Espacios Vectoriales-1

 

Ejercicios Resueltos de Espacios Vectoriales. 2. Espacios Espacios vectoriales: definición definición y ejem ejemplos. plos. Modelos clásicos: IRn,

C,

Mm n(IR ), IR[x], Pn[x], F(A, IR ), C([a,b]; IR ) . S ubespacios vect vectoriales. oriales. Ejem jemplos. plos.

Intersección Inter sección de subespacios. 1.  Sean

dos bases de W,

subespacio vectorial de Si

.

se escribe como

coordenado según la base

según la base

, escríbalo como vector

.

Solución:

Según base

Según las base

Luego según las base

el polinomio se escribe como

 

  2.  Determine la veracidad o falsedad de cada una de las siguientes afirmaciones. Justifique sus respuestas, demostrando las afirmaciones que considere que son verdaderas y dé un contraejemplo o una explicación adecuada para las que considere falsas: (a)  Sea el espacio vectorial

sobre

Si de

con las operaciones usuales. , entonces

es un subespacio

.

(b)  Sea S un conjunto de vectores linealmente independientes y sea

. Entonces

T es T es linealmente independiente. (c)  El subespacio vectorial de

que genera el vector

es la recta

. Solución:

(a)  Falso: no es un subespacio de

pues falla la clausula de la adición

En efecto: Pero

(pues

no satisface ni la ecuación de S ni la ecuación

de T). (b)  Verdadero:

Por hipótesis:

.

 

Luego:

Así:

Pero por hipótesis S es l.i. l.i.  

Luego de (*) se tiene que

(c)  Falso: 

genera el subespacio de

En efecto

que es la recta:

(y no a la recta

)

 

  3.  En el espacio vectorial

, considere los sub espacios vectoriales U y W definidos como: 

U = , con B = {(1, 1, O, 2), (1, 1, 1, 0), (2, O, -1, 3)}, base de U y W = {(x, y, z, u)

/ x + 3y -4z - 2u = 0}.

a) Demuestre que U = W.

  base B sabiendo que que v b) En tanto sea posible, exprese el vector v en coordenadas de la base se escribe como (-12, 8, 5) según

.

Solución:

a.  W es un sub espacio en

. En efecto, 

∴ 

=0

∴ 

es un sistema homogéneo formado por una sóla sóla ecuación y tres tres variables libres: y, z, u.

. Se tiene que En efecto

b)  Sea

, entonces:

 

∴ 

 

4.  Demuestre la siguiente afirmacion:

Si

,

entonces

no es un sub espacio de

Solución:

,

Se tiene:

(1, 0, 2) + (1, 0, 0) = (2, 0, 2)

Pero

pues

En efecto

pues no existe

(Pues

.

no puede valer 1 y 2) y

pues no existe

, (Pues no existe Así no se cumple que

U∪W no es un sub espacio de

tal que:

). .

.

tal que

 

5.  Sea a.  Demuestre que

es un sub espacio vectorial de

b.  Encuentre una base c.  Construya una base Solución:

a)  (i)

(ii)

∴ 

b) 

c) 

que contenga a la base

obtenida en (b)

 

6.  Sean sub espacios vectoriales de

dos .

Determine: a)  El espacio b)  La dimensión del espacio vectorial Solución:

a)  b) 

 

7.  En el sub espacio vectorial

, considere el producto interior canónico y los sub

espacios a.  Demuestre que U es un sub espacio vectorial de b.  Encuentre una base para c.  ¿Es

.

y la dimensión de ?. Justifique.

Solución: a) 

i. 

U≠

ii. 

Sean

; (0, 0, 0)

b) 

= Como

es L. I. entonces

es base de

 

  c) 

∴

 

 

8.  Cada uno de los siguientes conjuntos no constituye un espacio vectorial sobre los cuerpos y operaciones que se indican. En cada caso dé un contraejemplo indicando qué axioma falla:

a. 

b.  V = c.  S = d.  T =

Solución:

a)  No se cumple que 1 (a, b) = (a, b b)) para para todo a, b

. En efecto, por ejemplo:

1 ∙ (3, 5) = (10, -3) ≠ (3, 5) 

b)  No se cumple que la adición es cerrada. En efecto:

, pues 4 ≠ 2 

c)  No se cumple la existencia de inversos aditivos ni tampoco la condición En efecto, dado (3, 5)

S, necesitamos (-3, -5) tal que: (3, 5) + (-3, -5) = (0, 0), pero

(-3, -5) ∉S. Por otra parte: (3, 5)

S. Pero: -2 (3, 5) = (-6, -10) ∉ S

d)  El vector nulo Θ = (0, 0, 0) ∉T, pues: 2∙0 - 0 - 12 ∙0 = 0 ≠ 1 

 

ombinacione binaciones s lineales. lineales. Generadore Generadores. s. Dependen Dependencia cia lineal. Base. Com 9.  En el espacio vectorial

considere los subespacios W y U :

W = {(x,y,z,t)/x-2y + z-t = 0 ∧ x + y + 2z = 0} y U = {(x,y,z,t)/x = y = z = 2t} a)  Encuentre una base para W. b)  Determine el subespacio W + U. c)  ¿Es

= W U ?. Justifi Justifique que su respue respuesta sta..

Solución:

a) 

Z=0x+1z, t=-3x-1y Sea

base de W,

b) Sea Sea Tomamos la matriz formada por los vectores de W+U

El rango es 3, luego la dimensión de (W+U)=3

c) 

. Luego

no es suma directa de U y W.

 

10.  Sea

. Demuestre que u y v son linealmente

dependientes sobre el cuerpo de los complejos C

Solución:

Existe

tal que

se tiene:

:

Nota: Se puede usar también

y probar que es equivalente por filas a

 

11.  En el espacio vectorial

sobre

con las operaciones usuales, considere los

subespacios

.

(a)  Demuestre que S se puede escribir en la forma

y

hallar una base para S. (b)  Hallar una base para (c)  Encuentre

. y el subespacio

.

Solución:

(a)  I. 

Luego:

Así:

II. 

Base para S. Hay dos variables libres: y,z Así

.

Se tiene:

Como base para S es:

son además l.i. (no son múltiples). Se tiene que una

 

(b) 

Hay una variable libre: z

, además

Luego una base para

(c) 

Luego:

es l.i. (es un solo vector ≠ 0)

 

12.  En el espacio vectorial real

, considere el conjunto:

(a)  Encuentre todos los valores de

de modo que B sea una base de

(b)  Para uno de los valores a, determine

Solución:

(a) 

. Bastará con determinar los valores de

de modo que B sea l.i. l.i.  

(vía más corta es a través de determinantes)

Luego para que B sea l.i. se requiere que:

(b)  Podemos tomar cualquier

Así:

. Por ejemplo, sea

 

13.  En

sobre . a.  Determine k  y  p para que los vectores sean linealmente dependientes. b.  Usando los valores hallados en (a) determine la relación de dependencia de u, v  y w .

Solución:

¡Hay varios métodos para hacerlo!

a)  Sea

( i ).  ( ii ).  ( iii ).  ( iv ). 

Es decir:

para que sea L. D. es necesario que:

 

∴

 

∴

, con

nos queda:

 

 

Para que sean L. D. es necesario que:

b)  escribimos uno de los vectores (cualquiera de ellos) como combinación lineal de los otros dos: Por ejemplo:

( i ).  ( ii ).  ( iii ).  ( iv ). 

De (i) y (ii) obtenemos:

 

 

Así: [NOTA: se hace notar que, obviamente,

o bien

satisfacen (iii) y (iv)].

 

3

14.  Sea W el subespacio de  R , W = { (x, y, z) / 3x – y + z = 0 }.

a)  Demuestre que W es un subespacio de  R 3 .  b)  Encuentre un conjunto S de generadores generadores de W. c)  Exprese el vector v = (2, -7, -13) como combinación lineal de los vectores (4, 3, -9) y (-5, -8, 7).

Solución: 3

a) Demostremos que W = {(x, y, z) / 3x – y + z = 0} es un subespacio de de  R . W = { (x, y, z) / y = 3x + z } = {( x, 3x + z, z ) / x, z ∈  R } i) Es claro claro que 0 = (0, 0, 0) es un vector vector de W; luego W es no vacío. ii) Sean v 1 = (x, 3x + z, z) y v 2 = ( a, 3a + b, b) vectores de W; entonces v 1 + v 2 = (x + a, 3(x + a) + (z + b) , z + b); luego v 1 + v 2 ∈ W . iii) Sea  

α v1

α∈ℜ

y v 1 = (x, 3x + z, z) vector de W; entonces

= (α x,   3α x + α z,  α z) ; es decir, αv1 ∈ W  

b) W = {(x, 3x + z, z) / x, z

∈ℜ} =



S = {(1, 3, 0), (0, 1, 1)} es un conjunto de generadores de W.

c) Debemos encontrar α ,   β  ∈  R tales que α(−5, − 8, 7)  + β(4, 3, - 9) = (2, (2, - 7, - 13) .

Resolvemos

− 5α + 4β = 2  − 8α + 3β = − 7    7α − 9β = − 13 

Como

5 4 2 4 2 1 6 20 1 0 2     -- 5  0  0 1 − 6 − 20  ≈    34 102   ≈    1 3 ,  −− 8 3 − 7  ≈     7 − 9 − 13  7 − 9 − 13  0 − 51 − 153  0 0 0                 tenemos que

α = 2 y β = 3 . En consecuencia,

v = 2 (-5, -8, -8, 7) + 3 (4, 3, -9)

 

15.  Dado el sistema de ecuaciones lineales para variables reales

(a)  Determine los valores de λ ∈ R, para que el sistema tenga infinitas soluciones (b)  Para cada λ obtenido en (a), obtenga una fórmula para una aplicación lineal cuyo núcleo (kernel) corresponda al conjunto solución del sistema dado. (c)  Para cada aplicación lineal definida por Ud. en (b), obtenga una base para su núcleo

Solución:

(a)  El sistema tiene infinitas soluciones solo si

y rango < 3 ssi

(b) 

(c) 

i)  Para

, bastará

ii)  Para

, bastará

∨ 

 

 

 

 

2

2

2

16.  Se Sea a B = {- 4 + 2 x , x  , 3 - x   } base de P2[x] [x] y p(x)  p(x) = - 2x  + 4x +1. +1. Halle Hall e [p(x)]B    Solución: 2

2

2

 )   - x  )

- 2x  + 4.x +1 = (- 4 + 2x)+ /3(x  )+

 

⇔ 

Luego,

⇔ 

 

 

17.  Sea

es una base para S.

Encuentre las coordenadas de

Solución:

Así:

en relación a la base de B dada en (a).

 

 

∴

;

;

 

vector con respecto respecto a una base (vector (vector coordenado). Dimensión. Coordenadas de un vector Suma y suma directa de subespacios. 18.  Considere (a)  Sea

con producto interno canónico. el subespacio

Determine la dimensión de W.

Solución:

Luego

.

, en donde

.

 

19.  Sean

subespacio de

que:

Solución:

Por otra parte:

⇔ (0,

)

. Demuestre

 

 

 

20.  Suponga que

es una base de un espacio vectorial V. Entonces no puede generar a V.

Solución:

Hipótesis:: Hipótesis

base de V.

Tesis:: Tesis

no puede generar V.

Demostración: Supongamos que

Como

genera V.

y por hipótesis

base) se tiene por teorema que

Luego se tendría que

es L. I.

es base de V.

Luego:

Pero por hipótesis

∴ 

∴ 

es base de V.

¡¡Contradicción!!

no puede generar V.

es L. I. (pues es

 

21.  Sea

con

Encuentre bases para U, W y U∩W y determine la dimensión de cada uno. Solución: Base para U:

Además: , pues son dos vectores que no pueden pueden ser múltiplos uno del otro (no existe

es base de U.

Base para W:

Se tiene:

).

 

es L. I. (No puede ser uno múltiplo del otro. En efecto, no existe

, tampoco

). es base para W.

∴ 

∴

 

Base para U∩W: Como

Eliminando los parámetros se tiene: además:

∴ 

Además:

Luego:

Se obtiene el sistema homogéneo:

se tiene que:

, (pues

). Así queda:

 

Analizamos la matriz:

Esto significa que: ∴

(¡única solución!).  

 

22.  Sean:

subconjuntos de P 3 [x]

a.  Demuestre que U es un sub espacio de P 3 [x] b.  Encuentre la dimensión de U c.  Encuentre una base y la dimensión de U∩V

Solución:

a)  Θ

2

3

, pues Θ = 0 + 0x + 0x +0x y se tiene que 0 -2∙0 + 0 = 0

Sean p(x), q(x)

Obs:

Se tiene:

U. Entonces:

 

 

U es sub espacio de P 3 [x].

 

b)  Consideremos un polinomio

( es decir, b – 2c + d = 0). 0 ).

Podemos trabajar con 4 – uplas: (a, b, c, d).

Se tiene:

Así:

es un conjunto L. I. pues llevan asociados la matriz:

que está escalonada y no tiene filas nulas.

Luego:

es una base para U.

Así:

c) 

⇔ 

Así:

se tiene:

es L. I. (pues es un vector único ≠ 0) y: 

 

Así

es base de U∩V y

 

23.  Comente la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: (a)  Si

son vectores ortogonales,

(b)  (c) 

de dimensión 2. es suma directa de los subespacios:

Solución:

(a) 

, luego es verdadero. (b) 

, luego es falso. (c)  es base de U

. En efecto

entonces

 

3

24.  Sea S = y T = {(x, y, z)eR / kx + y - z = 0}. Determine k de modo que S

⊕T

3

= R . 

Solución: Método I:

Se tiene: (Ya que además es L. I. (*) 3

Ahora: R = S ⊕ T

Para S

===>

 

Método II:

Se comienza el desarrollo de igual forma que el método I, hasta (*). 3

Ahora: R = S ⊕ T

Para ser L. I. se requiere k

Método III:

Si