% ) +# están a la misma distancia dentro de la media de *. (ntonces la probabilidad de ue se obtenga un dato entre *% ) +# es  P

(−1.82 ppm y variana de 1B.:. Suponga que se seleccionan al aar y se toman muestras de ; lagos. -ncuentre la probabilidad de que el promedio muestral de la cantidad de contaminantes sea a$ @ayor que B2 ppm. b$ -ntre :> y B2 ppm. c$ -3actamente :> ppm. d$ @ayor que 9> ppm. < :=>0 /e una población de B elementos con media de ;:> y variana de 1H, se seleccionaron ;2 elementos al aar sin reemplao. a$ Cuál es el error estándar de la mediaD b$ Cuál es la 4";:; 3 ;::$D c$ Cuál sería su respuesta al inciso a$ si la muestra #uera con reemplaoD  < :=>1 /ada una población de tama!o 7 H0 con una media de 22 y una desviación estándar de ;.2, Ccuál es la probabilidad de que una muestra de 2 tenga una media de entre 21 y 2;.D  < :=>2 4ara una población de tama!o 7 H0 con media de H.2 y desviación estándar de 2.1, encuentre el error de la media para los siguientes tama!os de muestra6 a$ n 1:. b$ n 2. c$ n >9. < :=>; (read=n=&s ha dise!ado una nueva llanta y no saben cuál será la vida promedio de las cuerdas. Saben que la vida de las cuerdas tiene una distribución normal con desviación estándar de 21:.> millas. a$ Si la compa!ía toma una muestra de H00 llantas y registra la vida de sus cuerdas, Ccuál es la probabilidad de que la media de la muestra est) entre la media verdadera y ;00 millas más que la media verdaderaD b$ CMu) tan grande debe ser la muestra para tener el 9I de seguridad de que la media muestral estará a no más de 100 millas de la media verdaderaD

< :=>> &n equipo de salvamento submarino se prepara para e3plorar un sitio, mar adentro #rente la costa de Vlorida, donde se hundió una #lotilla entera de > galeones espa!oles. % partir de registros históricos, el equipo espera que estos buques nau#ragados generen un promedio de L22,000 de ingresos cada uno cuando se e3ploren, con una desviación estándar de L;9,000. -l patrocinador del equipo, sin embargo, se muestra esc)ptico, y ha establecido que si no se recuperan los gastos de e3ploración que suman L2.1 millones con los primeros nueve galeones nau#ragados, cancelará el resto de la e3ploración. Cuál es la probabilidad de que la e3ploración contin+e una ve e3plorados los nueve primeros barcosD < :=> &na t)cnica de rayos O toma lecturas de su máquina para asegurarse de que cumple con los lineamientos #ederales de seguridad. Sabe que la desviación estándar de la cantidad de radiación emitida por la máquina es 10 milirems, pero quiere tomar lecturas hasta que el error estándar de la distribución muestral sea menor o igual que 2 milirems. Cuántas lecturas debe tomarD < :=>: Sara ?ordon encabea una campa!a de recolección de #ondos para el @il#ord ollege. /esea concentrarse en la generación de e3 alumnos que este a!o tendrá su d)cima reunión y espera obtener contribuciones del ;:I de sus 20 miembros. Seg+n datos históricos, los e3 alumnos que se re+nen por d)cima ve donarán >I de sus salarios anuales. Sara cree que los miembros de la generación tienen un salario anual promedio de L;2,000 con una desviación estándar de L9,:00. Si sus e3pectativas se cumplen "el ;:I de la clase dona el >I de sus salarios$, Ccuál es la probabilidad de que la donación de la reunión est) entre L110,000 y L120,000D  < :=>B 'a compa!ía /avis %ircra#t o., está desarrollando un nuevo sistema descongelante de alas que ha instalado en ;0 aerolíneas comerciales. -l sistema está dise!ado de tal #orma que el porcentaje de hielo eliminado está normalmente distribuido con una media de 9: y una desviación estándar de B. 'a %gencia Vederal de %viación e#ectuará una prueba selectiva de seis de los aviones que tienen instalado el nuevo sistema y aprobará el sistema si al menos, en promedio, el 9HI del hielo es eliminado. Cuál es la probabilidad de que el sistema reciba la aprobación de la agenciaD  < :=>H Vood 4lace, una cadena de 1> supermercados, #ue comprada por otra mayor del mismo giro que opera a nivel nacional. %ntes de que el trato sea #iniquitado, la cadena mayor quiere tener alguna seguridad de que Vood 4lace será redituable. 'a cadena compradora ha decidido echar un vistao a los registros #inancieros de ;: de las tiendas de Vood 4lace. 'a directiva de )sta a#irma que las ganancias de cada tienda tienen una distribución apro3imadamente normal con la misma media y una desviación estándar de L1,200. Si la gerencia

de Vood 4lace está en lo correcto, Ccuál es la probabilidad de que la media de la muestra de las ;: tiendas se encuentre cerca de los L200 de la media realD  < :=>9 'a se!orita Eoanne *app, directora de consejo de la compa!ía de seguros SouthGestern 'i#e W Surety orp., desea emprender una investigación sobre el gran n+mero de las pólias de seguros que su aseguradora ha suscrito. 'a compa!ía de la se!orita *app obtiene, anualmente sobre cada pólia, ganancias que están distribuidas con una media de L;10 y una desviación estándar de L10. Sus requerimientos personales de precisión establecen que la investigación debe ser lo su#iciente grande para reducir el error estándar a no más del 1.I de la media de la población. CMu) tan grande debe ser la muestraD

< B=12 /e una población que se sabe tiene una desviación estándar de 1.>, se toma una muestra de :0 individuos. Se encuentra que la media de esta muestra es :.2. a$ -ncuentre el error estándar de la media. b$ onstruya una estimación de intervalo alrededor de la media de la muestra, utiliando un error estándar de la media.  < B=1; /e una población con desviación estándar conocida de 1.:, una muestra de ;2 elementos dio como resultado ;>.H como estimación de la media. a$ -ncuentre el error estándar de la media. b$ alcule un intervalo estimado que incluya la media de la población el 99.BI del tiempo. < B=1> 'a &niversidad de arolina del 7orte está llevando a cabo un estudio sobre el peso promedio de los adoquines que con#orman los andadores del campus. Se envía a algunos trabajadores a desenterrar y pesar una muestra de >21 adoquines, y el peso promedio de la muestra resulta ser 1>.2 libras. (odo mundo sabe que la desviación estándar del peso de un adoquín es 0.H libras. a$ -ncuentre el error estándar de la media. b$ Cuál es el intervalo alrededor de la media de la muestra que incluirá la población de la media el 9.I de las vecesD < B=1 /ebido a que el due!o del restaurante recientemente abierto, -l Je#ugio del Nardo ha tenido di#icultades al estimar la cantidad de comida que debe preparar cada tarde, ha decidido determinar el n+mero medio de clientes a los que atiende cada noche. Seleccionó una muestra de ;0 noches que le arrojaron una media de B1 clientes. Se llegó a la conclusión de que la desviación estándar de la población es ;.B:. a$ /) una estimación de intervalo que tenga el :H.;I de probabilidad de incluir a la media de la población. b$ /) una estimación de intervalo que tenga el 99.BI de probabilidad de incluir a la media de la población. < B=1: 'a administradora del puente 7euse Jiver está preocupada acerca de la cantidad de automóviles que pasan sin pagar por las casetas de cobro automáticas del puente, y está considerando cambiar la manera de cobrar, si el cambio permite solucionar el problema. @uestreó al aar B horas para determinar 

la tasa de violación. -l n+mero promedio de violaciones por hora #ue B. Si se sabe que la desviación estándar de la población es 0.9, estime un intervalo que tenga el 9.I de probabilidad de contener a la media verdadera. < B=1B ?Gen (aylor, administradora de los departamentos XiloGXood, desea in#ormar a los residentes potenciales cuánta energía el)ctrica pueden esperar usar durante el mes de agosto. Selecciona :1 residentes aleatorios y descubre que su consumo promedio en agosto es H9> FiloGatts hora "FGh$. ?Gen piensa que la variana del consumo es alrededor de 1;1 "FGh$2. a$ -stableca una estimación de intervalo para el consumo promedio de energía el)ctrica en el mes de agosto para que ?Gen pueda tener una seguridad del :H.;I de que la media verdadera de la población está dentro de este intervalo. b$ Jepita la parte a$ para una certea del 99.BI. c$ Si el precio por FiloGatt es L0.12, Cdentro de qu) intervalo puede ?Gen estar :H.;I segura que caerá el costo promedio de agosto por consumo de electricidadD < B=1H 'a Eunta /irectiva de -scuelas -statales del condado 4esimismo considera que su tarea más importante es mantener el tama!o promedio de los grupos de sus escuelas menor que el tama!o promedio de los grupos de ptimismo, el condado vecino. /ee @arFs, la superintendente de escuelas de 4esimismo, acaba de recibir in#ormación con#iable que indica que el tama!o del grupo promedio en ptimismo este a!o es ;0.; estudiantes. (odavía no tiene los datos correspondientes de los :21 grupos de su propio sistema escolar, de modo que /ee se ve #orada a basar sus cálculos en los B: grupos que han in#ormado acerca de su tama!o de grupo, que producen un promedio de 29.H estudiantes. /ee sabe que el tama!o de grupo de las escuelas de 4esimismo tiene una distribución con media desconocida y una desviación estándar de H.; estudiantes. Suponiendo que la muestra de B: estudiantes que tiene la se!orita @arFs es una muestra aleatoria de la población de los grupos del condado 4esimismo6 a$ -ncuentre un intervalo en el cual /ee @arFs pueda tener el 9.I de certea de que contendrá a la media real. b$ C&sted cree que la se!ora /ee ha conseguido su objetivoD

< B=;: ?eneral inema obtuvo una muestra de  personas que vieron aa Vantasmas H y les preguntaron si planeaban verla de nuevo. Sólo 10 de ellos pensaron que valía la pena ver la película por segunda ve. a$ -stime el error estándar de la proporción de asistentes al cine que verán la película por segunda ve. b$ onstruya un intervalo de con#iana del 90I para esta proporción.

< B=;H @ichael ?ordon, un jugador pro#esional de básquetbol, lanó 200 tiros de castigo y encestó 1B> de ellos. a$ -stime el error estándar de la proporción de todos los tiros que @ichael #alla. b$ onstruya un intervalo de con#iana del 9HI para la proporción de todos los tiros de castigo que @ichael #alla.

< B=>0 -l due!o de la empresa *ome 'oan ompany investigó aleatoriamente 10 de las ;,000 cuentas de la compa!ía y determinó que el :0I estaba en una posición e3celente. a$ -ncuentre un intervalo de con#iana del 9I para la proporción de cuentas que están en posición e3celente. b$ on base en el inciso anterior, Cqu) tipo de estimación de intervalo podría dar para el n+mero absoluto de cuentas que cumplen con el requisito de e3celencia, manteniendo el mismo nivel de con#iana del 9ID

< B=>2 -l consejo estudiantil de una universidad tomó una muestra de > libros de te3to de la librería universitaria y determinó que de ellos, :0I se vendía en más del 0I arriba de su costo al mayoreo. /) un intervalo de con#iana del 9:I para la proporción de libros cuyo precio sea más del 0I mayor que el costo al mayoreo.

< B=>> 4ara los siguientes tama!os de muestra y niveles de con#iana, encuentre los valores t adecuados para construir intervalos de con#iana6 a$ n 15 90I. b$ n :5 9I. c$ n 195 99I. d$ n 25 9HI. e$ n 105 99I. #$ n >15 90I.

< B=>: &na muestra de 12 elementos tiene una media de :2 y una desviación estándar de 10. onstruya un intervalo de con#iana del 9I para la media de la población.

< B=>H 'as autoridades de la parte norte del condado de range han encontrado, para consternación de los comisionados del condado, que la población presenta severos problemas relacionados con placa dentobacteriana. ada a!o, el departamento de salud dental local e3amina una muestra tomada de los habitantes del condado y registra la condición de la dentadura de cada paciente en una escala de 1 a 100, donde 1 indica que no hay placa dentobacteriana y 100 indica que es muy grande. -ste a!o, el departamento de salud dental e3aminó a 21 pacientes y encontró que tenían un promedio de placa dentobacteriana de B2 con una desviación estándar de :.2. onstruya un intervalo de con#iana del 9HI para la media del índice de placa dentobacteriana de la parte norte de range. < B=0 'a senadora *anna JoGe ha ordenado que se haga una investigación acerca del gran n+mero de accidentes en bote que han ocurrido en el estado durante los +ltimos veranos. Siguiendo sus instrucciones, su ayudante, ?eo## Spencer, ha seleccionado al aar 9 meses de verano entre los +ltimos a!os y ha recabado datos acerca de los accidentes en bote ocurridos en cada uno de esos

meses. -l n+mero medio de accidentes que se presentaron en los 9 meses #ue ;1, y la desviación estándar de esta muestra #ue 9 accidentes por mes. Se pidió a ?eo## que construyera un intervalo de con#iana del 90I para el n+mero real de accidentes por mes, pero )l mismo su#rió un accidente en bote recientemente, por lo que usted tendrá que terminar su trabajo. < B=> /ebe votarse una propuesta importante y un político desea encontrar la proporción de personas que están a #avor de la propuesta. -ncuentre el tama!o de muestra requerido para estimar la proporción verdadera dentro de 0.0 con un nivel de con#iana del 9I. Suponga que no se tiene idea de cuál es la proporción. Cuál sería el cambio en el tama!o de la muestra si pensara que cerca del BI de las personas #avorece la propuestaD Cuál sería el cambio si sólo alrededor del 2I #avorece la propuestaD  < B= 'a administración de la empresa Southern (e3tiles, recientemente ha sido atacada por la prensa debido a los supuestos e#ectos de deterioro en la salud que ocasiona su proceso de #abricación. &n sociólogo ha aventurado la teoría de que los empleados que mueren por causas naturales muestran una marcada consistencia en la duración de su vida6 los límites superior e in#erior de la duración de sus vidas no di#ieren en más de 0 semanas "alrededor de 10 1T2 a!os$. 4ara un nivel de con#iana del 9HI, Cqu) tan grande debe ser la muestra, dentro de ;0 semanas, que ha de e3aminarse para encontrar la vida promedio de estos empleados dentro de ;0 semanasD  < B=: Vood (iger, una tienda local, vende bolsas de plástico para basura y ha recibido unas cuantas quejas respecto a su resistencia. 4arece que las bolsas que vende son menos resistentes que las de su competidor y, en consecuencia, se rompen más a menudo. Eohn . (iger, gerente de adquisiciones, está interesado en determinar el peso má3imo promedio que puede resistir las bolsas para basura sin que se rompan. Si la desviación estándar del peso límite que rompe una bolsa es 1.2 Fg, determine el n+mero de bolsas que deben ser probadas con el #in de que el se!or (iger tenga una certea del 9I de que el peso límite promedio está dentro de 0. Fg del promedio verdadero.  < B=B 'a universidad está considerando la posibilidad de elevar la colegiatura con el #in de mejorar las instalaciones5 para ello, sus autoridades desean determinar qu) porcentaje de estudiantes están a #avor del aumento. 'a universidad necesita tener una con#iana del 90I de que el porcentaje se determinó dentro del 2I del valor verdadero. CMu) tama!o de muestra se requiere para garantiar esta precisión independientemente del porcentaje verdaderoD  < B=H XicFs y (icFs, una tienda local especialiada en velas y relojes está interesada en obtener una estimación de intervalo para el n+mero medio de clientes que entran a la tienda diariamente. 'os due!os tienen una seguridad raonable de que la desviación estándar real del n+mero diario de clientes es 1.

 %yude a XicFs y (icFs a salir de un bache determinando el tama!o de muestra que deberán utiliar para desarrollar un intervalo de con#iana del 9:I para la media verdadera que tenga un ancho de sólo ocho clientes.