espectros de respuesta

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ESPECTROS DE RESPUESTA 1. INTRODUCCIÓN Los espectros de respuesta fueron inicialmente propuestos por Biot en el año 1932 y luego desarrollados por Housner, Newmark y muchos otros investigadores. Actualmente, el concepto de espectro de respuesta es una importante herramienta de la dinámica estructural, de gran utilidad en el área del diseño sismorresistente. En forma general, podemos definir espectro como un gráfico de la respuesta máxima (expresada en términos de desplazamiento, velocidad, aceleración, o cualquier otro parámetro de interés) que produce una acción dinámica determinada en una estructura u oscilador de un grado de libertad . En estos gráficos, se representa en abscisas el periodo propio de la estructura (o la frecuencia) y en ordenadas la respuesta máxima calculada para distintos factores de amortiguamiento. El concepto de los espectros comenzó a gestarse gracias a una idea Kyoji Suyehiro, Director del Instituto de Investigaciones de la Universidad de Tokyo, quien en 1920 ideó un instrumento de medición formado por 6 péndulos con diferentes periodos de vibración, con el objeto registrar la respuesta de los mismos ante la ocurrencia de un terremoto. Unos años después, Hugo Benioff publicó un artículo en el que proponía un instrumento similar al de Suyehiro, destinado a medir el desplazamiento registrado por diferentes péndulos con los cuales se podría determinar el valor máximo de respuesta y construir una curva (lo que hoy conocemos como espectro de desplazamiento elástico) cuya área sería un parámetro indicador de la destructividad del sismo. Finalmente, fue Maurice Biot en el Instituto Tecnológico de California, quien propuso formalmente la idea de espectros de respuesta elástica. Para explicar en forma conceptual el procedimiento de construcción de un espectro de respuesta consideremos una serie de estructuras de un grado de libertad u osciladores simples con diferentes periodos de vibración, T, y con igual factor de amortiguamiento, ver Figura 1. Si sometemos todos estos osciladores a la acción de un mismo sismo (utilizando un registro de aceleraciones, üg(t)), cada uno de ellos exhibirá una respuesta diferente, la cual puede representarse, por ejemplo, a través de la historia de desplazamientos, u(t). Una vez que hemos calculado la respuesta de los osciladores es posible determinar el máximo (en valor absoluto, dado que el signo no tiene importancia ) de cada uno de ellos y volcarlos en un gráfico en función del periodo de Apuntes Curso Dinámica de Estructuras-Prof. Dr. Patricio Cendoya H. Departamento de Ingeniería Civil- Universidad de Concepción

Dinámica de Estructuras -------------------------------------------------------------------------------------------------------------vibración, para obtener así un espectro de respuesta. Es decir, que la respuesta máxima de cada oscilador con periodo T representa un punto del espectro. La importancia de los espectros en el diseño de estructuras radica en el hecho de que estos gráficos condensan la respuesta dinámica en un parámetro, que son usualmente los requeridos por el diseñador para el cálculo de estructuras. Se debe considerar que los espectros de respuesta omiten información importante dado que los efectos del terremoto sobre la estructura dependen no solo de la respuesta máxima sino también de la duración del movimiento y del número de ciclos con demanda significativa de desplazamientos.

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Figura 1. Gráfico indicativo del método de determinación del espectro de respuesta. La realización de un espectro de respuesta requiere de la solución de la ecuación de equilibrio dinámico para determinar la historia (variación en el tiempo) de desplazamientos, velocidad y aceleraciones para una gran cantidad de estructuras de un grado de libertad con diferentes periodos Apuntes Curso Dinámica de Estructuras-Prof. Dr. Patricio Cendoya H. Departamento de Ingeniería Civil- Universidad de Concepción

Dinámica de Estructuras -------------------------------------------------------------------------------------------------------------de vibración, T, y factores de amortiguamiento 2. TIPOS DE ESPECTROS Espectros de respuesta elástica: representan parámetros de respuesta máxima para un terremoto determinado y usualmente incluyen varias curvas que consideran distintos factores de amortiguamiento. Se utilizan fundamentalmente para estudiar las características del sismo y su efecto sobre las estructuras. Las curvas de los espectros de respuesta presentan variaciones bruscas, con numerosos picos y valles, que resultan de la complejidad del registro de aceleraciones del terremoto. Espectros de respuesta inelástica: son similares a los anteriores pero en este caso se supone que el oscilador de un grado de libertad exhibe comportamiento no-lineal, es decir que la estructura puede experimentar deformaciones en rango plástico por acción del terremoto. Este tipo de espectros son muy importantes en el diseño sismorresistente, dado que por razones prácticas y económicas la mayoría de las construcciones se diseñan bajo la hipótesis que incursionarán en el campo inelástico. Como ejemplo, podemos mencionar los espectros de ductilidad (recordemos que ductilidad de desplazamientos es la relación entre el desplazamiento máximo que experimenta la estructura y el desplazamiento de fluencia. Estos espectros representan la ductilidad requerida por un terremoto dado en función del periodo de vibración de la estructura y sé grafican usualmente para distintos niveles de resistencia. También, se construyen espectros de aceleración, desplazamiento de fluencia o desplazamiento último de sistemas inelásticos, en donde se consideran distintos niveles de ductilidad o distintos tipos de comportamiento histerético de la estructura. Espectros de diseño: las construcciones no pueden diseñarse para resistir un terremoto en particular en una zona dada, puesto que el próximo terremoto probablemente presentará características diferentes. Por lo tanto, los espectros de respuesta elástica o inelástica, descriptos previamente, no pueden utilizarse directamente en el diseño sismorresistente. Por esta razón, el diseño o verificación sismorresistente se realiza a partir de espectros que son suavizados (no tienen variaciones bruscas) y que consideran el efecto de varios sismos, es decir que representan una envolvente de los espectros de respuesta de los sismos típicos de una zona. Los espectros de diseño se obtienen generalmente mediante procedimientos estadísticos hay que distinguir entre espectros de respuesta, que se obtienen para un sismo dado, y Apuntes Curso Dinámica de Estructuras-Prof. Dr. Patricio Cendoya H. Departamento de Ingeniería Civil- Universidad de Concepción

Dinámica de Estructuras -------------------------------------------------------------------------------------------------------------espectros de diseño, los cuales se aplican al cálculo y verificación de estructuras y representan la sismicidad probable del lugar. 3. ESPECTROS DE RESPUESTA ELÁSTICA 3.1 Procedimiento de cálculo Para la determinación de la respuesta en desplazamientos, velocidad y aceleraciones en el dominio del tiempo, para un oscilador de un grado de libertad sometido a la acción de una fuerza sísmica, es necesario resolver la integral de convolución de impulsos elementales o Integral de Duhamel.

t

u (t ) = −

1 [ −ξ ⋅w( t −τ ) ] ⋅ ∫u ⋅ sin [ wD ( t −τ ) ] ⋅ dτ  g (τ ) ⋅ e wD 0

Donde: g (τ) u

wD

Aceleración provocada por el sismo. Frecuencia amortiguada definida por wD = w ⋅ 1 −ξ 2 k m

w

Frecuencia natural w =

ξ k m

Razón de amortiguamiento. Rigidez del oscilador de 1 grado de libertad. Masa del oscilador.

Una vez obtenida la historia de desplazamientos del sistema u(t), la historia de esfuerzos de corte en la base V(t), o la historia de momentos volcantes M(t) producidos por el sismo en la estructura pueden determinarse de la siguiente manera: V (t ) = FE (t ) = Ku (t ) M (t ) = hV (t )

Donde h es la altura de la estructura. Para fines de diseño sismorresistente interesa conocer únicamente la respuesta máxima. Por ejemplo, conocer el desplazamiento lateral máximo, o el corte basal máximo, o el momento de volcamiento máximo, etc. Una de las herramientas más útiles para evaluar la severidad de la respuesta máxima de una estructura a un sismo dado es el espectro de respuesta. Apuntes Curso Dinámica de Estructuras-Prof. Dr. Patricio Cendoya H. Departamento de Ingeniería Civil- Universidad de Concepción

Dinámica de Estructuras -------------------------------------------------------------------------------------------------------------Un espectro de respuesta es la representación gráfica de la respuesta máxima en función del periodo natural de vibración del sistema para un sismo determinado y un amortiguamiento definido. Es decir, el espectro de respuesta nos da información de la respuesta máxima para toda una familia de sistemas de un grado de libertad (familia con La forma en la que se calcula un espectro de respuesta se ilustra en la figura 1 para el caso de un espectro de desplazamientos. En este caso, para cada estructura de un grado de libertad caracterizada por su periodo natural de vibración Τ, se calcula la historia de desplazamientos y sólo se selecciona la máxima respuesta, la que luego sé grafica en el espacio S D vs. Τ. En la figura 2, se muestra el espectro de desplazamientos para el acelerograma registrado en el sismo de El Centro, California el 18 de mayo de 1940.

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Figura 2. Construcción de una espectro de respuesta de Apuntes Curso Dinámica de Estructuras-Prof. Dr. Patricio Cendoya H. Departamento de Ingeniería Civil- Universidad de Concepción

Dinámica de Estructuras -------------------------------------------------------------------------------------------------------------desplazamientos. En el primer caso, se tiene un sistema de un grado de libertad con un periodo natural de vibración igual a 0.5 segundos y con un 2% del amortiguamiento crítico. Se calcula toda la historia de desplazamientos y se selecciona el máximo, que en este caso es 2.48 pulgadas (6.3 cm.), así pues para la abscisa T = 0.5 (seg) y la ordenada Sd = 2.48 “ corresponden a un punto sobre el espectro de respuesta. En el segundo caso se tiene un sistema de un grado de libertad con un periodo natural de vibración igual a 1 segundo; se calcula toda su historia de desplazamientos cuando al sistema se le somete al acelerograma del sismo de El Centro, y se obtiene su respuesta máxima como 6.61 pulgadas (16.8 cm.). Si este proceso se repite para toda una familia de sistemas de un grado de libertad con diferentes periodos de vibración y todos con el mismo amortiguamiento, se obtiene el espectro de respuesta. Una vez calculado el espectro de respuesta puede saberse de manera inmediata el desplazamiento aproximado que tendría una estructura al ser sometida al mismo movimiento del suelo. ¿Cómo esto ultimo no ocurrirá nunca, cabe preguntarse cuál es el sismo de diseño de una estructura .....? Por ejemplo, si se tiene una estructura con un periodo de vibración de 1.0 segundos y otra con un periodo de 1.5 segundos, con el espectro de respuesta del sismo de El Centro, vemos que si ambas estructuras se sometieran al mismo movimiento sismico, la estructura con periodo de 1 segundo estaría sometido a un desplazamiento mayor que el de la otra estructura, a pesar de que ambas tengan el mismo movimiento en su base. De igual manera que se puede calcular la historia de desplazamientos, se puede calcular la historia de aceleraciones. De modo que para cada sistema de un grado de libertad se puede calcular la historia de aceleraciones y de ahí seleccionar la aceleración máxima para poder así graficar el espectro de aceleraciones. Por ejemplo, ver figura 3 para el caso de un sistema de un grado de libertad con un periodo natural de vibración de 0.3 segundos, o sea una estructura que toma 0.3 segundos en completar un ciclo de vibración, y con un amortiguamiento del 5%, cuando es sometido a la historia de aceleraciones del sismo de El Centro California, tiene una aceleración máxima de 0.75 veces la aceleración de la gravedad. Así pues la pareja de coordenadas constituida por la abscisa T = 0.3 segundos y la ordenada 0.75 g son un punto en el espectro de respuesta de aceleraciones. Si se repite él mismo proceso para sistemas de un grado de libertad con periodos naturales de vibración de 0.5 segundos y 1.0 segundos se obtienen aceleraciones máximas de 1.02 g y 0.48 g, respectivamente. Si esto se repite para toda una familia de sistemas dinámicos de un grado de libertad con periodos entre 0 y 2 segundos, se Apuntes Curso Dinámica de Estructuras-Prof. Dr. Patricio Cendoya H. Departamento de Ingeniería Civil- Universidad de Concepción

Dinámica de Estructuras -------------------------------------------------------------------------------------------------------------obtiene el espectro de aceleraciones mostrado en la parte inferior de la figura 3.

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Figura 3. Construcción de una espectro de respuesta de aceleraciones del sismo de El Centro. De igual manera se puede obtener la historia de velocidades de cada sistema, para seleccionar la máxima velocidad y poder así construir el Apuntes Curso Dinámica de Estructuras-Prof. Dr. Patricio Cendoya H. Departamento de Ingeniería Civil- Universidad de Concepción

Dinámica de Estructuras -------------------------------------------------------------------------------------------------------------espectro de respuesta de velocidades. Si no se quiere calcular toda la historia de velocidades y aceleraciones para cada periodo, los espectros de velocidades y aceleraciones pueden calcularse en forma aproximada por medio de las siguientes relaciones: Sv = ω ⋅ Sd

Si para cada T se grafica Sv se tiene un espectro aproximado del espectro de velocidades que se le conoce como espectro de velocidades. El espectro de velocidades calculado a partir del espectro de desplazamientos mostrado en la figura 2, puede verse en la parte media de la figura 4. Al igual que en el caso de las velocidades máximas, las aceleraciones máximas también se pueden calcular en forma aproximada a partir de los desplazamientos máximos. Sa = ω 2 ⋅ Sd

La gráfica de T vs. Sa se conoce con el nombre de espectro de aceleraciones. Un ejemplo para el mismo movimiento de terreno puede verse en la parte baja de la figura 4. Asimismo, los espectro de velocidades y de aceleraciones se relacionan por medio de la siguiente expresión: Sa = ω ⋅ Sv

Los espectros de respuesta como los mostrados en la figura 4 permiten la estimación inmediata de el desplazamiento, velocidad y aceleración máximas de toda una familia de estructuras sujetas al mismo movimiento del suelo. A partir del espectro de aceleraciones o el espectro de seudo aceleraciones es posible obtener al máximo corte basal de la estructura a partir de la siguiente expresión: Vmax = m ⋅ S a

Vmax =

Sa ⋅W g

donde W es el peso total de la estructura y g es la aceleración debida a la gravedad. Cuando el máximo esfuerzo de corte se representa como

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Dinámica de Estructuras -------------------------------------------------------------------------------------------------------------S 

en la ultima de las ecuaciones,  a  representa el llamado coeficiente g  sísmico C el cual forma la base de las cargas sísmicas en las normas de diseño sismorresistente.

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Figura 4. Construcción de una espectros de respuesta

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Dinámica de Estructuras -------------------------------------------------------------------------------------------------------------3.2 Valores límites de los espectros de respuesta Es conveniente que realicemos ciertas consideraciones conceptuales para determinar los valores límites de los espectros de respuesta. Caso 1: Estructura muy rígida, por lo tanto tendrá un periodo de vibración cercano a cero. En esta estructura el desplazamiento relativo será prácticamente nulo debido a que no hay deformaciones internas por la gran rigidez de la estructura (ver figura 5), mientras que el desplazamiento y la aceleración total tenderán a ser iguales a los del terreno. Sa , Es decir, la aceleración total máxima, será prácticamente igual a la aceleración máxima del terreno, Caso 2: Estructura muy flexible, cuyo periodo de vibración tiende a infinito, el desplazamiento total es nulo (al igual que la aceleración total) porque la masa no vibra por acción del terremoto. Sin embargo, el desplazamiento relativo tiende a ser igual al desplazamiento máximo del terreno. Por lo tanto el desplazamiento y la velocidad espectral tiende a los valores máximos de desplazamiento y velocidad del

Figura 5. Comportamiento de una estructura muy rígida y muy flexible. Apuntes Curso Dinámica de Estructuras-Prof. Dr. Patricio Cendoya H. Departamento de Ingeniería Civil- Universidad de Concepción

Dinámica de Estructuras -------------------------------------------------------------------------------------------------------------En un espectro de respuesta de aceleraciones, la máxima aceleración del suelo está representada como la ordenada del espectro para un periodo igual a 0 (ver figura 6). Dicho periodo corresponde a un sistema infinitamente rígido, de modo que el movimiento que se tiene en la parte superior de la estructura es exactamente igual al de su base, o sea al del suelo. Es importante aclarar que: “la aceleración espectral representa la aceleración en la estructura, la cual puede ser mayor o menor a la máxima aceleración del suelo.” Por ejemplo, para el espectro de aceleraciones mostrado en la figura 6, la aceleración máxima del suelo es aproximadamente igual al 20% de la aceleración de la gravedad. Así mismo, puede verse que estructuras con periodos de vibración menores a 1.45 segundos son sometidos a aceleraciones mayores a las del suelo, o sea, sufren una amplificación de aceleraciones, mientras que estructuras con periodos de vibración mayores a 1.45 segundos tienen aceleraciones máximas en la estructura que son menores a la máxima aceleración del terreno.

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Figura 6. Aceleración máxima del suelo en un espectro de aceleraciones Como se mencionó anteriormente el espectro de respuesta se construye, calculando la respuesta máxima (aceleración máxima, velocidad máxima o desplazamiento máximo) para una familia de sistemas de un grado de libertad que tienen el mismo amortiguamiento, sin embargo, normalmente este proceso se repite a su vez para diferentes valores de amortiguamiento para obtener un espectro como el que se muestra en la figura 7. En esta figura puede verse la influencia del amortiguamiento en la respuesta de edificios a sismos. Básicamente a mayor amortiguamiento se tiene dos efectos: (1)Disminuyen las ordenadas espectrales, esto es la respuesta es menor (2) Se suaviza el espectro, esto es existe una menor variación de ordenadas espectrales para pequeños cambios en el periodo de vibración. Apuntes Curso Dinámica de Estructuras-Prof. Dr. Patricio Cendoya H. Departamento de Ingeniería Civil- Universidad de Concepción

Dinámica de Estructuras -------------------------------------------------------------------------------------------------------------Si vemos la figura 7, para dos estructuras con amortiguamiento del 1% y con periodos de 0.48 segundos y 0.51 segundos se tiene un cambio importante en su respuesta máxima (la aceleración máxima de la estructura con periodo igual a 0.48 segundos es mucho mayor a la aceleración máxima de la estructura con periodo de vibración igual a 0.51 segundos), mientras que si esas dos estructuras tuvieran un amortiguamiento del 20% entonces su respuesta máxima sería muy semejante.

Figura 7. Influencia del amortiguamiento en el espectro de aceleraciones 3.3 Factores que afectan la respuesta estructural Hasta el momento se ha visto los dos factores principales que afectan la respuesta estructural de estructuras con comportamiento lineal, el periodo de vibración y el amortiguamiento, dado un cierto movimiento de terreno. Ahora se verán algunos de los factores que influyen en las características del movimiento del suelo. Los factores principales que influyen en las características del movimiento del suelo producido por un sismo son: (a) La distancia epicentral que es la distancia en línea recta desde el epicentro a el sitio donde se encuentra la estructura. (b) La magnitud del sismo. (c) Las condiciones locales del terreno donde se encuentra la estructura.

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Dinámica de Estructuras -------------------------------------------------------------------------------------------------------------i) Influencia de la distancia epicentral Para un mismo sismo en la medida que nos alejamos del epicentro la intensidad del movimiento disminuye en un fenómeno que se conoce con el nombre de atenuación. A partir de registros obtenidos a diferentes distancias se han podido establecer relaciones entre la aceleración máxima que se tiene en las inmediaciones al epicentro a las que se tienen a diferentes distancias. Un ejemplo de este tipo de estudios, corresponde al del sismo de Imperial Valley en California (1979), que tuvo una magnitud de 6.6 en la escala de Richter. En cual se midieron aceleraciones entre 0.4 y 0.8 de la aceleración de la gravedad a 1 km del epicentro, a 30 km del epicentro las aceleraciones máximas de terreno estuvieron entre 0.07 y 0.15 de la aceleración de la gravedad, y a 100 km las aceleraciones máximas de terreno fueron tan sólo entre 0.01 y 0.04 de la aceleración de la gravedad. Por medio de mediciones hechas en sismos se ha podido establecer relaciones entre la distancia epicentral y la aceleración máxima de terreno por medio de estudios estadísticos y regresiones no lineales donde se obtiene una curva que obtenga el mejor ajuste a las observaciones. Este tipo de relaciones que se expresan por medio de una ecuación matemática reciben el nombre de leyes de atenuación y nos permiten estimar el nivel de aceleración máxima que se puede tener en un sitio si se conoce la distancia al epicentro. Es importante mencionar que la velocidad con que se atenúa (es decir, la velocidad con la que disminuye) la aceleración máxima del terreno, depende del tipo de roca y formaciones geológicas por las que pasan las ondas sísmicas, de modo que para regiones diferentes se pueden tener atenuaciones diferentes. Un ejemplo de esta situación puede verse en la figura 8, donde se comparan las leyes de atenuación para la parte este y la parte oeste de los Estados Unidos. Puede verse que la atenuación es diferente para cada región. Por ejemplo en la parte oeste de los Estados Unidos se espera que al estar a 10 km del epicentro se tienen aceleraciones máximas de terreno entre un 45 y 60% de las que se tienen a un kilómetro del epicentro, mientras que para la parte este de Los Estados Unidos a 10 km del epicentro las aceleraciones máximas del terreno son aún del orden del 90% de las que se tienen a 1 km del epicentro. Se dice entonces que la atenuación en la parte oeste de los Estados Unidos es mayor a la que se tiene en la costa este, ya que la aceleración máxima del terreno disminuye más rápidamente con la distancia en la parte oeste que en la Apuntes Curso Dinámica de Estructuras-Prof. Dr. Patricio Cendoya H. Departamento de Ingeniería Civil- Universidad de Concepción

Dinámica de Estructuras -------------------------------------------------------------------------------------------------------------parte este. En general es necesario el desarrollar leyes de atenuación para cada región sísmica.

Figura 7. Influencia de la distancia epicentral ii ) Efecto de la magnitud del sismo En general, entre mayor es la magnitud de un sismo, mayores son las aceleraciones máximas que produce. De modo que para una misma distancia epicentral, digamos 10 km, se espera que la aceleración máxima de terreno sea mayor en un sismo de magnitud 7.5 que la aceleración máxima de terreno en un sismo de magnitud 6.5. El efecto de la magnitud en las aceleración máxima de terreno por lo general también se incorpora en las leyes de atenuación. La forma en la que se hace esto es el desarrollar leyes de atenuación basadas en sismos de diferentes magnitudes, con lo que se obtienen gráficas como la mostrada en la siguiente figura , la cual está basada en información Apuntes Curso Dinámica de Estructuras-Prof. Dr. Patricio Cendoya H. Departamento de Ingeniería Civil- Universidad de Concepción

Dinámica de Estructuras -------------------------------------------------------------------------------------------------------------registrada en el estado de California en los Estados Unidos.

Figura 9. Influencia de la magnitud del sismo Puede verse que, por ejemplo, para una distancia epicentral de 20 millas (32 km) la aceleración máxima del suelo en un sismo de magnitud 7.6 es de 28% de la aceleración de la gravedad, mientras que para la misma distancia en un sismo de magnitud 5.6 se tendría una aceleración máxima de terreno de aproximadamente 17% de la aceleración de la gravedad, esto es del 60% de la máxima en un sismo de magnitud 7.6. iii) Influencia del tipo de suelo. El tipo de terreno tiene básicamente influencia en dos características del movimiento de terreno: (1) En la aceleración máxima de terreno (2) En el contenido de frecuencia del movimiento.

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Dinámica de Estructuras -------------------------------------------------------------------------------------------------------------Para el caso de suelos firmes, se espera que las aceleraciones máximas del suelo sean aproximadamente las mismas para niveles bajos de aceleración y ligeramente más bajas para niveles de aceleración más altos, como puede verse en la figura. 10

Figura 10. En el caso de suelos blandos, el que las aceleraciones máximas de terreno sean más altas o más bajas que las que ocurren en roca depende del nivel de aceleración. La figura anterior, muestra que para aceleraciones en roca mayores al 12% de la aceleración de la gravedad, se tiene que las aceleraciones máximas en un suelo blando son menores que las aceleraciones en roca; mientras que para aceleraciones en roca menores a 12% de la aceleración de la gravedad, se espera que las aceleraciones máximas en un suelo blando sean mayores, esto es que el suelo blando amplifica el movimiento. El otro aspecto que modifica el tipo de suelo es el contenido de frecuencia. En general los movimientos sobre roca son más ricos en altas frecuencias (entre 2 y 15 Hz), esto es el movimiento de terreno es Apuntes Curso Dinámica de Estructuras-Prof. Dr. Patricio Cendoya H. Departamento de Ingeniería Civil- Universidad de Concepción

Dinámica de Estructuras -------------------------------------------------------------------------------------------------------------más rápido. En el caso de suelo blandos, el movimiento es filtrado en su paso a través de los depósitos y resulta en un movimiento muy puro en el sentido de que sólo contiene un rango pequeño de frecuencias que es muy bajo, el cual dependiendo de la profundidad de los depósitos puede variar entre 0.8 y 0.2 Hz. El movimiento es muy semejante a una excitación de tipo armónico, de ahí que este tipo de movimientos de terreno resulten tan destructivos.

3.4 Formas de representación Existen distintas formas de representar los espectros. Una de las más usuales es la utilizada en las Figuras 11 y 12 donde se grafica en abscisas el periodo de vibración (o la frecuencia) y en ordenadas el valor espectral, ya sea aceleración, velocidad, desplazamiento u otra variable de interés. Otra forma de representación se basa en una idea de Edward Fisher, quien desarrolló un sistema de representación usando un papel especial, con 4 escalas logarítmicas, que permite presentar en forma compacta una gran cantidad de información. Mediante esta técnica, es posible construir un único gráfico donde se incluyen los espectros de desplazamiento, velocidad y aceleración. Ello es posible debido a las simples relaciones que vinculan dichas variables, las cuales al aplicar logaritmo y reordenar se transforman en:

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Figura 11. Representación combinada de espectros en papel logarítmico. Registro de El Centro, USA, 1940. Amortiguamiento 0, 2, 5 y 10%. En la ordenada se emplaza una escala de velocidad y dos escalas adicionales, inclinadas 45º respecto del eje de abscisas, para representar el desplazamiento y la -aceleración. La figura 11 muestra un ejemplo de representación de espectros en forma combinada mediante el papel logarítmico, mientras que en la figura 12 se indica esquemáticamente la forma de leer los valores espectrales para un periodo de vibración determinado (2.0 segundos en este caso).

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Figura 12. Lectura de valores espectrales en la representación combinada. La figura 11 muestra claramente otro aspecto importante a destacar. Los valores máximos del movimiento del suelo, desplazamiento, velocidad y aceleración, se pueden representar en el gráfico combinado mediante tres rectas (en dicha figura se indican con líneas de trazo). Las curvas de respuesta espectral para distintos valores de amortiguamiento se ubican en general por encima de las líneas que definen el movimiento del suelo, indicando así que la vibración propia de la estructura amplifica dicho movimiento. En el rango de periodos bajos la aceleración espectral tiende a la aceleración máxima del suelo y lo mismo ocurre con los desplazamientos en la zona de periodos elevados, cumpliendo así con los límites indicados anteriormente. Se debe destacar que la representación en papel logarítmico no es un tipo diferente de espectro, sino una alternativa conveniente para graficar en forma unificada tres variables: S D , S V y S A .Esta forma de representación suele utilizarse tanto para espectros de respuesta como para espectros de diseño.

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Dinámica de Estructuras -------------------------------------------------------------------------------------------------------------Los valores espectrales también pueden representarse mediante un gráfico donde se ubican en abscisas el desplazamiento y en ordenadas la aceleración, mientras que los periodos de vibración se indican mediante líneas oblicuas, como se muestra en la figura 13. Este tipo de representación se conoce como espectro de capacidad. La ventaja de este tipo de gráfico es que permite superponer al espectro la curva de capacidad (resistencia lateral-desplazamiento) de la estructura y compararla con la demanda sísmica.

Figura 13. Espectro de capacidad del sismo de Turquía, 1999.

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