Estadisctica - Intervalos de Confianza

2. Se decide E s t i m a r la m e d i a (i del nivel de ansiedad de todos los estudiantes preuniversitarios. Se supone que la población de los puntajes de la prueba para m e d i r la ansiedad se distribuye normalmente con desviación estándar igual a 10 puntos. a) Determinar el intervalo para (i con confianza del 95%, si una muestra aleatoria de tamaño 100 ha dado una media de 70 puntos, bj Si (J. se estima en 70 puntos con el nivel de confianza del 98%, ¿es el error de la estimación puntual superior a 5 puntos? c) Si Ud. considera que el intervalo encontrado en a) no es muy preciso, /.qué acción debería tomar para que el intervalo de estimación al 95% sea más preciso?.

Solución de Item "a)"

σ γ n X

Datos 10 0.95 100 70

puntos puntos puntos puntos

Calculo del Error 1.95996398

Calculo del Intervalo de Confianza a un 95%

x−

Z0 δ n

≤μ ≤x+

68.040036 <

μ

<

Z0 δ n

71.959964

Solución de Item "b)"

σ γ n

Datos 10 0.98 100

puntos puntos puntos

Calculo del Error

2.32634787

Por lo tanto el erro puntual no es mayor a 5, siendo 2.326

Solución de Item "c)" Para que el margen de error sea mínimo y consecuentemente más exacto o preciso, se tiene que incrementar la muestra

2.32634787

Muestra: n= 100

1.56842342

Muestra: n= 220

0.99195807

Muestra: n= 550

Como se observa a mayor población, error será mínimo

Un fabricante afirma que el peso promedio de las latas de fruta en conserva que saca al mercado es 19 onzas. Para verificar esta afirmación se escogen al azar 20 latas de la fruta y se encuentra que el peso promedio es 18.5 onzas Suponga que la población de los pesos es normal con una desviación estándar de 2 onzas. a) Utilizando un intervalo de confianza Jel 98% para h, ¿se puede aceptar la afirmación del fabricante? b) ¿Qué tamaño de muestra se debe escoger para estimar u si se quiere un error no superior a 0.98 onzas con confianza del 95%-?. Solución de Item "a)"

s γ n X

Datos 2 0.98 20 18.5

puntos puntos puntos puntos Calculo del Error

𝑍𝑜 ∗ 𝛿 𝑛

1.0403744

Calculo del Intervalo de Confianza

17.4596256 <

μ

<

19.5403744

Por lo Tanto diremos que sí, el promedio de de 19 onzas se encuentra en el intervalo de confianza Solución de Item "b)"

s γ n

Datos 2 0.95 x

puntos puntos puntos

Emplenado la definición de error, con la variante de Z0, puesto que no utilizamos To, porque se supone que es normal 𝑍𝑜 ∗ s ≤ 0.98 𝑛 𝑍𝑜 ∗ s

≤ 𝑛

16

𝑍𝑜 ≤ 𝑛 0.98

Se aproxima a lo 16 latas

16

que se supone que es normal

Un fabricante produce focos cuya duración tiene distribución normal . Si una muestra aleatoria de 9 focos da las siguientes vidas útiles en horas 775, 780, 800, 795, 790, 785, 795,780, 810 a) Estimar la duración media de todos los focos del fabricante mediante un intervalo de confianza del 95%. b) Si la media poblacional se estima en 790 horas con una confianza del 98%, ¿cuánto es el error máximo de la estimación si se quiere una confianza del 98%? Analizando los Datos 775 780 800 795 790 785 795 780 810

Cuadro de Datos Media 790 Desv. Estandar 11.1803399 Tamaño de Muestra 9

Solución de Item "a)"

γ

Datos 0.95

puntos Calculo del Error 𝑡𝑜 ∗ 𝑠 𝑛

8.59397

Calculo del Intervalo de Confianza

𝑋−

𝑡𝑜 ∗ s 𝑡𝑜 ∗ s ≤𝜇≤𝑋+ 𝑛 𝑛

781.40603 <

μ

<

798.59397

Solución de Item "b)"

γ

Datos 0.95

puntos

Calculo del Error a un 98%

𝑡𝑜 ∗ 𝑠 𝑛

10.794467

La duración de cierto tipo de batería es una variable aleatoria cuya distribución se supone normal. Inicialmente se estima que la duración media es de 500 horas y que el 95% duran entre 480.4 y 519.6 horas. Si se eligen 9 baterías al azar y se encuentra que la duración media es 480 horas. Utilizando un intervalo de confianza del 95% para la media u, ¿se debería inferir que la duración media es diferente de 500 horas?.

σ γ n X

Datos x 0.95 9 480

horas horas horas horas

Determinando el error del intervalo, [480.4,519.6] 𝑍𝑜 ∗ 𝛿 𝑛

=

19.6

Determinando el σ cuando n es indeterminado Como Zo=1.95

𝛿 = 10

Luego el intervalo de confianza al 95% de 9 baterias Datos n=9 σ=10 Zo=1.96 X=480

𝑋−

𝑍𝑜 ∗ 𝛿 𝑍𝑜 ∗ 𝛿 ≤𝜇≤𝑋+ 𝑛 𝑛

480-6.53σ

<

μ

<

480-6.53σ

Las cajas de un cereal producidos por una fabrica deben tener un contenido promedio de 160 gramos. Un inspector de INDECOPI tomó una muestra aleatoria de 10 cajas para calcular los pesos X¡ en gramos. Si de la muestra resultan las siguientes sumas: 10 10 𝑖=1 𝑋𝑖

𝑋𝑖2 = 252858

=1590 𝑖=1

Mediante un intervalo de confianza del 98% para u, ¿es razonable que el inspector multe al fabricante?. Suponga que el peso de las cajas drl cereal tiene distribución normal. Calculando la media y desviación estandar 𝑋= 1590/10 𝛿=

=

159

=

2.19089023

= Calculo de Error

2.30940108

=

1.95474953

252858 − 15902 10

s

𝑍𝑜 ∗ 𝛿 𝑁−𝑛 ∗ 𝑁−1 𝑛

Calculo del Intervalo de confianza

𝑋−

𝑡𝑜 ∗ s 𝑡𝑜 ∗ s ≤𝜇≤𝑋+ 𝑛 𝑛

157.04525 <

μ

<

160.95475

No es razonable que el inspector multe porque 160 g se encuentra en el intervalo determinado

Un auditor escoge una muestra aleatoria de 15 cuentas por cobrar de un total de 400 cuentas de una compañía y encuentra las siguientes cuentas en dólares 730,759, 725, 740, 754, 745, 750, 753, 730, 780, 725, 790, 719, 775, 700 Utilizando un intervalo de confianza del 95%, estime a) El monto promedio por cuentas por cobrar. b) El monto total de todas las cuentas por cobrar. Suponga que las 400 cuentas se distribuyen aproximadamente normal.

Analisis de Datos 730 759 725 740 754 745 750 753 730 780 725 790 719 775 700

Datos Media de Datos Desviación Estandar Datos Contados

Solución de Item "a)" Calculo del Error 𝑡𝑜 ∗ 𝑠 𝑛

=

13.6389033

Calculo del Intervalo de Confianza

𝑋−

𝑡𝑜 ∗ s 𝑡𝑜 ∗ s ≤𝜇≤𝑋+ 𝑛 𝑛

731.361097 <

μ

<

758.638903

Intervalo de confianza

Solución de Item "b)" Calculo del Intervalo de Confianza de 400 sueldos a cobrar

𝑚(𝑋 −

𝑡𝑜 ∗𝛿

) ≤ 𝜇 ≤ 𝑚(𝑋 +

𝑡𝑜 ∗𝛿

)

𝑚(𝑋 − Donde

𝑡𝑜 𝛿 𝑛

) ≤ 𝜇 ≤ 𝑚(𝑋 +

𝑡𝑜 𝛿 ) 𝑛

m = total de la población 292544.439 <

μ

<

303455.561

Intervalo de confianza

Datos 745 24.6286709 15

Un comerciante estima en $55,000 el costo total de 3000 unidades de mercadería de diverso tipo que posee. Para verificar esta estimación va a escoger una muestra aleatoria de n unidades para hacer una estimación del costo total. Suponga que la población de los costos es normal con a = $2.5 por artículo. Calcular el valor de n si ^e requiere con confianza del 95% un error de la estimación no superior a 0.6844 De la información brindada se tiene que: Media 18.33 Desviación Estandar 2.50 Gama 0.95 Error e < 0.6844 Cuando la población es n>30 Error se define como 𝑍𝑜 ∗ 𝛿 𝑛

1.96 ∗ 2.5 𝑛

𝑁−𝑛 < 0.6844 𝑁−1

3000 − 𝑛 < 0.6844 3000 − 1

n = 51.2592395 n = 50.414639

Por lo tanto la población debe ser 51 productos para que este tenga un erro no mayor a 0.6844

Una muestra aleatoria de 400 menores de 16 años revela que 220 consumen licor. a) Estimar la proporción de menores de 16 años que consumen licor en toda la población mediante una intervalo de confianza del 99% . b) ¿Qué se puede afirmar con confianza del 99% acerca dc la posible magnitud del error si se estima que el porcentaje de menores de 16 años que consumen alcohol es 0.55? Datos 𝑝 𝛾 n x

0.55 0.99 400 220

Solución de Item "a)" Calculo del Error

𝑍𝑜 ∗

𝑝(1 − 𝑝) 𝑛

0.06407719

Intervalo de Confianza

𝑝 − 𝑍𝑜 ∗

𝑝 1−𝑝 𝑝(1 − 𝑝) ≤ 𝑝 ≤ 𝑝 + 𝑍𝑜 ∗ 𝑛 𝑛 0.48592281 <

p

<

0.61407719

Solución de Item "b)" Del intervalo de confianza podemos afirmar que los los 220 si consumen alcohol porque se encuntran en el intervalo ya determinado

𝑝 − 𝑍𝑜 ∗

𝑝 1−𝑝 𝑝(1 − 𝑝) ≤ 𝑝 ≤ 𝑝 + 𝑍𝑜 ∗ 𝑛 𝑛

0.48592281

<

0.55 < 0.61407719

se encuntran

Dos candidatos A y B compiten como favoritos en las próximas elecciones. En la última encuesta a partir de una muestra grande de electores se esnma.con una misma confianza que A tendría 40% de los votos con un error máximo de 3%, mientras que B tendría entre 31% y 39% de los votos. a) En base a esta encuesta . ¿cuál de los dos candidatos sería el ganador absoluto?. b) ¿Qué tamaño de muestra se debe elegir si se quiere tener una confianza del 98% de que el error de estimación de todos los electores a favor de A no sea superior al 2%?.

Solución de Item "a)" Encontrando el Intervalo de Confianza para Candidato A

𝑝 − 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 ≤ 𝑝 ≤ 𝑝 + 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 0.37 <

p

< 0.43

Encontrando el Intervalo de Confianza para Candidato B

𝑝 − 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 ≤ 𝑝 ≤ 𝑝 + 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 0.31 <

p

< 0.39

No se puede precisar porque como se puede observar en el intervalo no hay ninguna diferencia notable

Solución de Item "b)" Con la definición de I.C para una proporción

𝑝 − 𝑍𝑜 ∗

𝑝 1−𝑝 𝑝(1 − 𝑝) ≤ 𝑝 ≤ 𝑝 + 𝑍𝑜 ∗ 𝑛 𝑛

𝑍𝑜 ∗

𝑝 1−𝑝 ≤ 0.02 𝑛

𝑍𝑜 ∗ 𝑝 1 − 𝑝 2 𝑛=( ) 0.02 n= n=

3257.34 3258

El tamaño que se debe utilizar el de 3258 Encontrando la muestra sin conocer la proporción:

𝑛=

𝑍𝑜2 4 ∗ 𝐸2

=

3393.0625 3394

erencia notable

Se desea realizar un estudio de mercado para determinar la proporción de amas de casa que prefieren una nueva pasta dental. a) Si la encuesta tiene un costo fijo de $500 más un costo variable de $5 por cada entrevista, ¿cuánto debería costar la encuesta si se desea que el error al estimar la proporción verdadera no sea mayor que 2%, con un nivel de confianza del 97%?. b) Si para el tamaño de muestra hallado en a) se encuentra que 736 prefieren la nueva pasta dental, estimar la proporción verdadera con un coeficiente de confianza de 99%? Solución de Item "a)" Analizando el error donde no se conoce p 𝑛= Zo Para 97%

𝑍𝑜2 4 ∗ 𝐸2

2.17009038

Luego n es igual

n = n =

2943.30765 2944

El costo de la encuesta será (Costo fijo) +n*(costo por entrevista)

15220 $

Solución de Item "b)" Encontrando la proporción x = n = p =

736 2944 0.25

Encontrando el error Nivel

99%

𝑍𝑜 ∗

𝑝 1−𝑝 𝑛

=

0.01859463

𝑛

Entonces el intervalo de confianza será

𝑝 − 𝑍𝑜 ∗

𝑝 1−𝑝 𝑝(1 − 𝑝) ≤ 𝑝 ≤ 𝑝 + 𝑍𝑜 ∗ 𝑛 𝑛

0.23140537 <

p

< 0.26859463

Un auditor toma una muestra aleatoria de 400 cuentas por cobrar y encuentra que 320 de ellas tienen deudas de al menos $700. Determine el nivel de confianza a) Si el porcentaje de todas las cuentas por cobrar de al menos $700 se estima de 75.76% a 84.24%. b) Si todas las cuentas por cobrar de al menos $700 de un total de 10,000 cuentas por cobrar se estima en el intervalo [7543, 8457].

Solución de Item "a)" Datos x = n = p = Nivel

320 400 0.8 x

Determinando el error en el intervalo dado

𝑝 − 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 ≤ 𝑝 ≤ 𝑝 + 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 0.7576 ≤ 𝑝 ≤ 0.8424 0.8 − 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 0.7576 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 0.0424

Encontrando el nivel de confianza de error

𝑍𝑜 ∗

𝑝 1−𝑝 = 0.0424 𝑛 Zo =

La función probabibildad para 2.12

2.12

0.98299698

El nivel de confianza es: 𝑃 𝑍 ≤ 𝑍𝑜 =

1+𝛾 2

0.96599395 %

Solución de Item "b)" Encontrando el nivel de confianza de error

𝑍𝑜 ∗

𝑝 1−𝑝 𝑁−𝑛 ∗ = 0.0457 𝑛 𝑁−1 Zo =

3.61290223

La función probabibildad para 2.12

0.991

El nivel de confianza es: 𝑃 𝑍 ≤ 𝑍𝑜 =

1+𝛾 2

0.982 %

Se quiere estimar p con un error máximo de estimación e = 0.05, hallar el tamaño de la muestra necesaria si la población es de tamaño N=2000

Se quiere estimar la diferencia entre los promedios de tiempos (en minutos) que utilizan los hombres y las mujeres para realizar un test de aptitud. Se aplica el test a 20 hombres y 25 mujeres dando las medias respectivas de 110 y 100 puntos. Suponga que las dos poblaciones son normales con varianzas respectivas iguales a 100 y 64. a) Determine un intervalo de confianza del 98% para la diferencia de las medias, b) ¿Es válida la afirmación (i*—fJ.2 = 13? Solución de Item "a)" Datos n X Sx m Y Sy

20 110 10 25 100 8

Haciendo la prueba F para población menor que 30

𝑆12 1 ∗ 𝑆22 𝑓1−𝛼,𝑛 −1,𝑛 2 1

γ α

2 −1

𝛿12 𝑆12 ≤ 2 ≤ 2 ∗ 𝑓1−𝛼,𝑛 −1,𝑛 −1 1 𝛿2 𝑆2 2 2

0.98 0.02

Calculando la Inversa de:

1

0.36200483

𝑓1−𝛼,𝑛

−1,𝑛2 −1 2 1

Calculando la Inversa de:

𝑓1−𝛼,𝑛

−1,𝑛1 −1 2 2

Entonces el Intervalo F es: [ 0.56563254 4.57010253 ]

2.92486562

Decimos que como 1 se encuntra en el intervalo, entonces las varianzas son iguales pero desconociadas Encontrando el Intervalo de Diferencias de medias

𝑋 − 𝑦 − 𝑡𝑜 𝑆𝑐

𝑆𝑐 =

1 1 1 1 + ≤ 𝜇𝑥 − 𝜇𝑢 ≤ 𝑋 − 𝑦 + 𝑡𝑜 𝑆𝑐 + 𝑛 𝑚 𝑛 𝑚

𝑛 − 1 𝑆𝑥2 + (𝑚 − 1)𝑆𝑦2 𝑛+𝑚−2

Encontrando Sc 𝑆𝑐 =

𝑛 − 1 𝑆𝑥2 + (𝑚 − 1)𝑆𝑦2 𝑛+𝑚−2

8.93907024

Encontrando el error 𝑡𝑜 𝑆𝑐

1 1 + 𝑛 𝑚

5.67972335

Intervalo de Confianza 𝑋 − 𝑦 − 𝑡𝑜 𝑆𝑐

1 1 1 1 + ≤ 𝜇𝑥 − 𝜇𝑢 ≤ 𝑋 − 𝑦 + 𝑡𝑜 𝑆𝑐 + 𝑛 𝑚 𝑛 𝑚

[ 4.32027665 15.6797233 ]

Solución de Item "b)" Como podemos observar si la diferencia de medias es 13, podemos afirmar que es válida la afirmación porque pertece al intervalo ya anlizado

la afirmación

Un inversionista hace un estudio para elegir una de dos ciudades del interior del país para abrir un centro comercial. Escoge 21 hogares de la ciudad 1 determinando: J, = $400, s, = $120 y escoge 16 hogares de la ciudad 2 calculando: x-, = $350, s2 = $60. Suponga poblaciones normales con varianzas diferentes. Mediante un intervalo de confianza del 95%, ¿se puede afirmar que son iguales los ingresos promedios de las dos ciudades?

Datos n X Sx m Y Sy

21 400 120 16 350 60

Encontrando los grados de libertad 𝑆2 𝑆2 ( 1 + 2 )2 𝑛 𝑛2 𝑔. 𝑙 = 2 1 𝑆 𝑆2 ( 1 )2 ( 2 )2 𝑛1 𝑛 + 2 𝑛1 − 1 𝑛2 − 1

=

Una agencia de publicidad realizó un estudio para comparar la efectividad de un anuncio en la radio en dos distritos Después de difundir el aviso, se realizó una encuesta con 900 personas seleccionadas al azar, en cada uno de los distritos, resultando las proporciones 20% y 18% respectivamente. Si de los datos muéstrales se infiere que p¡ - p 2 e [-0.0162, 0.0562], ¿qué nivel de confianza Se Utilizó?. Datos p1

0.2

q1

0.8

n1

900

p2

0.18

q2

0.82

n2

900 Encontrando el nivel de confianza de la diferencia de proporciones

𝑝1 − 𝑝2 − 𝑍𝑜

𝑝1 𝑞1 𝑝2 𝑞2 𝑝1 𝑞1 𝑝2 𝑞2 + ≤ 𝑝1 − 𝑝2 ≤ 𝑝1 − 𝑝2 + 𝑍𝑜 + 𝑛1 𝑛2 𝑛1 𝑛2

Calculando el error de estimación puntual 𝑝1 − 𝑝2 − 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 ≤ 𝑝1 − 𝑝2 ≤ 𝑝1 − 𝑝2 + 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 =

𝑝1 − 𝑝2 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟

0.0200 0.0362

Por definición de error en una diferencia de proporciones

𝑍𝑜

𝑝1 𝑞1 𝑝2 𝑞2 + = 0.0362 𝑛1 𝑛2 Zo

1.958108081

Luego hallando la funcion Normal de Zo

0.97489133

Luego por como sabemos 𝑃 𝑍≤𝑍

1+𝛾

0 97489133

−0.0162 ≤ 𝑝1 − 𝑝2 ≤0.0562

𝑃 𝑍 ≤ 𝑍𝑜 = 𝛾= 𝛾≈

1+𝛾 = 0.97489133 2 0.949782668 % 0.95 %

Por lo tanto el nivel de confianza con la que se trabajo es al 95%

0.0562

Se escoge una muestra aleatoria de 13 tiendas y se encuentra que las ventas de la semana de un determinado producto de consumo popular tiene una desviación estándar s = $6. Se supone que las ventas del producto tienen una distribución normal. Estimar a) la varianza y b) la desviación estándar poblacional mediante un intervalo de confianza del 95%. Solución de Item "a)" Estimando la varianza en un intervalo al 95% (𝑛 − 1)𝑆 2 (𝑛 − 1)𝑆 2 2 ≤ 𝛿 ≤ 2 2 𝑋1−𝛼/2 𝑋𝛼/2 18.5116432

≤ 𝛿2 ≤

98.097354

Estimación de la varianza

Solución de Item "b)" Estimando la deviación estandar en un intervalo al 95% (𝑛 − 1)𝑆 2 ≤𝛿≤ 2 𝑋1−𝛼/2 4.30251591

≤𝛿≤

(𝑛 − 1)𝑆 2 2 𝑋𝛼/2 9.90441083

Estimacion desv. Estandar

timación de la varianza

timacion desv. Estandar