Espacio Vectorial

República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación E.T.C. Francisco Jiménez Valera Barquisimeto-Estado-- Lara Barquisimeto-Estado

Integrantes:

Linàrez Eliana Medina Yureidy Carmona Merlis Martínez Anais

Nº 06 Nº 11 Nº 12 Nº 18

2º “B” Asistente Gerencial

Introducción

El sigu siguien iente te trab trabaj ajo o tien tiene e co como mo obje objeti tivo vo darn darnos os co cono noci cimi mien ento toss teóricos teóricos sobre los Espacios Espacios vectoriales vectoriales en la matemática matemática es por ello que se hizo un breve recorrido por el tema y otros complementos del mismo mismo para para tener tener mayor mayor domini dominio o en los conoci conocimie miento nto adquir adquirido idoss cuando se lleve a la práctica bien sea en el aula o en otra área de trabajo.

1) Definici Def inición ón de Espacio Espa cio Vectoria Vect orial: l:

En el estudio de las matemáticas o de la física, el término vector se aplica a una una am ampl plia ia vari varied edad ad de obje objeto tos, s, prin princi cipa palm lmen ente te a ca cant ntid idad ades es que que representan magnitudes y dirección, ya sea una fuerza, una velocidad o una distancia. El término vector también se usa para describir entidades como matrices, polinomios o funciones. Supo Supong ngam amos os que que tene tenemo moss un co conj njun unto to dond donde e para para escalares cumplen con las siguientes propiedades: Propiedad de cerradura

y

. . Propiedad de adición . . Contiene al elemento 0 con Propiedad de multiplicación por un escalar

.

. . . Entonces se denomina un espacio vectorial. vectorial. Podemos decir por lo anterior que en un espacio vectorial intervienen dos conjuntos, vectores y escalares, los segundos como coeficientes de los primeros. Los vectores forman un grupo abeliano con respecto a la adición (la suma es cerrada, asociativa, conmutativa, existe el elemento 0 y los negativos) y los escalares forman un campo camp o con con la la iinc nclus lusió ión n del del 0 y del del . Dicho de manera informal, en un espacio vectorial tenemos elementos los cuales cuales podemos podemos sumar entre entre ello ellos, s, ala alarga rgarlos rlos o contra contraerlo erlos; s; un paso paso a seguir es encontrar todas las características estructurales de estos espacios. Para esto recurriremos a ideas provenientes del Álgebra Universal, tales como co mo rela relaci cion ones es de orden orden,, rela relaci cion ones es de equiv equival alen enci cia, a, ma mapeo peoss de un conjunto a otro y la generación de espacios más complejos por medio de productos cartesianos 2) Vector Vec tores es linea lin ealm lment ente e dependi depe ndient entes es:

Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Propiedades: a. Si varios vectores son linealmente dependientes , entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

 También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes. b. Dos vectores vectores del plano son linealmente dependientes dependientes si, y sólo si, son paralelos. c. Dos vectores vectores libres del plano = (u1, u2) y = (v1, v2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

3) Vector Vect ores es linea lin ealm lment ente e indepe inde pendi ndient entes es:

Varios vectores vectores libres son linealmente linealmente independientes independientes si ninguno ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. a1 = a2 = ··· = a n = 0 Los vector vectores es linealm linealment ente e indepen independie diente ntess tienen tienen distin distinta ta direcc dirección ión y sus componentes no son proporcionales. Ejemplo:

Determinar si son linealmente dependientes o independientes los vectores. = (3, 1) y

= (2, 3)

4) Dimensión Dim ensión de un Espacio Espa cio Vectorial: Vecto rial:

La dimensión de un espa espaci cio o vect vector oria iall se defi define ne co como mo el núme número ro de elementos o cardinal de una base de dicho espacio. Dado que para todo espacio de Hilbert de dimensión infinita podemos distinguir entre bases de Hilbert y de Hamel, podemos definir la dimensión vectorial ordinaria y la dimensión vectorial de Hilbert. Se tiene que para cualquier espacio vectorial V , la relación entre dimensión de Hamel y dimensión de Hilbert es la siguiente:

En espacios de dimensión finita también se pueden definir las bases de Hilbert como bases de Hamel ortogonales. De hecho, para un espacio de dimensión finita, la dimensión de Hilbert es igual a la dimensión de Hamel. En dimensión dimensión finita toda base de Hamel es base de Hilbert y viceversa, viceversa, por lo que para un espacio de dimensión finita en se da siempre la igualdad. igualdad. 5) Base de un Espacio Vectorial: Vectorial :

Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes y que son capaces de generar cualquier vector de dicho espacio. En nuestro estudio del del plan plano, o, una bas base esta estará rá form forma ada por por dos dos vect vector ores es linea inealm lmen entte independientes. 6) Coordenadas Coordena das de un Vector V ector en un Base B ase determinada: deter minada:

Las coordenadas de un vector respecto de una base son los escalares por los los que que hay hay que mult multip ipli liccar los los vect vector ores es de la base base de form forma a que represen representen ten al vector vector dado dado mediant mediante e una combin combinaci ación ón lineal lineal de dichos dichos vectores de la base. 7) Base B ase Canoníca Can oníca::

Se caracteriza por estar formada por vectores unitarios que tienen todas las componentes nulas (iguales a 0) excepto una. Por ejemplo, la base canónica en el espacio es {(1,0,0) ;(0,1,0);(0,0,1)} y en el plano {(1,0);(0,1)}. B. GENÉRICA: GENÉRICA: Los vectores que la forman no tienen por qué ser ortogonales ni unitarios. Cambian algunas expresiones como la del producto escalar. No se usarán en este curso pero existen.