Espiral logaritmica

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INDICE 1.

INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................... 2

2.

OBJETIVOS ................................................................................................................................... 2

3.

2.1

OBJETIVO GENERAL ............................................................................................................. 2

2.2

OBJETIVO ESPECÍFICO ......................................................................................................... 2

MARCO TEÓRICO ......................................................................................................................... 3 3.1

ESTABILIDAD DE TALUDES ................................................................................................... 3 MÉTODOS DE ESTABILIZACIÓN DE TALUDES .............................................................. 4 3.1.1.1

MÉTODOS DE EQUILIBRIO LÍMITE ........................................................................... 4

3.1.1.1.1 MÉTODO DE LA ESPIRAL LOGARÍTMICA............................................................ 5 3.1.1.1.1.1 PLANTEAMIENTO MATEMÁTICO DEL MÉTODO DE LA ESPIRAL LOGARÍTMICA .................................................................................................................. 6 4.

APLICACIÓN DEL MÉTODO DE LA ESPIRAL LOGARÍTMICA ........................................................ 11 4.1

DATOS DEL PROYECTO ...................................................................................................... 11

4.2

ANÁLISIS DEL TALUD POR EL MÉTODO DE LA ESPIRAL LOGARÍTMICA ............................. 11

5.

CONCLUSIONES ......................................................................................................................... 17

6.

BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................ 18

7.

ANEXOS ..................................................................................................................................... 19 7.1

PLANO TOPOGRÁFICO ....................................................................................................... 19

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1. INTRODUCCIÓN El objetivo principal de un estudio de estabilidad de taludes o laderas es el de establecer medidas de prevención y control para reducir los niveles de amenaza y riesgo. La inestabilidad de un talud, se puede producir por un desnivel, que tiene lugar por diversas razones: 

Razones geológicas: laderas posiblemente inestables, orografía acusada, estratificación, meteorización, etc.



Variación del nivel freático: situaciones estacionales, presión de poros y obras realizadas por el hombre.



Obras de ingeniería: rellenos o excavaciones.

Los taludes además serán estables dependiendo de la resistencia del material del que estén compuestos, los empujes a los que son sometidos o las discontinuidades que presenten. En el presente trabajo se estudia un método específico sobre estabilidad de taludes, el Método de La Espiral Logarítmica, que logra una solución estáticamente determinante asumiendo una forma espiral logarítmica específica para la superficie de deslizamiento.

2. OBJETIVOS 2.1

OBJETIVO GENERAL 

Estudiar, analizar y realizar un ejemplo de Estabilización de Taludes aplicando el método de La Espiral Logarítmica.

2.2

OBJETIVO ESPECÍFICO 

Conocer los factores que intervienen en la estabilidad de los taludes mediante el Método de la Espiral Logarítmica.



Analizar las ventajas y desventajas del método de La Espiral Logarítmica frente a otros métodos de estabilización.

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3. MARCO TEÓRICO 3.1

ESTABILIDAD DE TALUDES “Por talud se entiende una porción de vertiente natural cuyo perfil original ha sido modificado con intervenciones artificiales relevantes con respecto a la estabilidad” Para resolver un problema de estabilidad es necesario tener en cuenta las ecuaciones de campo y los vínculos constitutivos. Las primeras tienen que ver con el equilibrio, mientras que los vínculos describen el comportamiento del terreno. Tales ecuaciones son particularmente complejas ya que los terrenos son sistemas multifase, que se pueden convertir en sistemas monofase solo en condiciones de terreno seco, o de análisis en condiciones drenadas. En la mayor parte de los casos nos encontramos con suelos que además de saturados, son también bifase, lo que vuelve notoriamente complicado el análisis de las ecuaciones de equilibrio. Además es prácticamente imposible definir una ley constitutiva de validez general, ya que los terrenos presentan un comportamiento no-lineal y aún en caso de pequeñas deformaciones, son anisótropos y su comportamiento depende no solo del esfuerzo desviador, sino también del normal. Para enfrentar estas dificultades se introducen hipótesis que ayuden a simplificar:

1. Se usan leyes constitutivas simplificadas: modelo rígido perfectamente plástico. Se asume que la resistencia del suelo se expresa únicamente con los parámetros cohesión (c) y ángulo de rozamiento (∅), constantes para el terreno y característicos del estado plástico. Por tanto, se considera válido el criterio de rotura de Mohr -Coulomb.

2. En algunos casos se satisfacen solo en parte las ecuaciones de equilibrio.

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MÉTODOS DE ESTABILIZACIÓN DE TALUDES 3.1.1.1 MÉTODOS DE EQUILIBRIO LÍMITE Se basan exclusivamente en las leyes de la estática para determinar el estado de equilibrio de una masa de terreno potencialmente inestable. No tienen en cuenta las deformaciones del terreno. Suponen que la resistencia al corte se moviliza total y simultáneamente a lo largo de la superficie de corte. Se pueden clasificar a su vez en dos grupos: 

MÉTODOS EXACTOS: La aplicación de las leyes de la estática proporciona una solución exacta del problema con la única salvedad de las simplificaciones propias de todos los métodos de equilibrio límite (ausencia de deformaciones, factor de seguridad constante en toda la superficie de rotura, etc.). Esto sólo es posible en taludes de geometría sencilla, como por ejemplo la rotura planar y la rotura por cuñas.



MÉTODOS NO EXACTOS: En la mayor parte de los casos la geometría de la superficie de rotura no permite obtener una solución exacta del problema mediante la única aplicación de las leyes de la estática. El problema es hiperestático y ha de hacerse alguna simplificación o hipótesis previa que permita su resolución. Se pueden considerar así los métodos que consideran el equilibrio global de la masa deslizante, hoy en desuso, y los métodos de las dovelas o rebanadas, que consideran a la masa deslizante dividida en una serie de fajas verticales.

Los métodos de las dovelas o rebanas pueden clasificarse en dos grupos: 

MÉTODOS APROXIMADOS: No cumplen todas las ecuaciones de la estática. Se pueden citar por ejemplo los métodos de Fellenius, Janbu y Bishop simplificado.

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

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MÉTODOS PRECISOS O COMPLETOS: Cumplen todas las ecuaciones de la estática. Los más conocidos son los de Morgenstern-Price, Spercer, Método de la Espiral Logarítmica y Bishop riguroso.(Fernando Rodríguez, 2000).

3.1.1.1.1

MÉTODO DE LA ESPIRAL LOGARÍTMICA En el procedimiento de la espiral logarítmico se logra una solución estáticamente determinante asumiendo una forma espiral logarítmica específica para la superficie de deslizamiento. El radio de la forma espiral varía con el ángulo de rotación, alrededor del centro de la espiral de acuerdo con la expresión:

𝐫 = 𝐫𝟎 𝐞𝛉 𝐭𝐚𝐧 ∅𝒅

(1)

Donde: r = la distancia radial desde el punto central a un punto en la espiral. r0 = el radio inicial, 𝜃 = ángulo entre r y r0. ∅𝑑 = ángulo de fricción desarrollado depende del ángulo de fricción del suelo y del factor de seguridad.

Figura 01: Pendiente y superficie de deslizamiento espiral logarítmica (Duncan y Wright, 2005)

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Las tensiones a lo largo de la superficie de deslizamiento consisten en la tensión normal (𝜏) y la tensión de cizallamiento (σ) que pueden expresarse mediante las siguientes ecuaciones: 𝑪

𝝉=𝑭+𝝈

𝒕𝒂𝒏∅ 𝑭

𝝉 = 𝒄𝒅 + 𝝈 𝒕𝒂𝒏∅𝒅

(2) (3)

Donde (C, ø) son los parámetros de resistencia al corte, (Cd, ød) son los parámetros de resistencia al corte desarrollados, y F es el factor de seguridad. Al asumir esta forma, las fuerzas resultantes producidas por las tensiones normales y las componentes de fricción del esfuerzo cortante (tanød) pasan a través del centro de la espiral. Por lo tanto, no producen ningún momento neto sobre el centro de la espiral y las únicas fuerzas que producen momento sobre el centro espiral son la fuerza de peso y la cohesión desarrollada que puede utilizarse para obtener el factor de seguridad. Puesto que la superficie de cizallamiento se define asumiendo el valor de (ød), la cohesión desarrollada, que se calcula, puede dar lugar a diferentes factores de seguridad con respecto a la cohesión que se supone al calcular (ød). Por lo tanto, varios ensayos deben hacerse para obtener un equilibrado factor de seguridad que satisface:

𝑭=

𝑪 𝒄𝒅

=

𝒕𝒂𝒏∅ 𝒕𝒂𝒏∅𝒅

(4)

3.1.1.1.1.1 PLANTEAMIENTO MATEMÁTICO DEL MÉTODO DE LA ESPIRAL LOGARÍTMICA Al aplicar el Método Sueco es preciso introducir una hipótesis simplificativa respecto a la distribución de esfuerzos de la superficie de deslizamiento; de otro modo el problema resulta estáticamente indeterminado. Rendulic evita esta situación no deseable utilizando

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como superficie de falla hipotética un arco de espiral logarítmica, de ecuación:

𝒓 = 𝒓𝟎 . 𝒆𝜽.𝒕𝒂𝒏 ∅

(5)

Donde el sentido de las letras es el indicado en la fig. 02 y ∅ es el ángulo de fricción interna del suelo, la propiedad que hace útil a la espiral en los análisis de estabilidad

es que su radio vector en

cualquier punto forma precisamente el ángulo ∅ con la normal a la curva en dicho punto. Así todas las fuerzas resultantes de las reacciones normales y de fricción actuantes en los elementos de línea sobre la curva pasan por el centro de la curva O.

(a)

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(b) Fig. 02: Espiral Logarítmica

Se considera los siguientes cuatro parámetros, con el objeto de simplificar el planteamiento matemático del método.

𝒎 = 𝒆𝜸𝒄 .𝒕𝒂𝒏(∅) 𝒈=

𝟏 𝑺𝒆𝒏𝜶√𝟏 + 𝒎𝟐 − 𝟐𝒎 𝑪𝒐𝒔𝜸𝒄

=

𝒓𝟎 𝑯

𝒔𝒆𝒏𝜸𝒄 𝜺 = 𝜶 + 𝑨𝒓𝒄𝑺𝒆𝒏 [ ] √𝟏 + 𝒎𝟐 − 𝟐𝒎 𝑪𝒐𝒔𝜸𝒄 𝝎 = 𝝅 − 𝜸𝒄 − 𝜺 Donde γc y α se han tomado como los parámetros para definir la espiral. Considere también las siguientes fuerzas que actúan en el talud. 

W= peso de la tierra deslizante.j



C = fuerza de cohesión desarrollada a lo largo de la superficie de deslizamiento.



P = fuerza total resultante de los efectos normales y de fricción a lo largo de la superficie de deslizamiento. Sean:



M1= Momento en torno a O de la masa de tierra representada por el área OACBO.

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

M2= Momento en torno a O de la masa de tierra representada por el área OAFO.



M3= Momento en torno a O de la masa de tierra representada por el área BDFB. Entonces el momento flector del peso W es:

𝑴𝑾 = 𝑴𝟏 − 𝑴𝟐 −𝑴𝟑

(6)

En la fig. 02 puede verse que ya: 𝜸 𝒓𝟑

𝑴𝟏 = 𝜸 ∫𝟎 𝒄

𝟑

𝜸𝒈𝟑 𝑯𝟐

𝒄𝒐𝒔(𝜽 + 𝝎)𝒅𝜽 = 𝟑(𝟗𝒕𝒂𝒏𝟐 ∅+𝟏) [(𝒎𝟑 𝒔𝒆𝒏𝜺 − 𝒔𝒆𝒏 𝝎) −

𝟑𝒕𝒂𝒏∅(𝒎𝟑 𝒄𝒐𝒔𝜺 + 𝒄𝒐𝒔 𝝎)]

(7)

𝟏

𝑴𝟐 = 𝟔 𝜸𝒈𝟐 𝑯𝟑 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝝎(𝒄𝒐𝒕𝟐 𝝎 − 𝒄𝒐𝒕𝟐 𝜺) (8) 𝟏

𝑴𝟑 = 𝜸𝑯𝟑 [𝒄𝒐𝒕𝟐 𝜷 − 𝒄𝒐𝒕𝟑 𝜺 − 𝟑𝒎𝒈 𝒄𝒐𝒔𝜺(𝒄𝒐𝒕𝜷 − 𝒄𝒐𝒕𝜺)] 𝟔

(9)

Si Mw es el momento de la fuerza W, Mc el de la fuerza C y Mp es el de la P (nulo por pasar esta fuerza por 0), se tiene:

𝑴𝑾 + 𝑴𝑪 = 𝟎 Introduciendo un factor de seguridad Fc , respecto a la “cohesión", podrá escribirse:

𝑴𝑾 +

𝑴𝑪 𝑭𝒄

=𝟎

En la figura 02 puede ahora verse que:

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(10)

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𝜸

𝑴𝟏 = − ∫𝟎 𝒄 𝒄𝒓𝟐 𝒅𝜽 =

𝒄𝒈𝟐 𝑯𝟐 𝟐𝒕𝒂𝒏∅

(𝒎𝟐 − 𝟏)

(11)

Si se substituyen las expresiones 11, 7, 8 y 9 en las (6) y (10) se obtiene: 𝒄 𝑭𝒄

𝒕𝒂𝒏∅

= 𝟑𝒈𝟐 (𝒎𝟐 −𝟏) [ 𝜸𝑯

𝟐𝒈𝟑 ((𝒎𝟑 𝒔𝒆𝒏𝜺−𝒔𝒆𝒏 𝝎)−𝟑𝒕𝒂𝒏∅(𝒎𝟑 𝒄𝒐𝒔𝜺+𝒄𝒐𝒔 𝝎)) 𝟗𝒕𝒂𝒏𝟐 ∅+𝟏

+

𝒈𝟑 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝝎(𝒄𝒐𝒕𝟐 𝜺 − 𝒄𝒐𝒕𝟐 𝝎) + 𝟑𝒎𝒈𝒄𝒐𝒔𝜺(𝒄𝒐𝒕𝜷 − 𝒄𝒐𝒕𝜺) − 𝒄𝒐𝒕𝟐 𝜷 + 𝒄𝒐𝒕𝟐 𝜺]

(12)

La ecuación (12) se aplica cuando la superficie de falla pasa por el pie del talud (caso a de la fig. 02). Cuando la falla es de base, (2-b), la condición más desfavorable ocurre cuando el centro de la espiral está en la vertical por el punto medio del talud y entonces: 𝟏

𝒏 = 𝒎𝒈 𝒄𝒐𝒔 𝜺 − 𝟐 𝒄𝒐𝒕𝜷

(13)

Respecto al caso de falla por el pie del talud hay ahora un incremento de momento motor que vale:

𝟏

𝜸𝑵𝟐 𝑯𝟐 = 𝟐

𝜸𝑯𝟐 𝟐

𝟏

(𝒎𝒈 𝒄𝒐𝒔𝜺 − 𝟐 𝒄𝒐𝒕𝜷)

𝟐

(14)

Esto hace que la ec. (12) se modifique para falla de base a la forma: 𝒄

𝒕𝒂𝒏∅

𝟐𝒈𝟑 ((𝒎𝟑 𝒔𝒆𝒏𝜺−𝒔𝒆𝒏 𝝎)−𝟑𝒕𝒂𝒏∅(𝒎𝟑 𝒄𝒐𝒔𝜺+𝒄𝒐𝒔 𝝎))

= 𝟑𝒈𝟐 (𝒎𝟐 −𝟏) [ 𝜸𝑯

𝟗𝒕𝒂𝒏𝟐 ∅+𝟏

+ 𝟏

𝒈𝟑 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝝎(𝒄𝒐𝒕𝟐 𝜺 − 𝒄𝒐𝒕𝟐 𝝎) + 𝟑𝒎𝒈𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜺(𝒎𝒈 − 𝒄𝒔𝒄 𝜺) − 𝟒 𝒄𝒐𝒕𝟐 𝜷 + 𝒄𝒐𝒕𝟐 𝜺]

(15)

Para cualquier valor de los ángulos central γc y α escogidos, pueden evaluarse m, g, 𝜺 y n, después de lo cual puede calcularse n con la

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expresión (13). Si n resulta negativa, la falla a esperar será por el pie del talud y deberá usarse la expresión (12); si n resulta positiva, se usara la (15). Así se obtiene un número de estabilidad máximo definido por Taylor, para el talud en estudio.

𝑵𝑪 =

𝒄 𝑭𝒄 𝜸𝑯

Este debe ser comparado con el obtenido aplicando la anterior expresión, calculada con los valores del suelo real y del talud en cuestión.

4. APLICACIÓN DEL MÉTODO DE LA ESPIRAL LOGARÍTMICA 4.1

DATOS DEL PROYECTO 

PROYECTO

: Estabilidad de Taludes.



UBICACIÓN

: Universidad Nacional del Centro del Peru.



ACTIVIDADES

: Levantamiento Topográfico.

Imagen Satelital del Pabellón de Laboratorios de Ingeniería de la UNCP

4.2

ANÁLISIS DEL TALUD POR EL MÉTODO DE LA ESPIRAL LOGARÍTMICA 

Planteamiento Matemático del Método de la Espiral Logarítmica:

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

Aplicación en el Talud de estudio. PERFIL DEL TERRENO:

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DATOS NECESARIOS Cohesion Peso Específico Altura

C 𝜸 H ANGULO β α ∅

Ángulo de Fricción

0.31 2.18 7.864

kg/cm2 kg/cm3 m

(°) 36.251 22.912 78.708 14.11

(rad) 0.63 0.40 1.37 0.25

PARAMETROS SIMPLIFICADOS .

=

=

−

(∅)

−

𝟏 𝒏 = 𝒎𝒈 𝐜𝐨𝐬 𝜺 − 𝒄𝒐𝒕𝜷 𝟐

m=

1.412

g=

1.644

ε=

1.078

w=

0.690

n=

0.416

VARIABLES PARA ECUACIONES CÁLCULO DE Nc -Si n resulta negativa, la falla a esperar será por el pie del talud y deberá usarse la expresión (12) -Si n resulta positiva, se usara la expresión (15). Así se obtiene un número de estabilidad máximo definido por Taylor, para el talud en estudio.

CONSTANTE Si n < 0 Si n > 0

C1 C2 V1 V2

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0.031168 0.120514 1.152178 0.144894

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De las Ecuaciones:

Ecuación (12)

Ecuación (15)

Y teniendo en cuenta el valor de ¨n¨ para determinar donde se presentara la falla:

Se determina que la falla se presentara en la Base del Talud.

NUMERO DE ESTABILIDAD MAXIMO DE TAYLOR (Ne) FALLA EN LA BASE DEL TALUD

Nc

0.008272

FALLA EN EL PIE DEL TALUD

Nc

0.039667

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FACTOR DE SEGURIDAD F.S.

2.185941

De acuerdo al análisis, la línea de falla del talud seria como se muestra a continuación: 𝜸𝑪

∅

ro

(°) 14.11

12.914 θ

(rad) 0.246

(°)

(rad)

78.708

1.374

𝒆𝜽𝐭𝐚𝐧 ∅

𝒓𝟎 𝒆𝜽 𝐭𝐚𝐧 ∅

(°)

(rad)

0

0.000

1.000

12.914

5

0.087

1.022

13.200

10

0.175

1.045

13.493

15

0.262

1.068

13.792

20

0.349

1.092

14.098

25

0.436

1.116

14.411

30

0.524

1.141

14.731

35

0.611

1.166

15.057

40

0.698

1.192

15.391

45

0.785

1.218

15.733

50

0.873

1.245

16.082

55

0.960

1.273

16.438

60

1.047

1.301

16.803

65

1.134

1.330

17.175

70

1.222

1.359

17.556

75 80

1.309 1.396

1.390 1.420

17.946 18.344

83.417

1.456

1.442

18.621

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Gráfica de la Línea de Falla del Talud

COMENTARIO:

Para el análisis de estabilidad de taludes por el Método de la Espiral Logarítmica se requiere inicialmente realizar un Estudio de Mecánica de Suelos al terreno, mediante el cual se obtendrán los parámetros del suelo, cuyos valores son necesarios para el cálculo matemático del factor de seguridad. Es necesario también realizar un correcto levantamiento topográfico del terreno, para poder obtener así el perfil longitudinal y la altura del Talud. Se realizó el análisis considerando que podría presentarse dos tipos de falla uno al pie de la base y el otro en la base, de acuerdo a la metodología de estudio y teniendo en cuenta que solo se puede presentar un tipo de falla y no ambas a la vez, se determinó que dicha falla podría presentarse en la base del talud y de acuerdo al planteamiento matemático de

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este método, consistente en una serie de ecuaciones se halló un factor de seguridad para la estabilidad del talud de 2.185941.

5. CONCLUSIONES 

El Método de la Espiral Logarítmica logra una solución estáticamente determinante asumiendo una forma espiral logarítmica específica para la superficie de deslizamiento.



El Método de la espiral logarítmica satisface equilibrios de fuerzas y de momentos y eso hace que el procedimiento sea relativamente preciso.



Para aplicar el Método de la Espiral Logarítmica para el estudio de estabilización de taludes, es necesario conocer los parámetros del suelo de estudio como son: el peso específico, ángulo de fricción de interna y cohesión, además de otros valores tales como la altura del talud.



En el análisis de estabilidad del talud por el Método de la Espiral Logarítmica del terreno correspondiente al Pabellón de Laboratorios de Ingeniería de la Universidad Nacional Del Centro Del Perú, se determinó que el factor de seguridad por falla en la base del talud es de 2.185941



Para algunos autores este método es teóricamente el mejor procedimiento para el análisis de taludes homogéneos.

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6. BIBLIOGRAFÍA 

Teoría y Aplicaciones de la Mecánica de Suelos (Eulalio, 1978).



Fundamentos de Ingeniería de Cimentaciones (Braja M. Das)



http://ocw.uis.edu.co/ingenieria-civil/estabilidad-detaludes/clase4/factores_de_seguridad_equilibrio_limite.pdf.

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7. ANEXOS 7.1

PLANO TOPOGRÁFICO

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