ESTADÍSTICA

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Índice

Unidad I: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

7.

8.

9. 10. 11.

Introducción ................................................................................................. 1 Variables discretas y continuas ....................................................................... 4 Redondeo de datos........................................................................................ 4 Cifras significativas ........................................................................................ 4 Funciones ..................................................................................................... 6 Distribución de frecuencias - proceso de tabulación de la información ................ 7 6.1. La representación de los datos: frecuencias .......................................... 9 6.2. Tabla de distribución de frecuencias ................................................... 13 6.3. Representaciones gráficas de la distribución de frecuencias .................. 15 6.4. Histogramas de frecuencias ............................................................... 16 6.5. Polígono de frecuencias ..................................................................... 16 6.6. Ojivas .............................................................................................. 17 Medidas de tendencia central ....................................................................... 19 7.1. La media aritmética........................................................................... 20 7.2. La mediana ...................................................................................... 22 7.3. La moda........................................................................................... 25 7.4. Cuartiles poblacionales y muestrales ................................................... 26 7.5. Percentiles poblacionales y muestrales ................................................ 26 Medidas de dispersión.................................................................................. 28 8.1. Rango .............................................................................................. 28 8.2. Desviación media .............................................................................. 29 8.3. Varianza y desviación estándar .......................................................... 32 8.4. Coeficiente de variación (PEARSON) ................................................... 34 Errores ....................................................................................................... 37 9.1. Clasificación de errores ...................................................................... 37 9.2. Cuantificación de los errores .............................................................. 40 Rechazo de un resultado (valores atípicos, outliners) ...................................... 41 10.1. Prueba de la Q.................................................................................. 41 10.2. Prueba de GRUBBS ........................................................................... 43 Regresión lineal simple. Análisis de regresión ................................................ 44 11.1. Cálculo de las líneas de ajuste y sus ecuaciones. ................................. 45 11.2. Coeficiente de correlación lineal de PEARSON. ..................................... 48

Unidad II: 1. 2. 3.

HERRAMIENTAS ESTADÍSTICAS DE CONTROL

TEORÍA Y APLICACIONES DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Introducción ............................................................................................... 57 Distribución de probabilidad continua ............................................................ 59 Modelos de distribución de probabilidad de variables continuas ....................... 69 3.1. La distribución normal ....................................................................... 72

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Unidad III: ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA Y PRUEBA DE HIPÓTESIS 1. 2. 3. 4.

Estimación estadística .................................................................................. 75 Métodos para la estimación de parámetros .................................................... 79 2.1 Estimación de un parámetro ............................................................... 80 2.2 Estimación por intervalos de confianza ................................................ 83 Prueba de una hipótesis acerca de un parámetro ............................................ 99 Pruebas de significatividad .......................................................................... 106 4.1 Prueba de la F................................................................................. 106 4.2 Prueba de la t de student ................................................................. 107

Unidad IV: 1.

2. 3. 4.

DISEÑO DE EXPERIMENTOS

Evaluación de consistencia de datos ............................................................ 113 1.1 Condiciones de repetibilidad ............................................................. 115 1.2 Condiciones de reproductibilidad....................................................... 115 1.3 Técnica gráfica de consistencias ....................................................... 116 1.4 Técnica numérica para valores atípicos (Prueba de COCHRAN) ............ 117 1.5 Estimación de la precisión ................................................................ 118 Análisis de varianza. ANOVA ...................................................................... 119 Gráfico de control ...................................................................................... 123 3.1 Gráficos de control de shewhart ....................................................... 124 Introducción al diseño estadístico de experimentos ....................................... 132 4.1 Comprender el problema y definir claramente el objetivo. ................... 137 4.2 Identificar los factores y el dominio experimental de interés. ............... 138 4.3 Planificar la experimentación. Elección del diseño experimental ........... 139 4.4 Realización de la experimentación..................................................... 141 4.5 Interpretar los resultados. ................................................................ 141

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UNIDAD I HERRAMIENTAS ESTADÍSTICAS DE CONTROL

1.

INTRODUCCIÓN La estadística es una ciencia matemática que se refiere a la colección, estudio e interpretación de los datos obtenidos en un estudio. Es aplicable a una amplia variedad de disciplinas, desde la física hasta las ciencias sociales y es usada en la toma de decisiones en áreas de negocios e instituciones gubernamentales. La Estadística se divide en dos ramas:  La estadística descriptiva, que se dedica a los métodos de recolección, descripción, visualización y resumen de datos originados a partir de los fenómenos en estudio. Los datos pueden ser resumidos numérica o gráficamente. Ejemplos básicos de descriptores numéricos son la media y la desviación estándar. Resúmenes gráficos incluyen varios tipos de figuras y gráficos.  La inferencia estadística, que se dedica a la generación de los modelos, inferencias y predicciones asociadas a los fenómenos en cuestión teniendo en cuenta lo aleatorio e incertidumbre en las observaciones. Se usa para modelar patrones en los datos y extraer inferencias acerca de la población de estudio. Estas inferencias pueden tomar la forma de repuestas a preguntas si/no (prueba de hipótesis), estimaciones de características numéricas (estimación, pronósticos de futuras observaciones, descripciones de asociación (correlación) o modelamiento de relaciones entre variables (análisis de regresión). Otras técnicas de modelamiento incluyen ANOVA, series de tiempo y minería de datos. Ambas ramas (descriptiva e inferencial) comprenden la estadística aplicada. Hay también una disciplina llamada estadística matemática, la cual se refiere a las bases teóricas de la materia. La palabra estadísticas también se refiere al resultado de aplicar un algoritmo estadístico a un conjunto de datos, como en estadísticas económicas, estadísticas criminales, etc. Al aplicar estadística a un problema científico, industrial o social, se comienza con un proceso o población a ser estudiado. Esta puede ser una población de personas en un país, de granos cristalizados en una roca o de bienes manufacturados por una fábrica en particular durante un periodo dado. También podría ser un proceso observado en varios instantes y los datos recogidos de esta manera constituyen una serie de tiempo.

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Por razones prácticas, en lugar de compilar datos de una población entera, usualmente se estudia un subconjunto seleccionado de la población, llamado muestra. Datos acerca de la muestra son recogidos de manera observacional o experimental. Los datos son entonces analizados estadísticamente lo cual sigue dos propósitos: descripción e inferencia. El concepto de correlación es particularmente valioso. Análisis estadísticos de un conjunto de datos puede revelar que dos variables (esto es, dos propiedades de la población bajo consideración) tiende a variar conjuntamente, como hubiera una conexión entre ellas. Por ejemplo un estudio del ingreso anual y la edad de muerte entre personas podrían resultar en que personas pobres tienden a tener vidas mas cortas que personas de mayor ingreso. Las dos variables se dicen a ser correlacionadas. Sin embargo, no se pude inferir inmediatamente la existencia de una relación de causalidad entre las dos variables; ver correlación no implica causalidad. El fenómeno correlacionado podría ser la causa de un tercero, previamente no considerado, llamado variable confundida. Si la muestra es representativa de la población, inferencias y conclusiones hechas en la muestra pueden ser extendidas a la población completa. Un problema mayor es el de determinar que tan representativa es la muestra extraída. La estadística ofrece medidas para estimar y corregir por aleatoriedad en la muestra y en el proceso de recolección de los datos, así como métodos para diseñar experimentos robustos como primera medida, ver diseño experimental. El concepto matemático fundamental empleado para entender la aleatoriedad es el de probabilidad. La estadística matemática (también llamada teoría estadística) es la rama de las matemáticas aplicadas que usa la teoría de probabilidades y el análisis matemático para examinar las bases teóricas de la estadística. El uso de cualquier método estadístico es valido solo cuando el sistema o población bajo consideración satisface los supuestos matemáticos del método. Mal uso de la estadística puede producir serios errores en la descripción e interpretación — afectando las políticas sociales, la practica médica y la calidad de estructuras tales como puentes y plantas de reacción nuclear. Incluso cuando la estadística es correctamente aplicada, los resultados pueden ser difícilmente interpretados por un no experto. Por ejemplo, la significancia estadística de una tendencia en los datos, la cual mide que tanto la tendencia puede ser causada por una variación aleatoria en la muestra. El conjunto de habilidades estadísticas básicas (y el escepticismo) que una persona necesita para manejar información en el día a día se refiere como cultura estadística. Métodos estadísticos Estudios experimentales y observacionales Un objetivo común para un proyecto de investigación estadística es investigar la causalidad, y en particular extraer una conclusión en el efecto que algunos cambios en los valores de predictores o variables independientes tienen sobre una respuesta o variables dependientes. Hay dos grandes tipos de estudios estadísticos para estudiar causalidad: estudios experimentales y observacionales.

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En ambos tipos de estudios, el efecto de las diferencias de una variable independiente (o variables) en el comportamiento de una variable dependiente es observado. La diferencia entre los dos tipos es la forma en que el estudio es conducido. Cada uno de ellos puede ser muy efectivo. Un estudio experimental envuelve el tomar mediciones del sistema bajo estudio, manipular el sistema y luego tomar mediciones adicionales usando el mismo procedimiento para determinar si la manipulación ha modificado los valores de las mediciones. En contraste, un estudio observacional no necesita manipulación experimental. Por el contrario, los datos son recogidos y las correlaciones entre predictores y la respuesta son investigadas. Un ejemplo de un estudio experimental es el famoso estudio de Hawthorne el cual pretendía probar cambios en el ambiente de trabajo en la planta Hawthorne de la Western Electric Company. Los investigadores estaban interesados en si al incrementar la iluminación en un ambiente de trabajo, la producción de los trabajadores aumentaba. Los investigadores primero midieron la productividad de la planta y luego modificaron la iluminación en un área de la planta para ver si cambios en la iluminación afectarían la productividad. La productividad mejoro bajo todas las condiciones experimentales (ver estudio de Hawthorne). Sin embargo, el estudio fue muy criticado por errores en los procedimientos experimentales, específicamente la falta de un grupo control y ciegamiento. Un ejemplo de un estudio observacional es un estudio que explora la correlación entre fumar y el cáncer de pulmón. Este tipo de estudio normalmente usa una encuesta para recoger observaciones acerca del área de interés y luego produce un análisis estadístico. En este caso, los investigadores recogerían observaciones de fumadores y no fumadores y luego mirarían los casos de cáncer de pulmón en ambos grupos. Los pasos básicos para un experimento son:  Planeamiento estadístico de la investigación, lo cual incluye encontrar fuentes de información, selección de material disponible en el área y consideraciones éticas para la investigación y el método propuesto. Se plantea un problema de estudio.  Diseñar el experimento concentrándose en el modelo y la interacción entre variables independientes y dependientes. Se realiza un muestreo consistente en la recolección de datos referentes al fenómeno o variable que deseamos estudiar. Se propone un modelo de probabilidad, cuyos parámetros se estiman mediante estadísticos a partir de los datos de muestreo. Sin embargo, se mantiene lo que se denominan "hipótesis sostenidas" (que no son sometidas a comprobación) Se valida el modelo comparándolo con lo que sucede en la realidad. Se utiliza métodos estadísticos conocidos como test de hipótesis y prueba de significación.  Se producen estadísticas descriptivas.  Inferencia estadística. Se llega a un consenso acerca de que dicen las observaciones acerca del mundo que observamos.  Se utiliza el modelo validado para tomar decisiones o predecir acontecimientos futuros. Se produce un reporte final con los resultados del estudio.

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VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS Una variable es un símbolo, tal como x, h o b, que puede tomar un valor cualquiera de un conjunto determinado de ellos, llamado dominio de las variables. Si la variable que teóricamente puede tomar cualquier valor entre dos valores dados se llama variable continua, si no es así, se llama variable discreta. Ejemplo: En una familia el número N de hijos puede tomar cualquiera de los valores 0; 1; 2; 3;...; pero no puede ser 2,5 ó 3,84; por lo tanto N es una variable de tipo discreta. Ejemplo: La altura H de un individuo puede ser 1,50m, 1,52m ó 1,483m; dependiendo de la exactitud de la medida, en este caso H es una variable continua.

3.

REDONDEO DE DATOS Es una técnica que permite, ver o manejar una cifra con una determinada cantidad de números diferentes de cero.     

72,8 redondeo al entero más próximo es 73. 72,8146 redondeando a dos decimales será 72,81. 72,465 redondeando a dos decimales será 72,46. 183,575 se redondea a 183,58. 116500000 redondeando con aproximación a millones será de 116000000.

Esta práctica es especialmente útil al minimizar la acumulación de errores de redondeo cuando se abarca un número grande de operaciones. Notación sistemática:  864000000 = 8,64 x 108  0,00003416 = 3,1416 x 10-5  (4000000)(0,00000000002) = (4 x 106)(2 x 10-10) = 8 x 10-4 0,00680000  6  10 3 8  10 4  48  101  12  10 3  0,04 4  10  2 4  10  2



4.





CIFRAS SIGNIFICATIVAS El eslabón más débil en la cadena de cualquier análisis está determinado por la medición que se efectúe con la menor exactitud. No vale la pena esforzarse en efectuar otras mediciones del análisis con mayor exactitud que esta medición limitante. El número de cifras significativas puede definirse como el número de dígitos necesarios para explicar los resultados de una medición conforme a la precisión medida.

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Cada dígito representa la cantidad real que especifica. Por ejemplo en el número 237 se tiene dos centenas, tres decenas y siete unidades. El dígito cero puede ser parte significativa de la medición o usarse simplemente para señalar el punto decimal. El número de cifras significativas en una medición es independiente del lugar que ocupa el punto decimal. Por ejemplo, considérese el número 92,067. Este número tiene cinco cifras significativas, sin importar el sitio en que se coloque el punto decimal; por ejemplo 92,067 micrómetros, 9,2067 cm., 0,92067 decímetros y 0,092067 metros tienen todos los mismos números de cifras significativas. Representan simplemente las distintas maneras (unidades) de expresar una medición. En el último número, el cero entre el punto decimal y el 9, se emplean tan sólo para indicar el lugar del punto decimal. No existe duda con respecto a que cualquier cero que se encuentre después del punto decimal es significativo, o que se usa para indicar el lugar del punto decimal. En el número 727,0 el cero no se emplea para indicar el lugar del punto decimal, pero forma parte significativa del número. Puede haber ambigüedad cuando el cero se encuentra otros dos números enteros distintos de cero; por ejemplo en el caso de 92,067. El número 936,600; es imposible determinar si uno, ambos o ninguno de los ceros se emplean para indicar el lugar del punto decimal o si son parte de la medición. En estos casos es mejor escribir únicamente las cifras significativas de las cuales se tiene certeza y después localizar el punto decimal por una expresión de 10 elevado a la potencia correspondiente. Son cifras significativas los dígitos necesarios para expresar los resultados de una medición con la precisión con que se hizo. No se tienen en cuenta, el número de ceros para situar el punto decimal. Ejemplo:    

65,4 tiene 3 cifras significativas. 4,5300 tiene 5 cifras significativas. 0,00018 = 1,8 x 10-3 tiene 2 cifras significativas. 6,02 x 1023 tiene 3 cifras significativas.

Los números relacionados con enumeraciones o conteo, tan opuestos a medidas, son naturalmente exactos y tienen un ilimitado número de cifras significativas. No obstante, en algunos de estos casos puede ser difícil decidir que cifras son significativas, sin una más detallada información. Por ejemplo, el número186000000 puede tener 3; 4;...9; cifras significativas. Pero si se sabe que tiene cifras significativas sería preferible registrar el número como 186,00 millones o como 1,86x108.

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Cálculos con cifras significativas Adición y substracción En cálculos de sumas o restas de números, el resultado final no tiene más cifras significativas después del lugar decimal que las de los datos con menor número de ellas después del punto decimal. Ejemplo: Peso del frasco más las muestras Peso del frasco sólo Peso de las muestras

11,2169 g. 10,8114 g. 0,04055 g.

Ejemplo: Peso del frasco más las muestras Peso del frasco sólo Peso de las muestras

11,2169 g. 10,81 g. 0,04069 g.

El peso correcto de la muestra no es de 0,4069g. Sino de 0,41g.  3,16 + 2,7 = 5,9  83,42 – 72 = 11  47, 816 – 25 =22,816; si es exacto Multiplicación, división y extracción de raíces. En estos cálculos, el resultado final no puede tener más cifras significativas que los datos con menor número de ellas. Ejemplo:  73,24 x 4,52 = 331  1,684 / 0,023 = 72 38,7  6,22   8,416 x 50 = 420,8; si 50 es exacto. 5.

FUNCIONES Si cada valor que la variable x pueda tomar le corresponde un único valor de la otra variable y, decimos que y es función de x y escribimos y=f(x), y se lee: y es igual a f de x.

X es la variable independiente Y es la variable dependiente Ejemplo: La población total P del Perú es una función del tiempo t, y escribimos p=f(t). La tensión s de un muelle es función del peso w colocado al final del muelle, así: s=f(w). 6

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Si y=f(x), se acostumbra por ejemplo, a colocar f(3), cuando para calcular y, la variable x toma el valor 3. Si y = f(x) = x2 y f(3), luego y = 32 = 9 Coordenadas rectangulares Representaciones Una curva es una representación gráfica de la relación entre variables. Ejemplo: Gráficos de barras, histogramas, poligonales, etc. 6.

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS - PROCESO DE TABULACIÓN DE LA INFORMACIÓN Planteamiento teórico-conceptual Luego que producto de la observación estadística se captaron los datos y atributos del fenómeno-objeto de estudio, se hace necesario proceder a tabular esta información con el objetivo de conocer estadísticamente el fenómeno. A este proceso de tabulación de la información se la llama distribución de frecuencias, y lo definiremos como un método para organizar y resumir datos en una tabla estadística. Para una mejor comprensión del tema es necesario adoptar las siguientes concepciones teóricas: Es obvio que todo estudio estadístico ha de estar referido a un conjunto o colección de personas o cosas. Este conjunto de personas o casas es lo que denominaremos población. Que se entiende como un conjunto de medidas cuando éstas provienen de una característica cuantitativa, o como el recuento de todas las unidades que presentan una característica común, siendo esta cualitativa. También se puede definir a la población como un conjunto de elementos o unidades. Las personas o cosas que forman parte de la población se denominan elementos. En sentido estadístico un elemento puede ser algo con existencia real (tangible y observable), como un automóvil o una casa, o algo más abstracto como la temperatura, un voto, o un intervalo de tiempo. A su vez cada elemento de la población tiene una serie de característica que puede ser objeto del estudio estadístico. Así por ejemplo, si consideramos como elemento a una persona, podemos distinguir en ella los siguientes caracteres: Sexo, edad, nivel de estudios, profesión, peso, altura, color de cabellos, etc. Luego por tanto de cada elemento de la población podremos estudiar uno o más aspectos cualidades o caracteres. La población puede ser según su tamaño de dos tipos:

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 Población finita: cuando el número de elementos es finito, por ejemplo el número de estudiantes de la Universidad de Panamá, o de una facultad o especialidad.  Población infinita: cuando el número de elementos es infinito, o tan grande que pudiese considerarse infinitos. Como por ejemplo si se realizase un estudio sobre los productos disponibles en el mercado, hay tantos y de tantas cualidades y precios que esta población podría considerarse infinita. Cuando se toman todas las unidades o elementos de la población, se habla de una investigación exhaustiva o censo. Si sólo se investiga una parte, se le considera como investigación parcial o muestra. Ahora bien, normalmente en un estudio estadístico, no se puede trabajar con todos los elementos de la población sino que se realiza sobre un subconjunto de la misma. Este subconjunto puede ser una muestra, cuando se toman un determinado número de elementos de la población, sin que en principio tengan nada en común; o una subpoblación, que es el conjunto de la población formada por todos los elementos de la población que comparten una determinada característica, por ejemplo de los valores de pH y la subpoblación formada por los valores menores de 7. La muestra para que sea representativa de la población, requiere que las unidades o elementos sean seleccionadas al azar, en tal forma que cada una de ellas tenga la misma posibilidad de ser seleccionada. Para los símbolos utilizados en poblaciones se usan letras mayúsculas o griegas, en cambio para las muestras, se emplean letras minúsculas. Tipos de variables Los tipos de variables fundamentales, por lo menos para este tema, serán los siguientes: a. Variables Cuantitativas o Cardinales: susceptibles de medición cuantitativa; o sea son las que se describen por medio de números y las que a su vez comprenden: 1. Variable Cuantitativa Discretas: son aquellas cuyo conjunto de valores es a lo sumo numerable. Sus valores pueden representarse siempre por X1, X2, … , Xn.; y sólo se pueden asociar a un número entero, es decir, aquellas que por su naturaleza no admiten un fraccionamiento de la unidad Ejemplos:  

Número de hijos en el hogar Páginas de un libro

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2. Variable Cuantitativa Continua: son aquellas que pueden tomar todos los valores de un intervalo de números reales, o sea que no se pueden expresar mediante un número entero, es decir, aquellas que por su naturaleza admiten que entre dos valores cualquiera la variable puede tomar cualquier valor intermedio. Ejemplos:    

Variable temperatura en grados Celsius intervalos). Variable longitud en cm. (escala de razón). Variable peso. Variable tiempo

(escala

de

b. Variables Cualitativas (Atributos) u Ordinales: susceptibles de ordenación, pero no de medición cuantitativa, reflejan generalmente los atributos del fenómeno. Los atributos son aquellos caracteres que para su definición precisan de palabras, es decir, no le podemos asignar un número, y a su vez las podemos clasificar en: 

Ordenables: aquellas que sugieren una ordenación, por ejemplo la graduación militar, el nivel de estudios, etc.



No Ordenables: aquellas que sólo admiten un ordenamiento alfabético, pero no establece orden por su naturaleza, por ejemplo el color del cabello, sexo, estado civil, etc.

Nota: no obstante en muchos casos el tratamiento estadístico hace que a variables discretas las trabajemos como si fuesen continua y viceversa (por ejemplo la edad de las personas –variable continua- se trabaja en años cumplidos – variable discreta-. En otros casos las variables cualitativas (atributos) se trabajan como variables cuantitativas, por ejemplo en los concursos de belleza se recurre a un sistema de calificación por puntos. 6.1.

LA REPRESENTACIÓN DE LOS DATOS: FRECUENCIAS Cuando se reúne gran cantidad de datos primarios es útil distribuirlos en clases y categorías y determinar las frecuencias de las clases, o sea, el número de elementos que pertenecen a una clase. El ordenamiento tabular de los datos por clases conjuntamente con las frecuencias de clases se denomina distribución de frecuencias El caso que se describe a continuación, variables discretas se denomina distribución por conteo de valores individuales. Supongamos que un determinado colectivo, representado por la variable estadística Xi, que para mayor sencillez consideraremos como unidimensional; sean los datos de esta variable (representativo cada uno de ellos de un suceso) X1, X2, … , Xn (supuesto que sean n los valores de la variable considerada.). 9

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Definiremos como frecuencia de un dato el número de veces que este aparece en el colectivo; consecuentemente, si una variable estadística toma r valores, cada uno de los cuales puede repetirse un cierto número de veces, podríamos decir que el número de datos representado por la variable serían N, siendo N la suma de las respectivas frecuencias de cada dato (N=ΣXi). Este valor N será denominado como frecuencia total, mientras que la frecuencia de cada dato recibirá el nombre de frecuencia absoluta o simplemente frecuencia (fi). La frecuencia absoluta nos habla del número de veces que un dato aparece en un colectivo, más ello no nos dice demasiado en orden al establecimiento de comparaciones sobre la importancia de este dato. Para obtener una idea de la importancia que un dato posee en el seno de un colectivo, puesto que no es suficiente concepto de frecuencia, se utiliza el concepto frecuencia relativa, que se definirá como: el coeficiente entre la frecuencia absoluta del dato considerado y la frecuencia total (fr=fi/ΣXi). Para efectos prácticos, asumiremos las siguientes definiciones de frecuencias: 

Frecuencias absolutas: es el número de veces que aparece en la muestra dicho valor de la variable y se representa por fi.



Frecuencias relativas: es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra. La denotaremos por fri



Frecuencias absoluta acumulada: para poder calcular este tipo de frecuencias hay que tener en cuenta que la variable estadística ha de ser cuantitativa o cualitativa ordenable. En otro caso no tiene mucho sentido el cálculo de esta frecuencia. La frecuencia absoluta acumulada de un valor de la variable, es el número de veces que ha aparecido en la muestra un valor menor o igual que el de la variable y lo representaremos por fa, se puede acumular, en la tabla estadística) en orden ascendente (fa↑) o descendente (fa↓).



Frecuencia relativa acumulada: al igual que en el caso anterior se calcula como el cociente entre la frecuencia absoluta acumulada dividido por el tamaño de la muestra (N) y la denotaremos por fra.

Resumiendo lo expuesto, si Xi es un valor de la variable, podemos representar por fi a su frecuencia y por fi/ΣXi a su frecuencia relativa (siendo ΣXi=N o la frecuencia total). Para el conjunto de los valores de la variable Xi tendríamos, así la tabla #1, compresiva de la información sobre dicha variable, a través de las respectivas frecuencias:

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Tabla 1: Variables Discretas Valores de la variable Xi (datos) X1 X2 … … Xn

frecuencias absolutas fi f1 f2 … … fn

Frecuencias relativas fi/N f1/N f2/N … … fn/N

Donde: N=Σfi y Σfi/N=1 Otro es el caso de las clases representadas en forma de intervalos, variables continuas, llamados intervalos de clases que poseen extremos llamados limite inferior y limite superior. Un intervalo se dice que es abierto o no cerrado, por un extremo si no contiene el límite correspondiente. La longitud, tamaño o amplitud de un intervalo de clases (C) es la diferencia entre los limites superior e inferior (C=lim sup – lim inf). El Recorrido (R) es la diferencia entre el dato mayor y el menor del conjunto da datos en estudio (R=Xn – X1) En el caso de variables continuas será necesario fijar intervalos de frecuencias para llegar a un resumen efectivo de la información original. A menudo es necesario representar una clase, o más particularmente, un intervalo por un único valor, este representará a todo el intervalo y se denominará marca de clases. Matemáticamente el punto medio de cada intervalo corresponde a lo que denominamos marca de clase, se denotará por Xi, y constituirá el valor representativo de cada intervalo. El número de observaciones que correspondan a cada intervalo se denominará frecuencias absolutas. Tabla 2: Variables Continuas Intervalos (C) X1-X2 X2-X3 … … Xn-1-Xn

Marcas de Clases Xi X1 X2 … … Xn

Frecuencias Absolutas fi f1 f2 … … fn

X’ – X” Xi = ------------- = Marca de clases 2 N = Σfi = Número de observaciones C = X’ – X” = Amplitud del intervalo

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Donde Por último, en el caso de variables no mensurables, dicha tabla adoptará una forma como la siguiente: Tabla 3: Variable Ordinales Variable Característica A Característica B … … Característica Z

Frecuencias fA fB … … fZ

Reglas Generales para construir las distribuciones de frecuencias por intervalos 1. Efectuar el arreglo ordenado (Ascendente o Descendente) de la población o muestra A = ( X1, X2, … , Xn ). 2. Obtener la frecuencia absoluta mediante la tabulación o conteo de los datos (homogenizar los datos). 3. Encontrar el rango o recorrido (R) de los datos: R = (valor mayor – valor menor) = Xn – X1. 4. Encontrar el número de clases o intervalos de clases (K). El número de clases debe ser tal que se evite el detalle innecesario, pero que no conduzca a la perdida de más información de la que puede ser convenientemente ignorada. Para este cálculo se utiliza la formula de Sturges K = 1 + 3.322 (log. N). 5. Determinar la amplitud de la clase (C): R C =--K Nota: el resultado siempre se aproxima al siguiente entero si excede al número entero obtenido, no importa el monto de la fracción excedida al entero. C = se lee “se aproxima a…” 6. El dato menor (X1) será el limite inferior de la primera clase. A él se le suma C y se obtiene el límite superior de la primera clase que también será el límite inferior de la segunda clase. Luego se suma nuevamente C y se obtiene el límite superior del segundo intervalo e inferior del tercero. Y así sucesivamente hasta que el limite superior corresponda o supere ligeramente el valor mayor (Xn), la cantidad de 12

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clases obtenidas deberá corresponder con el número K calculado mediante la formula de Sturges. 7. Una vez construidos los intervalos se calculan, mediante tabulación de acuerdo a los límites inferiores y superiores de las clases, las frecuencias absolutas, relativasp, orcentuales y acumulados correspondientes. 8. Con los datos obtenidos se procede a construir la tabla de distribución de frecuencia. 6.2.

TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Una de los primeros pasos que se realizan en cualquier estudio estadístico es la tabulación de resultados, es decir, recoger la información de la muestra resumida en una tabla, que denominaremos distribución de frecuencias, en la que cada valor de la variable se le asocian determinados números que representan el número de veces que ha aparecido, su proporción con respecto a otros valores de la variable, etc. Por tanto, llamaremos distribución de frecuencias a un agrupamiento de datos en clases acompañada de sus frecuencias: frecuencias absolutas, frecuencias relativa o frecuencia porcentuales. En caso de que las variables estén al menos en escala ordinal aparecen opcionalmente las frecuencias acumuladas absolutas, y frecuencias acumuladas porcentuales. Las distribuciones de frecuencias varían en dependencia si corresponden a una variable discreta o a una variable continua. Ejemplo 1: Variable Continua Laboratorio de TECSUP estaba interesado en efectuar un análisis de sus valores. Uno de los factores que más interesaba a la administración era el de los pesos. Se escogió al azar una muestra aleatoria de 30 valores y se anotó como sigue: 77.97 43.66 32.67

13.02 17.97 89.19 12.18 8.15 34.40 43.13 79.61 90.99 29.75 7.42 93.91 20.64 21.10 17.64 81.59 60.94 43.97 43.66 51.69 53.40 68.13 11.10 12.98 38.74 70.15 25.68

Solución: 1. Efectuar el arreglo ordenado de la población o muestra: A= (7.42, 8.15, …, …, …, 90.99, 93.91) Donde: X1 = valor mínimo = 7.42 Xn= valor máximo = 93.91 2. Encontrar el rengo o recorrido de los datos: ―R‖ R = valor mayor – valor menor = Xn – X1 = 93.91 – 7.42 = 86.49

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3. Encontrar en número de clases ―K‖ , según la fórmula de Sturges: K=1+3.322(log N) Nota: en el ejemplo en estudio N=30 por cuanto que son 30 clientes en la muestra: K = 1 + 3.322 (log 30) = 1 + 3.322 (1.477) el log fue obtenido según calculadora = 1+ 4.9069 = 5.9069 ~ 6 aproximado al siguiente entero 4. Determinar la amplitud de la clase: ―C‖ R 86.49 C = -------- = ---------- = 14.415 K 6 Nota: obsérvese que se va a trabajar con una cifra significativa más cómoda, o sea como los datos están dados en centésimos, se calculo C hasta el milésimo para evitar que algún dato coincida con el límite de clases Clases 7.420 – 21.835 21.835 – 36.250 36.250 – 50.665 50.665 – 65.080 65.080 – 79.495 79.495 – 93.910 Total

P.M. fi fr fa↓ Xi 14.628 10 0.33 10 29.043 4 0.13 14 43.458 5 0.17 19 57.873 3 0.10 22 72.288 3 0.10 25 86.703 5 0.17 30 XXX 30 1.00 XXX

fa↑

fra↓

fra↑

30 20 16 11 8 5 XXX

0.33 0.46 0.63 0.73 0.83 1.00 XXX

1.00 0.67 0.54 0.37 0.27 0.17 XXX

Tabla 4.

Simbología utilizada: XI fi fr fa↓ fa↑ fra↓ fra↑

= Punto medio o marca de clases. = frecuencia absoluta. = frecuencia relativa. = frecuencia absoluta acumulada descendente. = frecuencia absoluta acumulada ascendente. = frecuencia relativa acumulada descendente. = frecuencia relativa acumulada ascendente.

Nota: 

Obsérvese que el límite inferior de la primera clase es el valor mínimo ( X1=7.42 ) y el límite superior es el resultado de X1+C = 7.42+14.415 = 21.835.

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6.3.

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

El límite inferior de la siguiente clase es igual al límite superior de la clase anterior y el límite superior es el resultado de adicionarle nuevamente la amplitud de la clase (C).



Obsérvese que el límite superior de la última clase es igual al valor mayor (Xn=93.91).

REPRESENTACIONES FRECUENCIAS

GRÁFICAS

DE

LA

DISTRIBUCIÓN

DE

a. Los Cuadros estadísticos: La estadística es una disciplina que nos enseña a organizar los datos recogidos para poder analizar sus características y posteriormente inferir, a partir de las muestras tomadas, las características de la población investigada. Los cuadros o tablas corresponden a arreglos sistemáticos de los datos por filas y columnas y son un buen complemento del texto en los informes El primer procedimiento estadístico consiste en tabular los datos según el tipo de escala de medición utilizada. La tabulación de los datos conlleva a representar la información a través de tablas que de forma general contiene las siguientes partes fundamentales: 1.

Numeración (siempre que se presenten dos o más cuadros). 

Título: es la descripción que precede al cuadro, la cuál deberá estar redactada en forma breve y clara, de tal manera que exprese su contenido, siguiendo el ordenamiento del mismo. Es necesario abarcar las características: Qué, Dónde, Cómo y Cuándo.



Encabezamiento: se refiere al número de atributos o variables que se quieren representar en el cuadro y se anotan como denominaciones de las columnas y subcolumnas; puede ser unidimensional, bidimensonial o multidimensional. Los títulos de las columnas van en mayúsculas y los subtítulos en minúsculas.



Cuerpo: es el conjunto de columnas y líneas que contiene el cuadro en orden vertical y horizontal, donde se colocan los datos sobre los hechos observados.



Pie: se refiere a la información adicional necesaria a saber: notas, llamadas, fuentes de información y otras. Se anotan en el espacio debajo de la línea inferior que limita el cuerpo del cuadro.

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b. Los Gráficos Estadísticos El gráfico es quizás el auxiliar más valioso y utilizado para expresar datos estadísticos, este elemento no le añade novedad a las tablas o cuadros estadísticos, es de fácil comprensión y accesible a un número mayor de usuarios. El gráfico además de expresar visualmente los hechos más importantes de la información numérica, permite una mejor y más fácil comprensión y ahorra tiempo y esfuerzo en el análisis de datos estadísticos al facilitar su apreciación visual en forma conjunta. 6.4.

HISTOGRAMAS DE FRECUENCIAS Un histograma es un gráfico que sirve para representar una distribución de frecuencias. Este gráfico está formado por un conjunto de rectángulos (caso de variables continuas) que tienen como base un eje horizontal (generalmente el eje de las abscisas o de las X), y como centro los puntos medios de las clases. Los anchos de las clases y las áreas de los rectángulos son proporcionales a las frecuencias de las clases. En el caso de las variables discretas el gráfico consiste de un conjunto de barras verticales en lugar de rectángulos, hallándose cada barra sobre la observación respectiva y con una altura proporcional a la frecuencia de la observación.

Figura 1. Histograma de frecuencias

6.5.

POLÍGONO DE FRECUENCIAS El polígono de frecuencias es un gráfico formado por líneas quebradas, que tiene los centros de las clases representadas en un eje horizontal (eje de las X) y las frecuencias de las clases en un eje vertical (eje de las Y). La frecuencia correspondiente a cada centro de clase se señala mediante un punto y luego los puntos consecutivos se unen por líneas rectas.

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Del correspondiente histograma se puede lograr el polígono de frecuencia uniendo los puntos medios de las bases superiores de cada rectángulo mediante líneas rectas.

Figura 2. Histograma y Polígono de Frecuencias

6.6.

OJIVAS Las ojivas se refieren a los gráficos que se construyen utilizando una distribución acumulativa de frecuencias, el orden de acumulación se aplica al cuadro de distribución de frecuencia y puede ser descendente (fa↓, fra↓) o ascendente (fa↑, fra↑). La figura que se forma al unir los puntos del polígono de frecuencias acumulativas es lo contrario del orden anunciado (por ejemplo si se utilizó el orden descendente en la acumulación de los datos en el cuadro, la ojiva resulta ser ascendente).

Figura 3. Frecuencias absolutas acumuladas y relativs acumuladas (Ojiva)

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Ejercicios Problema 1: Variable Continua En la siguiente tabla se presentan los pesos de 40 estudiantes de la Universidad de Panamá, con una aproximación de una libra. 138 146 168 146 161

164 164 126 173 145

150 140 138 142 135

132 147 176 147 142

144 136 163 135 150

125 148 118 153 156

149 152 154 140 145

157 144 165 135 126



Construya una tabla de distribución de frecuencias, indicando las frecuencias absolutas, relativas, absolutas acumuladas y relativas acumuladas.



Construya un histograma, un polígono de frecuencias y una ojiva de la distribución.

Problema 2: Variable Discreta Una encuesta entre un grupo de madres-solteras, para analizar los problemas económicos que enfrentan, en determinada comunidad; arrojó los siguientes resultados acerca del número de niños en el hogar. 1 1 2 3 2 

4 1 1 1 5

2 2 1 3 1

3 1 2 4 4

5 4 1 1 2

3 1 2 1 3

5 2 3 3 1

3 1 2 5 2

3 4 3 4 5

5 1 3 2 1

Construya una tabla de distribución de frecuencias y sus respectivas representaciones gráficas.

Problema 3 Una compañía de transmisiones electrónicas registro como sigue el número de recibos de servicios prestados por cada una de sus 20 sucursales en el último mes: 808 335

641 459

628 727

731 848

641 229

446 347

342 309

545 649

910 575

568 757

La compañía piensa que una tienda realmente no puede esperar alcanzar financieramente el punto de equilibrio con menos de 456 servicios prestados mensualmente. Además su política es dar un bono financiero

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al gerente que genere más de 683 servicios al mes. Disponga los datos en un arreglo e indique cuántas sucursales no están consiguiendo el punto de equilibrio y cuántas ganan el bono. Problema 4 Una agencia de viajes ofrece precios especiales en ciertas travesías por el Caribe. Planea ofrecer varios de estos paseos durante la próxima temporada invernal en el hemisferio norte y desea enviar folletos a posibles clientes. A fin de obtener el mayor provecho por cada unidad monetaria gastada en publicidad, necesita la distribución de las edades de los pasajeros de travesías anteriores. Se consideró que si participaban pocas personas de un grupo de edad en los paseos no sería económico enviar un gran número de folletos a personas de ese grupo de edad. La agencia seleccionó una muestra de 40 clientes anteriores de sus archivos y se registró sus edades, como sigue: 77 54 58 63 45

7.

18 56 58 62 66

63 36 53 62 83

84 50 62 61 63

38 50 62 61 63

54 34 43 52 58

50 44 52 60 61

59 41 53 60 71



Organice los datos en una tabla de distribución de frecuencias de las edades de los clientes en la muestra.



¿Cuál grupo de edad presenta la mayor frecuencia relativa?, ¿Cuál la menor frecuencia relativa?.



Saque conclusiones que puedan ayudar a la agencia a planear una campaña de publicidad para los paseos invernales.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Otra forma de describir datos numéricos, las medidas de tendencia central, comúnmente conocidas como promedios. Estos promedios son la media aritmética, la mediana, y la moda. ¿Que es un promedio? A menudo necesitamos un solo número para representar una serie de datos. Este único número puede ser considerado como típico de todos los datos. La palabra promedio es usada frecuentemente en nuestro lenguaje diario, normalmente nos referimos a la media aritmética, pero podría referirse a cualquiera de los promedios. Un término mas preciso que promedio es una medida de tendencia central. 19

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7.1.

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LA MEDIA ARITMÉTICA La medida de tendencia central mas ampliamente usada es la media aritmética, usualmente abreviada como media. Propiedades de la media aritmética 1. Puede ser calculada en distribuciones con escala relativa e intervalar.    

Todos los valores son incluidos en el cómputo de la media. Una serie de datos solo tiene una media. Es una medida muy útil para comparar dos o más poblaciones. Es la única medida de tendencia central donde la suma de las desviaciones de cada valor respecto a la media es igual a cero. Por lo tanto podemos considerar a la media como el punto de balance de una serie de datos.

Desventajas de la media aritmética 

Si alguno de los valores es extremadamente grande o extremadamente pequeño, la media no es el promedio apropiado para representar la serie de datos.



No se puede determinar si en una distribución de frecuencias hay intervalos de clase abiertos.

La media para datos agrupados Frecuentemente los datos estás agrupados y presentados en distribución de frecuencias. Si esto sucede es normalmente recuperar los datos crudos originales. Por consiguiente si calcular la media u otro estadístico es necesario estimarlo en distribución de frecuencias.

forma de imposible queremos base a la

La media aritmética de una muestra de datos organizados en una distribución de frecuencias se calcula de la siguiente manera:

Donde: _ X X f fX n

X = ΣfX n

simboliza la media de la muestra. es la marca de clase. es la frecuencia de clase. es la suma de los productos de f por X. es la suma de las frecuencias de clase.

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Ejemplo: Calcular la media aritmética de la siguiente distribución de frecuencia del número de meses de duración de una muestra de 40 sacos de sulfato de calcio.

duración de las sacos (meses) 15 - 19 20 - 24 25 - 29 30 - 34 35 - 39 40 - 44 45 - 49

Número de sacos 2 1 4 15 10 5 3

Primeramente, calculamos la marca de clase, para después calcular el producto fX y proceder finalmente a calcular la sumatoria ΣfX y aplicar la fórmula.

LI 15 20 25 30 35 40 45

LS 19 24 29 34 39 44 49

X = Σfx n

X 17 22 27 32 37 42 47

F 2 1 4 15 10 5 3 n =40

= 1365 40

FX 34 22 108 480 370 210 141 fX = 1365 = 34.12

Para datos crudos, es decir datos no agrupados, la media es la suma de todos los valores dividida entre el número total de valores. Para encontrar la media de una muestra se usa la siguiente fórmula: X = Σx n

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Donde: X ΣX n

simboliza la media de la muestra. es la suma de todos los valores de la muestra. es el número de valores que tiene la muestra.

La media de la muestra, o cualquier otra medida basada en los datos de la muestra se le denomina estadístico.

Ejemplo: El peso neto del contenido de cinco botellas de perfume Giorgio seleccionadas de forma aleatoria de la línea de producción son (en gramos): 85.4, 85.3, 84.9, 85.4, y 84.0. ¿Cuál es la media aritmética de las observaciones muestreadas?

X = Σx n

= 85.4+85.3+84.9+85.4+84.0 =85.0 5

La media de la muestra y la media de la población se calculan de la misma manera pero tienen diferente notación: µ=

ΣX N

Donde: µ simboliza la media de la población. N simboliza el tamaño de la población, es decir, el número total de observaciones en la población. Así como todas las medidas características de una muestra son llamadas estadísticos, las medidas características de una población se denominan parámetros.

7.2.

LA MEDIANA Cuando una serie de datos contiene uno o dos valores muy grandes o muy pequeños, la media aritmética no es representativa. El valor central en tales problemas puede ser mejor descrito usando una medida de tendencia central llamada mediana.

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Mediana. Es el punto medio de los valores de una serie de datos después de haber sido ordenados de acuerdo a su magnitud. Hay tantos valores antes que la mediana como posteriores en el arreglo de datos Ejemplo: El peso neto del contenido de cinco botellas de perfume Giorgio seleccionadas de forma aleatoria de la línea de producción son (en gramos): 85.4, 85.3, 84.9, 85.4, y 84.0. ¿Cuál es la mediana de las observaciones muestreadas? 85.4 85.4 85.3 84.9 84.0

mediana =

X

Ejemplo: Una muestra de los volúmenes medidos en una titulación reveló estas cantidades: 35, 29, 30, 25, 32, 35 mililitros. ¿Cuál es la mediana?. 25 29 30 32 35 35

 mediana

En este caso la mediana se calcula obteniendo la media de las dos observaciones centrales.

X = 30 + 32 = 31 2

Propiedades de la mediana: 1. Hay solo una mediana en una serie de datos.  

No es afectada por los valores extremos ( altos o bajos). Puede ser calculada en distribuciones de frecuencia con intervalos abiertos, si no se encuentra en el intervalo abierto.

La mediana para datos agrupados Como no conocemos los datos crudos, es necesario estimar la mediana mediante los siguientes pasos:

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1. Calcular el valor n / 2 

Localizar el intervalo de clase donde se encuentra la mediana (intervalo mediano). Esto se hace encontrando el primer intervalo de clase donde la frecuencia acumulada es igual o mayor que n / 2.



Aplicando la siguiente fórmula con los valores del intervalo mediano:

X = LSR +

( n / 2 ) – fa f

( tic )

Ejemplo: Calcular mediana de la siguiente distribución de frecuencia del número de meses de duración de una muestra de 40 sacos de sulfato de calcio.

Duración de los sacos (meses) 15 - 19 20 - 24 25 - 29 30 - 34 35 - 39 40 - 44 45 - 49

Número de sacos 2 1 4 15 10 5 3



El valor de ( n / 2 ) = 40 / 2 = 20



El intervalo mediano es: LI 15 20 25 30 35 40 45 N=

LS 19 24 29 34 39 44 49

LSR 19.5 24.5 29.5 34.5 39.5 44.5 49.5

X 17 22 27 32 37 42 47

F 2 1 4 15 10 5 3 40

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FA 2 3 7 22 32 37 40

intervalo mediano

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2. Aplicar la fórmula:

X = LSR +

7.3.

(n / 2)– fa f

(tic )

= 34.5 +

( 20 – 22 ) 15

(5)

= 33.83

LA MODA La moda es la medida de tendencia central especialmente útil para describir mediciones de tipo ordinal y nominal. La moda. Es frecuentemente.

el

valor

de

la

observación

que

aparece

más

Propiedades de la moda   

La moda se puede determinar en todos los tipos de mediciones (nominal, ordinal, intervalar, y relativa). La moda tiene la ventaja de no ser afectada por valores extremos. Al igual que la mediana, puede ser calculada en distribuciones con intervalos abiertos.

Desventajas de la moda  

En muchas series de datos no hay moda porque ningún valor aparece más de una vez. En algunas series de datos hay más de una moda, en este caso uno podría preguntarse ¿Cual es el valor representativo de la serie de datos?

Ejemplo El peso neto del contenido de cinco botellas de perfume Giorgio seleccionadas de forma aleatoria de la línea de producción son (en gramos): 85.4, 85.3, 84.9, 85.4, y 84.0. ¿Cuál es la moda de las observaciones muestreadas?. Moda = 85.4 La moda para datos agrupados Para datos agrupados en una distribución de frecuencia, la moda puede ser estimada por la marca de clase del intervalo que contenga la frecuencia de clase más grande. Si hay dos intervalos contiguos con frecuencia máxima la moda será la media aritmética de las dos marcas de clase. Si hay dos o más intervalos no contiguos con frecuencia de clase máxima habrá dos o más modas que serás las marcas de clase de dichos intervalos.

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Ejemplo: Calcular las modas de las siguientes distribuciones de frecuencia:

7.4.

X

F

X

F

5 10 15 20 25 30

4 3 15 9 10 7

5 10 15 20 25 30

4 8 6 7 8 8

moda = 15

hay dos modas: moda = 10

moda = (25+30) / 2 = 27.5

X

F

5 10 15 20 25 30

4 4 4 4 4 4

no hay moda

CUARTILES POBLACIONALES Y MUESTRALES Los cuartiles poblacionales dividen la distribución de frecuencias en cuartos. El segundo cuartil, q2, coincide con la mediana.

Figura 4.

Se define el primer cuartil muestral Q1 como el valor para el cual el 25% de las observaciones son menores o iguales que Q1 y el 75% de las observaciones son mayores o iguales que Q1. Se define el tercer cuartil muestral Q3 como el valor para el cual el 75% de las observaciones son menores o iguales que Q3 y el 25% de las observaciones son mayores o iguales que Q3. 7.5.

PERCENTILES POBLACIONALES Y MUESTRALES En general, para 0