ESTADISTICA 2

ESTADISTICA 2 SOLUCIONARIO: A) Modelo de distribución BINOMIAL - La Probabilidad de que cualquier pieza producida por una maquina pase con éxito una prueba de control es de 0.9 .Si se controlan 10 de tales piezas y si X denota el número de piezas que no pasa la prueba de control de los 10 escogidos al azar: 1) Defina el modelo de probabilidades de X. ¿Qué número de piezas es más probable que no pase el control? 2) Calcule el número de piezas que se espera no pasen el control. ¿es cierto que la desviación estándar de la distribución de X es menor que 0.9? Sol: 1.- cada una de las 10 piezas puede ser un Éxito (E: no pasa la prueba) con probabilidad 0.1 o un fracaso (F: pasa la prueba) con probabilidad probabilidad de 0.9. La Variable aleatoria X= Número de éxitos en N=10, se distribuye dist ribuye según el modelo de la probabilidad BINOMIAL BINOMIAL B(n=10, p=0.1), y su función de probabilidades probabilidades es:

 f(k)= P[X=k] P[X=k]

 ( )

(0.1)k(0.9)10-k,

k=0,1,2,…,10

Al desarrollar la distribución para cada valor de la variable, se ve que el valor más probable es X=1, ya que P[X=1]= 0.3874, es mayor que las demás probabilidades. 2.- El número de piezas que se espera no pasen el control es: µ=np=10x0.1=1 La desviación estándar de la distribución no es menor que 0.9. Su valor es: σ=

  √    



=

=0.9487

B) Modelo de Distribución de POISSON - Suponga que llegan en forma aleatoria una serie de llamadas a una central telefónica t elefónica con un promedio de tres llamadas en intervalos de un minuto. 1) Calcule la probabilidad de que en cualquier periodo de un minuto no ocurra llamada alguna. 2) Calcule la probabilidad de que en cualquier periodo de un minuto ocurra al menos 4 llamadas. Sol: La Distribución de POISSON es: P[X=K]=

 ,   =

k=0,1,2,…..etc

1.-La probabilidad de que no ocurra llamada alguna en el periodo de un minuto es P[X=0]= =

 

= 0.0498

2.-La probabilidad de que ocurra al menos 4 llamadas en el periodo de un minuto es:

  P[X≥4]= 1 – P[X≤3]= 1 -∑  

= 1 – 0.64723 = 0.35277

C) Modelo de Distribución NORMAL - El Ingreso monetario mensual por hogar en una regien se distribuye según el modelo de la probabilidad normal con media $600 y desviación estándar $100 1) ¿Qué porcentaje de hogares de la región tiene ingresos menores de $400 Sol: 1.- P [X1.734] 3)P[X≤-2.878] Sol: 1. P[X≤2.101]=0.975 2. P[X>1.794]= 1 – 0395 = 0.05 3. P[X≤-2.878]= 1 – P[X≤2.878] = 1 – 0.995 = 0.005 E) Modelo de Distribución JI-CUADRADO SI X ~ X(r), halle: 1) “a” tal que P[X≤a]= 0.995 si r=30 2) “a” y “b” tales que P[a≤X≤b]= 0.95 y P[X>b]=0.025 si r=13 3) “a” tal que P[X≤a]= 0.015 si r=8 Sol: 1.- P[X=a]=0.995 implica a=53.67, para 30 grados de libertad. 2.- P[X>b]= 0.025 implica P[X ≤b] = 0.975, entonces, b= 24.74 Por otra parte, 0.95= P[a ≤X≤b]= P[X≤b] – P[X≤a] De donde resulta, P [X ≤a]=0.975-0.95=0.025. Luego a= 5.01 3.- P[X≤a]= 0.0015, implica, a=1.65, que corresponde al área más cercana que es 0.1. Si queremos un valor más preciso, usamos interpolación Área acumulada: 0.010 ≤ 0.015 ≤ 0.025 Valor de Chi-cuadrado: 1.65 ≤a≤2.18 Luego:

  =  , de donde se obtiene a= 1.8267  

F) Modelo de Distribución F de FISCHER Usando la distribución F de Fisher determinar punto críticos para la varianza del numerador de: 3; 9: 15; 16; 26 y para la varianza del denominador de: 3; 5; 6; 8; 11 y 12, el nivel de significación del 5%. Sol: N= 5 – 1= 4 D= 7- 1 =6 F (0.05, 4, 6) G) Distribución muestral de PROPORCIONES 1) Tenemos una muestra de tamaño 60 extraída de una población de cierto producto vendido por una gran empresa, con una proporción de artículos defectuosos de 3.2%. Hallar el error de la distribución muestral de proporciones. Sol: σp =

     =

 = 0.176

2) Hallar el error de proporciones, de una muestra de tamaño 40, extraída de una población de 1000 estudiantes, para la elección de un candidato a delegado con probabilidad de 0.52 Sol: σp =

   [ ]   ]   [     x

=

=0.07743

H) Intervalo de Confianza para una PROPORCIÓN Una distribuidora de Embutidos al seleccionar una muestra de 60 clientes encontró que el 30% no compraban el artículo “M”. Hallar el intervalo de confianza al 95%

para determinar la proporción verdadera de clientes que no adquieren el artículo “M”

Sol: Al 95% : Z=±1.96 σp =

      =

= 0.059

Error de estimación = Z σp = 1.96 (0.059) = 0.11564 Límite inferior = 0.3 - 0.11564 = 0.18436 Límite superior = 0.3 + 0.11564 = 0.41564 Intervalo de confianza para las Proporciones: 0.18436 ≤ µp ≤ 0.5954

I) Tamaño de Muestra para población finita de una variable cuantitativa 1) Hallar el tamaño de la muestra, si se conoce que la desviación típica de los sueldos de un distrito es de 180 y se desea estimar al 95% de confianza, la media de sueldos con más menos 40 soles de error de la media Sol:

    n=   = 77.7924

J) Prueba de hipótesis para diferencia de medias de una muestra grande En un estudio de mercado sobre el sueldo de los practicantes de ingeniería y derecho, se realizo una encuesta y se obtuvo los siguientes datos: CARRERA

MUESTRA

PROMEDIO

DESVIACIÓN

DERECHO INGENIERIA

200 200

1197 1302

270 480

Realizar la prueba de hipótesis a una significación del 5% para verificar si el sueldo promedio de Arequipa es menos que el de Trujillo. Sol: - Formulación de la Hipótesis: H0= XDerecho = XIngenieria , no hay diferencia en el sueldo H1= XDerecho < XIngenieria , el sueldo de Derecho es menor - Determinar el tipo de ensayo: Observando la hipótesis alternativa, la prueba será unilateral izquierda - Asumir la significación de la prueba: Α= 0.05: por lo tanto su punto crítico es Z= - 1.645 (sabiendo que n>30) - Definir el estadístico de la Distribución muestral correspondiente Z=

-

̅̅  ̅  ̅

    ̅  ̅      =

Diseñar el esquema de la prueba:

α -1.645

- Calcular el Estadístico:

    ̅  ̅      = 38.942  =

 Z=   = -2.696318 -

Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba Z= -2.696318, es menor que el punto crítico de la derecha (z= - 1.645), por lo tanto al estar este valor en la región de rechazo, se rechaza la Hipótesis Nula (Ho); es decir, el sueldo de Derecho es menor.