Espacios Vectoriales

´ Algebra Lineal Cristian Mardones Sepulveda ´ Clases desde 02 de Diciembre 23 de diciembre de 2011

´Indice 1. Vectores 1.1. Vectores en R2 . . . . . . . . . . . . . 1.2. Operaciones con vectores . . . . . . . ´ lineal de vectores. Base 1.3. Combinacion ´ 1.3.1. Base canonica . . . . . . . . . 1.4. Producto escalar de vectores . . . . . 1.4.1. Vectores ortogonales . . . . . 1.4.2. Producto punto o escalar . . . ´ 1.4.3. Modulo de un vector . . . . . .

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2 2 2 4 5 6 6 7 7

2. Espacios vectoriales sobre R 2.1. Subespacio Vectorial . . . . . . . . . . . 2.2. Dependencia e Independencia lineal . . ´ lineal y espacio generado 2.3. Combinacion ´ 2.4. Base y dimension . . . . . . . . . . . .

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11 14 16 19 22

3. Suma directa de subespacios 27 ´ de la suma directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1. Caracterizacion ´ ´ (Formula ´ 3.2. Formula de la dimension de Grassman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3. Subespacios suplementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4. Bases ortonormales y proyecciones en Rn

30

5. Espacios vectoriales con producto interno (P.I)

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1

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1.

Unidad 2

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Vectores

1.1.

Vectores en R2

−−→ Llamamos vector fijo AB al segmento orientado que tiene su origen en el punto A y su extremo en el punto B.

−−→ ´ a) Modulo: Es la longitud del vector. Lo representamos por |AB| ´ de la recta que lo contiene. Si dos ´ Es la direccion b) Direccion: ´ vectores son paralelos tienen la misma direccion. c) Sentido: Es el que va del origen al extremo. Lo representamos ´ tiene dos sentidos. por la punta de la flecha. Una direccion

Definicion 1.1 (Vectores equivalentes) ´ ´ y sentido Son los vectores que tinen : mismo modulo, direccion

´ ´ sentido y magnitud, a) Todos los vectores del grafico tienen la misma direccion, ´ decimos que son representantes del son todos ellos equipolentes. Tambien vector libre ~u. −−→ −−→ −−→ b) As´ı, los vectores AB, CD y EF son equivalentes y representantes del mismo vector libre ~u. −−→ −−→ En el paralelogramo ABDC, son equivalentes los vectores AB y CD, y representantes de ~u. −→ −−→ ´ son equivalentes los vectores AC y BD, y representantes de ~v . c) Tambien

1.2.

Operaciones con vectores

Definicion 1.2 El producto de un numero α por un vector ~u es otro vector libre representado por α · ~u ´ ´ pero puede cambiar el sentido o la magnitud del vector ~u. El vector α · ~u mantiene la direccion

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a) Si α > 0, α · ~u tiene el mismo sentido que ~u b) Si α < 0 tienen sentido contrario. c) Si α > 1, el vector α · ~u se dilata o alarga. d) α < 1, el vector α · ~u se contrae o acorta. e) El caso que α = 0, el vector α · ~u corresponde al vector nulo (0, 0)

Definicion 1.3 (Suma de vectores) La suma de los vectores libres ~u = (u1 , u2 ) y ~v = (v1 , v2 ) es otro vector libre ~u + ~v = (u1 + v1 , u2 + v2 )

Definicion 1.4 (Suma de vectores) La resta de los vectores libres ~u = (u1 , u2 ) y ~v = (v1 , v2 ) es otro vector libre definido por: ~u − ~v = (u1 − v1 , u2 − v2 ) ´ grafica ´ la interpretacion de la resta se muestra en el dibujo. El vector resta ~u − ~v es la diagonal del paralelogramo construido con ~u y −~v .

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Ejemplo 1.1 Dados dos vectores no dependientes ~u y ~v hallar 3 · ~u + 2 · ~v

Propiedades 1.1 Sean ~u, ~v y w ~ vectores de Rn y sean c y d constantes reales. Entonces: a) ~u + ~v = ~v + ~u b) ~u + (~v + w) ~ = (~u + ~v ) + w ~ c) ~u + ~0 = ~0 + ~u d) ~u + (−~u) = (−~u) + ~u = ~0 e) c(~u + ~v ) = c · ~u + c · ~v f) (c + d)~u = c · ~u + d · ~u g) c · (d · ~u) = (c · d)~u

1.3.

´ lineal de vectores. Base Combinacion

Definicion 1.5 ´ lineal del vector ~u si existe un escalar α con ~v = α · ~u. Decimos que el vector ~v es combinacion ´ tambienn decimos que ~u y ~v son dependientes o proporcionales. Si ~u y ~v no son dependientes, decimos que son independientes. Definicion 1.6 ´ lineal de los vectores ~u y ~v si existen escalares α y β con Decimos que el vector w ~ es combinacion w ~ = α · ~u + β · ~v En general: Definicion 1.7 ´ lineal (c.l) de {~u1 , ~u2 , . . . , ~un } si Sean ~u1 , ~u2 , . . . , ~un , n vectores de Rn . Un vector ~u ∈ Rn es una combinacion existen constantes reales c1 , c2 , . . . , cn tales que ~u = c1 · ~u1 + c2 · ~u2 + . . . + cn · ~un Los numeros c1 , c2 , . . . , cn se conocen como los coeficientes de la c.l. ´ Definicion 1.8 (Base) Decimos que los vectores ~u y ~v forman una base en el plano R2 si son linealmente independientes. Esto significa ´ lineal de ~u y ~v . que cualquier vector w ~ ∈ R2 se obtiene por combinacion

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1.3.1.

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´ Base canonica

´ De entre todas las bases elegimos la base canonica determinada por los vectores ~i = (1, 0) y ~j = (0, 1). As´ı cualquier vector ~u = (u1 , u2 ) se puede expresar como: (u1 , u2 )

=

~u =

u1 · (1, 0) + u2 · (0, 1) u1 · ~i + u2 · ~j

Los numeros u1 y u2 por este orden son las componentes del vector. La magnitud ´ ´ ´ o modulo del vector ~u = (u1 , u2 ) por el teorema de Pitagoras corresponde a q |~u| = u21 + u22

Ejemplo 1.2 ~i = (1, 0) y ~j = (0, 1) y determinar el modulo ´ ´ de la base canonica ´ ´ Expresar los vectores del grafico en funcion de los mismos.

√

√ √ 22 + 42 = 20 = 2 5 p √ b) w ~ = −3 · ~i + 2 · ~j ⇒ |w| ~ = (−3)2 + 22 = 13 p √ c) ~n = −3 · ~i − ~j ⇒ |~n| = (−3)2 + (−1)2 = 10 p √ √ d) ~c = 4 · ~i − 2 · ~j ⇒ |~c| = 42 + (−2)2 = 20 = 2 5 a) ~v = 2 · ~i + 4 · ~j ⇒ |~v | =

Ejemplo 1.3 ´ lineal del vector ~u = (1, 2) Comprobar que el vector w ~ = (4, 8) es combinacion ´ Comprobamos si existe un escalar α con (4, 8) = α · (1, 2). Igualando componentes se tiene Solucion:  4=1·α =⇒ α = 4 8=2·α

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Ejemplo 1.4 ´ lineal de los vectores ~u = (2, 1) y ~v = (0, 5). Comprobar que el vector w ~ = (4, 7) es combinacion ´ Comprobamos si (4, 7) = α · (4, 7) + β · (0, 5). Igualando componentes se tiene Solucion:  4=2·α+0·β =⇒ α = 2, β = 1 7=1·α+5·β Ejemplo 1.5 Comprobar que los vectores ~u = (2, 1) y ~v = (0, 5) forman una base. ´ Los dos vectores ~u = (2, 1) y ~v = (0, 5) forman una base, pues son independientes ya que no hay Solucion: ningunn escalar α tal que (2, 1) = α · (0, 5). ´ 0 5 Observar que las componentes no son proporcionales, es decir: 6= 2 1 Ejemplo 1.6 ¿Forman una base los vectores ~u = (2, 1) y ~v = (4, 2)? ´ No forman una base, pues los vectores son dependientes, ya que: Solucion: (4, 2) = 2 · (2, 1) 2 1 Otra forma es ver que las componentes son proporcionales: = =⇒ son dependientes 4 2 Ejemplo 1.7 Sean los vectores ~u = (2, a) y w ~ = (1, 1). Hallar los valores de a para que formen una base. ´ Basta exigir que los vectores ~u = (2, a) y w Solucion: ~ = (1, 1) sean linealmente independientes, es decir, que las componentes no sean proporcionales. Como a 2 = =⇒ a = 2 1 1 Si a = 2 son dependientes y no forman base. Para cualquier valor a 6= 2 son independientes y forman una base.

1.4. 1.4.1.

Producto escalar de vectores Vectores ortogonales

´ Supongamos dos vectores ~u y ~v (vease la figura). Diremos que son ´ perpendiculares u ortogonales si se satisface el teorema de Pitagoras: |~u|2 + |~v |2 = |~u − ~v |2

´ la condicion ´ se transforma en Aplicando la ecuacion, (u21 + u22 ) + (v12 + v22 ) = (u1 − v1 )2 + (u2 − v2 )2 ´ Simplificando terminos comunes queda (u1 · v1 + u2 · v2 ) = 0 ´ As´ı la igualdad es valida si el producto cruzado es cero. Diremos que dos vectores ~u y ~v son ortogonales ~u⊥~v si ~u⊥~v ⇐⇒ u1 · v1 + u2 · v2 = 0

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1.4.2.

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Producto punto o escalar

Definicion 1.9 Sean ~u = (u1 , u2 ) y ~v = (v1 , v2 ) vectores de R2 . Se define el producto punto entre ~u y ~v por: ~u · ~v = u1 · v1 + u2 · v2 En general. Si consideramos ~u = (u1 , u2 , . . . , un ) y ~v = (v1 , v2 , . . . , vn ) vectores de Rn ~u · ~v = u1 · v1 + u2 · v2 + . . . + un · vn =

n X

ui · vi

i=1

´ recibe el nombre de producto escalar debido a que al realizar esta operacion ´ Nota: El producto punto tambien entre dos vectores se obtiene como resultado un numero real o escalar. ´ Propiedades 1.2 Sean ~u, ~v y w ~ vectores de Rn y sea c una constante real. Entonces: a) ~u · ~v = ~v · ~u b) ~u · (~v + w) ~ = ~u · ~u + ~u · w ~ c) c · (~u · ~v ) = (c · ~u) · ~u = ~u · (c · ~v ) d) ~0 · ~u = 0 1.4.3.

´ Modulo de un vector

´ Observar que si multiplicamos escalarmente un vector ~u por si mismo se obtiene el cuadrado de su modulo o longitud: ~u · ~u = u21 + u22 = |~u|2 ´ o dicho de otra forma, el modulo de un vector es la ra´ız positiva de su producto escalar √ |~u| = ~u · ~u ´ es clara en R2 y en R3 , donde podemos realizar esquemas graficos ´ ´ Esta definicion para comprobar que geometricamente, la norma de un vector coincide con la longitud de la flecha que lo representa.

En R2 , tenemos que la flecha que representa al vector (a, b) es la hipotenusa del ´ ´ √ de lado a y b. Luego, usando el Teorema de Pitagoras, ´ triangulo rectangulo la longitud de la flecha es a2 + b2 . Pero p p a2 + b2 = (a, b) · (a, b) = ||(a, b)||

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´ Ahora, en R3 , usaremos dos veces el Teorema de Pitagoras para calcular la longi´ tud de la flecha quecrepresenta el vector (a, b, c). Primero, considerando el triangulo ´ rectangulo de lados a y b en la base del paralelep´ ı pedo, tenemos que la longitud de la √ ´ flecha que representa al vector (a, b, 0) es a2 + b2 . Consideramos, ahora, el tri angu√ ´ lo con vertices (0, 0, 0),(a, b, 0) y (a, b, c), cuyos catetos miden a2 + b2 y c. Entonces la longitud de la flecha del vector (a, b, c) es p p a2 + b2 + c2 = (a, b, c) · (a, b, c) = ||(a, b, c)||

En general, Definicion 1.10 (Norma) La norma del vector ~u = (u1 , u2 , . . . , un ) ∈ Rn es ||~u|| =

q

u21 + u22 + . . . + u2n

´ Si ~u y ~u son vectores Las propiedades de la norma se heredan de las del producto punto, debido a la definicion. de Rn y si c es una constante real, entonces: a) ||~u||2 = ~u · ~u ≥ 0 b) ||~u|| = 0 ⇐⇒ ~u = ~0 c) ||c · ~u|| = |c| · ||~u||, pues ||c · ~u|| =

p

(c · ~u) · (c · ~u) =

p

c2 · (~u · ~u) =

√

c2 ·

p (~u · ~u) = |c| · ||~u||

d) ||~u + ~v ||2 = ||~u||2 + ||~v ||2 + 2 · ~u · ~v , pues

||~u + ~v ||2

=

(~u + ~v ) · (~u + ~v ) = ~u · (~u + ~v ) + ~v · (~u + ~v )

= ~u · ~u + ~u · ~v + ~v · ~u + ~v · ~v =

||~u||2 + ||~v ||2 + 2 · ~u · ~v

El siguiente teorema relaciona el producto punto con la norma. Teorema 1.1 (Desigualdad de Cauchy–Schwarz) Sean ~u y ~v vectores de Rn . Entonces |~u · ~v | ≤ ||~u|| · ||~v || ´ si existe una constante real λ tal que ~u = λ · ~v . y la igualdad se cumple si y solo dem: Sea λ un numero real cualquiera. Como ´ 0

≤

||~u − λ · ~v ||

= ||~u||2 + || − λ · ~v ||2 + 2 · ~u · (−λ · ~v ) = ||~u||2 + λ2 · ||~v ||2 − 2 · λ · ~u · ~v ´ cuadratica ´ entonces tenemos que para todo λ ∈ R la funcion

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||~v ||2 ·λ2 −2 · ~u · ~v ·λ + ||~u||2 | {z } | {z } | {z } b

a

c

es positiva o cero. Es decir, el discriminante de esta funci´on cuadr´atica debe ser menor o igual a cero. Entonces 0

≥

∆ = b2 − 4ac

0

≥

(−2 · ~u · ~v )2 − 4 · ||~u||2 · ||~v ||2

2

≥

4 · (~u · ~v )2

||~u||2 · ||~v ||2

≥

(~u · ~v )2

||~u|| · ||~v ||

≥

|~u · ~v |

2

4 · ||~u|| · ||~v ||

Por ultimo, ´ ||~u|| · ||~v || = |~u · ~v | ⇐⇒ ∆ = 0 ´ cuadratica ´ ´ lo que significa que la funcion tiene una unica ra´ız real, llamemosla λ0 . Para ella tendremos que ´ ||~u − λ0 · ~v || = 0, es decir, ~u = λ0 · ~v . ´ Tenemos dos consecuencias directas de la desigualdad de Cauchy-Schwarz: la desigualdad triangular y la relacion ´ entre el producto punto y el angulo entre dos vectores. Teorema 1.2 (Desigualdad triangular) Dados ~u y~v en Rn , se tiene que ||~u + ~v || ≤ ||~u|| + ||~v || dem: Pues ||~u + ~v ||2

= ||~u||2 + ||~v ||2 + 2 · ~u · ~v ≤

||~u||2 + ||~v ||2 + 2 · ||~u|| · ||~v ||

=

(||~u|| + ||~v ||)2

´ Angulo entre vectores ´ Sean ~u y ~v vectores de Rn . Como nos interesa determinar el angulo entre ~u y ~v , tiene sentido asumir que ambos son distintos del vector cero. Entonces ||~u|| = 6 0 y ||~v || = 6 0, y por la Desigualdad de Cauchy-Schwarz, |~u · ~v | ≤1 ||~u|| · ||~v || Como −1 ≤

~u · ~v ≤1 ||~u|| · ||~v ||

´ para cualquier vector ~u y cualquier vector ~v existe un angulo α ∈ [0, π] tal que cos(α) =

~u · ~v ||~u|| · ||~v ||

´ De esta manera, podemos hacer la siguiente definicion. Definicion 1.11

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´ ´ El angulo entre los vectores ~u y ~v esta´ dado por la formula   ~u · ~v α = arc cos ||~u|| · ||~v || Ejemplo 1.8 ´ Determinar el angulo de los vectores de R2 , ~u = (2, 1) y ~v = (0, 1). ´ Solucion: Tenemos: cos(α) =

(2, 1) · (0, 1) ||(2, 1)|| · ||(0, 1)||

y de esto basta hallar:  α = arc cos

(2, 1) · (0, 1) ||(2, 1)|| · ||(0, 1)||



 = arc cos

1 √ 6

 ◦

◦

´ Nota 1: Si los vectores ~u y ~v son paralelos, entonces el angulo α entre ellos es 0 (0 ) o π (180 ), luego cos(α) = 1 ˙ ˙ o´ cos(α) = −1 y, por tanto, ~u · ~v = ||~u||||~v || o ~u · ~v = −||~u||||~v ||, es decir, se alcanza la igualdad en la Desigualdad de Cauchy-Schwarz. Entonces, ´ si existe una constante real λ0 tal que ~u = λ0 · ~v ~u y ~v son paralelos si y solo ´ Nota 2: Si los vectores ~u y ~v son perpendiculares, entonces el angulo α entre ellos es y ~u · ~v = 0. Entonces,

π ◦ (90 ), luego cos(α) = 0 2

´ si ~u · ~v = 0 ~u y ~v son perpendiculares si y solo ´ particular. Para Con bastante frecuencia se usan los vectores con norma igual a uno para indicar una direccion simplificar la escritura les damos un nombre especial a estos vectores.

Definicion 1.12 Un vector es unitario si su norma es 1. Nota 3: ~u 6= 0 entonces el vector u b=

1 ~u ~u = es unitario y paralelo al vector ~u. ||~u|| ||~u||

´ estudiando las proyecciones ortogonales en Rn . Concluimos esta seccion Consideremos dos vectores ~u, ~v 6= ´ ortogonal de ~u sobre ~v es el vector proyeccion

0.

La

~uv := Proyv u que queda caracterizado por dos propiedades 1) ~uv es paralelo a ~v , luego .~uv = λ~v y 2) ~z es perpendicular a ~v , es decir, ~z · ~v = 0.

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Para determinar el vector ~uv , basta determinar la constante λ (por 1). Ahora, observando la figura, se tiene que~uv + ~z = ~u, luego ~z = ~u − ~uv = ~u − λ · ~v Entonces, la propiedad 2 nos permite encontrar λ: 0 = ~z · ~v = (~u − λ · ~v ) · ~v = ~u · ~v − λ · ~v · ~v = ~u · ~v − λ · ||~v ||2 Por tanto, λ =

~u · ~v ||~v ||2

´ ortogonal de ~u sobre ~v es el vector Luego, la proyeccion

~uv := Proyv u =

2.

~u · ~v · ~v ||~v ||2

Espacios vectoriales sobre R

Definicion 2.1 Un conjunto no vac´ıo V es un espacio vectorial (e.v) sobre R si tiene definidas dos operaciones binarias: L

: V ×V (x, y)

−→ 7−→

V (Suma) x⊕y

J

: V ×R (x, α)

−→ 7→

V ´ (Ponderacion) α x

que cumplen las siguientes propiedades (axiomas de espacio vectorial): Axiomas de la suma: 1. La suma es cerrrada: x ⊕ y ∈ V para todo x, y ∈ V . 2. La suma es commutativa: x ⊕ y = y ⊕ x para todo x, y ∈ V . 3. La suma es asociativa: (x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z) para todo x, y, z ∈ V . 4. Existe un elemento neutro aditivo 0E tal que x ⊕ 0E = x para todo x ∈ V . 5. A cada x ∈ V le correponde un inverso aditivo x e ∈ V tal que x ⊕ x e = 0V . ´ Axiomas de la ponderacion: ´ es cerrrada: 1. La ponderacion ´ 1 x = x para todo x ∈ V . 2. El 1 es neutro con respecto a la ponderacion: ´ es asociativa: (αβ) x = α (β x) = β (α x) , para todo α, β ∈ R y todo x ∈ V . 3. La ponderacion ´ es distributiva con respecto a la suma escalar: (α + β) x = α x ⊕ β x, para todo 4. La ponderacion x ∈ V y todo α, β ∈ R. ´ es distributiva con respecto a la suma vectorial: α (x ⊕ y) = α x ⊕ β y para todo 5. La ponderacion α ∈ R y todo x, y ∈ V . Llamaremos vectores a los elementos de V y escalares a los numeros reales. ´

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´ de vectores 1. El conjunto V = Rn es un espacio vectorial sobre R con las operaciones de suma y ponderacion definidas por componentes (que ahora llamaremos operaciones usuales). 2. El conjunto V = Mm×n (R) de todas las matrices de m × n es un espacio vectorial sobre R con las ´ de matrices (que definimos por componentes en su momento). operaciones de suma y ponderacion 3. El conjunto V = P(R) = P[x] de todos los polinomios con coeficientes reales es un espacio vectorial sobre ´ de polinomios (que son las operaciones conocidas de funciones reales). R con la suma y ponderacion 4. El conjunto V = P≤n (R) de todos los polinomios cuyo grado es menor o igual a n, con n ∈ N fijo, es un ´ de polinomios. espacio vectorial con las operaciones de suma y ponderacion 5. El conjunto V = Pn (R) de los polinomios de grado exactamente igual a n, con n ∈ N fijo, no es un espacio vectorial sobre R, pues aunque ambas operaciones definidas cumplen sus cuatro axiomas, tenemos que la suma no es cerrada en el conjunto, es decir, si sumamos dos polinomios de grado n, el resultado no es necesariamente un polinomio de grado n. Por ejemplo: si tomamos dos elementos de V , p1 (x) = xn + 3 y p2 (x) = 4 − xn , entonces la suma de ellos p1 (x) + p2 (x) = 7 no pertenence a V . 6. Comprobaremos que el conjunto V = {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0}, que representa el primer cuadrante del plano real R2 , dotado con las operaciones:

(x, y) ⊕ (u, v)

=

(x · u, y · v)

α (x, y)

=

(xα , y α )

es un espacio vectorial sobre R. ´ bien definidas. Primero, comprobemos que las operaciones estan • Si (a, b) y (c, d) son elementos de V , entonces (a, b) ⊕ (c, d) = (a · c, b · d) pertenece a V , pues ambas componentes son positivas (por ser producto de numeros positivos). ´ • Si (a, b) es un elemento de V y α ∈ R, entonces α (a, b) = (aα , bα ) es un elemento de V , pues si la base ´ exponencial x · y es positiva, entonces la expresioon ´ tambien ´ es positiva (compruebelo ´ x de una expresion para y > 0, y = 0 e y < 0). Ahora, veamos que ambas operaciones cumplen sus axiomas correspondientes. Siempre comprobamos los axiomas de la suma primero. L 1. (c, d) ⊕ (a, b) = (ca, db) = (ac, bd) = (a, b) ⊕ (c, d) =⇒ la suma es conmutativa. 2. [(a, b) ⊕ (c, d)] ⊕ (e, f ) = (a · c, b · d) ⊕ (e, f ) = (a · c · e, b · d · f ) = (a, b) ⊕ (c · e, d · f ) = (a, b) ⊕ [(c, d) ⊕ (e, f )] =⇒ la suma es asociativa. 3. Buscaremos el neutro aditivo 0V = (x, y) tal que para todo elemento (a, b) ∈ V se tenga: (a, b) ⊕ (x, y) = (a, b) ⇐⇒ (a · x, b · y) = (a, b) ⇐⇒ x = 1; y = 1 As´ı, en este caso, el vector neutro es 0V = (1, 1).

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4. Ahora fijamos (a, b) ∈ V y buscamos (e a, eb) tal que 1 1 (a, b) ⊕ (e a, eb) = 0V ⇐⇒ (a · e a, b · eb) = (1, 1) ⇐⇒ e a = ; eb = a b Luego, el inverso aditivo de (a, b) es (a−1 , b−1 ). J

1. Calculamos 1 (a, b) = (a1 , b1 ) = (a, b). Luego, 1 v = v para todo v ∈ V . 2. Ahora, para α y β en R, calculamos: α (β (a, b)) = α (aβ , bβ ) = ((aβ )α , (bβ )α ) = (aαβ , bαβ ) = (αβ) (a, b)) β (α (a, b)) = β (aα , bα ) = ((aα )β , (bα )β ) = (aαβ , bαβ ) = (αβ) (a, b)) ´ Lo que demuestra el segundo axioma de la ponderacion. 3. (α ⊕ β) (a, b)) = (aα+β , bα+β ) = (aα aβ , bα bβ ) = (aα , bα ) ⊕ aβ , bβ ) = α (a, b) ⊕ β (a, b) 4. α ((a, b) ⊕ (c, d)) = α (a · c, b · d) = ((a · c)α , (b · d)α ) = (aα · cα , bα · dα ) = (aα , bα ) ⊕ ·(cα , dα ) = α (a, b) ⊕ α (c, d) ´ Con todos estos calculos hemos probado que (V, ⊕, ) es un espacio vectorial sobre R.

Ejercicio 2.1 Probar que el conjunto V = R2 es un espacio vectorial sobre R con las operaciones (x, y) ⊕ (u, v)

=

α (x, y)

=

p 3

p x3 + u3 , 3 y 3 + v 3 ) √ √ 3 3 ( λx, λy) (

Teorema 2.1 Sea V un espacio vectorial y sean u ∈ V y c ∈ R, entonces: 1. 0 · u = 0 ˙ = ~0 2. c~0

(0 escalar) (~0 vector cero )

3. c · u = ~0 =⇒ c = 0 o´ u = ~0 4. (−c) · u = −(c · u) dem: (Ejercicio)

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2.1.

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Subespacio Vectorial

Sea V = (V, +, ·) un espacio vectorial. Un subconjunto U ⊆ V , U 6= 0 se dice subespacio vectorial de V si U con ´ por un escalar (ponderacion) ´ que estan ´ definidas en V , pero las mismas operaciones de suma y multiplicacion estan restringidas a vectores de U , es un espacio vectorial. Teorema 2.2 Un subconjunto U 6= ∅ de un espacio vectorial V es un subespacio de V si cumple con las siguientes condiciones:   U 6= ∅ Si x ∈ U y y ∈ U =⇒ x + y ∈ U U E V ⇐⇒  Si x ∈ U y α ∈ R =⇒ α · x ∈ U Observacion 2.1 Todo subespacio de un espacio vectorial V contiene al cero. Ejemplo 2.1 1. Para todo espacio vectorial V , el subconjunto {0} que contiene el vector cero, es un subespacio, pues 0 + 0 = 0 y α · 0 = 0 ∀α ∈ R (este es llamado el subespacio trivial) 2. V es un subespacio de s´ı mismo para todo espacio vectorial V . Definicion 2.2 Los subespacios que no son ni {0} ni V se conocen como subespacios propios. Ejemplo 2.2 1. Sea V = {(x, y, z) ∈ R3 : ax + by + cz = 0} ´ sobre el plano que pasa por el origen con vector normal V es el conjunto de puntos de R3 que estan n = (a, b, c) Veamos que V es un subespacio de R3 : a) Sean (x1 , y1 , z1 ) y (x2 , y2 , z2 ) ∈ V =⇒ (x1 , y1 , z1 ) + (x2 , y2 , z2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ) ∈ V pues a(x1 + x2 ) + b(y1 + y2 ) + c(z1 + z2 ) = (ax1 + by1 + cz1 ) + (ax2 + by2 + cz2 ) = 0 + 0 = 0 b) Sea α ∈ R y (x1 , y1 , z1 ) ∈ V =⇒ α · (x1 , y1 , z1 ) = (αx1 , αy1 , αz1 ) ∈ V pues α · ax1 + α · by1 + α · cz1 = α · (ax1 + by1 + cz1 ) = α · 0 = 0 Por lo tanto V E R3 2. Sea H = {(x, y, z) ∈ R3 : x = a · t, y = b · t, z = c · t con a, b, c, t ∈ R} ´ sobre una recta que pasa por el origen. H consiste en los vectores en R3 que estan Veamos que H es un subespacio de R3 : a) Si x = (at1 , bt1 , ct1 ) ∈ H y y = (at2 , bt2 , ct2 ) ∈ H =⇒ x + y = (a(t1 + t2 ), b(t1 + t2 ), c(t1 + t2 )) ∈ H b) Si α ∈ R y x = (at1 , bt1 , ct1 ) ∈ H =⇒ α · x = α · (at1 , bt1 , ct1 ) = (a(αt1 ), b(αt1 ), c(αt1 )) ∈ H Por lo tanto H E R3

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3. Sea W = {p(x) ∈ P2 [x] : p(x) = ax + 3ax2 , a ∈ R} Veamos que W es un subespacio de P2 [x]: a) Claramente p(x) = 2x + 6x2 ∈ W =⇒ W 6= ∅ b) Sean p(x) = a1 x + 3a1 x2 ∈ W y q(x) = a2 x + 3a2 x2 ∈ W =⇒ p(x) + q(x) = a1 x + 3a1 x2 + a2 x + 3a2 x2 = (a1 + a2 )x + 3(a1 + a2 )x2 =⇒ p(x) + q(x) ∈ W c) Sea p(x) = a1 x+3a1 x2 ∈ W y c ∈ R =⇒ c·p(x) = c·(a1 x+3a1 x2 ) = (c·a1 )x+3(c·a1 )x2 =⇒ c·p(x) ∈ W Por lo tanto W E P2 [x]    a 0 4. Sea W = ∈ M2×2 (R) : a · b ≤ 0, a, b ∈ R . ¿Es un subespacio vectorial de M2×2 (R)? 0 b Veamos que si se cumples las condiciones:  a) Como A =

1 0

0 −1

 ∈ W , pues a = 1 y b = −1 =⇒ a · b = 1 · (−1) = −1 ≤ 0 =⇒ W 6= ∅



   a1 0 a2 0 b) Sean A = ∈W yB= ∈ W donde a1 · b1 ≤ 0 y a2 · b2 ≤ 0 0 b1 0 b2   a1 + a2 0 =⇒ A + B = donde debe satisfacer que (a1 + a2 ) · (b1 + b2 ) ≤ 0 0 b1 + b2 ?

Notemos que (a1 + a2 ) · (b1 + b2 ) = a1 · b1 +a2 · b1 + a1 · b2 + a2 · b2 ≤ 0 | {z } | {z } ≤0

≤0

?

´ Pero el termino a2 · b1 + a1 · b2 ≤ 0 no sabemos si es menor igual a cero, si esto se cumple, luego ´ satisface la condicion. notemos que si a1 = 1, b1 = −5, a2 = −3 y b2 = 1 =⇒ a1 · b1 = −5 ≤ 0 y a2 · b2 = −3 ≤ 0 pero si reemplazamos los valores anteriores en (a1 + a2 ) · (b1 + b2 ) = 8 > 0     1 0 −3 0 Por lo tanto, A0 = ∈W yB= ∈ W , pero A0 + B0 ∈ / W . Es decir W no es un 0 −5 0 1 subespacio vectorial de M2×2 (R). ´ podemos chequear la tercera condicion, ´ pero basta que no cumpla una de las tres condiTambien ciones para que no sea un subespacio vectorial del espacio V .     a1 0 c · a1 0 c) Sea A = ∈ W (a1 · b1 ≤ 0), c ∈ R =⇒ c · A = ∈W 0 b1 0 c · b1 pues ca1 · cb1 = c2 · (a1 b1 ), pero c2 ≥ 0 y a1 · b1 ≤ 0 =⇒ c2 · (a1 b1 ) ≤ 0. Teorema 2.3 Sean H1 y H2 subespacios de un espacio vectorial V . Entonces H1 ∩ H2 es un espacio vectorial de V dem: Sean x1 ∈ H1 ∩ H2 y x2 ∈ H1 ∩ H2 , entonces como H1 E V y H2 E V , x1 + x2 ∈ H1 y x1 + x2 ∈ H2 =⇒ x1 + x2 ∈ H1 ∩ H2 Sea x1 ∈ H1 ∩ H2 y α ∈ R =⇒ α · x1 ∈ H1 ∩ H2 Por lo tanto H1 ∩ H2 E V

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Ejemplo 2.3 En V = R3 . Sean H1 = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x − y − z = 0} y H2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x + 2y + 3z = 0} ´ formados por vectores que estan ´ sobre planos que pasan por el origen.(H1 E R3 y Entonces H1 y H2 estan 3 H2 E R ) ´ de 2 planos, para ello resolvamos el siguiente sistema: Notemos que H1 ∩ H2 es la interseccion 



x + 2y + 3z = 0 2x − y − z = 0

→

1 2

2 3 −1 −1

0 0



 ∼

1 0

2 3 −5 −7

0 0



 ∼

1 0

2 1

3 7 5

0 0



 ∼

1 0 0 1

1 5 7 5

0 0



1 7 ´ Luego las soluciones del sistema homogeneo son: x = − z, y = − z, z = z. 5 5   x = −1t    5 Consideremos z = t =⇒ 7  ´ y = − t Ecuaciones parametricas   5  z=t Luego, este es el conjuto de vectores sobre una recta L que forma un subespacio de R3 .

2.2.

Dependencia e Independencia lineal 

1 2





2 4

 ?. Claramente v2 = 2 · v1 ⇐⇒ 2v1 − v2 = 0.

´ entre los vectores v1 = ¿Existe una relacion y v2 =       −5 −4 1 Analogamente, v1 =  2  , v2 =  1  y v3 =  8 . Claramente v3 = 3v1 + 2v2 ⇐⇒ 3v1 + 2v2 − v3 = 0 19 5 3 ´ 2-vectores y 3-vectores. En cada caso, los vectores son linealmente dependiente. Los vectores anteriores tienen una relacion Definicion 2.3 Sean v1 , v2 , . . . , vn n-vectores en un espacio vectorial V . Entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes si existen n escalares c1 , c2 , . . . , cn no todos cero, tales que: c1 · v1 + c2 · v2 + · · · cn · vn = 0 Si los vectores no son linealmente dependientes (l.d), entonces se dice que son linealmente independientes (l.i). De otra forma: ´ si satisface si c1 = c2 = . . . = cn = 0. v1 , v2 , . . . , vn son l.i si c1 · v1 + c2 · v2 + · · · cn · vn = 0 solo Teorema 2.4 Dos vectores en un espacio vectorial V son l.d ⇐⇒ uno es multiplo del otro. ´ dem: ⇐ Supongamos v2 = c · v1 , c 6= 0 =⇒ c · v1 − v2 = 0 =⇒ v1 y v2 l.d ⇒ Supongamos v1 y v2 l.d =⇒ ∃n c1 y c2 distintos de cero, tales que c1 · v1 + c2 · v2 = 0  Si c1 6= 0 ⇒ v1 +

c2 c1



  c2 c2 v2 = 0 ⇒ v1 = − v2 ⇒ v1 = λ · v2 es un multiplo escalar de v2 , donde λ = − . ´ c1 c1

Ejemplo 2.4

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

   2 −6  −1   3     1. Los vectores v1 =   0  y v2 =  0  son l.d, pues v2 = −3 · v1 3 9         1 2 2 1 2. Los vectores  2  y  5  son l.i, pues si lo fueran, se tendr´ıa  5  = c ·  2  ⇒ c = 2, 5 = 2c y 4 −3 −3 4     2 1 −3 = 4c. As´ı, no existe c ∈ R tal que  5  = c ·  2 . −3 4       1 2 0 3. Determinar si los vectores  −2  ;  −2  y  1  son l.d o l.i. 3 0 7          1 2 0 0 c1 + 2c2 = 0  (?) ´ Supongamos que c1 ·  −2  + c2 ·  −2  + c3 ·  1  =  0  ⇐⇒ −2c1 − 2c2 + c3 = 0 Solucion:  3 0 7 0 3c1 + 7c3 = 0 ´ l.d ⇐⇒ el sistema (?) posee soluciones no triviales. Por lo tanto, los vectores seran          1 2 0 0 1 0 −1 0 1 2 0 0 1 2 0 0 1 1  −2 −2 1 0  ∼  0 ∼ 0 2 1 0 ∼ 0 1 12 0  ∼  0 1 0 2 3 0 7 0 0 −6 7 0 0 0 −6 7 0 0 0 10 0

0 1 0

0 0 1

 0 0  0

Por lo tanto, c1 = c2 = c3 = 0 =⇒ (?) carece de soluciones no triviales =⇒ los vectores son l.i. Ejercicio 2.2      3 11 1 Determinar si los vectores  −3  ;  0  y  −6  son l.d o l.i. 4 12 0 

Teorema 2.5 Un conjunto de n vectores en Rm es siempre l.d si n > m. Ejemplo 2.5 

       2 4 18 2 Los vectores  −3  ;  7  ;  −11  y  −7  son l.d pues estamos considerando 4 vectores en R3 . 4 −6 4 3 Corolario 2.1 Un conjunto l.i de vectores de Rn , contiene a lo sumo n vectores. ´ vectores sin hacer que el conjunto obtenido De otra forma: Si se tiene n vectores l.i, no es posible agregar mas sea l.d. Teorema 2.6  a11  a21  Sea A =  .  ..

a12 a22 .. .

... ... .. .

a1n a2n .. .

am1

a11

...

amn

    ∈ Mm×n (R). Entonces las columnas de A (vectores) son l.d ⇐⇒ A · ~c = ~0  

  posee un numero infinito de soluciones, donde c =  ´ 

c1 c2 .. .

    

cn

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Ejemplo 2.6 Consideremos el sistema: 

x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 0 ⇐⇒ 3x1 + 7x2 + x3 + 4x4 = 0

  ⇐⇒  

1 2 −1 3 7 1   x1  x2  =   x3 x4

  2 −1 2 0 1 ∼ ∼ 1 4 −2 0 0    −6 9 9x3 − 6x4  2  −4  −4x3 + 2x4     = x3 ·   1  + x4 ·  0  x3 1 0 x4 0 0

2 4





1 0 

0 −9 6 1 4 −2 

0 0



  



   9 −6  −4   2     Notar que   1  y  0  son soluciones l.i del sistema. 0 1 Teorema 2.7 Sean v1 , v2 , . . . , vn n vectores de Rn y A ∈ Mn×n (R) cuyas columnas son v1 , v2 , . . . , vn . ´ de A · ~x = ~0 es la solucion trivial x = 0. Entonces v1 , v2 , . . . , vn son l.i ⇐⇒ la unica solucion ´ Teorema 2.8 Sea A ∈ Mn×n (R). Entonces det(A) 6= 0 ⇐⇒ las columnas de A son l.i Ejemplo 2.7  En M2×3 (R). Sean A1 =

1 3

0 1

2 −1



 , A2 =

−1 2

1 3



4 0

 y A3 =

−1 1

0 2

1 1

 . Determinar si los Ai , i =

1, 2, 3 son L.i o l.d. ´ Supongamos que: c1 · A1 + c2 · A2 + c3 · A3 = 0 Solucion:  ⇒

c1 · 

1 3

0 1

2 −1



 + c2 ·

−1 2

1 3





−1 0 1 2   2c1 + 4c2 + c3 = −c1 + c3 4 0

+ c3 ·

⇒

c1 − c2 − c3 c2 3c1 + 2c2 + c3 c1 + 3c2 + 2c3 ´ Sistema homogeneo, donde c1 = c2 = c3 = 0

⇒

A1 , A2 y A3 son l.i

⇒

1 1 0 0



 =

0 0

0 0

0 0 0 0 

0 0



Ejemplo 2.8 En P3 [x]. Determinar si los polinomios 1, x, x2 , x3 son l.i o l.d. tomando algunos valoes de x se tiene: Si Si Si Si

x=0 x = −1 x=1 x=2

=⇒ =⇒ =⇒ =⇒

c1 = 0 −c2 + c3 − c4 = 0 c2 + c3 + c4 = 0 2c2 + 4c3 + 8c4 = 0 1 1 c2 + c3 + c4 = 0 1 teo 2.8 Analicemos el determinante del sistema −c2 + c3 − c4 = 0 ⇐⇒ −1 1 −1 = 12 6= 0 ⇐⇒ los polinomios 2 4 2c2 + 4c3 + 8c4 = 0 8 son l.i.

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Ejercicio 2.3 En P2 [x] determinar si los polinomios x − 2x2 , x2 − 4x y −7x + 8x2 son l.i o l.d.

2.3.

´ lineal y espacio generado Combinacion

Si v = (a, b, c) ∈ R3 se puede escribir de la forma v = a~i + b~j + c~k ´ lineal de los vectores ~i, ~j y ~k Aqu´ı se dice que V es una combinacion Definicion 2.4 Sean v1 , v2 . . . , vn vectores en un espacio vectorial V . Entonces cualquier vector de la forma a1 · v1 + a2 · v2 + a3 · v3 + · · · + an · vn ´ lineal de v1 , v2 . . . , vn donde a1 , a2 , a3 , . . . , an son escalares se llama combinacion Ejemplo 2.9 

         −7 −1 5 −7 −1 ´ lineal de los vectores  2  y  −3 , pues  7  = 2·  2  − 1. En R3 :  7  es una combinacion 7 4 1 7 4   5  −3  1  2. En M2×3 (R):

−3 −1

|

2 9 {z

M0

8 3



 =3· }

|

−1 1

   0 4 0 1 −2 +2 · 1 5 −2 3 −6 {z } | {z }

M1

M2

´ lineal de M1 y M2 Aqu´ı: M0 es combinacion ´ lineal de los monomios 1, x, x2 , . . . , xn 3. En Pn [x]: Todo polinomio se puede escribir como una combinacion Definicion 2.5 Se dice que los vectores v1 , v2 . . . , vn en un espacio vectorial V generan a V si todo vector V se puede escribir ´ lineal de ellos. Es decir como una combinacion ∀v ∈ V, ∃n escalares a1 , a2 , . . . , an tales que v = a1 · v1 + a2 · v2 + a3 · v3 + · · · + an · vn Ejemplo 2.10 1. ~i =



1 0



y ~j =



0 1



generan R2 , pues

Para (a, b) ∈ R2 =⇒ ∃n a, b (escalares) tal que (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) 

     1 0 0 2. Analogamente ~i =  0 , ~j =  1  y ~k =  0  generan R3 , pues 0 0 1 Para (a, b, c) ∈ R3 =⇒ ∃n a, b, c (escalares) tal que (a, b, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1)

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´ n + 1 vectores que generan a Pn son los monomios 1, x, x2 , . . . , xn . 3. Afirmacion: En efecto, p(x) = a0 + a1 · x + a2 · x2 + · · · + an · xn 4. En M2 (R)    a b 1 =a· c d 0    1 0 Luego, ; 0 0

0 0





0 0

1 0

+b·

0 0

  0 ; 1

1 0 0 0



 +c·

  0 ; 0

   0 0 0 0 +d· 1 0 0 1  0 generan a M2 (R) 1

´ Ningun 5. Afirmacion: ´ conjunto finito de polinomios generan P En efecto, supongamos que p1 (x), p2 (x), . . . , pn (x) son polinomios. Sea pk (x) el polinomio de grado mayor en P y sea N = grad(pk (x)) ´ lineal de p1 (x), p2 (x), . . . , pn (x). Luego, el polinomio p(x) = xN +1 no se puede escribir como una combinacion por ejemplo, sin N = 3, entonces p(x) = x4 6= c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + c4 x4 para cualesquiera escalares c0 , c1 , c2 , c3 y c4 . Ahora veremos otra manera de encontrar subespacios de un espacio vectorial V . Definicion 2.6 Sea v1 , v2 , . . . , vk , k vectores en un espacio vectorial V . El espacio generado por {v1 , v2 , . . . , vk } es el conjunto de combinaciones lineales de v1 , v2 , . . . , vk , es decir: gen{v1 , v2 , . . . , vk } = h{v1 , v2 , . . . , vk }i = {v ∈ V : v = a1 · v1 + a2 · v2 + · · · + ak · vk } donde a1 , a2 , . . . , ak son escalares arbitrarios. Teorema 2.9 Si v1 , v2 , . . . , vk son vectores en un espacio vectorial V =⇒ h{v1 , v2 , . . . , vk }i E V dem: (Ejercicio) Ejemplo 2.11 (Espacio generado por 2 vectores en R3 ) Sean v1 = (2, −1, 4) y v2 = (4, 1, 6). Entonces H = gen{v1 , v2 } = {v : v = a1 · (2, −1, 4) + a2 · (4, 1, 6)}   x = 2a1 + 4a2 y = −a1 + a2 Ahora si v = (x, y, z) ∈ R3 =⇒  z = 4a1 + 6a2         1 −1 −y 1 −1 −y 1 −1 −y −1 1 y ∼ 4 x ∼ 0 6 x + 2y  ∼  0 Si (x, y, z) esta´ fijo =⇒  2 4 x  ∼  2 1 x+2y 6 4 6 z 4 6 z 0 10 z + 4y 0 10 z + 4y   1 2 1 0 6x − 3y 1 1  0 1  6x + 3y 5 2 0 0 −3x + 3y + z 5 2 ´ si − x + y + z = 0 ⇐⇒ 5x − 2y − 3z = 0 (Ec del plano que pasa por el origen) luego, el sistema tiene solucion 3 3 ´ El espacio generado por 2 vectores diferentes de cero en R3 que no son paralelos es un plano que Conclusion: pasa por el origen.

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Ejemplo 2.12

 Indicar si 1 + x + x2 , 1, −1 − x2 , x2 = P2 [x] ´ lineal de ´ Debemos ver si cualquier polinomio p(x) = a + bx + cx2 ∈ P2 [x] es siempre una combinacion Solucion: los polinomios dados, es decir, existen c1 , c2 , c3 , c4 (escalares) tal que: p(x) 2

=

c1 · p1 (x) + c2 · p2 (x) + c3 · p3 (x) + c4 · p4 (x)

=

c1 · (1 + x + x2 ) + c2 · 1 + c3 · (−1 − x2 ) + c4 · x2

(c1 + c2 − c3 ) + (c1 ) · x + (c1 − c3 + c4 ) · x2   1 1  c1 + c2 − c3 = a c1 = b comparando coeficientes, tenemos el sistema: ⇐⇒  1 0  c1 − c3 + c4 = c 1 0      1 1 −1 0 a 1 1 −1 0 a 1 1 −1  1 0 0 0 b  ∼  0 −1 1 0 b − a  ∼  0 −1 1 1 0 −1 1 c 0 −1 0 1 c−a 0 0 −1 a + bx + cx

=

−1 0 −1 0 0 1

 a b  c 

0 0 1

a b−a  c−b

Luego, el sistema es consistente independiente de los valores de a, b y c. Entonces, cualquier polinomio p(x) es ´ lineal de pi con i = 1, . . . , 4. Por consiguiente, tal conjunto de vectores s´ı genera P2 [x] combinacion Ejemplo 2.13  Indique si la matriz A =

−1 0

0 −2



 A1 =

pertenece al espacio generado por las matrices 2 −3



−2 0

 , A2 =

−4 6

4 0



 y A3 =

2 0

1 −2





2 0

´ Buscamos saber si existen c1 , c2 y c3 tales que: Solucion: A = c1 · A1 + c2 · A2 + c3 · A3 Es decir:  A=



−1 0

0 −2



 =

−1 0



 = c1 ·

2c1 − 4c2 + 2c3 −3c1 + 6c2 + 0c3

Matricialmente, se tiene:    2 −4 2 −1 1   −2 4 1 0   ∼  −2   −3 0   −1 6 0 0 0 −2 −2 0 

0 −2

−2 1 4 1 2 0 0 −2

1 −2 0  0 0 0 ∼  0 0 2 0 0 0

2 −3

−2 0





−2c1 + 4c2 + c3 0c1 + 0c2 − 2c3

  1 − 12  0  ∼ 0 0   0 −2 0

  1 1  0 1  ∼ −1   0 3 0

−4 6

+ c2 ·



 + c3 ·

1 −2

2c1 − 4c2 + 2c3 −2c1 + 4c2 + 1c3 =⇒ −3c1 + 6c2 + 0c3    0c1 + 0c2 − 2c3

−2 1 0 3 0 1 0 1

−2 0 0 0 0 2 0 0

4 0    

1 2





1  0 −1    ∼ − 12   0 1 0

  1 1  0 1  ∼ 0   0 0 0

−2 0 0 1 0 0 0 0

−2 1 0 1 0 1 0 1



= −1 = 0 = 0 = −2

1 2 − 13 − 12





1 −2 0   0 0 0 ∼   0 0 1 1 0 0 0

 1 0   1  0

Debido al pivote en la columna de las constantes, el sistema es inconsistentes.

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1



1 6 − 12 3 2

  

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=⇒ @ c1 , c2 y c3 tal que A = c1 · A1 + c2 · A2 + c3 · A3 . Por lo tanto A ∈ / h{A1 , A2 , A3 }i por ultimo para terminar este tema se enunciara´ un teorema, que se utiliza para probar algunos hechos que ´ ´ adelante. veremos mas Teorema 2.10 ´ en un espacio vectorial V . Sean v1 , v2 , . . . , vn , vn+1 , n + 1 vectores que estan ´ generan a V Si v1 , v2 , . . . , vn generan a V =⇒ v1 , v2 , . . . , vn , vn+1 tambien ´ vectores al conjunto generador se obtiene otro conjunto generador. Es decir, si se agrega uno o mas

2.4.

´ Base y dimension

3 ´ lineal de los vectores Hemos visto que en R2 y en R es  conveniente vectores  escribir    como una combinacion     1 0 0 1 0 ~i = , ~j = y ~i =  0  , ~j =  1  , ~k =  0 . Respectivamente. Por consiguiente, podemos 0 1 0 0 1 ´ que involucra los temas visto con anterioridad. enuenciar la siguiente definicion

Definicion 2.7 (Base) Un conjunto finitio de vectores B = {v1 , v2 , . . . , vn } es una base para un espacio vectorial V si 1. B = {v1 , v2 , . . . , vn } es l.i 2. B = {v1 , v2 , . . . , vn } generan a V o bien h{v1 , v2 , . . . , vn }i = V o bien hBi = V Observacion 2.2 Todo conjunto de n vectores l.i en Rn es una base en Rn . Se define los siguientes vectores:         1 0 0 0  0   1   0   0           0   0   1    e1 =   , e2 =   , e3 =   , . . . , en =  0   ..   ..   ..   ..   .   .   .   .  0

0

0

1

entonces, como los vectores ei con i = 1, . . . , n son las columnas de una matriz identidad In , el determinante queda: det(In ) = 1 6= 0 =⇒ {e1 , e2 , e3 , . . . , en } es l.i y por lo tanto una base en Rn . Ejemplo 2.14 ´ 1. (Base canonica para Pn [x]) ´ generan a P3 [x], es decir, hB1 i = P3 [x]. Los polinomios B1 = {1, x, x2 , x3 } son l.i en P3 [x], ademas Entonces {1, x, x2 , x3 } es una base para P3 [x]. En general, los monomios {1, x, x2 , x3 , . . . , xn } constituyen una base para Pn [x].

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´ 2. (Base canonica para M2×2 (R))    1 0 0 Las matrices B2 = , 0 0 0 ´ hB2 i = M2×2 (R). Ademas:      c1 c2 1 0 0 = c1 · + c2 · c3 c4 0 0 0

1 0

  0 , 1

1 0

0 0



 + c3 ·

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  0 , 0

0 1

0 0

0 1





generan a M2×2 (R), es decir

 + c4 ·

0 0

0 1

 =⇒ c1 = c2 = c3 = c4 = 0 =⇒ l.i

Por lo tanto, forman una base para M2×2 (R). 3. (Una base para un subespacio de R3 ) ´ en el plano: Encontrar una base para el conjunto de vectores que estan π = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x − y + 3z = 0} ´ Claramente π es un espacio vectorial. Tomemos un vector arbitrario (x, y, z) ∈ π. Entonces: Solucion: 2x − y + 3z = 0 =⇒ y = 2x − 3z =⇒ (x, y, z) = (x, 2x − 3z, z) = x(1, 2, 0) + z(0, 3, 1) Luego, h(1, 2, 0), (0, 3, 1)i = π. Claramente estos vectores son l.i, puesuno no es multiplo del otro. Por lo ´ tanto forman una base para π ´ 4. Escr´ıbase una base para el subespacio de R4 cuyas ecuaciones parametricas son: x1 = a + b + c, x2 = a − b + 3c, x3 = a + 2b, x4 = 2a + 3b + c ´ tendra´ la forma: ´ Un vector (x1 , x2 , x3 , x4 ) del subespacio en cuestion, Solucion: (a + b + c, a − b + 3c, a + 2b, x4 = 2a + 3b + c) ´ de los parametros. ´ donde hemos sustituido cada componente por su valor en funcion El vector obtenido se puede poner como suma de otros vectores:

(a+b+c, a−b+3c, a+2b, 2a+3b+c) = (a, a, a, 2a)+(b, −b, 2b, 3b)+(c, 3c, 0, c) = a(1, 1, 1, 2)+b(1, −1, 2, 3)+c(1, 3, 0, 1) Esto significa que los vectores (1, 1, 1, 2), (1, −1, 2, 3) y (1, 3, 0, 1) son un sistema generador del subespacio. De dicho sistema generador podemos extraer una base tomando el mayor conjunto de vectores ´ linealmente independientes. Una buena tecnica para conseguir esto es tomar los vectores como vectores fila de una matriz, es decir: 

1  1 1

  1 1 2 1 −1 2 3  ∼  0 3 0 1 0

  1 1 2 1 −2 1 1 ∼ 0 2 −1 −1 0

 1 1 2 −2 1 1  0 0 0

´ lineal de los vectores (1, 1, 1, 2) y (1, −1, 2, 3). En Esto significa que el vector (1, 3, 0, 1) es combinacion definitiva, tales vectores son la base buscada. Pregunta: Si v1 , v2 , . . . , vn forman una base para V , entonces cualquier otro vector v ∈ V se puede escribir como . v = c1 v1 + c2 v2 + . . + cn vn ´ lineal de los vectores l.i?. ¿Puede escribirse de otra manera como una combinacion La respuesta es NO, para ello veamos el siguiente teorema.

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Teorema 2.11 Si {v1 , v2 , . . . , vn } es una base para V y si v ∈ V , entonces existe un conjunto unico de escalares c1 , c2 , . . . , cn ´ .. tales que v = c v + c v + . + c v 1 1

2 2

n n

´ lineal de los vectores de la dem: Supongamos que v se puede escribir de 2 maneras como una combinacion base. Es decir . . . v = c1 v1 + c2 v2 + . . + cn vn = v = d1 v1 + d2 v2 + . . + dn vn =⇒ (c1 − d1 )v1 + (c2 − d2 )v2 + . . + (cn − dn )vn = 0 pero como los vectores vi con i = 1, . . . , n son l.i, luego . c1 − d1 = c2 − d2 = . . = cn − dn = 0 ⇐⇒ c1 = d1 , c2 = d2 , . . . , cn = dn Observacion 2.3 Un espacio vectorial tiene muchas bases, pero ¿Continen todas las bases el mismo numero de vectores? ´ 1. En R3 s´ı (pues, cualquiera tres vectores l.i en R3 forman una base). 2. Menos vectores en R3 no forman una base. ´ en R3 no puede ser l.i, pues si los 3 primeros vectores son l.i =⇒ base, 3. Un conjunto de 4 vectores o mas ´ vectores en el conjunto se puede escribir como una combinacion ´ lineal de los tres primeros. los demas 4. Todas bases en R3 contienen tres vectores. Teorema 2.12 Si {u1 , u2 , . . . , um } y {v1 , v2 , . . . , vn } son bases en un espacio vectorial V entonces m = n, es decir, cualquiera 2 bases en un espacio vectorial V tienen el mismo numero de vectores. ´ Definicion 2.8 ´ de V es el numero Si el espacio vectorial V tiene una base finita, entonces la dimension de vectores en todas ´ ´ finita. De otra manera V se llama espacio vectorial de las bases y V se llama espacio vectorial de dimension ´ infinita. dimension ´ de V se denota dim(V ) ´ La dimension Notacion: Ejemplo 2.15 1. En Rn : Como n vectores l.i en Rn constituyen una base =⇒ dim(Rn ) = n 2. En Pn : Los polinomios {1, x, x2 , . . . , xn } constituyen una base en Pn =⇒ dim(Pn ) = n + 1 ´ ij y cero en otra parte. Claramente, las matrices Aij 3. En Mm×n : Sea (Aij )m×n con un uno en la posicion para i = 1, . . . , m y j = 1, . . . , n forman una base =⇒ dim(Mm×n ) = m · n 4. En P: Vimos que ningun ´ conjunto finito de polinomios genera a P. Entonces P no tiene una base finita =⇒ dim(P) = ∞ 5. 6.

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7. En V = M2×2 (R) se define S = p y k de modo que dim(S) = 2.  1 ´ Sabemos que A = Solucion: k sera´ base.

1 k

2 1

2 1

  0 , p

  0 , p

1 0

1 0

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  k , 2

  k , 2

1 3

 , donde k, p ∈ R. Encuentre el valor de

1 3

 genera a S, luego un subconjunto A, l.i,

Queremos que este conjunto l.i tenga dos elementos y el tercero debe ser l.d. Para ello, consideremos α, β, λ ∈ R tal que:  α·

1 k

2 1 



 +β·

0 p

1 0





1 3



β+λ α+3·λ



+λ·

α+k·λ k·α+p·λ+2·λ

k 2

 α+k·λ    β+λ =⇒  k·α+p·λ+2·λ   α+3·λ



0 0

0 0





0 0

0 0



= =

= 0 = 0 = 0 = 0

´ l.d) con un ´ Queremos que este sistema tenga infinitas soluciones (los tres vectores seran Observacion: ´ ´ l.i y el terccero l.d). parametro (dos seran 

1  0 • A=  k 1

0 1 p 0

  1 k  0 1  ∼ 2   0 0 3

0 1 p 0

  1 k   0 1 ∼ 2 − k2   0 0 3−k

0 1 0 0

 k  1  2 − k2 − p  3−k 

´ • Para que tenga 1 parametro el rango debe ser 2, es decir, ρ(A) = 2 =⇒

2 − k2 − p 3−k

= =

0 0

k=3

• Claramente 3 − k = 0 =⇒ k = 3 y 2 − k 2 − p = 0 =⇒ p = −7   1 0 k   0 1 1  α + 3 · λ = 0 =⇒ α = −3 · λ   ´ =⇒ • Utilizando estos datos A ∼  con λ parametro. 0 0 0  β+λ = 0 =⇒ β = −λ 0 0 0       1 2 0 1 3 1 ´ lineal de los otros. • Luego, , son l.i. y es combinacion 3 1 −7 0 2 3     1 2 0 1 • por lo tanto: , es base de S =⇒ dim(S) = 2 3 1 −7 0 Algunos resultados importantes: Teorema 2.13 Supongamos que dim(V ) = n. Si u1 , u2 , . . . , um es un conjunto de m vectores l.i en V =⇒ m ≤ n Teorema 2.14 Sea H E V , dim(V ) finita =⇒ dim(H) finita y dim(H) E dim(V ) dem:

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• Sea dim(V ) = (finita) ´ l.i en V (Por teorema anterior) y notar que cualquier Cualquier conjunto de vectores l.i en H es tambien ´ n vectores. As´ı: conjunto l.i en H debe contener a lo mas •

i) Si H = {0} =⇒ dim(H) = 0 ii) Si H 6= {0} sea v1 6= 0, v1 ∈ H y H1 = hv1 i iii) Si H1 = H =⇒ dim(H) = 1 (Listo)

• Si no, elijamos v2 ∈ H tal que v2 ∈ / H1 y sea H2 = hv1 , v2 i y as´ı sucesivamente se continua construyendo hasta encontrar k vectores l.i v1 , v2 , . . . , vk tales que: H = hv1 , v2 , . . . , vk i ´ n vectores l.i en H Como el proceso es finito (tiene que terminar), se pueden encontrar a lo mas =⇒ H = k < n Ejercicio 2.4 Encontrar todos los subespacios de R3 . Utilizando el teorema anterior y comprobar que los unicos subespacios ´ ´ en una recta o en un plano que pasa por el origen. propios de R3 son los conjuntos de vectores que estan Teorema 2.15 Si V es un espacio vectorial y A = {v1 , v2 , . . . , vm } ⊂ V , entonces (m ) X L(A) = αi · vi : αi ∈ R E V i=1

el cual es llamado subespacio generado por A. El conjunto A se llama sistema de generadores de c. Veamos que L(A) E V En efecto, si u =

m X i=1

αi · vi ∈ L(A) y v =

m X

βi · vi ∈ L(A) y λ, µ ∈ R =⇒ λu + µv =

i=1

m X (λαi + µβi )vi ∈ L(A) i=1

=⇒ subespacio vectorial de V Ejemplo 2.16 Si V = R3 y A = {v1 , v2 } = {(1, 0, 1), (1, 1, −1)}, entonces L(A) = {v ∈ R3 : v = αv1 + βv2 : α, β ∈ R} = {v ∈ R3 : v = (α + β, β, α − β) : α, β ∈ R}   x=α+β ´ y=β α, β ∈ R (Ecuaciones parametricas de L(A)) Luego, las ecuaciones son:  z =α−β ´ ´ ´ Nota: Estas ecuaciones parametricas son utiles para obtener, dando valores reales a los parametros α y β, los ´ diferentes vectores de L(A). Por ejemplo: Para α = 2 y β = −1 =⇒ v = (1, −1, 3) ∈ L(A) ´ impl´ıcita de L(A). Ahora, encontremos la ecuacion  x=α+β ⇒ x − y − α = 0 (Sumando las ecuaciones anteriores)  y=β y=β ⇒ y − α + z = 0 (Restando las ecuaciones anteriores) z =α−β

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3.

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Suma directa de subespacios

Sean S, T, Z ≤ V . Z es suma de S y T si Z = S + T = {∀z ∈ Z, v = s + t, s ∈ S, t ∈ T }

3.1.

´ de la suma directa Caracterizacion

Sean S, T ≤ V . Entonces La suma de S y T es directa ⇐⇒ S ∩ T = {0} dem: =⇒ ⇐=

Si S ∩ T 6= 0 =⇒ ∃v 6= 0 con v ∈ S ∩ T , de donde v = v + 0 = 0 + v y la suma no ser´ıa directa. Si u = v1 + w1 = v2 + w2 =⇒ v1 − v2 = w2 − w1 ∈ S ∩ T =⇒ v1 − v2 = w2 − w1 = 0 =⇒ v1 = v2 ∧ w2 = w1 =⇒ la suma ser´ıa directa.

Definicion 3.1 Sean S, T ≤ V . Entonces V = S ⊕ T ⇐⇒ (V = S + T ) ∧ (S ∩ T = {0})

3.2.

´ ´ (Formula ´ Formula de la dimension de Grassman)

´ de la base) Sea V 6= 0 e.v, dim(V ) = n y A = {v1 , . . . , vr } ⊂ V un conjunto l.i de r < n Teorema 3.1 (extension vectores. Entonces existen {vr+1 , . . . , vn } ⊂ V tales que {v1 , . . . , vr , vr+1 , . . . , vn } es base de V . Teorema 3.2 Sean S y T ≤ V con dim(S) = n y dim(T ) = m (finitas). Entonces dim(S ∩ T ) + dim(S + T ) = dim(S) + dim(T ) ´ dem: Si dim(S) = n, dim(T ) = m, dim(S ∩ T ) = r y {v1 , . . . , vr } base de S ∩ T , usando el teorema de la extension de la base(3.1). Sean Bs = {v1 , . . . , vr , vr+1 , . . . , vn } y BT = {v1 , . . . , vr , wr+1 , . . . , wm } bases de S y T . ´ ´ es suficiente demostrar que: Para probar la formula de la dimension, B = {v1 , . . . , vr , vr+1 , . . . , vn , wr+1 , . . . , wm } es una base de S + T . B es l.i: B=

n X

m X

αi vi +

i=1

βj wj

=⇒

j=r+1

=⇒

=⇒

m X j=r+1 m X j=r+1 r X

βj w j = βj w j =

βj vj −

j=1

n X i=1 r X

αi vi ∈ S ∩ T βj vj

j=1 m X

βj wj = 0

j=r+1

=⇒ βj = 0, 1 ≤ j ≤ m =⇒ pues, BT es base de T y entonces

n X

βj = 0, r + 1 ≤ j ≤ m

αi vi = 0 =⇒ αi = 0, 1 ≤ i ≤ n, pues BS es base de S.

i=1

B es sistema de generadores de S+T:

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27

´ Algebra Lineal

Si u ∈ S + T =⇒ u =

Unidad 2 n X

αi vi +

i=1

r X

βi vi +

i=1

m X

βi w i =

i=r+1

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r n m X X X (αi + βi )vi + αi vi + βi wi . i=1

i=r+1

i=r+1



3.3.

Subespacios suplementarios

Dos subespacios S y T de un e.v V se llaman suplementarios si V = S ⊕ T . Si V = S ⊕ T = U ⊆ V , se dice que S y T son suplementarios en U Si V = S ⊕ T , entonces dim(V ) = dim(S) + dim(T ) ´ Ademas,  {v1 , . . . , vr } base de S =⇒ {v1 , . . . , vr , vr+1 , . . . , vn } base de V {vr+1 , . . . , vn } base de T ´ y tambien 

{v1 , . . . , vr } base de S {v1 , . . . , vr , vr+1 , . . . , vn } base de V

=⇒ L({vr+1 , . . . , vn }) es suplementario de S

Ejemplo 3.1 En R4 se consideran los subespacios vectoriales: S = L({(1, 0, −1, 2), (0, 1, 1, 0)}) y T = L({(1, 0, 1, −1), (0, 1, −1, 3)}) Encontrar: 2. Una base para S ∩ T

1. Una base para S + T 

1 0  0 1 ´ Puesto que:  Solucion:  1 0 0 1

−1 1 1 −1

  1 0 2  0 1 0  ∼ −1   0 0 0 0 3

−1 1 2 2

  1 0 2  0 1 0  ∼ −3   0 0 0 0 −3

−1 1 2 0

 2 0   −3  0

una base de S + T es B S+T = {(1, 0, −1, 2), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 2, −3)}   x1 = α  x2 = β con α, β, γ ∈ R =⇒ x1 + 3x2 − 3x3 − 2x4 = 0 y sus ecuaciones son: x  3 = −α + β + 2γ   x4 = 2α − 3γ ´ Usando la formula de la (3.2): dim(S ∩ T ) = dim(S) + dim(T ) − dim(S + T ) = 2 + 2 − 3 = 1 En efecto, las ecuaciones impl´ıcitas son:  x = α  1    x2 = β x1 − x2 + x3 = 0 S≡ con α, β ∈ R =⇒ x = −α + β 2x  3 1 − x4 = 0   x = 2α 4    x1 = α   x2 = β x1 − x2 + x3 = 0 T ≡ con α, β ∈ R =⇒ x = α − β x1 − 3x2 + x4 = 0  3   x4 = −α + 3β ylas ecuaciones de S ∩ T son:      x1 − x2 + x3 = 0  x1 = α   x1 − x2 = 0  2x1 − x4 = 0 x2 = α 2x2 − x4 = 0 =⇒ =⇒ x − x − x = 0 x3 = 0    1 2 3   x3 = 0   x1 − 3x2 + x4 = 0 x4 = 2α

α ∈ R =⇒ BS∩T = {(1, 1, 0, 2)}

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Ejemplo 3.2 Consideremos los subespacios de R4 S = h(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 0)i ; T = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x + y = 0} Buscar una base de S + T y S ∩ T . ´ Sea v = (x, y, z, t) ∈ T , luego Solucion:



1  0   1   0 0

0 1 −1 0 0





1 0  0 0     0 0 ∼  1 0   0 1

(x, y, z, t) = (x, −x, z, t) = x(1, −1, 0, 0) + z(0, 0, 1, 0) + t(0, 0, 0, 1)      1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0     0 1 0 0    0 1 0 0   0 1 0 0      0 −1 −1 0  ∼  0 1 0 0  ∼  0 0 1 0   0 0 1 0   0 0 1 0   0 0 0 1  0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

=⇒ dim(S + T ) = 4 ´ ´ Utilizando la formula de la dimension(3.2) 4 = 2 + 3 − dim(S ∩ T ) =⇒ dim(S ∩ T ) = 1 → − En efecto, necesitamos encontrar v ∈ S ∩ T, v 6= 0 v = α(1, 0, 1, 0) + β(0, 1, 0, 0) = γ(1, −1, 0, 0) + δ(0, 0, 1, 0) + ε(0, 0, 0, 1) v = (α, 0, α, 0) + (0, β, 0, 0) = (γ, −γ, 0, 0) + (0, 0, δ, 0) + (0, 0, 0, ε) =⇒ (α, β, α, 0) = (γ, −γ, δ, ε) =⇒

α = −β = γ = δ, ε = 0

=⇒

v = α(1, 0, 1, 0) − α(0, 1, 0, 0) o bien v = α(1, −1, 0, 0) + α(0, 0, 1, 0) + 0(0, 0, 0, 1)

=⇒

S ∩ T = h(1, −1, 1, 0)i

Ejemplo 3.3 Sea V = R3 , S = {(x, 0, 0); x ∈ R}, T = {(0, y, z); y, z ∈ R}. Demostrar que S ⊕ T = R3 ´ Solucion: 1. Pd: R3 = S + T ´ un Sea v ∈ R3 , luego v = (x, y, z) = (x, 0, 0) + (0, y, z), luego (x, y, z) se escribe como un vector de S mas vector T . Luego R3 ⊆ S + T , luego R3 = S + T Otra manera de verlo es el siguiente: S = h(1, 0, 0)i y T = h(0, 1, 0), (0, 0, 1)i, luego S + T = h(1, 0, 0)i + h(0, 1, 0), (0, 0, 1)i = R3 → − 2. Pd: S ∩ T = { 0 } Sea v ∈ S ∩ T , luego v ∈ S y v ∈ T . luego v = (x, 0, 0) y v = (0, y, z) (x, 0, 0)

=

(0, y, z)

=⇒ x = 0, y = 0, z = 0 → − =⇒ v = 0 =⇒ R3 = S ⊕ T Ejemplo 3.4 Consideremos V = R3 , W = {(x, 0, z), x, z ∈ R3 }, S = h(1, 0, 2)i y T = h(2, 0, 1)i . Demostrar que W =S⊕T ´ Solucion:

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29

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1. Pd: W = S + T 

      
1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 0 1 E12 (−2) E21 (−2) E2 − 3 2 0 1 0 0 1 0 0 −3 0 0 1 ´ que {(1, 0, 0), (0, 0, 1)} es una base de W , pues los vectores son l.i y ademas ´ Pero notemos tambien (x, 0, z) = x(1, 0, 0) + z(0, 0, 1), luego W = S + T Otra manera de demostrar que W = S + T es la ´ siguiente: Consideremos w ∈ W y hacemos la siguiente afirmacion: (x, 0, z) = α(1, 0, 2) + β(2, 0, 1) con α, β ∈ R     α = 2z − x x = α + 2β 3 luego (x, 0, z) = (α + 2β, 0, 2α + β) =⇒ =⇒ 2x − z z = 2α + β   β= 3     2z − x 2x − z Luego (x, 0, z) = (1, 0, 2) + (2, 0, 1) ∈ S + T 3 3 es decir, w = s + t, ciertos s ∈ S, t ∈ T =⇒ W = S + T → − 2. Pd: S ∩ T = { 0 } v ∈S∩T

4.

=⇒

v∈S y v∈T

=⇒

v = α(1, 0, 2) y v = β(2, 0, 1)

=⇒

v = (α, 0, 2α) y v = (2β, 0, β)

=⇒

(α, 0, 2α) = (2β, 0, β)

=⇒

α = 2β y 2α = β

=⇒

v = (0, 0, 0)

=⇒

W =S⊕T

Bases ortonormales y proyecciones en Rn

Definicion 4.1 Un conjunto de vectores S = {u1 , u2 , . . . , uk } en Rn es un conjunto ortonormal si  ui · uj =

0 1

si i 6= j para i, j = 1, . . . , k si i = j

Si satisface ui · uj = 0 , se dice que el conjunto es ortogonal, se denota (ui ⊥ uj ) Definicion 4.2 Si v ∈ Rn entonces la longitud o norma de V es k v k=

√

v·v

Observacion 4.1 Si ya se posee una base ortogonal, dividiendo cada vector entre su norma se obtiene una ortonormal, es decir  {v1 , v2 , . . . , vk } ortogonal −→

v1 vk ,..., k v1 k k vk k

 ortonormal



     −2 1 −2 Ejemplo 4.1 Ortonormalice el conjunto de vectores v1 =  0  , v2 =  2  , v2 =  − 25  2 1 1

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´ Solucion:


Calcular todos los productos punto entre los vectores diferentes. v1 • v2 v1 • v3 v2 • v3

1 · (−2) + 0 · 2 + 2 · 1 = 0   5 = 1 · (−2) + 0 · − +2·1=0 2   5 = (−2) · (−2) + 2 · − +1·1=0 2 =

=⇒ El conjunto es ortogonal.

 Ahora, calculamos las normas de los vectores: v1 • v1

=

v2 • v2

=

v3 • v3

5 =⇒k v1 k=

√

5

9 =⇒k v2 k= 3 3√ 45 =⇒k v3 k= 5 = 4 2

Por lo tanto, el conjunto ortonormalizado queda:        −2  1 −2  1 1 2 √  0  ,  2  , √  − 25    5 3 3 5 2 1 1 Definicion 4.3 Un conjunto de vectores es ortonormal si cualquiera de ellos es ortogonal y cada uno uno tiene norma 1. Teorema 4.1 Si S = {v1 , v2 , . . . , vk } es un conjunto ortogonal de vectores diferentes de cero =⇒ S es l.i dem: Supongamos que c1 · v1 + . . . + ck · vk = 0 ∀ i = 1, 2, . . . , k =⇒ 0 = 0 · vi

=

(c1 · v1 + . . . + ck · vk ) · vi

=

c1 (v1 · vi ) + c2 (v2 · vi ) + . . . + ci (vi · vi ) + . . . + ck (vk · vi )

=

c1 · 0 + c2 · 0 + . . . + ci · |vi |2 + . . . + ck · 0

=

ci · |vi |2

´ Como vi 6= 0 (Por hipotesis), |vi |2 > 0, y se tiene ci = 0, para i = 1, 2, . . . , k. Por lo tanto S es l.i. Teorema 4.2 Sea v vector distinto de cero. Entonces para cualquier vector u, el vector w =u−

(u · v) ·v |v|2

es ortogonal a v. ´ de u sobre v es un vector denotado Definicion 4.4 Sean u y v vectores diferentes de cero. Entonces la proyeccion por proyv u es: proyv u :=

(u · v) ·v |v|2

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Ejemplo 4.2 Sean u = 2i + 3j y v = i + j. Calcular la proyv u. (u · v) 5 5 5 ´ (2, 3) sobre (1, 1) es ´ proyv u = ·v = √ Solucion: · v = i + j. As´ı la proyeccion 2 2 |v| 2 2 ( 2)



 5 5 , . 2 2

Ejemplo 4.3 Sean u = 2i − 3j y v = i + j. Calcular la proyv u. ´ proyv u = Solucion:

1 (u · v) 1 1 1 1 ´ 2i − 3j sobre i + j es − i − j. = − =⇒ proyv u = − i − j. As´ı la proyeccion |v|2 2 2 2 2 2

´ m de Rn . ´ de Gram-Schmidt) Sea H un subespacio de dimension Teorema 4.3 (Proceso de ortonormalizacion Entonces H tiene una base ortonormal. dem: Sea S = {v1 , v2 , . . . , vk } una base de H. Construyamos una base ortonormal a partir de los vectores de S


Eleccion´ del 1

er

 Eleccion´ del 2

do

vector unitario.

v1 v1 v1 1 (v1 · v1 ) = 1 =⇒k u1 k= 1 Sea u1 = =⇒ u1 · u1 = · = kv1 k kv1 k kv1 k kv1 k2 vector ortogonal a u1 .

(u · v) u·v ´ · v es ortogonal a v. En este caso · v es la proyeccion 2 |v| |v|2 n ´ en R para cualquier n ≥ 2. de u sobre v. Resulta que el vector w ⊥ v cuando w y v estan v·u Como u1 es un vector unitario · u1 = (v · u1 ) · u1 para algun ´ vector v. |u1 |2

Hemos visto que en R2 , el vector w = u −

Sea v20 = v2 − (v2 · u1 ) · u1 Entonces v20 u˙ 1 = v2 · u1 − (v2 · u1 ) (u1 · u1 ) = v2 · u1 − v2 · u1 = 0 =⇒ v20 ⊥ u1 . | {z } | {z } 1

ortogonal

=⇒ u1 y v20 son l.i, v20 6= 0, por que de otra manera v2 = (v2 · u1 ) · u1 = |{z} 4,1

(v2 · u1 ) · v1 (→ / ←) a la |v1 |

independencia de v1 y v2

 Eleccion´ del 2 Sea u2 =

k

do

v20 v20

vector unitario. k

=⇒ {u1 , u2 } es un conjunto ortonormal.

Ahora, supongamos que se han construido los vectores u1 , u2 , . . . , um (m < k) y que forman un conjunto ortonormal. Veamos como construir um+1

 Continuacion´ del proceso

0 Sea vm+1 = vm+1 − (vm+1 · u1 )u1 − (vm+1 · u2 )u2 − . . . − (vm+1 · um )um para i = 1, 2, . . . , m 0 ·ui = vm+1 ·ui −(vm+1 ·u1 )(u1 ·ui )−(vm+1 ·u2 )(u2 ·ui )−. . .−(vm+1 ·ui )(ui ·ui )−. . .−(vm+1 ·um )(um ·ui ) vm+1

0 pero uj · ui = 0 si i 6= j y ui · ui = 1. Por lo tanto, vm+1 · ui = vm+1 · ui − vm+1 · ui = 0 0 0 As´ı {u1 , u2 , . . . , um , vm+1 } es un conjunto l.i, ortogonal y vm+1 6= 0

 Continuacion´ del proceso Sea um+1 =

0 vm+1 =⇒ {u1 , u2 , . . . , um , um + 1} es un conjunto ortonormal. 0 k vm+1 k

Y se puede continuar de esta manera hasta m + 1 = k.

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´ lineal de vectores vi , gen{u1 , u2 , . . . , um } ≤ gen{v1 , . . . , vk } Observacion 4.2 Como cada ui es una combinacion ´ k, los espacios son iguales. y como cada espacio tiene dimension Ejemplo 4.4 Construya una base ortonormal en R3 comenzando con la base       0 1   1 {v1 , v2 , v3 } =  1  ,  1  ,  0    0 1 1 ´ Solucion:

Se tiene |v1 | =

√

2 =⇒ u1



√1 2



 =  

√1 2

  

0 =⇒

r Como

|v20 |

=

v20

3 =⇒ u2 2

= v2 − (v1 · u1 ) · u1    1     1 √ 0 0 2 2         − √1  √1  =  1  − √1  1 1 =     2 2   2 2 1 1 0 0  1   √1  − 6 −2 r    2  1   √1   = = 6  3 2    √2 1



− 12



  =  

1 2

  



1

6

=⇒

= v30 = v3 − (v3 · u1 ) · u1 − (v3 · u2 ) · u2     1   √ − √16 1 2        − √1  √1  − √1  √1  0 =    6     2  2 6 2 √ 1 0 6    1   1   2 −6 1 3 2     1   2 1  1     −   =  0 − √  2 − 6  =   3 2 2 2 1 0 6 3 

Por ultimo ´

|v30 | =

q

12 9

=

√2 3

√

=⇒ u3 =

3 2

  

2 3 − 23 2 3

     3 Por lo tanto, una base ortonormal en R es:      

5.

√1 3



  = − √13   

   





√1

√1 2 √1 2

0

3   √1 − 6   , √1 6    √2 6

 

√1 3

    − √1 , 3   √1 3

   

          

Espacios vectoriales con producto interno (P.I)

De ahora en adelante consideraremos el e.v sobre K donde K = R o´ K = C ´ Definicion 5.1 Sea V un e.v sobre K. Una aplicacion.

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´ Algebra Lineal

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h , i:

V × V −→ (v1 , v2 ) 7→

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K hv1 , v2 i

Se dice un producto interno sobre V si verifica:


hv, vi ≥ 0 ∀ v ∈ V  hv, vi = 0 ⇐⇒ v = 0  ∀ v , v , w ∈ V, ∀ α, β ∈ K, hαv + βv , wi = αhv , wi + βhv , wi  hv, wi = hw, vi, ∀ v, w ∈ V, donde hw, vi indica el conjugado complejo de hv, wi. 1

2

1

2

1

2

´ dada sea un producto interno debe satisfacer: O bien para que una funcion


hv, vi > 0 ∀ v ∈ V o bien hv, vi = 0 ⇐⇒ v = 0 (Positividad).  hu, v + wi = hu, vi + hu, wi (Aditividad o distributividad).  hαu, vi = αhu, vi (Homogeneidad).  hu, vi = hv, ui (Simetr´ıa y conmutatividad). ´ Ejemplo 5.1 Sea V = R2 e.v sobre R. La aplicacion: hv, vi : R2 × R2 −→ R hu, vi := u1 v1 + 2u2 v2 define un producto interior en R2 , donde u = (u1 , u2 ) y v = (v1 , v2 ). real es no negativo, se tiene hv, vi = v + 2v ´
Como el cuadrado de un numero 2 1

2 2

≥ 0.

´ esta expresion ´ es igual a cero s´ı y solo ´ si v = 0 (es decir, s´ı y solo ´ si v1 = v2 = 0). Ademas,

 Sea w = (w , w ). Entonces 1

2

hu, v + wi =

u1 (v1 + w1 ) + 2u2 (v2 + w2 )

=

u1 v1 + u1 w1 + 2u2 v2 + 2u2 v2 + 2u2 w2

=

(u1 v1 + 2u2 v2 ) + (u1 w1 + 2u2 v2 + 2u2 w2 )

=

hu, vi + hu, wi

reales es conmutativo, se tiene ´  Como el producto de numeros hu, vi = u1 v1 + 2u2 v2 = v1 u1 + 2v2 u2 = hv, ui =⇒ hu, vi = hv, ui

 Si c es cualquier escalar, entonces

chu, vi = c(u1 v1 + 2u2 v2 ) = (cu1 )v1 + 2(cu2 )v2 = hcu, vi

´ de Gram- Schmidt) Sea V un K e.v con prod. interior h , i y α = {v1 , v2 , . . . , vn } Teorema 5.1 (Ortogonalizacion una base de V. Entonces α0 = {v10 , v20 , . . . , vn0 } es una base ortogonal donde los vi0 satisfacen:

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´ Algebra Lineal v10 v20 v30

vj0 Sea uj =

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= v1 hv2 , v10 i 0 ·v hv10 , v10 i 1 hv3 , v 0 i hv3 , v 0 i = v3 − 0 10 · v10 − 0 20 · v20 hv1 , v1 i hv2 , v2 i .. . 0 hvj , vj−1 i hvj , v 0 i hvj , v 0 i · v0 (2 ≤ j ≤ n) = vj − 0 10 · v10 − 0 20 · v20 − . . . − 0 0 hv1 , v1 i hv2 , v2 i hvj−1 , vj−1 i j−1 = v2 −

vj . Entonces el conjunto α00 = {u1 , u2 , . . . , un } es una base ortonormal de V. kvj k

Ejemplo 5.2 (Para n=4) Si V e.v con prod. interno y x1 , x2 , x3 , x4 vectortes l.i de V, entonces los vectores ortogonales construidos con el preoceso anterior: y1 y2 y3 y4

= x1 hx2 , y1 i · y1 ky1 k2 hx3 , y1 i hx3 , y2 i = x3 − · y1 − · y2 ky1 k2 ky2 k2 hx4 , y1 i hx4 , y2 i hx4 , y3 i = x4 − · y1 − · y2 − · y3 ky1 k2 ky2 k2 ky3 k2 = x2 −

´ Ejemplo 5.3 Sean x1 = (3, 0, 4),x2 = (−1, 0, 7),x3 = (2, 9, 11) en R3 con el producto interno canonico. Aplicando el proceso de Gram Schmidt se obtienen los vectores.

y1

=

(3, 0, 4)

y2

=

(−1, 0, 7) −

y3

=

25 h(−1, 0, 7), (3, 0, 4)i · (3, 0, 4) = (−1, 0, 7) − (3, 0, 4) = (−4, 0, 3) 25 25 h(2, 9, 11), (3, 0, 4)i h(2, 9, 11), (−4, 0, 3)i (2, 9, 11) − · (3, 0, 4) − · (−4, 0, 3) = (2, 9, 11) − 2(3, 0, 4) − (−4, 0, 3) = (0, 9, 0) 25 25

Luego, y1 , y2 , y3 son no nulos y ortogonales 2 a 2. Por lo tanto, {y1 , y2 , y3 } es una base ortogonal para R3 Para expresar un vector como c.l de los vectores de esta base, utilicemos el coroloario (??). 3 X hv, yk i hv, y1 i hv, y2 i hv, y3 i 3v1 + 4v3 −4v1 + 3v3 9v2 v = (v1 , v2 , v3 ) = · yk = · y1 + · y2 + · y3 = · y1 + · y2 + · y3 2 2 2 2 kyk k ky1 k ky2 k ky3 k 25 25 81 k=1 3 1 2 En particular si v = (1, 2, 3) =⇒ v = y1 + · y2 + · y3 5 5 9 ´ finita tiene una base ortonormal. Corolario 5.1 Todo espacio vectorial de dimension Definicion 5.2 Sea V e.v con prod. interno, W ⊆ V, W 6= ∅. Se llama complemento ortogonal de W . W⊥ = {x ∈ V : hx, vi = 0 v ∈ W} Observacion 5.1


W

⊥

≤V

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´ Algebra Lineal

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a) h0, vi = 0 v ∈ V, en particular h0, vi = 0 ∀ v ∈ W. Por lo tanto 0 ∈ W⊥ =⇒ W⊥ 6= ∅  x ∈ W⊥ =⇒ hx, vi = 0 ∀ v ∈ W b) =⇒ hx + y, vi = hx, vi + hy, vi = 0 ∀ v ∈ W =⇒ x + y ∈ W⊥ y ∈ W⊥ =⇒ hy, vi = 0 ∀ v ∈ W c) ∀ λ ∈ K = R, x ∈ W⊥ =⇒ hλx, vi = λhx, vi = 0 ∀ v ∈ W =⇒ λx ∈ W⊥

 Si W es subespacio y x es ortogonal a todo vector de una base de W =⇒ x ∈ W

⊥

´ Ejemplo 5.4 Sea W = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0} y consideremos el producto interno canonico en R3 , entonces.

w∈W

⇐⇒

w = (x, y, z) ∈ R3 ∧ x + y + z = 0

⇐⇒

w = (x, y, z) ∈ R3 ∧ z = −x − y

⇐⇒

w = (x, y, −x − y) ∧ x ∈ R ∧ y ∈ R.

⇐⇒

w = x(1, 0, −1) + y(0, 1, −1) ∧ x ∈ R ∧ y ∈ R.

⇐⇒

w ∈ h{v, (0, 1, −1)}i = 0}

Luego, W = h{(1, 0, −1, (0, 1, −1))}i. As´ı W⊥ = {v ∈ R3 : hv, (1, 0, −1)i = 0 ∧ hv, (0, 1, −1)i = 0}, y por lo tanto v ∈ W⊥

⇐⇒

v ∈ R3 ∧ hv, wi = 0 ∀ w ∈ W

⇐⇒

v = (x, y, z) ∈ R3 ∧ h{(x, y, z), (1, 0, −1)}i = 0 ∧ h{(x, y, z), (0, 1, −1)}i = 0}

⇐⇒

v = (x, y, z) ∈ R3 ∧ x − z = 0 ∧ y − z = 0

⇐⇒

v = (x, y, z) ∈ R3 ∧ x = y = z

⇐⇒

v = (x, x, x) ∧ x ∈ R

⇐⇒

v = x(1, 1, 1) ∧ x ∈ R

⇐⇒

v ∈ h{(1, 1, 1)}i

As´ı W⊥ = h{(1, 1, 1)}i Definicion 5.3


Sea S y P dos conjuntos de un e.v V (con producto interno) S⊥P si ∀ u ∈ S, v ∈ P hu, vi = 0

 si los elementos de A son ortogonales  Sea A ⊂ V. Se dice que A es una conjunto ortogonal ´ k v k= 1 ∀ v ∈ A se dice que A es un dos a dos, o sea ∀v, w ∈ A, v 6= w se cumple v⊥w. Si ademas Sea V e.v con producto interno. Dados v, w ∈ V se dice que v y w son ortogonales, se escribe v⊥w cuando hv, wi = 0

conjunto ortonormal. Observacion 5.2


→−0 ⊥v ∀ v ∈ V  v⊥v ⇐⇒ v = →−0   1 → −  Si A es una conjunto ortogonal y 0 ∈/ A el conjunto: k v k · v : v ∈ A es ortonormal. A

este proceso se le llama normalizador.

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´ Algebra Lineal

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´ finita con prod. interno y B = {s1 , s2 , . . . , sr } es una base de un Proposicion 5.1 Si V es un e.v de dimension subespacio S. Entonces v ∈ S⊥ ⇐⇒ v⊥si ∀ i = 1, . . . , r dem: ⇒ Es inmediato, pues los vectores de S⊥ son ortogonales a todos los vectores de S, en particular a los si ∀ i = 1, . . . , r ´ lineal s = a1 s1 + . . . , ar sr . Si w cumple ⇐ Un vector cualquiera de S se escribe como combinacion ´ hw, si i = 0, ∀ i = 1, . . . , r (Por hipotesis). As´ı hw, si = hw, a1 s1 + . . . , ar sr i = a1 hw, s1 i + . . . + ar hw, sr i = 0 Y por lo tanto w ∈ S⊥ . ´ finita. Entonces Proposicion 5.2 Sea V un e.v con prod. interno y S un subespacio vectorial de dimension V = S ⊕ S⊥ → − dem: hay que probar que V = S + S⊥ y que S ∩ S⊥ = { 0 }. Sea {s1 , . . . , sk } base ortonormal de S k X hv, si isi ∈ S Consideremos un vector v ∈ V y definamos vs = i=1

Si probamos que v − vs ∈ S⊥ , esta´ probado que V = S + S⊥ , pues v = (v − vs ) + vs | {z } |{z} ∈S

∈S⊥

⊥

Pra ver que v − vs ∈ S , veamos que hv − vs , sj i = 0 * hv − vs , sj i =

k X v− hv, si isi , sj

+

i=1

= hv, sj i −

k X hv, si ihsi , sj i i=1

= hv, sj i − hv, sj ihsj , sj i = hv, sj i − hv, sj i =

0 ∀ j = 1, . . . , k

´ anterior, como v − vs ∈ S⊥ ⇐⇒ v − vs ⊥sj ∀ j Luego, por la proposicion → − → − Por otra parte, si v ∈ S ∩ S⊥ =⇒ v⊥v ⇐⇒ v = 0 . As´ı S ∩ S⊥ = 0 . Ejemplo 5.5 Sea W = {(x, y, z) ∈ R3 x − y = 0 ∧ z − 1 = 0}. Entonces usando el producto interno usual de R3 .


Determinar W  ¿Es R = W ⊕ W ? ⊥

3

⊥

´ Solucion:

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Etapa 1: Determinar el conjunto W w∈W

⇐⇒

w = (a, b, c) ∈ R3 ∧ a − b = 0 ∧ c − 1 = 0

⇐⇒

w = (a, b, c) ∈ R3 ∧ a = b ∧ c = 1

⇐⇒

w = (a, a, 1), a ∈ R.

As´ı W = {(a, a, 1) : a ∈ R} Etapa 2: Determinar el subespacio W⊥ u ∈ W⊥

⇐⇒

hu, wi = 0, ∀ u, w ∈ W

⇐⇒

u = (x, y, z) ∈ R3 ∧ h(x, y, z), (b, b, 1)i = 0, ∀ b ∈ R

⇐⇒

u = (x, y, z) ∈ R3 ∧ bx + by + z = 0

⇐⇒

u = (x, y, z) ∈ R3 ∧ z = −bx − by

⇐⇒

u = (x, y, −bx − by) ∈ R3 , ∀ b ∈ R

Finalmente h(x, y, −bx − by), (a, a, 1)i = 0, ∀ a ∈ R ⇐⇒

ax + ay − bx − by = 0

⇐⇒

(a − b)(x + y) = 0

⇐⇒

x+y =0

⇐⇒

y = −x

Por tanto: u ∈ W⊥ ⇐⇒ u = x(1, −1, 0), x ∈ R As´ı que W⊥ = h{(1, −1, 0)}i

 No es posible, pues W no es un subespacio (Ejercicio). Ejemplo 5.6 Considere en el espacio vectorial M2×2 (R) el producto interno hA, Bi = tr(Bt A) y sea W = {A ∈ M2×2 (R) : A = At }. Determinar una base ortonormal de W ´ Solucion: Etapa 1: Determinar el conjunto W A∈W

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

A ∈ M2×2 (R) ∧ A = At      t a b a b a b A= ∧ = c d c d c d       a b a b a c A= ∧ = c d c d b d   a b A= ∧b=c c d   a b A= ; (a, b, d) ∈ R3 b d       a 0 0 b 0 0 A= + + 0 0 b 0 0 d       1 0 0 1 0 0 A=a +b +d 0 0 1 0 0 1

´ Inst. de Matematica y F´ısica Universidad de Talca

38

´ Algebra Lineal 

Unidad 2

Prof. Cristian Mardones

     0 1 0 0 , , 1 0 0 1       1 0 0 1 0 0 Ahora, si llamamos α = , , entonces α es una base de W. 0 0 1 0 0 1             1 0 0 1 0 0 0 0 a b 0 0 En efecto: a +b +d = =⇒ = =⇒ a = b = d = 0 0 0 1 0 0 1 0 0 b d 0 0

As´ı que W =

1 0

0 0

As´ı que α, genera y es un conjunto l.i por tanto es una base. Etapa 2: Verifiquemos si α es o no una base ortogonal. 

  ,    1 0 , 0 0    0 1 , 1 0 1 0

0 0

0 1

1 0



0 0

0 1



0 0

0 1





  ,    0 0 = tr , 0 1    0 0 = tr , 0 1 = tr

1 0

0 1

1 0



1 0

0 0



0 1

1 0



  1 , 0   1 , 0   0 , 1   0 , 1   0 , 0   0 , 0

0 0



0 0



1 =⇒

0   1 = tr 0

 

1 =⇒

0   0 = tr 0

 

0 =⇒

0

0 0

 = tr  = tr  = tr

0 1

0 0



0 0

0 0



0 1

0 0



1 0

0 0



=0 =0 =0

Luego, α es una base ortonormal. Etapa 3: Verifiquemos si α es una base ortonormal. 

  1 , 0



1 Como

0    0 1 0 , 1 0 1



0 Como

1    0 0 0 , 0 1 0



0 Como

0 1 0

0 0

0 0



 =



=

 1 = 0  1

= 0  0 = 1  0

= 1 0 0

Finalmente, una base ortonormal es: α0 =

(

1 0

0 0

1 0

0 0

 0 tr 1 s 0 1  0 tr 0 s 0 0

1 0

tr s

1 0

0 0

1 0 0 1 0 1

 " 0 , √1

2

1 0 1 0 0 1 0 1

 = tr



#  0 , 0 0

√1 2

´ Inst. de Matematica y F´ısica Universidad de Talca

0 1

=1



=1

 0 =2 1  √ 0

= 2

1  0 =1 1  0

=1 1 0 0

)

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