Espacios Vectoriales
July 10, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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1
( ) ......................................................................................... 3
........................................................................................................................ 5 BAE DE EACI ECIA......................................................................................... 13 DIEI DE EACI ECIA .............................................................................. 14 CABI DE BAE ................................................................................................................. 15 AG IDAD .............................................................................................................. 16 EEA( ) .......................................................................................................... 18
IRn
2
E , , , , , , , , ficientes.
( ) conjunto
Un conjunto V constituye un espacio vectorial sobre el cuerpo (K, +, ⋅) si en este V (vectores) es posible definir una operación interna + (suma vectorial) y una
operación externa ⋅ (ponderación escalar) V con la la suma vectorial definida +: VxV → V cumple: a) b) c) d) e)
∀ v,w ∈ V ∶ v+v + w ∈ V v∀∃ +0v w∈ V,=V+r+twa∃rl+−que =v , v∈∀+Vvw,t0awl +=quequ∈r;0eVv∀ +v,vw−−v=,vrv; ∈=∀Vv−v−∈vV+ v = 0 ∀ ∙v∈v +V,V,ww∀ = ∈ K∙sev +cumpl∙ we ∀v∀v,∙ v, w∈ ∈V V, ∀k ∈ K. + βββ∙ v∙ v== α β∙ v∙ v+ ∀β ∙ vv ∈∀ vV,∈∀V, ,∀β ∈, K.β ∈ K. 1 ∙ v = v ∀ v ∈ V, 1 ∈ K.
Ley de composición Interna. Asociatividad de la Suma. Elemento Neutro Elemento Opuesto (–v) Conmutatividad de la Suma.
0
La operación externa ⋅ definida ⋅ : K x V → V cumple: f)
α
g) α h) α i) α ⋅ j) Notación
α
α
; Ley de composición externa.
α
α
α
α
Para señalar que V es un espacio vectorial sobr e K, se escribe (V, + , , K) K ) , que se denota VK de aquí aquí en adelante. ·
El cuerpo K puede ser el de los números reales IR, números racionales Q, números los elementos de V se les llama, genéricamente, “vectores” y a los elementos de K se les llama “escalares”.
∙
En general anotamos α en lugar deα escalar y no constituye una multiplicación.
Proposición En el espacio vectorial
. Esta es la ponderación de un vector por un
VK sobre el cuerpo K se cumple:
a. Los vectores 0v y (–v), cuya existencia garantiza c) espacio vectorial, son únicos.
y
d) de la definición de
b. La ponderación del vector nulo por cualquier escalar produce el vector nulo:
α
0v = 0v
3
− v = −v−v = − v; ∀ v ∈ V,∀ ∈ K.
c. La ponderación de cualquier vector por el escalar nulo produce el vector nulo.0v = 0 d. α Demostración (c) Sea
α
α
α
0∈ K, v ∈ V , en K se tiene que 0 = 0 + 0, por lo tanto
0v = = 0v 0v+ 0 + 0 0v v − 0 v −00 + 00 = == −−−0000++0000++000 0= 0 + 0 /+(
( suma en K) (suma en V)
v.
0 = 0v
(Asociatividad de + en V)→∀∃ (Asociatividad de + en V (Elemento Opuesto en V) (Elemento Neutro en V)
Ejemplo 1. El conjunto de los vectores IRn con las operaciones + ∧ ⋅ estándares es un espacio vectorial sobre IR, en que los tres casos especiales especiales n= 1( números reales), n= 2(vectores 2(vectores en el plano), n = 3 (vectores en el espacio) son los más importantes. 2. IRIR es un espacio vectorial con las operaciones +
⋅ usuales, es decir, se puede ver al real s como el vector s o bien como el escalar α = s, ya que IRIR cumple ∧
con todas las propiedades propiedades que definen a un espacio vectorial. 3. El conjunto de los vectores IR2 es un espacio vectorial sobre IR 4. El conjunto de las matrices cuadradas de orden n : Mn sobre un cuerpo K ( IR o C) constituye un espacio vectorial 5. Si V es el conjunto de las funciones funciones con valores reales definidas en [a,b] ⊆ IR, f= f(x), g= g(x) funcione funcioness en V, α cualquier número real , se definen: definen: (f + g)(x) g)(x) = f(x) + g(x) ∀f, g vectores en V (αf)(x) = αf(x) ∀ f vector, ∀α escalar Se tiene que VIR es un espacio v vectorial, ectorial, note que el 0 vector vector es la función nula f(x) =0 para todo x (gráficamente el eje x), el opuesto de f es la función - f ( geométricamente geométricamente sus gráficas son simétricas respecto del eje x), la ponderación de f geométricamente corresponde a una curva paralela a f a la distancia α si α > 0, y a la distancia ¿? Si
α< 0.
a ,a, b + c ,c, d = a + c , b + d a ,a, b , b , + , ∙ , ℝ ℝ = 3 + = 7v, el vector v = v6,+1 sev tiene + v = v + v no se verifica: 310+ 67,16,1 6,10
6. Si en IR2 se define la adición la ponderación α α se tiene que no no es un espacio vectorial ya que, al considerar los escalares
α
∧ β
α
β
α
β
?
α
=
β
α
β
?
=
3(6,1) + 7(6,1)
?
= ≠
(6,3) + (6,7)
(12,10)
4
IR
IR
Considerando el ejemplo 1 “El conjunto de los vectores con las operaciones + ∧ ⋅ estándares es un espacio vectorial sobre IR, en que los tres casos especiales n = 1( números reales), n= 2 (vectores en el plano), n = 3 (vectores en el espacio) son los más importantes”
Un vector v en
IR
, , , … …. . ,
se anota por (
El vector v = (2, 3, 8) ∈
IR
Los vectores ( algunas ideas:
23 8
en virtu virtud d de la notación notación anterior v = (2, 3, 8) =
IR IR
Dos vectores de
) o por la matriz columna
son iguales si componente componente a componente componente son iguales.
(IR),+,⋅) =
v1 v2 M M vn
se estudiaron en el curso anterior anterior,, pero es conveniente conveniente revisar
v, v, v, … …. . , v} v, v, v, … …. . , v IR , , , … …. . , {v, v, v, … …. . , v} v3 v −1 v 35 v −13 65 3 1010 +
Si { es un conjunt es conjunto o de vectores en y α α α α escalares, el vector de la forma u = α α se denomina combinación lineal de los α α vectores
Ejemplo
Si
=
,
obtener el vector u = 2 -
=
-
u=2
u=
u=
=( ,
)
Ejemplo
Dado el conjunto conjunto B = { (-1,1,0) , (2,0,1) , (1, 1,1)} determine si el vector u= (0, 2, 2, 1) 1) es una combinación lineal de los vectores de B.
Solución u = (0,2,1) = α(-1,1,0) + β(2,0,1) + γ (1, (1, 1,1) se tiene (0,2,1) = (-α+2β+ γ ,, α+γ , β + γ )) por igualdad de vectores -α+2β+ γ =0 =0
α
+ γ = = 2
β + γ = = 1
5
Cuya matriz aumentada
− 1 1 0
2 ∼ 1
2 1 M 0 0 1 M 1 1 M
0 1 0
0 2 ∼ 1 1 0
1 2 ∼ 0 1 0
1 0
2
2 M 2
1 1 M 1
0
1 M 2
0
1 M
0 1 M
1
1 M
1
1 M
0
0 M
1 1 M
se tiene que α = 2 - γ los β = 1 - γ ∴ Si γ = 0 con α= 2, β = 1 se tiene que u es combinación líneal de los vectores de B .
Ejercicio 1. Dado el conjunto B = { (-1,1,0) , (2,0,1) , (1, 1 1,1)} ,1)} determine si el vector w =(2, 1, 1) es una combinación lineal de los vectores de B.
−2−+4
2. Determine si el vector
es combinación lineal lineal de los vectores
−14 −3 2 ∧
3. Determine el o los los valores de t tales que el vector (t, 2, -2t) sea una combinación combinación lineal de los vectores de B ={ (0,2,1), (1,0,k)}
Sistemas de ecuaciones lineales como ecuaciones vectoriales incógnitas nitas de de un sistema para para el cual la matriz matriz de los coeficientes es A y los Sean x1 , x2 ,......, xn incóg términos constantes son las componentes de un vector b, por lo tanto, si a 1 , a 2 ,....., a n son las columnas de A, las notaciones siguientes siguientes son equivalentes equivalentes [A : b] ⇔ x 1a 1 + x 2 a 2
Ejemplo
2 x + 3 y + 12 z = 0 x − y − 2 z = 4
5 x + 9 z = 6
sistema
con
+. . . . . .
+
x
a n n
= b
2 3 12 0 2 3 12 A = 1 − 1 − 2 , b = 4 ∧ a1 = 1 , a 2 = - 1, a1 = - 2 5 0 9 6 5 0 9 )
Teorema Si A es una una matriz de orden mxn entonces las las afirmaciones siguientes son son equivalentes: equivalentes:
IR
IR
i. El sistema lineal cuya matriz aumentada [A : b] es consistente para tod todos os los vectores b en ii. Todo vector b en es una combinación lineal de las columnas de A iii. A tiene m posiciones pivotes Observe que en las partes ii, iii, del del teorema se refieren a la matriz de los los coeficientes no a llaa matriz aumentada.
6
.
D
un espacio vectorial sobre K y se dice que S es un subespacio Sea vectorial de V, lo cual se denota S , si el conjunto conjunto S provisto de las las operaciones del del espacio vectorial es, en sí mismo, un espacio vectorial sobre el cuerpo K.
⨞ V ≠ ɸ ,S ⊆ V,
V
Demostrar que un subconjunto S de un espacio vectorial es un subespacio subespacio implica, hasta el momento, verificar que se cumplen los diez axiomas de las operaciones de espacio vectorial; por cierto un trabajo trabajo tedioso, tedioso, para simplificar esta demostración demostración se enuncia el
1≠0ɸ∈ S,S ⊆ V A ⨞ V ⇔ 23v, w∈ K,∈ Sv ∈⇒Sv⇒+ wv ∈∈S S
V
Teorema (Criterio para un subespacio) un espaci espacio o vectorial vectori al sobre K y y Sea
, entonces
α
α
Demostración. , se se tiene q que ue S es un espacio vectorial vectorial , entonces, se cumple →) Como que inmediatamente 1), 2) y 3) por por los axiomas de la definición definición de espacio vectorial. ) Como por hipótesis se cumple 1), 1), 2) y 3) enton entonces ces debemos verificar que que se cumplen los los axiomas a), b),… j) de la definición definición de espacio vectorial. Por tanto, basta con hacer ver que ya que las otros axiomas son inmediatas puesto que, si entonces y satisface las condiciones en V. Como entonces existe en V, , pero por 3) de la hipótesis,
⇐
S⨞V
∀ w ∈ S , −w −w ∈ S p ∈ A ⊆ V p ∈ V S ≠−1−ɸ1 ∙ w = −w−w ∈ S.S. w ∈ S ⊆ V; w −1−1 ∙ w = −w V V{0} ⨞V ⨞ V
Ejemplo 1. Sea
un espacio vectorial sobre K, entonces ii. de todo espacio vectorial
V V = {0 } ℝℝ
V
i.
son los subespacios triviales
Solución i. En efecto al ser espacio vectorial verifica 1), 2), 3), del criterio de subespacio, por lo tanto es un subespacio de sí mismo, se tiene que ii. , se tiene que se verifica 1) Pues 0 ∈ S, 2) (0 + 0 0))∈ S, 3) α⋅0 = 0 ∈ S. del criterio de subespacio subespacio vectorial, por lo tanto, tanto,
ℝ ∈ W
V ⨞ V {0} ⨞ V W = = {a,b,c / a ∈ ℝ, b = c = 0} ⊆ ℝ
un espacio vectorial, entonces 2. Sea subespacio vectorial de 3R. Solución En efecto, efecto, 0 = (0, 0, 0) , por lo tanto 0 ∈ W se cumple 1) del criterio Si
∧
es un
v = = a,b,c w == p,q,r ∈ W,pporor lo taantnto a ∈ ℝ,b = c = 0; p ∈ ℝ, q = r = 0
7
v + w = a + p, b + q, c + r ∈ W a + pp ∈ ℝ b + q = c + r = 0. a ∈ ℝ,b = c = 0 ℝ ℝℝ ℝ ℝ ℝ WW = == = {{a,a,bb,,cc // aa =≤ b,b,2b,≤cc∈} ℝℝ}} W = = {a,b,c / ab = 0}0} Wv = ⨞1,ℝ2,ℝ3 ∈ W −2v = = −1,−4,−66 ∉ W v = = 00,,1,3, w == 1,0,7 ∈ WV v+v+ww =W∩W∩U 1,1U,1⨞00V ∉ W 0 ∈vW, w ∈ 0W∈ U∩ U 0 ∈vW, w∩∈UW v, w ∈ U v + ww ∈ W∩W∩UU vv ∈ W∈ W∩ U , ∈∈ U,K ∈ K v ∈ W v ∈ U v W ∩ U W∩U entonces
∧
ya que
Por lo tanto, ( v + w) ∈ W se cumple 2) del criterio Si v = (a,b,c (a,b,c))∈ W se tiene
, α ∈
, entonces
αv = α(a,b,c) = (αa, αb, αc) ∈ W pues αa ∈ ∧ αb = αc = 0
Por lo tanto, αv ∈ W W,, se cumple 3) del criterio Entonces W es subespacio vectorial de
Ejemplo
Determinar si W es subespacio de
iv. v. vi.
en cada uno de los siguientes casos.
Solución
i. Se verifica fácilmente que ii. No es subespacio, pues iii. No es subespacio, pues
(Hagalo usted, en forma análoga al ejemplo) pero pero
Ejemplo Demostrar que Si W, U son subesp acios vectoriales de
entonces
Solución
∧
Si 2) del criterio.
∧
entonces
entonces
se cumple
α
entonces α ∧α se tiene que , por lo tanto, se cumple 3) del criterio
∧ v
Si
se cumple 1) del criterio
entonces
α
α ∈
para
Por lo tanto,
V
Definición Sea un espacio vectorial sobre el cuerpo escalares
K B == {v , v , … , v } ⊆ V ∧
1
2
n
α, α, … , α ∈ K = ∑ v = 1 , 7 , − 4 ∈ ℝ B = = {v , v } ⊆ ℝℝ v = 1,3,−22, v = 2,−1,−11. n
tal que
α i
entonces, si existen
vi ssee dice que el vector v es una combinación
i =1
lineal de los vectores de B . Ejemplo
Determinar conjunto
3
si el vector 1
2
donde
1
es combinación lineal de los vectores del 2
8
v v = v+ v , + 2 = 1 = =−47 v = v+C = =v A⇒|B 1, =7,−−3 441 =−121,17−3, f f2 ∙+∙−32++2,2f f f, −−1,∼1,−1−101 ⇒25 −3 1021 −f − ∙1+f 0 −5 −6 −4 2 −1 1 2 1 2 1 1 0 1 −3 ⁄ f ∙ 1 5 f ∙ − −2 2 + ∼ 00 50104 f ∙ 1⁄4 ∼ 00 1021 f ∙ 1⁄4 ~ 00 10 21 v v y v K, B ≠ ∅ , B ⊆ V LB V 〈 B 〉 B B V K B ≠ ∅, B ⊆ V 〈B〉 ⊲ V B = = {v, v, … …, v} ⊆ V 0 =v,0w∙ v∈ +〈B0∙v〉 y +∈ …….+ …….K + 0∙v0∙ v 0 ∈ ∈ 〈B〉v + w ∈ 〈B〉 v v∈+〈Bw〉 = ∑ v= = +∑vv= ∑ w +∈ ∈ 〈Bv〉v = ∑ w= =v ∑ v
Solución Para que sea combinación lineal de los vectores vectores del conjunto B deben existir reales reales
α
tales que
α
al cambia cambiarr por los valores valores se tiene
α
α α
α
α
α
α
α
α α
α
α
para resolver el sistema se usa Gauss Jordan
El sistema no tiene solución, solución, entonces
no es combinación lineal de
Definición Sea un espacio vectorial sobre las combinaciones lineales de vectores de denotamos también . Proposición Sea un espacio vectorial sobre
, al conjunto formado por todas lo llamamos conjunto generado por y lo
∧
Demostración Sea
.
, entonces
, entonces
, así cumple 1) del criterio cumple , debemos demostrar que α . α entonces entonces α , como
Si Como
donde
α
α γ
γ
α
γ
γ
α
v =+ {vw, v }〈 B⊆〉 ℝℝ v s == 4,44,4,,44,,000,,,700 x = 44,,5, 00,,7
, de
, se se cumple 2) y 2) del cri criterio, terio, por lo tanto
∈
γ
al cual se
〈 B 〉 ⊲ V v = 1,1, 2, 1 , 11 v〈 B=〉 −1,1,2,2 wu ==4,2,2,111,, 00,7,3,7 tr==−1,−1−2,2,− , 4,46,,6,5−−8,, 558,−8−8 y = 5,5, −−2,2, 77,,7
denomina “subespacio generado por B”
Ejemplo
Sea B donde , Determine si los siguientes vectores pertenecen a a) d) g)
b) e) h)
.
.
c) f)
9
Solución Naturalmente que resulta tedioso realizar la verificación vector a vector, en su reemplazo es posible posible determinar una expresión funcional funcional que deban deban cumplir los los vectores que pertenecen a . Sea entonces, , de aquí
〈B〉
a,a,b,c,d ∈ 〈B〉
a,a,2α+2α bα,c−+,dββ ==aαb11,,2,1,1 + β−−1,1,1,2,2 αα ++ 22β22βββ == dc a + b = 3 ∙ α α = α 2 + 2α + =βc==bd βc== + 22∙∙ = b − a α β 〈B〉v, =w {,xa,b∉,c〈B /〉 b − a = c, c = d} W = = px = a +b+b∙∙ x +c∙x +c ∙xB + d ∙ x⁄ c = a – d, b = 00 ⊲ ℝx px ∈ W W = = px = a+ bxbx + cx + d x⁄ c = a – d, b = 0 ppx x= =a +a 1a+−xddx+ +dddx−x−x + x, con a,d ∈ ℝ, 1 +x −x + x W {1+x 1+x,−x + x} v = 1, 2 , 3 , v = 2, 3 , 4 , v = 4, 7 , 1 0 0 v = 2v + v 2v + v −vv = 0 v v v, v, v 0v + 0v+0v = 0 obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
Resolviendo el sistema obtenemos:
de donde
en la ecuación
. Finalmente remplazando
la ecuación α
obtenemos
β
, obtenemos
Entonces el el generado de B es Con esto es posible deducir que al subespacio generado por
Ejemplo
. Remplazando
∧
en
. y que los otros vectores si pertenecen pertenec en
.
Determinar un conjunto generador de W.
Solución
entonces
Al aplicar las condiciones condiciones que dan la forma de los elementos de W entonces entonces el polinomio queda , reordenando, agrupando por esto último coeficientes se tiene dice que los elementos de W son combinación lineal de los polinomios , lo cual, es precisamente la definición de conjunto ∧ generador, así, un generador de
es
.
Dados los vectores
, es posible expresar
, dicho de otra forma, depende de ∧ de También se puede escribir Sin embargo, esta no es la única combinación lineal de los vectores que son iguales al vector nulo, nulo, ya que también Es obvio, obvio, que los escalares involucrados involucrados en la combinación combinación lineal lineal son importantes
10
Definición Sea
V
un espacio vectorial sobre el cuerpo
K , B = = {v, v, … . , v} ⊆ V
.
El conjunto B es linealmente independiente (L.I.) si la única combinación lineal de los vectores de B que expresa al vector nulo es la combinación lineal trivial trivial (sólo con escalares nulos) o, equivalentemente, si el sistema lineal homogéneo un sistema compatible determinado.
∑ v = 0 α
es
El conjunto B es linealmente linealmente dependiente (L.D.) si existe alguna combinación combinación lineal no trivial que expresa al vector nulo o, equivalentemente, si el sistema lineal homogéneo α es un sistema compatible indeterminado.
Ejemplo
∑ v = 0 a{bb{a {{6,61,1,,12,,1−11, −2,−, 2,1,1,00,,02,,4,42,,41,,−12}2} ⊆} ⊆ℝℝℝℝ
Determine la dependencia o independencia independencia lineal de los subconjuntos. subconjuntos.
Solución
Al formar la combinación lineal
α
β
γ
, para
6 6,6,1−+,12 =+04−−2, =2,0,0 + 44,,1,1 = 0,0, 0, 00 + = 0
determinar los valores de α, β, γ se plantea plantea el sistema de de ecuaciones lineales
α β α γ α γ
γ
si el sistema tiene solución única, la trivial, entonces el conjunto es linealmente independiente, en caso contrario, el conjunto es linealmente li nealmente dependiente.
6 −2 4 0 1 0 1 0 C = = A|B = 11 00 1100 f, , ∼ 61 −20 4100 ff ∙∙ −−6+6+f f 1+1+f f ∼ 01 −20 −201 0 f ∙ − 12 ∼ 10 01 100 = = = 0
Al resolver el sistema sistema por método de Gauss- Jordan
Parametrizando γ = = t t real
β = -t α = -t
el sistema tiene infinitas soluciones el conjunto es linealmente dependiente ya que el sistema tiene infinitas soluciones además de la trivial α β γ . Al “colocar” los vectores en una matriz donde, cada vector constituye una fila; se puede demostrar que las filas no nulas de la matriz escalonada equivalente a la original están asociados a vectores linealmente independientes. Entonces es posible concluir que los 3 vectores originales originales forman un conjunto conjunto linealmente dependiente ya que la matriz escalonada sólo tiene dos filas no nulas, sin
11
{6,6,−2,4,1,0,1}}
embargo, nos entrega más información; los dos primeros vectores forman un conjunto linealmente independiente , es decir es un conjunto linealmente es independiente.
Teorema (Criterio de Dependencia Lineal)
v, v, … . , v
Sea S un subconjunto subconjunto no vacío de un espacio vectorial vectorial 1. Si S contiene un vector v, se dice que es linealmente dependiente ssi v=0v 2. Si S consiste en dos o más vectores entonces S es linealmente dependiente, si y solo si cuando menos un vector sea una combinación lineal de los vectores restantes. Observación • Un conjunto que contiene al vector nulo es linealmente dependiente
• Dos vectores son linealmente dependientes si y solo si uno es múltiplo escalar del otro.
• Cualquier conjunto de vectores vectores que contiene a un conjunto de v vectores ectores linealmente dependiente es a su vez linealmente independiente.
ℝ { 1, 1 , 2 , − 1 1 , 1 1, , 0 , 2 , 2, 4 , − 2 } ⊆ ℝ 11 20 −12 ff ∙∙ −−21 ++ ff ∼ 10 −22 −13 2 4 −2 00 0
Ejemplo
Determinar si el conjunto B=
es linealmente
independiente o linealmente dependiente
Solución
Con los vectores de B se forma la matriz y se escalona
Es inmediato aceptar que los tres vectores forman un conjunto linealmente dependientes, en tanto que, los dos primeros vectores son vectores linealmente independientes.
Ejemplo
{u,u,v,w} ⊆ V { u + v , u − v , u − 2 v + w} u + v + u − v= + =u =−02v + w = 0 wu=+0v + u − v + u − 2v + w = 0 ⇒⇒ + + u + − − 2 v + + + = 0 −= 0− 2 = 0 = = = 0 { u + v , u − v, u − 2 v + w }
Si
Solución
es L.I. demuestre que
es L.I. es
Formar la combinación combinación lineal lineal
α
β
para α, β, γ es
α γ
β
γ
α β γ γ
. Por demostrar que los únicos valores
α
β
γ
α
β
γ
, de donde se deduce el sistema
α β γ α β γ γ
La solución del sistema es única, y se tiene demostrado que el conjunto conjunto
α β γ
,
por lo tanto se ha
es L.I. es
12
Ejercicio
3 0 , 2 1 , 1 1 . 0 0 −1 1 0 0 1 0 0 1
1. Determine si el conjunto {-2x + x , 1 + x+x , 1 – x} es linealmente independiente 2
2. Determine si el conjunto independiente.
2
es linealmente es
3. Determine para que que valores de de a el conjunto { 1 +ax, a +(a+2)x} ⊆ P1, es linealmente dependiente.
{0}
Definición es una base es base de Un subconjunto B no vacío de un espacio vectorial con ≠ si: i. B es linealmente independiente ii. B genera a Se conviene que el conjunto conjunto vacío la única base del espacio vectorial vectorial cero Todo espacio vectorial tiene al menos una base Si una base de un eespacio spacio vectorial tiene tiene n elementos toda toda otra base dist distinta inta también tiene n elementos.
{0}
Ejemplo
• El conjunto {(1,0,0…..,0), (0 (0,1,0,0….0), ,1,0,0….0), ……..(0,0,0,…..,1)} es un unaa base del espacio vectorial
denominada base estándar de
• El conjunto {1, x, x , x ,……,x } es una base del espacio vectorial P n+1 (polinomios de 2
3
n
grado n) denominada base estándar de P
• El conjunto {1, x, x2, x3,……,xn………} es una base del espacio vectorial P llamada
10 00 , 00 10 , 01 00 . 00 01
base estándar de P
• El conjunto
es una base del espacio vectorial de es
las matrices cuadradas de de orden 2, y es su base estándar. estándar. Ejemplo
Demuestre que B = {cos φ, sen φ} es una base del espacio vectorial W={acosφ + bsenφ / a∈IR, b ∈IR}
Solución i. B es linealmente independiente ssi αcosφ + βsenφ = 0 entonces α = β= 0 En efecto, ii.
αcosφ + βsenφ = 0 αcosφ + βsenφ = 0cosφ + 0 senφ ∴ α = 0 ∧ β = 0
Por demostrar que 〈B〉
= W , basta considerar un vector vector v en W y exprearlo como una combinación lineal de los vectores de B Sea v = acosφ + bsenφ la combinación lineal
v = αcosφ + βsenφ se debe
determinar α ∧ β en términos de las las constantes a y b. v = acos φ + bsenφ ∧ v = αcosφ + βsenφ por transitividad de = se tiene acosφ + bsenφ = αcosφ + βsenφ por igualdad de coeficientes indeterminados
13
〈B〉
existen escalares α , β tales que cualquier vector v de W α = a , β = b, por lo tanto existen es combinación lineal de los vectores de B, por lo tanto, De i, ii. ii. B es base de de W
Ejercicio
a / a, b ∈10 IR0 , 0 10
1. Determine si B ={(2,1), (1,3)} es base de
0b 0
2. Muestre que el conjunto B = vectorial W =
=W
no es base del espacio
Definición
tiene una una base con n elementos, elementos, entonces se dice que V Si un espacio vectorial tiene dimensión n, se expresa Dim(V) = n De acuerdo, con los análisis de las bases de un espacio vectorial y la definición de la dimensión dimensió n de un espacio vectorial, se tiene que la dimensión dimensió n es un numero bien definido y no depende de la elección de la base. El espacio trivial {0} se define como cero (su base es el vacio cuya cuya cardinalidad es 0 Si un espacio vector vectorial ial no tiene una una base finita,se dice dice que es un espacio de dimensión infinita.
P FIR
De acuerdo a lo anterior, se tiene que: tiene dimensión n , es dimensionalmente finito tiene dimensión n +1 , es dimensiona00ente finito es dimensionalmente infinito
Teorema
Si V es un espacio vectorial vectorial con dimensión n, y S es un conjunto con m elementos. elementos.
Teorema
i.
Si S es linealmente independiente, entonces m ≤ n
ii.
Si S genera a V, entonces
n ≤ m
Si V es un espacio vectorial n dimensional y B un conjunto con n elementos 1. Si B es linealment linealmentee independiente entonces B es una base de V 2. Si B genera a V entonces entonces B es una base de V
Ejemplo
0a −ab / a,b ∈ IR 0a −ab 0a −a0 + 00 0b 10 −10 + 001 100 0 1 0 −1 , 0 0
Determine la dimensión dimensión del espacio vectorial V =
Solución Si v =
=
=a
Se tiene que v es combinación lineal de los vectores de B=
es claro que B genera a V, por 2. Del teorema anterior, se concluye que la dimensión del espacio espacio vectorial vectorial es 2.
14
Teorema Si W es un subespacio de un esp espacio acio vectorial V con dim(V) = n, entonces 1. Dim(W) ≤ m 2. Dim (W) = n si y solo si W = V.
Ejercicio 1. Determinar la dimensión del espacio vectorial W = {(0,a,b) / a, b reales} reales} 2. Determinar la dimensión del espacio vectorial W = {(a-b, 2a + b)/ a, b reales} 3. Determine la dimensión de V =
〈{,1 − }〉
v, v, … . , v }
Definición
Si V espacio vectorial vectorial con dim(V)=n, con base B = {
entonces todo
vector v∈V se escribe v = α 1v1 + α 2 v 2 + α 3 v3 + ....... + α n v n , α escalares 1≤ i ≤ n El vector cuyos componentes son son los coeficientes de v, se denomin denominaa vector de coordenadas de v con respecto a la Base B, denotado por
= , … …. = = , α
Es claro, que vectores de B.
Ejemplo
α
α
se modifica al cambiar cambiar de base B, incluso depende del del orden de los
Si B = {(1,0), (0 (0,1)} ,1)} es la bas basee estándar o canónica canónica de IR2 y el e l vector v en IR2 tiene vector de coordenadas (x,y) Ahora si se toma la base A = {(2,3), (5,4) las coordenadas del vector v= (x,y) son )
Así el vector ( 4, 3) en la base A tiene coordenadas (-1,
)
Teorema (Cambio de Base) Base) Sean B y A bases de un espacio Vectorial V de dim(V) = n , B = { ∧ A={ , P la matriz de orden nxn cuyas columnas son los vectores de v en la base A, P = [ [ … …. …. …. [ ] Entonces P es invertible y ésta es la única única matriz que que para todo vector v de V cumple [ =P[
w, w, … . , w} v v
v
v,vvv, … . ,vvv}
La matriz P del teorema se denomina Matriz de Transición o Matriz de Cambio de Base -1 Es claro que que si P es la matriz de cambi cambio o de base de B a A, A, P es la matriz de cambio de base de A a B.
Ejemplo Determinar la matriz de cambio de base de B= {(1,1), (1,2)} a la base A = {(1,3), (1,4)}
Solución (1,1) = α (1,3) + β (1,4) entonces β= - 2 , α = 3 entonces
=
1,1 −2− 32
15
−2 3 01
(1,2) = γ (1,3) (1,3) + δ (1,4) entonces Por lo tanto P =
γ = = 1, δ = 0 entonces
1,2 10 =
Ejercicio 1. Obtener la matriz de transición de la base B={ (1,0), 0,1)} del espacio vectorial IR a la base A = {(1,1); (-1,1)}, (-1,1)}, determine la matriz de transición de de A a B y comprobar la relación para el vector (4, - 2) 2 2 2. Hallar el vector coordenadas de p = 4 –3x+x con respecto a la base S = { 1, x, x } 2
Se trata de estudiar tres espacios vectoriales importantes asociados con cualquier matriz: el espacio Nulo, el espacio de las Columnas y el espacio de las filas
Definición (Espacio Nulo) El espacio espacio nulo v(A) de una m matriz atriz A de orden orden m x n está formado formado por por to todos dos los vectores n x tales que Ax = 0, es decir, decir, corresponde al conjunto conjunto de todas las
IR
soluciones del sistema homogéneo Ax = 0 v(A) = { x ∈
/ Ax = 0}
El espacio nulo v(A) es un un subespacio vectorial de nulo se denomina Nulidad de A.
Ejemplo Si A =
Solución
IR
y la dimensión del espacio
−11 −42 2 6 1 2 1 2 1 0 −12 −46 0 −22 0 01
determine una base para el espacio nulo de A y su dimensión
∼
∼
Una base para el espacio nulo nulo de A es el conjunto B = {(1,0) , (0,1)}, (0,1)}, la dimensión del espacio nulo de A es 2.
Teorema
La nulidad de una matriz A es igual al número de variables libres de Ax = 0
Definición (Espacio Columna) El espacio columnas de la la m matriz atriz A es el generador de sus columnas
IR
El espacio columnas se denota Col(A) de una matriz A de orden m x n es un subespacio de (genera vectores con m componentes)
16
Teorema Un sistema sistema lineal lineal Ax =b es consistente consistente ssi ssi b es un elemento elemento del espacio Col (A).
2 4 211 422 41 01 02 −74 01 02 41 14 21 42 36 01 02 04 63
Ejemplo
Dada la matriz
Solución
ó v ∈ Col (A). ¿u ∈ Col (A)?
¿v ∈ Col (A)?
Teorema
y los vectores u= (1,4), v = (6, 3). Determinar si u ∈ Col (A),
∼
∴ u=
∼
∴ v=
∼
∈ Col(A)
∉ Col(A)
Las columnas pivote de cualquier matriz forman una base para su espacio columna.
Ejemplo Obtener una base para el espacio espacio columna de
Solución
300 −210 −240 100 100 −200 ∼
30 0 0 −21 −24 4
como las columnas pivote son llaa 1 y 2 , se tiene
que para el espacio columna una base es
{(3, 0, 0 ) , ( 0, 1 , - 2) }
Observación Las operaciones operaciones filas que se se realicen realicen en A pueden cambiar el espacio de columnas columnas de una matriz A Definición (Espacio Fila) El espacio ffilas ilas de la matriz A es el generador de sus filas
IR
El espacio filas de A se denota Ren(A) siendo la mat matriz riz A de orden m x n es un subespacio de (genera vectores con n componentes) Las operaciones operaciones filas que se realicen en A no afectan al espacio fila de A
Teorema Las filas no nulas de una matriz A escalonada por filas forman una base para el espacio fila de A
Ejemplo
Dada la matriz
123 213 −1−20
Determinar una base para el espacio fila de A
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Solución
23 21 −1−2 00 −4−8 −1−2 00 −40 −10 10 13 0. 205 13 0 1 3 0 1 3 0 00 0 ∼
∼
∼
El conjunto d dee vectores { (1,3, 0) 0) , (0, 1, 0.25) forma una base de Ren (A)
Teorema
Para cualquier matriz A la dimensión dimensión de su espacio fila es igual igual a la dimensión dimensión de su espacio columna. Es obvio este teorema ya ya que el espacio columna lo constituyen constituyen todas las columnas de A en las cuales cuales hay pivote pivote y estas se corresponden con las filas no nulas de una forma escalonada de A
Definición (Rango de una matriz) La dimensión dimensión común de los espacios filas y de Columnas de A se denomina rango de la matriz A, se denota Rango(A) Como ya se dijo, el el Rango de una matriz A es igual al número de pivotes de A Las matrices A y su transpuesta tienen el mismo rango
( ) Para toda toda matriz A se cumple cumple Rango A + Nulidad A = Cantidad de Columnas de de A
Ejemplo
10 10 −12 22 0 0 1 −2 10 10 −12 22 10 10 −10 26 10 10 01 −26 0 0 1 −2 0 0 0 0 0 0 0 0
Verificar el teorema del rango si A =
∼
〈〉〉 〈EsEspacio fila〉
∼
={(-6, 0, 2, -1), (-1, 1, 0, 0) } ya que z – 2r = 0 tome r = t e y = k entonces
x=-k y = k z= 0 r = 0
x + y + 6r = 0 – 6t + 0 + 2r + t
= { (1,1,2,2) (0, 0,-1, 2)}
Por lo tanto el rango de A = 2, Nulidad de A = 2, Número de columnas columnas de A= 4 Rango A + Nulidad A = Cantidad de Columnas de A 2 + 2 4
18
Teorema (Rango y sistemas de Ecuaciones lineales) El sistema de ecuacione ecuacioness lineales Ax = b es consistente si y solo si Rango A = Rango [A: b] Ejercicios 1. Determinar el rango, la nulidad nulidad de la matriz A =
2.2.
42 34 2 –– –+ ==0 0
Determine una base para el espacio solución del sistema sistema
3. Determine el rango del espacio espacio vectorial vectorial de vectores en el plano 2x – y – z = 0 4. Si A es u una na matriz de de orden 5 x 7 con rango 5, muestre que que el sistema lineal Ax=b tiene al menos una una solución solución para cada cada vector b.
( ) ,
{ ,, ,,, }
4
( I)
4 . , 4 A=(1,0,3,4) , B=(0,1,2,2) ,C=(1,1,0,3) , D(2,0,0,1) ) )
D < A, B, C, D>
) )
= (7 ,4 ,4 , 12 ,19 ) D
, . .
E,
{ , , } = = 4 2,1, = 3,1,3, = 5,5, 1, 11
A
3 , 1, 4 ) 3
, C B
.
19
I C , F . D ,
ℜ 2 :
= ,
,, ,,+ =,, =++ +−1,+1, ++ −+1+11 ++ = + −2−23,3,1 + 34,4,2
) ) D ) ) C
) ) D
++= =+++,,−+1,1+,1,1, +++,, 11−+− 1111,++++ −1,1,−++11+−1 − 11 ==,,+++ ,, −2−23,3,1= +−2−2+3+4,4, 2−2−23 − 1,1, −2 + −2−21 − 1 + 3 ++ 34 − 1,3 + 32 − 11 = −9,−9,−55 + 14,14,8 = −9 + 14 + 1,1, −5 +8+ 8 + 11 = 6,4
=
) )
1) 1)
,
ℜ 4 , :
= {,= 〈,{,1,0⁄,0, 3, −6,62,0,−+2,3−22=, 02,2,1∧,0,0−}〉 = 0 } 2,2,1,0,0 = {x,x,y,z,w⁄ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ } ..
) ) .
) ) , ) ) ) C
) ) E
20
) )
W w⁄ − w ∧ w W1W −− 〈11 −−11〉 1 1 −−11 → 1; 1 1 11 −− 1 w 1 1 ⋮ → 1 − ⋮ − 1 11 − − −w1 ⁄ − 11ZZ − w1 −− 1 −− 1
C,
) )
.
) )
) ) E
. .
5 ) , : (2, 1, 1, 1) (1, 1, 1, 1) (3, 1, 1, 2) (0, 1, 2, 1) (2,1, 1,1) 4 ) . (1, 2, 1, 1) (1, 1, 1, 2) 4, (1 0 1 0). )
:
−− −
21
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