Espacios de Hilbert y Analisis de Fourier

Espacios de Hilbert y An´ alisis de Fourier: Los primeros pasos

Antonio Garc´ıa Garc´ıa Universidad Carlos III de Madrid

Mar´ıa Jos´ e Mu˜ noz Bouzo UNED

´Indice general 1. A modo de introducci´ on 1.1. Espacios vectoriales de dimensi´ on infinita . . 1.2. Generalizando las normas usuales de Rd o Cd 1.3. Equivalencia de normas . . . . . . . . . . . . 1.4. Sucesiones de Cauchy: completitud . . . . . . 1.5. Otras diferencias esenciales . . . . . . . . . . 1.6. Generalizando los espacios eucl´ıdeos . . . . . 1.7. Lo que viene a continuaci´ on . . . . . . . . . . 2. Espacios con producto interno 2.1. Producto interno, espacio prehilbertiano 2.2. Propiedades geom´etricas . . . . . . . . . 2.3. Propiedades topol´ ogicas . . . . . . . . . 2.4. Espacios completos . . . . . . . . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 5 7 9 11 14 17 19

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21 21 27 30 37 45

3. El problema de la mejor aproximaci´ on 3.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . 3.2. Proyecci´ on sobre un conjunto convexo y completo 3.3. Teorema de la proyecci´ on . . . . . . . . . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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49 50 54 57 62

4. Bases ortonormales en un espacio de Hilbert 4.1. Sistemas ortonormales . . . . . . . . . . . . . 4.2. Aproximaci´ on con un sistema ortonormal . . 4.3. Bases ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Ejemplos de bases ortonormales . . . . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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67 67 70 72 75 78

v

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5. Series de Fourier cl´ asicas 83 5.1. Desarrollo en serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.2. Desarrollo en senos y cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.3. Convergencia puntual de una serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . 88 5.4. Algunos temas complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.4.1. C´ alculo de los coeficientes de Fourier: La transformada discreta de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.4.2. C´ alculo r´ apido de la transformada discreta de Fourier . . . . 102 5.4.3. El fen´ omeno de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6. Operadores lineales acotados 6.1. Operadores lineales . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Representaci´ on de formas lineales continuas 6.4. Operador adjunto. Operadores autoadjuntos Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y unitarios . . . . . . .

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111 111 116 121 123 134

7. La transformada de Fourier 7.1. Operadores de convoluci´ on . . . . . . . . . . 7.2. La transformada de Fourier . . . . . . . . . 7.2.1. La transformada de Fourier en L1 R 7.2.2. La transformada de Fourier en L2 R 7.3. La transformada de Hilbert en L2 R . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

8. Espacios de Hilbert con n´ ucleo reproductor 8.1. Espacios de Hilbert con n´ ucleo reproductor . 8.2. Algunos ejemplos de RKHS . . . . . . . . . . 8.3. Espacios de Paley-Wiener . . . . . . . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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139 140 146 147 156 162 164

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169 169 172 174 180

A. Sobre la Integral de Lebesgue 185 A.1. Medidas de conjuntos y funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . 187 A.2. Integraci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 A.3. Los espacios L1 , L2 y L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Lista de S´ımbolos

213

vi

Cap´ıtulo 1

A modo de introducci´ on En los primeros cursos de An´ alisis Matem´ atico se trabaja con funciones definidas en alg´ un subconjunto de R o de Rd . Los espacios Rd (en general Cd ) tienen estructura de espacio vectorial sobre R (sobre C) de dimensi´ on finita d. La definici´ on de alguna norma en ellos, frecuentemente la norma eucl´ıdea, nos permite dotarlos de una m´etrica. Una m´etrica en Rd nos permite introducir el concepto de convergencia de sucesiones o, m´ as en general, de una topolog´ıa en Rd mediante la cual podemos estudiar conceptos asociados a funciones como son la continuidad, diferenciabilidad, etc. Otra posibilidad consiste en considerar las funciones como elementos de un espacio vectorial determinado, dotarlo de una norma y estudiar las propiedades de la m´etrica asociada, de manera an´ aloga a como se hace con los espacios Rd o Cd . Aunque la idea generatriz es la misma, las diferencias con el caso finito dimensional dieron origen a una riqueza de resultados matem´ aticos que son el objetivo de una rama de las matem´ aticas denominada An´ alisis Funcional. Veamos a continuaci´ on, de manera somera, algunas de estas diferencias.

1.1.

Espacios vectoriales de dimensi´ on infinita

En An´ alisis Matem´ atico se trabaja, adem´ as de con vectores en Rd o Cd , con otros elementos como son las sucesiones o las funciones. Desde el punto de vista algebraico, tienen en com´ un con los vectores que se les puede dotar de la estructura de espacio vectorial. As´ı, si denotamos por RN el conjunto de las sucesiones de n´ umeros reales, es decir, RN :

x

xn

n 1

: xn 5

R para todo n

N ,

6

Cap´ıtulo 1

A modo de introducci´ on

se prueba inmediatamente que tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo R si le dotamos de las operaciones: an

bn

an

bn

y

λ an

λan , donde an , bn

RN y λ

R.

N

An´ alogamente, el conjunto C de todas las sucesiones de n´ umeros complejos, dotado de las mismas operaciones, forma un espacio vectorial sobre el cuerpo de los n´ umeros complejos C. Lo que diferencia a estos espacios vectoriales de Rd o Cd es que no est´ an finitamente generados: no existe una base con un n´ umero finito de elementos en RN o CN . Para ello bastar´ a probar que existen conjuntos linealmente independientes con infinitos elementos. Para cada n N, consideramos la sucesi´ on en : δn,k k 1 , donde δn,k denota la delta de Kronecker, es decir 1 0

δn,k

si k si k

n n.

El conjunto de sucesiones E e1 , e2 , e3 , . . . es linealmente independiente en RN N o C . En efecto, si una combinaci´ on lineal finita de elementos de E es igual a la sucesi´ on nula 0 0, 0, . . . , entonces todos los coeficientes de la combinaci´ on lineal son necesariamente iguales a 0, es decir λ j ej

0

λj

0 para todo ´ındice j .

finita

Si I denota un intervalo cualquiera en R, denotamos por RI al conjunto de todas las funciones definidas en I con valores en R, es decir RI :

R .

f :I

Dotado de las operaciones f

g t

f t

g t , t

I

y

λf t

λf t , t

I,

donde f, g R y λ R, el espacio R es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los n´ umeros reales R. An´ alogamente, el conjunto CI de todas las funciones f : I C, dotado de las mismas operaciones, forma un espacio vectorial sobre el cuerpo de los n´ umeros complejos C. En ambos casos, los espacios vectoriales obtenidos no son finitamente generados ya que el conjunto formado por todos los monomios 1, t, t2 , t3 , . . . (restringidos al intervalo I) es un conjunto linealmente independiente en RI y en CI . Se prueba, utilizando el lema de Zorn, la existencia de bases (algebraicas), llamadas bases de Hamel, formadas por infinitos elementos para estos espacios. As´ı, todo elemento se puede escribir, de manera u ´nica, como una combinaci´ on lineal finita de los elementos de la base. Recordemos el enunciado del lema de Zorn: Todo conjunto ordenado no vac´ıo en el que todo subconjunto totalmente ordenado est´ a acotado superiormente, contiene al menos un elemento maximal. I

I

1.2

Generalizando las normas usuales de Rd o Cd

7

Proposici´ on 1.1 Todo conjunto linealmente independiente en RN (o RI ) est´ a contenido en una base de Hamel de dicho espacio. Demostraci´ on: Sea L un conjunto linealmente independiente (infinito) en RN (o RI ). Consideramos el conjunto L (no vac´ıo) formado por todos los subconjuntos linealmente independientes que contienen a L, ordenado con la relaci´ on de inclusi´ on. Si Li es un conjunto totalmente ordenado en L, su uni´ on i Li es una cota superior ya que es linealmente independiente (demu´estrese) y contiene a todos los Li . Por lo tanto, el lema de Zorn nos asegura la existencia de un elemento maximal B de L. Veamos que B es la base de Hamel que buscamos. Es linealmente independiente por la definici´ on de L. Adem´ as, genera cualquier elemento x del espacio; en caso contrario, el conjunto x B ser´ıa linealmente independiente, y contendr´ıa a B lo que contradice la maximalidad de B.

La prueba anterior es v´ alida para cualquier espacio vectorial que no est´e finitamente generado. As´ı, por ejemplo, existe una base de Hamel (infinita) del espacio vectorial de los n´ umeros reales R sobre el cuerpo Q de los n´ umeros racionales, aunque no se conoce expl´ıcitamente. El conjunto formado por los monomios 1, t, t2 , t3 , . . . consEjemplo 1.2 tituye una base de Hamel (numerable) del espacio vectorial P R de los polinomios de coeficientes reales sobre el cuerpo R de los n´ umeros reales.

1.2.

Generalizando las normas usuales de Rd o Cd

La introducci´ on de normas en Rd o Cd nos permite, desde un punto de vista cuantitativo, medir distancias entre vectores y desde un punto de vista cualitativo introducir el concepto de l´ımite. Recordemos que una norma en un espacio vectorial X sobre el cuerpo R o C, generalizaci´ on del valor absoluto en R o C, se define como una aplicaci´ on X R x x cumpliendo las siguientes propiedades: 1. x

0 para todo x

2. λx 3. x

X y x

λ x para todo x y

x

0 si y s´ olo si x

X yλ

y para todo x, y

R (o C), X.

0,

8

Cap´ıtulo 1

A modo de introducci´ on

Para todo x, y X se cumple que x y x y , por lo que una norma define una funci´ on uniformemente continua en X. Una norma induce una m´etrica en X definida por d x, y : x y x, y X , que es invariante por traslaci´ on, es decir, se cumple que d x, y cualquiera que sea z X. Las normas m´ as usuales en Rd o Cd , a saber: d

x

:

1

dx

z, y

z

d

xn ;

x

2

xn 2 ;

:

n 1

x

:

m´ ax xn ,

1 n d

n 1

donde x Rd o Cd , son generalizables a espacios de sucesiones y de funciones. As´ı, si x xn n 1 , podemos definir formalmente: x

1

:

xn ;

x

2

xn 2 ;

:

n 1

x

:

n 1

sup xn . n N

Obviamente, las cantidades anteriores no estar´ an definidas para cualquier sucesi´ on en RN o CN . Por tanto, cada uno de los valores anteriores estar´ a asociado a un subespacio espec´ıfico de sucesiones. Si definimos �1 N :

x

xn

n 1

CN tal que

xn

,

n 1

se comprueba f´ acilmente que �1 N es un subespacio vectorial de CN y que x 1 x � N define una norma. Se obtiene as´ı un espacio normado: Se denomina espacio normado X, Definici´ on 1.3 vectorial X dotado de una norma .

1

para

a un espacio

De la misma manera se definen los subconjuntos de CN : �2 N :

x

xn

n 1

CN tal que

xn

2

,

n 1

y �

N :

x

xn

n 1

CN tal que x est´ a acotada .

Recu´erdese que una sucesi´ on xn n 1 est´ a acotada si existe una constante K 0 tal que xn K para todo n N. Se prueba sin dificultad que � N es subespacio vectorial de CN y que � N , constituye un espacio normado.

1.3

Equivalencia de normas

9

En el cap´ıtulo 2 se probar´ a que �2 N es un subespacio vectorial de CN y que � N, a objeto 2 constituye un espacio normado de un tipo particular que ser´ de estudio a lo largo de este libro (v´eanse los ejemplos 2.5 y 2.37). 2

Se comprueba que �1 N

Ejemplo 1.4 ciones estrictas.

�2 N

N siendo las conten-

�

Considerando, por ejemplo, el intervalo I a, b , para funciones f : a, b C, las normas anteriores se generalizan definiendo formalmente: b

f

1

:

b

f t dt ;

f

:

2

2 dt ;

f t

a

f

:

sup f t . t a,b

a

Como en el caso anterior, estas cantidades no est´ an definidas para toda funci´ on f C a,b . Sin embargo est´ an definidas, por ejemplo, en el conjunto C a, b de las funciones continuas en el intervalo a, b . Se prueba sin dificultad que C a, b , 1 y C a, b , son espacios normados. En este u ´ltimo caso, como el intervalo es cerrado y acotado, el teorema de Weierstrass nos permite escribir f m´ axt a,b f t para cada f C a, b . En el cap´ıtulo 2 se probar´ a que C a, b , tambi´ en es un 2 espacio normado.

1.3.

Equivalencia de normas

Aunque las normas 1 , 2 y definidas en Rd o Cd son cuantitativamente diferentes, su comportamiento cualitativo es el mismo en el sentido de que dan origen a las mismas sucesiones convergentes. En un espacio normado X, se dice que una sucesi´ on xn n 1 X converge a un elemento x X si se verifica que xn x 0. El que las sucesiones convergentes en Rd sean independientes de n

que se utilice la normas relaciones entre ellas:

1,

2

Las normas Ejemplo 1.5 desigualdades (compru´ebese):

o

se debe a que se cumplen las siguientes 1,

2

x

x

2

x

x

1

x

x

1.

2

y

d x d x

Lo anterior nos lleva a la siguiente definici´ on:

de Rd satisfacen las siguientes

10

Cap´ıtulo 1

A modo de introducci´ on

Definici´ on 1.6 Dos normas a y b definidas sobre un mismo espacio vectorial X son equivalentes si existen dos constantes 0 m M tales que m x

x

a

M x

b

a

para todo x

X.

Proposici´ on 1.7 Todas las normas definidas sobre Rd (o Cd ) son equivalentes. Demostraci´ on: Sea ρ : Rd R una norma cualquiera en Rd ; veamos que ρ es d d d continua en R cuando en R consideramos la norma 1 . Si en n 1 denota la d d d d base can´ onica de R , para x n 1 x n en y a n 1 an en en R se verifica que d

ρx

ρa

ρx

a

d

ρ

xn

a n en

xn

n 1

siendo K

a n ρ en

K x

a

1

,

n 1

m´ ax ρ en , de donde se deduce la continuidad de ρ. Como el conjunto

1 n d d

S : x R x 1 1 es un conjunto cerrado y acotado (compacto) en Rd , la funci´ on ρ, aplicando el teorema de Weierstrass, tiene un m´ınimo y un m´ aximo absolutos en S. Es decir, existen constantes m y M y puntos x1 , x2 S tales que m

ρ x1

ρx

M

ρ x2

para todo x

Como x1 0, necesariamente se cumple que 0 nulo, como x x 1 1 1 se tendr´ a que m

ρ

x x 1

y por lo tanto, las normas ρ y x

m

M

m x

1

son equivalentes.

1

ρx

S.

M . Ahora bien, si x

M x

1

Rd no

,

En espacios normados de dimensi´ on infinita el resultado anterior deja de ser cierto. Ve´ amoslo mediante un ejemplo. Para 0 δ 1 se define la funci´ on fδ : 0, 1 R como

δ2

t δ3

fδ t 0

si t

0, δ 2 ,

si t

δ2 , 1 .

Figura 1.1: Gr´ afico de fδ

1.4

Sucesiones de Cauchy: completitud

Las funciones de la familia fδ pecto de las normas 1, 2 y fδ

1

δ ; 2

2 0

tienen el siguiente comportamiento resdefinidas en C 0, 1 :

0 δ 1

δ2

fδ

11

δ2

t δ3

2

1 ; 3

dt

fδ

1 . δ

Por tanto, en espacios normados de dimensi´ on infinita el concepto de convergencia est´ a ´ıntimamente ligado con la norma escogida en el espacio. As´ı, la convergencia en norma 1 se denomina convergencia en media, la convergencia en norma atica y la convergencia en norma 2 se denomina convergencia en media cuadr´ coincide con la convergencia uniforme, en el dominio de definici´ on de las funciones. La no equivalencia de las normas en espacios de dimensi´ on infinita hace tambi´en que los conjuntos acotados sean diferentes seg´ un las normas escogidas. En un espacio normado X, , un subconjunto A X es acotado si existe una constante K 0 tal que x K para todo x A. 1

El conjunto A f C 0, 1 : 0 f t dt 1 est´ a acotado Ejemplo 1.8 por 1 ( f 1 1) con respecto a la norma . No est´ a acotado con respecto a la 1 norma f m´ axt 0,1 f t ya que las funciones fδ A para δ 2, y sin embargo fδ cuando δ 0.

1.4.

Sucesiones de Cauchy: completitud

El concepto de sucesi´ on de Cauchy en un espacio normado cualquiera X, se define de manera an´ aloga a como se define en R. As´ı, decimos que una sucesi´ on xn n 1 en un espacio normado X, es una sucesi´ on de Cauchy si se verifica que xn xm 0 cuando n, m . Un espacio normado X, se dice que es un espacio completo (o de Banach) si toda sucesi´ on de Cauchy es convergente, es decir, dada una sucesi´ on de Cauchy xn n 1 en X, , existe x X tal que xn x 0 cuando n . Los espacios finito dimensionales Rd o Cd son espacios completos cualquiera que sea la norma considerada. Proposici´ on 1.9 El espacio normado �1 N ,

1

es completo.

Demostraci´ on: Sea x n n 1 una sucesi´ on de Cauchy en �1 N , 1 y supongan n mos que, para cada n N, se tiene que x xk k 1 . Dado ε 0 existir´ a n0 N n m tal que para todos n, m n0 se verifica que k 1 xk xk ε. En particular,

12

Cap´ıtulo 1

A modo de introducci´ on

n

para cada k fijo la sucesi´ on de n´ umeros xk n 1 ser´ a de Cauchy y por lo tanto n convergente. Sea xk : l´ımn xk y denotemos por x la sucesi´ on x : xk k 1 . Veamos que x �1 N y que la sucesi´ on x n n 1 converge a x. Fijamos N N y sea n n0 . Se cumple que N

N

xk k 1

de donde k 1 xk N N N, la suma k para todo n n0 .

n

xk k 1

N

xk

n

xk

ε

x

n

1

,

k 1

y por tanto x �1 N . Adem´ as, del hecho de ser, para cada xk ε para todo n n0 , se deduce que x n x 1 ε

n 1 xk

Tambi´en se puede probar que los espacios normados �2 N , ease el 2 (v´ ejemplo 2.37 del cap´ıtulo 2) y � N , son espacios normados completos. Sin embargo, no todos los espacios normados son completos:

Figura 1.2: Sucesi´ on de Cauchy no convergente en C 0, 1 , Veamos que el espacio normado Ejemplo 1.10 Bastar´ a encontrar una sucesi´ on de Cauchy en C 0, 1 , Para n 3 definimos la sucesi´ on xn de funciones figura 1.2): 0 si 0 t xn t nt n2 1 si 12 n1 1 si 12 t

1

C 0, 1 , 1 no es completo. 1 que no sea convergente. continuas en 0, 1 (v´ease la 1 2

t 1.

1 n, 1 2,

1.4

Sucesiones de Cauchy: completitud

Para n

13

m se comprueba inmediatamente que xn

xm

1

1 1 2 m

1 n

1 n

1 , m

por lo que la sucesi´ on xn es de Cauchy en C 0, 1 , 1 . Supongamos que existe x C 0, 1 tal que xn x 1 0 cuando n . Como xn

x

1 2

1 n

1

x t dt

1 2 1 2

0

de la tercera integral se deduce que x t en 0, 1 2 , de donde x C 0, 1 .

1 1 n

xn t

x t dt

1

x t dt ,

1 2

1 en 1 2, 1 y de la primera que x t

0

De la misma forma que el conjunto Q de los n´ umeros racionales se completa (a˜ nadi´endole los l´ımites de todas las sucesiones de Cauchy) para obtener el conjunto R de los n´ umeros reales, un espacio completo, el espacio C 0, 1 , 1 puede ser completado. Denotaremos dicho completado como el espacio L1 0, 1 , 1 . Este espacio se puede describir, intuitivamente, como el espacio de las funciones absolutamente integrables en el intervalo 0, 1 : 1

L1 0, 1 :

f : 0, 1

C :

f t dt

.

0

El concepto de integral que se est´ a utilizando aqu´ı es el de Lebesgue que es m´ as 1 general que el de Riemann. Que f 1 f t dt defina, efectivamente, una norma 0 en L1 0, 1 requiere ciertos detalles t´ecnicos que aparecer´ an en el cap´ıtulo 2 y que se formalizar´ an en el ap´endice. El espacio normado C 0, 1 , Ejemplo 1.11 2 tampoco es completo. La misma sucesi´ on del ejemplo anterior (v´ease la figura 1.2) es de Cauchy en C 0, 1 , ease el ejemplo 2.35). Su espacio completado 2 y sin embargo no es convergente (v´ es, intuitivamente, el espacio de funciones de cuadrado integrable 1

L2 0, 1 :

f : 0, 1

C :

f t

2

dt

,

0

con las mismas precisiones que en el ejemplo anterior. De hecho, se verifica que f L2 0, 1 si y s´ olo si f 2 L1 0, 1 . Si consideramos en el espacio C 0, 1 la norma tante s´ı que es completo: Proposici´ on 1.12 El espacio normado C 0, 1 ,

, el espacio normado resul-

es un espacio completo.

14

Cap´ıtulo 1

A modo de introducci´ on

Demostraci´ on: Sea xn n 1 una sucesi´ on de Cauchy en C 0, 1 , . Dado ε 0 existir´ a n0 N tal que xn xm m´ axt 0,1 xn t xm t ε para todos m, n n0 . En particular, para cada t 0, 1 , la sucesi´ on xn t n 1 es una sucesi´ on de Cauchy de n´ umeros reales (o complejos), que converger´ a hacia un n´ umero que denotamos por x t . Adem´ as, si m se obtiene que m´ ax xn t

t 0,1

lo que implica que xn xn

x

n

xt

ε,

para todo n

n0 ,

x uniformemente en 0, 1 por lo que x

n

0.

C 0, 1 y

El espacio P 0, 1 de los polinomios definidos en 0, 1 , dotado Ejemplo 1.13 de la norma , no es un espacio completo. En efecto, sabemos que et n

tn n! 0

uniformemente en 0, 1 ,

y, obviamente, la funci´ on exponencial et

1.5.

P 0, 1 .

Otras diferencias esenciales

En un espacio normado X, , exactamente igual a como se hace en Rd , se pueden introducir los mismos conceptos topol´ ogicos: conjuntos abiertos, cerrados, compactos, etc. as´ı como aplicaciones continuas. Por ejemplo: Se define la bola abierta de centro a B a; r :

x

X y radio r

X :

Figura 1.3: B 0; 1 en R2 para

x

a

1,

0 como r .

2

y

1.5

Otras diferencias esenciales

15

Se dice que un subconjunto U X es un conjunto abierto si dado cualquier punto a U existe una bola abierta B a; r totalmente contenida en U . Un subconjunto F X es un conjunto cerrado si su complementario X F es un conjunto abierto. Un subconjunto A X es un conjunto compacto en X si todo recubrimiento de A formado por conjuntos abiertos admite un subrecubrimiento finito. Una aplicaci´ on f : X C es continua en un punto a X si se verifica que: Dado ε 0 existe δ 0 tal que si x a δ, entonces f x f a ε. Aunque estos conceptos sean iguales para espacios de dimensi´ on finita o infinita, existen diferencias esenciales entre ambos tipos de espacios. Sin ´ animo de ser exhaustivos, veamos algunos ejemplos relevantes: El teorema de Heine-Borel caracteriza los conjuntos comEjemplo 1.14 pactos de Rd : son los conjuntos cerrados y acotados. Este resultado no es cierto en dimensi´ on infinita. Consideremos en el espacio normado �1 N , 1 el conjunto A: x �1 N : x 1 1 . Este conjunto es cerrado y acotado en �1 N , 1 (pru´ebese); adem´ as contiene a la sucesi´ on en n 1 , donde en : δn,k k 1 . Sin embargo no es compacto ya que el recubrimiento formado por las bolas abiertas B x; 1 2 x A no admite un subrecubrimiento finito. Esto es debido a que cada una de las bolas anteriores contiene a lo m´ as un u ´nico elemento de la sucesi´ on en n 1 ya que si para k m se tiene que ek , em B x; 1 2 , entonces 2

ek

em

1

ek

x

1

x

em

1

1 2

1 2

1,

lo que es una contradicci´ on. En conexi´ on con el ejemplo anterior, tampoco se cumple Ejemplo 1.15 el teorema de Bolzano-Weierstrass que dice que de toda sucesi´ on acotada se puede extraer una subsucesi´ on convergente. La sucesi´ on en n 1 del ejemplo anterior est´ a acotada pero, sin embargo, no puede tener ninguna sucesi´ on convergente ya que ek em 1 2 para k m; ninguna subsucesi´ on ser´ a sucesi´ on de Cauchy y, por lo tanto, no podr´ a ser convergente. N´ otese que toda sucesi´ on convergente es de Cauchy.

La continuidad de una aplicaci´ on en un punto depende de la Ejemplo 1.16 norma utilizada en el espacio. Por ejemplo, definimos la aplicaci´ on: T :

�1 N a an

C n 1

an

16

Cap´ıtulo 1

A modo de introducci´ on

N´ otese que esta aplicaci´ on es lineal, es decir, cumple, debido a las propiedades de las series num´ericas, que T αa βb αT a β T b para todos α, β C y a, b �1 N . Estudiemos la continuidad de T en el punto 0 cuando dotamos a �1 N de la norma 0 la continuidad en 0 significa que: 1 . Como T 0 Dado ε

0 existe δ

0 tal que si a

δ entonces T a

1

ε.

La continuidad de T en el punto 0 se deduce de la desigualdad T a

an

an

n 1

a

1

.

n 1

Basta coger δ ε. Sin embargo, si dotamos a �1 N de la norma , la aplicaci´ on T deja de ser continua en el punto 0. En efecto, considerando las sucesiones 1 1 1 , , . . . , , 0, 0, . . . N N N

aN :

(N t´erminos no nulos)

se tiene que 1 N

aN

N

0

N

mientras que

T aN n

1 N 1

1.

El resultado probado sigue siendo cierto si se sustituye el punto 0 por un punto cualquiera, ¿por qu´e? En Rd existe un conjunto denso (su clausura es todo Rd ) y numerable. Por ejemplo, el conjunto A : q 1 , q2 , . . . , q d Rd : q i Q , 1 i d . Un espacio normado X, se dice que es un espacio separable si existe un subconjunto denso y numerable A en X. La densidad de A en X es equivalente a decir que, para todo x X y todo r 0 se verifica que B x; r A . El espacio �1 N , Ejemplo 1.17 1 es un espacio separable. Para probarlo, consideremos el siguiente conjunto de �1 N formado con las sucesiones em δm,k k 1 : A:

c 1 e1

...

c n en : n

N y Re ck , Im ck

Q para todo k

.

El conjunto A es numerable al serlo Q; veamos que es denso en � N . Para ello, dados x xk k 1 �1 N y r 0 probemos que B x; r A . Como x �1 N existir´a N N tal que k N 1 xk r 2; por la densidad de Q en R existir´ an n´ umeros complejos c1 , . . . , cN , con partes real e imaginaria racionales, tales que xk c k r 2N . Sea y : c1 e1 . . . cN eN A. Como 1

N

x

y

xk

1 k 1

ck

xk k N 1

N

r 2N

r 2

r,

1.6

Generalizando los espacios eucl´ıdeos

se cumple que y

17

B x; r .

El espacio � N , no es un espacio separable. SuponEjemplo 1.18 1 gamos que lo fuera y denotemos por A : x , x 2 , . . . , x n , . . . un subconjunto denso y numerable de � N . Consideremos por otra parte el conjunto B:

x

xk

k 1

�

N

: xk

N .

0 o 1, k

Sabemos que el conjunto B no es numerable. Adem´ as, como x y 1 para x y en B, la bola abierta B x n ; 1 2 contiene, a lo m´ as, un u ´nico elemento de B. Consecuentemente, existir´ a un x B tal que x B x n ; 1 2 , para todo n N. As´ı, 1 2 n x ,x ,...,x ,... B x; 1 2 , y por lo tanto, el conjunto A no puede ser denso en � N .

1.6.

Generalizando los espacios eucl´ıdeos

Sabemos que la norma x 2 x21 x22 . . . x2d en Rd proviene del producto escalar (producto interno) x y x1 y1 x2 y2 . . . xd yd en el sentido de que x 2 x x. Un producto escalar permite introducir el concepto de ortogonalidad y de ´ angulo entre vectores, permitiendo generalizar, a estos espacios, denominados espacios eucl´ıdeos, muchos resultados de la geometr´ıa plana como el teorema de Pit´ agoras, la identidad del paralelogramo o la proyecci´ on ortogonal. Recu´erdese que en todo paralelogramo se verifica que la suma de los cuadrados de las longitudes sus lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus diagonales:

2 x

2

y

2

x

y

2

x

y

2

En particular, el concepto de base ortonormal e1 , e2 , . . . , ed , es decir, una base cuyos vectores verifican que en em δn,m (condici´ on de ortonormalidad) y que permite escribir todo vector x Rd mediante la expresi´ on: x

x e 1 e1

x e2 e . . .

x eN ed ,

cumpli´endose por tanto que x

2 2

x e1

2

x e2

2

...

x ed

2

.

18

Cap´ıtulo 1

A modo de introducci´ on

Lo mismo ocurre con la norma x 2 x1 2 x2 2 . . . xd 2 en Cd , que proviene del producto escalar x y x1 y1 x2 y2 . . . xd yd . Son los denominados espacios unitarios o herm´ıticos. Lo anterior se puede generalizar a espacios infinito dimensionales, reales o complejos. As´ı, por ejemplo, la norma x del producto interno definido por x, y

2

n 1

x n yn ,

xn

2

definida en �2 N proviene

�2 N .

x, y

n 1

An´ alogamente, la norma f ducto interno definido como

2

b a

:

f t

2 dt

definida en C a, b proviene del pro-

b

f, g

f t g t dt ,

C a, b .

f, g

a

El estudio de espacios vectoriales, infinito dimensionales, dotados de un producto interno, esto es, de los denominados espacios prehilbertianos es el tema de estudio en los restantes cap´ıtulos de este libro. Como todo producto interno induce, mediante la expresi´ on x x, x una norma, los espacios prehilbertianos son casos particulares de espacios normados. As´ı, podemos hablar de espacios prehilbertianos completos que son los denominados espacios de Hilbert. Como veremos en el cap´ıtulo 2, la identidad del paralelogramo caracteriza a todas las normas que provienen de un producto interno. Una cuesti´ on importante es la relativa a la generalizaci´ on del concepto de base ortonormal. Como apuntamos anteriormente, las bases de Hamel s´ olo tienen una importancia te´ orica: en la mayor´ıa de los casos s´ olo se sabe de su existencia. Sin embargo, en un espacio de Hilbert separable H tiene sentido el preguntarse sobre la existencia de bases ortonormales numerables en n 1 , es decir, que cumplan en , em

δn,m ,

y

x

x, en en ,

para todo x

n 1

H.

El concepto de base ortonormal generaliza el concepto de base ortonormal en un espacio eucl´ıdeo; ahora bien, como cada vector x H se expresa como una serie, aparece relacionado el concepto de convergencia en H. Como veremos en el cap´ıtulo 4 todo espacio de Hilbert separable admite una base ortonormal numerable. El concepto de base ortonormal tiene su antecedente hist´ orico en las series de Fourier cl´ asicas que permiten descomponer toda funci´ on 2π peri´ odica f , perteneciente al espacio L2 π, π , como suma de todos sus arm´ onicos cn eint

f n

donde

cn

1 2π

π

f te π

int

dt , n

Z,

1.7

Lo que viene a continuaci´ on

19

cumpli´endose que f 22 2π n cn 2 . Un estudio introductorio a las series de Fourier cl´ asicas ser´ a el objetivo del cap´ıtulo 5.

1.7.

Lo que viene a continuaci´ on

En este cap´ıtulo introductorio se han puesto de manifiesto algunas diferencias entre los espacios normados de dimensi´ on finita o infinita. As´ı se impone la necesidad de un estudio m´ as profundo de estas cuestiones que, como dijimos al comenzar el cap´ıtulo, corresponde a una disciplina de las matem´ aticas denominada An´ alisis Funcional. En lo que sigue a continuaci´ on, nos vamos a limitar al estudio de un caso particular, aunque muy importante, de espacios normados y a sus ejemplos m´ as importantes. El cap´ıtulo 2 est´ a dedicado al estudio de las propiedades geom´etricas y topol´ ogicas de los espacios normados cuya norma procede de un producto interno: son los espacios prehilbertianos. Estos espacios generalizan, en dimensi´ on infinita, a los espacios eucl´ıdeos. Un espacio prehilbertiano que sea completo para la norma inducida recibe el nombre de espacio de Hilbert. En los espacios prehilbertianos se generaliza, en muchos casos, el concepto de proyecci´ on ortogonal. De esta manera podremos obtener aproximaciones, en media cuadr´ atica, mediante elementos m´ as f´ aciles de manejar. Este ser´ a el objetivo del cap´ıtulo 3. Como se anunciaba en la secci´ on anterior, en los espacios de Hilbert se generaliza el concepto de base ortonormal. De hecho, se probar´ a que todo espacio de Hilbert separable tiene una base ortonormal numerable. Desde el punto de vista de las aplicaciones, lo interesante ser´ a disponer de estas bases ortonormales de manera expl´ıcita. Al estudio de las bases ortonormales estar´ a dedicado el cap´ıtulo 4. Un ejemplo muy importante de desarrollo en bases ortonormales lo constituyen los desarrollos en series de Fourier cl´ asicas: como bases ortonormales se tomas exponenciales complejas, o de manera equivalente, senos y cosenos. Un estudio sobre las propiedades m´ as importantes de estas series se lleva a cabo en el cap´ıtulo 5. El cap´ıtulo 6 est´ a dedicado al estudio de las aplicaciones lineales continuas entre espacios de Hilbert. Estos operadores ser´ıan la generalizaci´ on de los operadores dados por matrices entre espacios eucl´ıdeos o unitarios. Como se ha visto en este cap´ıtulo introductorio, no toda aplicaci´ on lineal entre espacios de Hilbert es continua. El estudio de los operadores lineales continuos entre espacios de Hilbert abre un panorama completamente diferente del caso finito dimensonal.

20

Cap´ıtulo 1

A modo de introducci´ on

En particular, en lo que respecta al c´ alculo del espectro de un operador que da origen a la denominada Teor´ıa Espectral, que no se tratar´ a en este libro. Aqu´ı nos limitaremos solo al estudio de los an´ alogos de las matrices traspuestas, unitarias, de proyecci´ on, etc. que aparecen en caso finito dimensional. El cap´ıtulo 7 est´ a dedicado a un estudio introductorio de ciertos operadores que constituyen una herramienta b´ asica para muchos campos de la matem´ atica, f´ısica o ciencia en general. Nos referimos a la transformada de Fourier y a los operadores de convoluci´ on. Para finalizar, el cap´ıtulo 8 est´ a dedicado a un estudio introductorio de un tipo particular de espacios de Hilbert de funciones: los espacios de Hilbert con n´ ucleo reproductor. Como ejemplo ilustrativo se estudian, en particular, los espacios de Paley-Wiener en los que se cumple el famoso teorema de muestreo de Shannon. A lo largo del libro aparecen ciertos detalles t´ecnicos, relacionados con la integraci´ on de Lebesgue, que se salvan de una manera formal. Aunque su conocimiento no es imprescindible para poder seguir la mayor´ıa de los contenidos de este libro, se ha decidido incluir un ap´endice en el que se introducen, de manera somera, los fundamentos y resultados m´ as importantes de la integral de Lebesgue. Tambi´en se comparan con los de la integral de Riemman.

Cap´ıtulo 8

Espacios de Hilbert con n´ ucleo reproductor En este cap´ıtulo estudiaremos ciertos espacios de Hilbert de funciones para los que los funcionales evaluaci´ on son continuos. En estos espacios, denominados espacios de Hilbert con n´ ucleo reproductor (RKHS por sus siglas inglesas: reproducing kernel Hilbert spaces), las propiedades anal´ıticas y geom´etricas est´ an, como veremos, muy interrelacionadas. A lo largo de este cap´ıtulo denotaremos por H un espacio de Hilbert de funciones f : Ω C (Ω ser´ a generalmente un subconjunto de R o C) dotado de un producto interno , . Para cada t Ω, la aplicaci´ on C

Et : H f

Et f

f t ,

denotar´ a el funcional evaluaci´ on en t,

8.1.

Espacios de Hilbert con n´ ucleo reproductor

Diremos que un espacio de Hilbert H de funciones defiDefinici´ on 8.1 nidas en un conjunto Ω es un espacio de Hilbert con n´ ucleo reproductor si todos los funcionales evaluaci´ on son acotados en H. En otras palabras, para cada t Ω existe una constante positiva Mt tal que f t Mt f , para toda funci´ on f H. 169

170

Cap´ıtulo 8

RKHS

Para cada t Ω, por el teorema de representaci´ on de Riesz 6.16 existe un u ´nico elemento kt H tal que f t f, kt para todo f H. Lo anterior nos lleva a la definici´ on de n´ ucleo reproductor en H: La funci´ on k : Ω

Definici´ on 8.2

k t, s :

k s , kt

Ω

ks t ,

C definida mediante t, s

Ω

Ω,

se denomina n´ ucleo reproductor de H. De la definici´ on del n´ ucleo reproductor k se deduce que: Para cada s

Ω fijo, la funci´ on k , s

ks

pertenece a H.

Se verifica la propiedad reproductora de H: f s

Hy s

f, k , s , para todo f

Ω.

(8.1)

Proposici´ on 8.3 Sea H un espacio de Hilbert de funciones definidas en Ω tal que existe una funci´ on k cumpliendo las dos propiedades anteriores. Entonces, H es un RKHS. Demostraci´ on: En efecto, basta aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz a la propiedad reproductora (8.1) para probar que cada funcional evaluaci´ on Et es acotado.

Proposici´ on 8.4 El n´ ucleo reproductor k de un espacio RKHS es u ´nico. Demostraci´ on: Supongamos que k t, s Para t, s Ω se tendr´ıa que ks t

k s , kt

de donde se deduce que k

k t , ks

ks t fuese otro n´ ucleo reproductor. kt s

k s , kt

ks t ,

k.

Si conocemos una base ortonormal en t expresi´ on para k:

n 1

en H es f´ acil encontrar una

8.1

Espacios de Hilbert con n´ ucleo reproductor

171

Proposici´ on 8.5 Sea en t n 1 una base ortonormal de H. Para cada t, s tiene la siguiente expresi´ on del n´ ucleo reproductor k t, s

Ω se

en t en s . n 1

Demostraci´ on: Desarrollando kt y ks en la base ortonormal en t obtiene que kt n 1 k t , en e n y k s n 1 ks , en en , de donde k t, s

k s , kt

k s , en

k t , en

n 1

n 1

de H se

en s en t . n 1

El siguiente resultado es una propiedad importante de los espacios de Hilbert con n´ ucleo reproductor que nos relaciona la convergencia en norma con la convergencia puntual en Ω: En un espacio de Hilbert con n´ ucleo reproductor H Proposici´ on 8.6 la convergencia en norma implica convergencia puntual en Ω, que es uniforme en subconjuntos de Ω en donde la funci´ on t k t, t est´e acotada. Demostraci´ on: Sea fn una sucesi´ on en H tal que fn f cuando n . Aplicando la propiedad reproductora (8.1) a la funci´ on fn f H obtenemos que fn t f t fn f, k , t . Finalmente, la desigualdad de Cauchy-Schwarz nos permite escribir fn t

f t

fn

f

k ,t

k t, t

fn

f

0 , cuando n

.

Adem´ as, la convergencia puntual ser´ a uniforme en subconjuntos de Ω en donde k t, t est´e acotado.

Supongamos que nuestro espacio de Hilbert con n´ ucleo reproductor H es un subespacio (cerrado) de un espacio de Hilbert H (no necesariamente con n´ ucleo reproductor). En este caso, se cumple el siguiente resultado: Proposici´ on 8.7 Si el espacio de Hilbert con n´ ucleo reproductor H es un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert H. Entonces f, k , s

PH f s

para toda funci´ on f

donde PH denota la proyecci´ on ortogonal sobre H.

H,

172

Demostraci´ on: Dada f donde f, k , s ya que f2

f1

H escribimos f

f2 , k , s

k , s y f1

f1

f1 , k , s

Cap´ıtulo 8

RKHS

H y f2

H , de

f2 con f1 f2 , k , s

f1 s

PH f s ,

H.

Supongamos que existe una sucesi´ on tn n 1 en Ω tal que k , tn n 1 es una base ortogonal de H. Existe una f´ ormula en H que nos permite recuperar cada funci´ on f H a partir de la sucesi´ on de sus muestras f tn n 1 : (F´ ormula de muestreo en un RKHS) Proposici´ on 8.8 Supongamos que la sucesi´ on k , tn n 1 es base ortogonal de H para cierta sucesi´ on tn n 1 Ω. Entonces, para cada f H se verifica la f´ ormula de muestreo k t, tn f t f tn , t Ω. (8.2) k tn , tn n 1 La convergencia de la serie es absoluta y uniforme en subconjuntos de Ω en donde la fucni´ on t k t, t est´e acotada. Demostraci´ on: En primer lugar, normalizamos la sucesi´ on k , tn n 1 dividiendo cada elemento por su norma k , tn k tn , tn . Dada f H, la desarrollamos en la base ortonormal

k , tn

k tn , tn

obteniendo n 1

f

f, k , tn n 1

k tn , tn

k , tn

k tn , tn

f tn n 1

k , tn k tn , tn

en H .

El resultado sobre la convergencia uniforme se obtiene de la proposici´ on 8.6. La convergencia absoluta se deduce del hecho de que la convergencia de la serie (8.2) es incondicional: una base ortonormal lo es independientemente del orden de sus elementos (v´ease la nota posterior a la definici´ on 4.12).

8.2.

Algunos ejemplos de RKHS

En esta secci´ on estudiaremos tres ejemplos importantes de RKHS, ilustrando las propiedades obtenidas en la secci´ on anterior.

8.2

Ejemplos de RKHS

173

El espacio �2 N con su producto interno est´ andar Ejemplo 8.9 2 Toda sucesi´ on a � N puede considerarse una funci´ on definida en Ω : N. Trivialmente, los funcionales evaluaci´ on son acotados ya que se cumple que, para cada m N, am a 2 . Por lo tanto, el espacio de sucesiones �2 N con su producto interno est´ andar es un RKHS. Sabemos que en n 1 , con en δn,k k 1 , es una base ortonormal de �2 N ; su n´ ucleo reproductor ser´ a k m, n

en , em

δm,n

(delta de Kronecker) .

Este ejemplo pone de manifiesto que los operadores unitarios (isometr´ıas lineales biyectivas) no conservan la estructura de espacio de Hilbert con n´ ucleo reproductor. N´ otese que el espacio de Hilbert L2 0, 1 no es un espacio de Hilbert con n´ ucleo reproductor; ni tan siquiera tiene sentido hablar de los funcionales evaluaci´ on en ´el.

El espacio de Hardy en el disco unidad Ejemplo 8.10 Sea D : z C : z 1 el disco unidad en el plano complejo; el espacio de Hardy en el disco D se define como las funciones anal´ıticas en D cuyos coeficientes de Taylor alrededor de z 0 son de cuadrado sumable en N0 : N 0 ; es decir, H2 D :

f :D

cn z n con cn

C : f z

n 0

� 2 N0

.

n 0

El espacio H 2 D es un espacio de Hilbert dotado del producto interno: f, g :

an z n y g z

an bn donde f z n 0

n 0

bn z n . n 0

As´ı, el operador U : � 2 N0

H2 D

cn

U cn

cn z n , n 0

es un operador unitario. Como U en z n , n N0 , se obtiene que la sucesi´ on de monomios z n : z 1 n 0 es una base ortonormal del espacio H 2 D . Adem´ as, el espacio H 2 D es un espacio de Hilbert con n´ ucleo reproductor ya que, para cada β D, el funcional evaluaci´ on en β se escribe, para cada f H 2 D , n n como f β f, kβ donde kβ z ucleo reproductor, por la n 0 β z . Su n´ proposici´ on 8.5, es k z, w

wn z n

k w , kz n 0

1 1 zw

(n´ ucleo de Szeg¨ o) .

174

Cap´ıtulo 8

Los polinomios trigonom´ etricos de grado Ejemplo 8.11 El espacio de los polinomios trigonom´etricos de periodo 2π y grado como

RKHS

N N se define

N

HN :

ck eikt : ck k

C2N

1

.

N

El espacio HN es un subespacio de dimensi´ on 2N 1 del espacio de Hilbert L2 π, π , N del cual hereda su producto interno. Las funciones eikt 2π k N forman una base ortonormal de HN . Como en los espacios de dimensi´ on finita todos los operadores lineales son acotados, el espacio HN es un RKHS. Utilizando la proposici´ on 8.5, su n´ ucleo reproductor vendr´ a dado por N

kN t, s k

N

eikt e iks 2π 2π

1 2π

N

eik k

t s

DN t

s ,

N

donde DN denota el n´ ucleo de Dirichlet N -´esimo (v´ease la proposici´ on 5.7). Para cada f L2 π, π , utilizando la proposici´ on 8.7 se obtiene que f, kN , s

SN s ,

donde SN denota la suma parcial N -´esima de la serie de Fourier de f respecto de la base ortonormal eikt 2π k de L2 π, π . Veamos ahora c´ omo se obtiene, utilizando la proposici´ on 8.8, una f´ ormula interpolatoria para los polinomios trigonom´etricos ya conocida por Cauchy en 1841. En este caso, necesitamos una sucesi´ on de puntos tn N π, π tal que n N en kN , tn , kN , tm

kN tm , tn δn,m .

Observando la expresi´ on de kN t, s que nos da la proposici´ on 5.8, bastar´ıa escoger 2πn 1 los puntos tn , N n N , para los que k t , tn 1 δm,n . N m 2N 1 2π 2N Finalmente, la f´ ormula de muestreo (8.2), permite escribir cada polinomio trigonom´etrico p HN como pt

8.3.

N

1 2N

1n

p N

2πn sen 2N2 1 t 2N 2πn 1 1 2πn 2N 1 sen 2 t 2N 1

Espacios de Paley-Wiener

,

t

π, π .

8.3

Espacios de Paley-Wiener

175

Un ejemplo de espacio RKHS de especial relevancia est´ a constituido por las funciones de L2 R bandalimitadas a un cierto intervalo centrado en el origen πσ, πσ . Decimos que una funci´ on f L2 R es bandalimitada (o de banda limitada) al intervalo πσ, πσ si su transformada de Fourier f se anula fuera de dicho intervalo (en lo que sigue, notaremos la transformada de Fourier de f L2 R como f o Ff indistintamente). Estas funciones, b´ asicas en teor´ıa de la se˜ nal, modelizan se˜ nales de energ´ıa finita que no contienen frecuencias m´ as all´ a de la frecuencia πσ. A lo largo de la secci´ on supondremos que σ 1. En la literatura matem´ atica, el espacio de funciones bandalimitada al intervalo π, π , reciben el nombre de espacio de Paley-Wiener P Wπ . Es decir P Wπ :

L2 R : f

f

0 fuera de

π, π

.

El espacio P Wπ es un subespacio cerrado de L2 R ya que P Wπ F 1 L2 π, π , en donde se ha identificado el espacio L2 π, π con el subespacio cerrado de L2 R que resulta de extender a todo R, por 0, las funciones de L2 π, π , y la transformada de Fourier inversa F 1 es un operador unitario en L2 R . Dada f P Wπ , utilizando la transformada de Fourier inversa F 1 se obtiene la representaci´ on: f t

π

1 2π

f w eiwt dw

f,

e

π

iwt

2π

L2

π,π

,

t

R,

(8.3)

de donde, aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la igualdad de Parseval f f , se obtiene, para cada t R, que f t

f

e

iwt

f ,

2π

f

P Wπ .

Por tanto, el espacio P Wπ es un espacio de Hilbert con n´ ucleo reproductor. Su n´ ucleo sen π t s reproductor es kπ t, s ya que por el teorema de Plancherel-Parseval π t s 7.34 se tiene que f s

f,

iws

e

2π

L2

f,

π,π

sen π π

s s

,

s

R,

donde hemos utilizado que F Como la sucesi´ on

e

1

e

iws

2π

χ

inw

2π

n

operador unitario, deducimos que:

π,π

w

t

sen π t s . π t s

es una base ortonormal de L2

π, π y F

1

un

176

Cap´ıtulo 8

RKHS

sen π t n , de los trasladados en los enteros π t n n de la funci´ on seno cardinal, es una base ortonormal del espacio de Paley-Wiener P Wπ . Corolario 8.12 La sucesi´ on

Teniendo en cuenta que kπ t, t 1 para todo t R, la proposici´ on 8.8 nos proporciona, en este caso, el famoso teorema de muestreo de Shannon: (Teorema de muestreo de Shannon) Teorema 8.13 Toda funci´ on f P Wπ , i.e., bandalimitada al intervalo π, π , puede recuperarse a partir de la sucesi´ on de sus muestras f n n mediante la f´ ormula de muestreo sen π t n f t f n , t R. (8.4) π t n n La convergencia de la serie es absoluta y uniforme en R. Otra demostraci´ on de teorema anterior, es la siguiente: dada una funci´ on f P Wπ , desarrollamos su transformada de Fourier f L2 π, π con respecto a la base ortonormal e

f

inw

f, n

e

2π inw

2π

de L2

n

e

π, π obteniendo:

inw

2π

f n n

e

inw

2π

en L2

π, π .

Aplicando la transformada de Fourier inversa F 1 y teniendo en cuenta que P Wπ es un RKHS, de la proposici´ on 8.6 se obtiene de nuevo la f´ ormula de muestreo de Shannon. La f´ ormula de muestreo de Shannon es un desarrollo ortonormal en el espasen π t n cio P Wπ con respecto a la base . La identidad de Parseval π t n n correspondiente al desarrollo (8.4) nos dice que f

2

f n

2

,

f

P Wπ ,

n

es decir, toda la energ´ıa Ef : f 2 de la se˜ nal bandalimitada f nida en la sucesi´ on de sus muestras f n n .

P Wπ est´ a conte-

La aplicaci´ on de la proposici´ on 8.5 en este caso proporciona la siguiente igualdad para el n´ ucleo reproductor de P Wπ

8.3

Espacios de Paley-Wiener

177

Corolario 8.14 Se tiene que sen π t s π t s

sen π t n sen π s n , π t n π s n

n

t, s

R.

Como P Wπ es un RKHS contenido en L2 R , la proposici´ on 8.7 aporta una expresi´ on para la proyecci´ on ortogonal de L2 R sobre P Wπ : L2 R se tiene que

Corolario 8.15 Si f PP W π f s

f,

sen π π

s

f

s

senc

s ,

s

R.

Finalizamos el cap´ıtulo con algunos comentarios y generalizaciones sobre el teorema de muestreo de Shannon: Lo importante del teorema de muestreo anterior es que las muestras est´ an equiespaciadas, con un periodo de muestreo Ts 1, y no que ´estas se tomen precisamente en los enteros. De hecho, toda funci´ on f P Wπ se puede recuperar a partir de la sucesi´ on de sus muestras f n a n , donde a R es un n´ umero fijo, mediante la f´ ormula de muestreo f t

f n

a

n

Basta observar que la sucesi´ on e

sen π t n a , π t n a

i n a w

2π

2

n

π, π ; mediante el operador unitario F sen π t n a base ortonormal de P Wπ . π t n a n normal de L

t

R.

tambi´en es base orto1

se transforma en la

La f´ ormula de muestreo de Shannon es una f´ ormula interpolatoria tipo-Lagrange, ya que generaliza, al caso infinito, la conocida f´ ormula de interpolaci´ on polin´ omica de Lagrange. En efecto, desarrollando sen π t n se tiene que f t

f n n

f n n

siendo P t

sen πt . π

sen π t n π t n P t P n t

n

f n n

,

1 n sen πt π t n

178

Cap´ıtulo 8

RKHS

A partir del resultado del teorema 8.13 es f´ acil deducir la f´ ormula de muestreo correspondiente a funciones de L2 R bandalimitadas a un intervalo πσ, πσ , es decir, del espacio de Paley-Wiener P Wπσ . Sea f P Wπσ , definimos la funci´ on g t : f t σ . Como g w σf σw , la funci´ on g P Wπ , de donde g t

f t σ

f n σ n

El cambio de variable t σ f P Wπσ : f s

sen π t n , π t n

R.

t

s proporciona la f´ ormula de muestreo v´ alida para f n σ

n

sen π σs n , π σs n

R.

s

N´ otese que en el espacio P Wπσ el periodo de muestreo es Ts

1 σ.

El hecho de tomar el intervalo de frecuencias π, π sim´etrico respecto al origen se debe a que es lo que les ocurre a las se˜ nales bandalimitada que toman valores reales. En efecto, si f es una funci´ on que toma valores reales, se cumple que f w f w , de donde resulta que f w 2 f w f w f w f w es una funci´ on par. A partir del teorema 8.13 es f´ acil deducir la f´ ormula de muestreo v´ alida para funciones de L2 R bandalimitada a un intervalo w0 π, w0 π . En efecto, si f es una funci´ on de este tipo, la funci´ on g t : e iw0 t f t es bandalimitada al intervalo π, π ya que g w f w w0 , de donde g t

iw0 t

e

f t

iw0 n

e n

f n

sen π t n , π t n

t

R,

resultando, finalmente, la f´ ormula de muestreo f n eiw0

f t

t n

n

Toda funci´ on f si´ on:

sen π t n , π t n

t

R.

P Wπ puede extenderse al plano complejo mediante la expre-

π 1 f w eizw dw , z C . 2π π Procediendo como en el ejemplo 7.36, se prueba que f es una funci´ on entera, es decir, holomorfa en todo C. Adem´ as, utilizando la desigualdad de CauchySchwarz, para z x iy C se tiene que

f z

f x

iy

1 2π

π

f w e π

yw

dw

eπ y 2π

π

f w dw π

eπ z f .

8.3

Espacios de Paley-Wiener

179

Existe un resultado, debido a Paley y Wiener, que nos dice que estas propiedades junto con el hecho de pertenecer f a L2 R caracterizan totalmente al espacio P Wπ . Es decir, P Wπ

f

H C

Aeπ z ,

: f z

f

R

L2 R

.

La metodolog´ıa empleada se puede seguir para obtener f´ ormulas de muestreo v´ alidas para funciones definidas mediante una expresi´ on del tipo (8.3); lo importante es escoger una base ortonormal apropiada que nos d´e la sucesi´ on de muestras de la funci´ on. Veamos un ejemplo: Consideremos el conjunto de funciones f : R Ejemplo 8.16 mediante la expresi´ on:

C definidas

π

f t :

F x sen tx dx

F, sen tx

0

L2 0,π

,

t

R,

donde F recorre el espacio de Hilbert L2 0, π . Teniendo en cuenta que la sucesi´ on 2 π

t

sen nx

n 1

es base ortonormal de L2 0, π (v´ease el ejemplo 4.20), para cada

R fijo, desarrollamos la funci´ on sen tx 2 π

sen tx

L2 0, π respecto a esta base obteniendo 2

sen tx, sen nx sen nx n 1

n 1

1 n n sen πt sen nx π t2 n 2

en L2 0, π . Introduciendo este desarrollo en la expresi´ on de f y usando la continuidad del producto interno se obtiene f t

F, sen tx 2 n 1

F,

2 π

sen tx, sen nx sen nx n 1

1 n n sen πt F, sen nx π t2 n 2

f n n 1

2

1 n n sen πt , π t2 n 2

t

R.

180

Ejercicios

Ejercicios propuestos 1. Sean f, g dos funciones en P Wπ . Demuestre que f t g t dt

f n g n . n

2. Demuestre que toda funci´ on f P Wπ es indefinidamente derivable y que todas sus derivadas est´ an en P Wπ . En particular, pruebe que f π f para toda f P Wπ . 3. El objetivo de este problema es obtener una f´ ormula de muestreo v´ alida para las funciones f : R C de la forma: π

f t

i t2 x2 xt

F xe

dx ,

t

π

R,

donde F L2 π, π (funciones bandalimitada en el sentido de la transformada de Fourier fraccionaria). a) Para t R fijo, desarrolle la funci´ on ei la base ortonormal dada por e

inx

2π

eix

t2 x2 xt

2

en L2

π, π respecto de

. n Z

b) ¿Qu´e teorema de muestreo se deduce del apartado anterior? 4. Se considera el espacio de Hilbert producto H producto interno F1 , F2 , G1 , G2

H

F1 , G1

L2 0,π

L2 0, π

L2 0, π dotado del

F2 , G2

L2 0,π

.

R fijo, desarrolle la funci´ on cos tx, sen tx H respecto de la 1 cos nx, sen nx . base ortonormal π n Z b) Escriba el teorema de muestreo que se obtiene para funciones f : R C de la forma:

a) Para t

π

f t

F1 x cos tx

F2 x sen tx dx ,

0

donde F1 y F2 pertenecen a L2 0, π .

t

R,

Ejercicios

181

5. El objetivo de este problema es obtener un teorema de muestreo para funciones f :R C de la forma: π

f t

F x cos tx dx ,

t

0

R,

L2 0, π . Para ello:

donde la funci´ on F

R fijo, desarrolle la funci´ on cos tx L2 0, π con respecto a 2 la base ortonormal 1π cos nx de L2 0, π . π n 1 b) Teniendo en cuenta el desarrollo anterior, obtenga el teorema de muestreo buscado.

a) Para cada t

6. Demuestre que, para cada f puede escribir como f t

sen πt π

f 0 t

P Wπ , la f´ ormula de muestreo de Shannon se

1

n

n 1

f n t n

f t

n n

,

t

R.

Escriba la f´ ormula anterior para los casos en que la funci´ on f sea una funci´ on par o impar en P Wπ . 7. Demuestre que la proyecci´ on ortogonal de L2 R sobre P Wπ se puede calcular tambi´en como PP Wπ f F 1 χ π,π w F w . 8. Pruebe que una funci´ on f

P Wπ si y s´ olo si admite la representaci´ on integral

π

f t

F x

cos tx

sen tx dx ,

t

0

R,

donde F es una funci´ on en L2 0, π . Es decir, la funci´ on f es bandalimitada al intervalo π, π en el sentido de la transformada de Fourier si y s´ olo si es bandalimitada al intervalo 0, π en el sentido de la transformada de Hartley cuyo n´ ucleo integral est´ a dado por la funci´ on cas tx : cos tx sen tx (cosine and sine). Ayuda: utilice la f´ ormula de Euler, eiθ cos θ i sen θ. 9. Dada una funci´ on f expresi´ on: f t

1 2π

P Wπ , su transformada de Hilbert f viene dada por la

π

i sgn w f w eitw dw π

f,

i sgn w e 2π

itw L2

π,π

,

t

R.

182

Ejercicios

e

i sgn w e 2π

R fijo, desarrolle la funci´ on

a) Para cada t

inw

itw

en la base orto-

de L2 π, π . 2π n Z Nota: Utiliza el hecho de que: normal

i sgn t χ 2π

F

π,π

t

w

senc

w πw sen . 2 2

b) Aplicando la identidad de Parseval pruebe que: sen π2 t n π n 2 2 t

1 n

4

para todo t

c) Obtenga la suma la serie num´erica:

1

n

R.

1 . 2n 2

d ) Teniendo en cuenta el desarrollo del primer apartado, deduzca la siguiente f´ ormula de muestreo para f : f t

f n senc n

t

n 2

sen

π t

n

,

2

t

R.

e) Compare el resultado con el del problema 17 del cap´ıtulo 7. 10. Dada la funci´ on seno cardinal, g t sen πt πt, se trata de probar que la sucesi´ on doble e2πimt g t n n,m Z es una base ortonormal de L2 R . Para ello se sugiere seguir los siguientes pasos: a) Demuestre que la transformada de Fourier de la funci´ on e2πimt g t es: 1 e inw χ 2πm π,2πm π w . 2π

n

b) Demuestre que es un sistema ortonormal utilizando la identidad de Parseval en L2 R . c) Escriba cada f

L2 R como la suma ortogonal (convergente en L2 R ) f

fm

en L2 R ,

m

donde cada fm cumple que: fm

f χ 2πm

π,2πm π

.

Ejercicios

183

d ) Pruebe que la funci´ on e 2πimt fm t es bandalimitada a π, π . Aplicando el teorema de muestreo de Shannon a esta funci´ on, obtenga que f t

e m

2πimn

fm n e2πimt

n

sen π t n . π t n

e) Deduzca finalmente el resultado buscado. 11. Sea H un espacio de Hilbert separable y sea K : R H una aplicaci´ on valorada en H. Supongamos que existe una sucesi´ on tn n 1 en R tal que la correspondiente sucesi´ on K tn n 1 forma una base ortogonal para H. a) Se define el conjunto de funciones HK :

fx : R

C : fx t

Demuestre que la aplicaci´ on T : H lineal y biyectiva.

x, K t

H

con x

H

HK definida como T x

fx es

b) El espacio HK dotado del producto interno fx , fy HK : x, y H es un espacio de Hilbert con n´ ucleo reproductor. Calcule su n´ ucleo reproductor. c) Para t R fijo, desarrolle el elemento K t H respecto de la base ortogonal anterior. Escriba el teorema de muestreo que satisfacen las funciones f HK . 12. El objetivo de este problema es obtener una f´ ormula de muestreo para toda funci´ on real f L2 R cuya transformada de Fourier f se anula fuera del conjunto w0 π, w0 w0 , w0 π (funciones pasobanda), utilizando las sucesiones de muestras f 2n n Z de la propia f y f 2n n Z de su transformada de Hilbert f . Para ello se sugiere seguir los siguientes pasos: a) La se˜ nal anal´ıtica fa asociada a f (v´ease el cap´ıtulo 7) ser´ a bandalimitada al intervalo w0 , w0 π . Obtenga la f´ ormula de muestreo que verifica fa . b) Como f

Re fa , deduzca la f´ ormula de muestreo que se obtiene para f .

En particular, deduzca una f´ ormula de muestreo para f P Wπ real, que involucre las sucesiones de muestras f 2n n Z y f 2n n Z .