Espacio Vectorial en R3

 

INTRODUCCION A LAS MATEMATICAS PARA INGENIERIA  

 

ESPACIO VECTORIAL

Semana 07

ℝ

Sesión 01

EJERCICIOS EXPLICATIVOS a)  Halla el cuarto vértice del paralelogramo.  b)  Calcula su perímetro.

⃗=  (⃗ -5⃗ + 6 )  ,       = (3, 2,4) y el vector      ,      = (2,-4,-

1.  Dados los vectores: s        

0

4.  Los puntos A (1, 1, 1), B (2, 2, 2) y C (1, 3, 3) son tres vértices consecutivos de un  paralelogramo. Halla las coordenadas del cuarto vértice. 5.  Calcula un vector unitario en la dirección del vector en los siguientes casos:

0

6) y termina en el punto p1=(-3,-4,5) .Hallar a)  Punto 1 de vector  



⃗

 b)  Componentes del vector

 

 

⃗

 (1, -2, 5) b) ( –  3, 4, 0)  – 3, 6.  Se sabe que un vector del espacio es  = 2    –  3  + z Determina los valores –   3  posibles de la coordenada z sabiendo que el |  | = 7  7  7.  Calcula el centro de gravedad del tetraedro cuyos vértices son los puntos siguientes: A(3, 2, – 4), 4), B(1, – 1, 1, 2), C(3, –  2, 7) y D(1, – 3, 3, 7) 8.  En el triángulo formado por los vértices A(3, – 1, 1, 5), B(4, 2, – 5) 5) y C( – 4, 4, 0, 3), calcula la longitud de la mediana trazada desde el vértice A

  unitario en la dirección 2.  c) Calcula  y un vector del vector en los siguientes casos:

⃗  ⃗ ⃗ ⃗ ⃗   . ⃗

‖⃗‖  ⃗    b) ⃗= – 3⃗+⃗ + 2   a)  ⃗= ⃗  +2⃗ + 2 3.  Halla las coordenadas del punto D para  ,    sean que los vectores  

equipolentes, siendo A(2,-1,4) B(-8,3,1) y C (2,1,3) 4.  Halla un punto C en el segmento AB segmento AB,, sabiendo que A que A (  (−1, 4, 3) y B y B (2,  (2, 10, −6), de modo que , sea la mitad que .

  

 

EJERCICIOS PROPUESTOS

 

9. C(1, Dados los puntoslas A coordenadas (1, – 1, 1, 3), B(1, 1) y 0, –  1),halla 1),halla de2, todos los puntos posibles D para que ABCD formen un paralelogramo. 10. Un vector  tiene su origen en el punto  punto (2; -1; -2) y su extremo (flecha) en un  un  punto  punto “P”; un segundo vector  se inicia  inicia en el  punto “P” y termina en el pun punto to (-3; 1; 3). Calcular el módulo del vector resultante de estos dos vectores.

1.  Dados los puntos A puntos A (1, 0, – 1), B 1), B (2  (2 , 1 , 0), C  (0,  (0, 0, – 1) 1) y D y D (  –  – 1, 1, 1, 1). Hallar a)  Los vectores , .  b)  El módulo de cada uno de ellos.

       

 ⃗

 ,



2.  Encuentra los valores de a y b que hacen que los tres puntos estén alineados P (2, −1, a), Q (5, 1, 6) y R y R (  (b b, −5, 9). 3.  Tres vértices consecutivos de un  paralelogramo son A son A (3, 1, 0), B 0), B (4,  (4, 5, 2) y C (4, 7, −2).

 

1

 Matemática Básica 2

 

INTRODUCCION A LAS MATEMATICAS PARA INGENIERIA  ALGEBRA VECTORIAL Semana 07 Sesión 02 EJERCICIOS EXPLICATIVOS

⃗  ⃗ ⃗  ⃗            ⃑  ⃑ 

3.  Encuentra un vector  que verifique que 2  − 3  = 2  −   , siendo  , siendo  = (8, 4).  −1, 3),  = (2, 0, −6) y  = (−6, 2, 4).  4.  Sean los vectores:      ̅=(7,−5,7) ;      ̅=(−8,−2,0) y   ̅=(−3,5,6);      ̅=(4,6-1) ;      ̅=(9,−7,3) Determine:    a) ¿Es unitario      ̅−2      ̅+3      ̅?  ‖ ̅     ̅+5 ‖−3‖     b) ‖     ̅−8 ‖+‖   5.  Determina el ángulo que que forman los vectores =(2,1,3) y =(6,-4,2)

⃑ ⃑ ⃑   =2⃑ +5⃑ -

1.  Dados los vectores: = -4 -3  ;

 y⃑ =−6⃑ +5 . Halle:  -⃑  a)  ⃑ +    +⃑   –   b)  ⃑ – 

 ⃑ ⃑       ̅= (−3⃑,5⃑  -2 );     ̅= (4⃑,9⃑ -6 ). Determine: ‖   ̅−3      ̅+2⃑ ‖ + ‖     ‖     ̅−3 ⃑ ‖+‖ 3.  Dados los siguientes vectores:   ⃑  =⃑+ m⃑  +   y    =2⃑-4⃑  +m  

2.  Sean los vectores:      ̅=(7 , −5 ,4 );

 ⃗ ∈ ℝ



⃑ ‖‖ = 3

  ∈

   tal que 6.  Sea . Sea   el cual forma un ángulo de 45° con   es ortogonal a , calcule , si

ℝ ⃗ ⃗ −   .

Halla m para que los vectores a y b sean: a.  Paralelos. b.  Ortogonales.  4.  Dado el triángulo ABC, donde el vértice A= (1, 8,4) B= (2, -10,5) y C (-6, 2,8). Determine el perímetro.

⃗

7.  Calcular el vector unitario del vector

 ⃗ 

5.  Sea |a | = 3 y |b| = 4. Si el ángulo que forman los vectores es 60°, calcula:

⃗.   b)   ·   ⃗     · ⃗  c)    +  ) . (⃗- )  d)  ( a) 

8.  Determinar para que valores de “m” y

“n” para que sean paralelo a  2, 3, m    y b n , 6 , 2    

EJERCICIOS PROPUESTOS

  ⃑  ⃑            ⃗

⃑ 

9.  Si el vector

⃑ ⃑ ⃑

1.  Sean:      ̅=3 +8J +   ;   B̅ =2i +J- . y   ̅= (8 ,- 9 ) Halle:    a)  ‖      ̅‖    ̅−      ̅‖−‖      ̅+     b)  Halle ‖      ̅−      ̅‖−‖     ̅+      ̅‖  2.  Si:  = (3,-4,5),  = (8,-1,4) y  = (-2, 5,-4).

 



 





 =   ;  ,   es

calcule el valor de

n

unitario

. 

10. Hallar un vector unitario que forme un ángulo de   con el vector  y un ángulo de   con el vector  

45 (2,2,−1) (0,1,−1).

⃗

60

Calcule el valor del vector =3 3  

⃗ ⃗ − 2    ⃗

 

2

 Matemática Básica 2

 

INTRODUCCION A LAS MATEMÁTICAS PARA INGENIERIA  PROYECCIÓN ORTOGONAL Y COMPONENTE ENTRE VECTORES   PRODUCTO VECTORIAL Y MIXTO Semana 08

Sesión 01

EJERCICIOS EXPLICATIVOS

a



6.  Encontrar la componente

 u v





 2, 1, 4     5, 0, 2     

del vector

sobre



el

4i  5  j



⃗ Halle la   

vector

k   

6

⃑=⃑+2⃑ +3  

vectores:

y

15.  Sean

 p

1, 2, 3  valor de

⃗





 



4,1, 2 

 





( + ) 



1, 0,1 



puntos

Q   0, 1, 3   y R 

 



0,3,0

 ⃑  =

17. Hallar el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos A (3, 2, 1), B (1, 2,4), C (4, 0, 3) y D (1, 1, 7). 18. Dos vértices consecutivos de un  paralelogramo son A (1, 1, 1) y B (0, 2, 0). Si el centro del paralelogramo es E(0, 0, 1), se pide: a)  las coordenadas de los otros vértices.  b)  el área del paralelogramo. 19. Se considera el tetraedro cuyos vértices son los puntos: A (1, 0, 0), B (1, 1, 1), C ( – 2, 2, 1, 0) y D (0, 1, 3). a)  Calcula el área del triángulo ABC.

 

⃗( + )   y v



los

⃗

3⃑⃑   ⃑   ⃑ ⃑ 5⃑ 4  .

EJERCICIOS PROPUESTOS

 

v

16. Las aristas de un paralelepípedo son: -  , = + 2  y =   Halle el volumen del paralelepípedo



10. Si a  1, 2,1  , b   2, 3, 2   y c hallar:

u

Hallar la proyección ortogonal del vector PQ sobre el vector PR.

 paralelepípedo definido por1, los vectores:  (1,  –  1, 1), (1, 1, 1) ysiguientes   (2, 3, k), sea igual a 12 unidades cúbicas.



 x

[ ,⃗,    ]

11. Calcula el valor de k para que el volumen volumen del del

 



14. Calcular las coordenadas de un vector que sea ortogonal a (1, 2, 3) y (1, -1, 1), y tal que  = 19  19 

10. Los puntos A (1, 1, 1), B (2, 2, 2) y C (1, 3, 3) son tres vértices consecutivos de un paralelogramo. Halla las coordenadas del cuarto vértice y calcula el área del  paralelogramo.

1, 1, 21   



⃑  que ⃑−   sea perpendicular al vector ⃑ 

⃑  9.  Dados los vectores   =⃑−⃑ 3 3    y ⃑= −2⃑ 2⃑    y  = 3 3⃑− 2⃑  5. Calcular    . (⃗x ).





⃑  

 4⃑ ⃑  



 

13. Sean  dos vectores que forman entre si un ángulo de 45° y el módulo de  es 3. Hallar cual debe ser el módulo de  para

= +5 +6 . Hallar: El producto vectorial de  x  

u



u  x v

a  i  2  j  3k   y   b 

11.  Si

 







b

         





 x a



    y v 12. Si u  1, 1, 21 ,.Entonces halle el



los

b





7.  Dados los vectores:

8.  Dados



1, 2, 3  Hallar:

  b)  Calcula el volumen del tetraedro ABCD

12. Sean los vectores a  y b   perpendiculares



entre sí. Si a



 



3

  y b  



4,

Calcular. 3

 Matemática Básica 2