Esta Di Stica

1. Los ingresos promedio por semana para mujeres en puestos directivos y profesionales de una minera son de $670. ¿Tienen los hombres en los mismos puestos, ingresos promedio por semana superiores a los de las mujeres? Una muestra aleatoria de 40 hombres en puestos directivos y profesionales mostro una media de ingresos de $725 y una desviación estándar de $102. Pruebe la hipótesis apropiada con un nivel se significancia de 0.01. SOLUCION: Hipótesis Nula 𝐻0 : 𝜇 = $ 670 Hipótesis Nula 𝐻1 : 𝜇 > $ 670 n = 40 𝑥̅ = $ 725 𝜎 = $ 102 𝛼 = 0.01 Hallamos el valor crítico “Z”: Para 𝛼 = 0.01  Z = 2.33 Hallamos el Limite Superior: 𝐿𝑆 = 𝜇 + 𝑍 ∗

𝜎

√𝑛 102 𝐿𝑆 = 670 + 2.33 ∗ √40 𝐿𝑆 = 707.58 Como 𝐿𝑆 < 𝑥̅ , osea 707.58 < 725 ∴ 𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝑙𝑎 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 𝑁𝑢𝑙𝑎 2. Una planta concentradora de cobre ha producido un promedio diario de 880 toneladas de concentrados durante los últimos años. A la gerente de control de calidad le gustaría saber si este promedio ha cambiado en los meses recientes. Selecciona al azar 50 días de la base de datos y calcula la media aritmética y la desviación estándar de la producción en los 50 días resultando una media de 871 toneladas y una desviación estándar de 21 toneladas. Pruebe la hipótesis apropiada con un nivel de significancia de 0.05. SOLUCION: Hipótesis Nula 𝐻0 : 𝜇 = 880 𝑇𝑀 Hipótesis Nula 𝐻1 : 𝜇 < 880 𝑇𝑀 n = 50 𝑥̅ = 871 𝑇𝑀 𝜎 = 21 𝑇𝑀 𝛼 = 0.05 Hallamos el valor crítico “Z”:

Para 𝛼 = 0.05  Z = 1.64 Hallamos el Límite Inferior: 𝐿𝐼 = 𝜇 − 𝑍 ∗

𝜎

√𝑛 21 𝐿𝐼 = 880 − 1.64 ∗ √50 𝐿𝐼 = 875.13 Como 𝐿𝐼 > 𝑥̅ , osea 875.13 > 871 ∴ 𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝑙𝑎 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 𝑁𝑢𝑙𝑎 3. Las normas establecidas por la jefatura de salud ocupacional de una mina señala que los trabajadores no deben exceder de una ingestión promedio diaria de sodio de 3300 miligramos. Para averiguar si están excediendo dicho límite, se selecciona una muestra de 100 personas y se encuentra que la media y la desviación estándar de la ingestión diaria de sodio son 3400 miligramos y 1100 miligramos, respectivamente. Use un nivel de significancia de 0.05 para efectuar una prueba de hipótesis. SOLUCION: Hipótesis Nula 𝐻0 : 𝜇 = 3300 𝑚𝑔 Hipótesis Nula 𝐻1 : 𝜇 > 3300 𝑚𝑔 n = 100 𝑥̅ = 3400 𝑚𝑔 𝜎 = 1100 𝑚𝑔 𝛼 = 0.05 Hallamos el valor crítico “Z”: Para 𝛼 = 0.05  Z = 1.64 Hallamos el Limite Superior: 𝐿𝑆 = 𝜇 + 𝑍 ∗

𝜎

√𝑛 1100 𝐿𝑆 = 3300 + 1.64 ∗ √100 𝐿𝑆 = 3480.4 Como 𝐿𝑆 > 𝑥̅ , osea 3480.4 > 3400 ∴ 𝑆𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 𝑁𝑢𝑙𝑎

4. Un fabricante de cal afirma que el óxido de calcio medio de su producción es 80%. Se probó una muestra aleatoria de 100 toneladas de una en una y se obtuvo como resultado una media muestral de 79.7%, con una desviación estándar de 0.8%. ¿Los datos representan evidencia suficiente para refutar la afirmación del fabricante? Use un nivel de significancia de 0.05.

SOLUCION: Hipótesis Nula 𝐻0 : 𝜇 = 80% Hipótesis Nula 𝐻1 : 𝜇 < 80% n = 100 𝑝̅ = 79.7 % 𝜎 = 0.8 % 𝛼 = 0.05 Hallamos el valor crítico “Z”: Para 𝛼 = 0.05  Z = 1.64 Hallamos el Límite Inferior: 𝐿𝐼 = 𝜇 − 𝑍 ∗

0.8

√100 0.8 𝐿𝐼 = 80 − 1.64 ∗ √100 𝐿𝐼 = 79.87 Como 𝐿𝐼 > 𝑥̅ , osea 79.87 > 79.7 ∴ 𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝑙𝑎 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 𝑁𝑢𝑙𝑎 5. Sin tener en cuenta la edad, cerca de 20% de adultos de una comunidad participan en actividades de acondicionamiento físico por lo menos dos veces por semana. Sin embargo, estas actividades cambian a medida que avanza la edad de las personas, y los participantes ocasionales abandonan estas actividades cuando envejecen. En un estudio de 100 adultos mayores de 40 años, un total de 15 personas indicó que participaban por lo menos dos veces por semana en una actividad de acondicionamiento físico. ¿Estos datos indican que la tasa de participación para los adultos mayores de 40 años de edad es significativamente menor que la cifra de 20%. Use un nivel de significancia de 0.1. SOLUCION: Hipótesis Nula 𝐻0 : 𝑝 = 20% Hipótesis Nula 𝐻1 : 𝑝 < 20% n = 100 15 𝑝̅ = = 15% 100 𝛼 = 0.1 Hallamos el valor crítico “Z”: Para 𝛼 = 0.1  Z = 1.28 Hallamos el Límite Inferior: 𝐿𝐼 = 𝑝 − 𝑍 ∗ √

𝑝∗𝑞 𝑛

0.2 ∗ 0.8 𝐿𝐼 = 0.2 − 1.28 ∗ √ 100

𝐿𝐼 = 0.1488 = 14.88% Como 𝐿𝐼 < 𝑥̅ , osea 14.88% < 15% ∴ 𝑆𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 𝑁𝑢𝑙𝑎 𝑦 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑎𝑑𝑢𝑙𝑡𝑜𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 40 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 20%

6. En una ciudad, alrededor del 60% de los hogares tienen dos o más televisores y por lo menos la mitad de sus habitantes a veces ven solos la televisión. Suponga que se realiza un muestreo de 75 casas, y de éstas, 49 tenían dos o más televisores, y 35 encuestados a veces ven la televisión solos. a) ¿Los datos representan evidencia suficiente para contradecir la afirmación de que por lo menos la mitad de los habitantes de la ciudad a veces ven televisión solos? b) ¿Los datos presentan evidencia suficiente para mostrar que es incorrecta la cifra de 60%. Use un nivel de significancia de 0.01 para ambos casos. SOLUCION: a) Ven solos la televisión Hipótesis Nula 𝐻0 : 𝑝 = 50% Hipótesis Nula 𝐻1 : 𝑝 < 50% n = 75 35 𝑝̅ = = 46.67 % 75 𝛼 = 0.01 Hallamos el valor crítico “Z”: Para 𝛼 = 0.01  Z = 2.33 Hallamos el Límite Inferior: 𝐿𝐼 = 𝑝 − 𝑍 ∗ √

𝑝∗𝑞 𝑛

0.5 ∗ 0.5 𝐿𝐼 = 0.5 − 2.33 ∗ √ 75 𝐿𝐼 = 0.3655 = 36.55% Como 𝐿𝐼 < 𝑥̅ , osea 36.55% < 46.67% ∴ 𝑆𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 𝑁𝑢𝑙𝑎 b) Tienen 2 o más televisores Hipótesis Nula 𝐻0 : 𝑝 = 60% Hipótesis Nula 𝐻1 : 𝑝 > 60% n = 75 49 𝑝̅ = = 65.33% 75 𝛼 = 0.01 Hallamos el valor crítico “Z”: Para 𝛼 = 0.01  Z = 2.33

Hallamos el Límite Superior: 𝐿𝑆 = 𝑝 + 𝑍 ∗ √

𝑝∗𝑞 𝑛

0.6 ∗ 0.4 𝐿𝑆 = 0.6 + 2.33 ∗ √ 75 𝐿𝑆 = 0.7318 = 73.18% Como 𝐿𝑆 > 𝑥̅ , osea 73.18% > 65.33% ∴ 𝑆𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 𝑁𝑢𝑙𝑎

7. El Ministerio de Minas declaró que casi 45% de trabajadores de minería tienen diabetes, aunque no necesariamente es así. Para probar la afirmación del ministerio, se eligió una muestra aleatoria de 80 personas y se encontró que 32 tenían diabetes. ¿Hay suficiente evidencia para disputar la afirmación del ministerio respecto a la proporción de personas con diabetes en minería? Use un nivel de significancia de 0.01. Hipótesis Nula 𝐻0 : 𝑝 = 45% Hipótesis Nula 𝐻1 : 𝑝 < 45% n = 80 32 𝑝̅ = = 40% 80 𝛼 = 0.01 Hallamos el valor crítico “Z”: Para 𝛼 = 0.01  Z = 2.33 Hallamos el Límite Inferior: 𝐿𝐼 = 𝑝 − 𝑍 ∗ √

𝑝∗𝑞 𝑛

0.45 ∗ 0.55 𝐿𝐼 = 0.45 − 2.33 ∗ √ 80 𝐿𝐼 = 0.32 = 32% Como 𝐿𝐼 < 𝑥̅ , ósea 32% < 40% ∴ 𝑆𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 𝑁𝑢𝑙𝑎

8. En un experimento sobre percepción extra sensorial, un individuo tiene que averiguar el color (rojo o azul) de una carta extraída de un grupo de 50 cartas, perfectamente barajadas. El sujeto desconoce cuántas cartas rojas o azules existen en total. Si al finalizar de extraer las 50 cartas, el individuo identifica correctamente 32 cartas, determine si los resultados son significativos y la persona tiene realmente poderes extrasensoriales. Utilice a)un nivel de significancia de 0.05 y b) un nivel de significancia de 0.01. a) Para un nivel de significancia 0.05

Hipótesis Nula 𝐻0 : 𝑝 = 50% Hipótesis Nula 𝐻1 : 𝑝 > 50% n = 50 32 𝑝̅ = = 64% 50 𝛼 = 0.05 Hallamos el valor crítico “Z”: Para 𝛼 = 0.05  Z = 1.63 Hallamos el Límite Superior: 𝐿𝑆 = 𝑝 + 𝑍 ∗ √

𝑝∗𝑞 𝑛

0.5 ∗ 0.5 𝐿𝑆 = 0.5 + 1.63 ∗ √ 50 𝐿𝑆 = 0.6153 = 61.53% Como 𝐿𝑆 < 𝑥̅ , ósea 61.53% < 64% ∴ 𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝑙𝑎 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 𝑁𝑢𝑙𝑎 𝑦 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎 𝑎𝑙 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑢𝑛𝑎 persona 𝑞𝑢𝑒 tiene realmente poderes extrasensoriales b) Para un nivel de significancia 0.01 Hipótesis Nula 𝐻0 : 𝑝 = 50% Hipótesis Nula 𝐻1 : 𝑝 > 50% n = 50 32 𝑝̅ = = 64% 50 𝛼 = 0.01 Hallamos el valor crítico “Z”: Para 𝛼 = 0.05  Z = 2.33 Hallamos el Límite Superior: 𝐿𝑆 = 𝑝 + 𝑍 ∗ √

𝑝∗𝑞 𝑛

0.5 ∗ 0.5 𝐿𝑆 = 0.5 + 2.33 ∗ √ 50 𝐿𝑆 = 0.6648 = 66.48% Como 𝐿𝑆 < 𝑥̅ , ósea 66.48% > 64% ∴ 𝑆𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 𝑁𝑢𝑙𝑎 𝑦 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎 𝑎𝑙 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑢𝑛𝑎 persona 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜 tiene realmente poderes extrasensoriales 9. Las especificaciones para la producción de una cierta aleación señalan un porcentaje de 23.2% de cobre. Una muestra de 10 análisis del producto mostró una media del contenido de cobre de 23.5% y una desviación estándar de 0.24%. ¿Podemos concluir a

un nivel de significancia de a) 0.01 y b) 0.05, que el producto satisface las especificaciones requeridas? SOLUCION: a) Para un nivel de significancia de 0.01 Hipótesis Nula 𝐻0 : 𝜇 = 23.2% Hipótesis Nula 𝐻1 : 𝜇 < 23.2% n = 10 𝑥̅ = 23.5 % 𝜎 = 0.24 % 𝛼 = 0.01 Hallamos el valor crítico “Z”: Para 𝛼 = 0.01  Z = 2.58 Hallamos los Límites requeridos de producción: 𝜎 𝐿=𝜇±𝑍∗ √𝑛 0.24 𝐿 = 23.2 ± 2.58 ∗ √10 𝐿𝐼 = 23% … . . 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝐿𝑆 = 23.4% … . . 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 Como 23.5% no está dentro de los limites requeridos por lo tanto se rechaza la hipótesis nula y el producto no satisface las especificaciones requeridas b) Para un nivel de significancia de 0.05 Hipótesis Nula 𝐻0 : 𝜇 = 23.2% Hipótesis Nula 𝐻1 : 𝜇 < 23.2% n = 10 𝑥̅ = 23.5 % 𝜎 = 0.24 % 𝛼 = 0.05 Hallamos el valor crítico “Z”: Para 𝛼 = 0.05  Z = 1.96 Hallamos los Límites requeridos de produccion: 𝜎 𝐿=𝜇±𝑍∗ √𝑛 0.24 𝐿 = 23.2 ± 1.96 ∗ √10 𝐿𝐼 = 23.05% … . . 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝐿𝑆 = 23.35% … . . 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 Como 23.5% no está dentro de los limites requeridos por lo tanto se rechaza la hipótesis nula y el producto no satisface las especificaciones requeridas

10. Un nuevo proceso para producir diamantes sintéticos sólo puede funcionar a un nivel rentable si el peso promedio de los diamantes que se obtengan es mayor que 0.5 quilates. Para evaluar la rentabilidad del proceso se generan seis diamantes cuyos pesos son 0.46, 0.61, 0.52, 0.48, 0.57 y 0.54 quilates. ¿Las seis mediciones proporcionan suficiente evidencia de que el peso promedio de los diamantes que se obtienen con este proceso sobrepasa 0.5 quilates? Use un nivel de significancia de 0.05. Para un nivel de significancia de 0.05 Hipótesis Nula 𝐻0 : 𝜇 = 0.5 𝑞𝑢𝑖𝑙𝑎𝑡𝑒𝑠 Hipótesis Nula 𝐻1 : 𝜇 > 0.5 𝑞𝑢𝑖𝑙𝑎𝑡𝑒𝑠 n=6 0.46 + 0.61 + 0.52 + 0.48 + 0.57 + 0.54 𝑥̅ = 6 𝑥̅ = 0.53 𝑞𝑢𝑖𝑙𝑎𝑡𝑒𝑠 6

1 ∑(𝑥̅ − 𝑥𝑖 )2 𝜎 = 𝑛−1 2

𝑖=1

(0.53 − 0.46)2 + (0.53 − 0.61)2 + (0.53 − 0.52)2 + (0.53 − 0.48)2 + (0.53 − 0.57)2 + (0.53 − 0.54)2 𝜎 = 6 2

𝜎 = 0.056 𝛼 = 0.05 Hallamos el valor crítico “Z”: Para 𝛼 = 0.05  Z = 1.64 Hallamos el Limite Superior: 𝐿=𝜇+𝑍∗

𝜎

√𝑛 0.056 𝐿 = 0.5 + 1.64 ∗ √6 𝐿𝑆 = 0.5375 Como 𝐿𝑆 > 𝑥̅ , ósea 0.5375 > 0.53 ∴ 𝑆𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 𝑁𝑢𝑙𝑎 𝑦 𝑑𝑖𝑐ℎ𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒