Espectros de Respuesta

 

 

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

CAPÍTULO 2

ESPECTROS DE RESPUESTA

 RESUMEN

Se presenta en forma práctica el método de aceleración lineal para encontrar la respuesta de un sistema de un grado de libertad ante una acción sísmica, para el efecto se ha elaborado un programa en MATLAB MATLAB denominado  denominado LINEAL. LINEAL.   Posteriormente se indica la definición de espectros de respuesta elásticos, los mismos que se hallan con el programa elaborado en MATLAB MATLAB denominado  denominado ESPECTRO. Al leer detenidamente cada una de las instrucciones de los programas LINEAL LINEAL   y ESPECTRO se entenderá mejor la forma como se obtiene la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad y como se encuentran los espectros de respuesta elásticos. Por considerarlo muy práctico se presenta también el uso del programa DEGTRA DEGTRA que  que permite obtenerde espectros de respuesta elásticos e inelásticos y más aspectos relacionados con la dinámica estructuras. Finalmente, se ve la importancia de conocer las formas espectrales en base a dos registros sísmicos, el uno de México de 1985 y el otro de Chile de 1985.

2.1 MÉTOD MÉTODO OD DE E ACELERACIÓN LINEAL EN SISTEMAS SISTEMAS D DE E 1GDL 1GDL La ecuación diferencial que gobierna un sistema de un grado de libertad ante una acción sísmica definida por su acelerograma acelerograma es la siguiente: ..

mq

.

cq

..

k  q

− m U  g  

( 2.1 )

 

 

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

Donde m  es la masa; c  es el amortiguamiento; k   es la rigidez, del sistema de un .

grado de libertad, 1gdl 1gdl,, q  es la respuesta en el tiempo de desplazamiento; q  es la respuesta ..

..

en el tiempo de velocidad; q   es la respuesta en el tiempo de aceleración y U  g   es la aceleración del suelo. Existe una gran cantidad de métodos para encontrar la respuesta lineal de la ecuación diferencial ( 2.1 ). Uno de ellos es el método de Aceleración Lineal que está deducido en el capítulo 4 del libro: Sistema de Computación CEINCI3 para evaluar daño sísmico en los Países Bolivarianos, Aguiar (2002). Aquí se presenta una síntesis del método, orientado a la elaboración de un programa de computación pero antes de ello es necesario manifestar que la ecuación diferencial ( 2.1 ) se puede escribir también de la siguiente manera, al dividir todo para la masa del sistema m . ..

q

.

..

2  W n q  W   q

− U  g

2 n

Siendo W n   la frecuencia natural del sistema y crítico. En el capítulo 1 se vio que: W n   =

k  m

 

ξ  =

( 2.2 )

es el factor de amortiguamiento amortiguamient o

c

2 m k 

 

El método de aceleración lineal, considera que en la respuesta del sistema la .

..

aceleración entre dos instantes de tiempo varía en forma lineal. lineal . Sea qi , q i   y q i , el .

..

desplazamiento, velocidad y aceleración en el tiempo discreto t i   y sea qi +1 , q i +1   y q i +1 , lo propio pero en el tiempo discreto t i +1 . El procedimiento de cálculo es el siguiente:

i.

Se determina la masa equivalente equivalente del sistema  M     c ∆t 

2

k  ∆t 

( 2.3 )   2 6 Donde ∆t  es el incremento de tiempo con el cual se desea hallar la respuesta sísmica.  M 

ii.

Se halla el incremento de carga

m

∆Qi ..

∆Qi

∆Q

∆Q ..

⎛ ⎝

 

⎞ . − q i k  ∆t  2 ⎠ .. ⎛ .. ⎞ m ⎜ U i  1   − U i ⎟   ⎝ ⎠

q i ⎜ c ∆t    

k 

2

∆t 

( 2.4 )

..

Siendo U i ,  U i  1  la aceleración del suelo en los tiempos discretos t i  y t i +1 . ..

iii.

Se halla el incremento de aceleraciones aceleraciones ..

∆q

∆q  ∆Q

  i =  M   

( 2.5 )

 

 

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.

iv.

Se encuentra el incremento de velocidad

∆q  ..

.

..

q i ∆t    

∆q

∆q

2

∆t 

Se determina el incremento de desplazamiento desplazamient o ∆q..   .. . q ∆q 2 2 ∆q ∆t  q i ∆  t   i ∆  t  2 6

v.

vi.

( 2.6 )

( 2.7 )

Se obtiene el nuevo desplazamiento, velocidad y aceleración aceleraci ón en t i +1   qi

qi

1

.

qi

.

..

qi

vii.

.

qi

1

∆q

..

∆q ..

qi   ∆ q

1

Los valores obtenidos en el tiempo t i +1  se asignan a t i   qi = qi .

.

qi = qi ..

1

1

 

..

q i = q i  1

Para un nuevo incremento de tiempo se repite desde el paso dos. Es importante destacar que en el Análisis Lineal, la masa equivalente  M ∗  se determina una sola vez.

2.2 PROG PROGRAMA RAMA LINEAL El programa LINEAL, LINEAL, halla  halla en forma gráfica, la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad, ante una acción sísmica, definida por su acelerograma, aplicando el Método de Aceleración Lineal indicado en el apartado anterior. El programa ha sido elaborado en MATLAB y antes de utilizarlo se debe grabar el archivo que contiene únicamente las aceleraciones del sismo en formato ASCII. El nombre tiene extensión .dat .dat.. Después de ello cuando se encuentra en la modalidad consola se carga el acelerograma y después se ejecuta LINEAL LINEAL,, de la siguiente manera: [d,v,a] = lin eal eal (p,m,c,k,dt)   p es el nombre del archivo que contiene el acelerograma.  acelerograma.   •  m es la masa del sistema de 1 gdl.  gdl.  •  c es el amortiguamiento del sistema de 1 gdl.  gdl. 

•

•

  dt k es la del sistema de 1con gdl.el  cual se desea hallar la respuesta. El mismo que gdl.  el rigidez incremento de tiempo tiene que ser igual al incremento de tiempo con el cual se obtuvo el acelerograma.

•

 

 

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Una vez que se ejecuta LINEAL LINEAL   aparecen cuatro gráficas, la primera de ellas es el acelerograma, que es dato. La segunda la respuesta en el tiempo de los desplazamientos, la tercera de las velocidades y la última de las aceleraciones. function [d,v,a]=lineal(p,m,c,k,dt) % % Respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad % por el Método de la Aceleración L ineal % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI ESPE %-----------------------------------------------------------------% [d,v,a]=linea [d,v,a]=lin eal(p,m,c,k,dt) l(p,m,c,k,dt) %-----------------------------------------------------------------% p : vector que cont iene los registros del acele acelerograma rograma % m : masa del sistema % c : amortiguamiento del sis tema % k : ri gidez del del si stema % d, v, a : despl azamiento, azamiento, velocid velo cidad ad y aceleración de la respuesta % dt : i ncremento de tiempo % n=length(p); tmax=dt*n; t=linspace(0,tmax,n)'; ma=m+(c*dt/2)+(k*dt*dt/6); d(1)=0; v(1)=0; a(1)=0; for i=1:n-1 dq=-m*(p(i+1)-p(i)); dqa=dq-a(i)* dqa=dq-a (i)*(c*dt+k*dt*dt/2)(c*dt+k*dt*dt/2)-v(i)*k*dt; v(i)*k*dt; inca=dqa/ma; i ncv=a(i)*dt+inc ncv=a(i)*dt+inc a*dt/2; a*dt/2; incd =v(i)*dt+a(i) =v(i)*dt+a(i)*dt*dt/2+inca*dt*dt/6; *dt*dt/2+inca*dt*dt/6; d(i+1)=d(i)+incd; v(i+1)=v(i)+incv; a(i+1)=a(i)+inca; d(i)=d(i+1); v(i)=v(i+1); v (i)=v(i+1); a(i)=a(i+1); a(i)=a(i+1); end subplot (4,1,1); plot (t,p); title('Acelerograma'); subp lot (4,1, (4,1,2); 2); plot (t,d); ylabel('Desplazamiento' ylabel('Desplazamiento'); ); subplot (4,1,3); plot (t,v); ylabel('Velocidad'); subplot (4,1,4); plot (t,a);xlabel('Tiempo'); ylabel('Aceleracion'); %---fin--  EJEMPLO 1 

•

Hallar la respuesta en el tiempo del oscilador indicado en la figura 2.1, que tiene una 2 T  s 1 masa m 0.004898 , una frecuencia natural W n 6.2832   y un coeficiente de cm s amortiguamiento 0.05 . Ante el sismo del 9 de noviembre de 1974, registrado en el Perú. El acelerograma fue obtenido a 80 Km., del epicentro epicentro sobre un suelo limo arcilloso. El evento tuvo una magnitud de 6. La aceleración máxima del sismo, en valor absoluto fue de 117 gals (cm/s2). El incremento de tiempo con el cual fue obtenido el registro es ∆t  0.02 s . •  SOLUCIÓN  Para utilizar el programa LINEAL se debe determinar el amortiguamiento y la rigidez del sistema, en base a la frecuencia natural y al coeficiente de amortiguamiento. W n2

=

k  / m

→

k  = W n2 m = 39.4786 * 0.004898 = 0.19336619 T  / cm  

 

 

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Figura 2.1 Modelo de un sistema de 1 gdl.

ξ  = c / 2 mk   

→

  0.05 * 0.004898 * 0.193366 c = 2ξ  mk  = 2 *

=

0.0030775 Ts / cm  

El período del sistema que se analiza es T  = 2π  / W n = 1 s. Una vez cargado el acelerograma ace lerograma como u n vector, en la modalidad consol a, se ejecuta el programa lineal. >>load >>load Peru04.dat  Peru04.dat   >>[d,v,a] = lineal (Peru04, 0.004898, 0.00307751136, 0.19336619, 0.02) Es importante tener muy en cuenta las unidades. unidades . Si el acelerograma viene en gals. Se debe trabajar todo con cm y s. Así es como se ha procedido en el ejemplo realizado. En la figura 2.2 se indica la respuesta r espuesta en el tiempo del sistema de 1 gdl., del ejemplo 1. Como se indicó aparece el acelerograma, los desplazamiento desplazamientos, s, velocidad y aceleración. Se puede hallar las respuestas máximas, en valor absoluto, desde la modalidad consola de la siguiente manera: >>Sd=max(abs(d)) Sd= 2.9842 >>Sv=max(abs(v)) Sv= 23.8650 >>Sa=max(abs(a)) Sa= 213.5134

 

 

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Figura 2.2 Respuesta en el tiempo de Ejemplo 1. Se ha denominado Sd, Sv, Sa a la máxima respuesta, en valor absoluto, de los desplazamientos, desplazamie ntos, velocidades velocidades y aceleraciones, respectivamente.

2.3 MODELOS DE UN GRADO DE LIB LIBERTAD ERTAD En el capítulo 1 se presentó un modelo de un sistema de 1 gdl. En la figura 2.1 se mostró otro modelo de 1 gdl. Todo esto, con el objeto de que el lector se familiarice con la forma como se acostumbra representar los sistemas de 1 gdl. Con este antecedente, en la figura 2.3 se indican dos modelos más. A la izquierda se ha dibujado un pórtico de un vano y un piso en el que se ha resaltado la masa, se ha indicado la rigidez y el amortiguamiento. amortiguamiento. A la derecha se tiene otra forma de presentar un sistema de un grado de libertad, en base a una columna con una masa puntual. Lo importante es que el lector observe que todos ellos, son formas de representar r epresentar un sistema de 1 gdl. Por su sencillez en el dibujo, se utilizará en el presente capítulo el último modelo compuesto por una columna y la masa puntual.

 

 

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Figura 2.3 Modelo de un sistema de un grado de libertad.    EJEMPLO 2 

•

Hallar la respuesta en el tiempo de un sistema cuya masa es 0.0024 Ts 2/cm, la rigidez es 0.023687 T/cm y el amortiguamiento vale 0.000753981 Ts/cm. Ante el sismo utilizado en el ejemplo 1. •

  SOLUCIÓN  El sistema de 1 gdl del ejercicio anterior, tenía un período de vibración de 1 segundo y el de este ejercicio, tiene un período de 2 segundos. Es importante tener esto presente para el tema que se tratará en el próximo apartado. >>load Peru04.dat >>[d,v,a] = lineal (Peru04, 0.0024, 0.000753981, 0.023687, 0.02) La respuesta en desplazamientos, velocidades y aceleraciones, que reporta el MATLAB, al utilizar el programa lineal, se indican en la figura 2.4. Por otra parte, las respuestas máximas son: S d  = 2.6702 cm . S v   = 15.0933  cm / s.  y S a   = 129.5191  cm / s 2 .

2.4

ESPECTROS DE RESPUESTA

Por los años de 1915, Naito diseñaba sus estructuras ante sismos considerando como fuerzas laterales una fracción del peso de sus elementos y sus edificaciones tuvieron un buen comportamiento durante el sismo de Tokyo de 1923 lo que no ocurrió con otras edificaciones que colapsaron. A partir de 1930 se reconoció el problema sísmico como un problema de dinámica de estructuras y ya se empezaron a definir modelos numéricos de cálculo, en los que se establecieron bien las variables involucradas. En 1934 Benioff introduce la definición de espectro de respuesta. respuesta. En 1952, Housner presenta el pseudo espectro de velocidades.

 

 

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Figura 2.4 Respuesta en el tiempo de Ejemplo 2. Se define el espectro de respuesta como la respuesta máxima de un conjunto de osciladores de 1 gdl que tienen el mismo amortiguamiento, amortiguamiento, sometidas a una his toria de aceleraciones dadas.

Figura 2.5 Esquema de cálculo de los Espectros de Respuesta. En la figura 2.5 se muestra el esquema de cálculo de los espectros de respuesta. A la 0.05   y cada izquierda aparecen un conjunto de osciladores de 1 gdl, todos ellos tienen

 

 

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uno va a ser sometido al sismo cuyo acelerograma se indica en la parte inferior izquierda. En este caso, corresponde al sismo del 9 de noviembre de 1974, utilizado en los ejemplos 1 y 2. En la parte central de la figura 2.5, se tiene la respuesta en el tiempo de desplazamiento, se ha colocado únicamente desplazamiento, únicamente de dos osciladores, el uno tiene un período de 1 s. (ejemplo 1) y el otro un período de 2 s. (ejemplo 2). Se ha identificado las respuestas máximas en cada uno de ellos, como Sd1 para el sistema con T=1 s., y Sd2 para el sistema con T=2 s. Nótese que Sd1 es negativo ya que se halla en la parte inferior y Sd2 es positivo por estar en la parte superior pero para encontrar el espectro se considera en valor absoluto  absoluto   En la parte derecha, de la figura 2.5 se han colocado los valores de Sd1 y Sd2 asociados a períodos de 1 y 2 s., se han colocado además los desplazamientos máximos correspondientes correspondien tes a los restantes períodos del conjunto de osciladores, la gráfica que resulta de unir las respuestas máximas es el Espectro de Respuesta Elástica de Desplazamientos, Desplazamientos , ante el sismo del 9 de Noviembre de 1974. En la parte central de la figura 2.5 se pudo haber colocado las respuestas máximas de velocidades o de aceleraciones, con lo que se habría hallado los espectros de respuesta elásticos de velocidad y aceleración, respectivamente. Por lo tanto, se pueden obtener espectros de respuesta elásticos de desplazamientos, desplazamient os, velocidades y aceleraciones, encontrando las máximas respuestas en valor absoluto de ..

.

q (t ), q(t )  y q(t ) . A estas respuestas máximas se las denomina con las letras S d  ,  S v  y S a .

S d    = q (t ) max  

( 2.8 )

 

( 2.9 )

 

( 2.10 )

S v

=  q & (t )

max

S a

=  q &&(t )

max

Las respuestas máximas en valor absoluto, de los ejercicios resueltos, se indican en la desplazamientos , al graficar T  − S v  se tabla 2.1. Al graficar T  − S d   se tiene el espectro de desplazamientos, tiene el espectro de velocidades y al graficar T  − S a  se tiene el espectro de aceleraciones. Tabla 2.1 Respuestas máximas encontradas en los dos ejercicios realizados. T    W    S    S    S    n

⎛1⎞

⎜ ⎟  ⎝s⎠

6.2832 3.1416

d 

s  

1.00 2.00

v

a

cm.  

⎛ cm. ⎞

⎛ cm. ⎞

2.98 2.67

23.87 15.09

213.51 129.52

⎜ ⎟  ⎝ s ⎠

⎜ 2 ⎟  ⎝ s ⎠

En la tabla 2.1 se tienen dos puntos de los espectros. Para tener el espectro completo se deben analizar por lo menos 100 sistemas de 1 gdl.

2.5 PROGRAMA ESPECTRO Se LINEAL ha elaborado un programa denominado ESPECTRO, ESPECTRO , en base se al programa LINEAL. . En este programa en se MATLAB ha omitido las sentencias con las cuales

 

 

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encontraba la respuesta en el tiempo de desplazamiento, velocidad y aceleración, así como se suprimido la sentencia que dibujaba el acelerograma. El programa que encuentra las respuestas paso a paso de un oscilador de 1 gdl pero que no presenta las respuestas en el tiempo se denomina LINEALES. La forma de utilizar el programa ESPECTRO es: >> [Sd,Sv,Sa] = espectro (p,dt,zeda) Matriz que contiene los desplazamientos desplazamientos espectrales para diferentes valores de ξ  .  Matriz que contiene las velocidades velocidades espectrales para diferentes valores de ξ  .  Matriz que contiene las aceleraciones aceleraciones espectrales para diferentes valores de ξ  .  Vector que contiene las aceleraciones del suelo para el cual se hallan los espectros  espectros  Incremento de tiempo con el cual se halla la respuesta, igual al incremento de tiempo del acelerograma.  acelerograma.  •  espectros.  zeda Vector que contiene los valores de ξ   para los cuales se desean los espectros. 

  •  •  •  •  •

Sd Sv Sa p dt

El período obtiene los espectros, desde un período inicial igual a 0.01 s., hasta un período máximo de 3.0 s., con un incremento en los períodos de 0.03 s. De tal manera que se calculan los espectros en base a 100 osciladores, si se desea incrementar el número de osciladores se debe disminuir el incremento de período. Cualquiera de estos valores se puede modificar al ingresar al programa espectro.m espectro.m   Antes de programa, se debe cargar el en el cual separa hallalos el acelerograma y elutilizar vectorel que contiene los valores, delarchivo factor de de datos amortiguamiento cuales se desea encontrar los espectros. fun ction functi on [Sd,Sv,Sa]=espectro(p,dt,zeda) [Sd,Sv,Sa]=espectro(p,dt,zeda) % % Espectros de respuesta elástica de: desplazamientos, velocidad y aceleración. % Empleando Empleando Método de d e Aceleración Lineal. Li neal. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % %-----------------------------------------------------------------------------------------------% [Sd,Sv,Sa]=espectro(p,dt,zeda) %-----------------------------------------------------------------------------------------------% %p Vector que cont iene el acelerograma. % dt Intervalo de tiempo con el que se halla la respuesta igual al % valor con que fueron tomados los datos del acelerograma. % zeda Vector que cont iene los valores de amortiguamiento. amortig uamiento. % Sd Valores máximos de los desplazamientos en absolut o. % Sv Valores máximos máximo s de las velocidades veloci dades en absoluto. absolu to. % Sa Va Valores lores máximos de las aceleracio aceleraciones nes en absolut o. % DT Intervalo Inter valo de Period os = 0.03 s. % Tmin Tmin Período mínimo que se consid era igual a 0.01 0.01 s. % Tmax Tmax Período máximo máxi mo qu e se consi dera igual a 3.00 3.00 s. % hold off; Tmin=0.01; Tmax=3.0; DT=0.03; n=((Tmax-Tmin)/DT)+1; m=length(zeda);; T= m=length(zeda) T=lin linspace(T space(Tmin,Tmax,n)'; min,Tmax,n)'; W=2*pi./T W=2*pi./T;; K=W.*W; K=W.*W; for i =1:m =1:m zi=zeda(i); C=(2*zi).*sqrt(K); for j=1:n xj=K(j); yj=C( yj =C(j); j); [d,v,a]=lineales(p,1,yj,xj,dt); Sd(i,j)=max(abs(d)); Sv(i,j)=max(abs(v)); Sa(i,j)=max(abs(a));

 

 

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end end subplot (3,1,1); plot (T,Sd); ylabel('Desplazamiento'); title('ESPECTROS DESPLAZAMIENTO, DESPLAZAMIENT O, VELOCIDAD Y ACELERACION RELATIVA') hold on subp lot (3,1, (3,1,2) 2);; pl ot (T,Sv); (T,Sv); yl abel('Velocid abel('Velocidad'); ad'); hold on subp lot (3,1,3 (3,1,3); ); plot plo t (T,Sa);xlabel('PE (T,Sa);xlabel('PERIO RIODO') DO');; yylabel('Aceleracion'); label('Aceleracion'); hold off %---fin---

DE

  EJEMPLO 3 

•

Hallar los espectros de respuesta elástica de desplazamiento, velocidad y aceleración del sismo del 9 de noviembre de 1974, para valores de ξ   igual a: 0.05; 0.10 y 0.20.   SOLUCIÓN 

•

>> load Peru04.dat >> zeda=[0.05; 0 0.10; .10; 0.20] 0.20] >> [Sd,Sv,Sa]=espectro (Peru04,0.02,zeda)

En la figura 2.6 se ha indicado los espectros que reporta el programa ESPECTRO ESPECTRO.. Los comentarios que se realizan al respecto, son los siguientes:   La identificación identific ación del tipo de línea, que se encuentra en la parte inferior de de la figura 2.6 se lo realizó con el programa PAINT PAINT..   El último de los espectros es es de aceleración relativa. No se ha encontrado el espectro espectro de aceleración absoluta. La diferencia entre los dos, radica en que el espectro de aceleraciones relativas, se encuentra de la respuesta máxima en valor absoluto de las





..

aceleraciones q (t )  . En cambio, para hallar de la aceleración absoluta se debe hallar ..

..

el valor máximo en valor absoluto de q(t )+ U    g (t ) , es decir se debe sumar la aceleración del suelo.   A medida que los valores de ξ   se incrementan, incrementan, las formas espectrales disminuyen.





  aceleración Al presentar presentarrelativa, los tres eun spectros de respuesta de : desplazamiento, desplaza miento,convelocidad velloocidad en espectros solo gráfico, la escala de: vertical se redujo que sey deforma un poco las formas espectrales.   Se denominan espectros de respuesta, ya que son espectros para un determinado sismo. Los espectros de diseño se obtienen en base a los espectros de respuesta de varios sismos, como se ilustra en el próximo capítulo.  capítulo. 



 

 

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Figura 2.6 Espectros de respuesta elástica para el sismo del 9 de noviembre de 1974.

2.6 USO DEL PR PROGRAMA OGRAMA DEGT DEGTRA RA Un programa muy versátil para el análisis dinámico de sistemas de 1 gdl es el programa DEGTRA DEGTRA   desarrollado por Ordaz et al (2002) en el Instituto de Ingeniería de la Universidad Nacional Autónoma de México, por lo que en este apartado se presenta su uso. Una vez que se tiene instalado el programa DEGTRA, lo primero que se debe hacer, es abrir una ventana para lo cual se selecciona el icono que está indicado con una flecha en la figura 2.7. Después se busca el archivo en el cual se halla el acelerograma, para el efecto se selecciona el icono que está indicado en la figura 2.8. Una vez que se ha seleccionado el archivo que contiene el acelerograma se debe indicar el número de líneas inútiles y el incremento de tiempo con el cual fueron grabados grabados estas aceleraciones. En la figura 2.9 están en blanco los casilleros que deben ser llenados para que se cargue el acelerograma.

 

 

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Figura 2.7 Abertura de ventana con el programa DEGTRA.

Figura 2.8 Selección del archivo que contiene el acelerograma. Normalmente en las primeras primeras líneas del archivo que con contiene tiene el acelerograma acelerograma se tiene información sobre el registro, como la fecha del sismo, la magnitud, el tipo de suelo en que fue registrado el evento, la distancia epicentral, el nombre de la estación sismológica, el incremento de tiempo, la dirección de la componente sísmica, etc. Esta información es muy valiosa pero para fines de cálculo del espectro se convierte en líneas inútiles. Para el ejemplo de la figura 2.9 se tiene 11 líneas inútiles. Por otra parte el valor de  DT  = 0.02 s . Luego de llenar los casilleros en blanco con el número de líneas inútiles y el valor de  DT   se presiona el icono OK OK apareciendo  apareciendo inmediatamente el acelerograma que está indicado en la figura 2.10.

 

 

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Figura 2.9 Datos que se deben indicar para cargar el acelerograma. Posteriormente se selecciona el icono que calcula el espectro de respuesta que está indicado en la figura 2.10. Luego de presionar el icono que está bajo la flecha aparece el cuadro de datos que se presenta en la figura 2.11 y el usuario debe ratificar o rectificar esa información que aparece.

Figura 2.10 Acelerograma y selección del icono que obtiene el espectro de respuesta. Se debe indicar el número de puntos NT que se desean considerar para obtener el espectro. Por defecto considera 50 puntos. Es el número de osciladores de 1 gdl que se desean. Mientras más puntos se considera es mejor pero demanda más tiempo. El segundo dato es el período mínimo a partir del cual se desea hallar el espectro, por defecto este valor es 0.01 s., luego el período final hasta el cual se obtendra el espectro, por defecto se considera 3 s., Estos dos valores son adecuados razón por la que no deben modificarse.

 

 

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Figura 2.11 Información que se debe suministrar para encontrar el espectro de respuesta. Finalmente se indica el valor de que en la figura 2.11 se ha notado como Csi . Una vez llenado estos datos se selecciona el tipo de espectro que se desea encontrar. En la figura 2.11 se ha seleccionado el icono que corresponde al espectro de desplazamiento.

Figura 2.12 Acelerograma y Espectro de respuesta. En la figura 2.12 se aprecia a la izquierda el acelerograma y a la derecha el espectro 0.05 . de respuesta elástico de desplazamiento, desplazamiento , obtenido para

2.7 IMPOR IMPORTANCIA TANCIA DE LAS LA S FORMAS ESPE ESPECTRALES CTRALES Los espectros de respuesta proporcionan información muy valiosa para el proyectista estructural, ya que se puede inferir los edificios que van a estar sujetos a mayores fuerzas sísmicas. Por ejemplo, el sismo del 19 de septiembre de 1985, que tuvo una magnitud de 8.1 y una profundidad focal de 33 Km., se registro a 20 Km., de la costa de Guerrero y en el centro de Ciudad de México que se halla a 400 km., de la zona epicentral se tuvo gran daño en las edificaciones de mediana altura que están asociadas a períodos entre 1.5 y 2.5 segundos debido a que en esa zona se tuvo las mayores amplitudes como se aprecia a la derecha de la figura 2.13 en que se presenta el espectro de respuesta elástico de aceleraciones absolutas.

 

 

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

Figura 2.13 Acelerograma y espectro de aceleraciones del sismo del 19 de septiembre de 1985. En la figura 2.13, a la izquierda se aprecia que la aceleración máxima del registro fue de 0.17 g., 17% de la aceleración de la gravedad y de baja frecuencia semejante a una excitación de tipo armónico que resultan ser muy destructivos. A la derecha de la figura 2.15 se observa que la aceleración máxima espectral fue de 1 g., y está asociado a un período de 2 s.

Figura 2.14 Acelerograma y espectro del sismo de Chile de 1985. En el espectro de aceleraciones de la figura 2.13 se ve que para períodos menores a 1.5 s., las ordenadas espectrales son bajas. Luego las estructuras que tienen estos períodos que son las de pocos pisos, no fueron afectadas por el sismo de septiembre de 1985, como lo fueron las estructuras que tienen períodos entre 1.5 y 2.5 s. En el centro del Distrito Federal la velocidad de la onda de corte es muy baja. Por lo tanto, el período de vibración se debe calcular considerando interacción suelo estructura, lo que implica que el período es mayor que el que se obtiene con reglas como 0.11 N, siendo N el número de pisos. El 3 de marzo de 1985 tuvo lugar en Chile un sismo, también de subducción, con una profundidad focal de 15 km., y de una magnitud de 7.8. Aproximadamente a 140 km., del epicentro, en Lloleo se tuvo un registro sísmico con una aceleración máxima de 698 gals que corresponde a 0.71 g., cuyo acelerograma se indica a la izquierda de la figura 2.14 pero este sismo causó menos daño en las estructuras, que el sismo del Distrito Federal a pesar de que la aceleración máxima fue 4.17 veces mayor. A la derecha de la figura 2.14 se presenta el espectro de aceleraciones absolutas del registro de Llolleo, se aprecia que las aceleraciones espectrales máximas están asociadas a períodos comprendidos entre 0.3 y 0.5 s. En consecuencia fueron las edificaciones pequeñas las que sufrieron más daño. La aceleración máxima fue de 1880 gals que corresponde a 1.92 g., y está asociada a un período de 0.29 s. Se ha presentado dos espectros, el uno, el de Ciudad de México de 1985 en el cual las estructuras intermedias de 6 a 18 pisos fueron las más afectadas y el otro el del sismo de Chile de 1985 en que las estructuras de 2 a 4 pisos fueron afectadas. De tal manera que en Ciudad de México se tendrá mayor precaución en la construcción de edificaciones de 6 a 18 pisos y de

 

 

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

ser posible se evitará tener edificios con estos pisos. En cambio en Chile habrá que tener cuidado con las edificaciones de pocos pisos ya que se esperan fuerzas sísmicas muy altas. Evidentemente que en base a dos eventos sísmicos no se pueden dar conclusiones generales sin embargo de ello se hace notar que es muy importante conocer las formas espectrales con el propósito propósito de saber que tipo de edificaciones edificaciones se verán m más ás afectadas durante un sismo de similares características.

2.8 SEUDO ESPECTROS A partir del espectro de desplazamientos se puede obtener en forma aproximada el espectro de velocidades y el espectro de aceleraciones, utilizando la definición de seudo espectro. PS v ≈ W n S d  PS a

2 W n PS v ≈ W n S d 

 

( 2.11 ) ( 2.12 )

Siendo PS v   y PS a  los seudo espectros de velocidad y aceleración. Si bien es cierto desde el punto de vista numérico encontrar los espectros de velocidad o aceleración, aplicando cualquier algoritmo de cálculo, no es ningún problema, de tal manera que no tendría mayor importancia la definición de seudo espectros y las ecuaciones ( 2.11 ) y ( 2.12 ). Pero la importancia de estas ecuaciones radica en la aplicación práctica para hallar el desplazamiento espectral elástico a partir de la aceleración espectral, utilizando para el efecto la siguiente ecuación. 2

⎛ T  ⎞ S d  = ⎜     ⎟ S a ⎝2  ⎠

( 2.13 )

Donde T    es el período de vibración. De esta forma se obtiene el desplazamiento espectral a partir de la aceleración espectral.