estadistica aplicada

A) MUESTREO: ESTIMACIÓN POR INTERVALO DE LA MEDIA POBLACIONAL CON DESVIACIÓN ESTÁNDAR POBLACIONAL DESCONOCIDA. El administrador de una planta industrial generadora de energía desea estimar, por intervalo, la cantidad de carbón que se consumió por término medio semanalmente durante año pasado. Para ello toma una muestra de 10 semanas. El consumo medio fue de 11.400 toneladas, la desviación estándar muestral 700 toneladas. ¿Cuál será el intervalo de confianza del 95% para el consumo medio semanal durante el año pasado?. (supongamos normalidad).

Solución Tenemos X como la distribución de toneladas de carbón consumidas cada semana del año pasado por la planta de energía y su media y su desviación estándar desconocidas

  ≈ (, ( , ) Aunque n < 30, suponemos que la media muestral, X , sigue una distribución normal

  ≈ (  ̅  = ,,   ̅  = /√ )) Para estimar la desviación estándar poblacional σ vamos a utilizar la desviación estándar muestral S que es 700 toneladas. Por lo tanto, el intervalo de confianza del 95% para el consumo promedio de toneladas de carbón en cada semana del año pasado, es decir para µ, será:

  = ±  1,2 ∗ √  = 11 400 400 ± 2.262 262 ∗ √ 7001010 = 11 400±500.76 = (  ; ) Utilizamos la t-Student t-Student porque la desviación estándar poblacional σ es desconocida. En las tablas,

(101,0.05/2) = 2.262

, una t-Student con 10 – 10 – 1  1 = 9 grados de libertad que deja su

derecha un área de 0,025. α = 0,05 porque el nivel de confianza es de 1 − α = 0,95. 0,95. Con una confianza del 95%, el consumo promedio semanal de carbón durante el año pasado por esta planta de energía estará entre 10.899 toneladas y 11.901 toneladas. Si extraemos varias muestras del mismo tamaño y calculamos un intervalo de confianza para cada muestra, el 95% de todos los intervalos van a incluir al consumo promedio poblacional de toneladas de carbón por semana durante el año pasado por la planta de energía.

B) PRUEBA DE HIPÓTESIS: DE LA MEDIA POBLACIONAL, CON DESVIACIÓN ESTÁNDAR POBLACIONAL DESCONOCIDA. Un fabricante produce un cable de alambre de cierto tipo, que tiene una resistencia a la ruptura no mayor de 300 kg. Se descubre un proceso nuevo y más barato que desea implementarse, siempre que el cable así producido tenga una resistencia media a la ruptura mayor de 300 kg. Si una muestra aleatoria de 36 cables producidos con el nuevo proceso ha

̂ = 15 

dado una media de 304.5 kg. Y una desviación estándar . ¿Debería el fabricante adoptar el nuevo proceso, si está dispuesto a asumir un error Tipo I del 5%?

Solución Sea X la resistencia a la ruptura.

:  ≤ 300 :  ≥ 300  = 36  :  = 300  =   ̂/√ 300    ~(35)

Se debe probar la hipótesis nula % y a partir de una muestra de tamaño:

Si X tiene distribución normal, la varianza cierta, la estadística de la prueba es:

 contra .

 al nivel de significación del 5

 es desconocida y si

 es realmente

Para α=0.05 y una prueba unilateral de cola a la derecha, en la distribución t(35) se encuentra el valor crítico:

., = 1.69  = { > 1.69} .

Luego, la región crítica es:

De los datos de la muestra, se tiene:

Dado que,

 = 36,̅ = 304.5,̂ = 15, á: ̂/ √  = 2.5  304.5  300 = 1.8  =  ̅ ̂/300 = 2.5 √   = 1.8 ∈ .. .  se deberá rechazar

C) DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS DE DOS POBLACIONES: CON DESVIACIÓN ESTÁNDAR DESCONOCIDA: ESTIMACIÓN POR INTERVALO Y PRUEBA DE HIPÓTESIS. El encargo de compras de una compañía tiene que escoger entre dos marcas de máquinas A y B, para procesar cierto producto. Por cuestiones de precio el encargo desearía comprar la marca A a no ser que haya evidencias de que la máquina B es más veloz. Se le permitió operar los dos tipos de máquinas durante un periodo de prueba, escogiendo al azar luego, los tiempos en segundos de 10 objetos procesados por cada máquina: Máquina A: 55, 56, 57, 56,58, 53, 54, 59, 60, 57 Máquina B: 50, 51, 42, 50, 40, 60, 53, 44, 48, 58 Utilizando un nivel de significación del 5% y suponiendo poblaciones de tiempos normales. ¿Se podría concluir que la varianzas poblacionales son iguales?

Solución Sean

 ,

 las variables aleatorias que representan los tiempos empleados por la máquinas A

y B respectivamente. Se sabe que

 ~(,)  ~(,)  y

.

1. Hipótesis:

: =  : > 

 (Los promedios de tiempos de A y B son iguales)  (La máquina B tiene mejor tiempo promedio)

2. Nivel de significación: α=0.05. 3. Estadística de la prueba. Si se supone



 verdadera y dado que las varianzas poblacionales

son diferentes, la estadística apropiada es:

 =       / +  / Que se distribuye según una t-student con r grados de libertad donde:

/ + / ]   4.72/10+41.82/10 [   = [/ ] [/ ] = 4.72/10  41.82/10 = 11.007 ≅ 11 9 + 9  1 +  1 −, = ., = 1.796. ..= { > 1.796}

4. Región crítica: Para α=0.05 y una prueba unilateral de cola a la derecha, en la distribución t(11), se encuentra La región crítica en la variación de T es

5. Cálculos: De los datos se tiene también:

̅ = 56.5,̅  = 49.6,̅   ̅ = 6.9, . =  á =  / + / =   4.72/10+41.82/10 = 2.1574

6. Decisión: Ya que

9  = 3.198  =     = 2.16.574   / +  /  = 3.198 ∈ .., .

adquirir la máquina B.

debemos rechazar

 Concluimos que se debe