RACIOCÍNIO LÓGICO ©
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1. TABELA VERDADE
2. EQUIVALÊNCIA LÓGICA
Conjunção ... e ... [ ^ ]
V apenas se ambas forem verdadeiras F demais casos
Disjunção ... ou ... [ v ]
V houve no mínimo uma V F apenas se ambas forem F
PeQ=QeP P e P = P ou P = P P e (P ou Q) = P P ou (P e Q) = P
Disj. Exclusiva Ou ... ou [ v ]
“Condição suficiente gera resultado necessário” F somente quando V → F (uma condição suficiente não pode gerar um resultado falso) “Mutuamente Excludentes” V valores lógicos diferentes F nunca poderão ser V ou F ao mesmo tempo
Bicondicional Se e somente se [↔]
V ambas tiverem os mesmos valores lógicos F tiverem os valores lógicos diferentes
Condicional Se... então ... [ → ]
Nenhum A é B = Todo A é não B
3. DIAGRAMAS DE VENN COM NÚMEROS
(TIPO 1A) TODO ... É ... 2º 1º
3º 2º
e(^)
ou ( v )
se.. .então... (→ )
ou...ou... ( v )
se e somente se (↔ )
V
V
V
V
V
F
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
V
V
V
F
F
F
F
F
V
F
V
TAUTOLOGIA CONTRADIÇÃO CONTINGÊNCIA
Última coluna da Tabela Verdade
V F há valores V e F
NEGAÇÃO Conjunção Disjunção Condicional Bicondicional Todo A é B Algum A é B
~ (p ^ q) ~ (p v q) ~ (p → q) ~ (p ↔ q)
~p v ~q ~p ^ ~q p ^ ~q (p ^ ~q) v (q ^ ~p) Algum A não é B Nenhum A é B
P → Q = ~Q → ~P P → Q = ~P ou Q P↔Q=Q↔P P ↔ Q = (P → Q) e (Q → P) Todo A é B = Nenhum A é não B
3º 2º
3º
Algum A não é B
Todo A é B Nem todo B é A
A
Algum B não é A
começar a montar o diagrama a partir das interseções (de dentro para fora), sempre subtraindo os valores (TIPO 1B) ALGUM ... É ...
A
B
B Algum Algum B A é B não é A
(TIPO 2) JOGO DE PALAVRAS feio ≡ não feio / não feio ≠ bonito todo ≡ não todo / não todo ≠ nada alto ≡ não alto / não alto ≠ baixo
(TIPO 1C) NENHUM ... É ...
A
Nenhum A é B
B
Nenhum B é A
(TIPO 4) NÃO É VERDADE QUE
(TIPO 3) CONTRADIÇÕES duas frases, ver se há contradição entre elas Ex: Todo espião é não vegetariano e algum vegetariano é espião (TIPO 5) 2 FRASES, 3 CONJUNTOS
- o conjunto proposto é falso - pode ser dos três tipos anteriores - o conjunto complementar é V
- relação de 2 em 2 conjuntos. - montam-se três alternativas: algum, nenhum ou total contato entre eles.
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4. DIAGRAMA LÓGICO
Resolução:
- relação entre pessoas e objetos: “a quem pertence o que”
(1º) Diagramas (de Venn):
SEMPRE MONTAR TABELA: pessoas → linhas; objetos → colunas TIPO 1: “Artur, Bernardo e César; Brasília, Parati e Santana; Cores cinza, verde e azul. Carro Artur: cinza; Carro César: Santana. Carro Bernardo: não é verde e não é Brasília. As cores dos carros são:” Após descobrir o que pertence a quem, cancelar outras linhas/colunas. TIPO 2: há quem diz a verdade, mente e quem diz os 2. “Ana, Maria e Cláudia; Vestidos: azul, branco e preto; A de azul: “Ana está de Branco”; Branco: “Eu sou Maria”; Preto: “Cláudia está de Branco”; Ana sempre diz a verdade; Maria, às vezes; Cláudia, mente.” A partir da pessoa que diz a verdade, monta a tabela como se ela estivesse falando as frases e ver se tem sentido. TIPO 3: duas frases; uma verdadeira, outra falsa “Qual a classificação de André, Beto, Caio e Dênis? 1 – André foi 1º, Beto foi 2º; 2 – André foi 2º, Denis foi 3º; 3 – Caio foi 2º, Denis o 4º” a) julgar qual é V e qual é F; ver se tem sentido. b) atribuir as frases às pessoas.
5. LÓGICA DA ARGUMENTAÇÃO Utilizado quando (observar nas premissas): 1º Diagramas
todo, nenhum e algum
2º Tabela-Verdade
No máximo duas proposições simples (deve-se sempre preferir esse método)
3º premissas = V testar conclusão= V
4º premissas = V conclusão = F
Há proposição simples ou uma conjunção (e) conclusão: proposição simples ou disjunção (ou) ou condicional (se...então)
Todo (tipo 1A); algum (tipo 1B); nenhum (tipo 1C). (2º) Tabela-Verdade: a) Montar a Tabela Verdade com todas as premissas e adicionar uma coluna para a conclusão b) Verificar quais são as linhas em que os valores lógicos das premissas são verdadeiros. Destacá-las. c) Se nas linhas em que VL(Pi)=V, VL(C)=V, o argumento é válido; Se em ao menos numa linha o VL(C)=F, o argumento é inválido P V V F F
Q V F V F
P1: P→Q V F V V
P2: ~P F F V V
C: ~Q F V F V
Contradição!
Há contradição! Portanto, o argumento “P→Q e ~P” é inválido! (3º) Premissas verdadeiras (testar conclusão V) a) considerar VL(Pi)=V. b) utilizar o valor lógico das premissas através das operações lógicas dos conectivos para descobrir o VL das proposições. c) Se VL(C)=V, o argumento é válido (a) P1: P v Q = V P2: ~P = V C: Q
(b) se VL(~P) = V, então VL(P) = F se VL(P v Q) = V e VL(P) = V, então VL(Q) = V (c) como VL(Q) = V, então VL(C)=V : argumento válido
(4º) Premissas verdadeiras e conclusão falsa - mesma lógica do método anterior, só que se verifica se a conclusão apresenta um argumento inválido, ou seja, supõe-se que VL(C) = F. - se aparecer alguma contradição nas premissas, indicando um valor lógico não falso para a conclusão, então o argumento é válido.
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6. ESTRUTURAS LÓGICAS
Se não durmo, bebo. Se estou furioso, durmo. Se durmo, não estou furioso. Se não estou furioso, não bebo. Logo:
Utilizado quando a questão dá as premissas e a conclusão é uma das alternativas.
P1: ~D→B ≡ ~B→D P2: Fu→D P3: D→~Fu P4: ~Fu→~B
[1º TIPO] Uma das premissas apresenta somente uma forma de ser verdadeira [proposição simples ou composta tipo conjunção (P1 e P2)] Resolução: 3º Método de Validação de Argumentos a) considerar VL(Pi)=V, e descobrir os VLs das proposições simples. b) a partir dos VLs das proposições simples, encontrar qual a alternativa que traz uma proposição com VL verdadeiro. [2º TIPO] Todas as premissas possuem mais de uma forma de ser verdadeira. Há dois métodos para sua resolução 1º método: semelhante ao tipo anterior com uma especificidade. 1. considerar todas as premissas verdadeiras;
2. atribuir um valor lógico (V ou F) para uma das proposições simples; 3. substituir este valor lógico (escolhido do 2º passo) nas premissas e verificar se está correto, ou seja, não há alguma contradição entre os resultados obtidos. 2º método: encadeamento lógico das premissas 1. modificar a segunda parte da condicional de uma premissa para que ela seja igual à primeira parte da condicional da premissa seguinte 2. feita por tentativa e erro até que se encaixe uma premissa a outra 3. montar uma tabela com tudo V e a partir da 2ª linha, adicionar um F até chegar a todas as colunas F 4. verificar se há alguma linha em que não haja contradição entre os valores lógicos das premissas (tipo P = V e ~P = V) dica: ocorre freqüentemente o encadeamento do tipo (p→q)=(~q→~p). para memorizar: “inverte e troca” (inverte a ordem e troca o sinal)
Encadeamento: Fu → D → ~Fu → ~B → D (P2 / P3 / P4 / P1) 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª
Fu V F F F F F
D V V F F F F
~Fu V V V F F F
~B V V V V F F
D V V V V V F
Contradição! → Fu e ~Fu OK! Contradição! → D, Fu e ~Fu Contradição! → D, Fu e ~Fu Contradição! → D, Fu e ~Fu Contradição! → Fu e ~Fu
Conclusão: Não estou furioso (Fu:F), não bebo (~B:V) e dirijo (D:V)
7. CONTAGEM (A) PERMUTAÇÃO: n elementos em n posições diferentes.
P n = n.( n − 1).(n − 2)...2.1 = n! (B) ARRANJO: grupos de r elementos a partir de n elementos, onde a ordem importa.
Arn =
n! (n − r )!
(C) COMBINAÇÃO: grupos de r elementos a partir de n elementos, onde a ordem não é importante. Simples: cada elemento pode ser contado apenas uma vez
C rn =
n! r!.(n − r )!
Com Repetição: cada elemento pode ser contado + de uma vez.
C rn =
(n + r − 1)! r!.(n − 1)!
