Espacios de Banach Estrictamente Convexos

1.1.

Introducci´ on on

En este cap cap´´ıtulo darem daremos os un brev brevee resum resumen en de la teor teor´´ıa de los espac espacios ios de Banac Banach; h; enunciaremos algunas definiciones , propiedades y resultados que nos ser´an an de gran utilidad en el desarrollo de este trabajo. Todo lo anterior en su mayor´ mayor´ıa es visto en un curso de An´ alisis Funcional de la licenalisis ciatura, por lo cual la prueba de la mayor parte de ellos no ser´a realizada en este trabajo indic´ andose la referencia bibliogr´afica andose afica en donde ubicarla. En concreto, daremos la definici´on on de espacio de Banach, espacio reflexivo, espacio separable, normas equivalentes, espacio producto, espacio cociente y el teorema de HahnBanach; el cual ser´a desarrollado en forma completa ya que, es bien conocido que la extensi´ o n que se indica en el enunciado no es unica on u ´ nica d´ andose en cap andose cap´´ıtulos posteriores condiciones bajo las cuales tal extensi´on o n es unica. u ´nica.

 . ) un espacio de Banach, BE  = {x ∈ E/  x ≤ 1} S E  E  = {x ∈ E/  x  = 1} bola unitaria y la esfera unitaria en E , respectivamente. Denotaremos por (E, (E,

1.2. 1. 2.

y

Defin De finic icio ione ness y Ej Ejem empl plos os

Definici´ on 1.1. Sea  E  = on

∅

y  d : E 

× E  −→ [0[0,, +∞) , decimos que  d

sobre  E  si: i.- d(x, y)

≥0

y 

ii.- d(x, y) = d(y, x)

d(x, y) = 0

⇔x=y

es un una a m´etrica  et rica 

iii.- d(x, z )

≤ d(x, y) + d(y, z) ∀ x,y,z ∈ E 

Al par  (E, d) se le llama  es espac pacio io m´ et rico etri co..

∅

Sea  a  E  = Ejemplo 1.1. Se

× E  −→ [0[0,, +∞), definida por: si  x = y

y consideremos  d : E 

 

d(x, y ) =

1 0

si  x = y

una a m´etrica et rica l la lama mada da m´etrica etr ica di disc screta reta,, y as´ı ı  (E, d) es un espaci espacio o m´etrico. etri co. d es un Sea  a  E  = IR y consideremos  d : E  Ejemplo 1.2. Se

× E  −→ [0[0,, +∞), definida por:

| − y| ∀ x, y ∈ E 

d(x, y) = x

entonces  (E, d) es un espaci espacio o m´etrico. etri co. Definici´ on 1.2. Sea  E  un espacio vectorial, decimos que  E  es un  espacio normado on

si para cada  x

∈ E 

corresponde un n´  umero real 

x

llamado la norma de  x, la cual 

satisface:

 ≥0

i.- x ii.-

y 

x = 0 ⇔

x=0

αx = |α|x, α ∈ IR, x ∈ E  

iii.- x + y

 ≤ x + y ∀ x, y ∈ E 

Tal espacio normado normado lo denotamos denotamos como (E,

 · ).

Ejemplo 1.3. ℓ pn , n

∈ N, 1 ≤ p < ∞, es el espacio que consiste de  n−uplas  x = (α1 , α2 , . . . , αn ), donde  αi ∈ IR, ∀ 1 ≤ i ≤ n. n

ℓ pn con la norma  x

  p =

  i=1

1/p

|αi| p

es un espacio normado.

Ejemplo 1.4. Consideremos ahora  ℓn ∞ , el espacio vectorial de todas las  n uplas 

x = (α1 , α2 , . . . , αn ), donde  αi

−

∈ IR, ∀ 1 ≤ i ≤ n.

ℓn∞ con la norma  x

 ∞ = sup{|αi| : 1 ≤ i ≤ n}

es un espacio normado.

{ }

Ejemplo 1.5. ℓ∞ , el espacio de todas las sucesiones  x = αn

 ∞ = sup{|xn| : n ∈ N}

con la norma  x

es un espacio normado.

de escalares acotadas,

C

Ejemplo 1.6.

[a,b] ,

 · ∞



es un espacio normado, donde 

,

C[a,b] = {f  : [a, b] −→ IR

: f  es continua 

}

 − y

Es claro que si d(x, y) := x

 · ∞ = m´ax{|f (t)|}.

y

entonces d es una m´ etrica, por lo tanto todo

espacio normado es un espacio m´etrico.

 . ) es un espacio de Banach si  E  con la 

Definici´ o n 1.3. Un espacio normado (E,

  es completo.

m´etrica inducida por  .

A continuaci´on daremos algunos ejemplos de espacios de Banach. Ejemplo 1.7. ( Rn ,

 · 2)

con  n

≥ 1 es un espacio de Banach, donde 

=

  | |

1/2

n

x2 Ejemplo 1.8. ( ℓ p ,

xk

2

denota la norma euclideana.

k=1

 ·  p )

, 1

≤p 0;

(subaditiva) (positivamente hom´ogenea)

Se denomina funcional convexo. Si s´olo verifican las dos u ´ltimas condiciones la aplicaci´on se llama funcional sublineal.

Lema 1.1. Sea  M  un subespacio propio de un espacio lineal real  E  y sea 

Consideremos 

N  = [M 

x0

∈ M .

y supongamos que  f  es un funcional lineal sobre 

∪ {x0}]

M , p un funcional sublineal definido en  E  tal que: f (x)

≤ p(x)

para todo

x

∈ M 

Entonces  f  puede extenderse a un funcional lineal  F  definido sobre  N  con la propiedad de  que  F (x)

≤ p(x)

Demostraci´ on. .- Puesto que f (x)

para todo

x

∈ N 

≤ p(x) ∈ M, entonces para

y1 , y2

∈ M, vemos

que: f (y1

− y2)

= f (y1 )

− f (y2) ≤ ≤

− y2) = p(y1 + x0 − y2 − x0) p(y1 + x0 ) + p(−y2 − x0 ) p(y1

Agrupando por separado los t´erminos que contienen a y1

y y2 , tenemos que:

− p(−y2 − x0) − f (y2) ≤ p(y1 + x0) − f (y1)

(1.3)

Fijemos

y1 y hagamos variar a

y2

∈ M. De (1.3)

deducimos que el conjunto de

n´ umeros reales

{− p(−y2 − x0) − f (y2)/y2 ∈ M } tiene una cota superior y tambi´en extremo superior. Definamos entonces

{− p(−y2 − x0) − f (y2)/y2 ∈ M }

a = sup

De la misma forma, podemos asegurar la existencia de

{

b = ´ınf   p(y1 + x0 ) Luego; de (1.3)

− f (y1)/y1 ∈ M }

tenemos a

≤b

∈ R tal que

as´ı que debe existir c0

a

≤ c0 ≤ b

En el caso en que a = b, c0 es precisamente el valor com´un. Entonces, para todo y

∈ M,

− p(−y − x0) − f (y) ≤ Puesto que x0

c0

≤ p(y + x0) − f (y)

∈ M, podemos expresar cualquier x ∈ N  como x = y + αx0

siendo α

∈ K  u´nico e

y

∈ M  u´nico.

Puesto que esta representaci´o n es u ´ nica, la aplicaci´on F  : N 

−→ R

definida por F (y + αx0 ) = f (y) + α c0

(1.4)

est´ a bien definida y es adem´as un funcional lineal sobre el subespacio N . Tambi´en es evidente que, si x

∈ M , F (y) = f (y),

es decir, F  extiende a f . Falta s´ olo demostrar que F (x)

≤ p(x) para todo x ∈ N.

Para ello consideremos 3 casos: Para todo x

∈ N,

con

x = y + αx0

debe ser

α = 0, α > 0

o´

α 0. Consideremos el miembro derecho de (1.4), sustituyendo

y

por

y/α,

se tiene que: c0 Multiplicando por

α

≤

y p + x0 α



y puesto que p

−

f (y/α)

es un funcional sublineal, tenemos

f (y) + αc0

≤ p(y + αx0)

o bien F (x)

≤ p(x)

(3) α < 0. Consideremos ahora el miembro izquierdo de (1.4) y sustitu´ımos y/α. Obtenemos

− p(−y/α − x0) − f (y/α) ≤ c0 − p(−y/α − x0) ≤ c0 + f (y/α) Al multiplicar por α, resulta

−

−

( α) p( y/α y por ser

− x0) ≥ α

c0 + f (y)

−α > 0  p(y + αx0 )

lo que completa la prueba.

≥α

c0 + f (y),

y

por

(Hahn-Banach)(Versi´  on espacios vectoriales reales)

Teorema 1.2.

Sea  M  un subespacio del espacio vectorial  E , p  un funcional sublineal sobre  E  y  f  un   funcional lineal sobre  M  tal que, para todo x f (x)

∈ M,

≤ p(x)

Entonces existe un funcional lineal  F  en  E  que extiende a  f  y tal que  F (x) todo x

≤ p(x) para 

∈ E.

ˆ: Dˆ Demostraci´ on. Sea S  = f  f 

→ R : f ˆ lineal que extiende a f  y tal quef ˆ ≤ p(x)} En primer lugar notemos que S   = ∅ ya que f  ∈ S . {

Definamos una relaci´on de orden en S : Diremos que f ˆ1 < f ˆ2

para todo

f ˆ1 , f ˆ2

∈ S 

si

f ˆ2

extiende a

Entonces “ < ” es una relaci´ on de orden parcial en S  ya que, “ < ” es; (a) Reflexiva f ˆ1 < f ˆ1

Si

entonces Df ˆ

1

⊂ Df ˆ

1

luego; f ˆ1

=

f ˆ1

(todo funcional extiende a s´ı mismo)

(b) Sim´etrica f ˆ1 < f ˆ2

Si

y

f ˆ2 < f ˆ1

entonces Df ˆ

1

⊂ Df ˆ

2

luego; f ˆ2

=

f ˆ1

y

Df ˆ

2

⊂ Df ˆ

1

f ˆ1

(c) Transitiva f ˆ1 < f ˆ2

Si

y

f ˆ2 < f ˆ3

entonces Df ˆ

1

⊂ Df ˆ ⊂ Df ˆ 2

3

luego; f ˆ3

|D

f ˆ1

=

f ˆ2

=

f ˆ1

Veamos ahora que (S,