Espacios Vectoriales y Ejemplos

 

ESPACIOS VECTORIALES Y EJEMPLOS. 

Un tipo de estructura más compleja que las definidas en la  la lección anterior la constituyen los llamados l lamados espacios vectoriales. Los espacios vectoriales son los objetos que estudia el Álgebra Lineal. Un espacio vectoriales vectoriales una tripla (1) Un  Un grupo abeliano

conformada por: , los elementos del cual denominamos vectores vectores..

(2) Un  Un cuerpo

, los elementos del cual denominamos escalares escalares..

(3) Una operación externa  externa 

entre escalares y vectores que cumple las siguientes condiciones:

para cualesquiera escalares Es costumbre denotar el espacio vectorial espacio vectorial.

y cualesquie cualesquiera ra vectores simplemente por

Ejemplo 9. El plano cartesiano de puntos de la forma respecto de las siguientes operaciones:

Ejemplo 10.Sea 10.Sea forma

un número natural

.

. El espacio

con

; también se dice que

es un

-

, es un espacio vectorial real

de n-plas ordenadas de números reales en la

es un espacio vectorial real respecto de las siguientes operaciones:

 

 

Este ejemplo se generaliz generalizaa al caso de un cuerpo cualquiera

, obteniéndo obteniéndose se el

Ejemplo 11. El conjunto de polinomios reales en la indeterminada adición y multiplicación de real por polinomio, es un espacio vectorial real. Si cambiamos

por un cuerpo cualquier cualquieraa

coeficientes en

.

obtenemos obtenem os el

-espacio canónico

.

con las operaciones habituales de

-espacio vectorial

de polinomios con

Ejemplo 12. El conjunto de matrices reales con las operaciones usuales de adición y multiplicación de matriz por escalar, conforma un espacio vectorial sobre los reales. Ejemplo 13. Sea un conjunto no vacío. El conjunto vectorial real bajo las l as siguientes operaciones:

Si

de todas las funcione funcioness de

en

es un espacio

entonces se obtiene el espacio de todas las funcione funcioness de variable real a valor real. Si

intervalo abierto, por ejemplo

o

,y

es el conjunto de funcione funcioness continuas de

entonces es un espacio vectorial real. Si el espacio de las sucesiones reales.

es un en

,

es el conjunto de números naturales, entonces resulta

Solución:   Solución: La idea es revisar todas las propiedades (axiomas) que definen un espacio vectorial. En primer lugar, nótese que en el ejemplo en cuestión, el cuerpo de escalares son los números reales, es decir, no necesitamos demostrar que sea efectivamente efectivamente un cuerpo. Esto lo damos por conocido. Mas bien, debemo debemoss establecer que el conjunto de vectores es un un grupo abeliano y que la acción de los escalares escalares reales por estos vectores satisfacen las propiedadess de la definición de la Lección 2. propiedade La primera observación que debemos hacer es que la suma de dos elementos de de

: esto es claro a partir de la definición de suma:

en otras palabras, la operación de suma en

es

,

es interna.

En segundo lugar, esta operación es asociati asociativa va en el sentido que donde

actuando en

es nuevamente una función

,

: en efecto, esto se debe a que la suma de reales es una operación asociati asociativa: va:  

 

, en esta última igualdad hemos aplicado la propiedad asociativa de la suma de números reales. Se concluye entonces que , es decir,

.

La suma definida tiene elemento neutro, es decir, vector nulo: en efecto, la función por

para cada

Cada elemento se denota por

es tal que

definida

para cada

.

tiene su inverso respecto de esta suma, es decir, su función opuesta: esta función opuesta y es defin inid idaa por

que

, para cada

. Nótese

.

La suma definida es claramente conmutativa. Hemos pues probado que

es ciertamente un grupo abeliano.

Ahora debemos verificar el cumplimiento de las propiedades relativas al producto de escalar por vector: la operación

está bien definida, es decir, es una operación externa y cumple las siguientes propiedades: , es

decir,

, donde

es un escalar real. , es

decir,

. , es decir,

Finalmente,, Finalmente

, es decir,

.

.

Esto completa la demostración de todas las propiedades requeridas para tener una estructura de espacio vectorial real.

SUBESPACIOS. 

Dado un  un espacio vectorial preguntarse preguntar se si

sobre un cuerpo

y un subconjunto no vacío

de

, resulta interesante

bajo la misma adición de de vectores vectores y la misma acción de de escalares escalares sobre sobre vectores, vectores, conforma conforma un

espacio vectorial sobre

. En caso afirmativo, se dice que

es un subespacio del espacio

. Esta relación se

denota por . Según esta definición, si se desea establecer que se debería verificar el cumplimiento cumplimien to de los cuatro axiomas para la adición de vectores y los cuatro axiomas para la acción de escalares sobre vectores. Sin embargo, sólo es necesar necesario io verificar el cumplimien cumplimiento to de dos condiciones, como lo muestra la siguiente proposición.

 

Proposición 2. Sea Entones,

un espacio vectorial sobre el cuerpo

y sea

un subconjun subconjunto to no

.

si y sólo si se cumplen las siguientes condicione condiciones: s:

(1) Si

, entonces

(2) Si

y

, entones

Ejemplo 14. En el plano cartesiano

. el subconjun subconjunto to

, donde

constante, representa una recta que pasa por el origen y conforma un subespacio de Un estudio geométrico de rectas y planos en el espacio Variables.   Variables. Ejemplo 15. En el espacio conforma un subespacio. Ejemplo 16. En el espacio en

de

conforma un subespacio. En

todas las funcion funciones es de las funciones de

en en

tienen los subespac subespacios ios

en

, la colección

de polinomios de grado

de funciones continuas de

se tienen dos subespacios notables: cuyas primeras

conformado por

derivadas son continuas, y

constituido por

para las cuales las derivadas de cualquier orden son continuas. Similarmente, se y

de

. También También,, en el espacio

colección colecci ón de sucesiones convergentes es un subespacio. Una sucesión un entero positivo tal que para cada es un subespacio del espacio de sucesiones convergentes. Ejemplo 17. En cada espacio

.

puede consultarse en un curso de de  Cálculo en Varias

de polinomios reales, el subconjunt subconjunto o

de funcione funcioness de

es una

de sucesiones reales la

se dice que es polinómica si existe

. Es claro que el conjunto de sucesione sucesioness polinómicas

se tienen dos subespacios triviales :

y

.

Ejemplo 18. La intersección de dos subespacios es un subespacio. En realidad, la intersección de cualquier familia no vacía de subespacios de un espacio vectorial es un subespacio.

Sea

un espacio vectorial y

que contiene a

Sean

de

. Este subespac subespacio io se

.

puede describir describirse se en términos de combinaciones lineales de elementos de

elementos del espacio

.

, una combinación lineal de estos elementos es un

de la forma

, donde

son escalares del

. Se puede entonces afirmar lo siguiente.

Proposición 3. Sea Entonces,

que contienen a

y se conoce como el subespacio generado por

A continuaci continuación ón se verá que

cuerpo

; nótese que el subespacio más

es la intersección de todos los subespac subespacios ios de

denota por

vector

un subconjunto no vacío de

un espacio vectorial sobre el cuerpo

y sea

un subconjun subconjunto to no

de

.

coincide con el conjunto de todas las posibles combinacion combinaciones es lineales realizadas con elemento elementoss

 

de . Más exactamente,

.

Esta presentac presentación ión permite identificar a finito, entonces

como la envolvente lineal de

. Si

es

BASES. 

En cada espacio vectorial existen ciertos subconjuntos conocidos como bases ; la importancia de estos subconjuntos radica en que cada elemento del espacio puede ser representado de manera a través de sus elementos. El propósito de la presente lección es explicar en detalle la noción de base, la cual es fundamental fundamental en álgebra lineal. Sea

un espacio vectorial sobre un cuerpo

un sistema de generadores para espacio

y

un subconjunto no vacío de

si la la  envolvente lineal de

se dice finitamente generado si existe en

Por otra parte, sea

coincide con

. El

de generado generadores. res.

, se dice que

es un conjunto de

vectores linealmente independientes (L I) si la única combinación lineal nula con los elementos de de escalares nulos. Más exactament exactamente, e, los vectores de escalares

se cumple que

subconjunto subconjun to finito de

es L I.

de

es L I si cada

es linealment linealmentee depend dependiente iente (L D) si no es L I.

La siguiente proposición reune algunas propiedades básicas sobre dependencia e independencia lineal. Proposición 4. Sea

(b) Si

es a través

son linealmente linealmente independie independientes ntes si para para cualesquiera cualesquiera

Por definición, se asume que el conjunto vacío es L I. Un subconjunto cualquiera

(a)

es

, es decir,

un subconjun subconjunto to finito

un subconjunto finito de

, se dice que

un

-espacio y

es L D si y solo si existe entonces

es L D.

. Entonces tal que

, donde

.

 

(c) Si

es L I entonces cada subconjunto de

(d) Si D.

es finito y LI con

es L I.

elementos, elemen tos, entonces cada conjunto de

elementoss de elemento

es L

Demostración   Demostración

Ejercicio 1. Demuestre que en el espacio

el conjunto

es L I.

Solución   Solución Ejercicio 2. Demuestre que dos vectores de origen. Ya se puede presentar la noción de base.

son L D si y sólo si pertenecen a la misma recta que pasa por el

es una base para

si se cumplen dos condiciones:

(a) (b)

es L I.

Ejemplo 19. En

los vectores

constituyen la llamada base canónica (1 se encuentra en la i-ésima entrada de la n-pla). Cambiando cualquier cuerpo

se obtiene la base canónica de

Ejemplo 20. En el espacio En el subespacio

Ejemplo 21. En el espacio

Ejemplo 22. En el espacio

.

el conjunto de polinomios

de polinomios de grado

de matrices reales

constituye su base canónica.

la base canónica es

se tiene la siguiente base canónica:

de sucesiones reales la colección de sucesione sucesioness

conforman la base canónica para el subespacio de  de  sucesiones polinómicas .  Ejemplo 23. El conjunto

por

es, por definición, la única base del espacio nulo

.

 

Una de las principales caracterizaciones caracterizaciones del concepto de base se establece en la siguiente proposición. proposición. Proposición 5. Sea

un

cada elemento elementos de

-espacio y

un subconjunto no vacío de

.

es una base de

si y sólo si

tiene una representaci representación ón única (salvo sumandos nulos) como combinación lineal de en la forma:

DIMENSIÓN 

Teorema 1. Todo espacio vectorial posee al menos una base. La prueba de este teorema se apoya en uno de los supuestos de la teoría clásica de conjuntos: el lema de Zorn. Para los lectores no familiarizados con este axionam se explicarán brevemente algunos de los Demostración.

términos de su enunciado. Un conjunto no vacío

es parcialmente ordenado si en

de orden

es totalmente ordenado si cualesquiera dos elementos

de

. Un subconjunto no

de

son so n co comp mpar arab able les, s, es de deci cir, r, se ti tien enee al me meno noss un unaa de la lass si sigu guie ient ntes es po posi sibi bilid lidad ades es::

elemento

es una cota superior para el subconjunto

elemento que

y

ordenado de

Sea

para cada

es maximal si no existe

. Entonces,

. Sea

ya que

en

tal

un

un subconjunto de

es una cota superior para

-espacio vectorial y sea

la colección de subconjunto subconjuntoss

de inclusió inclusión n entre conjuntos define un orden

totalmente ordenado. Sea

; nótese que

un subconjunto finito de

, es decir,

es L I.

; existen

tales que

es totalmente ordenado se puede suponer que

; por tanto,

I. Esto completa la prueba de que

posee al menos un elemento maximal.

. La relación

. Como cada

. Un

un conjunto parcialmente ordenado tal que cada subconjunto totalmente

tiene cota superior en

que son L I.

Claramente,

si

,

.

Ya se puede iniciar la prueba del teorema teorema.. Sea

parcial en

de

. Finalmen Finalmente, te, se dice que el elemento

Lema de Zorn. Sea

de

está definida una relación

, es decir, es L I.

; como

para es L I entonce entoncess

es L

 

Por el lema de Zorn,

tiene elemento maximal

que

: obviamen obviamente te

; supóngas supóngasee que de

. Si

,

, el cual, por construcci construcción, ón, es L I ; nótese ; sea

, si

entonces

, entonces

; sea

. Por la maximalidad

es L D, entonces existen elemen elementos tos

nulos

y escalares no todos

tales que

. Debido a la

inde in depe pend nden enci ciaa liline neal al de lo loss el elem emen ento toss tiene que

se de debe be te tene nerr qu quee

. En total,

, de do dond nde, e, de desp spej ejan ando do

y se ha probado que

, se

.

Con respecto a la unicidad de las bases se puede decir que, en general, un espacio vectorial tiene infinitas bases. En efecto, efe cto, si el espa espacio cio

es no nulo (si

es un elemento de

es nulo su únic únicaa base es

, entonces cambiando

distintas en . Cuando única es el espacio nulo.

por

en

) y si

es una base cua cualquie lquiera ra de

, con cada

y

, se obtienen bases

es infinito esta colección de bases es infinita. En realidad, el único espacio con base

Mucho más interesante que la pregunta sobre la unicidad de las bases es el problema sobre el tamaño de éstas. Las siguientes proposiciones constituyen la prueba del Teorema 2 que se enunciará más adelante.

Proposición 6. Si un espacio vectorial

posee una base finita, entonces todas sus bases son finitas.

La proposición anterior permite clasificar los espacios vectoriales en dos categorías: los de bases finitas y los de bases infinitas. Proposición 7. Sea . Entonces Sea

Demostración.

.

Supóngase que

;según la la  Proposición 4 ,

es una base. Por tanto,

Demostración.

.

.

Proposición 8. Sea

. Simétricament Simétricamente, e,

un espacio vectorial con bases infinitas

La idea es probar que

que

son L D, lo cual es falso ya . . Entonces

.

y utilizar la simetría del problema para concluir

.

Cada elemento dado

y

un espacio vectorial con bases finitas

Entonces

que

un espacio vectorial con bases finitas

es representable mediante una combinaci combinación ón lineal finita de elementos de existe

tal que

se encuentra en la representación de

. En efecto, sea

. Además,

 

la representación de

en términos de elementos de

como combinación lineal de elementos de elemento de

, entonces

. De (1) se obtiene que

es un elemento de

entonces de

tal que

tal que

.

está en la represen representación tación de

es un conjunto (finito !) y consta de elementos de

es inyectiv inyectivaa ya que

es una partición de

entonces

, entonces

. Usando el axioma

,

que intervienen en la representació representación n

y el conjunto

de partes finitas de

:

.

. Si

debido a que

decir,

. Sea

es una función ; por tanto

Enseguida se probará que

Puesto que

y sea

el

es L D, pero esto contradice

está en la representación de

. Se establece, de esta manera, una función entre

Sea

. Sea

es una base.

Así pues, dado existe al menos un de elección se define la función

donde

no aparece en la representació representación n de ningún

que intervienen en la representació representación n de

es finito y

el hecho de que

; si se supone que

, es representable

no aparece en la representació representación n de ninguno de los elementos

conjunto (finito !) de elementos de Obviamente

. Cada elemento

son dos elementos de es una función. Claramente

con lo cual

, es

. es infinito

partes finitas de

también es infinito. Así, se tiene que

, con lo cual

completa la prueba de la proposición.

es una partición infinita de . Esto

 

Teorema 2. Para cada espacio vectorial

se cumple que todas las bases bases tienen tienen la misma misma cardinalidad.

El teorema anterior permite definir la noción de dimensión en un espacio vectorial de sus bases ; se denotará este invariante de sobre qué cuerpo se está trabajando. Si un subconjunto de

por

es decir,

, o simplemente por

es de bases infinitas se dirá que

, se define el rango de

como el tamaño de cualquiera

,

, si es claro

es de dimensión infinita. Si

, como la dimensión de la la  envolvente lineal de

.

Ejemplo 24.  24. 

)=n

es de dimensión infinita

. Ejercicio 3. Demuestre que si un espacio vectorial dimensión infinita.

posee un subconjunto infinito L I, entonces

es de

A continuación se presentarán algunas propiedades interesantes de los espacios de dimensión finita. Proposición 9. Sea

un

(a) Cada conjunto de

elementos L I de

conforman una base.

(b) Cada conjunto de

generadores de

conforman una base de

(c) Sea vectores (d) Sea

-espacio vectorial de dimensión

y sean en un subespacio de

particular, (e) Sean Entonces, de vectores dados.

. Entonces,

.

vectores L I de tales que

. Entonces es posible encontrar es una base de

. Entonces, cada base de

puede extenderse hasta una base de

. elementos cualesquiera de coincide con el

y

su  envolvente lineal .  su

número de vectores L I encontrado encontradoss en la colección

. . En

es ,

 

EJERCICIOS. 

Esta sección contiene una lista de ejercicios de aplicación a los temas tratados en el presente capítulo. Se sugiere a los estudiantes resolver estos problemas, los cuales ayudarán a reforzar el aprendiza aprendizaje. je. Sea esta la oprtunidad para ratificar la disponibilidad de los profesores para resolver cualquier duda sobre la temática del presente curso. Sus preguntas y comentarios pueden ser enviados via e-mail o también usando la  página de visitantes en donde podrán usar un formato especialmente diseñado para tal efecto. la Problema 1. En el conjunto

de números reales positivo positivoss se definen las siguientes operaciones:

(el producto corresponde a la multiplicación corriente de números reales positivos)

(

es un nú núme mero ro re real al arb arbitr itrar ario io y

Investigar si

)

es un espacio vectorial sobre el cuerpo de número númeross reales.

Problema 1. En el conjunto

de números reales positivos se definen las siguientes operaciones:

(el producto corresponde a la multiplicación corriente de números reales positivos)

(

es un nú núme mero ro re real al arb arbitr itrar ario io y

Investigar si Solución.

es un espacio vectorial sobre el cuerpo de números reales.

Si es un espacio vectorial pues se satisfacen todas las propiedades necesarias para ello. Veamos en

detalle cada una de ellas. Sean i) ii) iii)

)

y

, se tiene:

 

iv)

v) vi) vii)

viii)

ix) x)