Esperanza Matematica 2007

ESPERANZA MATEMATICA La esperanza matemática también es llamada valor esperado y es una medida de tendencia central además hay que aclarar que la esperanza matemática de una variable aleatoria “x”, es un promedio ponderado de los valores que pueden asumir “x”. Normalmente los problemas sobre esperanza matemática son desarrollados a partir de datos proporcionados y dichos datos son llevados a unas pequeñas tablas donde se representan dichos datos y a esas tablas se les conoce como distribuciones o funciones de probabilidad. La fórmula o ecuación o modelo matemático que se emplea para resolver los problemas de esperanza matemática es la siguiente:

Ex = E = Mx = M =

n

 i1

xi f (xi)

A continuación se muestran varios ejemplos de esperanza matemática

1.- Supóngase un juego con un dado, en este juego el jugador gana $20 si el dado muestra un 2, gana $40 si el dado muestra un 4 y es de $30 si el dado muestra un 6. En tanto que ni pierde ni gana si obtiene otro resultado.

Encontrar la suma esperada a ganar de dinero. La siguiente tabla muestra la punción de probabilidad para este ejemplo.

1

2

3

4

5

6

Xi

0

+ 20

0

+ 40

0

-30

f f(Xi)

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

Se aplica la fórmula de la esperanza matemática, que es la siguiente: Ex = E = Mx = M =

n

 i1

xi f (xi)

SOLUCION: Sustituyendo:  1   1   1     20      0     6   6   6 

Ex  Mx  M   0  

Ex  Mx  M  0 

 40 

 1   1   1     0     30     6   6   6 

20 40 30 0  0 6 6 6

Ex  Mx  M  $ 5

Se deduce que el jugador puede esperar una ganancia de $ 5; por lo tanto en un juego sin trampas debe pagarse $ 5 por cada jugador. FIN

2.- En una lotería hay 200 premios de $150 y 20 premios de $750 y 5 premios de $3000, suponer que se colocan a la venta 10 000 boletos. Construir la tabla de distribución de frecuencias y calcular cuál es el precio justo que se debe de pagar por un boleto. Solución:

Xi

150

750

3000

0

f(Xi)

.02

.0020

.0005

.9775

200 20 5 9775 10000 10000 10000 10000

Se aplica la fórmula de la esperanza matemática, que es la siguiente: Ex = E = Mx = M =

n

 i1

xi f (xi)

M = 150 ( 0. 02) + 750 ( 0. 002) + (3000) ( 0. 0005) + (0) ( 0. 9775) M = 3 + 1.5 + 1.5 M = $6

Es decir el precio justo a pagar por un boleto son $6 sin embargo como el objetivo de una lotería es ganar dinero, el precio del boleto debe de ser superior a $6. FIN

3.- Encontrar el valor esperado o esperanza matemática, sabiendo que se lanza un dado corriente sin trampa, designemos “X “como el doble del número que aparezca en la cara superior de ese dado. También realizar la tabla de distribución de frecuencias. SOLUCION:

No que aparece en la cara superior

1

2

3

4

5

6

Xi

2

4

6

8

10

12

1

1

1

1

1

f(Xi)

6

1

6

6

6

6

6

Se aplica la fórmula de la esperanza matemática, que es la siguiente:

Ex = E = Mx = M =

n

 i1

xi f (xi)

Sustituyendo valores, se tiene:

 6   ( 4 )  16   ( 6 )  16   ( 8 )  16   (10 )  16   (12 )  16 

M E(X)  (2) 1 M E( X )  2

6

 4

6

 6

6

 8

6

 10

6

 12

6

 E(X)  7

FIN

4.- Se lanza un lado corriente, designemos “X” como el triple del número que aparezca en la cara superior de ese dado. Realizar la tabla de distribución de frecuencias y determinar el valor esperado para este ejemplo.

No que aparece en la cara superior

1

2

3

4

5

6

Xi f(Xi) SOLUCION:

3

6

9

12

15

18

1

1

1

1

1

1

6

6

6

6

6

6

Se aplica la fórmula de la esperanza matemática, que es la siguiente:

Ex = E = Mx = M =

n

 i1

xi f (xi)

Sustituyendo valores se tiene:

 

 

 

 

 

 

M  E ( X )  ( 3 ) 1  ( 6 ) 1  ( 9 ) 1  (12 ) 1  (15 ) 1  (18 ) 1 6 6 6 6 6 6 M  E( X )  3

6

 6

6

 9

6

 12

6

 15

6

 18

6

 E ( X )  10. 5

FIN

5.- Un jugador lanza un dado corriente. Si sale un número primo en la cara superior, gana dicho número en pesos, pero si no sale un número primo, entonces pierde esa cantidad en pesos. Realizar la tabla de Distribución de Frecuencias y calcular el valor esperado. SOLUCION: Recordando la definición de numero primo “ es aquel número que únicamente es divisible entre si mismo y entre la unidad ” No que aparece en la cara superior

1

2

3

4

5

6

Xi f(Xi)

-$1

$2

$3

-$4

$5

-$6

1

1

1

1

1

1

6

6

6

6

6

6

Se aplica la fórmula de la esperanza matemática, que es la siguiente:

Ex = E = Mx = M =

xi f (xi)

n

 i1

Sustituyendo valores:

 6   ( $ 2 )  16   ( $ 3 )  16   (  $ 4 )  16   ( $ 5 )  16   (  $ 6 )

M ( X )  (  $1 ) 1

M ( X )  -$ 1  $ 2  $ 3  $ 4  $ 5  $ 6 6 6 6 6 6 6

M(X)  - $ 1

6

Como el valor esperado es negativo, eso quiere decir, que el juego es desfavorable para el jugador.

6.- Se va a jugar una partida con un dado, que se supone esta balanceado. En este juego un jugador gana $ 20 si obtiene un dos en la cara superior del dado; gana $ 40 si obtiene un cuatro; pierde $ 30 si obtiene un seis; y no gana ni pierde si obtiene cualquier otro número. Realizar la tabla de distribución de frecuencias y encontrar la suma esperada de dinero que se puede ganar. SOLUCION: No que aparece en la cara superior del dado

1

2

3

4

5

6

Xi

$0

$ 20

$0

$ 40

$0

- $ 30

1

1

1

1

1

f(Xi)

1

6

6

6

6

6

6

Se aplica la fórmula de la esperanza matemática, que es la siguiente:

Ex = E = Mx = M =

n

 i1

xi f (xi)

Sustituyendo valores:

 

 

 

 

 

E ( X )  ( $ 0 ) 1  ( $ 20 ) 1  ( $ 0 ) 1  ( $ 40 ) 1  ( $ 0 ) 1  ( $ 30 ) 6 6 6 6 6 E ( X )  $ 20

E ( X )  $ 30

6

 $ 40

6

 $ 30

6

6 FIN

E( X)$5

7.- En una lotería existen 200 premios de $ 150, 20 premios de $ 750 y 5 premios de $ 3000, suponer que se colocan a la venta 10 000 boletos. a) ¿Cuál es el precio justo que se debe pagar por cada boleto en esa lotería? SOLUCION: No de premios

200

20

5

9775

Xi

$ 150

$ 750

$ 3000

$0

f(Xi)

200 20 10 000 10 000

5 9775 10 000 10 000

Se aplica la fórmula de la esperanza matemática, que es la siguiente:

Ex = E = Mx = M =

n

 i1

xi f (xi)

Sustituyendo valores:

   $ 750   20    $ 3000   5   M ( X )   $ 150   200   10 000    $ 0   977510 000 10 000  10 000       M (X) 

 $3 

M(X)  $6



 $1. 50 



 $1. 50 



 $0 

Este es el precio justo que se debe pagar por un boleto, sin embargo, como una lotería busca ganar dinero, el precio del boleto debe ser mayor a $ 6