Estabilidad Angular
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Descripción: Estabilidad Angular...
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E st sta abi lilid dad ang ngula ularr en en SE P
Estabilidad
En forma simple el problema de estabilidad puede interpretarse como la determinación de la respuesta del sistema a un cambio en el balance energético del sistema (cambio en sus condiciones de funcionamiento) en los primeros instantes …luego de, por ejemplo :
Falla en el sistema (cortocircuitos, fases abiertas)
Desconexión de línea.
Desconexión de carga.
Conexión de carga.
Estabilidad
En forma simple el problema de estabilidad puede interpretarse como la determinación de la respuesta del sistema a un cambio en el balance energético del sistema (cambio en sus condiciones de funcionamiento) en los primeros instantes …luego de, por ejemplo :
Falla en el sistema (cortocircuitos, fases abiertas)
Desconexión de línea.
Desconexión de carga.
Conexión de carga.
Estabilidad de SEP G1
CARGA DINÁMICA 1 RED TRANSMISIÓN
DESPACHO CENTRAL
DISTRIBUCIÓN Elem. Control Gn
CARGA DINÁMICA m LÍNEAS DE INTERCAMBIO
Estudios de estabilidad.
Representación de la máquina sincrónica.
Representación de cargas.
Solución de problemas dinámicos
Diseño de reguladores y estabilizadores.
Control de turbinas y ciclo térmico.
Programa de estabilidad
Incorporación de HVDC.
Estabilidad de SEP Problemas:
Descripción de la dinámica real por expresiones analíticas.
Fenómenos no lineales.
Sistemas externos y sus equivalentes.
Datos para validación, difíciles de obtener. No es posible hacer experimentos.
Referencias:
Kimbark, E.W.
“Power System Stability” Vol I, II, III. J. Wiley 1956.
Anderson – Fuad:
“Power system control and stability”. 1977. Iowa State University Press.
Kundur, Prabha:
“Power System Stability and Control” McGraw Hill 1994.
Machowski, Jan
Power System Dynamics J Wiley 2008
Estabilidad angular de SEP Bases temporales en SEP Periodos de 24 horas o superiores
Despacho hidrotérmico.
Operación centralizada de SEP interconectados.
Balance energético con sistemas vecinos.
Predespacho.
Base horaria
Negociación de intercambios.
Predicción de carga.
Regulación de frecuencia
Periodos de minutos .
Despacho económico.
Flujos de potencia, requerimientos de Q.
Estimación de estado.
Programación de derivaciones (V)
Estabilidad de tensiòn
Estabilidad angular de SEP Periodos de 2 a 5 segundos
Control de generadores TLB, LFC, AGC.
Supervisión de flujos de potencia, condición de interruptores, nivel de tensión.
Periodos de 0 a 5 segundos
Estabilidad angular del sistema.
Operación de protecciones (reles, CB, A/R)
Electrónica de potencia (HVDC, SVG)
Periodos de 0 a algunos milisegundos
Fenómenos transitorios.
Rayos
Operaciones de interruptores.
Ondas viajeras
Estabilidad angular de SEP Estabilidad permanente: Un SEP está en régimen de estabilidad permanente si, luego de una perturbación pequeña, retorna a un estado de operación sincrónico idéntico o muy cercano al original. (1978)
Estabilidad transitoria: Un SEP está en régimen de estabilidad transitoria , con respecto a una perturbación dada si, luego de dicha perturbación , retorna a un estado de operación sincrónico. La perturbación así como las condiciones inicial y final de operación, deben estar totalmente definidas. (1978) CIGRE: Barbier, Carpentier, Saccomano. “Tentative classification and terminologies relating to stability of power systems”. CIGRE, Electra Nº 56 pp 57-67. Enero 1978. Ver documento de 2004 (IEEE- CIGRE)
Estabilidad angular de SEP Otros problemas de estabilidad permanente:
Inestabilidad monotónica o aperiódica: se supera la capacidad de transmisión.
Inestabilidad oscilatoria electromecánica: oscilaciones locales (1~2 [Hz]) ó entre áreas ( 0.1~0.6 [Hz]).
Autoexcitación eléctrica: resonancia entre capacidad e inductancias serie.
Resonancia subsincrónica – Inestabilidad torsional: interacción entre el sistema eléctrico y el eje mecánico.
Ecuaciones diferenciales incrementales lineales.
Ecuaciones algebraicas.
Soluciones (estabilidad permanente):
Estabilidad transitoria de SEP Métodos de análisis de estabilidad para sistemas lineales:
Lugar geométrico de las raíces.
Routh Hurwitz
Nyquist
Para sistemas multimáquinas:
Respuesta en frecuencia (vector frecuency response) Análisis del polinomio característico
Separación de dominios.
Simulación
Valores propios (Liapunov)
Liapunov: La teoría de estabilidad en el sentido de Liapunov, es una herramienta muy útil en el estudio deestabilidad permanente. Ogata, Kaysuhito. “Modern control engineering”. Prentice Hall 1970
Estabilidad transitoria de SEP Referencias:
Anderson – Fuad:
“Power system control and stability”. 1977. Iowa State University Press.
Dommel – Sato:
“Fast Transient stability Solutions” IEEE Pas 91 Jul/ Aug 1972.
DeMello – Concordia: “Concept of Sinc. Machine Stability as affected by excitation Control”. IEEE Pas April 1969
Estabilidad angular de SEP Soluciones (más comunes):
Estabilidad permanente(“small signal”):
Estabilidad transitoria:
Linealización
Integración paso a paso.
Tipos de desarrollos temporales de (t)
tacl
t
tacl
t
tacl
En t=0, ocurre la perturbación.
tacl
t
tacl
t
t
Estabilidad transitoria de SEP
Modelos requeridos en estudios de estabilidad:
Máquina sincrónica y sus controles.
Cargas.
Sistema de transmisión.
Turbina y sus controles
Métodos de estudio: I.
Simulación:
II.
Analógica Digital.
Directos:
2do método de Liapunov
Energéticos. (p.e: áreas iguales)
Agrupación dinámica.
Estabilidad angular de SEP
Ecuación de oscilación simplificada: 2
d
J ·
2
dt
Tac
Tmec
Momento angular M = J w
M
d 2
M ·
2
dt
Pac
J · p
Pmec
P eléc
T eléc
Estabilidad angular de SEP
Constante de inercia H
Definición : H = Energía cinética a velocidad nominal/ Potencia nominal
H = Wc/Pnom Relación con M Wc = ½ J w*w = ½ M w
H = M w/ 2 Pnom [seg]
También se usa el término Tm “constante de tiempo mecánica” Tm = J w*w/Pn = 2 H ¡Ojo con las unidades!
Estabilidad transitoria de SEP Simulación digital: Euler Métodos explícitos
Euler modificado Runge Kutta
Paso fijo
Backward Euler Métodos implícitos
Trapezoidal Predicción-corrección
Red eléctrica Máqs. y sus controles
Paso variable
Ecs. Algebraicas, cargas como Z’s Ecs. diferenciales
Solución integrada o simultánea. Solución separada o secuencial. Solución más común: Paso único – Explícitos – Secuencial.
Estabilidad transitoria de SEP Los métodos explícitos en su etapa n, tienen variables cuyos valores son conocidos de etapas anteriores Los métodos implícitos, utilizan valores aun desconocidos y que son estimados en alguna forma. Ejemplo: La ecuación Met. explícito:
dy dt
k ·y
cuya solución es: y
e
k ·t
yn1 yn yn ·t
yn1 yn ·1 k ·t además
0 yn 1 yn
0 1 k ·t 1
t
1
k
Limitación para t Met. implícito:
yn1 yn yn1·t
yn1 yn k ·yn1·t de lo cual
yn 1
yn 1 k ·t
1 k ·t 1
No hay limitación para t
Estabilidad transitoria de SEP
Paso simple
(Runge Kutta)
Paso múltiple
(Predicción-Corrección)
Métodos
Predicción-Corrección, paso múltiple, implícito (Adams – Moulton – Bashfort)
yn 1
t
9· f y 19· f y 5·f y f y 24
yn ·
n 1
n
n 1
n 2
Estimación:
yn 1
t
yn ·
24
55· f y 59· f y 37·f y 9·f y n
n 1
n 2
n 3
Método punto a punto 2
2
d dt Pac/ M d / dt
(Pac/ M) t +wo = w(t)
=1/2 Pact2/M + wot + wn = t/M Pn-1 + wn-1
0
Ec.I
Método punto a punto wn = (t/M) Pacn-1 + wn-1
Ec.I
n = n-1 + wn-1t + ½ Pac n-1t2/M wn = wn – wn-1 = t/MPacn-1
Ec.II
Ec. III
n= n - n-1 = wn-1t + ½ Pac n-1t2/M
Ec, IV
n-1 = n-2 + wn-2t + ½ Pac n-2t2/M Que resulta de usar Ec. II para n-1
Ec. V
Método punto a punto Restando V de II, resulta (n-2 + wn-2t + ½ Pac n-2t2/M) (n-1 + wn-1t + ½ Pac n-1t2/M)
w n-1=wn-wn-1 = (t/M) Pac n-2 y usándola en Ec. V, queda
n= n-1 + ½ (Pac n-1 + Pac n-2) t2/M Método Euler 1....error ...
Integración numérica de la ecuación de oscilación Método de Euler 1
x dx dt
f x
x
dx dt t t
·t
x xt x
x
~
1
Pendiente constante en el periodo
x xt
t
x t
t1
t1+t
t
Método de Euler 2 (Euler modificado) dx
x Pendiente es el promedio del valor al inicio y al final del periodo t
dt x
dx dx m · dt t t t 2 dt t t 1
~
x x
1
1
dx dt x
xt
t
t
t1
t1+t
t
x xt m x
·
Integración numérica de la ecuación de oscilación Método de Euler 3
x
Pendiente es el valor de ésta en la mitad del intervalo t (en t/2)
x xt m x
·
x x
~
m
xt
t/2
t/2
t1 d t dt
d dt
d dt d dt
t
s
P ac · s 2·H ·
t
t
P ac · s 2·H ·
t
d dt
·t
d dt
t1+t
t
t t
1 d d t · t ·t 2 dt dt
t t
t
·t
d t d ·t 2 dt dt
1
·
Integración numérica de la ecuación de oscilación Pac
Método punto a punto III Cambio de velocidad
n 1 n 3 2
Pac · n 1 M
2
Cambio de posición angular
·t
t
n 1 n 1 n 2 n 3 ·t
2
Pac(n-2) Pac(n-1) Pac(n)
= r - o
n n n 1 n 1 ·t
(n-1/2) (n-3/2)
2
Eliminando
:
n n 1
Pac · n 1 M
2
t típico : 0.05 [seg].
Si hay cambio de la P ac al comienzo de un intervalo, se utiliza el promedio.
t
·t
(t) se puede usar para establecer el t aclaramiento.
n n-1
Integración numérica de la ecuación de oscilación 0.30
Ejemplo:
G: H = 2,7 [MJ/MVA]
0.50
E = 1.05 [pu] 0.15
0.15
E
2 polos, 60 [Hz] 1
F 3
Peléc = 75 [MW]
Pb = 120 [MVA]
(t): 0 < t < 1 [seg] Condiciones normales:
Pmáx a
1·1.05 0.65
pu
1.62
Condiciones iniciales:
P 0
75
0.625
120
pu
0 22.69º
Condiciones con falla:
Pmáx b
1·1.05
0.58
1.8
pu
Condiciones con falla despejada:
Pmáx c M
2.7 180·60
1·1.05
1.31
0.8 4
2.5·10
Pac
1 0
0 0
pu
W ·seg º eléc
2
· 0 0.04
0.02 pu
0.20 2.5·10
2
·0.05 2º 4
1
0 1
2
22.69º 2º 24.69º
º eléc 0 0.20 40 seg t 0.05
Integración numérica de la ecuación de oscilación t
_
0 0+ 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00
Pac
0 0,40 0,20 0,38 0,33 0,25 0,17 0,10 0,06 0,05 0,08 0,15 0,28 0,47 0,72 1,01 1,20 1,01 0,40 0,05 0,43 1,10 1,01
F3 en barra
700 22,69 24,69 30,52 39,65 51,33 64,73 79,14 94,1 109,53 125,74 143,49 164,04 189,25 221,64 264,13 318,64 383,24 451,79 520,8 594,16 678,46 772,86
t2 t3
t2 = 0.45 [seg] t3 = 0.425 [seg] t4 = 0.40 [seg] t5 = 0.35 [seg]
600 500
F3 en 50%
400 300 200
F3 en 50%
t5
100 0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
t
t4
Integración numérica de la ecuación de oscilación Método trapezoidal:
y
Para las ecuaciones diferenciales del tipo
f t
t
y
La solución es:
f
d
y considerando el intervalo t n a tn+1.
0
yn 1
t n1
t n
f
tn
0
f
tn1
d t
d
yn yn 1 2
f
n
t n 1
d yn t
f
d
n
t n tn
·
1
f n f n 1 2
·t
f(t) g(t) y·n
y· n+1 t
Método directo simple: igualdad de áreas Corresponde al uso de una función de energía transitoria para el análisis de la estabilidad de un SEP Referencias:P.C. Magnusson;Transient Energy Method of Calculating Stability, AIEE Transactions Vol 66, pp.747-755, 1947 MA Pai Energy function analysis for PSS, Kluwer Academic Press, 1989
d dt Pa/ M 2
2
(d 2 / dt 2 )( d / dt ) 1/2
d / dt ( d / dt )
2
( P a / M ) d / dt
2( P a / M )d / dt
=
t
(d / dt ) 2
(2 P / M )d / dt dt a
t 0
Método directo simple: igualdad de áreas
d / dt
(2 P / M )d a
0
d / dt
0
(2 P / M )d 0 P d 0 a
0
a
0
El área bajo la curva de la potencia acelerante debe ser nula. El ángulo crítico (de aclaramiento de una falla) es el ángulo máximo (tiempo) que permi alcanzar la condición señalada.
Curvas para determinar el tiempo crítico de aclaramiento (Kimbark vol. I)
Pmec
Método directo simple: igualdad de áreas Falla trifásica en δo aclarada en δdes El área acelerante Aace debe ser igual que el área desacelerante Adec
El límite está dado por la máxima área desacelerante lo que se observa en la figura b)
Método directo simple: igualdad de áreas
Límite de estabilidad transitoria (usando el criterio de áreas iguales) Usando como referencia el diagrama b) de la diapositiva anterior: A partir de las ecuaciones : Pm = E1E2/X sen 0 = E1E2/Xfa sen m m
crit
Pm(m - 0 ) = E1E2/X f
sen d
o
+ E1E2/X
sen d crit
Resulta: cos crit = [(m - 0)/x sen 0 – 1/X f cos 0 + 1/ Xfa cosm]/[1/ Xfa- 1/X f ]
m , 0 en radianes
Reducción de Dahl
Dahl demostró que un sistema de dos máquinas finitas se puede reducir a uno equivalente formado por una máquina finita y una red infinita.
M1 d2 1 /dt2 = Pm1 – Pe1 = Pa1 M2 d2 2 /dt2 = Pm2 – Pe2 = Pa2 y con = 1 - 2 se llega a d2 /dt2 = [M2 Pa1 – M1Pa2]/ M1 M2 amplificando por M1 M2 /[M1+ M2]= M Reemplazando queda :
M d2 /dt2 = Pm – Pe
Curvas potencia- ángulo para dos máquinas finitas
1
El sistema se puede transformar a una máquina finita y una red infinita
M d2 /dt2 = Pm – Pe con
= 1 - 2 M = M1 M2 /[M1+ M2] Pm = [M2 Pm1 – M1Pm2] / [M1 + M2 ]
1
Pe = [M2 Pe1 – M1Pe2] / [M1 + M2 ]
2
Pe1 = E12 Y11 cos 11 + E1E2 Y12 cos (1 - 2 - 12) Pe2 = E22 Y22 cos 22 + E1E2 Y12 cos (2 - 1 - 21)
Curvas Curva s potencia potencia-- ángu ángulo lo para dos máqui máquinas nas finitas finitas
Reemplazando en 2 :
Pe = [M2 E12 Y11 cos 11 - M1 E22 Y22 cos 22 + E1E2 Y12 [M2 cos ( - 12) - M1 cos ( - 12)] ] / [M1+ M2] Identificando M 2 = M2 - 12
y M 1 = M1 180+ 12
Resultando M” = {M12 + M22 - 2 M1 M2 cos 2 12} Con un ángulo
- ” = argtg [ ([M1 + M2 ] / [M1 - M2 ]) tg 12]
Curvas Curva s potencia potencia-- ángu ángulo lo para dos máqui máquinas nas finita finitas s
Se puede reescribir ec. de P e como:
Pe= Pc + PM cos ( - ” ) = Pc + PM sen ( - ) con
Pc = [M2 E12 Y11 cos 11 - M1 E22 Y22 cos 22 ]/ [M1+ M2] desplazamiento vertical y
= -argtg [ ([M1 + M2 ] / [M1 - M2 ]) tg 12] – 90°= ” –90° –90° desplazamiento horizontal
PM = [E1E2 Y12 M”] / [M1+ M2] amplitud
Curvas potencia- ángulo para dos máquinas finitas Recuperando la ecuación original:
M d2 /dt2 = Pm – Pe
y reemplazando
M d2 /dt2 = Pm – Pc - PM sen ( - ) Usando
’ = -
y
P’m = Pm – Pc
= t [(/180)(PM/ M)] Resulta, al dividir por
(/180) d2 ’ /d
PM :
2 = (P’m / PM)- sen ’= p - sen ’
Curvas potencia- ángulo para dos máquinas finitas
(/180) d2 ’ /d
2 = p - sen ’
Y con los ángulos expresados en radianes eléctricos
d2 ’ /d 2 = p - sen ’ Donde
p = P’m / PM= (Pm – Pc)/ PM
Esta es la ec. desarrollada por Summers and McClure * para determinar el ángulo de aclaramiento con falla presente. Hay una familia de curvas para cada ’0 , siendo los parámetros de cada familia PC, PM y
* I.H.Summers and J.B. McClure “Progress in the Study of System Stability” AIEE Trans. Vol. 49 pp. 132-158, January, 1930.
Curvas potencia- ángulo para dos máquinas finitas
Procedimiento para determinar tcrit a partir de crit
1.- De las condiciones normales : 0 = 10 - 20 , Pm1 y Pm2 2.- De las condiciones con falla : M”, , PC y PM 3.- Según definiciones: p, 0´ = 4.- Elegir curva según sen 0´
0-
,
crit´
=
crit
-
5.- Con crit´ desde la curva obtener crit
6.- Usando = t [(/180)(PM/ M)] con crit, y M =M1 M2 /[M1+ M2] se determina tcrit
Procedimiento similar para determinar crit a partir de tcrit
Curvas potencia- ángulo (Kimbark Vol. I)
Curvas potencia- ángulo (Kimbark Vol. I)
Curvas potencia- ángulo (Kimbark Vol. I)
Curvas para determinar el tiempo crítico de aclaramiento (Kimbark vol. I)
Suposiciones:
Red con reactancias puras
Falla aclarada simultáneamente por los interruptores
Suposiciones propias del criterio de áreas iguales
Definiciones de trabajo:
r1 =(Pmax f / Pmax ) = {E1 E2 / Xf } /{E1 E2 / X}= X/Xf
r2 =(Pmax fa / Pmax ) = {E1 E2 / Xfa} /{E1 E2 / X}= X/Xfa
Usando el criterio de áreas iguales, se tiene: (
m-
0)Pmec=
Pmax f (cos
0 –
cos
CRIT)
+
Pfa (cos
CRIT-
cos
m)
Curvas para determinar el tiempo crítico de aclaramiento (Kimbark vol. I) Usando el criterio de áreas iguales, se tiene: (
m
-
0)Pmec=
Pmec
Pmax f (cos
0 –
cos
CRIT)
+
Pfa (cos
CRIT-
cos
m)
Curvas para determinar el tiempo crítico de aclaramiento (Kimbark vol. I) (
m
-
0)Pmec=
Pero
Pmax f (cos
Pmec= Pmax sen
0 –
0
cos
CRIT)
+
Pfa (cos
CRIT-
cos
m)
, Pf = r1 Pmax, Pfa=r2 Pmax
Quedando: (
m
-
0)
Pmax sen
0
=
r1 Pmax(cos
0 –
cos
CRIT)
+ r2 Pmax (cos
CRIT-
cos
y finalmente: cos
CRIT =
[(
m
-
0)
sen
0 –
r1 cos
Para diferentes valores de sen
0
+ r2 cos
0,
m
] /[ r2 –r1 ]
r1, r2 calculando el CRIT y con las curvas precalculadas de Summers and McClure se CUR VAS DE B YR D AND PRITCHARD puede obtener tcrit
(G E R eview vol.36 pp. 81-93, February 1933)
m)
Curvas para determinar el tiempo crítico de aclaramiento (Kimbark vol. I)
Curvas para determinar el tiempo crítico de aclaramiento (Kimbark vol. I)
Curvas para determinar el tiempo crítico de aclaramiento (Kimbark vol. I)
Comportamiento de relés durante oscilaciones
Considerando un sistema simple formado por dos máquinas equivalentes En ambos extremos se considerará la existencia de relés que se alimentan con tensiones en las barras y corrientes en las líneas. La impedancia vista por esos relés es : ZA = VC/I VC = EA – I ZA I = (EA – EB)/(ZA+ZL+ZB) ZB = VD/I VD = EB + I ZB donde ZA impedancia serie generador GA, cuya tensión interna es EA ZB impedancia serie generador GB, cuya tensión interna es EB ZL impedancia de la línea de transmisión entre barra C y D VC y VD son las tensiones en las barras C y D respectivamente Obs.: todas los símbolos representan cantidades complejas ver diagrama fasorial
Comportamiento de relés durante oscilaciones
Comportamiento de relés durante oscilaciones Dos lugares geométricos de utilidad :
I)
Lugar geométrico del “arco capaz”
“ Arco capaz de un ángulo es el arco del segmento en el cual se puede inscribir dicho ángulo” II)
Circunferencia de Apolonio
“Lugar geométrico del tercer vértice de un triángulo de base fija y cuyos otros dos lados están en una razón dada”·
Comportamiento de relés durante oscilaciones
EC = ED Apolonio simetral de trazo AB
Resultado del diagrama fasorial del esquema circuito básico
Comportamiento de relés durante oscilaciones
LG de ZC para diversos valores valores de EA/EB
Comportamiento de relés durante oscilaciones
LG para razones EA/EB constantes
Comportamiento de relés durante oscilaciones
LG para separación angular constante
Comportamiento de relés durante oscilaciones
Uso de limitadores de rango (blinders) para un relé tipo MHO
Integración numérica de la ecuación de oscilación Paso único
Método
Euler
Euler modoficado.
Runge Kutta.
Predicción - Corrección
Backward Euler
Trapezoidal
explícito Paso múltiple
Ecs diferenciales Integradas por
Paso único
Método implícito
Paso múltiple
Solución alternada o particionada.
Jacobi
Gauss Seidel
Relajación.
Newton
Versión Error-Potencia
Rapson
Desacoplo rápido
Matriz Z
Método
Eliminación Gaussiana de Y
Directo
Reducción triangular de Y
Bifactorización de Y
Nodal
Paso a Paso Ecs algebraicas resueltas por
Solución simultánea.
Predicción – Corrección – Adams Moulton
Iteración
Simulación
Integración implícita paso múltiple. - Algebraización de las ecs. diferenciales. - Solución del conjunto de ecs. por solución iterativa Newton-Rapson.
Máquina Sincrónica – Modelos en SEP Se han considerado varios modelos, que comprenden diversos grados de complejidad. Suposiciones generales:
La velocidad se considerará constante durante la oscilación (en promedio)
El momento eléctrico considerado, corresponderá al momento electromagnético.
El momento mecánico es neto y usualmente se considerará fijo.
Sólo se consideran tensiones y corrientes de frecuencia fundamental.
Modelo I: (clásico Kimbark vol I) Se presenta la máquina como una tensión constante en seri e con con la resistencia de armadura y la reactancia transitoria del eje directo ( fd = cte)
x'd
r a
I E
Vt
E
ra xd ref motor
Vt I ·
Máquina Sincrónica – Modelos en SEP Modelo II: (Kimbark vol III) Se aceptan variaciones en
ed eq e fd
ra ·id ra ·iq
Eq
Eq
2.
Ei
3.
E f
4.
Eq
Vt
1.
d d dt d q
rf ·i f
X
q
Eq X d
r
a
Recordando:
· d
d d
Ei
X d ·I d
X d ·I d
j·xq ·I
i fd
E q
dt
0
fd
dEq
3
0 d
dt
d q
Sólo componente fundamental:
dt
dEq
E i d 0 ·
· q
dt
dt d fd
fd ,las ecuaciones quedan:
dt
Ef
xq
L ff r f
Ei
d 0
r a
I
ref generador
4
Eq
Vt
Máquina Sincrónica – Modelos en SEP Modelo III: Se aceptan corrientes adicionales en el eje q. Considera un s ólo circuito en el eje q.
Ecuación adicional: 0
r1q ·i1q
Modificaciones:
d 1q
q Lq ·iq L1q q ·i1q
dt
1q L1q 1q ·i1q Lq 1q ·iq
Eliminando i1q: q Lq ·iq
L1q q L1q 1q
y definiendo: · 1q
d
E
queda:
Ed Ei 1q X q X q ·I q
dE d dt
· L1q q 2· L1q 1q
Ei 1q q 0
Ei 1q
· 1q
q 0
·L1q q 2
·i1q
L1q 1q r 1q
Se tiene entonces una nueva ecuación diferencial que hay que considerar al i ntroducir un circuito en el eje q (1q)
Máquina Sincrónica – Modelos en SEP Modelo IV: Se considera ahora el efecto de devanados amortiguadores, agregando dos circuitos, uno en el eje q y el otro en el eje d. Con un procedimiento análogo al del Modelo III, se obtiene:
d 1d dt
1
·
d0
X d
Xd
X d
X d
dEd
·i1d
dt
1
q0
·Ei 1q
Ei 1q
· L1q q 2
·i1q
Modelo V: Dos circuitos adicionales en el eje q y además un circuito en el eje d, nos lleva a:
dE q dt d 1d dt
1
d 0
· E f
1
d0
· Ei 1d
Ei
dE d dt
d 2 q dt
1
q 0
·E i 1q
1
q0
·E i 2 q
Estabilidad transitoria de SEP – Elementos
Excit. Supl.
Vs
EXCITACIÓN
|V|
VF RED ENCADE_ NAMIENTO GENERADOR
I V
PElec
Regulador Turbina
PMec
INERCIA
CARGA
Estabilidad transitoria de SEP Algoritmo básico (Utilizando el modelo II para máq. sinc.) 1.- Flujo de carga: Aplicable para t = 0 -
Pk , Qk , Vk , I k , k
0 ,
P ac k
0
2.- Condiciones Iniciales: Se calculan valore para t = 0 -
Eqk , E fk Eqk , I dk , Eqk
E ik
Vk
r
a
j ·xq ·I k k
I dk | I k |·sen E qk
Eqk
Eqk
x
E fk
Eik
Eqk
q
I k
·I j · x x ·I
xd
k
dk
d
q k
dk
3.- Modificación de [Y]: Se incluye perturbación, cargas, modelo de máquinas.
Y Y
t 0
Y
t 0
I
Vk
Y
Y ·E q
Eqk
r
a
j·xq ·I k k
Estabilidad transitoria de SEP 4.- Algoritmo de corrección: Se calculan nuevos valores de:
I
Y
·E q
I dk | I k |·sen Eqk
| Eq |, I k
Eqk
Eqk
x
q
xd
I k
·I k
dk
5.- Ecuaciones de oscilación: Se calcula k t t
Pac k M k · k Dk · k
k
Pac k Pm k P elec k Pelec k Re Eqk ·I k* 6.-
Corrección de E’qk: dEqk
dt
E fk
Eik
d 0
Eqk
t t
Eqk
t
7.- Nuevo cálculo volviendo a 4 ó a 3:
t
t t tmáx
dE q dt
·t
Estabilidad transitoria de SEP – Caso multimáquina Procedimiento: 1.- Condiciones iniciales (Flujo de potencias): V s ; I s ; Pk ; Pmec k
Pelec k ;
s
2.- Calcular tensiones internas:
Ek
VG k
j·X k ·Ik
k
1, 2...n
Serán constantes (Modelo I)
3.- Modificar [Y11]...... Cargas ; X’ ; Y12 = Y21 ; Y22 4.- Imponer condiciones de t=0: apertura y cierre de interruptores – falla – cambio de carga – cambio de parámetros. 5.- Calcular Pk en t. 6.- Usando P k , k , k estimar en t+ t ,
7.- Usando E E calcular P k en t+ t. 8.- Afinar cálculo de , 9.- Incrementar t en t.
, en t+ t.
Estabilidad transitoria de SEP – Caso multimáquina E'1
xd1
Representando las cargas mediante impedancias (admitancias) fijas:
G1 E'2
xd2 G2
E'n
Y G I Y
L 0 xdn Gn
11
21
Y11 es m x m. Y22 es n x n, diagonal,
y jj
Y 12 V · Y 22 E
m: Número de barras de carga n: Número de generadores
1
y jk 0 , j k
j·X d
j
Y12 es m x n
ykn
1
j·X d m
si k
Gm y n
m
Si E’ es conocido, Y 11·V + Y12·E’ = 0, se puede resolver para V. Luego I = Y21·V + Y22·E’ se calcula directamente Pk Ver “Equivalentes externos”
*
Re Ek ·I k
Ward, REI, Dimo y Zukov
Ecuación de Estado (perturbaciones pequeñas)
x A·x B·u
El sistema es estable si los valores propios de A tienen parte real negativa.
Raíces de la ecuación característica K S 2 · 0 · M M D
D>0
Estable D 0
0
1 , 2
det A
D
·I
2· M
0 2
K 4· · 0 2 M M
1
D
S
1 , 2
Complejas conjugadas con parte real negativa
1 , 2
Complejas conjugadas con parte real positiva
1 2
1 , 2 j· n
Reales con signo opuesto
n
0 · K S
M
0 ·E ·V 0
2 · ·f ·M
·cos 0
Ecuación de Estado (perturbaciones pequeñas)
Ecuación de Estado – Autovalores y autovectores A·x ·x
A ·I ·x 0
det A ·I
0
A ·I ·x 0
Autovalores
Autovectores
Matriz de autovectores M, define un nuevo conjunto de variables para el vector de estado:
x A·x
det A ·I
y
M
1
·x
M ·y A·M ·y y M y
1
·A·M ·y
·y
[ ] : Matriz diagonal cuyos elementos son los autovalores i A·t
Solución para: x t e
·x 0
con
A ·t
e
matriz de transición.
0
Ecuación de Estado – Autovalores y autovectores 1
Usando: M ·A·M
f A
y la propiedad matemática
x t
M ·e
M ·e
M
x1* 1
·t
·t
·M
1
x3
2
3
M·f
·M
1
y 0
*
1
·x 0
·y 0
x2
A M · ·M
*
M
1
·x 0
e ·t ·t e ·t e
1
2
Si sólo el modo “i” es alterado:
x1i
0
y 0 1
*
·t xi ·e ·t x t xii* ·e * i
i
·t e n
Ecuación de Estado Caso simple, máquina y barra infinita.
G
Modelo del generador: E’ constante detrás de x’
Barra infinita. V0
Pmáx
Pelec
P máx
Pmec
E ·V 0 X tot
Ec. de oscilación: d dt d dt
1
M
· Pmec
Peléc D·
· 1 0
0
0
Ecuación de Estado Linealizando alrededor de
d 2 dt
2
0
M
0
· K S ·
D d ·
M
dt
Pmec
M
K S
E ·V 0
·cos 0
X tot
D +
Pmec
1 M·s
-
s
K s
x
D
M
K S M
0
0
A
· · P 0 · x B · u 1 M
mec
Ecuación de Estado 1.
d dt
3.
5.
0
Pmec Peléc D·
·
2·H
2.
dt
Peléc Ed·I d Eq·I q X q X d·I d ·I q X q X l Ed E 0 d
Ra Rl · I q X d X l
I d
1
d
·
Ra Rl Eq E q
Vd2 V q2
4.
Vt
6.
V0 d
V0 ·sen
7.
V0 q
V0 ·cos
0
Ra Rl X q X l X d X l 2
De las ecuaciones de la máquina sincrónica:
8. Eq ; Ed ; Eq ; Ed ; Ed ; E q
se puede llegar a: x A·x B·u con:
Construcción de la matriz de estado:
Ecs diferenciales de las máquinas
Ecs diferenciales de los reguladores
Ecs algebraicas de la red y consumos
x Eq u V fd
Eq E d P m
t
t
Referencias: Adibi – Hirsh – Jordan
“Solution Methods for Transient and Dynamic Stability” Proceedings IEEE July 1974
Fuad – Stanton
“Transient Stability of Multimachine Power System” Part I and Part II. IEEE Winter Power Meeting ’81 Vol Pas-100 July 1981
DeMello – Podmore – Stanton
“Coherency Based Dynamic Equivalents” IEEE Transactions Pas-95 Jul/Aug 1976
Chang – Adibi
“Power System Dynamic Equivalents” IEEE Transactions Pas-89 Nov/Dec 1970
Dommel – Sato
“Fast Transient Stability Solutions” IEEE Transactions Pas-91 Jul/Aug 1972
M.A. Pai
“Power System Stability, Analysis by the directMethod of Liapunov” North Holland System and Control Series Vol 3 1981
W. Lewis
“The principles of Syncronous Machines” Illinois Inst. of Technology 1959
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