ESTADISTICA APLICADA 1

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL EXPERIMENTAL SIMÓN RODRÍGUEZ NUCLEO MARACAY

Profesora:

Participante:

Irlanda Álvarez

María López C.I 12.482.108

Maracay, 30 de Julio de 2009

PARÁMETROS

Los parámetros son elementos que proporcionan información al cmdlet, ya sea mediante la identificación identificación de un objeto y sus atributos sobre el que actuar o mediante el control de la realización de las tareas del cmdlet. El nombre del parámetro va precedido de un guión (-) y seguido por el valor del parámetro del modo siguiente: Verb-Noun -ParameterName EJEMPLO: En este sencillo ejemplo, el guión delante del nombre del parámetro indica al Shell de administración de Exchange que la palabra que sigue inmediatamente al guión es un  parámetro que se pasa al cmdlet y que la siguiente palabra independiente después del  parámetro es el valor de dicho parámetro.

ESTIMADOR  En estadística, estadística , un estimador es un estadístico (esto es, una función de la muestra) usado para estimar un parámetro desconocido de la población. Para cada parámetro pueden existir varios estimadores diferentes. En general, escogeremos el estimador que posea mejores propiedades que los restantes, como insesgadez, eficiencia, convergencia y robustez (consistencia). El valor de un estimador proporciona lo que se denomina en estadística una estimación puntual del valor del parámetro en estudio. En general, se suele preferir  realizar una estimación mediante un intervalo, esto es, obtener un intervalo [a,b] dentro del cual se espera espera esté esté el valor real del parámetro parámetro con un cierto nivel de confianz confianza. a. Utilizar un intervalo resulta más informativo, al proporcionar información sobre el  posible error de estimación, asociado con la amplitud de dicho intervalo. El nivel de confianza es la probabilidad de que a priori el verdadero valor del parámetro quede contenido en el intervalo.

EJEMPLOS:

Ejemplo 1: Si se desea conocer el precio medio de un artículo (el parámetro desconocido) se recogerán observaciones del precio de dicho artículo en diversos establecimientos (la muestra) y la media aritmética de las observaciones puede utilizarse como estimador estimador del  precio medio. Ejemplo 2: En la práctica, en los intervalos suelen indicarse dando el valor del estimador   puntual utilizado como centro del intervalo y un valor que debe sumarse y restarse para obtener el límite superior e inferior, por ejemplo: Equivale a

ESTIMACIÓN Se llama estimación al conjunto de técnicas que permiten dar un valor aproximado de un parámetro un  parámetro de una población a partir de los datos proporcionados por una muestra. Por ejemplo, una estimación de la media de una determinada característica de una  población de tamaño N podría ser la media de esa misma característica para una muestra de tamaño n. 1 La estimación se divide en tres grandes bloques, cada uno de los cuales tiene distintos métodos que se usan en función de las características y propósitos del estudio: •

Estimación puntual: 2 o

Método de los momentos;

o

Método de la máxima verosimilitud;

o

Método de los mínimos cuadrados;

•

Estimación por intervalos.

•

Estimación bayesiana.

ESTIMACIÓN PUNTUAL

Si a partir de las observaciones de una muestra se calcula un solo valor como estimación de un parámetro de la población desconocido, el procedimiento se denomina estimación puntual. EJEMPLO: Queremos Queremos estimar la nota media de los alumnos de bachiller bachiller en la asignatur asignatura a de matemát matemáticas icas que que notaremo notaremos s

. Sea X la variable variable aleatoria aleatoria que que indica indica la

nota obtenida por cada estudiante. Tomamos una muestra de tamaño n y denota denotamo mos s

la nota media media de la muestra muestra.. Si al tomar tomar una muestr muestra a de 100 100

estudiantes obtenemos que la media es 6´2, este número lo tomaríamos como estimativo de

. Decimos que 6´2 es una estimación puntual de

.

 ESTIMACIÓN POR INTERVALOS 

Consiste en la obtención de un intervalo dentro del cual estará el valor del parámetro estimado con una cierta probabilidad. En la estimación por intervalos se usan los siguientes conceptos: Intervalo de confianza El intervalo de confianza es una expresión del tipo [ θ 1 , , θ 2] ó θ 1 ≤ θ ≤ θ 2, donde θ es el parám parámet etro ro a estim estimar ar.. Este Este inter interval valoo conti contiene ene al paráme parámetro tro estima estimado do con una determinada certeza o nivel de confianza. Pero a veces puede cambiar este intervalo cuando la muestra no garantiza un axioma o un equivalente circunstancial. Variabilidad del Parámetro Si no se conoce, puede obtenerse una aproximación en los datos aportados por la literatura científica o en un estudio piloto. También hay métodos para calcular el tamaño de la muestra que prescinde de este aspecto. Habitualmente Habitualmente se usa como medida de esta variabilidad variabilidad la desviación típica poblacional y se denota σ . Error de la estimación Es una medida de su precisión que se corresponde con la amplitud del intervalo de confianza. confianza . Cuanta más precisión se desee en la estimación de un parámetro, más

estrecho deberá ser el intervalo de confianza y, si se quiere mantener o disminuir el error, más ocurrencias deberán incluirse en la muestra estudiada. En caso de no incluir  nuevas observaciones para la muestra, más error se comete al aumentar la precisión. Se suele llamar  E   E , según la fórmula  E = θ 2 - θ 1. Limite de Confianza Es la probabilidad de que el verdadero valor del parámetro estimado en la  población se sitúe en el intervalo de confianza obtenido. El nivel de confianza se denota  por (1-α), aunque habitualmente suele expresarse con un porcentaje ((1-α) ·100%). Es habitual tomar como nivel de confianza un 95% o un 99%, que se corresponden con valores α de 0,05 y 0,01 respectivamente. respectivamente. Valor α También llamado nivel de significación. Es la probabilidad (en tanto por uno) de fallar en nuestra estimación, esto es, la diferencia entre la certeza (1) y el nivel de confianza (1-α). Por ejemplo, en una estimación con un nivel de confianza del 95%, el valor α es (100-95)/100 = 0,05. Valor crítico Se representa por Z α/2. Es el valor de la abscisa en una determinada distribución que que deja deja a su dere derech chaa un área área igua iguall a α/2, α/2, sien siendo do 1-α 1-α el nive nivell de conf confia ianz nza. a.  Normalmente los valores críticos están tabulados o pueden calcularse en función de la distribución de la población. Por ejemplo, para una distribución normal, normal, de media 0 y desviación típica 1, el valor crítico para α = 0,05 se calcularía del siguiente modo: se  busca en la tabla de la distribución ese valor (o el más aproximado), bajo la columna "Área"; se observa que se corresponde con -1,64. Entonces Z α/2 = 1,64. Si la media o desviación típica de la distribución normal no coinciden con las de la tabla, se puede realizar el cambio de variable t =(X-μ)/σ para su cálculo. Con estas definiciones, si tras la extracción de una muestra se dice que "3 es una estimación de la media con un margen de error de 0,6 y un nivel de confianza del 99%",  podemos interpretar interpretar que el verdadero valor de la media se encuentra entre 2,7 y 3,3, con una probabilidad del 99%. Los valores 2,7 y 3,3 se obtienen restando y sumando,

respectivamente, la mitad del error, para obtener el intervalo de confianza según las definiciones dadas. Para un tamaño fijo de la muestra, los conceptos de error y nivel de confianza van relacionados. Si admitimos un error mayor, esto es, aumentamos el tamaño del intervalo de confianza, tenemos también una mayor probabilidad de éxito en nuestra estimación, es decir, un mayor nivel de confianza. CARACTERISTICAS CARACTERISTICAS DE UN BUEN ESTIMADOR  Las carac caracterí terísti sticas cas de un buen buen estima estimador dor puntu puntual al son insesg insesgabi abilid lidad, ad, consistencia o exactitud, eficiencia o precisión y suficiencia.

•

Insesgabilidad : Un estimador puntual es insesgado si la media de la distrib distribuci ución ón muest muestral ral del estadí estadístic stico o (esper (esperanz anza a matem matemáti ática ca del estadí estadístic stico) o) es igual igual al al parám parámetr etro o por estima estimar; r; es decir decir,, si esta estadí dísti stico co cua cualq lqui uier era a y , entonces

•

es un un

es el el parám parámet etro ro corre corresp spon ondi dien ente te y si

es un estimador insesgado de

.

Consistencia o exactitud : Por lo general un estimador no es idéntico al parámetro que se estima, existe una diferencia entre ellos que es el error de muestreo, pero si se aumenta el tamaño de la muestra suficientemente, la probabilidad de que esta diferencia sea mayor que un número fijo

•

tenderá a cero.

Eficiencia o precisión: Un estimador

es más eficiente que

, si la varianza del primero es menor que la del segundo (

•

de θ  ).

Suficiencia: Se dice dice de maner anera a intu intuit itiv iva a que que un esti estima mado dorr es sufici suficient ente, e, si transmi transmite te tanta tanta inform informaci ación ón de la muest muestra ra como como sea posibl posible e acerca acerca del parám parámetr etro, o, de modo modo que se propor proporcio ciona na mayor  mayor 

info inform rmac ació ión n por por cual cualqu quie ierr otro otro esti estima mado dorr calc calcul ulad ado o de la mism misma a mues muestra tra:: y si se obti obtien ene e el valo valorr de un esta estadí díst stic ico o sufic suficie ient nte e los los valores de muestra mismos no proporcionan más información sobre el paráme parámetro tro.. Por ejem ejemplo plo,, tanto tanto la medi media a(

) como como la medi mediana ana com como o el

centro de amplitud (C.A.) se pueden usar como estimadores de emba embarg rgo, o, sólo sólo la medi media a

; sin sin

toma toma en cuen cuenta ta cada cada valo valorr o toda toda la

información de la muestra, mientras que el centro de amplitud sólo toma en cuenta el primer y último valor, y la mediana es una medida de tendencia central de posición. Así pues, la media es un estimador  suficiente para

.

EJEMPLO: 1- El ejemplo 9.3,

y

son estimado estimadores res in sesgados sesgados de

y

, de donde se concluye que

y

, respecti respectivame vamente. nte. Sin embargo, embargo, si se usa

  para estimar la varianza de una muestra, entonces

. Esto se puede demostrar 

fácilmente como se ve a continuación

2- El ejem ejempl plo o 9.3 9.3

y

Md 

son son estima estimador dores es in sesgad sesgados os de

cons consis iste tent ntes es;; sin sin emba embarg rgo, o,

, de dond donde e

y tambié también n

es un esti estima mado dorr más más

eficiente que Md para estimar .

INTERVALO DE CONFIANZA Las líneas líneas verticale verticaless represent representan an 50 construc construccion ciones es diferent diferentes es de interval intervalos os de confianza para la estimación del valor μ Se llama intervalo de confianza en estadística a un par de números entre los cuales se estima que estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto. Formalmente, estos números determinan un intervalo, intervalo, que se calcula a partir de dato datoss de una una muestra, y el valo valorr desc descon onoc ocid idoo es un   parámetro poblacional poblacional. La

 probabilidad de éxito en la estimación se representa por 1 - α y se denomina nivel de conf confia ianz nza. a. En esta estass circ circun unst stan anci cias as,, α es el ll llam amad adoo error aleatori aleatorioo o nivel de significación, esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la estimación mediante tal intervalo. 1 EJEMPLO: Intervalo de confianza para la media de una población De una población una población de media μ y desviación típica σ se pueden tomar muestras tomar  muestras de n elem elemen ento tos. s. Cada Cada una una de esta estass mu mues estr tras as ti tien enee a su vez vez una una medi mediaa ( ). Se pued puedee demo demost stra rarr que que la medi mediaa de toda todass las las medi medias as mu mués éstr tral ales es coin coinci cide de con con la medi mediaa  poblacional: 2 Pero además, si el tamaño de las muestras es lo suficientemente grande, 3 la distri distribuc bució iónn de media mediass muéstr muéstrale aless es, prácti prácticam camen ente, te, una distribuc distribución ión normal normal (o gaussiana) con media μ y una desviación típica dada por la siguiente expresión:

. Esto Esto se repr repres esen enta ta como como sigu sigue: e:

Si

estandarizamos, estandarizamos, se sigue que: LÍMITES DE CONFIANZA Los dos límites que definen el intervalo dentro del que presumiblemente se encuentran un parámetro poblacional que se estime. ERROR DE ESTIMACIÓN Y RIESGO El erro errorr está estánd ndar ar de la esti estima maci ción ón desi design gnad adoo por por sYX sYX mi mide de la disp dispar arid idad ad “promedio” entre los valores observados y los valores estimados de. Se utiliza la siguiente formula. Debemos entonces calcular los valores de para cada ciudad sustituyendo en la ecuación los valores de los porcentajes de graduados de cada ciudad estudiada.

EJEMPLO: YX

7.6 23.9 8.0 −0.4 0.16

4.2 7.2 4.6 −0.4 0.16

4.4 6.0 4.4 0.0 0.00

4.9 6.7 4.5 0.4 0.16

5.4 10.2 5.2 0.2 0.04

7.0 17.0 6.6 0.4 0.16

1.29

6.2 12.5 5.7 0.5 0.25

Syx = 0.46 (decenas de miles $)

3.8 6.3 4.4 −0.6 0.36 Como esta medida trata de resumir la disparidad entre lo observado y lo estimado, es decir, trata de medir la diferencia promedio entre lo observado y lo estimado ó esperado de acuerdo al modelo, puede considerarse como un indicador del grado de  precisión con que la ecuación de regresión, describe la relación entre las dos variables. TAMAÑO DE LA MUESTRA En Estadística el tamaño de la muestra es el número de sujetos que componen la muestra extraída de una población, población , necesarios para que los datos obtenidos sean representativos representativos de la población. EJEMPLO: En el proyecto de Al Haouz en Marruecos, se ha calculado que cerca del 30% (0,3) de los niños de la zona del proyecto padecen de malnutrición crónica. Este dato se  basa en estadísticas nacionales sobre malnutrición en las zonas rurales. Utilizando los valores estándar indicados supra se efectúa el cálculo siguiente:

Calcula: n=

1.96² x .3(1-.3) .05²

n=

3.8416 x .21 .0025

n=

.8068 .0025

n=

322.72 ~ 323

MEDIA POBLACIONAL La media de una población es un parámetro (una característica medible de una  población), así como la amplitud de variación (la diferencia entre el valor más grande y el más pequeño en un conjunto de datos). A partir de datos en vivo, los que no han sido agrupados en una distribución de frecuencias o en una representación de tallo y hoja, la media de una población es: Suma de todos los valores de la población X Media de una población = =  Número de valores en la población N Donde: Representa la media de población  N nº total de elementos en la población X cualquier valor en particular  •

sumatoria

PROPORCIÓN POBLACIONAL En pobla poblacio cione ness dicotó dicotómic micas as con con una propo proporci rción ón  puntu  puntual al del parám parámet etro ro

de éxit éxitos os el estim estimado ador  r 

es la propor proporció ciónn muestra muestrall de éxitos, éxitos, p, que que coincid coincidee con la

media de la muestra cuando se codifica como 1 la característica que se considera como éxito y 0 la que se considera no éxito. A partir de un tamaño muestral moderadamente grande el estadístico p tiene una distribución aproximadamente normal. El intervalo de confianza para la proporción poblacional está centrado en la proporción muestral; siendo sus límites superior e inferior corres correspon pondi dient entee al grado grado de confian confianza za 1-

donde z /2 es el valor crítico de la distr distribu ibució ciónn normal normal tipif tipifica icada da y

es el error típico de la proporción. Para obtener el intervalo de confianza y contrastar hipótesis sobre la proporción una alternativa consiste en tratar a la proporción

como la media poblacional poblacional de una

variable dicotómica codificada codificada como se ha descrito anteriormente (éxito=1, no éxito=0) y la secuencia es: EJEMPLO: •

Para el intervalo de confianza:

 Analizar    Estadísticos Descriptivos  Explorar 

•

Para contrastar la hipótesis nula

 Analizar  Comparar medias

 Prueba T para una muestra.

Utilizando este criterio los resultados numéricos no coinciden exactamente con los que se obtendrían aplicando la expresión del error típico de la proporción; no obstante la discrepancia es despreciable si el número de observaciones es suficientemente grande.