Espacio Vectorial Con Producto Interno y Sus Propiedades

Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades

Defnición. Un producto interior sobre un espacio vectorial V es una unción que asocia un número real < u, v > con cada pareja de vectores u y v en V, de tal manera que se satisacen los aiomas si!uientes por todos los vectores vectores u, v, " en en V y todos los escalares escalares #. $% )% +% %

& 'aioma de simetr(a% &* "> & * & * 'por 'por sime simetr( tr(a% a%

2jemplo $: 1ean u&'u$u)% y v&'v$*v)% son vectores en 4 ), entonces &+u$v) * )u)v)

Defne un producto interior. = fn de verifcarlo, nótese primero que si se intercambian u y v en esta ecuación, entonces el se!undo miembro permanece inalterado. 5or tanto. & 1i "&'"$,")%, entonces ¿ v 1 ∥

v1 >¿ v 1

¿

u 2− proy

∥ u 2− proy

w1

u2

w1

u ∥

=¿

2

5aso +. 5ara construir un vector v+ de norma $ que sea orto!onal tanto a v$ como a v), se calcula la componente de u+ orto!onal al espacio L) !enerado por v$ y v), y se normaliIa? es decir

∥ u3−¿ u u3−¿ u

V+ &

3,

3,

v1 >¿ v 1−¿ u ,v 3

v1 >¿ v1− ¿ u , v 3

2

> v2

>v

2

∥

2

¿ u3 − proy

∥ u3 − proy

w2

u3

w2

u3

∥

=¿

Momo en el paso ). 9a independencia lineal de Cu $,u),K,un ase!ura que 3−¿ u 3 , v 1 >¿ v 1−¿ u

u¿

3

, v 2> v2 ≠ 0

de modo que siempre se puede eectuar la

normaliIación.

Construcción de una base ortonormal en R 3

Monstruya una base ortonormal en 4+ comenIando con la base

C v$, v), v+ &

{( )( )( )} 1 1 0

0 1 1 0 1 1

1olución

() 1

1e tiene Nv$N & √ 2 , entonces u$&

√ 2 1

. 2ntonces

√ 2 0

V)O& v) P'v)  u$%u$ &

√ √ 3 2

,u 2=

2 3

 A

( )()()( ) 1

−1

√ 2

0 2 2 1 = 1 − 1 = 1 √ 2 1 2 2 √ 2 0 1 0 1

( )( ) −1

Momo Nv)QN &

() 0 1 1

1

−1

√ 6 2 1 1 = √ 6 2 2 1 √ 6

Montinuando, se obtiene v+Q&v+ P'v+ u$%u$ P 'v+u)%u)

() 1

&

()

1 1 0 − √ 2 1

( ) ()( )( ) −1

√ 6

1

−1

2

6 3 1 2 1 1 1 2 = 0 − 1 − = − 1 − 6 3 √ 6 √ 6 1 2 √ 2 2 2 2 0 0 6 3 √ 6

√ 2

()

5or ultimo, Nv +QN&

√

12 9

=

2

√ 3

,demaneraqueu3 =

√ 3 2

( )( ) −

2

1

3 2

√ 3

3 2 3

( )( )( ) 1

√ 2

ortonormal en 4+ es

1

√ 2 0

−1

1

√ 6

√ 3

−1

1

,

√ 6

,

√ 3

2

1

√ 6

√ 3

.

=

−1

√ 3 1

√ 3

 . =s(, una base