Espace Math 5e-6e Exercices & Outils 4h.pdf

Aux utilisateurs de ce texte. Pour les mathématiques, tu as choisi i'option > et leurs solutions qui serviront contrôler tes acquis du chapitre qui vient d'être étudié;

-

des g(x)

e(")+11)

- +P

) (lelnrrlo leç rirrn rrr.-'

ainsi formée. 2) Caractérise cette :rl 3) Montre que. pour :, 4) Calcuie u"(n : ^,

1).

7.1. Détermine le réel x pour que les trois réels 2x- l, x * 2 et 1 - 3x soient trois nombres consécutifs d'une suite

: :,a-'i:el u. u. - un-t *

4.

erif hméiinrrp

75r. Détermine les cinq premiers termes d'une suite arithméti-

que dont le premier éga1e 3 et le quatrième égale 17.

tt 80. Parmi les suite,.

s'-r:

r..:-:i:. :icunnàis

celles qui sont géomé-

triques. / t).

Détermine Ia somme des vingt premiers termes de la suite arithmél.ique 1, 4, 7, 10, ...

: 1 +3 + 5 I7 * ... I37; S:2+4+6+8+...+30.

77. Calcule 1) S

2)

78. Dans une grande surface, Ie préposé a étagé des boîtes à conserves identiques de la manière suivante: a) Combien y a-t-il de boîtes dans la douzième rangée

?

h) Cnmhien v a-t-il de boîtes dans douze rangées consécutives sommet ?

24

à partir du

? -t-',

o t1 i

t)-1'-Ol

-rtrr

3) -r,r.

rlr,ll:...

1132 2' 2' 513'"

4) l.t.c-l.r-2.

Dans le ca: dç -,:.'-- -É' 111ct r it;ueS. a) calcule la lais,,.n c-i ie dirième terme; b) exprirr'" rL- rr."rrràr. es1;licite le terme général ur: c) defini- la furreiiut. qrri lui est associéê: d) repré.ente *raphi.qrLement cette fonction dans le plan cârtésien:

e) calcule Ia sonme des quinze nremiprc fprmeq' f) exorinre. en forrcriorr de n. la somme des n premiers terlnes.

EXERCICES

2. SUITES

:1. Soit ia suite a7) a2) . . . j aù

t'-

f.':t t.'rq o'e {

telle quq

I ".

: 8,

86. En 1990, la population de deux villes est donnée dans le

tableau suivant

,n

)

vilk A vilie

r).

Exprime le terme général a. et la somme

.2, Détermine le réel y pour que les trois

a1

réels

t

â2

t

Popnlation

Augrrgntation (supposée)

3, y-1 , 2y-I

arrrmeilc

que dont le premier est 1 et le septième est 64. 8.

,,i v XXX

t

P\P\

X

- ^' " 1\ )L6

3r 5) 71..,

MAMAN

X \{OI

a) Combien comptes-tu d'a-scendants à ia 4' génération, à la 5' génération ? b) Caractérise la suite des nombres obtenus en calculant le nombre de tes ascendants à chaque génération. c) Calcule le nombre de tes ascendants à la 12" génération. d) Si I'on compte environ vingt-cinq années par génération, combien comptais-tu d ancêtres à l'époque où Christophe Colomb decoutrait I Amérique (... il y a environ cinq cents ans ) ? Ce résultat est-il le reflet certain de ]a réatité ?

'{l 'Jt 4' 16' 64' 2s6

A\

h) Carar-térise

[u, -10 lr"_y-l(.in>l). 2 t"

/

u,

de ces suites.

ccc suiles.

c) Convergent-elles ? Si oui, vers quel nombre

?

Écris ta réponse en langage de limites.

88. Soit la suite

u1

rLrz,...,u. telle que

rr Jut:8 I r"

:

ir"_r;

fu':-3

.iot \,l

2u,_r

Ir":Ë'(si

n>1).

Ces suites convergent-elles

b) Calcule

)

4%

2) -5; -3;-1i1;...

a) Exprime le terme général 1'" génération

2%

87. Considère les suites suivantes:

J e 27 8r

v

X

80 000

2.3

\/\/ 2" gênération

120 000

a) Représente graphiquement la variation des deux populations de 1990 jusqu'à la fin de I'année 1999. b) Après combien d'années la population de la ville B dépassera-t-elle celle de la ville A ?

.3. Détermine les huit premiers termes d une suite géométri:1. Calcule:1*0, 1+0,01 +0.001 -...+10 :-r. Constitue ton arbre généalogique:

B

. . . -f ân.

soient trois nombres consécutifs d'une suite géométrique.

3" génération

:

S"

(n

) 1).

? Si oui, vers quel réel c) Calcule

?

"IgS"

UN PETIT BOUT D'HI'TOIRE - INVENTEUR DU SYMBOLE oc Très précoce, le mathématicien anglais John Wallis

étudia le grec, le latin et... l'hébreu. À quinze ans, il se lance dans l'étude des mathématiques. A vingt-quatre ans, il est ordonné prêtre et accepte une chaire de mathématiques à l'univer-

sité d'Oxford qu'il occupa jusqu'à sa mort.

Son grand mérite est d'avoir été un précurseur d'lsaac Newton en calcul infinitésimal. ll est le premier à définir correcTement les exposants nuls, négatifs et fractionnai res. ll est l'inventeur du signe

)c pour symboliser la no-

lion d'infini. John Wattis (1616-1703)

lsaac Newton

(1

642-1 727)

)

25

2. SUITES

EXERCICES

POUR S'AUTOCONTRÔLER 89, On donne la suite arithmétique 1 , 5,

9, 13,

92. Une entreprise produit 30000 unités d'une même mar-

...

a) Calcule le 25' terme de cette suite. b) Quelle est la place occupée par le nombre 65 de cette suite

?

L-l' chn ndise le nrem ier mols apres sa mrse en acTlvltre. ^^+i'.;+i Lr. diminue ensuire sa production de 1000 unités par mois. -

a) Détermine

le nombre d'unités confectionnées le 14'

mois.

c) Calcule la somme des vingt-cinq premiers termes.

b) Combien de nrois faudra-t-il pour qu'eile ne fournisse nlr rq

90. On donne la suite géométrique

a

r:cr

r

np

rr n

irç I

c) Calcule le nonrbre total d'unités produites depuis 1a mise en activité jusqu'à l'arrêt de la production de la

I O -- 1 -1 -8,.. 2, -, -' -1

marchandisc ett qtle>t ion.

a) Calcuie le 13" terme de cette suite. b) De combien de nombres consécutifs de cette suite, à 311 partir du premier, Ie nombre '""'- la somme?

2 ".t-it

_1;+-*=-r-...+ I I 2 4 8""

-

1

91. Calcule

.93. Un manuel scolaire perd chaque année 20To de sa valeur.

En 2001, un nanuel neuf coùte 13€ . a) Que vaut-il encore après dix ans ? b) Après combien d'années ne r-aut-il pas plus de 0,02€

1024'

?

SOLUTIONS DES EXERCICES POUR S'AUTOCONTROLER 89.a)tzs

92. a) ll s'agit d'une suite arithmétique de premier terme 30000 et de%

=1+24x4=97.

b)65=1+(n-1)4 ++

raison -1000:

n=17.

tr+ = 30000

c) szs = 1225.

0=30000+(n-1)(-1000t -n =31 3o ooo + o c) sar = al s.. = 465 ooo.

-)l-z)t' = -2048. 341 1 1-(-2)n b) .

t-\

1

I



0) en

1

.

Porte le point B de P ,

c) Construis la sécante AB, notée s. Quel est, en fonction de h, le coefficient angulaire

des?

d) Fais tendre B vers A sur la courbe P. Par conséquent, vers quel nombre tend la variable h ? Vers quelle droite t tend dès lors la sécante s ? Construis la droite t. e) Calcule la limite, pour h tendant vers 0, du coefficient angulaire de s trouvé en c). Manuel, page 66.

f) Qu'est-ce que le nombre trouvé en e) pour la droite t ?

On donne la fonction

a) Calcule

f(-

1) et

f

: IR

f(-

1

---+ IR

:x

---+

!x' 2

+ 2x.

+ h)

ou h est un accroissement positif donné à la variable x en

1

-

1.

39

ACTIVITÉS

DÉRIVÉES

b) Evalue l'accroissement correspondant de la fonction en -

1 : f(

-

1

+ h)

- f( -

1).

c) Calcule le rapport des deux accroissements (donnes-en une expression simplifiée1-

t(-1

+ h)

- f(-1)

.

h

d) Calcule la limite, pour h tendant vers 0, de ce rapport. Dessine te graphe cartésien de f. Porte le point A(

e)

-

1

.

f

(-

1))

.

Complète le tableau suivant:

f(-1 si

+ h) =

h)) B(_1 \ + "'.t - \ + h:f(_1

Coefi c ent angulaire :e .a sécante AB

h=2

si h = 1,5 si

h=1

\,

sih=0,5 sih=0,1 si h = 0,01 Lorsque h tend vers 0

-

vers quel point de la courbe tend le point B ? vers quelle position tendent les sécantes

?

vers quel nombre tend le coefficient angulaire de ces sécantes

?

Compare ce dernier nombre avec celuitrouvé en d).

Manuel, page

66'

Tente de tirer une conclusion de cette comparaison.

3

Dans un ancien livre de mécanique, on lit, entre autres: 3

3) log* 10:2

6) log2x <

1) logr(3x

tI

2) log /1000

\/125

1

5) logo,r(2x - 1) <

3

9.

63

6. EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES

EXERCICES

275. Calcule, à 10-2 près par défaut, le coefficient angulaire de la tangente à la courbe ti ]FFF-

*ffi s6E

{1ois;rl

-:-f:

-\ / ::o

I

276.

l

!X

Ë

JI

": ''

"

L

,t

lnx

@ Y: in2x @ y:inx*ln2

21n(x

\'

3) (ln3x)'

2) (ln3x)/

4) (lnx3)'

5) (xlnx)'

In2

*

2)

2lnx.

i_

{

-i

l[:]

268. Simplifie l'expression

lil

,) (i;)

4_ 7r

1't:'

t7:t1

/

:

rIl - lne- - -;tne + ln -.e

i1

ir :.

\"

i+i

269. Simplifie I'expression

F(x)

-

G

1) ' (3tnx-:) x/ \

lne

:

O Y:r"ï

267. Calcule:

/

\,

chaque équation cartésienne suivante, associe une

courbe dessinée

(2i

lN.

': :1' ':

(8;3)

]1|]H ++'ljl

LI

6'4

1)Y: lnx -- au Point d'abscisse e; z) y: tn;* lln2xau point d'abscisse 1.

J_

i-,

:

lne".

"lnx - "3In2 Dis pour quelles valeurs de x, F(x) est un réel.

B

v

270. Calcule sans faire usage de ta calculatrice: 1) lne3

z)

n4

3)

(3t0,40.

hf.

:+:l

::li fli

1f

rqz o

,') I

271. Utilise Ia propriété de réciprocité de ln et exp pour compléter sans I'aide de la calculatrice:

,r1n lll r,/€

II

Car

=2

rn[-_l:-s

2)

lTl 3) +ve' -e"

e

--.ï-

:1

I

I2 --d,' -:

et s'écroula

309. Résous dans IR : 1) lnx2 T (lnx - 4)(ln'?")

foudroyé par une crise cardiaquc.

rr ^'--'é nrrc le nomhrc de orains de riz de rr -'^''^:r rr @volr (urrrPrr

:

-

2

5

:

ln x

0.

-

5

:

0.

0;

2)#20; t lnx

la

soixante quatrième case. Explique pourquoi cet énroi funeste.

3) loer (4 ' *2)

loql x q log. x.

UN PETIT BOUT D'HI'TOIRE

LE NOMBRE DE MONS]EUR EULER

.

Uinvention des logarithmes (voir Manuet, page 112) fut une réelle révolution dans I'histoire du calcul. À ce sujet, le mathématicien français Pierre-Simon de Laplace écrivit:

"llinvention des logarithmes permet d'effectuer en quelques jours des calculs qui prenaient plusieurs mois. De ce fait, cela double la vie des calculateurs.D o C'est dans les ouvrages du suisse Leonhard Euler que I'on trouve la première fois, P-5. de Laplace (1749-1827)

en 1728,la notation e pour la base des logarithmes népériens. Sans le nommer, le nombre 2,7182... était connu bien avant Euler. Déjà le Belge Simon Stévin, plus de cent ans plus tôt, travailla sur des tables d'intérêts

composés. On y trouve le nombre 1 + ] qui prit une grande importance car ses puissances, (1 * *)n, étaient *aisées' à calculer:

/

-l

n

Lt1-

10

1,1

100

1, 01

\

000

1, 001

10000

1, 000

1

1,000

01

1

1

L. Euler (1707-1783)

l'1

00 000

r \" +-ln/

2,5937 2.7048 2.7169 2.71814 2.71826..

(voir l'exercice 302)

71

EXERCICES

6. EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES

o Les fonctions logarithmes et leur représentation graphique furent connues du Français René Descartes et de l'ltalien Evangelista Torricelli vers 1635. Vingt-cinq ans plt' tard, l'Anglais lsaac Newton, l'Allemand Gott{ried Leibniz et le Suisse Jean BernouL travaillent sur les fonctions exponentielles et prouvent qu'elles sont les réciproques des fonctions logarithmes. Les dérivées de log x et de exp x furent calculées par Leibniz vers 1694.

S. Sfér,'ln

(1

548-1 620)

E. Torricelli

R. Descartes (1

596-1 650)

(1 608-1

J. Bernoulli

647)

(1

654-1 705)

Depuis l'arrivée des calculatrices miniaturisées, le logarithme a perdu de l'intérêt du point de vue de la simplification des calculs. Mais I'importance des fonctions logarithmes et des fonctions exponentielles demeul considérable pour la modélisation mathématique de phénomènes dans des domaineF très diversifiés. En voici quelques exemples !

Domaines d'utilisation

Loi donnant

Formule

Vocabulaire

Économie

le capital Cn placé à intérêt composé après t

Cn=Co(1 +k)t

k:

(voir exercices 284 et 302\

années

Démographie et Biologie

le nombre d'individus N(t) après t années

I'intérêt annuel.

N(t)

No: nombre initial

=Ns.at

d'individus;

a:

ttrroir ovcreieoq

facteur

d'augmentation ou de diminution de la population.

242-253-299)

Chimie

taux en % de

le pH d'une substance

pH =

-

log[H.]

[H*]:

(voir exercice 264)

Acoustique

le niveau sonore

(voir exercice 307)

bruit

a

d'un

a=10log,o

I

10. L

concentration en ions d'hydrogène.

intensité minimale;

intensité du bruit émis.

Médecine

la quantité Q(t) d'un certain médicament

Q(t) = oz, s (r

-

(0. es)t

)

t:

temps après I'injection.

dans le sang la portion survivante f(x) d'une cellule cancéreuse après

x bombardements radiothérapeutiques

72

l(x)

=s

^

k:

la taille moyenne d'une cible cancéreuse.

6. EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES

EXERCICES

\

Domaines d'utilisation

Loi donnant

Formule

Physique

la quantité r(x) de lumière qui pénètre un

I(x) =

1o

Vocabulaire

16etc:constantes

.6*

déterminées expérimentalement, x: profondeur atteinte en mètres.

océan

la pression

atmosphérique en fonction de l'altitude la vitesse de

décélération d'une particule lancée dans

p = 734. e1

13

la charge d'un condensateu r électrioue qui se décharge

5h

h:

altitude en mètres où la mesure est réalisée.

v(t)

-v6.e

ul

t:

temps en secondes vo: vitesse de lancement,

I'air

\

10

a: constante physique Q(t) = Qo .ek'

t:

temps de décharge en secondes, Qo: charge initiale du condensateur, constante physique

k: Sismologie

Radioactivité

la magnitude R (ou importance) d'un tremblement de terre, sur l'échelle de Richter

R=logU

la quantité de radium après t jours de

q(t) =

16

|

q6

Z- *a

:

:

intensité minimale, intensité du séisme.

Ç6: Çuantité initiale de radium.

désintégration

\

\

73

r

I

!

cALcuL INTÉcRAL

6e pour tous

Compétences à attei ndre Calculer une pri,mit'iae s'imple, une i.ntégrale définie simple en utr,ltsant les méthodes classi,ques de substitution et d'i.ntégratr,on paï- parti,es. Justi,fier Ie lien entre I'i,ntégrale définie et la primiti,ue. Appliquer l'intégratzon pour résoudre des problèmes issus des mathématiques, des sci,ences, de l'économie. Modéli.,ser des problèmes de man'ière à les trai.ter au rnoyen des intégrales.

\

ACTIVITES POUR DECOU\/RIR On donne les fonctions définies par f(x) = x4 + xz +x; g(x) = f(x)+ 8; h(x) = f(x)

-

27.

a) Détermine ft(x), g'(x), h'(x). Compare ces dérivées. b) Le même travail t'est demandé lorsque f(x) = 5i11v; f(x) = l11v; f(x) = 5' c) Trouve une expression générale des fonctions ayant même dérivée que celle de f(x) dans les quatre cas précédents. .

Manuel, page 't 15.

Le but de I'activité est de déterminer I'aire de la partie S du plan décrite ci-après, en l'approchant de plus en plus finement, au moyen d'aires de figures aisément calculables, ici, des rectangles. Le graphe cartésien de la fonction f : [O;2] ---+ R : x -+ x2 est donné dans un repère orthonormé ainsi que la partie S dont I'aire est à déterminer: a)Découpe [0;2] respectivement en 2, 4, B, 16, ... 2n sous-intervalles de même longueur et construis les rectangles dont les bases sont les longueurs des sousintervalles et dont les hauteurs sont respectivement 1) la plus petite valeur que prend f(x) sur le sous-intervalle; 2) Ia plus grande valeur que prend f(x) sur le sous-intervalle. Pour t'aider, voici une évocation graphique lorsque [0;2] est divisé en quatre souL

intervalles:

i l'

,

--

l

b) Note . S^, la somme des aires des rectangles de plus petites hauteurs;

.

la somme des aires des rectangles de plus grandes hauteurs; et compare S, Sm ef Sirz I pour un même découpage de [0; 2]; I pour divers découpages de [0:2]. S1'1,

Lorsque le nombre de sous-intervalles augmente, que peux-tu dire de la suite des S^, de la suite des Sy ? Ou se slfue S par rapport à ces deux suites ?

74

\-

7. CALCUL INTEGRAL

EXERCICES

c) Soit 2n, le nombre de sous-intervalles en lesquels [0; 2] a été découpé.

S,

En t'aidant de ta calculatrice ou de ton ordinateur, calcule

et

Sp1

pour les valeurs

naturelles de n comprises entre 1 et 15. Souviensloi que tous les sous-intervalles ont même longueur ! Que concluerais-tu en ce qui concerne S ? d) Cherche une fonction F(x) dont ta dérivée est f(x) = v2 Calcule F(2) - F(0) et compare le résultat avec les conclusions que tu as tirées en c). Que t'inspire cette comparaison ?

t\

.

Manuel, page 123.

E'.ERCICES POUR APPLIQUER 312. Trouve les fonctions dont la dérivée est donnée par

7.1

o ) @ x+2y+6=0 =+ , = _!*_"

,/_,

U=

72r

{

3)dx (u.A.) /_r,-;r -

7.3

343.1)

2t 3)

ï

I_"'

ffi"=

;l,.lt2 -4t+r']_,

=

]t,nr-rn1s)

='"ffi.

i l_,' z1t- 211t2-4t+o)-2o' = ; l,l-hf',= +(+ - +) fo

t^ntrt+tan2t)dt=

=

#

l+];=o- ] =-+

7.4 344. 1)

o=

l' yr- x)dx = lr" - +]-, = (' - ;) -(-,-;)

=4(uA)

{

7. CALCUL INTÉGRAL

EXERCICES

-i | r-r-) o" ^=- J+ \ 4) " 2,

\

'\

*tl'

[

=-lx--l

| 12 16\ 8...^ / - 2\ / = - | -2+; | + | -4+ ; I = ; (U.4.) \) / J J,/ \ \ 1

A=,1

.t)

î

f4

Jo

-37 1 l'T

2cos2xdx

- , J+ 2cos2xdx , lr 1i I

=

I,L''"*lo -

t

t3Ë\

L"'"'-l*

-I(r-o) (,-')) Variante

=|tror

rapide: En examinant la partie coloriée, on s'aperçoit que l'aire est égale, pour des raisons de symétrie, au triple de l'aire sous

courbesur

\ 345.A=

/

o=, fi ro

[0,+ L 4-

l',(t*'.r,

,,-,))

a*=

cos2xdx=

*[.'.r-]" 2 2L lo = *,r.o,.

1 + I \| * [x3 l_ _ _x2+xllt = |/l_ _ _2 2 l'.{*"-x+1)dx= L3 / )_, \3

/ 1 | __ _ _ 1

\ 3

2

\n -tl=:(u.A.). /3

En lraçant les deux courbes, on s'aperçoit qu'elles se coupent aux points d'abscisse respective 1 et 4.

A=

=

14/ 3)/ ((3\ix -

(x'

tst/x - x'

-

6) dx

-

6xl

J.,

+ 4x

=lrJ*+. 3 L' -! \3/\3/

= (,u

+sz-24)

ax+3)

\ )

dx

Jr

- (r- | *,

o) =s tu.n.r.

b) Un cylindre de hau-

347. a)

teur Ax = Xk+1 et de rayon f(xk).

-

14

d) V = z'

2x2

-

Jo

rrJrf

dx =

;

2 l2x t0

--

32: -.v

Xk

:

\ 81

la

7. CALCUL INTÉGRAL

EXERCICES

POUR CHERCHER f^ sin" x dx sur un intervalle I de lR en pensant / J à la formule de (-lalnot : 2 sin2 x : 1 - cos 2x. \ b) Fais de même pour calculer [ .o"".dx sur un inter.l valle I de IR, sachant que 2cos2x : 1 * cos2x.

351. a) Calcule

7.L

848. a) Dans les exercices qui précèdent, tu as rencontré des fonctions à intégrer qui comprennent ln x. En voici d'autres à calculer sur un intervalle I de JRf L^-l^ ^^pzlr' l^ la nler -Xi rruue

/ lnx

1) /-'' x .l

approprree

:

d*

c) Pa,r contre. nour calculer

352. a) En transformani f(x) algébriquement, calcule sivement sur un intervalle I de lR :

f1

3) / xlnx '1 a" ./ f lnt -

4) / ïd* .tx

(ne

N6)

b) Le travail algébrique devient plus lourd pour calculer

r^f x(x *

5) '.1/ xlnxdx

/ J.l

f6) / x"lnxdx. .l b) f(x) : lnx s'intègre-t-e11e immédiatement grâce à une a*. "'^ "^ .//t,r*

formule trigonométrique, transforme

\

IR ,

d) Utilise

I -

1e

-l

/

"ot

lx c Z}).

l-+, z +l zlJ / d"*dx

f2

1) I x dx : J _1

par parries.

I de lR ou d'une partie mentionnée de ]R les primitives suivantes sachant qu'il te faudra d'abord transformer algébriquement la fonction à intégrer: f^f

t) I (3ç I 4)' de; 2) | (x- t)(z J.l f - 1x 1: 4) tfx3+5x2 3) /(r r)y4dr + J,JX'

6)

t)

dv (R \ {-1}) r2

/ (" - "-*,) t

| +clnv

/ ;#ï

dt

(JR

10\

J

@_D,

q J ;F+. n)

82

re

3) / lnxdx:1*k. Jl

x) dx

4) Toute intégraie définie représente une aire. r"u'rç -^ r^..^ 5) Torrle intésrale définie a et L uu "-'i'l': aux ':l' bornes ""1'l::'"' tion intégrabie sur la: bl est un réel.

/ dx(lR6;

354. Vrai ou faux ? Justifie ! Si l'énoncé est faux, corrige-le

\

{[

+knlr< eZ\1

', /=;1 +3)' da (JRfi) s1 [ Q J t/a f ,2 -l )r.

1,5 unité d'aire.

7.3

dx

dx

(rRô)

dz(lR\{ t})

It-#:j]d"

!

1) Si f est une fonction continue et pa'ire sur f-ar a], alors fu f^

i r(") dx: 2 /

f(x) dx.

J a Jo 2) Si f est une fonction conti,nue et 'impaire sur l-a: a],

alors

r"

/ f(x) dx: JA

355. . Soit f(x)

4r _

0.

1

x-2

a) Détermine les réels a et b pour que

4x-1

(R\ {z})

^du

!

2) L'intégrale indéfinie d'une fonction sur un intervalle I de réels est l'ensemble des primitives sur I de cette fonction.

350. On te demande de calculer sur un intervalle

f ,

/"! x(x 1-' 1)t' ', -' dx sur un intervalle I deI la transformation est fastidieuse ! Essaie, dès lors,

353. Vrai ou faux. Justifie ! Si l'énoncé est faux corrioe-le

)

l" ,, L) 5t I L. : vTL .l

dx.

7.2

* d*.

"l trouvé en b) pour ca1culer, sur résultat r

l)"

par parLies. Esl-ce plus rapide ? changes judicieusement la variable x, tu peux même calculer cette intégrale indéfinie par substi,tufiion. Essaie !

p / tun* d"

{kn lU e 217. calcule

x(x -f

d) Si tu

(sur I de R \ {â +xn c) À t'aide d'une démarche analogue (sur I de (JR

/

:

c) Pour calculer

tanx en un quotieni. ensrrir

de lR

Toutefois, songe à développer (x + 1)3 et (x * l)a par la formule du birrônre cle Net.torr... (Manuel, page 234) (Si tu n'as pas encore étudié cette formule, effectue (x + 1)3 et (x f 1)a en utilisant des multiplication).

?

Si non- ttorrve rrn procédé pour calculer -"'

h) Crlrrrle v/ vur\

I 1)'dx

sur un intervalle

À l'aide d'une

succes-

[ *t*+l)2dx

/xtx-1)dx J,I

r

34g. a)

dx " sur l-i;ii,,

transforme trigonométriquement tan2 *.

r 1^2-

2\ / "'^a" .lx

formule

Itun". ./"*'^

. 2 -of-t 4* t b) Déduis-en / *dx.

b

x_ 2

I

\

7. CALCUL INTEGRAL

EXERCICES 2-.2 .^ -^+l

a Juir rtx,:

c) Si l'épaisseur du mur est 0,20 m, détermine le volume

(x + 2)(x 3) a) Détermine les réels a et b pour que

a

a

3x2-x*1 ,-?, -.

b) Déd.,is-e,r

de briques qu'i1

= --?

fenê-

lunule.

-

v

3x2-x*1 ;[' (x-2)(x-3)

1

dx

i;i;

\,6,^

-I*,1

7.4

1a

359. Observe le carré OABC, dans lequel on a dessiné une

b

ut - --t

faudra extraire pour construire

tre.

\,6;

356. Vérifie par calcul intéera. ies iormules usuelles donnant I'aire des figures sur\'àntÊs

0,562

0,5

:

aî)

o,25

I

0,0625

H

o

1

o,25

o,75

a) Calcule les aires des trois figures coloriées. b) Montre que ces trois surfaces ont chacune une aire qui est égale au tiers de celle du carré.

o1

le triangle de sommets A(1:2), B(3; 3) et C(4; -1), dans un repère orthonormé du p1an. Partage-Ie en surfaces dont l'aire est aisée à calculer par des intégrales définies.

360. Dessine

361. Calcule l'aire de la partie du plan délimitée par les courbes d'équation y2

357. À Barcelone. l arc:-::. I rrriro

rrno

fa.---

coloriée darr.

.l

rre ,t, li avait voulu naguère cons: -a folme est donnée par la partie

l- :.-r:: - cr-àprès.

:4x

et x2

:4y.

362. Calcule l'aire de la partie du plan comprlse entre les graphiques des Jonctions g(x) : x' - 3x + 2. et f(x) : 2x' - 2x.

B(3;1)

tu avais été son assrstant, comment aurais-tu Si

procédé pour calculer 1'aiC^-^À^') -^ À^ -^++^ ra\duç: rc ug !g!!c

a\

7.5

358. Dans un mur. on iÉ'-i: Dercer une fenêtre dont la forme est un arc gothiqrie dans le dessin.

ie :arabole aux dimensions indiquées

363. Retrouve par calcul intégral les formules du volume de certains solides usuels. Pour y parvenir, quelle surface particulière faut-il faire tourner autour d'un axe bien choisi

?

a) Dans le repère orthonormé dessiné ci-dessus en coulorrr

.T

rrérifie nrre .le rnerrhnle -....

renreqpntée

tion Y:4(1 - x2). h)

Évalrre

l'airc dp la feneIre.

q nr rJUr equa-

err rn2.

83

7. CALCUL INTÉGRAL

EXERCICES

rNF sPHFRF

\-/ ',.À

a) Un camion se déplace sur une route horizontale sur une distance de 1 km, il subit une force de poussée de 1500 Newtons que 1'on suppose constante. Si F: 1500 N et d: 1000 m, aiors la physique élémentaire nous enseigne que le vail déployé par cette force est

T:I'

:1500 x 1000:15.105

. cl

tr\

N-rn.

b) En pratique, la force appliquée à ce véhicule est peu souvent constante. Cette force varie d'après l'état de la rorrte. cl'anrès le venl. d'nnrès le mn11pn1 91 elle s'exerce (au début du mouvement ou pendant le mouvement)... \ =;JL

K

-1

364. Démontre Ia formule donnant 1e vohine \t' du solide engendré par ia rotation autour de l'axe x de la surface comprise entre les courbes d'équation y: f(x) et y: g(x). Si . a et b sont les abscisses respectives des points de I'intersection de Gr et de Gg, . sur lâ; bl, Gr est sittté au-desszs de G*, I, tt,

.l

alors\'-=', 1 ((fr rr) l./,, \'

:\

,

(r,,

o:

Si x est Ia distance de l'origine O au point d'applica-

xr) ),t/

+

Pour la démontrer, envisage les deux situations suivantes

Calculons, dès lors, la force variable F qui s'exerce sur un mobile qui se déplace dans 1a même direction que la force, par exemple, Ie long d'un axe x, d'origine

:

IlOn Oe tA IOrCe tl

r

alors on peut considérer f intensité de 1a force comrr.

we foncli,on F qui, d,épend, d"e Ia uariabLe r: F:lR1 -lR. l :x-F1x.1.

\

On se propose de déterminer le travail T effecLré par cette force variable, si son point d'application se l:^l^^^t^.-_^:,-_b. uçljrousus^-aa^-

.

Subdivisons f intervalle fa; b] en n sous-intervalles de

longueur

Ax1 (0< i < "a=XO Xt

1).

xn , b=xn

x2

365. Applique la formule donnée dans I'exercice précédent

pour calculer le volume du solide engendré par Ia rotation autour de I'axe x a) de la srrrfacp coloriée

:

-2 -1 Olo

1

.

Supposons que la force F soit constante sur un court déplacement fx;; x;1r]. Elle effectue sur cet intervalle un travail dit élémentaire qui s'exprime par la formule citée plus haut de la manière suivante: LTi - F(xi) . Axi, où Axi : xi+1 - xi.

. Le travail T de \a force qui déplace son poiry d'application de x : a à x : b est la d.!"o-rn" travaux effectués sur chaque sous-intervalle. r

olo r \z\(/

n-l

n I

Ainsi,

7-tA7' 12-i:0

'-

-fFr',).Axi. /-'--'' i-0

. Cette approximation du travail

effectué devient de plus en plus proche de Ia réalité, si I'on fa'it tendre Le nombre n de subdi,u'isi,ons rers I'znf,ni,,la longueur de chaoue écartement horizontal tendant vers 0.

D'oir,

b) de Ia surface délimitée par la courbe d'équation y: xo * 1 et la droite d'équation y:1 1 1.

366.

L'INTÉGRALE DÉFINIE EN PHYSIQUE

Voici un exemple d'utilisation en physique de la noti,on d''intégrale défini,e: lc tlar.ail cl unc {blr'c.

84

T-

lim fF(",).Axi. L

i--+< Âx; -0

i-0

à la limite d'une somme te rappelle une démarche analogue réalisée dans ce chapitre de calcul

c) Le passage

intégral. Comment peux-tu, dès lors écrire cette limite ? Note la formule donnant alors le travall T déployé par la force F depuis a jusque b.

\

7. CALCUL INTEGRAL

EXERCICES

d) On

\I

suppose que F soit l'intensité de Ia force nécessaire à allonger un ressort.

On utilise la loi de

1) Calcule

le coefficient k

d'élasticité d'un ressort de 0,1 m qui s'allonge de

Il , . : F : kx. oîr

0,02 m lorsqu'on Ie tire avec une force de 30 N.

. F est f intensité de la force en question dite

aussi

force de rappel du re-.;ort.

.x

2) Quel travail physique faut-il réaliser si I'on veut allonger le ressort

es| l'allongement en nr du ressort qui en résulte,

. k est une constanii cropre à chaque

ressort : c'est

-

de 0,15 m à 0,20 m?

de 0,10 m au départ de son état de repos ?

son coefficient ,l ë,,:.:,,:rté.

UN PETIT BOUT D'H I'TOIRE LES PIONNIERS DU CALCUL INTÉGRAL o l-Anglais lsaac Newton et I'Allemand Gottfried Leibniz bénéficièrent des travaux de nombreux mathématiciens qvoir Manuel page 138) sur le calcul des aires et volumes. Les

\

premiers apportèrent à ces recherches l'invention du calcul différentiel et intégral en mettant en évidence la réciprocité des deux démarches: part;

-la dérivation elles tangentes, d'une primitivation et les aires, d'autre part. -la Tous les deux ramenèrent le problème de quadrature à celui du calcul d'une somme

d'aires de petits morceaux de surface. Le passage à la limite n'était pas encore évooué.

L Newton (1642-172:

o Les Suisses Jacques, Jean (le premier à utiliser le vocable d'"intégrale") et Daniel Bernoulli se chargèrent de justifier la théorie de Leibniz et de la propager en Europe. o Ce n'est qu'en 1823 que le Français Augustin Cauchy donne une définition précise de I'intégrale et des démonstrations rigoureuses de la théorie y afférente. ll utilisa dans

ses textes la notation inventée par le français Jean-Baptiste Fourier

: / t1t) Ot. Jxo

o Le mathématicien allemand Bernhard Riemann, élève de Gauss à Gôttingen, développa les théories de l'intégration de Cauchy. ll précisa la notion de fonction intégrable et la définit à I'aide de sommes:elle est

\

appelée de Rerrrrl I )r,slaLlt,:, dans ,> en 7637.

419. L'espace étant muni du repère dessiné en couleur, détermine dans chaque cas les coordonnées des sommets des cubes proposés:

o

\ 94

EXERCICES

10, CALCUL VECTORIEL DANS IESPACE

420. Observe le parallélépipède suivant

a) porte les points dont on te donne les coordonnées:

1

A(0;

C(0;

-2;0) B(-1;0;2)

E'i/-?' !\ Ul t. .1

-3;a)

-1\

F(3;-2; -3); b) quelles sont les coordonnées des points G, H, I, J et K? D(L;r;2)

LO.2

oPar Ie prod,u'it, Iinéaire d,e d,eux uecteurs, nous entendons Ie produit algébrique d'un uecteur par la prajection du second uecteur sur le premier. Nous chois'issions le s'igne (i poar représenter ce proiluit et, par d,éfin'i.t'i,on, a À b : ab cos(ab). De cette d,éfinàtion et parce que cos(ab) :cos(ba)

onuoitquea( $-[()6.>

Place dans ce dessin un repère de l'espace tel que les coordonnées de -\ soient (2;0; 0), de C soient (0;5;0), de O' soient (0; 0; ). Calcule ensuite les coordonnées des autres sommets de ce solide.

\2f

HerrrLanrt Grassma'nrt, ( 1I09- 1877 )

422, Dans I'espace muni d'un repère orthonormé, on donne les points A de coordonnées (3; -2;1) et B de coordonnées

(-2;

. O.n, le repère donné dans le dessin ci-dessous,

1;

-3).

Calcule les composantes de AT.

423. Compare ies vecteurs ÀÉ et C5, si les coordonnées de A sont (4; -1,5), celles de B sont (-2;I;-3), celles de C sont (1; l; -2) et celles de D sont (-5; 3; -10).

I

---?-.t

,1r

424. On donne, dans un repère de l'espace, les points suivants et leurs coordonnées: A(3; -2; -4), B(1; 3; -2), C(4; -1; 2) et DQ;a;!. Démontre que le quadrilatère ABDC est un parallélogramme.

125, Observe les dessins suivants, construis et mesure I'angle des vecteurs AT et

e-'

I

rtill .'l:;r:

\tl

::i

\

i : l:-i lri

' i J'

li-

i..

\l \Ltll

l"

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I

-

:

\"-

*a

#

il

\

!

+ (

t:l

t:r-

lf

l

l=

la

t

n+

jt ffi

lil C

il

illi;llj|:fflj'l

11 iiiffi1-'r -f;:+]]]::s::i]

=llF"iitrtiff

:l':l

q-

.]ç 1ËÏl

a

-T-

\

ji :El:tl

'

I

fR.

A=C

@ B

r:r: I rrr:i

A=pi

Ci

TiË F.S

:6

i

:::

D

rl

il

i:

:i

A

I

I

i,.l

:

ii

I "l i

r::t

:

I 95

EXERCICES

10. CALCUL VECÏORIEL DANS IESPACE

426, Projette orthogonalement AB sur la droite d:

I

10.3 427.

il'ifi;ir].;â:lr;ri,:ÈË:::.1:il::t;i:1'::"tt;i;:Ë-T;jli..::,.'r,,:

L

:,:.:a"E;:;:i;:::n:lrii:.!4ta:-i::+,,

430. Détermine Ie réel a pour que les vecteurs AB -- (-3; a - 1;6) et CD

I'aide du cube ci-dessous,

(6; a;

*n)

soient parallèles

43t. Calcule les composantes de M-, lorsqu'on te dit M est le milieu de IAB], P est le milieu de [CD], I'on connaît les coordonnées des extrémités de ces segments

C(-3;

0;

:

A(-2;

1; 3),

B(0;

2) et D(4; -a;5).

que

L

l; -2),

:1::1.!.'i;riÈ:i,

LO.4

432. Voici le tétraèdre ABCD dans I'espace muni d'un repère.

a) Détermine les coordonnées des sommets et du milieu de cha-

Construis les vecteurs

1)

of +ôÉ+zôd;

2)

of,+BoÈ+ôd;

B)

2(oî -

odl* *z

:

que arête.

+

b) Montre que MN et

-

RS sont parallè}es.

+

oË'

t-1-

4)'3+(5oA) +;(eoB - 8OC). 6'

+

Fais de même pour MR et NS

Quelle est, dès iors, la caractéristique du quadrilatè1e MNSR ? Justifie.

433. Soit le parallélépipède ABCDA'B'C'D'.

428. On donne, dans un repère orthonormé de I'espace, les points suivants et leurs coordonnées : A(3;-2;4), B(-4;0; -2), C(3; -r;2) et D(-3;a; 1). Calcule les composantes des vecteurs suivants :

1)

A- + cÉ;

D -Aa+2ffi; +l-

3) 2AB-=DCr

q ;@c - DB) - irzoct. 1++'{+

429.Yérifr,e si 1es points M, N et P sont alignés (ou colinéaires): 1) M(3; -2; *4),N(1; 3; -2), P(-3; 13;2); 2) M(5; 2; -4),N(-1; 0; 2), P(-11; -a;n).

Soit le point le point le point le point

R sur [A'D'] ; S sur [D'D]; T sur [BC]; U sur [BB'] tels que

BU - SD' et A'R: TC. Démontre vectoriellernent que le quadrilatère RSTI est un parallélogramme.

b

10. CALCUL VECTORIEL DANS I]ESPACE

EXERCICES

-i34. On donne le Soit le point le point le ooint I' le point

cube MNPQM'N'P'Q'.

435. Dans Ie tétraèdre ABCD. on fixe les ooints

K, milieu de [M'M], R, milieu de [P'P], S. milieu de IMN . L, milieu de [Q'P'].

: |Eë; . S sur IAD], iel q,,," S : î ÀË, .

'liR] et a) Démontre analytiquement que ILS] se coupent en leur milieu. en utili.ant le repère qui a été choisi dans le cube dcs.irré. b) La propriété précédente demeure-t-elle vraie si les points K, L. R et S sor.t respectivement situés sur lM'Ml, [Q'P']. iP'P er \l\ àu tiers de chaque arête à oartir de \I'. de P . de P et de \I?

\

R sur [AC], tel que AT

4BT: È5; . U sur [BC], tel q,r" a Bi : Èd. . T sur IBD], tel

que

En utilisant Ie repère choisi dans le tétraèdre

dessiné,

démontre que a) Ie quadrilatère RSTU est un parallélogramme; b) Ia droite IJ est parallèle au plan RST, I étant le point d'intersection de SC et RD, J celui de DU et CT.

POUR S'AUTOCONTROLER 10.1

: MN - P'P; D, tel que MD: MP'+ N'N C, tel que

-136. Quelles sont les co,,:i'-,::::ée-. des sommets du parallélépipède suivant l'

IVIC

N'P'.

439. Détermine Ie réei a pour que les points M(-1;2; 0), N(1; -3; 4) et P(-3; 7; a) soient colinéaires. 440. Une arête du cube ABCDA'B'C'D' mesure 4 cm. Dans le repère orthonormé donné, a) quelles sont les coordonnées de chacun de ses sommets

?

b) quelles sont les coordonnées du point M, centre 10.2

Détermine les reels a. i:, et c pour que les vecteurs {37. t+ t AB et CD soient esa'l\. .ur:que. dans un repère donné de I'espace. on a -{ -i: a: 5 B(-2; 1;c), C(1; I;-2) et

de

symétrie du cube ? c) caractérise le lieu(*) des points de I'espace o qui ont une abscisse égale à -2; B qui ont une ordonnée égale à 3;

7 qui ont une cote

égale à 4.

D(b;3; -10).

10.3

-

10.4

f38. Dans le cube \l\PQ\{ \ P'Q'. porte

les points

441. Calcule les réels m, p et r pour que Ie point M(3; -2; 1) soit Ie milieu de IAB], lorsque les coordonnées de A sont (2m - L ; 1 ; r - 3) et celles de B sont

: xI'\' - \P: B. tel que aB " : --2"(Q\l - Q'P'r: A, tel que M'A

.|

(r. P-l. ' -'\ 2 ''-3)' \"'

(-) Lieu (géométrique) de l'espace : ensemble des points de l'espace qui possèdent une propriété et qui sont les seuls à la posséder.

97

1

O, CALCUL VECTORIEL DANS IESPACE

I

EXERCICES

soLUTtoNS DES EXERctcES PouR s'AuTocorurnôlen

le plan 7 parallèle au plan xOy par le point (0; 0; 4).

10.1

e)

436. O(0; 0;0)

P(2; 0;0)

o'(o;

R(0;4;0)

Q(2;a;0)

e'p;o;21

rn

E

o;

\

R',c;q:z) e'1z;+;21

D

437.1-a=2oua=-1 ; b-1 =-6oub=-5

;

tr nrr n ^ -a -a

-

10.3

10.4

438.A=P/; Bestlemilieude[QN]; C=N/; D=N. ++

439.MN=kMP

+ k=-1 eta=-4.

0) C@; a; 0)

440. a) A(0; o;

0); D(4; 0; 0) B(0; 4;

+) gi Ot O; +1

A/(o; o;

et (o; q; q); C' 1+; +; +1.

b) M(2;2;2). c) le plan rr parallèle au plan yQz par le point (-2; 0; 0); le plan B parallèle au plan xOz par le point (0; 3; 0);

441.

-2m -

1

+2-

z

h-1

1,.

=3

r-3+1 -;

z r

=

1;

d'oirm =

5

i.o= -netr=6.

POUR CHERCHER 10.1

442. L'espace étant muni du repère Oxyz orthonormé, détermine les coordonnées des polnts M, N, P et des sommets de la section déterminée dans les cubes suivants par le plan MNP:

415, On donne, dans un repère orthonormé de l'espace, les points A(4; -5; 2) et M(-3; 2; 1). Détermine les coordonnées du point A' symétrique de A par rapport à Nl.

446. Soit le tétraèdre SMNP : S(-1;3;4), M(2; -4;5), N(-3; 5; 1), P(0; -1;2) dans un repère orthonormé de l'espace. Un plan a coupe ce solide suivant une sectior triangulaire ABC (A € [SM],B e lSNl,C e [SP]) telle que les sommets de cette section soient situés au tiers de chaque arête à partir de S.

a) Calcule les coordonnées des sommets de la section.

b) Compare ÀÉ et nN du point de vue de la direction Tires-en une conséquence pour les droites AB et MN. trais de même pour BC et NP.

Bt

et NÉ ainsi que pour

1es

droite.

c) En utilisant les conclusions trouvées en b), démontre que le plan a et 1e plan MNP sont parallèl (Rappelle-toi à cet égard les critères de parallb lisrne dtune droite et dtun plan, de deux plans (Manuel, pp.160 ei 161). 4,1,7. Démontre

vectoriellement et analytiquement

que

1es

points de l'intersectlon des diagonales des faces latérales d'un parallélépipède sont les sommets d'un parallé1e sramme.

LO.z-10.3-10.4 443. Dans un repère de l'espace, on donne les points suivants et leurs coordonnées: K(3; -2; 1), L(1;3; -2), M(*n;Yr,rizM). Détermine les coordonnées de M pour que

MK:2LM-3KL. 444. Avec les données et Ia solution de I'exercice précédent, trouve ies coordonnées du point T de telle manière que le quadrilatère KLMT soit un paraliélogramme.

98

\

\

11

PRODUIT SCALAIRE

dans le plan :4e Comm - 5e FESeC

Compétences à atteindre

dans l'espace : pour tous

-

Applications géométriques et physiques dans le plan et dans l'espace : 5e pour tous

Calculer un produi,t scala'ire en uti.li,sant la formule adéquate. Utiliser le produr,t scala'ire dans des problèmes si,mples de géométrie ou de physi,que.

ACTIVITÉ' POUR DECOUVRIR 1 \

Dans un repère orthonormé du plan, on donne I le point fixe A(2;6); I le point variable B(r;s). On sait que 2r + 6s = 20.

a) Représente six points B distincts, répondant à cette condition.

b) Quel serait le lieu de ces points B par rapport à la droite OA ? Justifie en déterminant une équation cartésienne de OA et du lieu des points B. c) Reprends la même démarche si les coordonnées de A sont (2;v), les coordonnées de B sont (r;3) et 2r+ 3v = 6. +

a)Une force F de F newton est appliquée à un mobile dans la direction et le sens de son déplacement d . Le mobile se déplace de d mètres de A en B. Cette force développe un travail 7.

I

iI ie+oÀ'

I'

B

Pour décrire cette force, les physiciens ont inventé une opération sur les vecteurs, nouvelle pourtoi : le produit de deux grandeurs vectorielles (Force et déplacement) égal à une grandeur scalaire ou réelle (Travail):

T

\

=T 6 f,

(newton-mètres ou joules)

= r.o

Quel travail est développé par une force de 10 newton qui déplace son point d'application de 5 mètres ?

--)

force F de F newton déplace son point d'application dans contraire de son déplacement d' de d mètres.

b,) Une

la direction et le sens

Le travail déployé par la force est alors ++

T = F e d = -F.d

|

F

(newton-mètres ou joules)

--ffi-LJ+

b-T-!

B

Quel travail est développé par une force de 10 newton qui déplace son point d'application de 5 mètres en sens contraire de son déplacement ?

c) Si le vecteur-force F forme avec le déplacement â' un angte â, alors le physicien convient de décrire le travail développé par la formule

-T=FOd=

cos

a

|

(newton-mètres ou joules)

Calcule le travail développé par un tracteur qui hâle une péniche avec une force de 10a newton et qui la déptace

de 500

mètres en formant

"r""1È

un angle

de

40".

99

EXERCICES

11. PRODUIT SCALAIRE

3

a)Une relation au cosinus dans un triangle ABC est donnée par l'égalité CB'= AC- +AB- - 2AC. AB. (C'est le théorème d'Al-Kashi). ----+ ----+ ----+ b)Yéritie: CB = AB - AC (2) c,) Pour

cosa (L

comparer les égalités (1) et (2), on serait tenté d élever au carré les deux mem-

----+'

-+ bres de (2). Mais tu ne peux pas encore calculer CB , ni (AB .2

On te dit qu" G- est le réel égal à CB' et que (ÀÉ en algèbre en effectuant le carré d'un binôme. -----)

Développe dès lors ( AB

-

----+ ^

- AC)'.

Æ)'peut

se calculer comme

- n-d)' pour obtenir une égalité (3).

d) Compare terme à terme les égalités (1) ef (3). Là encore, tu découvres une nouvelle opération qui, à deux vecteurs,

correspondre leur produit nC

Dès lors, à quet ensemble appartient te produit nT

e) Dans te ptan muni d'un repère orthonormé,

cîe

Manuel, pâge 173.

-2)

cÉ.

E,(E RCICES POUR APPLIQUER

PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN

448. Dans chacune des situations graphiques présentées cidessous, calcule le produit scalaire de Ai et a" CB.

I

\-7

2

A]

!'

L]

A:*t

.:B:

B

Bl (4

J,/

.L

u

e

U

ta

1,,

IJ 3

(o

lc l--

,'r': ltl: .it:

ili

Y B

100

e:

+n

rB,

fT :F

7

T

,TS

/ :J:l

,t,

/ C

si

ACOAB=AC.AB.cosa.

c ÀÉ ?

\

les coordonnées de A sont

et celles de C(3; 2) et si l'amptitude de

11.1

et RG tait

g ng.

La comparaison demandée t'amène à écrire l'égalité

cettes de B( 1;

Rt

a est 60o, calcule

(-2;1),

le produit

EXERCICES

11. PRODUIT SCALAIRE

449. Complète Ie tableau (deux réponses sont parfois demandées)

:

AB CD

angle des vecteurs

cos 6

aToci

1)

nÉ et CT 1)

2) ,))

6

2) AB

t

2

3

(el

I

santes

50' a,

6

(en radians)

-36

a; ÂÊ

o fÈd + ctsl.

(

2;

1),

ôi

oÏ

(2; 1) et

1o;:;

ry eT o (cB + ÈË);

IIn

o.)

2) (AB+2CD)oEtr; -++ 3)

10vÆ

^o

+

+

(AB-CD)o2trF. -

b) Vrai ou faux ? Justifie ta réponse +

1) AB

450. Calcule MN O PQ, si l'on sait que a) dans un repère orthonormé du plan, les composantes

\t

ed)

(2A-)o(3ci)

a) Calcule:

(en degrés)

de MN sont

+

3)

455. Dans un repère orthonormé du plan, soit A.Ë de compo-

12

4\

A-ocB+atoei

1

4

.)

produit scalaire de deux vecteurs est un rée1. Le produit d'un vecteur par un réel est un vecteur>. Dis si les expressions suivantes représentent un réel ou en 1768. ,181. Résous

les systèmes suivants par ia méthode

substitution

',

de

:

{;,iL-",i

,,

{irî:r

482. Résous les systèmes suivants par la méthode du pivot de Causs (échelonnement du système)

z:2 f*-u_ t"l 1)13x 6Y*22-4 [2x-5r t3z-3

108

:

f3*-zu-s z)\zx I-Y-l [ax.] 3r-5.

:

lz"-Urz-7

l) { 2x*2y-z-2-O

In*-rl_22:9

2)

\

3z1it-o [t ! 2xIv-22!9:O

lt"-r

I5z-r20-0

["r 4x2-x3-l | 2x3-2 fr {2xr -5xz l8x2 6*, - 2x3 - fi [ ,2x2 -5x3 8 -0 fxl axr 6xz - 2x3 5 ) { [*,+*r+4x3-2:0

,{i:i:;iTî*:" | 3ow:5 I zo" l5v

,,['".*t:t::o '' 4x-2y I6z:2 ^ I

u,{ 2xrixz:1*3x: x1 3x2:2 *t (

B)

-

{:#'-i

\,

12. ALGEBRE LINEAIRE

EXERCICES

< Les interrelations entre l'algèbre et la géométrie deviennent plus intelligibles par l'usage des coordonnées ,t.

dans un repère de i'espace, les coordonnées de A sont (3; -1;2), celles de B sont (2;I; -I) et celles de C sont

de Ilc'n1' | )t'scatte., dans ,,Géométrie>> en 1637.

(5;

.rd

1r, z,

-r;.

Calcule: 1) la différence des deur tiels du premier septièmes du second:

?

12.3

et des cinq

490. Dans un repère cartésien de l'espace, on donne les points A(2; -I;3), B(1; 2; -r), C(1; 1; 2), D(3; 1; 2) et E(1; r;3).

2) les composantes de -\D. si l'on sait que Ia différence de AD et du triple de -{B est égale au quadruple de

a) Trouve une équation vectorielle et des équations paramétriques

1) des droites AB, CD et CE; 2) des plans CDE et ABC.

-

AC;

-

3) Ies composantes de .\E. sachant que Atr est le vecteur

qu'il faut ajouter

-..:.

a,.r

de

b) Dans I'espace muni du repère

,IE pour obtenir I'opposé

cartésien donné dans le dessin

du cinquiènre de -\(' +ôi) . Soit ie vecteur OA cie c-::--posantes (2;

t

-5;8).

c) Résous ensuite le système obtenu. d) Les points A, B et C sont-ils, dès lors, colinéaires

484. Dans un repère de l'espace. soit les vecteurs

er

GEOMETRIE ANALYTIQUE

489. a) Rappelle l'égalité vectorielle que tu dois écrire pour vérifier que les points A, B et C sont alignés. b) Traduis cette égalité en équations si l'on te dit que,

L2.2

a- 1a;-r;z;

-

. :; ^;. VeCteUrS l.Jb et UL 1)

:=-:

-1;3).

ci-contre, construis 1es droites CD et CE du plan CDtr. Caractérise leur position par rapport aux plans de coordonnées xOy, xOz etyOz, ainsi que par rapport aux axes de coordonnées x, y eI z.

Calcule les

L -tr

2ôÊ-or=:tLr

2I

491. Dans un repère cartésien de I'espace, trouve les coor-

-.rli-'

lO\

données de chacun des sommets du cube dessiné ainsi que des équations paramétriques

'a'ÔC

a) des droites

: .i Rr- erprime ÀÉ, .orr-trrru combinaison linéaire d*: r j --.r::.urr parallèlet ÀE et Âô.

486. Sachant qr" RB

x,

Y,

z;

AB,, AD,,BD; D,C,,BC, D,C; B,D, B,C, A,C; TV, si I T est le milieu de IBB'] I V est le centre de la face DCC'D'; b) des pians

xOy, xOz,

,187, On donne ie pa.::--.-.. .:1:r-:-ire .\BCD, son centre O, milieu de l,\B e: .. .-. ::., ,.u de IAD].

Exprime les ïec:=--:. aire des \ecttsr.:r \-+v

:-.^--.arlts comme

-

-'

IA; AB: .\.T:

I

CDC,, CBB,, D,A,B,1

le

DBB,, CAA,, TVA;

combinaison liné-

"i,

3,1

yOz;

1

: o-{; AC; DO;BD.

L2.4

,5::i 'rrt€ combinaison linéaire de + CD et de EF. c.:--.. =-:.-:té r'ectorielle dois-tu écrire ?

488. a) Pour vérifier.-t-

b)

taduis ceti: -i.:..-:. .r' équations, si I'on te dit que, dans Lrr- rj'r-:r: :a:résien de I'espace, les composantes de Àl . :-: - l: :: 3). ae ÔB (1; 2;3) et de

-

EF (2r -1:3

c) Résous ensuli. .- -..:=::.. ,rbtenu.

d) AT est-il.

IY

ae

ET:

dè= -'

:..

^:,=

rrnrbinaison linéaire de CB et

492.

Yrai ou faux ? Justifie

!

Corrige l'énoncé s'il s'avère faux ! 1) Une droite et un plan sont parallèles si un vecteur directeur de la droite est orthogonal à un vecteur normal du plan. 2) Deux plans sont parallèles si un vecteur directeur de I'un est un vecteur directeur de l'autre. 3) Deux plans sont paralièles si deux vecteurs directeurs parallèles de l'un sont deux vecteurs directeurs de 1'autre.

4) Deux plans sont perpendiculaires si un vecteur normal de l'un est un vecteur directeur de I'autre.

109

12. ALGÈBRE LINÉAIRE

EXERCICES

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE

-

5) Deux plans sont perpendiculaires si un vecteur dlrecteur de I'un est un vecteur normal de l'autre.

500. touve un vecteur normal aux plans dont on donne une équation cartésienne:

az:2x-z:l

-X1 -2xz+xr-5:0 az:2x:Ylz a1

12.5 Dans lcs c-xcrciccs clrri suir-ent. l'csplce' est tnruri cl'urr repère cartésien. Lorsque le. prrrblèrtc conceLnc rics notiorrs ci'or'1lrogorralité. cic tlistarrccs orr d'anglt'-*. lc repère , , d'obtenir exactement 3 fois ?

'il

574. Deux emplois sont proposés par une société. Ils peuvent s'adresser à une femme ou à un homme.

Il v a 4 candidats

féminins et 2 candidats masculins. ChaËun d'eux a la même chance d'être retenu. Quelle est la probabiliLé d'engager

1) 2 hommes

?

hasard.

v

rouge et ensuite celui du blanc. Quelle est la probabilité d'amener au moins 8 au total

l

13.2 1t77. On lance un dé non pipé deux fois de suite.

D+"r:^ \Pol u@rLur '-^- ^^t^"1) f indépendance des événements su-vants pris deux à deux: 1) A : B : 2) D : B : 3) et P(X ( 2). ?

le graphe cartésierr

de

2o2

Que constates-tu

65a. a)

15.2

648. Un joueur lance une pièce de monnaie parfaitement symétrique n fois de suite. Ii gagne s'il obtient pile m fois. Calcule la probabilité de gain de ce joueur, a) lorsque n:4 et m: 1; b) lorsque n: 8 et m- 2; c) lorsque n: 16 et m:4. 649. Une urne contient 7 boules blanches et 5 boules noires indiscernables au toucher. On tire deux boules au hasard avec remise. Quelle est 1a probabilité d'obtenir une boule noire et une boule blanche lors des deux tirages

("-r)2

of zir lorsque E: np et a : y6[[ -l). c) Fais de même lorsque n: 10;n : 15.

Compare ces deux probabilités.

a

1e

?

d'apparitions de .

647, Deux dés sont lancés simultanément.

Quelle conjecture en déduis-tu Tente de la prouver.

résuitat

652. Une pièce de monnaie bien équilibrée est lancée 6 foi. de suite. La variable aléatoire choisie est le norrbre

5 € si ce point est 6; 1 € si ce point est soit 5, soit 4; 0 € si ce point est soit 3. soit 2.

On perd 0,5 € si ce point est l'as. Si X est le gain du joueur, détermine sa loi de probabilité; son espérance mathématique: sa variance et son écart-type.

I-t

1e

thématique)

sa loi de probabilité; son espérance mathématique; sa variance et son écart-type.

Quel gain moyen peut espérer le joueur

?

651. Lors d'un examen écrit, un étudiant se voit proposel une série de 20 questions à choix multiples : 5 réponses

Choisis une variabie aléatoire et détermine

On gagne

:

a) 7 boules blanches et 13 boules noires ? b) 13 boules blanches et 7 boules noires ? c) un nombre de bouies blanches compris non strictenent entre 11 et lD i d) strictement moins de 10 boules blanches ?

Aristote (350 av. J.C.) Métaphysique.

64 5. Au jeu de dés, on gagne 4 2 € dans les autres cas.

probabilité d'obtenir

1a

?

Si I I

?

le nombre n d'épreuves est 100, la probabilité p d'un succès est 0,01,

\, 2,3, 4 succès. 1) par la formule de la loi binomiale; 2) en appliquant la loi de Poisson. b) Compare les résultats obtenus. Que peux-tu dir-e de la loi de Poisson par rapport à la loi binomiale ? calcule la probabilité d'avoir 0,

655. On sait que dans un livre de 500 pages, il 1'a 300 fautes typographiques distribuées au hasard. Pour calculer la probabilité P pour qu unÊ page clrois'* au hasard contienne exactement 2 fautes. quelle loi va-.tu privilégier ? Pourquoi ? Calcule cette probabilité.

135

EXÊRCICES

15. LOIS DE PROBABILITÉ

POUR S'AUTOCONTROLER 656. Une famille a 5 enfants. Calcule Ia probabilité pour qu'il y ait 2 garçons et 3 filles. On suppose que Ia probabilité d'avoir un garçon est la même que cel1e d'avoir une fille.

t

658. Dans une usine, on constate que 3% des articles fabriqués sont défectueux. A I'aide d'une loi de probabilité bien choisie, calcule la probabilité que, dans une caisse de 100 articles, il y ait 4 articles défectueux.

657. Un lanceur de fléchettes atteint une cible avec une probabilité éva1uée à 0,4. Il lance 8 fois une fléchette. Quelle est 1a probabilité pour qu'il atteigne la cible au moins deux fois ?

soLUTroNS DES EXERcTcES pouR s'AUTocoNTRôLER 656. La probabilité d'avoir un garçon est

-

],

celle d'avoir une fille est

Utilisons la toi binomiateavec n = 5, p = q

=

].

+é

Donc P(x = 2)=

"3

z,r2

z,r3

(;)

(;)

f-

(e1-O succès,) + P(*1 sucç6s";)

\,/

Par la loi binomiale,

("Avoir un garçon> est considéré comme un succès. Le problème se traite de la même manière si I'on considère qu'un succès consiste à "avoir une fille"). La variable aléatoire X est le nombre de succès

P(*au moins 2 succès") =

P(*au moins2succès")=

r

-

(c!10,018 +c[1o,4Xo,o)?)

æ1-(0,017+0,090)

t

= 0,893.

:0, 1,2,3, 4,5.

658. "Avoir un objet défectueux" est considéré comme un succès. On pourrait utiliser la loi binomiale âvêc n = 100, p = 0,03, k = 4.

=;

Comme p est petit, on peut aussi utiliser la loi de Poisson:

657. "Atteindre la cible" est considéré comme un succès.

(109 P(X = 4) = e-100 0 03

P=0,4etq=0,6

I i3)''

=

0. 168.

POUR CHERCHER 6b9.

UNE AMUSANTE APPLICATION DU TBIANGLE DE PASCAL

Considérons une famille de 10 enfants. Chaque enfant venant au monde a une chance sur deux d'être un garçon et une chance sur deux d'être une flle.

a) Quel est 1e total possible des combinaisons garçons>> de

dix enfants

b) Complète le tabieau suivant (. . .

"r

t'inspirant du Triangle de Pascal).

c) Vérifie tes résultats en utilisant la loi binomiale (en considérant que