ESPACIOS_EUCLIDEOS
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espacios euclideos ESPE...
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ESPACIOS EUCLIDEOS PRODUCTO INTERIOR (Producto Punto) Definición: Sean los vectores u = (u1, u2, u3, …, un ) y v = (v1, v2, v3, …, vn,) є Rn, el PRODUCTO ESCALAR (Producto Interno o Produc Producto to Punto) de los vectores u y v, que se escribe escribe como u . v o < u v > se define por: u v uv u1v1 u 2 v2
n
u n vn ui vi ; y su resultado es un escalar α є
R.
i 1
Ejemplos: Si u = (4,6) y v = (-7,3) Si u = (3, 1, 2) y v = (4,-7,1) Si u = (1, 2, 4, -3)
u v (4)(7) (6)(3) 28 18 10 u v (3)(4) (1)(7) (2)(1) 12 7 2 7 u u 12 22 4 2 (3) 2 1 4 16 9 30
OBSERVACION: Existen muchas maneras de definir un producto escalar. El producto escalar definido anteriormente se denomina PRODUCTO ESCALAR CANONICO de Rn, pero se puede definir el producto interno mediante sus propiedades. Definición: Sea V un espacio vectorial (real o complejo) sobre un cuerpo K, si a cada par de vectores u y v є V se le asigna un escalar escalar < u v > є K, esta aplicación se llama PRODUCTO INTERNO en V, si satisface las siguientes propiedades: i) u V < u u > > 0 si u ≠ 0 y < u u > = 0 si u = 0 ii) u, v V < u v > = < v u > iii) u, v, w V < u.(v+w) > = < u v > + < u w > iv) u, v V y R < α u v > = α < u v >
Ejemplo: Verificar que < X Y > = 2x1y1 + 3x2y2 es un p.i. p.i. en R2. Sea X = (x 1 , x2) Y = (y1 , y2), entonces: i)
XX
ii)
XY
iii)
x1 x1 2 2 2 x1 x1 3 x2 x2 2 x1 3x2 0 x2 x 2 x1 y1 2 x1 y1 3 x2 y 2 2 y1 x1 3 y2 x2 YX x2 y 2
X (Y Z )
x y1 z 1 1 2 x1 ( y1 z 1 ) 3 x2 ( y2 z 2 ) y z x 2 2 2 x y x z (2 x1 y1 3 x2 y 2 ) (2 x1 z 1 3 x2 z 2 ) 1 1 1 1 XY XZ x2 y 2 x2 z 2
2
iv)
XY
x1 y1 2 x1 y1 3 x2 y 2 (2 x1 y1 3 x2 y 2 ) XY x2 y 2
Entonces si es un producto interior (p.i.)
Ejemplo: Verificar que f( u.v ) = x1y1 – x1y2 – x2y1 + 3x2y2 es un p.i. Sea u = (x 1 , x2) y v = (y1 , y2), entonces: i)
uu
ii)
uv
iii)
x1 x1 2 2 2 x1 x1 x1 x2 x2 x1 3 x2 x2 x1 2 x1 x2 3 x2 ( x1 x2 ) 2 2 x2 0 x2 x2
x1 y1 x1 y1 x1 y2 x2 y1 3 x2 y 2 y1 x1 y 2 x1 y1 x2 3 y 2 x2 x2 y 2 y1 x1 y1 x2 y2 x1 3 y2 x2 vu x y1 z 2 1 x1 ( y1 z 1 ) x1 ( y2 z 2 ) x2 ( y1 z 1 ) 3 x2 ( y 2 z 2 ) x 2 y 2 z 2
u ( v w)
( x1 y1 x1 y2 x2 y1 3 x2 y2 ) ( x1 z 1 x1 z 2 x2 z 1 3 x2 z 2 ) x y x z 1 1 1 1 uv uw x2 y 2 x2 z 2
iv)
x1 y1 x1 y1 x1 y 2 x2 y1 3 x2 y 2 x 2 y 2 ( x1 y1 x1 y2 x2 y1 3 x2 y2 ) uv
uv
Entonces si es un producto interior (p.i.)
Ejemplo: Verificar que < u v > = -2(x 1y1 + x2y2 ) es un p.i. Sea u = (x 1 , x2) y v = (y1 , y2), entonces: i)
uu
x1 x1 2 2 2( x1 x1 x2 x2 ) 2( x1 x2 ) 0 x2 x2
Entonces no es un producto interior.
EJERCICIOS: Verificar si las siguientes funciones definen un producto escalar: 1.- f( u.v ) = x1y1 – 3x1y2 – 3x2y1 + 5x2y2 2.- f( u.v ) = x1y1 – x2y1 + x1y2 + 2x2y2 3.- f( u.v ) = x1y1 + 2x2y2 + 3x3y3 4.- f( u.v ) = 2x1y1 + x2y2 – x3y3 + x1y2 + x2y3 + x1y3 5.- f( u.v ) = x12 + y12 + 2x1x2 6.- f( u.v ) = x1y2 + x2y3 +x3y1
3
Definición: El Producto Punto de los vectores u y v, en el espacio tridimensional se escribe como u . v y se define como: u v u v cos si u ≠ 0, v ≠ 0 ó, u v 0 si u = 0 o v = 0 γ es el ángulo en radianes entre u y v, y 0 < γ < π v v v u
u
uv 0
uv 0
u uv 0
Definición: Un espacio vectorial Real con producto Interior se llama ESPACIO VECTORIAL EUCLIDEO ( o Euclideano), y un espacio vectorial Complejo con producto interno se llama ESPACIO UNITARIO o Espacio Hermítico.
NORMA Y DISTANCIA Definición: Sean u y v є V en Rn, u = (u1, u2, u3, …, un ) y v = (v1, v2, v3, …, vn,), la DISTANCIA entre los puntos u y v, se escribe como d(u,v) y se define por d (u, v) (u1 v1 ) 2 (u 2 v2 ) 2
(un vn ) 2 (u v) (u v)
La NORMA o LONGITUD del vector u, se escribe como |u| o ||u|| y se define por u u1 u2 2
2
un 2 u u
Entonces: la distancia d(u,v) = || u – v || = (u v) (u v)
ANGULO ENTRE DOS VECTORES Teorema: (Ortogonalidad) Dos vectores diferentes de cero son ORTOGONALES o perpendiculares entre sí, si y solo si, su producto interno es cero: u v u v cos cos
uv uv
u v uu vv
Ejemplos: 1) Si u = (4, 5, 2) entonces la norma o longitud de u es: u u u 4 2 52 2 2 45
2) Sea V el espacio vectorial de todas las matrices 2x2, y sea A є V, con Entonces la norma de A es: A A A 12 32 2 2 12 15
1 3 2 1
A
4
3) Sean u = (3, 2) y v = (- 4, 3); la distancia entre u y v es: d (u, v) (u v) (u v) (3 4) 2 (2 3) 2 7 2 (1) 2 49 1 50
4) Sean u = (1, 5, 2) y v = (5, - 2, - 5); la distancia entre u y v es: d (u, v) u v (1 5) 2 (5 2) 2 (2 5) 2 16 49 49 114
5) Hallar el coseno de γ si u = (1,1) y v = (1, 0) u(1,1)
cos
uv uv
1 0 11 1 0
1 2
2 2
2 arccos 2 4
v(1,0) 6) Encuentre el ángulo agudo entre las rectas y = 4x y 3 y = 2x. y = 4x entonces u = (1, 4) 3y = 2x entonces v = (3, 2) Entonces cos
uv uv
arccos
11 17
38 1 16 9 4
42,27 13
11 17 13
EJERCICIOS: 1.- Dados los vectores u = i + 2j – 3k; v = 2i + j + 4k; w = -5j + 2k, Calcular: a) ║u - v║; b) ║u + 2v – 3w║ c) ║u║ - ║w║; d) d(u,v); e) d(v,w) 2.- Hallar el ángulo γ formado por los vectores: a) u = 2i - 3j + k; v = - i + 2j + k; b) u = 2i + j + 5k; v = - 6i + 2j - 4k; c) u = (2, 3, 1); v = (2, 4, -12); 3.- Encuentre los ángulos formados por el eje X, el eje Y y la recta: a) 2y = x; b) y = -3x; c) 4y – 3x = 0 4.- Encuentre los lados y los ángulos del triángulo formado por los puntos: a) A = (0,0), B = (2,4) y C = (5,2) b) A = (-2,0), B = (0,4) y C = (3,-2) c) A = (0,0,0), B = (1,2,4) y C = (4,- 2,-3) 5.- Dados los vértices de un cuadrilátero A = (1,-2,2), B = (1,4,0) y C = (-4,1,1) y D = ( -5,-5,3) a) Demostrar que sus diagonales AC y BD son perpendiculares b) Calcular la distancia entre los puntos A y C, y los puntos B y D c) Calcular la longitud de los lados del cuadrilátero d) Calcular los ángulos internos del cuadrilátero.
5
CONJUNTOS ORTOGONALES Definición: Un conjunto de vectores de un espacio vectorial euclídeo V se dice que es Ortogonal, si cada vector de dicho conjunto es perpendicular a todos los vectores restantes. Ejemplo: Dado el conjunto de vectores u = (1, 1, 1); v = (2, -1, -1); w = (0, 3, -3), verificar, con el p.i. canónico, si es un conjunto ortogonal. < u . v > = 2 – 1 – 1 = 0 → u y v son perpendiculares entre si < u . w > = 0 + 3 – 3 = 0 → u y w son perpendiculares entre si < v . w > = 0 – 3 + 3 = 0 → v y w son perpendiculares entre si Luego el conjunto u, v, w es un conjunto ortogonal
Teorema: Si dos vectores u y v son ortogonales, entonces son linealmente independientes. Un conjunto de vectores ortogonales es l.i. Definición: Sea V un espacio vectorial euclídeo (o hermético) y sea B un subconjunto de V, se dice que B es un conjunto ORTOGONAL si cada par de vectores distintos en B son perpendiculares entre sí, es i j decir: xi x j 0 B es un conjunto ORTONORMAL, si es ortogonal y si cada vector x i tiene longitud 1, es decir: xi x j 0 i j xi xi 1 i N
NOTA: Siempre es posible obtener un conjunto ortonormal a partir de un conjunto ortogonal, al NORMALIZAR cada vector. Si ║u║ = 1, esto es < u . u > = 1, se dice que u es un vector UNITARIO o que está NORMALIZADO. Todo vector distinto de cero puede normalizarse haciendo: v
u u
Definición: Un conjunto ortogonal normalizado se denomina ORTONORMALIZADO, y es una Base Ortonormal 3 Ejemplo: Dado el conjunto S 3 , 3 , 3 ; 3 , 3 , 3 ; 3 , 3 , 3 R , con el p.i. canónico, 2
2 1
2 1
2
1 2 2
comprobar que S es una base Ortonormal. 4
2
2
9
9
9
u v 0
S es un conjunto ortogonal
u w
2 9
4 9
2 9
0
v w
2 9
2 9
4 9
0
6
u u
4
9
4
9
1
9
9
v v
1
9
4 9
1
9
4
9
9
9
1
4
4
9
9
9
w w
1
9 9
1
S es un conjunto ortonormal, entonces S es un Base Ortonormal.
Teorema: En todo espacio vectorial euclídeo V de dimensión finita existe una base Ortonormalizada (Ortonormal) u1, u2, …, un y cualquier vector v Є V puede ser escrit o como una combinación lineal de los vectores de la base, como; v v.u1 u1 v.u2 u2 v.u3 u3 v.un un .
Ejemplo: 2
3 Sea S 3 , 3 , 3 ; 3 , 3 , 3 ; 3 , 3 , 3 R base y sea v = (6, 6, -9), expresar v como c.l. de S 2 1
2 1
2
1 2 2
v v.u1 u1 v.u 2 u 2 v.u3 u3
6 2 / 3 6 2 / 3 6 1 / 3 v 6 2 / 3 u1 6 1 / 3 u 2 6 2 / 3 u3 9 1 / 3 9 2 / 3 9 2 / 3 v 6(2 / 3) 6(2 / 3) 9(1 / 3)u1 6(2 / 3) 6(1 / 3) 9(2 / 3)u 2 6(1 / 3) 6(2 / 3) 9(2 / 3)u3 v 3 u1 12 u 2 0 u 3
1 , 3
Ejemplo: Compruebe que el conjunto de vectores S
1
2 ; , 3 6
1
,
3
1
,
6
1 ; 0, , 6 2
1
2
1
es una base ortonormal y exprese el vector a) u = (x, y, z); b) v = (1, 1, -2); c) w = (2, -3, 2), como c.l. de S S es un conjunto ortonormal (base ortonormal) si (u 1, u2, u3) Є S, son perpendiculares entre si y son vectores unitarios u1 u 2
2
3 6
u1 u3 0 u 2 u3 0
1
3 6 1
1 3 2
1
1
2
0
3 6
3 2
6 2
1
2
2
2
0
0
1 1 u3 u 3 0 1 2 2
2
6 2
a)
u u.u1 u1 u.u 2 u 2 u.u3 u3
b)
x 1 x 2 x 0 1 1 u y 1 u1 6 y 1 u 2 2 y 1 u3 3 z 1 z 1 z 1 1 1 1 u ( x y z ) u1 (2 x y z ) u 2 ( y z ) u 3 2 3 6 v v.u1 u1 v.u 2 u 2 v.u 3 u3 1
v
1 1 1 1 u1 3 2 1
2
2 1 1 u2 u2 1 6 6 6
Entonces S es una base ortonormal
1
2
1 1 1 u1 u1 1 3 3 3
1 2 1 1 u 2 6 2 1
1
1 0 1 1 u3 2 2 1
1
2
7
v
1
1
1
(2 1 2) u 2 (0 1 2) u3 3 6 2 3 3 u2 u3 v 0 u1 6 2
c)
(1 1 2) u1
w w.u1 u1 w.u 2 u 2 w.u 3 u3
2 1 2 2 2 0 1 1 w 3 1 u1 6 3 1 u 2 2 3 1 u 3 3 2 1 2 1 2 1 1 1 1 w (2 3 2) u1 (4 3 2) u 2 (0 3 2) u3 2 3 6 1
w
1 3
5
u1
u2
6
5
u3
2
PROCESO DE ORTOGONALIZACION DE GRAM – SCHMIDT Sea v1, v2, …, vn una base arbitraria con un p.i. en V, entonces existe una base ortonormalizada u1, u2, …, un de V tal que: u i ai1v1 ai 2 v2 aii vi
v1
u1
PASO 1. Normalizar el primer vector:
v1
PASO 2. Ortogonalizar el segundo vector: w2 v2 v2 u1 u1 y normalizar el vector obtenido: u 2
w2 w2
PASO 3. Ortonormalizar cada uno de los vectores restantes v 3, v4, … , vn w3 v3 v3 u1 u1 v3 u 2 u 2 ;
u3
w3 w3
En general: wi 1 vi 1 vi 1 u1 u1 vi 1 u 2 u 2 ui 1
vi 1 ui ui
wi 1 wi 1
Ejemplo: Dado el conjunto S 1,1,0; 1,1,1; 0,1,1, obtener una base ortonormal. v1 v2 1 1 0 2 0 entonces S no es ortogonal v1 v1 1 1 0 2 1 entonces S no es ortonormal v 1,1,0 1 , Paso 1. Normalizar el primer vector: u1 1 v1 1 1 2 Paso 2. Ortogonalizar el segundo vector: w2 v2 v2 u1 u1 w2 (1,1,1) (
1 2
1 2
1 , 2
)
1 2
(1,1,1)
,0
y normalizar el vector obtenido: u 2
w2 w2
1 , 2 2
2
(0,0,1) 1
1 2
1 2
,0
(1,1,1) (1,1,0) (0,0,1)
,0 .
(0,0,1)
Paso 3. Ortonormalizar el tercer vector: w3 v3 v3 u1 u1 v3 u 2 u 2
8
1 1 1 1 1 1 , ,0 (1)(0,0,1) (0,1,1) , ,0 (0,0,1) , ,0 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 , ,0 , ,0 w3 1 2 2 2 2 1 u3 , ,0 w3 1 1 2 2 2 w3 (0,1,1) (
1
)
4
0
4
2
1 , 2
La Base ortonormal es entonces S
1 2
,0 ; 0,0,1;
1
,
1
2
2
,0
x Ejemplo: Obtenga una base ortonormal del subespacio S span y 2 x 3 y z 0 z x 1 0 0 , 1 Base S span y z 2 x 3 y z 2 3 v1 1,0,2 1 2 u1 ,0, 1 4 5 5 v1 2 1 6 12 6 3 ,0, (0,1,3) ,0, ,1, 5 5 5 5 5 5 5 6 3 6 3 , 1, , 1, w2 6 5 3 5 5 5 5 u2 , , w2 36 9 70 70 70 70
w2 v 2 v 2 u1 u1 (0,1,3) (
6
)
1
25
25
25
1 ,0, 5
La Base ortonormal es entonces S
; 5
2
6 70
,
5 70
,
70
3
EJERCICIOS: 1 ,0, 2
1.- Compruebe que el conjunto de vectores S
1 2
1 ,0, 2
,0 ; 0,
1 1 1 1 ; , , , es 2 2 2 2 2
1
un conjunto ortonormal y exprese el vector a) (x, y, z,w); b) (1, 1, -2, 2); como c.l. de S 1/ 2
1 / 2 1 / 2 ; 1 / 2 1 / 2 ; 1 / 2 1 / 2 ; es una base 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2 2 1 1 3 y el vector B como c.l. de π . ortonormal y escriba el vector A 3 4 2 1
2.- Demuestre que 1 / 2
1 / 2
3.- En el E.V. P3 de polinomios de grado menor o igual a 3, con p.i. canónico, considere la base 1,1 t ,1 t t 2 ,1 t t 2 t 3 , obtenga 4.- Ortogonalizar cada una de las siguientes bases: a) 1,1,0; 1,1,0; 1,1,1 b) 2,1,1; 3,2,1 / 3; 1,0,1 c) 1,0,0,1; 1,0,2,1; 0,1,2,0 ; 0,0,1,1 5.- Obtenga una base ortonormal para cada uno de los siguientes subespacios: a) span x, y, z / x y 2 z 0 b) span x, y, z , w / x z y 2w c) span x, y, z , w / x y z w 0 d) span x, y, z , w / x 3 z 2w 0
9
PROYECCIONES PERPENDICULARES PROYECCIÓN DE UN VECTOR
SOBRE OTRO VECTOR
Sean u y v Є Rn no nulos, la proyección de u sobre v es el vector λ v con λ Є R a determinarse. u
Determinar primero si existe un único x Є R tal que u – λv sea perpendicular a v
xv v C = λv
Puesto que λv + x = u, entonces x = u – λv = u – C Se debe comprobar que: x . v = 0 Reemplazando: x . v = (u – λv ) . v = u . v – λv . v = 0 De donde: Entonces:
si
uv
uv
v
2
v vv
;
vv v
2
u v es ortogonal a v
vv
El vector C = λv se llama PROYECCIÓN del vector u a lo largo del vector v, y λ se llama COEFICIENTE de FOURIER de u respecto a v. C
Luego:
u v vv
v
u v vv
v
De la misma forma, la Proyección del vector v sobre el vector u, es el vector: D
uv
u
uu
u v u u
u
Ejemplo: Sean los vectores u = (5,8) y v = (3,2) hallar las proyecciones de u sobre v y de v sobre u u
La proyección del vector u sobre v es: C
uv vv
v
15 16 94
v
31 13
93 62 , 13 13
v
D
La proyección del vector v sobre u es: D
uv uu
u
15 16 25 64
u
31 89
155 248 , 89 89
C = λv
v
u
Ejemplo: Sean los vectores u = (1, -1, 1) y v = (2, 5, 7) hallar las proyecciones de u sobre v y de v sobre u Proyección de u sobre v:
C
u v
Proyección del v sobre u:
D
uv
vv uu
v u
257 111
v
257 4 25 49
4 3
8 3
v ,
u
4 78
20 28 , 3 3
4 4 4 , , 78 78 78
u
10
PROYECCIÓN DE UN VECTOR
SOBRE UN SUBESPACIO W
Si W es un subespacio vectorial de un Espacio Vectorial V y u es un punto arbitrario que no está en W, entonces v indica la proyección perpendicular de u sobre W, y la distancia de u a W se define como la longitud del vector u – v.
v = proyv u
u z = u – v v
z = perpendicular a W
W
Teorema: Sea V un espacio vectorial euclídeo y sea W un subespacio de V de dimensión finita, entonces la PROYECCION ORTOGONAL de un vector u sobre el subespacio W se establece como: Proy v u u w1 w1 u w2 w2
u wn wn
Siendo S = w1, w2, … , wn una base ortonormal de W
Ejemplo: Determinar la proyección ortogonal del vector u = (1, 2, 3) sobre el subespacio generado por el plano x + 2y – z = 0. x 1 0 Sea W y x 2 y z 0 S 0 , 1 base de W z 1 2
Usando el proceso de Gram-Schmidt se encuentra una base ortonormal a partir de S 1 1 1 1 1 S base ortonormal de W ;0; ; ; , 2 2 3 3 3 v Proyv u u w1 w1 u w2 w2 v Proyv u
v
1 1 1 2 0 2 3 1
1 2 0 1 2
1 1 1 2 1 3 3 1
1 3 1 3 1 3
1 4 1 1 1 4 2 4 10 ;0; ; ; 2,0,2 1,1,1 ; ; 3 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3
4 1
Definición: El vector v en la descomposición u = v + z se llama Proyección del vector u sobre el subespacio W; z es la perpendicular (vector perpendicular) trazada desde el vector u al subespacio W.
11
Definición: Si W es un subespacio de dimensión finita de un espacio vectorial V, y u es cualquier vector en V, entonces la distancia de u a W es la longitud de la componente de u perpendicular a W (z); es decir: d(u, W) = ║u - v║ = ║u – Proyvu║ Ejemplo: En el ejemplo anterior, la distancia del vector u = (1, 2, 3) al subespacio W es: 2 4 10 1 2 1 d (u, W ) u Pr oyv u 1,2,3 ; ; ; ; 3 3 3 3 3 3
1 9
4 9
1 9
2 3
Ejemplo: Determinar la distancia del vector u = (1, -1, 3, 2) sobre el subespacio generado por el conjunto W 1,0,0,1; 1,0,2,1; 0,1,2,0 ; 0,0,1,1
Usando el proceso de Gram-Schmidt se encuentra una base ortonormal a partir de W 1 1 1 1 1 ;0; ; ; S base ortonormal de W , 2 2 3 3 3 v Proy v u u w1 w1 u w2 w2 v Proyv u
v
1 1 1 2 0 2 3 1
1 2 0 1 2
1 1 1 2 1 3 3 1
1 3 1 3 1 3
1 4 1 1 1 4 2 4 10 ;0; ; ; 2,0,2 1,1,1 ; ; 3 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3
4 1
EJERCICIOS: 1.- Encontrar la proyección del vector (1, 2, 3) sobre el plano dado implícitamente por x + y + z = 0. 2.- Encontrar la proyección del vector (1, 2, -3) sobre el plano dado implícitamente por x + 2y - z = 0. 3.- En R4 con el producto escalar usual, encuentre la proyección ortogonal del vector (0, 2, 1, -1) sobre el subespacio U ( x, y, z , w) x y 2 z 0 4 4.- En R con el producto escalar usual, encuentre la proyección ortogonal del vector (1, 2, 0, -1) sobre el subespacio U ( x, y, z , w) x y z w 0 4 5.- En R con el producto escalar usual, encuentre la proyección ortogonal del vector (-1, 1, 2, -1) sobre el subespacio U ( x, y, z , w) x 3 z 2w 0
12
PRODUCTO VECTORIAL (Producto Cruz) Definición: El Producto Vectorial o Producto Cruz de dos vectores u y v, que se escribe como u x v, se define como: i) Si u y v tienen la misma dirección o sus direcciones son opuestas o uno de estos vectores es cero, entonces w = u x v = 0 ii) En cualquier otro caso, w = u x v es el vector cuya longitud es igual al área del paralelogramo que tiene a u y v como lados adyacentes y cuya dirección es perpendicular tanto a u como a v y es tal que u, v, w (en ese orden) forman una terna o triada derecha (orientación de dedos pulgar, índice y medio de la mano derecha). El paralelogramo en el que u y v son lados adyacentes, tiene el área uvsen, en donde es el ángulo en radianes entre u y v.
w v
w = u v sen u x v = u v sen
u w u v sen 2
2
2
2
2
2
w u v sen 2 w u v (1 cos 2 )
u v 2 w u v 1 2 2 u v 2 2 w u u vv u v 2
2
w uxv
2
u u vv u v
2
Longitud de producto cruz = área del paralelogramo
Ejemplo: Con respecto a un sistema derecho, suponga que u = 4i – k y v = -2i + j + 3k, entonces la longitud del vector w = u x v es: w uxv
u u vv u v
2
(16 1)(4 1 9) (8 3) 2 (17)(14) (11) 2 117
Propiedades: i) El producto cruz de vectores no es conmutativo, (el orden de los factores tiene gran importancia) u x v v x u; u x v = - v x u ii) (ku) x v = k(u x v) = u x (kv) iii) u x (v + z) = (u x v) + (u x z) iv) El producto cruz no es asociativa: u x (v x z) (u x v) x z
13
Teorema: (Producto vectorial en términos de componentes) Con respecto a un sistema derecho de coordenadas cartesianas, si se supone que u tiene las coordenadas u 1, u2, u3 y v tiene las coordenadas v 1, v2, v3, entonces: u xv (u 2 v3 u3 v2 )i (u3 v1 u1v3 ) j (u1v2 u 2 v1 )k
O escrito en términos de determinantes: u xv
u2
u3
v2
v3
i
u3
u1
v3
v1
j
u1
u2
v1
v2
i
j
k
k u1 u 2 u3 v1
v2
v3
Donde i, j, k son los vectores unitarios, y u 1, u2, u3, v1, v2, v3, son las componentes de los vectores u y v respectivamente.
Ejemplo: Con respecto a un sistema derecho, suponga que u = 4i – k y v = -2i + j + 3k, entonces i
i
j
w u xv u1 u 2 u3 4
0
v1
j v2
k v3
k
1 2 j 4k i 12 j i 10 j 4k
2 1
3
w uxv 1 100 16 117
APLICACIONES: Área de Paralelogramos y triángulos Ejemplo: Encuentre el área del paralelogramo que tiene como dos de sus lados adyacentes a los vectores u = (1, 2 , -1) y v = (0, 1, 1) Area uxv (1 4 1)(0 1 1) (0 2 1) 2 (6)(2) 1 11
Ejemplo: Encuentre el área del paralelogramo que tiene los vértices siguientes en el plano: (0,0);(4,1);(2,3);(6,4) C(6,4) D(2,3) B(4,1)
Se debe verificar primero que el punto C sea parte del paralelogramo formado por los vectores u y v Es decir u + v = C, siendo u = D – A y v = B – A u + v = (2,3) + (4,1) = (6,4) = C A uxv (4 9)(16 1) (8 3) 2 (13)(17) (11) 2 A 100 10
A(0,0)
Ejemplo: Encuentre el área del triángulo que tiene los vértices (1,3,0); (0,2,5) (-1,0,2) A(1,3,0)
Si u = A – C = (2,3,-2) y v = B – C = (1,2,3) entonces: A
B(0,2,5) C(-1,0,2)
A
1 2 1 2
uxv
1 2
(4 9 4)(1 4 9) (2 6 6) 2
(17)(14) (2) 2
1 2
234
14
Ejemplo: Encuentre un vector normal unitario al plano que pasa por los puntos (2,0,0); (0,2,0); (0,0,2) Si u = A – C = (2,0,-2) y v = B – C = (0,2,-2) entonces: i
j
w uxv 2
0
k w
2 4k 4i 4 j 0 2 2
w
w
1 1 1 ; ; 16 16 16 3 3 3 (4,4,4)
Ejemplo: Encuentre el área de la figura que tiene los vértices (0,0); (2,2); (3,5); (7,2); (5,-2) y (2,-3) Se debe primero dividir la figura en triángulos e identificar los vectores que forman cada triángulo El área total será la suma de las áreas de cada triángulo, es decir A = A1 + A2 + A3 + A4 A1: u = (A – F) = (-2,3) v = (B – F) = (0,5)
C(3,5)
B(2,2) A2 A(0,0)
A1
D(7,2) A3
A1
uxv 2
(4 9)(0 25) (0 15) 2 2
100
2
A2: v = (B – F) = (0,5) w = (C – F) = (1,8) A4
A2
E(5,-2)
vxw 2
(0 25)(1 64) (0 40) 2
25
2
A3: w = ( C – F) = (1,8) y = (D – F) = (5,5)
F(2,-3)
A3
wxy 2
(1 64)( 25 25) (5 40)
2
2
A4: y = (D – F) = (5,5) z = (E – F) = (3,1) A4 5
35
2
2
Entonces A 5
yxz 2
(25 25)(9 1) (15 5) 2 2
5 30
EJERCICIOS: 1.- Dados los vectores a = i + j; b = -i + 2j + k; c = 2i + 3j – 5k; calcular: a) ax b; bxa; axc; ║cxa║; b) (a + b)xc; ax(b + c) c) (a . b)xc; (ax b) . c 2.- Encuentre el área del paralelogramo que tiene los vértices siguientes: a) (2,-3); (1,1); (5,-6); (4,-2) b) (1,1,3); (3,2,5); (-2,1,-6); (2,4,2) 3.- Encuentre el área del triángulo que tiene los vértices: a) (-1,2); (2,0); (4,3) b)(2,2,2); (5,2,4) (-2,4,-1) c) (6,-1,3); (6,1,1); (3,3,3) 4.- Encuentre un vector normal unitario al plano que pasa por los puntos: a) (1,3,5); (3,3,0); (-2,0,6) b) (0,0,0); (1,1,1); (4,-1,0) 5.- Encuentre el área de la figura que tiene los vértices: a) (1,-1); (-2,7); (4,5); (8,2); (5,0); (3,-3) b) (0,0); (-2,3); (1,2); (3,5); (4,1); (8,0); (4,-2); (3,-6); (1,-2) y (-3,3)
5
2
1225
2 100 2
5
35
2
2
5
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