Esperanza Matematica

Esperanza Esper anza matemática La esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria discreta es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso.

Los nombre de esperanza matemática y valor esperado tienen su origen en los juegos de azar y hacen referencia a la ganancia promedio esperada por un jugador cuando hac e un gran número de apuestas. Si la esperanza matemática es cero, cero , E(x) = 0, el  ju eg o es equitativo , es decir, no existe ventaja ni para el jugador ni para la banca. Ejemplos Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un segundo premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta? E(x) = 5000 · 0.001 + 2000 · 0.003 = 1 1 € Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 € si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable. E = {(c,c);(c,x);(x,c);(x,x)} p(+1) = 2/4 p(+2) = 1/4 p(−5) = 1/4 E(x)= 1 · 2/4 + 2 · 1/4 - 5 · 1/4 = −1/4. Es desfavorable

Variable aleatoria Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada elemento del espacio muestral E un número real. Se utilizan letras mayúsculas X, Y, ... para designar variables aleatorias, y las respectivas minúsculas minúsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas.

Variable aleatoria discreta Un a variable aleatoria discreta es aquella que sólo puede tomar valores enteros . Ejemplos El número de hijos de una familia, la puntuación obtenida al lanzar un dado.

Variable aleatoria continua Un a variable aleatoria continua es aquella que puede tomar todos posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real. Ejemplos La altura de los alumnos de una clase, las horas de duración de una pila.

los

valores

Distribuciones discretas de probabilidad Función de probabilidad Se llama f unción de probabilidad de una variable aleatoria discreta X a la aplicación que asocia a cada valor de x i  de la variable su probabilidad p i . 0 ≤ pi ≤ 1 p1 + p 2 + p 3 + · · · + p n = Σ pi = 1 Ejemplo Calcular la distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado.

x

p

i

1

2

3

4

5

6 1 Representación La representación de una distribución discreta de probabilidad es un diagrama de barras.

Función de distribución Sea X una variable aleatoria discreta cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor. Llamaremos función de distribución de la variable X , y escribiremos F(x) a la función: F(x) = p(X ≤ x) La función de distribución asocia a cada valor de la va riable aleatoria la probabilidad acumulada hasta ese valor. Ejemplo Calcular la función de distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado. x x