Espacio Muestral y Eventos

 

2 .3.  ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS  

Un punto muestral es aquel que representa un evento simple. Es decir, es el resultado elemental de un experimento experimento o elemento unidad del espacio muestral. Espacio muestral es el conjunto de todos los puntos muestrales de un experimento (el total de resultados resultado s posibles de un experimento). El espacio muestral puede ser fnito o infnito según sea el número de puntos muestrales que posea. Un espacio muestral fnito tiene un número fnito de puntos. Si tiene tantos puntos como los números naturales se denomina espacio muestral infnito contable. Si posee tantos puntos muestrales como intervalos del eje de las “x, es decir ! " x " #, se le conoce como espacio muestral infnito no contable, que tambi$n se llama espacio muestral no discreto. Un espacio que es f nito o infnito contable con %recuencia %recuencia se le denomina espacio muestral infnito no contable. En las fguras podemos apreciar que existen & espacios muestrales. El de la i'quierda consta de  puntos muestrales (E #, E &, E , E * , E  ). En este caso es un espacio muestral fnito porque consta de  elementos. En el caso de la fgura de la derec+a, tenemos un espacio muestral compuesto de & subconjuntos o eventos, el  - el . /os elementos del subconjunto  son0 E  - E* . El evento  solo tiene un solo elemento, que es E 1. dem2s, dentro del espacio muestral existen  puntos que no pertenecen a ningún subconjunto. 3or lo que este espacio muestral tambi$n es f nito. Un evento es un subconjunto  del espacio muestral. uando reali'amos un experimento - la soluci4n es uno de los elementos del subconjunto , se dice que el evento  ocurri4. ocurri4. /os eventos pueden ser simples o compuestos. Un evento simple es aquel que no puede ser descompuesto. En general, un experimento siempre resulta en la ocurrencia de uno - solamente un evento simple. Un evento compuesto es aquel que se compone de dos o m2s eventos simples. En la fgura de la derec+a entonces tenemos, dentro del espacio muestral, dos subconjuntos o ev even ento tos. s. El ev even ento to  es un ev even ento to co comp mpue uest sto, o, pues puesto to que que tien tiene e dos dos ev even ento tos s simp simple les. s. El subconjunto  es un evento simple, pues solamente consta de un punto sencillo. Ejemplo0 /an'ar un dado Eventos0  5bservar un número par 6 5bservar un número non

 

 5bservar un número 7 * E# se observa el # E& se observa el & E se observa el  E* se observa el * E se observa el  E1 se observa el 1 3odemos +acer una lista de muc+os otros eventos asociados con este experimento, algunos con m2s posibilidades de ocurrir que otros. leatorio 8 l a'ar En base de las operaciones de los conjuntos tenemos que0  U 60 se lee “ uni4n 6, - signifca que es el evento “ o 6 o ambos.  9 60 se denomina “intersecci4n de  - 6, - signifca que es cuando ocurren  - 6 al mismo tiempo. :0 se llama el complemento de , es decir es el evento de “no .  ; 6 8  9 6 : , es decir que es el evento donde ocurre “, pero donde ocurre no 6.

2.4. AXIOMAS Y TEOREMAS   AXIOMAS (xioma8 principio que no requiere demostraci4n. Es una verdad tan evidente que no se pone en duda). Suponga que tenemos un espacio muestral discreto, al cual nombraremos S. 3ara cada evento E asociamos asociamo s un número real 3(E i), donde 3 es la %unci4n de probabilidad, - 3(E i) ser2 la probabilidad dell ev de even ento to E i. 3or lo que que se cu cump mple len n tr tres es ax axio ioma mas, s, que que son son los los co comú múnm nmen ente te usad usados os en probabilidad0 xioma #0 3ara cada evento E tenemos0 3 (E i) < !. xioma &0 3ara el evento cierto tenemos0 3 (E i ) 8 # xioma 0 3ara cualquier número de eventos mutuamente exclu-entes E #, E & , E , etc.0 3 (E # U E &  U E  U=) 8 3(E #) > 3(E &) > 3(E ) > =. Si existieran dos eventos mutuamente exclu-entes entonces0 3 (E # U E & ) 8 3(E #) > 3(E &)

TEOREMAS on los tres axiomas anteriores podemos comprobar los teoremas sobre probabilidad. Si E# es un punto muestral0

 

PRIMER TEOREMA Si E#

 E&, entonces 3 (E#) " 3 (E&) - 3 (E& ; E#) 8 3 (E&) ; 3 (E#).

SEGUNDO TEOREMA 8 ! " 3 (E i) " #

TERCER TEOREMA 8 ? 3 (E i) 8 # uando se suman todas las probabilidades siempre deben sumar #!!@ /a probabilidad de un evento  cualquiera, es igual a la suma de las probabilidades de los puntos muestrales de . Ejemplo l lan'ar un dado, cual es la probabilidad de que caiga un número par (evento ).

3 () 8 3 (E &) > 3 (E A) > 3 (E B ) 3 () 8 #C1 > #C1 > #C1 8 C1 8 D 5 tambi$n 3() 8 !, o sea !@ Ejemplo0 e seis pro%esionistas se desea escoger a los mejores, Fu2l es la probabilidad de que si se seleccionan al a'ar se +a-an escogido a los dos mejoresG Sean #, &, , *,  1 lo pro%esionistas - sup4nganse que # - & son los mejores. /o primero que se debe +acer es la lista de puntos muestrales (E i), para lo que se %orman las posibles combinaciones.

Pu n t o M u e s t r a 

Pare!a

P" E # $

E#

#, &

#C#

E&

#, 

#C#

E

#, *

#C#

E*

#, 

#C#

E

#, 1

#C#

E1

&, 

#C#

EH

&, *

#C#

EI

&, 

#C#

EJ

&, 1

#C#

 

E#!

, *

#C#

E##

, 

#C#

E#&

, 1

#C#

E#

*, 

#C#

E#*

*, 1

#C#

E#

, 1

#C#

Kota0 En el caso de combinaciones nunca se debe repetir parejas, -a que no importa el orden, se trata de combinaciones - no de permutaciones. permutaciones. Si cada pareja tiene la misma probabilidad de ser elegida, entonces la probabilida probabilidad d de cada una es #C# 8 !,11H Lesultado0 omo los dos mejores solo est2n en la pareja E#, la probabilidad de escoger a los dos mejores es la probabilidad de E#, esto es #C# 8 !,11H.

CUARTO TEOREMA Si Ei: es el complemento de E i , entonces0 3 (E i:) 8 # ; 3 (E i)

%UINTO TEOREMA 3ara cualquier número de eventos mutuamente exclu-entes  3 (E i) 8 3 (E #) > 3 (E &) > 3 (E ) >...=> 3 (E n ) En particular, si E 8 S, el espacio muestral, entonces es0 3 (E #) > 3 (E &) > 3 (E ) >...=> 3 (E n) 8 #

SEXTO TEOREMA  Si  - 6 son dos eventos cualesquiera, entonces0  uni4n uni4n

Es aquel aquel evento evento que tiene tiene to todos dos los pun punto tos s mue muestr strale ales s de , o de 6, o de

ambos.

S&PTIMO TEOREMA 3ara cualesquiera eventos  - b0

OCTAVO TEOREMA Si un evento evento  debe debe dar como re resul sultad tado o la ocurr ocurrenc encia ia de uno de los evento eventos s mutuam mutuament ente e exclu-entes exclu-ent es  #, &,=, n, entonces0

 

 inte inters rsec ecci ci4n 4n muestrales comunes a  - 6.

Es aque aquell ev even ento to que que co cont ntie iene ne únic únicam amen ente te los los punt puntos os

En adelante se usar2 6 para decir intersecci4n entre  - 6. omplemento omplemen to de un evento

8  (puede leerse como “no )

Son todos aquellos puntos muestrales que estando en el espacio muestral no pertenecen a .

Entonces la probabilidad probabilidad de > probabilidad probabilidad de

(no ) 8 #

2 .'.  ESPACIO (INITO E%UIPRO)A)LE   Supongamos que se tiene un espacio muestral fnito, es decir que sabemos con exactitud cuantos elementos posee, al que llamaremos M, - est2 compuesto de n elementos. Si todos los elementos poseen pose en la misma misma probabil probabilidad, idad, entonces entonces decim decimos os que es un espacio espacio f nito equiprobab equiprobable. le. Sus caracterNsticas caracterNstica s son0 3 i  < !, - que la suma de las probabilidades de los elementos de S sea igual a #, es decir ? 3 i 8 #. En el caso de que un espacio muestral no tenga esas dos caracterNsticas, no es un espacio fnito equiprobable. 3ara determinar la probabilidad de que ocurra un evento  cualquiera en nuestro espacio fnito equiprobable entonces0

onde 3() es la probabilida probabilidad d de que ocurra el evento . r 8 maneras de que ocurra el evento

8 probabilidad asociada a cada uno de los puntos del espacio muestral n 8 número de elementos del espacio muestral Ejemplo0 Se lan'a lan'a al aire aire una moned moneda a norma normall (una (una moneda moneda per%ec per%ectam tament ente e equili equilibra brada) da) tres tres veces, veces, determine la probabilidad de que0 pare'can pare'ca n puras 2guilas, b. pare'can dos soles, c. pare'can por lo menos dos 2guilas0 En este caso se tiene un espacio muestral fnito equiprobable, pues sus elementos son dos0 2guila - sol, es decir es fnitoO - es equiprobable, pues la probabilidad de que salga 2guila es igual a la probabilidad de que salga sol, es decir que cada una es igual a !@. Entonces primero defnimos el espacio muestral en cuesti4n con un 2rbol de decisi4n0

 

2.*. PRO)A)ILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDDE INDEPENDDENCIA NCIA   En algunos casos dos eventos se relacionan tan estrec+amente que la probabilidad de que un evento eve nto ocurra ocurra est2 est2 co condi ndicio cionad nado o a la ocu ocurr rrenc encia ia o no del otro otro evento, evento, a lo cual se le llama llama probabilidad condicional, la cual se representa con una %racci4n, 3(6 P ). Es decir, la probabilidad condicional de 6, dado que +a-a ocurrido el evento . 3or ejemplo, en el mercado cambiario el valor de una moneda est2 relacionada con el valor de otra, como es el caso del valor del d4lar - el euro, los cuales est2n relacionados. Suponga que el experimento consiste en observar si el euro est2 a la al'a %rente al d4lar. Sea el evento  que el euro est2 a la al'a %rente al d4lar en el mercado cambiario cambiario de Europa antes de la apertura del mercado local a las J.!! am - sea el evento 6 de que el d4lar est2 a la al'a en el mercado local despu$s de su apertura. /os dos eventos est2n relacionados, porque generalmente se mueven en el mismo sentido durante la ma-orNa de los dNas. 3or lo tanto 3(6) de que el euro est2 a la al'a %rente al d4lar en el mercado local, no es igual a la probabilidad de que ocurra 6 dado que se sabe que el euro -a est2 a la al'a (evento ) en el mercado europeo. Sup4ngase que el euro est2 a la al'a %rente al euro !@ de todos los dNas del mercado cambiario, 1!@ de todos los dNas est2 a la al'a en el mercado local. Es decir, 3() 8 !. - 3(6) 8 !.1. Entonces, si -a sabe que el euro est2 a la al'a %rente al d4lar en dic+o mercado, la probabilidad de que est$ a la al'a en el mercado local ser2 1C. Esta %racci4n, 3(6) C 3(), se llama probabilidad condicional.

DE(INICI+N /a probabilidad condicional de 6 dado que +a-a ocurrido el evento  es0 3(6 P ) 8 3(6) C 3()  Q la l a probabil prob abilidad idad condicion condi cional al de  dado que +a-a ocurrido ocurr ido el evento e vento 6 es0 es 0 3( P 6) 8 3(6) C 3(6) Si la pr proba obabil bilida idad d del resulta resultado do  no depend depende e de la ocurr ocurrenc encia ia de un segund segundo o evento evento 6 (o viceve vic eversa rsa), ), decimo decimos s que  - 6 so son n evento eventos s indepe independi ndient entes. es. En t$rmin t$rminos os de pr proba obabil bilida idad d se expresa expres a que  - 6 son eventos independientes si0 3(6 P ) 8 3(6) o bien 3( P 6) 8 3() Se dice que dos eventos  - 6 son independientes si - solamente si0 3(6 P ) 8 3(6) o bien 3 ( P 6), de lo contrario se denominan dependientes. dependientes. e esto se desprende la0

 

REGLA MULTIPLICATIVA PARA LA INTERSECCI+N DE DOS EVENTOS. /a probabilidad de que los dos eventos  - 6, ocurran es 3(6) 8 3() 3(6 P ) 8 (3(6) 3( P 6) Si  - 6 son eventos independientes independientes 3(6) 8 3() 3(6) e manera similar, si , 6 -  son eventos mutuamente mutuamente independientes, entonces, la probabilidad probabilidad de que ocurran , 6 -  ser20 3(6) 8 3() 3(6) 3(). Sup4ngase un experimento donde se eligen arbitrariamente tres acciones comunes0 , 6,  entre las !! acciones utili'adas para calcular el promedio accionario de S R 3!!. El objetivo es calcular la probabilidad del rendimiento anual para los tres tipos de acciones que sea ma-or que el pr prome omedio dio de SR3. 3r 3rime imeram rament ente e podemo podemos s defnir defnir como como event eventos os , 6 -  tengan tengan un mejor mejor rendimiento del promedio del SR3. - sup4ngase que la probabilidad del evento  sea #C& - la de los eventos 6 -  sean iguales al evento . Soluci4n0 enemos que 3() 8 3 (6) 8 3 () 8 #C&. El evento donde las tres acciones , 6 -  sea ma-or que el promedio de SR3 ser2 donde los tres eventos se intersecten. omo no sabemos cuales son las probabilidades condicionales para los eventos , 6 -  no podemos utili'ar la %4rmula de slaeventos probabilidad condicional para probar la seleccionar independencia. que intuir que los tres tre even tos son independie indep endientes ntes, , -a que se seleccio naron on alEntonces a'ar - estenemos poco probable pro bable de que una acci4n inTu-a en gran medida a la selecci4n de otra. sN que podemos calcular0 3(6) 8 3() 3(6) 3() 8 (#C&) (#C&) (#C&) 8 #CI 3or lo que se puede concluir que la probabilidad de elegir tres acciones cu-o valor supere al promedio del SR3!! es de #CI.

2.,. TEOREMA DE )AYES   Este teore Este teorema ma es solam solament ente e una aplic aplicac aci4n i4n de la defnici defnici4n 4n de pr prob obabi abilid lidad ad condi condicio cional nal,, sin embargo en ella se %undamenta la teorNa ba-esiana de la estimaci4n, la cual permite modifcar las probabilidades a partir de nueva in%ormaci4n. “Sea 6#, 6&,=., 6,=6 n   eventos eventos mutuament mutuamente e ex exclu-e clu-entes ntes - colectiva colectivament mente e ex+aust ex+austivos ivos - sea  otro evento del mismo espacio muestral S, entonces0

emostraci4n 3or la defnici4n de probabilidad condicional tenemos

====(a) En el caso de dos eventos

 

Si existe la intersecci4n decimos que

====(b)  Q del de l teorema te orema de la probab p robabili ilidad dad total

====..(c) Sustitu-endo (b) - (c) en (a) obtenemos la %4rmula del teorema

Ejemplo0 Una empresa dedicada a vender ropa por correo o%rece dos lNneas de productos, una m2s cara que la otra. Una encuesta de #!!! pedidos produjo las secuencias de los pedidos por lNnea de productos - por el sexo de los consumidores como se presenta en la siguiente tabla. Sup4ngase que se selecciona uno solo de los pedidos de los #!!!.

Se- o

L n ea /e 0ro/u1tos

Tota

2 Masculino

#& #*H

&HJ

Vemenino

#1 &!

H&#

Tota

*4 3'2



alcular la probabilidad del evento 0 el consumidor es mujer Wallar la probabilidad del evento 60 el pedido es para la lNnea de productos #. Wallar /a probabilidad de que el pedido sea para la lNnea de productos # - que el consumidor sea mujer. alcular la probabilidad de que el pedido sea para la lNnea de productos productos #, dado que el consumidor sea mujer. emostrar que  - 6 son, o no eventos independientes. independientes. Utili'ar las probabilidades calculadas en los incisos de (a) a para demostrar que 3(6) 8 3() 3(6 P ). Ejemplo &    res res erolNneas erolN neas tienen tien en un retraso retra so del *! @, ! @ - H! @ en sus vuelos vuel os nocturnos, noctu rnos, si despu$s desp u$s de e%ectuado el viaje, arlos comenta que el avi4n sali4 a tiempo, cu2l es la probabilidad de que +a-a utili'ado0 a) /a aerolNnea & b) /a aerolNnea 

 

Soluci4n a) Utili'ando la misma notaci4n - aplicando el teorema obtenem obtenemos os 3 8 3robabilidad L 8 /legar con retraso 8 /legar a tiempo  8 erolNnea

Sustitu-endo los valores obtenemos

onsiderando lo anterior podemos decir

Esto quiere decir que tiene el .H@ de probabilidades de +aber viajado en la aerolNnea & b) onsiderando que el denominador representa la probabilidad de que salga a tiempo tan solo modifcamos el numerador. numerador.

Esto quiere decir que tiene el &#.*@ de probabilidades de +aber viajado en la aerolNnea 