Estadistica Descriptiva y Introduccion a La Probabilidad

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

PRIMER TALLER DE ESTADISTICA DESCRIPTIVA Y INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD. 1) Trabajo de estadística descriptiva: a) Defina Brevemente: Estadística Descriptiva Consiste sobre todo en la presentación de datos en forma de tablas y gráficas. Esta comprende cualquier actividad relacionada con los datos y esta diseñada para resumir o describir los mismos sin factores pertinentes adicionales, esto es, sin intentar inferir nada que vaya más allá de los datos como tales. Población: Se entiende por población o universo un conjunto grande de elementos o unidades de investigación, de los cuales se estudia una o varias características comunes. Por ejemplo, los estudiantes de una universidad, las universidades de una ciudad, los artículos producidos en una fábrica, las empresas de un país, los lanzamientos de una moneda, etc. Según el tamaño, la población puede clasificarse en finita e infinita. Se considera una población finita cuando tiene un número determinado de elementos, es decir, se conoce el tamaño de la población. Por ejemplo, los habitantes de un país, los estudiantes de una universidad, los empleados de una empresa, los asociados a una cooperativa, etc., mientras que la población infinita tiene un número indeterminado de elementos, por ejemplo, los cuerpos que caen, los lanzamientos de un dado, etc. Es todo conjunto de entes (Personas, plantaciones de papas, etc.). Que poseen ciertas características comunes que se pretenden analizar. Muestra: La muestra es un conjunto de unidades pertenecientes a la población, seleccionadas adecuadamente; es decir, es una parte de la población o universo. Por ejemplo, de los 150 empleados de una empresa que constituyen

el universo o población en estudio, al azar se pueden seleccionar 30 empleados, que constituyen la muestra. Al emplear una muestra se busca lograr que al observar una porción reducida de unidades, se puedan sacar conclusiones semejantes a las que se obtendrían si se estudiara el total de la población o universo. Es un subconjunto de la población. Se denota por n. Marco de Muestreo: Es una lista de individuos u objetos a ser muestreados que está disponible para un investigador o se le puede construir. Parámetro, Estadístico, Variable Cualitativa: Las variables cualitativas son las que no permiten construir una serie numérica definida; los atributos o características que toman son distintas modalidades observadas cualitativamente. Son variables cualitativas el color, la profesión, el estado civil, etc. Para designar variables cualitativas, generalmente se utilizan las primeras letras del alfabeto en mayúsculas (A, B, C,...) y para designar el atributo se toman las letras minúsculas acompañadas por subíndices. Por ejemplo, la variable profesión en una empresa puede ser representada por la letra A y sus posibles características: administrador, economista, contador, ingeniero, por a 1, a2 , a3 ,a4, respectivamente, en este caso, a1 = administrador a2 = economista a3 = contador a4 = ingeniero Variable Cuantitativa: Las variables cuantitativas son aquellas que permiten una escala numérica de medición, toman distintos valores observados cuantitativamente mediante una medida y una escala de medidas. Son variables cuantitativas la altura, el peso, el número de hijos de una familia, el salario, el número de artículos producidos en una semana. Para designar las variables cuantitativas se utilizan las ultimas letras del alfabeto en mayúsculas (... X, Y, Z). Por ejemplo, la variable altura de cinco estudiantes se representa por X y las alturas 1.65 m, 1.67 m, 1.68 m, 1.70 m y 1.72 m, se representan por x1, x2 , x3 , x4 y x5 , respectivamente. En este caso,

x1 = 1.65 m x2 = 1.67 m x3 = 1.68 m x4 = 1.70 m x5 = 1.72 m Las variables cuantitativas pueden clasificarse en cuantitativas continuas y cuantitativas discretas. •Discretas: Es cuando sus valores posibles forman un conjunto finito, o bien, se pueden listar en una sucesión infinita en que haya un primer número, un segundo número, y así sucesivamente donde se toman valores enteros en un conjunto numerable. •Continuas: Es cuando sus valores posibles consisten en todo un intervalo en la recta numérica donde se toman valores en un conjunto no numerable (los números reales o un intervalo). b) De dos ejemplos para los siguientes tipos de variables: Nominal, Discreta, Ordinal, Continua y de Razón. Cualitativa Nominal: Estado civil, con las modalidades: Soltero, Casado, Divorciado y Viudo. Nombres de personas; Adrian, José, Mauricio, Pedro, Bolívar. Cualitativa Ordinal: La Nota de un Examen: Aprobado, suspenso, Notable, sobresaliente. Puesto conseguido en una prueba deportiva, 1º, 2º, 3º…… Las Medallas Conseguidas de dicha prueba deportiva, Oro, Plata, bronce. Cuantitativa Discreta: Numero de Hermanos de 5 amigos; 2, 1, 0, 3, 1 Número de habitaciones de un hotel; 1,2,3,4,5. Cuantitativa Continúa: La altura en metros de los 5 amigos; 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75. El Peso en Kilogramos de estos 5 amigos; 80, 66,72, 83, 58 c) Se realizo una encuesta cuyo objeto de estudio fue: La intención de voto entre los estudiantes del curso "x" de probabilidad año "2009-1" . Población objetivo : Estudiantes que van a votar Las preguntas fueron : I)

En las elecciones presidenciales votara por el Partido : Conservador Liberal Polo Democrático

Otro II) Para las elecciones parlamentarias votara por el partido : Conservador Liberal Polo Democrático Otro Las Variables de agrupación son: Genero : Femenino Masculino Programa que cursa: Ingenierías Ciencias Económicas o Administrativas Trabaja : Si No Estatura : _________ Edad:__________ Los códigos que se le dieron a todas las variables cualitativas, fueron secuenciales iniciando cada clase con el N° 1. La tabla donde se organizaron las encuestas fue: Encuest a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Genero: 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2

Pregunta Pregunta Estatura Edad Programa: Trabaja: I) II) "cm" "Años" 1 1 1 3 174 22 2 2 3 1 195 20 1 1 4 4 192 18 2 1 3 2 181 25 1 1 1 3 177 17 1 1 4 4 191 18 1 2 1 2 156 23 1 1 2 4 156 32 1 1 4 4 185 31 1 2 3 1 189 28 1 2 4 1 192 31 1 1 2 1 193 21 2 1 1 4 188 17 2 1 3 3 152 22 2 2 3 4 194 32 1 1 1 1 177 21 2 1 1 3 186 25 1 1 1 3 170 23 2 1 1 4 189 31 1 2 3 4 158 29 1 2 3 2 166 26 1 1 1 3 169 17 1 1 1 1 178 31

24 25 26 27 28

2 1 2 2 1

2 2 2 1 1

2 1 2 1 1

3 4 4 2 4

4 1 2 2 2

161 183 175 183 154

18 18 20 30 31

Realizar las siguientes desagregaciones: • •

Encuest a 2 9 10 12 14 15 18 19 25 28

d) Analizar la pregunta "1" al sector de: damas de ciencias económicas y administrativas. Analizar la pregunta "1" al sector de: Hombres de ciencias económicas y administrativas. Grupo Damas de Ciencias Económicas y Administrativas Pregunta Pregunta Estatura Edad Genero: Programa: Trabaja: I) II) "cm" "Años" 1 2 2 3 1 195 20 1 1 1 4 4 185 31 1 1 2 3 1 189 28 1 1 1 2 1 193 21 1 2 1 3 3 152 22 1 2 2 3 4 194 32 1 1 1 1 3 170 23 1 2 1 1 4 189 31 1 2 1 4 1 183 18 1 1 1 4 2 154 31 Grupo Hombres de Ciencias Económicas y Administrativas

1 3 4 5 6 7 8 11 13 16 17 20

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1

1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2

1 4 3 1 4 1 2 4 1 1 1 3

3 4 2 3 4 2 4 1 4 1 3 4

174 192 181 177 191 156 156 192 188 177 186 158

22 18 25 17 18 23 32 31 17 21 25 29

21 22 23 24 26 27 •

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 1

2 1 1 2 2 1

3 1 1 3 4 2

2 3 1 4 2 2

166 169 178 161 175 183

26 17 31 18 20 30

Comparar ambos grupos y sacar conclusiones. Con respecto a la Pregunta “1”; observamos en el anterior cuadro el cual he separado en dos grupos y lo subraye con color amarillo que: Hay una clara evidencia de votación confirmada para las votaciones presidenciales de toda la población objetivo encuestado. El grupo de las damas se evidencia una predilección y/o afinación con un movimiento político como es polo. Mientras que en el grupo de hombres hay una división de igualdad con el polo y el conservador. También hay algunos de los encuestados de los dos grupos que reflejan su aspiración a votar por otros partidos, lo que refleja una no aceptación de los partidos que muestra la encuesta. Veo con gran curiosidad que ninguno de estos dos grupo que estudian ciencias económicas y administrativas de ambos sexos, votarían por el partido liberal. Es evidente que puede deberse a los procesos políticos enmarcados por el anterior gobierno, con respecto a la economía y administración del país. Puesto que son estudiantes que tienen una visión mucho más acertada de la economía que los demás estudiantes de ingenierías.

• •

e) Analizar la pregunta "2" al sector de: Hombres que estudian ingeniería y trabajan. Analizar la pregunta "2" al sector de: Damas que estudian ingeniería y trabajan.

Grupo Hombres de Ingeniería que trabajan Encuest Pregunta Pregunta Estatura Edad a Género: Programa: Trabaja: I) II) "cm" "Años" 1 2 1 1 1 3 174 22 3 2 1 1 4 4 192 18 4 2 2 1 3 2 181 25

5 6 7 8 11 13 16 17 20 21 22 23 24 26 27

2 9 10 12 14 15 18 19 25 28 •

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 1

1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1

1 4 1 2 4 1 1 1 3 3 1 1 3 4 2

3 4 2 4 1 4 1 3 4 2 3 1 4 2 2

177 191 156 156 192 188 177 186 158 166 169 178 161 175 183

17 18 23 32 31 17 21 25 29 26 17 31 18 20 30

Grupo Damas de Ingeniería que trabajan 2 2 3 1 1 1 4 4 1 2 3 1 1 1 2 1 2 1 3 3 2 2 3 4 1 1 1 3 2 1 1 4 2 1 4 1 1 1 4 2

195 185 189 193 152 194 170 189 183 154

20 31 28 21 22 32 23 31 18 31

Comparar ambos grupos y sacar conclusiones. Del grupo de hombres de ingeniería y que trabajan se evidencia una predilección por el Polo, con respecto a los otros partidos políticos, con respecto a las damas, existe un igualdad ya que de las cuatro que trabajan cada una vota por el partido de su predilección y solo una opta por otro partido diferente. Para el caso de las elecciones parlamentarias. Aquí en estos dos grupo es claro observar que simplemente hay una afinidad política, la votación no tiene fundamentos claros de opinión de ideas económicas ni administrativas, con respecto a las políticas de los gobiernos en curso. Las damas, como sugerí al inicio, tiene afinidades políticas es un casualidad debido a la opinión individual.

f) Realizar los histogramas de la edad y de la estatura, con 5 intervalos de clase.

Sabemos que por tener características de variable bidimensionales g) Calcular para la edad y estatura: La media aritmética, La mediana, La Moda, La media geométrica , La media armónica, La desviación Estándar , El coeficiente de Variación , La Asimetría y la Curtosis .

Solución Construyendo una tabla: Estatura (m)

1,52 1,54 1,56 1,58 1,61 1,66 1,69 1,70 1,74 1,75 1,77 1,78 1,81 1,83 1,85 1,86 1,88 1,89 1,91 1,92 1,93 1,94 1,95 TOTAL:

ƒ

Ƒ.X

1,52 1 1,54 1 X= 1,7728 2 49.64/28 =3,12 1,58 La1Mediana: 1,61 1 Tomados los datos de la tabla original tenemos: 1 1,66 A 1,78 y 1,81, por tanto; 1 1,69 X= (1,78 + 1,81) / 2 = 3.59/2 = 1,795 1 1,70 1,74 La1Moda: 1 1,75 Existen 5 valores con frecuencia 2; por lo que 3,54 se2incluye que hay más de una moda. Con las mayores frecuencias 1 1,78 que son: 1,56; 1,77; 1,83; 1,89; y 1,92 con mayor estatura. 1 1,81 3,66 La2Media Geométrica: Media Aritmética:

1 1,85 1 1,86 La1Media Armónica: 1,88 3,78 Xa2= 28/15,88888874 = 1,762237 1,91 1 3,84 2 1 1,93 1 1,94 1 1,95 49,64 28 Xg = 28√(25098,22591) = 1,4359

Edad

17 18 20 21 22 23 25 26 28 29 30 31 32 TOTAL:

X.ƒ ƒ Aritmética: Media

51 3 X = 697 / 28 = 24.89 72 4 La 2 Mediana: 40 42 2 Tomados los datos de la tabla original tenemos: 44 2 y 32, por tanto; A 22 46 2 X = (23 + 23) / 2 = 46/2 = 23 50 2 52 La 1 Moda: 1 que mas56 El valor se repite es 31 con frecuencia de 5, por lo tanto la moda 1 es este58 valor 31. 60 1 La Media Geométrica: 62 5 Xg 2= 28√2703183165 64 = 23.58126 697 La28 Media Armónica: Xa = 28 / 1,21757876 = 22,9964 La Desviación Estándar:

→ 1/27√[22-24.89)²+(2024.89)²+(18-24.89)²+(25-24.89)²+(17-24.89)²+(18-24.89)²+(2324.89)²+(32-24.89)²+(31-24.89)²+(28-24.89)²+(31-24.89)²+(2124.89)²+(17-24.89)²+(22-24.89)²+(32-24.89)²+(21-24.89)²+(2524.89)²+(23-24.89)²+(31-24.89)²+(29-24.89)²+(26-24.89)²+(1724.89)²+(31-24.89)²+(18-24.89)²+(18-24.89)²+(20-24.89)²+(3024.89),²] = 5.46405 2)

“Axiomas de Probabilidad” Un estudio acerca de la percepción de las matematicas en un grupo “x” de estudiantes de ingeniería civil en cierta universidad arrojo los siguientes resultados h) En un grupo de estudiantes la probabilidad de obtener un puntaje bajo es del 20% , que se gradúen es del 50% y que se den ambos es del 5% Solución: Los datos que te dan (probabilidades):

P(A) = 20% = 0,20 P(B) = 50% = 0,50 P(A ∩ B) = 5% = 0,05 Así que la probabilidad de que "ocurra una cosa u otra" es la probabilidad de la unión, (A U B) a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante obtenga un puntaje bajo o se haya graduado de la universidad? Lo mismo pasaría con solo se gradúen. P(de que EXACTAMENTE se gradúen)=P(De que se gradúen)P(ambos)= 50-5=45% Solución = 45% b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tenga un puntaje bajo o se gradué? Dentro del conjunto de la probabilidad de que obtengas un puntaje bajo ..es del 20% dentro de este hay un 5 por cierto que son ambos.... por lo que si quieres saber los que exactamente tendrán un puntaje bajo...le tendrás que restar este porcentaje... Es decir la probabilidad seria 15% de que exactamente sea un puntaje bajo... P(de que EXACTAMENTE saquen puntaje bajo)=P(De que se saquen puntaje bajo)-P(ambos)= 20-5=15% Solución: 15 % c) ¿Cuál es la probabilidad de que ni tenga puntaje bajo ni se gradué? Es decir puedes sumar por aparte la probabilidad de que EXACTAMENTE se gradúen, EXACTAMENTE saque porcentaje bajo.. y en este caso faltaría la de AMBOS y restárselo al 100% esto te daría de las que ni se graduaron ni obtuvieron puntaje bajo..en número seria.. 45+15+5-100=35% Solución = 35%

3) Se tienen 2 lápices uno rojo y otro verde, cuyas caras están Numeradas del uno al cuatro, se han lanzado a rodar sobre el piso, leyendo los números correspondientes a sus caras superiores. Con esta información: Solución: a)

Establezca el espacio muestral de los acontecimientos

a,b) --> (numero rojo, numero verde) S=[(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3) (3,4),(4,1) 4,2),(4,3),(4,4)] Son 16 posibilidades b)

Determine la probabilidad de que la cara superior del lápiz rojo sea 1 o 3 , mientras que la del rojo sea dos o cuatro.

Las combinaciones posibles son (1,2),(1,4),(3,2),(3,4) es decir son 4, y el total son 16, por lo que la probabilidad es 4/16 = Simplificando : 1/4 = 0.25 = 25% c)

Cual es la probabilidad de que la suma de sus caras sea cuatro.

1,3),(2,2),(3,1) es decir 3 posibilidades, la probabilidad es 3/16 = 0.1875 = 18.75% d)

Que la suma de sus caras sea par?

(1,1),(1,3),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(4,2),(4,4). Es decir 8 posibilidades, La probabilidad es: 8/16 = 0.5 = 50% 4) Tenemos en una caja bolas de los siguientes colores: 3 azules, 6 negras, 2 blancas , 5 verdes . ¿Qué probabilidad se tiene de ganar y perder si se premia al sacar blancas o azules?

La Probabilidad de Ganar es: A) Blancas (2) B) Azules (3) Salen blancas y azules 3+2 = 5 PAOB = P(A) + P(B) = 2/16 + 3/16 = 5/16 = 0,3125 = 31.25% La Probabilidad de Perder es: C) Negras (6) D) Verdes (5) Salen negras y verdes 6+5 = 11 PA0B

= P(C) + P(D) = 6/16 + 5/16 = 11/16 = 0,6875 = 68.75%

5) Una Fabrica tiene cuatro maquinas de diferentes modelos, las primera del año 1975 y una probabilidad del 12% de que se dañe en un día de trabajo, otra de 1980 con el 7% , la tercera de 1990 con el 2% y la ultima de 1996 con el 1% en un día de producción . Calcular la probabilidad de que: Solución: a) todas se descompongan; P1 = 0,12 P2 = 0,07 P3 = 0,02 P4 = 0,01 P = P1 x P2 x P3 x P4 P = 0,12 x 0,07 x 0,02 x 0,01 P = 0.00000168

P = 0.000168% b) Ninguna se descomponga P1 = 0.88 P2 = 0.93 P3 = 0.98 P4 = 0.99 P = P1 x P2 x P3 x P4 P = 0,88 x 0,93 x 0,98 x 0,99 P = .0,794 P = 79.4% 6) Cuatro amigos se dirigen a un lugar, toman cuatro rutas diferentes de acuerdo al riesgo que se corre de tener algún accidente. Si se le asignan las probabilidades de riesgo a cada ruta: 0.2; 0.15; 0.25; 0.10. ¿Encuentre la probabilidad : Solución: a) de que ninguno sufra accidentes? (0.80)(0.85)(0.75)(0.90)=0.459 b) Que los cuatro sufran accidentes? (0.20)(0.15)(0.25)(0.10)= 0.075% c) los dos primeros sufran accidentes y los restantes no? (0.20)(0.15)(0.75)(0.90)= 0.02025% 7) Cual es la probabilidad de obtener 2 ases y una figura sacando sucesivamente 3 cartas de una baraja de 52 cartas . Solución: a) Con reposición. P(AyFyF)= P(A)xP(F)xP(F) P(AyFyF)= (4/52)x(12/52)x(12/52) =( 576)/140608 = 0,004096% b) sin reposición

P(FyFyA)= P(F)xP(F)xP(A) P(FyFyA)= (12/52)x(11/51)x(4/50) =( 528)/132600= 0,0039% 8) Una biblioteca tiene ocho ejemplares de un cierto texto (del mismo autor edición y titulo) , la única diferencia entre ellos es que cuatro son de pasta dura y cuatro no, .suponga que en forma sucesiva vienen tres lectores y cada uno de ellos pide a la bibliotecaria un ejemplar de este libro para llevar a la casa . Si los textos son elegidos al azar ¿ Cual es la probabilidad de que al primero le toque empastado , al segundo sin empastar y al tercero también sin empastar? 9) “ Técnicas de Conteo” Una persona desea construir su casa, para lo cuál considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa? Solución: Considerando que r = 4 pasos N1= maneras de hacer cimientos = 2 N2= maneras de construir paredes = 3 N3= maneras de hacer techos = 2 N4= maneras de hacer acabados = 1 N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa El principio multiplicativo, el aditivo y las técnicas de conteo que posteriormente se tratarán nos proporcionan todas las maneras o formas posibles de como se puede llevar a cabo una actividad cualquiera. 10)Cuántas placas para automóvil pueden ser diseñadas si deben constar de tres letras seguidas de cuatro números, si las letras deben ser tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9?, Solución: a. Si es posible repetir letras y números, Considerando 26 letras del abecedario y los dígitos del 0 al 9 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 75,760,000 placas para automóvil que es posible diseñar b. No es posible repetir letras y números, 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 78,624,000 placas para automóvil

c. Cuántas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D y empiezan por el cero, 1 x 25 x 24 x 1 x 9 x 8 x 7 = 302,400 placas para automóvil d. Cuantas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D seguida de la G. 1 x 1 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 120,960 placas para automóvil 11).¿Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar con los números 1,1,1,2,3,3,3,3?, b. ¿cuántas de las claves anteriores empiezan por un número uno seguido de un dos?, Solución: a. n = 8 números x1 = 3 números uno x2 = 1número dos x3 = 4 números cuatro 8P3,1,4 = 8! / 3!1!4! = 280 claves de acceso b. n = 6 (se excluye un número uno y un dos) x1 = 2 números uno x2 = 4 números tres 1 x 1 x 6P2,4 = 1 x 1 x 6! / 2!4! = 15 claves de acceso c. n = 6 (se excluye un número dos y un tres) x1 = 3 números uno x2 = 3 números tres 1 x 6P3,3 x1 = 1 x 6! / 3!3! = 20 claves de acceso 12)Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

Solución: M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora 13)¿Cuántas formas hay de asignar las primeras cinco posiciones de una carrera de autos de fórmula K, si participan 26 autos en esta carrera?. Considere que la asignación es totalmente al azar. Se trata de una prueba ordenada sin sustitución Solución: Esta asignación debe ser sin sustitución, esto es, se trata de una prueba ordenada sin sustitución, por lo que la solución es la que se muestra. n = 26, r = 5 26

P5 = 26! / (26 – 5)! = 26! / 21! = 26 x 25 x 24 x 23 x 22 = 7,893,600

Hay 7,893,600 maneras de asignar las cinco primeras posiciones de salida 14)Para contestar un examen un alumno debe contestar 9 de 12 preguntas, a. ¿Cuántas maneras tiene el alumno de seleccionar las 9 preguntas?, b. ¿Cuántas maneras tiene si forzosamente debe contestar las 2 primeras preguntas?, c.¿Cuántas maneras tiene si debe contestar una de las 3 primeras preguntas? Solución: a. n = 12,

r=9

12C9 = 12! / (12 – 9)!9! = 12! / 3!9! = 12 x 11 x 10 / 3! = 220 maneras de seleccionar las nueve preguntas o dicho de otra manera, el alumno puede seleccionar cualquiera de 220 grupos de 9 preguntas para contestar el examen

b. 2C2*10C7 = 1 x 120 = 120 maneras de seleccionar las 9 preguntas entre las que están las dos primeras preguntas c. 3C1*9C8 = 3 x 9 = 27 maneras de seleccionar la 9 preguntas entre las que está una de las tres primeras preguntas d. En este caso debe seleccionar 0 o 1 de las tres primeras preguntas3C0*9C9 + 3C1*9C8 = (1 x 1) + (3 x 9) = 1 + 27 = 28 maneras de seleccionar las preguntas a contestar 15)¿Cuántas maneras hay de que se asignen tres premios de un sorteo en donde el primer premio es una departamento, el segundo premio es un auto y el tercer premio es un centro de cómputo, si los participantes en este sorteo son 120 personas, a) sí la asignación se puede hacer con sustitución, Por principio multiplicativo: 120 x 120 x 120 = 1,728,000 maneras de asignar los premios Por fórmula: n =120, r = 120 nr = 1203 = 1,728,000 maneras de asignar los tres premios Hay que considerar que en este caso, al regresar cada boleto que es extraído de la urna, las personas que participan en el sorteo tienen la posibilidad de no ganar uno solo de los premios, de ganar un premio, dos de los premios o los tres premios. Cosa que generalmente no ocurre.

b).sí la asignación se puede hacer sin sustitución. Por principio multiplicativo: 120 x 119 x 118 = 1,685,040 maneras de asignar los premios Por fórmula: n = 120, r = 3 P3 = 120! / (120 – 3)! = 120! / 117! = 120 x 119 x 118 = 1,685,040 maneras de asignar los premios 120

Hay que hacer notar que en este caso, como los boletos que son seleccionados ya no regresan a la urna de donde fueron extraídos, los participantes solo pueden recibir un premio en caso de que fueran de los afortunados. Esta es la forma en que generalmente se efectúa un sorteo