ESTAD

Universidad Los Ángeles de Chimbote ESTADÍSTICA APLICADA

LECTURA 11: PRUEBA DE HIPÓTESIS PRUEBA DE HIPÒTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL USANDO LA ESTADÌSTICAT CASO II: Uso de la estadística t. La muestra es pequeña (n< 30), varianza poblacional desconocida (s2 @ s 2 ) y población normal. 1. Formulación de hipótesis estadística: a) HO:   o

b) HO:   o

H1:  < o

c) HO:  = o

H1:  > o

H1:   o

2. Nivel de significancia:  3. Estadística de prueba: t

x  0 s/

n

 t n 1

Donde: (n-1) son los grados de libertad. 4. Establecimiento de los criterios de decisión:  Prueba de cola izquierda :

1- 

-t1-α, n-1 R.R..

0

R.A. R.A.: tK > - t1- , n-1, se acepta HO. R.R.: tK < - t1- , n-1, se rechaza HO.

___________________________________________________________________________ Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R. Fecha : Diciembre 2014 Versión :3

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

Prueba de cola derecha:

1- 

 t1-, n-1

0

R.R

R.A

R.A.: tk < t1-, n-1, se acepta Ho. R.R.: tk > t1-, n-1, se rechaza Ho.



Prueba bilateral :

1-

/2

/2

- t1-a / 2,n -1

t1-a / 2, n -1

0

R.R.

R.A.

R.R.

R.A.: t1 - /2, n-1 < tk < t1 - /2, n-1 , se acepta HO . R.R.: tk < - t1 - /2, n-1

5.

o

tk > t1 - /2, n-1 , se rechaza HO.

Cálculos:

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tk 

6.

x  0 s/ n

Decisión: Se compara el valor experimental con el valor crítico Si t k  RA. , aceptamos Ho. Si t k  R.R. , rechazamos Ho.

NOTA: Si se tiene una población finita de tamaño N se corrige la estadística de prueba. Así: tk 

x  0 s n

Nn N 1

Ejemplo 1: En una ciudad se quiere hacer un estudio rápido para valorar el consumo de agua en los domicilios particulares durante los meses de mayor sequía. Para ello se seleccionaron al azar 15 domicilios y se midieron sus consumos en metros cúbicos durante el mes de agosto y su obtuvo un consumo medio muestral de x  18.7 m 3 y una desviación estándar muestral de s  6 m 3 . Se sabe además que el consumo de agua se distribuye normalmente. En vista de estos datos. ¿Hay suficiente evidencia estadística al nivel de 0.05, a favor de la hipótesis de que el consumo medio de los particulares durante el mes de agosto es mayor que 18 m 3? Solución: 1.

Formulación de la hipótesis: H0 :  = 18 H1 :  > 18

2.

Nivel de significancia:  = 0.05

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3.

Estadística de prueba: Análisis: ● n=15 (n 1.761, se rechaza HO.

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5.

Cálculos:

tk = 6.

x - m 0 18.7 - 18 = = 0.45 s/ n 6 / 15

Decisión: tk=0.45 < 1.761, entonces aceptamos H o. El consumo medio de agua de los particulares en el mes de agosto no es mayor de 18m 3.

Ejemplo 2: Una Marca discográfica preocupada por el creciente desarrollo de los Vendedores informales de mùsica en CD emprende una investigación sobre esta variante de la Economía informal, la Gerencia cree que mantienen una venta media de 50 CD`s en un fin de semana. Para realizar la investigación se entrevistaron 20 vendedores desplegados en la Av. Abancay de la Ciudad de Lima, registrando el siguiente resultado: Ventas de CD's (copias): 55

51

50

51

71

65

60

55

50

50

59

50

77

76

53

57

66

72

46

47

¿Que tan cierta es la sospecha de la Gerencia, a un nivel de significancia del 5%? Solución: Caso II 1. Formulación de Hipótesis : H0 :  = 50 H1 :   50 2. Nivel de significancia :  = 0.05 3. Estadística de prueba : Análisis: x = 58.55 ●

n=20 (n 2.093, se acepta HO.

5. Cálculos :

tk =

x - m0 58.55 - 50 ® = 3.97 s/ n 9.64 / 20

6. Decisión:

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tk = 3.97  R.R., por lo tanto se rechaza H o. No es cierta la sospecha del gerente, la venta media de CDs en el mercado informal es mayor. Ejemplo 3: Para determinar el rendimiento anual de ciertos valores, un grupo de inversionistas tomó una muestra de n =10 de esta clase de valores. La media y desviación estándar resultaron: x = 8.4% y s = 0.1% . Se sabe además que el rendimiento sigue una distribución normal ¿Existe evidencia para decir que el verdadero rendimiento anual promedio es igual o mayor 8.5%? con α= 0.1? Solución: 1. Formulación de la hipótesis: H0 :  ≥ 8.5 H1 :  < 8.5 2.

Nivel de significancia :  = 0.1

3.

Estadística de prueba: Análisis: x = 8.4 ● n=10 s = 0.1 (n 1.895, se rechaza HO.

5. Cálculos:

tk 

x   0 3.72  3.5   0.5 s/ n 1.25 / 8

6. Decisión: tk=0.5 < 1.895, entonces aceptamos Ho. La cantidad de desgaste es de =3.5 ___________________________________________________________________________ Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R. Fecha : Diciembre 2014 Versión :3

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Ejemplo 5: Cuando funciona correctamente, un proceso produce frascos cuyo contenido pesa, en promedio, 200 gramos. Una muestra aleatoria de nueve frascos de una remesa presentó los siguientes pesos en gramos para el contenido: 214, 197, 197, 206, 208, 201, 197, 203, 209. Asumiendo que la distribución de la población es normal, contrastar al nivel del 5%, la hipótesis nula de que el proceso esta funcionando correctamente. Solución: Caso II 1. Formulación de Hipótesis : H0 :  = 200 H1 :   200 2. Nivel de significancia :  = 0.05 3. Estadística de prueba : t=

x - m0 ® t n -1 s/ n

Donde n = 9, entonces : t ® t8

Donde el valor tabular está dado por:

t1-a / 2, n -1 = t 0.975, 8 = 2.306

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4. Establecimiento de los criterios de decisión:

1-  =0.95

=0.025 -2.306

0

R.R

R.A

=0.025 2.306 R.R

R.A.: tk  [-2.306, 2.306], se acepta HO. R.R.: tk < -2.306 o tk > 2.306, se acepta HO.

5. Cálculos :

tk 

x  0 203.56  200 3.56    1.75 2.04 s/ n 6.13 / 9

6. Decisión: tk = 1.75  R.A., por lo tanto se acepta H o. Lo cual quiere decir que el proceso está funcionando correctamente.

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