Estadistica Inferencial i

ESTADISTICA INFERENCIAL 1 UNIDAD 1 DISTRIBUCIONES FUNDAMENTALES PARA EL MUESTREO INGENIERIA INDUSTRIAL

UNIDAD 1 DISTRIBUCIONES FUNDAMENTALES PARA EL MUESTREO 1.1 INTRODUCCION A LA ESTADISTICA INFERENCIAL Es la descripción de una característica particular de un fenómeno a partir de datos numéricos; por ejemplo la estatura de estudiantes, tamaño de plantas, tiempo de reacción de animales a cierto estimulo, edad de la población escolar, cantidad de piezas fabricadas por hora, etc.,. Las técnicas se utilizan en casi todos los aspectos de la vida; se diseñan encuestas para recabar la información previa al día de elecciones y así predecir el resultado de las mismas, se seleccionan al azar consumidores para obtener información con el fin de predecir la diferencia con respecto a ciertos productos etc., . El medico que investiga realiza experimentos para determinar el efecto de ciertos medicamentos y de condiciones ambientales controladas con los humanos y así determinar el método apropiado par curar cierta enfermedad; el ingeniero muestrea las características de calidad de un producto; Se toman muestras de fusibles recientemente fabricados antes de su envío para decidir si se entregan o se retienen ciertos lotes de dicho producto. Las técnicas estadísticas desempeñan una función importante en el logro del objetivo de cada uno de estos problemas prácticos. 1.2 INTRODUCCION AL MUESTREO Y TIPOS DE MUESTREO POBLACION Es el conjunto de elementos con ciertas características comunes. Es decir, el número de observaciones que caracterizan un fenómeno. MUESTRA Es un subconjunto representativo seleccionado de la población que se encuentra en análisis. REPRESENTATIVO Una buena muestra debe reflejar las características esenciales de la población de la cual se obtuvo. MUESTRA ALEATORIA Se obtiene cuando se ha asegurado que cada observación en la población tiene una oportunidad igual e independiente de ser incluida en la muestra. ESTADISTICO Es la característica de interés que se calcula utilizando una muestra. PARAMETRO Es el resultado de usar los estadísticos como base para hacer inferencias acerca de ciertas características de la población. VARIABLES DISCRETAS Solo pueden tener valores observados en puntos aislados a lo largo de una escala de valores, generalmente se presenta a través de un proceso de conteo, por esta razón los valores se expresan como números enteros. Por ejemplo el número de personas en un grupo, numero de automóviles producidos por una planta armadora etc.

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VARIABLES CONTINUAS Puede presentar un valor en cualquier punto fraccionario dentro de un intervalo especificado de valores, los datos son generados a través de un proceso de medición. Por ejemplo el tiempo que transcurre para que se funda un foco, kilómetros transcurridos por litro de combustible, el peso de cualquier embarque etc. ESTADISTICA ADMINISTRATIVA Aplicación de técnicas mediante las cuales se recopila, organiza, presentan y analizan los datos cuantitativos con el fin de describir una característica particular de un fenómeno. En estadística la inferencia es inductiva porque se proyecta de lo especifico (muestra) hacia lo general (población). Es un procedimiento donde siempre existe la posibilidad del error. Lo que hace que la estadística sea una ciencia, es que unida a cualquier proposición siempre existe una medida de confiabilidad de esta. ESTADISTICA DESCRIPTIVA La estadística descriptiva incluye las técnicas que se relacionan con el resumen y la descripción de datos numéricos. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL El promedio es una medida de tendencia central para una serie de valores con el fin de describir los datos de alguna forma. MEDIA ARITMETICA Es la suma de los valores del grupo de datos dividida entre el numero de observaciones en la muestra y se representa por

X

x  x  x    x 1

2

3

n

n

Y se simplifica como: A)

B) n

X 

 xi i 1

n

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N



 xi i 1

N 2

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En ambas fórmulas se suman todos los valores y después se dividen entre el numero de datos analizados. La diferencia se encuentre en que para la formula B se utiliza N mayúscula que son los datos de la población y para A se utiliza n minúscula que son los datos de la muestra. Ejemplo. Supóngase que los siguientes datos representan el sueldo devengado por hora por 6 torneros especializados que han sido seleccionados en un muestreo aleatorio en una compañía. ¿Cuál es la media de su salario si los datos son 11, 13.5, 8.5, 9, 10.5 y 11?

MEDIANA Es una medida de tendencia central que aparece en el medio de una sucesión ordenada de valores en forma ascendente. Cuando el número de observaciones o valores es par o impar se utiliza la siguiente formula.

MED   X 

n1 2

Del ejemplo de los 6 torneros la mediana es:

MODA Es el valor que se presenta más frecuentemente en un conjunto de datos. Por ejemplo en los datos de los salarios de los torneros la moda es: http://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/34.%20Estadistica%20Descriptiva.p df pagina 17-23

MEDIDAS DE DISPERSION Las medidas de dispersión describen un grupo de valores en función de la variación o dispersión de las observaciones o datos incluidos en ese grupo. Dentro de las medidas de dispersión se encuentran: RANGO Es la diferencia entre el valor mas alto y el valor mas bajo de los datos en una distribución, y se representa por: R=S-1 S = Valor superior del grupo 1 = Valor inferior del grupo M. C. Manuel Armando Chavira Martínez

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http://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/34.%20Estadistica%20Descriptiva.p df páginas 1,2 y3 Estudiar! VARIANZA Son las diferencias entre cada valor del conjunto de datos y la media del grupo, cada una de estas diferencias se eleva al cuadrado antes de sumarlas, luego se dividen entre N (n). 2 La varianza poblacional se representa por y la varianza muestral se



2

representa por S y sus respectivas fórmulas son: Varianza poblacional. Varianza muestral. N



2



 ( xi   )

n

2

i 1

N

S

2



 (xi  X )

2

I 1

n1

Donde:

 S x

i

2 2

= Varian za poblacional = Varianza muestral = Cada valor de la muestra

 = Media poblacional

N= Nu mero de datos en la población

X = Media muestral n= Nu mero de datos en la muestra

En la suma ( Xi - X ) solo n - 1 de los términos son independientes porque el calculo del estadístico S supone un conocimiento previo del estadístico X , es decir, si se conoce X se pierde un grado de libertad, porque solo se necesita conocer n-1 de los n términos para determinar la observación restante. Si el denominador hubiera sido n en lugar de n-1 se habría obtenido el promedio de las diferencias al cuadrado alrededor de la media. Sin embargo se utiliza n-1 debido a la propiedad de los grados de libertad. http://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/34.%20Estadistica%20Descriptiva.p df páginas 28-29 Estudiar!

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GRADOS DE LIBERTAD Son el número de variables que pueden fluctuar libremente dentro de un conjunto de variables. La varianza es una medida de dispersión o variación de los datos de la variable aleatoria alrededor de la media.

1.3 TEOREMA DE LIMITE CENTRAL Si los valores tienden a concentrarse alrededor de la media, la varianza es pequeña en tanto que si los valores tienden a distribuirse lejos de la media la varianza es grande. El teorema de Limite central es uno de los resultados fundamentales de la estadística. Este teorema nos dice que si una muestra es lo suficientemente grande(generalmente cuando el tamaño muestral supera a 30 unidades), sea cual fuera la distribución de la media muestral, seguirá aproximadamente una distribución normal. Es decir, dada cualquier variable aleatoria, si extraemos muestras de tamaño n (n>30) y calculamos los promedios muestrales, dichos promedios seguiran una distribucion normal. Ademas, la media será la misma que la de la variable de interés, y la desviación estándar de la media muestral será aproximadamente el error estándar. http://www.youtube.com/watch?v=wyhWGf90Rdw TLC; Observar y comprender! http://www.youtube.com/watch?v=dz3rBHjTeVQ TLC; Observar y comprender! http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-38-est.htm Datos Bernoulli a normal Estudiar! http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-39-est.htm Datos uniformes a normal Estudiar! http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-40-est.htm Datos Bernoulli a normal Estudiar! DESVIACION ESTANDAR Es la raíz cuadrada de la varianza representada por  para la población y por S para la muestra y su formula es: Desviación poblacional N



 (xi   )

2

i 1

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N 5

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Desviación muestral n

S

 (xi  X )

2

i 1

n1

Ejemplo. Calcule la varianza y la desviación estándar para los siguientes datos muestrales, 9.3, 7, 11, 13, 10.5, 8.5, 11.5, 10.25, 9.5 y 10.

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ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS, recordando! DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS E HISTOGRAMA Muchas veces uno se pregunta, ¿para qué sirven las encuestas que a veces se hacen en la calle?, ¿Cómo saber si una estación de radio se escucha más que otra? , ¿Cuál candidato puede ganar? La respuesta se comienza con la recaudación de datos. Los datos son información que se recoge, esto puede ser opinión de las personas sobre un tema, edad o sexo de encuestados, dónde viven, cuántas personas viven en una casa, qué tipo de sangre tiene un grupo de personas, etc. http://www.uaeh.edu.mx/docencia/P_Presentaciones/prepa1/matematicas_elaboracion_de _una_distribucion_de_frecuencias.pdf Resolver! CLASIFICACION DE CURVAS En términos de simetría las curvas pueden ser: Negativamente disimetrica Simétrica

En términos de curtosis las curvas pueden ser: Planicurtica Mesocurtica

Positivamente disimetrica

Leptocurtica

PLANICURTICA Plana, con observaciones distribuidas de manera relativamente uniforme a través de las clases. MESOCURTICA Ni plana ni puntiaguda, en términos de la distribución de los valores observados. LEPTOCURTICA Puntiaguda, con las observaciones concentradas en un estrecho rango de valores.

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Ejercicios: 1. Defina, estadística, población, muestra, muestra aleatoria, representativo, estadístico, parámetro, variables discretas, variables continuas, que son los grados de libertad y el promedio. 2. Cuales son las medidas de tendencia central y defina cada una de ellas. 3. Cuales son las medidas de dispersión y defina cada una de ellas. 4. Defina el origen del teorema de límite central. 5. Que son las distribuciones de frecuencias. 6. En términos de disimetria y curtosis como pueden ser las curvas(dibújelas). Resolver: http://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/34.%20Estadistica%20Descriptiva.p df páginas 4-8

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1.4 DISTRIBUCIONES FUNDAMENTALES PARA EL MUESTREO DISTRIBUCION NORMAL Es una distribución de probabilidad continua (puede tener cualquier valor dentro de un rango definido de valores), es tanto simétrica como mesocurtica (ni plana ni puntiaguda). Su curva es una campana simétrica que se extiende sin límite tanto en la dirección positiva como negativa. su rango de variación es   x   . http://www.youtube.com/watch?v=jKimIl_E2iM distribución normal; comprender!

Cualquier conjunto de valores x normalmente distribuidos puede convertirse a valores normales estándar z por medio de la formula:

Z

x



Aunque los datos originales para la variable aleatoria x tengan la media (miu) y la desviación estándar  (sigma) la variable aleatoria estandarizada z siempre tendrá una  0 y la desviación estándar media de  1 por lo tanto todos los datos Z



Z



estandarizados siempre tendrán media igual a cero y desviación estándar igual a 1. http://www.youtube.com/watch?v=m-mSxIncuMQ Uso de Tabla; comprender! http://www.youtube.com/watch?v=JgLtLYNE5Yk Uso de Tabla; comprender! http://www.youtube.com/watch?v=Myn3NuWYlAI Regla empírica; comprender! Ejemplos: 1.- Los resultados de un examen de Ingeniería Industrial en un prestigiado tecnológico tiene una distribución normal con media de 92 y la desviación típica de 5 ¿cual es la probabilidad de que los resultados queden entre 90 y 95 puntos ? 2.- En un proceso químico el tiempo de precipitado de una sustancia tiene una distribución normal con una media de 15.28 segundos y una desviación de .24 segundos. Calcule la probabilidad de que una sustancia similar para precipitarse tarde: a). Entre 15 y 15.5 segundos b). Por lo menos 15.25 segundos c). A lo mas 17 segundos M. C. Manuel Armando Chavira Martínez

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3.- Si x tiende a ser normal con media poblacional  y varianza poblacional 2(si x~n(10,9) ). Hallar: a) P(x < 1)= b) P(2