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Travail de candidature

Cours de géométrie analytique dans l’espace

Déclaration

Par la présente, je soussignée Lydie Jungers, candidate professeure en mathématiques, certifie que j’ai réalisé ce travail de candidature par mes propres moyens, en cherchant à conceptualiser ce projet à travers des recherches bibliographiques et à travers des discussions avec mon patron m’accompagnant dans ce travail de candidature.

Grevenmacher, le 26 février 2013

Lydie Jungers

Nom: Prénom: Fonction:

Jungers Lydie candidate professeure en mathématiques au Lycée technique Joseph Bech Patron de recherche: Jean-Claude Bremer

Cours de géométrie analytique dans ième et l’espace pour les classes de 2 ère 1 de l’enseignement secondaire

Lieu de mon affectation:

Lycée technique Joseph Bech Grevenmacher

en 2012

Résumé

Ce travail de candidature propose un cours complet de géométrie analytique de l’espace ainsi qu’un recueil d’exercices adéquats pouvant être utilisé en classe de deuxième et première de l’enseignement secondaire. Au début de ce travail, on rappelle les notions principales de géométrie vectorielle telles que: vecteurs colinéaires, vecteurs coplanaires, positions relatives de deux droites, de deux plans, d’une droite et d’un plan de l’espace. Ensuite les notions telles que les bases, le produit scalaire, le produit vectoriel et mixte, ainsi que toutes les propriétés et théorèmes, qui en font partie, permettent aux élèves d’avoir une vue globale de la géométrie analytique de l’espace. En traitant des problèmes par plusieurs méthodes différentes, on essaie de donner aux élèves les connaissances et moyens nécessaires pour résoudre des problèmes de l’espace. A part des notions citées ci-dessus, on donne des applications concrètes. Notamment le calcul d’aire, le calcul de volume, la perpendiculaire commune à deux droites gauches sont des applications intéressantes et sont donc traitées dans ce travail. D’autre part certaines applications relèvent le lien entre la physique et les mathématiques, comme nous montre par exemple le problème du rayon lumineux. De cette façon on espère arriver à évoquer chez les élèves un esprit autonome pour la résolution de ces problèmes. Ce travail est destiné à inciter les élèves de se sentir plus à l’aise et d’avoir des connaissances solides pour traiter des problèmes en dimension trois.

Remerciements

Je remercie Monsieur Jean-Claude Bremer pour avoir pris en charge mon travail de candidature. Je le remercie également pour son soutien et son aide lors de la réalisation de ce travail.

Table des matières 1 Géométrie vectorielle de l’espace

13

1.1 L’espace vectoriel V3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.1

Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.2

Structure d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Vecteurs colinéaires. Droite vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Vecteurs coplanaires. Plan vectoriel de V3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Droites et plans. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.1

Figures coplanaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.2

Positions relatives de deux droites de l’espace . . . . . . . . . . . . 15

1.4.3

Positions relatives d’une droite et d’un plan . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.4

Positions relatives de deux plans de l’espace . . . . . . . . . . . . . 17

2 Eléments de géométrie analytique

19

2.1 Bases et repères de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Coordonnées d’un point, d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.1

Coordonnées d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.2

Composantes d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.3

Propriétés des coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Droites de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.1

Représentation paramétrique d’une droite . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.2

Equations cartésiennes d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4 Plans de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.1

Représentation paramétrique d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.2

Equation cartésienne d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 Vecteurs coplanaires et déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5.1

Déterminant d’ordre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5.2

Vecteurs coplanaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5.3

Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Table des matières

7

3 Produit scalaire dans l’espace

37

3.1 Angle formé par deux vecteurs non nuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Produit scalaire de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2.1

Définition et interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.2

Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3.1

Orthogonalité de vecteurs, de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.2

Perpendicularité de droite et plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3.3

Vecteur normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.4

Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4 Expression analytique du produit scalaire dans un repère orthonormal . . . 44 3.4.1

Repère orthonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4.2

Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4.3

Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5 Equations cartésiennes d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.5.1

Plan défini par un point et un vecteur normal . . . . . . . . . . . . 45

3.5.2

Parallélisme et perpendicularité de plans . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.5.3

Distance d’un point à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.6 La sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.6.1

Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.6.2

Equation cartésienne d’une sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.6.3

Equation de la sphère de diamètre [AB] . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.6.4

Intersection d’une sphère et d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.6.5

Equation du plan tangent à une sphère . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.6.6

Intersection d’une sphère et d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.7 Application. Distance d’un point à une droite de l’espace . . . . . . . . . . 58 3.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 8

Cours de géométrie analytique de l’espace

4 Produit vectoriel. Produit mixte.

67

4.1 Orientation des repères de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.2 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.2.1

Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2.2

Propriétés du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3 Bases orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.4 Règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.4.1

Antisymétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.4.2

Bilinéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.5 Coordonnées du produit vectoriel dans une base orthonormale directe . . . 72 4.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.6.1

Equation cartésienne d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.6.2

Intersection de deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.6.3

Calcul d’aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.6.4

Distance d’un point à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.7 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.7.1

Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.7.2

Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.7.3

Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.7.4

Propriété: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.8 Expression analytique du produit mixte dans une base orthonormale directe. 81 4.9 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.9.1

Equation d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.9.2

Calcul de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.9.3

Distance de deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.9.4

Perpendiculaire commune à deux droites gauches. . . . . . . . . . . 86

4.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5 Problèmes divers. Applications A Solutions des exercices

99 111

A.1 Solutions des exercices du chapitre 1 et 2, voir 2.6 . . . . . . . . . . . . . . 111 A.2 Solutions des exercices du chapitre 3, voir 3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . 121 A.3 Solutions des exercices du chapitre 4, voir 4.10 . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Table des matières

9

10

Cours de géométrie analytique de l’espace

Introduction Depuis des années de ma carrière d’enseignante, j’ai constaté que beaucoup d’élèves ne se sentaient pas à l’aise en géométrie dans l’espace. Les raisons peuvent être multiples: certains n’aiment pas ce domaine d’autres ont des lacunes; mais à part ça beaucoup d’élèves ont des problèmes à s’imaginer une situation concrète en dimension trois. Ainsi cette aversion des élèves pour la géométrie dans l’espace m’a motivée d’écrire ce cours et de le présenter dans mon travail de candidature. En premier lieu j’ai essayé de ne pas baser la matière uniquement sur des axiomes pour que le cours soit plus accessible et compréhensible pour les élèves. D’autre part en présentant certains problèmes de différentes manières j’espère éveiller chez les élèves un meilleur sens de l’orientation dans l’espace. Entre autre dans les diverses applications il est important que les élèves puissent s’imaginer une situation dans l’espace pour pouvoir résoudre ces problèmes. Finalement je peux m’imaginer qu’en classe on obtient cette visualisation en dimension trois par une présentation des problèmes sur l’ordinateur.

Introduction

11

12

Cours de géométrie analytique de l’espace

1

Géométrie vectorielle de l’espace

1.1

L’espace vectoriel V3

La présentation de la notion de vecteur dans l’espace est analogue à celle des vecteurs du plan. Nous nous limiterons dans ce premier chapitre à rappeler les notions principales. 1.1.1

Vecteurs

Soient A et B deux points distincts de l’espace. −→ Le vecteur AB est déterminé par: B

A

• sa direction: celle de la droite (AB) • son sens: de A vers B
−→


• sa norme: la distance AB, notée
AB


Les vecteurs de l’espace ont les mêmes propriétés que les vecteurs du plan. 1.1.2

Structure d’espace vectoriel

De la même façon que dans V2 , on définit dans l’espace: − → − → → → • la somme de deux vecteurs − a et b , notée − a + b → → • le produit d’un vecteur − u par un réel λ, noté λ− u. Dans l’espace, l’addition des vecteurs et la multiplication d’un vecteur par un réel possèdent les mêmes propriétés que les opérations correspondantes dans le plan. Donc l’ensemble des vecteurs de l’espace muni de l’addition et de la multiplication par un réel a une structure d’espace vectoriel réel, noté (V3 , +, ·)

1.2

Vecteurs colinéaires. Droite vectorielle

Définition: Deux vecteurs non nuls de l’espace sont colinéaires si et seulement si l’un des deux est le produit de l’autre par un nombre réel. → → Soient − u, − v deux vecteurs non nuls de V3 − → − → → → → → u et v colinéaires ⇐⇒ ∃k ∈ R tel que − u = k− v ou − v = k− u 1. Géométrie vectorielle de l’espace

13

Remarques: − → → → 1. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur − u car 0 = 0− u 2. Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction. → → 3. Deux vecteurs − u et − v sont colinéaires si et seulement si il existe des réels α et β − → − → → non nuls tels que α u + β − v = 0

1.3

Vecteurs coplanaires. Plan vectoriel de V3

Définition:

→ → → Soient − u ,− v ,− w trois vecteurs de V3 et A un point quelconque de l’espace, on définit les points B, C, D par: −→ → −−→ − −→ − AB = → u , AC = − v , AD = → w. → → u, − v ,− w sont dits coplanaires si D C les quatre points A, B, C, D apv w partiennent à un même plan. B A

u

Remarques: → → → 1. Si l’un au moins des vecteurs − u ,− v ,− w de V3 est nul, les trois vecteurs sont coplanaires. → → → 2. Si deux des vecteurs − u,− v ,− w de V3 sont colinéaires, les trois vecteurs sont coplanaires. → → → → → 3. − u et − v étant deux vecteurs non colinéaires, les vecteurs − u,− v ,− w de V3 sont − → → → coplanaires si et seulement si il existe des réels λ et µ tels que w = λ− u + µ− v. − → − → − → On dit encore que w est une combinaison linéaire des vecteurs u et v ou que les → → → vecteurs − u ,− v ,− w sont linéairement dépendants. −→ → 4. Soit A un point quelconque de l’espace et B, C, D les points définis par AB = − u, −→ − −−→ − → → AC = v , AD = w . −→ −→ −−→ Les trois vecteurs AB, AC et AD ne sont pas coplanaires équivaut à ABCD est un tétraèdre.

14

Cours de géométrie analytique de l’espace

1.4 1.4.1

Droites et plans. Définition Figures coplanaires

Deux figures sont coplanaires si elles sont contenues dans un même plan. 1.4.2

Positions relatives de deux droites de l’espace

1. Deux droites distinctes sont sécantes si elles ont un seul point commun. Dans ce cas elles sont coplanaires.

A

C B

a

α

b

D

2. Deux droites distinctes sont strictement parallèles si elles sont coplanaires et n’ont pas de point commun.

D

C

A

B E

F

b a α

1. Géométrie vectorielle de l’espace

H

G

15

3. Deux droites sont gauches si elles ne sont pas coplanaires et n’ont aucun point commun.

a A

b

H

C

B

D

Remarque: Deux droites sont parallèles si elles sont confondues ou strictement parallèles. 1.4.3

Positions relatives d’une droite et d’un plan

1. Une droite et un plan sont sécants s’ils ont exactement un point en commun. 2. Une droite et un plan sont strictement parallèles s’ils n’ont aucun point commun. 3. Une droite est incluse dans un plan si elle a au moins deux points communs avec le plan.

Cas particulier: Une droite est perpendiculaire à un plan si elle est perpendiculaire à deux droites sécantes a et b de ce plan.

16

Cours de géométrie analytique de l’espace

1.4.4

Positions relatives de deux plans de l’espace

1. Deux plans distincts sont sécants s’ils ont une seule droite en commun qui est appelée intersection de deux plans.

β

D

α

C

A

B E

H

F

G

2. Deux plans distincts sont strictement parallèles s’ils n’ont aucun point en commun.

D

α

C

A

B E

β

H

F

G

Remarque: Deux plans sont parallèles s’ils sont confondus ou strictement parallèles. Cas particulier: Deux plans distincts sont perpendiculaires si l’un contient une droite perpendiculaire à l’autre.

1. Géométrie vectorielle de l’espace

17

18

Cours de géométrie analytique de l’espace

2 2.1

Eléments de géométrie analytique Bases et repères de l’espace

Définition: On appelle base de l’espace vectoriel V3 , tout triplet de vecteurs non coplanaires.

− → → − → − i, j,k

Propriété: − → → − → − i , j , k est une base de V3 et s’il existe trois réels x, y, z tels − → − → − → que x i + y j + z k = 0 alors x = y = z = 0

Si

Définition: 

→ − → − → − On appelle repère de l’espace tout quadruplet O, i , j , k où O − → → − → − est un point de l’espace et i , j , k une base de V3 . Le point O est appelé origine du repère.

K

k O

j

J

i

I

Remarque: − → −→ − → −→ − → −−→ Si on appelle I, J, K les points de l’espace tels que OI = i , OJ = , OK = k , la  j− → → − → − donnée des quatre points O, I, J, K est équivalente à celle du repère O, i , j , k .

2. Eléments de géométrie analytique

19

2.2

Coordonnées d’un point, d’un vecteur

2.2.1

Coordonnées d’un point

Théorème:  − → → − → − Soit O, i , j , k un repère de l’espace. Pour tout point M de l’espace, il existe un triplet unique (x, y, z) de réels tel que − → −−→ − → − → OM = x i + y j + z k  − → → − → − x, y, z sont les coordonnées du point M dans le repère O, i , j , k − → −−→ → − → − et les composantes du vecteur OM dans la base i , j , k . x est l’abscisse, y l’ordonnée et z la cote.

Démonstration: existence:  − → → − → − Soit O, i , j , k un repère de l’espace et M un point quelconque.

M’’

K M

Soit M
le projeté de M sur le plan  − → − → O, i , j parallèlement à la droite  − → d O, k et soit M

le point de d tel −−−→ −−−→ que OM

= M
M.

k J

O i

j

I M’

 − −−→ → − → − → − → Comme M
appartient à O, i , j il existe deux réels x et y tels que OM
= x i + y j . −−−→ − → D’autre part M

∈ d donc il existe z ∈ R tel que OM

= z k . OM
M M

étant un parallélogramme → −−→ −−→
−−− OM = OM + M
M −−→ −−−→ = OM
+ OM

− → −−→ − → − → OM = x i + y j + z k

d’où

unicité: Supposons

− → − → −−→ −−→ − → − → − → − → OM = x i + y j + z k et OM = x
i + y
j + z
k − → − − → − → → on a: (x − x
) i + (y − y
) j + (z − z
) k = 0 donc

(x − x
) = (y − y
) = (z − z
) = 0

et par suite 20

x = x
, y = y
, z = z
Cours de géométrie analytique de l’espace

2.2.2

Composantes d’un vecteur

Théorème: − → → − → − → Soit i , j , k une base de V3 . Pour tout vecteur − u de V3 , il existe un unique triplet (x, y, z) de réels tel que: − → − → − → − → u =x i +y j +zk − → → − → − → x, y, z sont les composantes de − u dans la base i , j , k .  − → → − → − en effet: Soit O, i , j , k un repère de l
espace. Soit M (x, y, z) un point de l’espace

−−→ → → u A tout vecteur − u de V3 on associe le point M unique tel que OM = − − → − → − → → donc − u =x i +y j +zk 2.2.3

Propriétés des coordonnées

Les propriétés sont analogues à celles du plan, nous nous limiterons à les énumérer. Composantes d’un vecteur   
 x x −  →

 → → − → −   − − → Soit i , j , k une base de V3 , λ un réel et u  y  , u  y  deux vecteurs de V3 z
z   x = x
 − → → 1. − u = u
⇔ y = y
  z = z



x + x  − →   → 2. − u + u
 y + y
 z + z


 λx   → 3. (λ− u )  λy  λz

Coordonnées d’un point  − → → − → − Soient O, i , j , k un repère de l’espace et A (xA , yA , zA ), B (xB , yB , zB ) deux points de l’espace 2. Eléments de géométrie analytique

21

   xA = xB 1. A = B ⇔ yA = yB   zA = zB 

 xB − xA −→   2. AB  yB − yA  zB − zA

3. M = mil [AB] avec M

2.3



xA + xB yA + yB zA + zB , , 2 2 2



Droites de l’espace 

→ − → − → − Dans tout ce paragraphe, on considère O, i , j , k un repère de l’espace. 2.3.1

Représentation paramétrique d’une droite

a) Droite déterminée par un point et un vecteur directeur   α   − → Soit A (x0 , y0 , z0 ) un point de l’espace et soit u  β  un vecteur non nul. γ −−→ → → M (x, y, z) ∈ d (A, − u ) ⇔ AM est colinéaire à − u. −−→ → ⇔ ∃ λ ∈ R tel que AM = λ− u −−→ −→ → ⇔ ∃ λ ∈ R tel que OM = OA + λ− u    x = x0 + λα ⇔ ∃ λ ∈ R: y = y0 + λβ (1)   z = z0 + λγ

→ → le système (1) est appelé système d’équations paramétriques de la droite d (A, − u ) et − u est appelé vecteur directeur de la droite d. b) Droite déterminée par deux points Soient A (xA , yA , zA ) et B (xB , yB , zB ) deux points donnés. On se ramène au cas a) en prenant comme vecteur directeur de la droite (AB) le vecteur −→ − → u = AB

22

Cours de géométrie analytique de l’espace

Donc −−→ → M (x, y, z) ∈ (AB) ⇔ ∃λ ∈ R tel que AM = λ− u    x = xA + λ (xB − xA ) ⇔ ∃λ ∈ R : y = yA + λ (yB − yA )   z = zA + λ (zB − zA )    x = (1 − λ)xA + λxB ⇔ ∃λ ∈ R : y = (1 − λ)yA + λyB   z = (1 − λ)zA + λzB

Le système est un système d’équations paramétriques de la droite (AB).

2.3.2

Equations cartésiennes d’une droite 

 α   → u  β . Soit une droite d passant par A(x0 , y0 , z0 ) et de vecteur directeur − γ    x = x0 + λα Alors d ≡ y = y0 + λβ   z = z0 + λγ 1. Si α = 0, β = 0 et γ = 0 on a:    x − x0 = λα d≡ y − y0 = λβ   z − z0 = λγ ⇔

⇔

⇔

⇔

x − x0 y − y0 z − z0 = = α β γ  x − x0 z − z0   =  α γ y − y0 z − z0    = β γ  α    x = x0 + γ (z − z0 ) β    y = y0 + (z − z0 ) γ  α α    x = γ z + x0 − γ z0 β β    y = z + y0 − z0 γ γ

2. Eléments de géométrie analytique

23

β α α β = a, = a
, x0 − z0 = b et y0 − z0 = b
, on obtient un système γ γ γ γ d’équations cartésiennes de la droite d  x = az + b d≡ y = a
z + b


posons

→ 2. Si une composante réelle du vecteur − u est nulle, supposons par exemple γ = 0, on a: − → − → − → u = α i + β j est un vecteur parallèle au plan xOy et le système (1) devient:    x − x0 = λα y − y0 = λβ   z = z0   x − x0 = y − y0 α β ⇔  z=z 0

on obtient donc un système d’équations cartésiennes de la droite d:  y = mx + p d≡ z = z0 → 3. Si deux composantes réelles du vecteur − u sont nulles, supposons par exemple α = β = 0 et γ = 0 − → → On a − u = γ · k est un vecteur parallèle à (Oz). Par conséquent un système d’équations cartésiennes de d est  x = x0 d≡ y = y0 En général: Quels que soient les réels a, b, c, d, a
, b
, c
, d
 ax + by + cz = d a
x + b
y + c
z = d
est un système d’équations cartésiennes d’une droite δ.

Les deux équations du système représentent deux plans dont l’intersection est la droite en question.

24

Cours de géométrie analytique de l’espace

2.4 2.4.1

Plans de l’espace Représentation paramétrique d’un plan

a) Plan déterminé par un point et deux vecteurs directeurs   
 α α   
 − → − → Soit A(xA , yA , zA ) un point de l’espace et soient u  β  et v  β  deux vecteurs γ γ
non colinéaires −−→ → − → → M(x, y, z) ∈ π(A, − u,− v ) ⇔ AM, − u et → v sont coplanaires. −−→ → → ⇔ ∃ r, s ∈ R tels que AM = r− u + s− v     
 x − xA α α     
 ⇔ ∃ r, s ∈ R :  y − yA  = r  β  + s  β  z − zA γ
γ


  x = xA + rα + sα ⇔ ∃ r, s ∈ R : y = yA + rβ + sβ
  z = zA + rγ + sγ


(1)

Le système (1) est appelé système d’équations paramétriques du plan π. b) Plan déterminé par trois points Soient A, B, C trois points non alignés de l’espace

B

M

C

On sait qu’un point M appartient au −−→ −→ −→ plan (ABC) ssi AM, AB, AC sont coplanaires. Ainsi on peut établir les équations paramétriques de (ABC) de la même façon que a)

A p

2.4.2

Equation cartésienne d’un plan

Reprenons le plan défini sous 2.4.1 
  x − xA = rα + sα (1) ⇔ y − yA = rβ + sβ
  z − zA = rγ + sγ
2. Eléments de géométrie analytique

(1) (2) (3)

25

Combinons les deux premières équations pour déterminer s et r β(1) − α(2) : β
(1) − α
(2) :

β(x − xA ) − α(y − yA ) = s(β · α
− α · β
) β
(x − xA ) − α
(y − yA ) = r(β
· α − α
· β)

or β · α
− α · β
= 0 donc on a: s= et

β(x − xA ) − α(y − yA ) β · α
− α · β


r=

β
(x − xA ) − α
(y − yA ) β
· α − α
· β

Remplaçons s et r dans (3) z − zA =

β(x − xA ) − α(y − yA )
β
(x − xA ) − α
(y − yA ) · γ + ·γ
β · α − α
· β β · α
− α · β


β
γ − βγ
α
γ − αγ
αγ
− α
γ βγ
− β
γ ⇐⇒ z − zA =
x+
y+
xA +
yA β α − α
β β α − α
β β α − α
β β α − α
β Cette dernière équation est de la forme a·x+b·y+c·z+d=0 avec a, b, c et d ∈ R.

→ → Cette équation s’appelle équation cartésienne du plan π (A, − u,− v)

2.5 2.5.1

Vecteurs coplanaires et déterminant Déterminant d’ordre 3

Définition: 

 
 

 a a a − →

 − →



   − → Soient u  b  , u  b  , u  b  trois vecteurs de c c
c

l’espace. − →
− →

− → On appelle déterminant des vecteurs u , u , u , noté   a a
a

   − →
− →

  − →


d´ et( u , u , u ) =  b b b  ,    c c
c



le nombre réel ab
c

+ a
b

c + a

bc
− a

b
c − ab

c
− a
bc

26

Cours de géométrie analytique de l’espace

Calcul d’un déterminant d’ordre3: +

règle de Sarrus: -

+

+ a

a’ a’’ a

a’

b

b’

b’’ b

b’

c

c’

c’’ c

c’

-

-

= ab
c

+ a
b

c + a

bc
− cb
a

− c
b

a − c

ba
ou bien règle des cofacteurs:   a a
a

         b
b

 a
a

 a
a

          b b
b

 = a 


 − b 


 + c 


 c c  b b    c c   c c
c

 2.5.2

Vecteurs coplanaires 

 
 

 a a a →

 − →



   − − → Soient u  b  , u  b  , u  b  trois vecteurs de l’espace c c
c



− → → avec − u non colinéaire à u
. − → − → − → u , u
, u

sont coplanaires si et seulement si il existe α et β réels tels que − → − → → u

= α− u + β u


b(1) − a(2) : b
(1) − a
(2) :




  a = αa + βa ⇔ b

= αb + βb
 

c = αc + βc


(1) (2) (3)

ba

− ab

= β(ba
− ab
)

b
a

− a
b

= α(b
a − ba
)

− → → Comme − u et u
ne sont pas colinéaires, ab
− ba
= 0 et on obtient: α=

b
a

− a
b

ba

− ab

et β = b
a − ba
ba
− ab


2. Eléments de géométrie analytique

27

Remplaçons les expressions de α et β dans (3): c

(b a − ba ) = (b a

− a b

)c − (ba

− ab

)c

⇔ c

b
a − c

ba
− b
a

c + a
b

c + ba

c
− ab

c
= 0

d’où

⇔ ab
c

+ a
b

c + a

bc
− a

b
c − ab

c
− a
bc

= 0 → − → − → ⇔ d´ et(− u , u
, u

) = 0

Théorème: − → − → − → − → → → Soient − u , u
, u

trois vecteurs de l’espace − u , u
, u

sont coplanaires → − → − → ssi d´ et(− u , u
, u

) = 0 Conséquence: Trois vecteurs de l’espace forment une base ssi leur déterminant est non nul. 2.5.3

Application

Déterminer l’équation cartésienne d’un plan α donné par un point A(xA , yA , zA ) et deux     u1 v1   →  → vecteurs directeurs − u  u2  et − v  v2  u3

v3

−−→ → − → → M (x, y, z) ∈ α(A, − u ,− v ) ⇔ AM , − u,→ v sont coplanaires

−−→ → − ⇔ d´ et(AM , − u ,→ v) = 0   x − xA u1 v1      ⇔  y − yA u2 v2  = 0    z − zA u3 v3 

En développant ce terminant on obtient une équation cartésienne de α.

28

Cours de géométrie analytique de l’espace

2.6

Exercices

Exercice 1 On considère le parallélépipède ABCDEF GH et les points K, M , R, S et T de la figure ci-dessous (M et R étant les milieux respectifs de [CG] et [BC]):

H

G

M F

E

S

K D

C T

R

A

B

−→ −−→ −→ 1. Donner, relativement à la base B1 = AB, AD, AE , les composantes des vecteurs −→ −→ −−→ −→ −→ −→ −−→ −−→ −→ −→ −−→ AB, AC, AD, AE, AF , AG, AH, AM , AS, AR et AK. −−→ −−→ −→ 2. Même question relativement à la base B2 = CM , CD, BR . Exercice 2 A

L I

S R

M P

G

B

D

N Q

K

J C

Soit un tétraèdre ABCD, I, J, K, L, M, N les milieux respectifs des arêtes [AB], [BC], [CD], [DA], [AC] et [BD], P, Q, R, S les centres de gravité respectifs des triangles ABC, BCD, ACD et ABD, G le centre de gravité du tétraèdre. −→ −→ −−→ Donner les coordonnées de tous ces points dans le repère (A, AB, AC, AD).

2. Eléments de géométrie analytique

29

Exercice 3 → → → e2 ; − e3 ) de V3 , on considère les vecteurs suivants: Relativement à une base B = (− e1 ; − 

1





2





7



→   −  →  − → a  −2  , b  1  , − c  −4  , 1 −1 1 

     1 12 2 − → →  →  −  d  2 ,− e  −3  , f  −1  . −3 2 5 − → → → 1. Déterminer si les vecteurs − a , b et − c sont coplanaires, − → → − → 2. Déterminer si les vecteurs d , − e et f sont coplanaires.

Exercice 4 Relativement à une base B de V3 , on considère les vecteurs: 

1





0





2



→   −  →  − → a  −3  , b  8  , − c  18  , 2 −5 −11 

   35 −2 − → →  −  d  14  , f  −1  . −10 0

1. Calculer les composantes des vecteurs − → − → − → − → → → → u = 2− a − b +2d , − v = −− c +3f , − → − → → − → → → → − → w = 12 − a − 13 − c + 2 d et t = 2− a +3 b −− c .

− → → → 2. Montrer que les vecteurs − a , b et − c sont linéairement dépendants.

Exercice 5 Relativement à une base B de V3 , on considère les vecteurs: 

6





9





0



→   −  →  − → a  −2  , b  3  , − c  −3  . 0 −3 2 − → → → → → 1. Déterminer le vecteur − v tel que − v + 2− a = b − 2− c. 30

Cours de géométrie analytique de l’espace

− → − → → → → → 2. Déterminer le vecteur − w tel que 6(− c −− a + 12 − w) + 2 b = 0 .

− → − → − → → 3 − − → 3. Déterminer le vecteur t tel que 5 t − − a = 2 (2→ c − 32 t ) + 56 b .

Exercice 6 Trouver un système d’équations cartésiennes 1. des axes de coordonnée x, y, et z; 

 3   → 2. de la droite passant par A(1, 2, −3) et de vecteur directeur − v  −1  ; 2 3. de la droite passant par A(2, 1, −3) et B(2, 1, 5).

Exercice 7 Trouver des équations paramétriques et des équations cartésiennes de la droite d 1. comprenant les points A(1, 5, 2) et B(3, 1, 1); 

 2   → 2. comprenant le point D(1, −2, 3) et de vecteur directeur − u 0  3 Exercice 8 Déterminer les réels a et b pour que le point A(−2a + 1, b + 2, a − 4b) appartienne à la droite d, lorsque x−2 y z−1 = = 4 2 3    x = 2γ − 1 2. d ≡ y=γ   z = 3γ + 1

1. d ≡

Exercice 9 Déterminer pour chacune des droites ci-dessous, un système d’équations paramétriques et les composantes d’un vecteur directeur lorsque: 1. d ≡



2x + y − z = 4 x + y − 4z = −2

2. Eléments de géométrie analytique

31

2. d ≡



3. d ≡



3x − 2y + z = 4 3x − 3y + z = −6 x=2 z = −4

Exercice 10 Trouver un système d’équations paramétriques et un système d’équations cartésiennes de chacune des droites ci-dessous: 

 0 − →  1. qui passe par A (1, 2, 3) et a pour vecteur directeur d  −2  ; 2

2. qui passe par A (2, 3, 5) et B (1, 5, 7) ;

 − → 3. qui passe par A (−3, 5, 2) et est parallèle à O, k ;

 − → 4. qui passe par A (0, −2, −7) et est parallèle à O, i ;

5. qui passe par A (8, 6, −12) et est parallèle au segment [BC] , où B (4, 0, −2) et C (5, −2, 3).

Exercice 11 Trouver un système d’équations paramétriques et une équation cartésienne    1 →   − → comprenant le point A(−3, 1, 2) et de vecteurs directeurs − a  −2  et b  3

du plan  π −1  2 . 3

Exercice 12 Trouver une équation cartésienne du plan comprenant les points M (1, 2, −3), N (3, −2, 1) et P (1, 1, −2).

32

Cours de géométrie analytique de l’espace

Exercice 13 Déterminer une équation cartésienne des plans de coordonnée, à savoir les plans xOy, yOz, xOz.

z

1 0 1

1 O y

x

Exercice 14 Déterminer le réel m pour que le point (2m − 3, m + 1, 1 − 2m) appartienne au plan π d’équation 2x − 3y − z − 1 = 0. Exercice 15 Dans un repère de l’espace, on donne les points A(3, −1, 2), B(1, 2, −3) et C(0, 3, −1). Le point D(−7, 10, 13) et le point E(4, −5, 1) appartiennent-ils au plan (ABC)? Répondre sans établir une équation du plan. Exercice 16 On suppose a > 0, b > 0, c > 0. Identifier l’ensemble des points M(x, y, z) d’équation

|x| |y| |z| + + = 1. a b c

Exercice 17 Déterminer l’équation cartésienne du plan α passant par le point P (4, 2, 1) et contenant    x=2+k la droite d ≡ y = 1 − 3k   z =3+k

2. Eléments de géométrie analytique

33

Exercice 18 1. Déterminer l’équation cartésienne parallèle au plan α      x −2 1      α ≡  y  =  2  + k  −1 z

4

du plan β passant par le point P (2, −5, 3) et 



 3    + n 1  2 1

2. Même question avec le point P (2, 2, −2) et le plan α ≡ x − 2y − 3z = 0. Exercice 19 On donne les équations de deux droites d et d
. Dans chaque cas indiquer si ces droites sont sécantes, strictement parallèles, confondues ou gauches.    x = 1 + 3k 1. d ≡ y = −2 − 5k   z =5+k

   x = 2 − 5k 2. d ≡ y = 3 + 2k   z = 5 − 4k

   x = −2 − 6n
d ≡ y = 3 + 10n   z = 4 − 2n

   x = 2 − 5n
d ≡ y = 3 − 2n   z = 5 − 4n

   x = 7 + 2k 3. d ≡ y = 5 − 6k   z = 3 + 3k

   x = 6 + 4n d
≡ y = −1 − 12n   z = 5 − 5n

4. d ≡

d
≡



x+y = 4 2y + z = 5



x + 3y + z = 9 x−y−z = 1

Exercice 20



 1   On considère la droite d1 passant par le point A (2, 1, 1), de vecteur directeur  m , m−1 ainsi que la droite d2 passant par le point B (−5, 2, −7),   2−m   de vecteur directeur  −3  (m ∈ R). −2

Etudier, selon les valeurs de m, les positions relatives des droites d1 et d2 .

34

Cours de géométrie analytique de l’espace

Exercice 21 On donne les six points A (1, 4, 1) C (−5, −11, 5) Q (3, −11, −1)

B (−2, −8, 3) P (3, 5, −1) R (0, −3, 1) .

Montrer que les plans (ABC) et (P QR) sont parallèles. Exercice 22 On donne les équations de deux plans π et π
. Déterminer dans chaque cas si ces plans sont sécants, strictement parallèles ou confondus. 1. π ≡ 3x − 2y + 5z − 4 = 0

π
≡ 3x + 2y + 5z − 4 = 0

2. π ≡ 3x − 2y + 5z − 4 = 0

π
≡ 6x − 4y + 10z − 7 = 0

3. π ≡ 3x − 2y + 5z − 4 = 0

π
≡ −15x + 10y − 25z + 20 = 0

   x = 1 + 3k − 2n 4. π ≡ y = 1−k+n   z =3+k−n

   x = 1 + 3k − 2n 5. π ≡ y = 2−k+n   z =3+k−n    x = 1 + 3k − n 6. π ≡ y =2+k+n   z =3+k−n

   x = 2 − p + 5q
π ≡ y = 2 − 2q   z = 2 + 2q

   x = 1 + 6p − 2q
π ≡ y = 2 − 2p + 2q   z = 3 + 2p − q

   x = 2 + p + 6q
π ≡ y = 2 + p + 2q   z = 2 + 2q

Exercice 23 Dans chaque cas déterminer les coordonnées du point d’intersection de la droite d et du plan α défini ci-dessous:    x = −4 − 5k 1. d ≡ y = 8 + 6k   z =3−k

   x = 1 + 2k 2. d ≡ y = −3 + k   z = −2 − k

2. Eléments de géométrie analytique

α ≡ 2x + 3y − z − 5 = 0

α ≡ 2x − y + 3z + 1 = 0

35

   x = 3 + 2k 3. d ≡ y =5+k   z=k

   x = 6 − 4k 4. d ≡ y = 4 + 3k   z = −5 + 7k

α ≡ 2x − y + 3z + 5 = 0    x = 1 + 3p − 5q α≡ y = 2 + 7p + 2q   z = 6 + 4p + 3q

Exercice 24 Déterminer une représentation paramétrique de la droite d’intersection des deux plans α et β, dans les cas suivants: 1. α ≡ x − 2y + z + 3 = 0 β ≡ x + y − 3z − 2 = 0 2. α ≡ x − 2y + z = 0 β :plan comprenant les points P (2, 3, 1) , Q (−3, 0, 2) et R (1, 2, 3)

Exercice 25 Soit les points O (0, 0, 0), A (1, 0, 0), B (0, 1, 0) et C (0, 0, 1) . Soit α le plan passant par A et parallèle au plan (OBC), β le plan passant par B et parallèle au plan (OAC) et γ le plan passant par C et parallèle au plan (OAB). 1. Déterminer les coordonnées du point d’intersection P des trois plans α, β et γ. 2. Le point P appartient-il au plan (ABC)?

Exercice 26 Déterminer les équations cartésiennes et paramétriques de la droite d’intersection du plan α comprenant les points (2, 1, −1), (4, 2, −3) , (6, 3, 0) et du plan β comprenant le point (1, −2, 3) et de vecteurs directeurs (1, 1, 1) et (−2, 1, 4) .

36

Cours de géométrie analytique de l’espace

3 3.1

Produit scalaire dans l’espace Angle formé par deux vecteurs non nuls

−→ → → → Soient − u et − v deux vecteurs non nuls et A, B, C trois points non alignés tels que − u = AB −→ → et − v = AC C v θ A

u

B

2π−θ

→ →  , indépendants des représentants de − L’angle orienté θ = BAC u et − v choisis, est appelé − → − → angle formé par les vecteurs u et v .

3.2 3.2.1

Produit scalaire de deux vecteurs Définition et interprétation géométrique

En s’inspirant des définitions du produit scalaire dans le plan, on peut définir le produit scalaire dans l’espace de la façon suivante: Définition: → → Soient − u et − v deux vecteurs de V3 . → → → → On appelle produit scalaire de − u par − v , noté − u ·− v,

le nombre réel défini  par: − → − → → → 0 si − u = 0 ou − v = 0 − → − → u · v = − → → − → → → → − u  · − v  · cos θ si − u = 0 et − v = 0 → → θ étant l’angle formé par − u et − v.

Interprétation géométrique −→ − → → −→ − → → → → Soient − u = AB = 0 , − v = AC = 0 et θ l’angle formé par − u et − v. Distinguons différents cas:

3. Produit scalaire dans l’espace

37

→ → 1er cas: θ = 0, − u et − v ont même sens

θ=0

u

A

v

C

B

− → → → → → → u ·− v = − u  · − v  · cos θ = − u  · − v  = AB · AC

→ → 2e cas: θ = π, − u et − v ont même direction et sont de sens contraires.

θ=π v

C

u

A

B

− → → → → u ·− v = − u  · − v  · cos  π = −AB · AC (−1)

e

3 cas: θ =

π , 2

− → → u ⊥− v

C

v θ A

u

B

− → → → → u ·− v = − u  · − v  · cos π2 = 0 4e cas: 0 < θ <

π 2

C v θ A

H

u

B

Soit H la projection orthogonale de C sur (AB) alors le triangle (ACH) est rectangle en AH H et on a: cos θ = AC AH AH → → → → d’où − u ·− v = − u  · − v· = AB · AC · = AB · AH AC AC

38

Cours de géométrie analytique de l’espace

5e cas:

π 2

r

(1) :

x2 + y 2 = r2  − c2

impossible

0

d’où

 √   S ∩ P = M (x, y, z) M ∈ P et M ∈ C(H, r2 − c2 )

Propriété: Soit S une sphère de centre Ω et de rayon r et soit P un plan. Désignons par c la distance de Ω à P   vide si c > r  S ∩ P est réduite à un point si c = r  √  un cercle de centre H et de rayon r2 − c2 si c < r 54

Cours de géométrie analytique de l’espace

Remarques: 1. Si c = 0 alors P passe par le centre Ω de S et le cercle S ∩ P est appelé grand cercle de S. 2. Si c = r alors S ∩ P = {H} on dit que P est un plan tangent à S. Définition: P est un plan tangent à la sphère S lorsque leur intersection est réduite à un point, ou bien un plan P est tangent à une sphère S(Ω, r), lorsque d(Ω, P ) = r

3.6.5

Equation du plan tangent à une sphère

Exemple Soit l’ensemble S d’équation x2 + y 2 + z 2 − 6y − 4z + 9 = 0

(1)

√ Déterminer une équation du plan P tangent en A(+ 2, 2, 3) à S (1) ⇔ x2 + (y − 3)2 + (z − 2)2 + 9 = 9 + 4 ⇔ x2 + (y − 3)2 + (z − 2)2 = 4

S est une sphère de centre Ω(0, 3, 2) et de rayon r = 2 √ √ A( 2, 2, 3) ∈ S car ( 2)2 + (2 − 3)2 + (3 − 2)2 = 2 + 1 + 1 = 4 z

S

A

Ω

y

x

3. Produit scalaire dans l’espace

55

Le plan P tangent en A à S est le plan orthogonal en A à (ΩA). Donc

M (x, y, z) ∈ P ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

   √ √  2−0 x− 2 −→ −−→ −→  −−→    ΩA · AM = 0 avec ΩA  2 − 3  et AM  y − 2  3−2 z−3 √ √ 2(x − 2) + (−1) · (y − 2) + 1(z − 3) = 0 √ 2x − 2 − y + 2 + z − 3 = 0 √ 2x − y + z − 3 = 0

Cas général: Soit S la sphère de centre Ω(a, b, c) et de rayon r S:

(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r2

Soit A(x0 , y0 , z0 ) un point de S. Le plan P tangent en A à S est le plan orthogonal en A à (ΩA). Donc le plan tangent en A à S est donné par: −→ −−→ M(x, y, z) ∈ P ⇔ ΩA · AM = 0 3.6.6

Intersection d’une sphère et d’une droite

Considérons une sphère S(Ω, r) et une droite δ. Soit P un plan passant par Ω et contenant δ.

S

δ d P

Ω

C

H

Le plan P coupe S suivant un grand cercle C. Appelons d la distance de Ω à δ et soit H le projeté orthogonal de Ω sur δ alors d = ΩH. Ainsi le problème se réduit à une question de géométrie plane et S ∩ δ = δ ∩ C.

56

Cours de géométrie analytique de l’espace

On a donc les 4 cas de figures suivantes:

δ Ω

C

P

δ Ω H

C

P

δ

Ω C H

P

Ω

δ P

C H

d’où Propriété: Soit S une sphère de centre Ω, de rayon r et δ une droite Soit d la distance de Ω à δ • Si d < r, S et δ ont exactement deux points communs • Si d = r, S et δ ont exactement un point commun • Si d > r, S et δ n’ont aucun point commun 3. Produit scalaire dans l’espace

57

Définition: Une droite δ est tangente à une sphère S(Ω, r) lorsque la distance de Ω à δ est égale à r.

3.7

Application. Distance d’un point à une droite de l’espace

En utilisant les notions vues précédemment on va exposer sur un exemple différentes méthodes pour déterminer la distance d’un point à une droite de l’espace. → − → − → − Soit (O, i , j , k ) un repère orthonormal de l’espace.    x = 1 + 2t Soit le point A(2, 3, −1) et la droite b d’équations paramétriques (t ∈ R) y =3−t   z = 2 + 3t M H b

A

Soit H le projeté orthogonal de A sur b, AH est la plus petite des distances de A à un point quelconque M de b de l’espace. Déterminons cette distance. Première méthode

u H

b A

P

58

Cours de géométrie analytique de l’espace

Soit P le plan passant par A et perpendiculaire à la droite b. Appelons H le point d’intersection de P et de b, alors AH est la distance demandée.   2   − → u  −1  est un vecteur directeur de b donc un vecteur normal au plan P . 3

D’où

→ M(x, y, z) appartient au plan P passant par A et de vecteur normal − u ssi −−→ − AM · → u =0

b∩P

⇔

2 · (x − 2) − 1 · (y − 3) + 3 · (z + 1) = 0

⇔

2x − y + 3z + 2 = 0   x = 1 + 2t     y = 3−t  z = 2 + 3t     2x − y + 3z + 2 = 0

:

(1), (2) et (3) dans (4)

2(1 + 2t) − (3 − t) + 3(2 + 3t) + 2 = 0

: ⇔ ⇔

donc et

14t + 7 = 0 7 1 H(0, , ) 2 2

AH =

Deuxième méthode

(1) (2) (3) (4)

t=−

1 2

7 1 (−2)2 + ( − 3)2 + ( + 1)2 = 2 2

√ 26 2

On cherche immédiatement le projeté orthogonal de A sur b.   2 −−→ →   → Soit − u  −1 un vecteur directeur de b, on cherche donc le point H de b tel que AH ⊥ − u 3

−−→ → u Soit H(xH , yH , zH ) un point de b tel que AH ⊥ −

2 · (xH − 2) − 1 · (yH − 3) + 3 · (zH + 1) = 0

on a:

(∗)

H ∈ b, ∃t ∈ R : H (1 + 2t, 3 − t, 2 + 3t)

comme (∗) ⇔

et on retrouve

2(1 + 2t − 2) − 1(3t − 3) + 3(2 + 3t + 1) = 0 1 ⇔ t= 2 √ 7 1 26 H(0, , ) et donc AH = 2 2 2

3. Produit scalaire dans l’espace

59

Troisième méthode

S H A B

b

On choisit un point B quelconque de la droite b et on cherche l’ensemble des points H de −−→ −−→ l’espace tels que AM ⊥ BM . D’après le paragraphe 3.6.3 on a vu que cet ensemble est la sphère S de diamètre [AB]. Ainsi S ∩ b nous donne deux points B et H et par conséquent AH.

Soit B(1, 3, 2)

(t = 0)

Equation de S: M (x, y, z) ∈ S ⇔

−→ −−→ AB · BM = 0

⇔

(x − 2)(x − 1) + (y − 3)(y − 3) + (z + 1)(z − 2) = 0

⇔ ⇔ S∩b

:

x2 − 3x + 2 + y 2 − 6y + 9 + z 2 − z − 2 = 0

x2 + y 2 + z 2 − 3x − 6y − z + 9 = 0

(1 + 2t)2 + (3 − t)2 + (2 + 3t)2 − 3(1 + 2t) − 6(3 − t) − (2 + 3t) + 9 = 0

⇔

14t2 + 7t = 0

⇔

7t(2t + 1) = 0

⇔

t=0

ou

t=−

1 2

√ 7 1 26 et donc AH = On retrouve B pour t = 0 et H(0, , ) 2 2 2 Ceci ne sont que quelques méthodes pour déterminer la distance d’un point à une droite. On va en rencontrer d’autres dans le chapitre suivant.

60

Cours de géométrie analytique de l’espace

3.8

Exercices

Exercice 1 → − → − → − L’espace est rapporté à un repère (O, i , j , k). → → Pour les exemples a) à d), les vecteurs − u et − v sont-ils orthogonaux?     1 2     − → − → a) u  −2  v  3  3 1     7 2  11   −5       2   6  → − → b) − u −  v    3   13   5   4  − 9 7    3  −3 −    2  − → − →    7 v  0  c) u    5 2 2     9 3 −  10      − → → 7  v  3  d) − u    7 7  5 2 Exercice 2

→ → Pour les exemples a) à d), calculer α pour que les vecteurs − u et − v soient orthogonaux.     3 −3α −  2    − → − →  a) u 7  v  −3α   2α

b)

c)

d)



 −1   − → u  8α  −3   2α   − → u  2α  3α   −7α   − → u  8α  −3

3. Produit scalaire dans l’espace

2



 − → v  



 − → v 



 − → v 

4  3   −3α  2α  5α  −3  2  4α2  −3α  2α −

61

Exercice 3 Pour les exemples a) à d), étant donné le triangle ABC, calculer les longueurs de ses côtés  et calculer l’angle BAC. a)

A(3, 1, 5)

B(3, 5, 1)

C(−1, 5, 5)

b)

A(1, 1, 5)

B(3, 5, 1)

C(−1, 5, 1)

c)

A(3, 3, 1)

B(3, 5, 5)

C(−1, 5, 5)

d)

A(−2, 4, 3)

B(3, −5, 4)

C(−1, 3, −1)

Exercice 4 On considère les points A(2, 3, 2)

B(5, 3, −1)

C(1, 2, −2)

D(−2, 2, 1).

a) Montrer que ABCD est un losange. b) Déterminer les mesures en degrés des angles de ce losange. Exercice 5 On considère les points A(1, −2, 1), B(2, 0, −3), C(−1, 2, −2). Déterminer une équation cartésienne du plan passant par C et perpendiculaire à la droite (AB). Exercice 6 Déterminer une équation cartésienne du plan P vérifiant les conditions suivantes: 

 2   → P passe par A(1, −1, 2) et un vecteur normal est − u  1 . 0 Exercice 7 → Pour les exemples (a) à (d), soit une droite d de repère (A, − u ) et un plan P donné par une équation cartésienne. 1. Montrer que d n’est pas perpendiculaire à P . 2. Former une équation cartésienne du plan P
contenant d et perpendiculaire à P .   1   − → a) A(1, −2, 1), u  1 , 1

P ≡ 2x + y − z = 0

62

Cours de géométrie analytique de l’espace

b) A(−1, 0, 1),



 −1   − → u  2 , 1

P ≡ 2x − y − z + 3 = 0   2   − → c) A(−3, 2, 1), u  −1  , 3

P ≡ 3x − y − 2z + 6 = 0   −1   − → d) A(−1, 3, 1), u  1 , 2 P ≡ 2x + 4y + 3z + 5 = 0

Exercice 8 Déterminer une équation cartésienne du plan P vérifiant les conditions suivantes: P passe par A(1, −1, 2) et il est parallèle au plan Q d’équation 3x + 5y − 8z − 2 = 0. Exercice 9 Déterminer une équation cartésienne du plan P vérifiant les conditions suivantes: P passe par A(1, −1, 2) et B(1, 0, 2) et il est perpendiculaire au plan d’équation 3x + 5y − 8z − 3 = 0. Exercice 10 Déterminer une équation cartésienne du plan P vérifiant les conditions suivantes: P passe par A(1, 0, 2) et il est perpendiculaire aux plans P
etP

d’équation P
≡ 3x + 5y − 8z − 2 = 0

et

P

≡ x + y + z − 4 = 0.

Exercice 11 On considère les points A(2, 0, 0), B(−1, b, 0), C(−1, c, 0) et D(0, 0, 3), où b et c sont des réels. 1. Montrer que les droites (AD) et (BC) sont orthogonales. 3. Produit scalaire dans l’espace

63

2. Trouver une condition nécessaire et suffisante portant sur b et c pour que les droites (AC) et (BD) soient orthogonales. Cette condition est supposée réalisée dans la question suivante: 3. Montrer que les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.

Exercice 12 Etant donné un réel m, on considère le plan Pm d’équation x + (2m − 1)y + mz − 3 = 0. 1. Donner un repère de la droite d intersection de P0 et de P1 . 2. Montrer que d est incluse dans tous les plans Pm .

Exercice 13 Etant donné un réel m, on considère le plan Pm d’équation m2 x + (2m − 1)y + mz − 3 = 0. 1. Pour quelle valeur de m le plan Pm passe-t-il par A(−1, −2, 6)? 2. Montrer qu’il existe un point et un seul, dont on donnera les coordonnées, qui appartient à tous les plans Pm .

Exercice 14 On considère les points A(2, 1, 2), B(−1, 2, 12), C(1, 0, −2) et D(x, y, 1). 1. Montrer que A, B, C ne sont pas coplanaires. 2. Déterminer x et y pour que la droite (OD) soit perpendiculaire au plan (ABC). 3. Calculer alors la distance de D à (ABC).

Exercice 15 Calculer les longueurs des hauteurs du tétraèdre de sommets A(2, 4, 6), B(−4, −4, 4), C(5, 0, 3) et D(−1, 7, 5). Exercice 16 On considère les plans α et β d’équations cartésiennes respectives x − 2y + 2z = 0 et 2x + y − 2z = 0. Déterminer l’équation du lieu géométrique des points dont le rapport des distances aux plans α et β, dans cet ordre, est égal à 2. 64

Cours de géométrie analytique de l’espace

Exercice 17 On donne les trois plans α, β et γ d’équations cartésiennes respectives x − 2y + 2z + 4 = 0, 2x + 3y − 6z − 5 = 0 et 12x + 2y + 5z = 0. Déterminer les coordonnées des points situés sur la perpendiculaire n issue du point P (13, 4, 9) au plan γ et équidistants des plans α et β. Exercice 18 Pour les exemples 1. à 4., former une équation de la sphère: √ 1. de centre Ω(−3, 4, 0) et de rayon 3 2. 2. de centre Ω(−3, 2, 2) et passant par A(1, 3, 0). 3. de points diamétralement opposés A(3, −5, 7) et B(1, −3, 9). 4. passant par les quatre points: A(0, 4, −1), B(−2, 4, −5), C(1, 1, −5) et D(1, 0, −4). Exercice 19 Pour les exemples 1. à 6., étudier l’ensemble d’équation: 1. x2 + y 2 + z 2 − x − 3y − 4z +

13 =0 2

2. x2 + y 2 + z 2 − 2x + y − 6z +

21 =0 2

3. 5(x2 + y 2 + z 2 ) − 8x − 3y − 4z = 0 4. 2(x2 + y 2 + z 2 ) + 6x − 2y + 8z + 9 = 0 5. x2 + y 2 + z 2 − 2x − 4y − 6z = 0 6. x2 + y 2 + z 2 − x − 3y + 5z − 1 = 0 Exercice 20 On considère l’ensemble d’équation x2 + y 2 + z 2 − 4x − 2y + 6z + 5 = 0. 1. Montrer que c’est une sphère S, dont on précisera le centre et le rayon. 2. Montrer que le plan P d’équation 2x − y + 3z − 2 = 0 coupe S suivant un cercle. 3. Préciser le centre et le rayon de ce cercle.

3. Produit scalaire dans l’espace

65

Exercice 21 Déterminer les coordonnées des points d’intersection d’une sphère S et d’une droite d dans chacun des cas suivants:    x = −3 + 2k 2 2 2 1. S ≡ x + y + z − 2x − y + z − 3 = 0 d≡ y = 6 − 2k   z = −4 + k   x = −2 − k  2 2 2 d≡ 2. S ≡ x + y + z + x + 2y + 3z − 9 = 0 y =4+k   z =4+k    x=1 2 2 2 3. S ≡ x + y + z − 3x + y + 1 = 0 d≡ y =2+k   z = 3 + 2k Exercice 22

Déterminer l’équation de la sphère inscrite dans le tétraèdre de sommets A(−12, 0, −2) , B(12, −12, −2) , C(0, 12, −2) et D(−4, 4, 6) . Exercice 23 On donne une sphère S et un point T . Après avoir vérifié que T appartient à S, trouver l’équation du plan tangent à S au point T . 1. S ≡ (x + 3)2 + (y − 15)2 + (z − 2)2 = 225

T (7, 4, 4)

2. S ≡ (x − 2)2 + (y + 4)2 + (z − 3)2 = 289

T (14, 4, −6)

3. S ≡ x2 + y 2 + z 2 − 2x − 10y + 6z − 27 = 0

T (−2, 12, −5)

4. S ≡ 49x2 + 49y 2 + 49z 2 − 70x + 42y − 294z + 34 = 0

8 T (3, −1, ) 7

Exercice 24 Trouver les équations des plans tangents à la sphère d’équation x2 + y 2 + z 2 + 8x − 2y − 2z − 48 = 0 aux points d’intersection de cette sphère avec les axes de coordonnées. Exercice 25 Montrer que les deux sphères d’équations x2 + y 2 + z 2 = 81

et

x2 + y 2 + z 2 − 4x − 12y + 6z + 45 = 0

sont tangentes et déterminer l’équation de leur plan tangent commun. 66

Cours de géométrie analytique de l’espace

4 4.1

Produit vectoriel. Produit mixte. Orientation des repères de l’espace

A. Description → − → − → − Considérons, dans l’espace, un repère (O, i , j , k ) et [Ox), [Oy), [Oz) les demi-droites → − → − → − d’origine O et de vecteurs directeurs respectifs i , j , k . → −→ − → −→ − → −−→ − Soient I, J, K trois points définis par OI = i , OJ = j , OK = k . → → − → − − → − → − − → − → − → − → Une
base
( i
, j
, k
) orthonormale, c’est-à-dire telle que i · j = j · k = k · i = 0 et
→
→

− →

−
−
i
=
j
=
k
= 1, peut-être directe ou indirecte. → → − → − → − − → − → − Un repère (O, i , j , k ) est orthonormal direct s’il en est de même de la base ( i , j , k ).

Notons que les procédés employés pour fixer des conventions (règle du tire-bouchon, bonhomme d’Ampère) sont extra-mathématiques, les conventions contraires seraient tout aussi admissibles. En mathématiques on a privilégié un sens appelé direct, celui correspondant au vissage d’un tire-bouchon. → − → − → − − → − → La base ( i , j , k ) est directe si en tournant de i vers j , le tire-bouchon s’enfonce − → dans la direction de k .

z

K

k O

j

J y

i

x

On trouve la même orientation avec la règle des trois doigts de la main droite, le triplet (pouce, index, majeur) définit une orientation directe.

4. Produit vectoriel. Produit mixte.

67

Remarque: L’espace est dit orienté quand il est muni d’un repère direct. B. Propriétés: → − → − → − 1. Soit (O, i , j , k ) un repère direct de l’espace. → − → − → − Pour tout point Ω de l’espace, le repère (Ω, i , j , k ) est direct. → − → − → − 2. Si ( i , j , k ) est une base directe, alors → → → − → − → − − → − → − − → − → − (− i , j , k ) ; ( i , − j , k ) ; ( i , j , − k ) sont des bases indirectes. → − → − → − 3. Si (O, i , j , k ) est un repère direct de l’espace, alors → − − → − − → − → → − → • (O, j , k , i ) ; (O, k , i , j ) sont directs → − → − → − − → − → − → − → − → − → • (O, i , k , j ) ; (O, j , i , k ) ; (O, k , j , i ) sont indirects En effet, une permutation circulaire des 3 vecteurs ne change pas l’orientation de l’espace; l’échange de deux des trois vecteurs change l’orientation.

4.2 4.2.1

Produit vectoriel Définitions

A. Définition: −→ Soient A, B, C trois points non alignés. Le produit vectoriel de AB −→ −→ −→ −−→ et AC, noté AB ∧ AC , est le vecteur AD défini par les conditions suivantes: 1. la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC) −→ −→ −−→ 2. le repère (A, AB, AC, AD) est direct.  3. AD = AB · AC · sin BAC

D

C A

B

68

A’

Cours de géométrie analytique de l’espace

B. Remarques:
−→ −→


1. AD =
AB ∧ AC
= aire du parallélogramme ABA
C construit avec les segments [AB] et [AC]. En effet,

 H le projeté soit θ la mesure en radians (O < θ < π) de l’angle non orienté BAC, orthogonal de C sur (AB).

C

A’

θ A

H

B


−→ −→


AD =
AB ∧ AC
= AB · AC · sin θ = AB · AC ·

CH AC

= AB · CH

−→ −→ − → 2. Si A, B, C sont trois points alignés, AB ∧ AC = 0 en effet: A, B, C sont alignés lorsque AB = 0 ou AC = 0  =0 ou si A = B et A = C , sin BAC −→ −→ − → ainsi il s’ensuit: AB ∧ AC = 0 C. Produit vectoriel de deux vecteurs Définition:

→ → Soient − u et − v deux vecteurs de l’espace et soit A un point. On −→ → −→ − construit B et C tels que AB = − u et AC = → v. −→ −→ − → − → − → − → Le produit vectoriel de u et v , noté u ∧ v , est AB ∧ AC.

4. Produit vectoriel. Produit mixte.

69

Remarque: → → → → → → Si − u et − v ne sont pas colinéaires, (− u ,− v,− u ∧− v ) est une base directe. 4.2.2

Propriétés du produit vectoriel

A) Orthogonalité Théorème: → → Soient − u et − v deux vecteurs de l’espace, leur produit vectoriel est → → un vecteur orthogonal à − u et à − v. Démonstration: − → → → → → • Si − u colinéaire à − v , alors − u ∧− v = 0. − → → → Or 0 est orthogonal à tout vecteur de l’espace donc en particulier à − u et à − v. → → • Si − u n’est pas colinéaire à − v , alors d’après la définition et la description donnée −−→ − → − → par la définition 4.2.1, u ∧ v est un vecteur AD orthogonal au plan (ABC). −−→ −→ −−→ −→ c’est-à-dire AD ⊥ AB et AD ⊥ AC − → → → → → → ou u ∧− v ⊥− u et − u ∧− v ⊥− v B) Colinéarité de deux vecteurs Théorème: → → Deux vecteurs − u et − v sont colinéaires, − → → → si et seulement si − u ∧− v = 0 Démonstration: − → → → → → • Si − u colinéaires à − v alors − u ∧− v = 0 • Réciproquement, → → Supposons − u non colinéaire à − v

−→ → −→ − Soient A, B, C trois points tels que AB = − u et AC = → v , alors A, B, C ne sont pas alignés.

 = 0 AB = 0 et AC = 0 et sin BAC
−−→


 = 0 ainsi
AD
= AB · AC · sin BAC −−→ − − → → d’où AD = → u ∧− v = 0 → → → → par conséquent − u ∧− v =0⇔− u colinéaire à − v. Donc

70

Cours de géométrie analytique de l’espace

4.3

Bases orthonormales

Théorème: → → → Soient − u et − v deux vecteurs unitaires et orthogonaux et − w = − → − → u ∧ v. → → → Alors (− u ,− v ,− w ) est une base orthonormale directe. Démonstration: → → → → Comme − u et − v sont orthogonaux et non nuls, − u et − v ne sont pas colinéaires. Donc − → − → − → − → ( u , v , u ∧ v ) est une base directe. D’après le théorème du paragraphe 4.2.2 et par hypothèse → → → → → les vecteurs − u ,− v ,− w =− u ∧− v sont orthogonaux deux à deux → →  mes(− u ,− v)=

En plus

d’où

π 2

→ → → → → → → − w  = − u ∧− v  = − u  · − v  · sin(− u ,− v) π = 1 · 1 · sin 2 = 1

− → w est un vecteur unitaire. → → → Ainsi, (− u ,− v ,− w ) est une base orthonormale. d’où

Théorème: → → → → → → Si ( − u,− v ,− w ) est une base orthonormale directe, alors − w =− u ∧− v. Démonstration: Soit A un point de l’espace. −−→ → −→ → −→ − −−→ → − u , AC = → v , AD = − u ∧→ v et AD
= − w. Construisons B, C, D et D
tels que AB = − → → Comme − u et − v ne sont pas colinéaires, A, B et C ne sont pas alignés. Les points D et D
appartiennent à la droite perpendiculaire au plan (ABC) passant par A. → → → → → → (− u,− v ,− w ) étant une base orthonormale directe donc − w  = 1 et − u ∧− v=1 Donc AD = AD
−→ −→ −−→ −→ −→ −−→ Comme (A, AB, AC, AD) et (A, AB, AC, AD
) sont directs les points D et D
sont dans le même demi-espace de frontière (ABC) Donc D = D
→ → → par conséquent − u ∧− v =− w 4. Produit vectoriel. Produit mixte.

71

4.4 4.4.1

Règles de calcul Antisymétrie

→ → Quels que soient les vecteurs − u et − v − → → → → u ∧− v = −(− v ∧− u) En effet: − → → − − → → → → → • si − u et − v sont colinéaires, − u ∧− v = 0 et − v ∧→ u = 0 → → → → donc − u ∧− v = −(− v ∧− u) → → • supposons − u et − v non colinéaires. −→ → −→ − Construisons A, B, C tels que AB = − u , AC = → v . −−→ → − − − → → → Soient les points D et D
tels que AD = − u ∧− v et AD
= − v ∧→ u. D’après la définition du produit vectoriel les points D et D
sont de part et d’autre du point A et A = mil [DD
] . −−→ −−→ Donc AD = −AD
− → → → → ou u ∧− v = −(− v ∧− u)

4.4.2

Bilinéarité

On admet les propriétés suivantes: → → → quels que soient les vecteurs − u,− v ,− w et le réel λ − → → → → → → → u ∧ (− v +− w) = − u ∧− v +− u ∧− w → → → → → → → (− u +− v)∧− w = − u ∧− w +− v ∧− w − → → → → u ∧ (λ− v ) = λ(− u ∧− v) → → → → (λ− u)∧− v = λ(− u ∧− v)

4.5

Coordonnées du produit vectoriel dans une base orthonormale directe

→ − → − → − Soit ( i , j , k ) une base orthonormale directe de l’espace. La propriété suivante résulte des résultats précédents

72

Cours de géométrie analytique de l’espace

a) Propriété: → − → − − → − → − → − → − → i ∧ i = j ∧ j = k ∧ k = 0 → − → − → − i ∧ j = k et → − − → − → j ∧ k = i et − → − → − → k ∧ i = j et

− → − → − → j ∧ i =−k − → − → − → k ∧ j =−i → − → − − → i ∧ k =−j

b) Coordonnées du produit vectoriel de deux vecteurs → − → − → − Soit ( i , j , k ) une base orthonormale directe → → Considérons − u (x, y, z) et − v (x
, y
, z
) deux vecteurs de l’espace On a: − → − → − → − → − → − → − → → u ∧− v = (x i + y j + z k ) ∧ (x
i + y
j + z
k ) − → − → − → − → − → − → − → − → = x i ∧ (x
i + y
j + z
k ) + y j ∧ (x
i + y
j + z
k ) − → − → − → − → +z k ∧ (x
i + y
j + z
k ) → − → − → − → − → − → − − → − → − → − → = xx
( i ∧ i ) + xy
( i ∧ j ) + xz
( i ∧ k ) + yx
( j ∧ i ) + yy
( j ∧ j ) → − → − − → − − → − → − → − → → +yz
( j ∧ k ) + zx
( k ∧ i ) + zy
( k ∧ j ) + zz
( k ∧ k ) D’après la propriété précédente on obtient: − → − → − → − → − → − → − → → u ∧− v = xy
k + xz
(− j ) + yx
(− k ) + yz
i + zx
j + zy
(− i ) − → − → − → = (yz
− zy
) i + (zx
− xz
) j + (xy
− yx
) k → → Les coordonnées de − u ∧− v sont donc:

Remarque:

  y z  

 y z

    z x   ,

  z x

    x y   ,

  x y

    

→ → Pour le calcul de − u ∧− v on utilise souvent le pseudo-déterminant suivant:     − → − → u ∧ v =   

→  − → − → − i j k   x y z   x
y
z
    − →  y z  − →  x z = i 

− j 

 y z   x z

4. Produit vectoriel. Produit mixte.

   −   → x y + k 

  x y

    

73

4.6 4.6.1

Applications Equation cartésienne d’un plan

→ − → − → − L’espace est rapporté à un repère (O, i , j , k ) 

   1 2   −   − → → Soit A(2, −3, 1) un point et les deux vecteurs u  −1  , v  3  de l’espace. 1 0 → → Déterminons l’équation cartésienne du plan P passant par A et de base (− u ,− v ).

u A

M

v

P

→ P est déterminé par le point A et par un vecteur normal − n. → → Or − u et − v sont non nuls et non colinéaires donc:

d’où Ainsi



− → →∧− → n = − v u− →  → → −  i − j k     =  1 −1 1     2 3 0       − →  −1 1  − →  1 1 = i  − j   2 0  3 0  − → − → − → = −3 i + 2 j + 5 k 

    −    →  1 −1   + k    2 3 

−3   − → n 2  5

−−→ → M (x, y, z) ∈ P ⇔ AM · − n =0 ⇔ (x − 2) · (−3) + (y + 3) · 2 + (z − 1) · 5 = 0 ⇔ −3x + 2y + 5z + 7 = 0

74

⇔ 3x − 2y − 5z − 7 = 0

Cours de géométrie analytique de l’espace

4.6.2

Intersection de deux plans

→ − → − → − L’espace est rapporté à un repère orthonormal direct (O, i , j , k ). Etudions l’intersection des deux plans P ≡ 3x − 2y − z + 2 = 0

et P
≡ x − 2y − z − 3 = 0

vecteur normal à P :

vecteur normal à P
:



 3   − → n  −2  −1   1 − →
  n  −2  −1

− → → Comme − n n’est pas colinéaire à n
, les deux plans ne sont pas parallèles et P ∩ P
est − → → → → → une droite d de vecteur directeur − u avec − u ⊥− n et − u ⊥ n
. − → → Par conséquent − n ∧ n
est un vecteur directeur de d.  − →  − → −  → i j k   − →
  − → n ∧ n =  3 −2 −1     1 −2 −1  − → − → − → = i (2 − 2) − j (−3 + 1) + k (−6 + 2)   0 − →  − → n ∧ n
 2  −4   0   − → ou u 1  −2

Déterminons enfin un point A de d,

la droite d n’étant pas parallèle au plan z = 0 cherchons donc A de cote z = 0:  (1) − (2) (1) − 3 · (2)

4. Produit vectoriel. Produit mixte.

3x − 2y + 2 = 0 (1) x − 2y − 3 = 0 (2)

2x + 5 = 0 5 ⇔ x=− 2 4y + 11 = 0 11 ⇔ y=− 4 5 11 d’où A(− ; − ; 0) 2 4

75

5 11 Par conséquent P ∩ P
= d avec d passant par A(− ; − ; 0) et de vecteur directeur 2 4   0   − → u  1 . −2 4.6.3

Calcul d’aire

→ − → − → − L’espace est rapporté à un repère orthonormal direct (O, i , j , k ). Soient les points A(2, −1, 1), B(0, −3, 2) et C(2, −3, 4) Déterminons l’aire du triangle ABC.     −2 0 −→   −→   AB  −2  et AC  −2  1

3


−→ −→
−→ −→

AB et AC ne sont pas colinéaires, on sait que
AB ∧ AC
est l’aire du parallélogramme −→ −→ construit sur les vecteurs AB et AC. D’où:

l’aire du triangle
−→ ABC
est: − →

A = 12
AB ∧ AC


Revenons à l’exemple numérique: On a:

Ainsi:

 − →  − → −  → i j k   −→ −→   AB ∧ AC =  −2 −2 1     0 −2 3  − → − → − → = i (−6 + 2) − j (−6) + k (4)   −→ −→ −4   AB ∧ AC  6  4 A = = = = =

76


1

−→ −→

AB ∧ AC
2 1√ 2 4 + 62 + 42 2 1√ 68 2 1√ 2 2 · 17 2 √ 17 Cours de géométrie analytique de l’espace

4.6.4

Distance d’un point à une droite

Dans le chapitre 3, on a vu en utilisant le produit scalaire comment déterminer la distance d’un point à une droite. Maintenant après avoir rencontré la notion du produit vectoriel nous allons découvrir une autre méthode pour déterminer cette distance. → Soit une droite δ passant par un point A et de vecteur directeur − v

δ B A

H

v

M

−→ → Considérons un point B de δ tel que AB = − v. Soit M un point de l’espace et H son projeté orthogonal sur δ. On a: −→ −−→ −→ −−→ −−→ AB ∧ AM = AB ∧ (AH + HM ) −→ −−→ −→ −−→ = AB ∧ AH + AB ∧ HM −→ −−→ −→ −−→ − → or AB ∧ AH = 0 car AB et AH sont colinéaires −→ −−→ −→ −−→ donc AB ∧ AM = AB ∧ HM
−→ −−→

−→ −−→




et
AB ∧ AM
=
AB ∧ HM

−→

−−→
π



=
AB

HM
· sin 2 → = − v  · d(M, δ)
−→ −−→



AB ∧ AM

d(M, δ) = d où → − v
−−→

−
→
v ∧ AM
ou: d(M, δ) = → − v Exemple: A(2, 0, −1),



 −1   − → v =  3 , 1

M (−2, −1, 3),

→ δ la droite passant par A et de vecteur directeur − v 4. Produit vectoriel. Produit mixte.

77


−−→

−
v ∧ AM

→ d(M, δ) = → − v  − → − → −  → i j k  −−→  − → v ∧ AM =  −1 3 1   −4 −1 4 √ 132 + 132 = d(M, δ) = √ 1+9+1

4.7 4.7.1

   − → − → − →   = 13 i + 0 j + 13 k   √ √ 13 2 13 22 √ = 11 11

Produit mixte Définition → → → → → → Le produit mixte de trois vecteurs − u, − v,− w , noté [− u,− v ,− w] − → − → − → est le nombre réel ( u ∧ v ) · w

Remarques: → → → → → → 1. Comme le produit scalaire est symétrique, on a (− u ∧− v )·− w =− w · (− u ∧− v) 2. D’après les propriété du produit scalaire et du produit vectoriel, on obtient → → → → → quel que soit λ réel et quels que soient les vecteurs − u, − u1 , − u2 , − v,− w de l’espace → → → → → → [α− u,− v ,− w ] = ((α− u)∧− v)·− w → → → = α(− u ∧− v)·− w → → → = α [− u ,− v ,− w]

→ → → → → → → → u2 , − v ,− w ] = ((− u1 + − u2 ) ∧ − v)·− w [− u1 + − → → → → → = (− u ∧− v +− u ∧− v)·− w 1

2

→ → → → → → = (− u1 ∧ − v )·− w + (− u2 ∧ − v)·− w → → → → → → = [− u ,− v ,− w ] + [− u ,− v ,− w] 1

4.7.2

2

Interprétation géométrique

Soient A, B, C, D quatre points non coplanaires de l’espace −→ → −→ − −−→ → Posons AB = − u , AC = → v et AD = − w 78

Cours de géométrie analytique de l’espace

U

E’

C’

B’

D

H

w C E

v J A

u

B

→ → Soit ABEC le parallélogramme construit sur les vecteurs − u et − v. −→ −→ − −→ → Posons: AB ∧ AC = → u ∧− v = AU On sait que AU a même mesure que l’aire du parallélogramme ABEC. −→ −→ −−→ Supposons que (AB, AC, AD) est de sens direct, alors U et D sont du même côté du plan (ABEC) Soit H le projeté orthogonal de D sur (AU ), on a donc −→ −−→ AU · AD = AU · AH Comme AH est la hauteur du parallélépipède ABECDB
E
C
de base ABEC, AU · AH en est le volume. Par conséquent: −→ −−→ −→ −→ −−→ −→ −→ −−→ AU · AD = AB ∧ AC · AD = AB, AC, AD représente le volume du parallélépipède. −→ −→ −−→ Si AB, AC, AD est de sens indirect, les points U et H sont de part et d’autre du plan (ABEC) et on a: −→ −−→ AU · AD = −AH · AU −→ −−→   Donc AU · AD représente également le volume du parallélépipède.

4. Produit vectoriel. Produit mixte.

79

En résumé: −→ −→ → → Si A, B, C, D sont quatre points tels que AB = − u , AC = − v et −−→ − → AD w, −→= − → −−→    AB, AC, AD  est le volume du parallélépipède construit sur les vecteurs −→ −→ −−→ AB, AC et AD Remarque: D’après l’interprétation géométrique on voit que → → → → → → [− u,− v ,− w ] est positif, si (− u ,− v ,− w ) est une base directe → → → et négatif si (− u,− v ,− w ) est une base indirecte. → → → → → → → → → Donc [− u ,− v ,− w ] = [− w,− u ,− v ] = [− v ,− w,− u ] car ces produits mixtes ont même valeur absolue et même signe. En considérant les résultats vus pour les bases, on peut dire qu’un produit mixte est invariant par permutation circulaire des trois vecteurs, mais se transforme en son opposé par transposition de deux de ceux-ci.

4.7.3

Exemple

L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct. Soient les points A(−1, 2, 3)

B(0, 1, 1, )

C(3, 2, 0)

D(1, 1, 2)

Calculons le volume du parallélépipède ABECDB
E
C
d’arêtes [AB], [AC] et [AD] −→ −→ −−→ −→ −→ −−→ AB, AC, AD = AB ∧ AC · AD On a:

   −→ −→  AB ∧ AC =   

donc et

  3 −→ −→   AB ∧ AC  −5  4

→  − → − → − i j k   1 −1 −2   4 0 −3  − → − → − → = 3 i −5j +4k

−→ −→ −−→ AB ∧ AC · AD = 3 · 2 + (−5) · (−1) + 4 · (−1) = 6+5−4 = 7 D’où le volume du parallélépipède: 80

V = 7 u.a. Cours de géométrie analytique de l’espace

4.7.4

Propriété:

En utilisant les notations du paragraphe 4.7.2 ci-dessus, on a: −→ −→ −−→ AB, AC, AD −→ −→ −−→ AB, AC, AD

Alors

→ → → = [− u ,− v ,− w ] = |AU · AH| = 0 ⇔ AU = 0 ou AH = 0 −→ −→ ⇔ AB colinéaire à AC ou D ∈ plan (ABC) → → ⇔ − u colinéaire à − v ou D ∈ plan (ABC)

d’où la propriété Propriété: → → → Soient − u ,− v ,− w trois vecteurs de l’espace − → − → → → → → [u , v ,− w] = 0 ⇔ − u,− v ,− w sont coplanaires

4.8

Expression analytique du produit mixte dans une base orthonormale directe.

− → → − → − i , j , k une base orthonormale directe.       x x
x

  →
 −   → Considérons les trois vecteurs − u  y , − v  y  et → w  y

 dans cette base. z z
z

Soit

On sait que



 yz
− y
z   − → → u ∧− v  zx
− xz
 xy
− x
y donc: → → → (− u ∧− v)·− w = (yz
− y
z) · x

+ (zx
− xz
) · y

+ (xy
− x
y) · z

= yz
x

− y
zx

+ zx
y

− xz
y

+ xy
z

− x
yz



4. Produit vectoriel. Produit mixte.

81

Or    x x
x

   


 = x(y
z

− z
y

) − x
(yz

− zy

) + x

(yz
− zy
)  y y y     z z
z



= xy
z

− xz
y

− x
yz

+ x
zy

+ x

yz
− x

zy
→ → → Par conséquent, leproduit mixte de trois vecteurs − u,− v ,− w dans une base orthonormale − → → − → − − → − → − → directe i , j , k est le déterminant du triplet ( u , v , w ) dans cette base.

4.9 4.9.1

   x x
x

     → → → [− u,− v ,− w ] =  y y
y

    z z
z



Applications Equation d’un plan



α



  → Soit P le plan défini par un point A(xA , yA , zA ) et de deux vecteurs directeurs − u β  γ 
 α 
 − → et v  β  γ
M(x, y, z) ∈ P Exemple

−−→ − → AM , → u, − v sont coplanaires −−→ → → ⇔ AM, − u ,− v =0

⇔



 2 √   → Déterminer l’équation du plan P passant par A( 3, 1, 0) et de vecteurs directeurs − u  −1  0  √  3   − → et v  0  . 2

M (x, y, z) ∈ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 82

−−→ − → − → → → P (A, u , v ) ⇔ AM, − u, − v =0  √ √   x− 3 2 3      y − 1 −1 0  = 0    z 0 2  √ √ (x − 3)(−2) − 2(2(y − 1)) + 3(z) = 0 √ √ −2x + 2 3 − 4y + 4 + 3z = 0 |·(−1) √ √ 2x + 4y − 3z − 4 − 2 2 = 0

Cours de géométrie analytique de l’espace

4.9.2

Calcul de volume

Soit ABCD un tétraèdre de sommets A(2, 3, 1), B(4, 1, −2), C(6, 3, 7) et D(−5 − 4, 8) B’

A’

C D’

D C’

B

A

Le volume du tétraèdre est 1 −→ −→ −−→  V =  AB, AC, AD  6

On a:

−→ −→ −−→ AB, AC, AD

   2 4 −7      =  −2 0 −7     −3 6 7  = 2 · 42 + 4 · 35 + 7 · 12

= 84 + 140 + 84 = 308 d’où

V =

4.9.3

1 154 · 308 = 6 3

Distance de deux droites

1. Droites parallèles L’espace est rapporté à un repère → − → − → − orthonormal direct (0, i , j , k ).

H

v A

M

H’ v’ A’

δ

δ’

4. Produit vectoriel. Produit mixte.

Soient δ la droite passant par A → de vecteur directeur − v et δ
la droite passant par A
de vecteur → → directeur − v
où − v
est colinéaire → à− v. 83

Si M ∈ δ
, H le projeté orthogonal de M sur δ alors d(δ, δ
) = M H. La distance M H est indépendant du choix de M donc prenons A
∈ δ
et soit H
le

projeté orthogonal de A
sur δ, on obtient en utilisant la distance du point A
à la droite δ
−−→


−
→ v ∧ AA




d(δ, δ ) = A H = → − v

2. Droites non parallèles Exemple:

→ → Soient les deux droites f (A, − u ), g(A
, − v ) de l’espace avec     1 −1     → → A(−3, 2, 1), − u  1  , A
(1, −1, 0) et − v  −1 . −2

3

Déterminons la distance entre f et g. Pour cela, on présente plusieurs méthodes: a) Soit (HH
) la perpendiculaire commune à f et g. f H

u

n

A

A’

g v

84

H’

Alors d(f, g) = HH
. → Appelons − n un vecteur normal à f et à g,  − →  − → −  → j k   i − → → − →   − − → − → − → n = u ∧ v = 1 1 −2  = i (3 − 2) − j (3 − 2) − k (−1 + 1)    −1 −1 3    1   − → donc n  −1  0    x = −3 + t Système d’équations paramétriques de f : ;t∈R y =2+t   z = 1 − 2t

Cours de géométrie analytique de l’espace

Système d’équations paramétriques de g :


  x=1−t y = −1 − t
  z = 3t


; t
∈ R

−−→ Le problème se ramène à trouver les points H de f et H
de g tels que HH
→ colinéaire à − n −−→ → or HH
colinéaire à − n ⇔ ∃ λ ∈ R tel que

−−→
→ HH = λ− n



   1 − t
− (−3 + t) 1     ⇔ ∃ λ ∈ R :  −1 − t
− (2 + t)  = λ  −1  3t
− (1 − 2t) 0 
(1)   −t − t + 4 = λ ⇔ ∃λ∈R: −t
− t − 3 = −λ (2)  
3t + 2t − 1 = 0 (3)

(1) − (2) :

7 = 2λ 7 λ =
2−−→



HH =
HH

→ = |λ| − n √ 7 = 2 2√ 7 2 = 2

Ainsi

b) On peut déterminer la distance entre f et g par une autre méthode. Pour cela, déterminons d’abord le plan P contenant g et parallèle à f .

Α

u

f

H

v

g P

4. Produit vectoriel. Produit mixte.

85

→ → M (x, y, z) ∈ P (A
, − u,− v) −−→ → → ⇔ A
M , − u,− v   x−1 1   ⇔  y+1 1   z −2

=0  −1   −1  = 0  3 

⇔

(x − 1)(3 − 2) − 1 · (3 (y + 1) + z) − 1 · (−2(y + 1) − z = 0

⇔

x − 1 − 3y − 3 − z + 2y + 2 + z = 0

⇔

x−y−2= 0

Au chapitre 3 on a vu que la distance d’un point A(x0 , y0 , z0 ) |ax0 + by0 + cz0 | au plan P ≡ ax + by + cz + d = 0 est donnée par √ 2 a + b2 + c2 Donc ici la distance entre f et g est donnée par d(A, P ) où A(−3, 2, 1) ∈ f |1 · (−3) − 2 − 2| √ 1+1 |−7| = √ 2 √ 7 2 = 2

d’où

4.9.4

d(f, g) =

Perpendiculaire commune à deux droites gauches.

→ − → − → − Soit (O, i , j , k ) un repère orthonormal direct de l’espace et soient d1 , d2 les droites d’équations:

d1 ≡



2x + y + z = 2 x+y+z =1

d2 ≡



x−y+z = 1 2x − y + z = 4

a) Montrons que d1 et d2 sont gauches

86

d1 ≡



2x + y + z = 2

(1)

x+y+z = 1

(2)

⇔ d1 ≡



2x + y + z = 2 x=1

⇔ d1 ≡



y = −z x=1

(1) (1) − (2)

Cours de géométrie analytique de l’espace

Posons z = α, α ∈ R    x=1 d1 ≡ y = −α   z=α



 0   → d1 est la droite passant par A(1, 0, 0) et de vecteur directeur − u  −1  . 1 d2 ≡ ⇔ d2 ≡ ⇔ d2 ≡







x−y+z =1 2x − y + z = 4 x−y+z =1 −x = −3

(1) (2) (1) (1) − (2)

x=3 y =z+2

Posons z = α, α ∈ R    x=3 d2 ≡ y =2+α   z=α



0



  → d2 est la droite passant par B(3, 2, 0) et de vecteur directeur − v  1 . 1 − → → u n’est pas colinéaire à − v . donc d et d ne sont pas parallèles. 1

2

Montrons que d1 et d2 ne sont pas sécantes. Supposons que {M (x, y, z)} = d1 ∩ d2

 −−→ → AM = r− u alors il existe deux réels r et s tels que −−→ − → BM = s v      x−1=0  x−3=0 ⇔ ∃r, s ∈ R : et y = −r y−2=s     z=r z=s    x = 1 et x = 3 donc ∃r, s ∈ R : −r = s + 2   r=s ce qui est impossible

finalement d1 et d2 sont deux droites gauches.

4. Produit vectoriel. Produit mixte.

87

b) Déterminons un système d’équations cartésiennes de la perpendiculaire commune δ à d1 et d2 . → Soit − w un vecteur directeur de δ,

donc

− → →∧− → w = − v u− →  → → −  i − j k     =  0 −1 1     0 1 1  − → − → − → = i (−1 − 1) − j (0) + k · 0   −2   − → w 0  0

δ

d1

→ → Considérons les plans P (A, − u ,− w) − → − →
et P (B, v , w ) Alors l’intersection des deux plans P et P
est une droite perpendiculaire aux

w u

H’

A

droites d1 et d2 . C’est donc la perpendiculaire commune à ces deux droites. H B

v

d2

Equation cartésienne de P : M (x, y, z) ∈ P

⇔ ⇔

88

−−→ → → AM , − u ,− w =0    x − 1 0 −2       y −1 0  = 0    z 1 0 

⇔

−2(y + z) = 0

⇔

y+z =0

Cours de géométrie analytique de l’espace

Equation cartésienne de P
M (x, y, z) ∈ P


−−→ → → BM , − v ,− w =0    x − 3 0 −2       y−2 1 0 =0    z 1 0 

⇔ ⇔ ⇔

D’où

δ≡



−2(y − 2 − z) = 0

⇔

y−z−2=0

y+z =0 y−z =2

Accessoirement on peut déterminer la distance entre d1 et d2 . {H} = δ ∩ d2 et {H
} = δ ∩ d1   y+z =0 (1)     y−z =2 (2) Déterminons H :  x−y+z = 1 (3)     2x − y + z = 4 (4) Soit

(1) − (2) :

on a

d(d1 , d2 ) = HH


donc

H(3, 1, −1)

2z = −2

z = −1 dans (1) :

y = 1

dans (3) :

x = 3

Pour H
:

on trouve: D’où

HH


4. Produit vectoriel. Produit mixte.

          

y+z =0 y−z =2 2x + y + z = 2 x+y+z =1

H
(1, 1, −1) √ = 22 = 2

89

90

Cours de géométrie analytique de l’espace

4.10

Exercices

Exercice 1: − → → − → − Soit i , j , k une base orthonormale directe. − → − − → → − → − → − → − → − → Montrer que i + j + k , i − j , i + j − 2 k constitue une base orthogonale; normer chacun des vecteurs pour obtenir une base orthonormale. Exercice 2: Soient les vecteurs



     1 1 4 − →       − → → a =  2  , b =  0  et − c =  −1  . 2 1 2

→ → → 1. Construire une base orthonormale (− u,− v ,− w ) directe qui satisfait aux deux conditions suivantes: → → • − u est de même direction et de même sens que − a. − → → → • − v appartient au plan vectoriel de vecteurs directeurs − a et b . → → → → 2. Déterminer les composantes de − c dans la base (− u ,− v ,− w ).

Exercice 3: → − → − → − L’espace est rapporté à un repère orthonormal direct (O, i , j , k ) → → Pour les exemples 1 à 8, calculer − u ∧− v. − → − → → 1. − u =2j −3k − → − → − → v =2j −3k − → − → → 2. − u =2j −3k − → − → − → v =2j +3k → − → − → − → 3. − u = i + j + k → − → − → − − → v = i − j + k → − → − → − → 4. − u =3 i −2j + k → − → − → − − → v = i + j − k → − → − → − → 5. − u = i + j + k → − → − → − − → v =−i + j + k 4. Produit vectoriel. Produit mixte.

91

→ − → − → − → 6. − u = i + j + k → − → − → − − → v =3 i −2j − k − → − → → 7. − u =2j −3k → − → − → − − → v =2 i −4j + k − → − → → 8. − u =2j −3k → − → − → − − → v = −4 i + 2 j − k Exercice 4: → − → − → − → → → Soit ( i , j , k ) une base orthonormale directe les vecteurs − u,− v ,− w étant donnés par leurs coordonnées dans cette base. → → → Analyser dans chaque cas si (− u,− v ,− w ) est une base orthonormale directe. 

√1 2



  → 1. − u = 0  

 → 2. − u = 

 → 3. − u =

√1 2 1 2 √1 2 1 2 2 3 2 3

− 13

  

  



 − → v = 

√1 3 − √13 − √13



1 2

   



  − → v =  − √12  1 2



 − → v =

− 13 2 3 2 3

  



 − → w =  

 − → w = 



√1 6 √2 6 √ − 16 √1 2

  



 0  − √12 2 3



  − → w =  − 13  2 3

Exercice 5: − → → − → − Soit i , j , k une base orthonormale directe de l’ensemble V3 des vecteurs de l’espace. On considère les vecteurs

− → → 1 − − → → 1 1 − − → − → → − → → − → − − → → u = (−7 i + 4 j − 4 k ), − v = (4 i − j − 8 k ) et − w = (4 i + 8 j + k ). 9 9 9 → → → 1. Montrer que (− u ,− v ,− w ) est une base orthonormale de V3 . 2. Cette base est-elle directe ou non?

92

Cours de géométrie analytique de l’espace

Exercise 6: − → → − → − Soit i , j , k une base orthonormale directe. → → On considère les vecteurs − u et − v → 1 − 1 − → − → → → − → − − → u = √ ( i + j ), − v = √ ( i − j + k ). 2 3 → → 1. Montrer que − u et − v sont orthogonaux et de norme 1. → → → → 2. Donner les coordonnées de − w tel que (− u ,− v ,− w ) soit une base orthonormale directe. Exercice 7: Dans les exemples 1 à 4 ci-dessous, étudier si les points A, B et C sont alignés, et s’ils ne le sont pas, donner une équation du plan qui les contient. 1. A(1, 1, 1), B(0, 1, 2), C(−3, 2, 5) 2. A(−2, 3, −5), B(2, 0, 3), C(3, 6, 9) 5 3. A(3, 6, 9), B(−3, 5, ), C(15, 8, 22) 2 5 7 3 4. A(− , 3, ), B(1, 0, −1), C(8, −4, − ) 2 2 2 Exercice 8: → → En utilisant le produit vectoriel des vecteurs − u et − v , donner une équation du plan passant − → − → par A et de base ( u , v ) dans les deux cas suivants: 

   1 −1     → → 1. A(2, −1, 3), − u  1  et − v  2 . 1 1 

   1 3     → → 2. A(3, 0, 2), − u  −1  et − v  −2  . 0 1 Exercice 9:

On considère quatre plans donnés par une équation: P1 ≡ 5x + 3y − 2z − 4 = 0; P2 ≡ −3x + y − 6z + 1 = 0; 1 P3 ≡ x − y + 2z + 5 = 0; 3 3 P4 ≡ x − y + 3z − 1 = 0. 2 4. Produit vectoriel. Produit mixte.

93

1. Montrer que P1 et P2 sont perpendiculaires, puis que P2 et P3 sont parallèles. 2. Le plan P4 est-il parallèle ou perpendiculaire à l’un d’entre eux?

Exercice 10: Pour les exemples 1 à 6 ci-dessous, déterminer l’intersection des plans P et D, définis chacun par une équation cartésienne, en donnant, s’il y a lieu, un point et un vecteur directeur. 1. P ≡ x + 2y − 2z + 3 = 0, D ≡ 4x − 4y + 2z − 5 = 0 2. P ≡ 2x + 3y − z − 4 = 0, D ≡ 3x − 4y + 5z − 7 = 0 3. P ≡ 2x − 5y − 2z + 3 = 0, D ≡ 4x − 10y − 4z + 6 = 0 4. P ≡ 2x − 3y − z − 4 = 0, D ≡ 3x + 4y − 5z + 7 = 0 5. P ≡ x − 5y − z + 3 = 0, D ≡ 2x − 10y − 2z + 8 = 0 6. P ≡ 2x − y − z = 0, D ≡ 3x + 4y − 5z − 2 = 0 Exercice 11: On donne les points A(−1, 1, 2), B(1, 2, 0), C(0, 4, 6). −→ −→  1. Avec le produit scalaire AB · AC, calculer cos BAC.

−→ −→  2. Avec le produit vectoriel AB ∧ AC, calculer sin BAC.  3. En déduire une mesure de BAC.

94

Cours de géométrie analytique de l’espace

Exercice 12: Soit A(2, 4, −5), B(1, 0, 4), C(0, 3, 1). 1. Vérifier que ces points ne sont pas alignés. 2. Calculer l’aire du triangle ABC.

Exercice 13: Soit A(1, −2, 3), B(0, 3, −1), C(1, 1, 1). Calculer les coordonnées du point 1. A
tel que ABA
C soit un parallélogramme et calculer l’aire de ce parallélogramme. 2. B
tel que BCB
A soit un parallélogramme et calculer l’aire de ce parallélogramme.

Exercice 14: Soit A(1, 4, 3), B(2, 11, 4), C(−3, −5, 4). 1. Montrer que ces points ne sont pas alignés. 2. Donner une équation du plan qui les contient. 3. Calculer l’aire du triangle ABC.

Exercice 15: La droite (AB) est perpendiculaire au plan α passant par A. 1. Calculer la distance du point M au plan α, dans les cas suivants: a) A(2, 5, 7), B(−7, 7, 1), M (8, 7, 7) b) A(2, 5, 7), B(−7, 7, 1), M (4, 2, 3) c) A(8, 4, 1), B(6, 2, 0), M (−4, 3, −2) 2. Dans chacun des cas précédents, calculer les coordonnées de la projection orthogonale M
et M sur α et celles du symétrique P de M relativement à α.

4. Produit vectoriel. Produit mixte.

95

Exercice 16: Calculer la distance du point P à la droite a dans les cas suivants: 1. P (3, 5, 10)

2. P (−5, 4, −2)

3. P (5, −2, 1)

y+4 x−7 = = z−5 6 −6    x = 3 − 2k a≡ y = 2 + 3k   z = −1 + k       x −3 1       a ≡  y  =  8 +k 6  z 16 2 a≡

Exercice 17: → → → Calculer dans chacun des cas ci-dessous, les produits mixtes [− u ,− v ,− w ]. Les coordonnées → − → − → − − → − → − → de ces vecteurs u , v , w dans la base orthonormale directe ( i , j , k ) étant les suivantes: 

 1   → 1. − u 2  3 

 −1   → 2. − u 3  −1 

1



  → 3. − u 1  0   1  √  → 4. − u 3  2   0  √  → 5. − u 2  √ 3



 2   − → v  3  1



 1   − → v  −2  1

 3   − → w 1  2   3   − → w 1  −2

1

0







  − → v  0  1  √  2   − → v  0  1  √  5   − → v  0  2





  − → w 1  1   3   − → w  −1  2   1  √  − → w 3  0

Exercice 18: → → Dans un repère orthonormal, le point A et les vecteurs − u et − v ont les coordonnées suivantes. → Dans chacun des cas ci-dessous établir une équation du plan passant par A parallèle à − u − → et v . 96

Cours de géométrie analytique de l’espace

1. A(0, 0, 0)

2. A(1, 0, 1)

√ 3. A( 3, 1, 0)



 1   − → u 1  1 

 1   − → u 2  3 

 1  √  − → u 2  0



 1   − → v  −1  1 

 2   − → v  3  0 

 0  √  − → v  3  2

Exercice 19: Dans chacun des cas ci-dessous établir une équation du plan passant par les points A, B, C. 1. A(1, 1, 0)

B(1, 0, 1)

C(0, 1, 1).

2. A(1, 2, 3)

B(2, 3, 1)

C(3, 1, 2).

3. A(5, 2, 0) √ 4. A( 3, 0, 2)

B(3, 5, −1) √ B(0, 2, 1)

C(−2, −3, 1). √ √ C( 3, 2, 2).

Exercice 20: Déterminer une représentation paramétrique de la droite δ 1. passant par P (2, 3, 5) et perpendiculaire au plan d’équation 3x − 2y + z = 0 2. passant par P (−8, 10, −12) et perpendiculaire au plan d’équation z + 4 = 0    x = 1 + 2k − 3n 3. passant par O et perpendiculaire au plan d’équation paramétrique y = −1 + 3k − n   z = 2 + 5k − n 4. passant par P (5, 8, −4) et perpendiculaire au plan (ABC), où A(2, −7, 0), B(−2, 4, 1) et C(5, 2, −3)

4. Produit vectoriel. Produit mixte.

97

5. passant par P (1, 0, 3) et orthogonale aux tations paramétriques       x 1 2       et  y  =  0  + k  −1  z 3 2

droites g et h donnée par leurs représen

x





−1





1



       y  =  2 + n 3  z 0 1

6. passant par P (8, −4, 2) et parallèle à la droite d’intersection des plans d’équations respectivement 3x − y + z = 0 et x − y + z = 0 Exercice 21: Déterminer l’équation du plan β contenant la droite d d’équations et qui est perpendiculaire au plan α d’équation 2x − 5y + z = 0.

y−3 z−6 x−1 = = 2 −5 4

Exercice 22: On considère le tétraèdre ABCD de sommets A(3, −1, −2), B(−2, 0, 3), C(1, 1, 2) et D(0, 3, 3). Trouver les coordonnées du point M équidistant des points A et D et appartenant à la normale au plan (ABC) passant par le point C. Exercice 23: On donne deux droites gauches a et b. Déterminer les coordonnées du point A de a et du point B de b tels que la droite (AB) soit la perpendiculaire commune à a et b. En déduire la plus courte distance δ entre les droites a et b dans les cas suivants:

1.

2.

98

   x = 6 − 4k a≡ y = −4 + k   z =1+k

   x=1+k a≡ y = −k   z =2+k

   x = 3 − 6n b≡ y = −1 + n   z = 4 + 2n

   x=2+n b≡ y = 1 + 2n   z =2+n

Cours de géométrie analytique de l’espace

5

Problèmes divers. Applications

Exercice 1:1 L’arc de triomphe à Paris a les dimensions suivantes: a = 50 m,

b = 45 m et c = 22 m

Les coordonnées des sommets sont A(0, 0, 0), B(0, 45, 0), C(−22, 45, 0), D(−22, 0, 0), E(0, 0, 50), F (0, 45, 50), G(−22, 45, 50) et H(−22, 0, 50). La direction des rayons solaires sur l’arc de triomphe est donné par   2   → le vecteur − v  −1 . −5

Déterminer les projections de ses sommets sur le plan (xOy).

1

Basistraining Analytische Geometrie / Stockastik - page 42

5. Problèmes divers. Applications

99

Solution:

→ Soit d la droite passant par E(0, 0, 50) et de vecteur directeur − v    x = 2k M (x, y, z) ∈ d ⇔ ∃ k ∈ R : d ≡ y = −k   z = 50 − 5k x z − 50 ⇔ d ≡ = −y = 2 −5  x = −2y ⇔ d≡ −5x = 2z − 100 → Soit E
la projection de E sur (xOy) de direction − v:

{E
} = d ∩ (xOy)

⇔

⇔

   z=0 x = −2y   z = 50 + 5y    z=0 y = −10   x = 20

E
(20, −10, 0) → Soit d
la droite passant par H(−22, 0, 50) de vecteur directeur − v    x = −22 + 2k

M (x, y, z) ∈ d ⇔ ∃ k ∈ R : d ≡ y = −k   z = 50 − 5k  x = −22 − 2y ⇔ d
≡ z = 50 + 5y d’où

100

Cours de géométrie analytique de l’espace

H
la projection de H sur (xOy)

{H
} = d
∩ (xOy)

⇔

   z=0 x = −22 − 2y   z = 50 + 5y

donc H
(−2, −10, 0)

De même on trouve F
(20, 35, 0) image de F et G
= (−2, 35, 0) image de G. Exercice 2:2 On considère la droite d ≡



8x − 11y + 8z = 30 x − y − 2z = 0

et la sphère S ≡ x2 + y 2 + z 2 + 2x − 6y + 4z − 15 = 0 Déterminer les équations des plans contenant la droite d et tangents à la sphère S. Solution: d≡ ⇔ ⇔ ⇔



8x − 11y + 8z = 30 x − y − 2z = 0  8x − 11y + 8z = 30 −3y + 24z = 30  8x − 80z = −80 y = 8z − 10  x = 10z − 10 y = 8z − 10



 10   → d est la droite passant par A(−10, −10, 0) et de vecteur directeur − u 8  1 S ≡ x2 + y 2 + z 2 + 2x − 6y + 4z − 15 = 0 ⇔

(x + 1)2 + (y − 3)2 + (z + 2)2 = 29

S est la sphère de centre Ω (−1, 3, −2) et de rayon r =

2

√

29

Fundamentum de mathématique Géométrie vectorielle et analytique de l’espace - page 139

5. Problèmes divers. Applications

101

Soit H (x, y, z) le point de contact de la sphère S et du plan tangent en H à S, contenant d

Ω

On a: A u

⇔

⇔

⇔

⇔

H

 −−→ −−→   ΩH · AH = 0 −−→ − ΩH · → u =0   H ∈S

   (x + 1) (x + 10) + (y − 3) (y + 10) + (z + 2) · z = 0 (x + 1) · 10 + (y − 3) · 8 + (z + 2) = 0   (x + 1)2 + (y − 3)2 + (z + 2)2 = 29  2 2 2 (1)   x + y + z + 11x + 7y + 2z − 20 = 0  

x2 + y 2 + z 2 + 2x − 6y + 4z − 15 = 0 10x + 8y + z − 12 = 0

 2 2 2   x + y + z + 11x + 7y + 2z − 20 = 0 9x + 13y − 2z − 5 = 0   10x + 8y + z − 12 = 0  2 2 2   x + y + z + 11x + 7y + 2z − 20 = 0 9x + 13y − 2z − 5 = 0   29x + 29y − 29 = 0

(2) (3)

(1) − (2)

(2) + 2 · (3)

En remplaçant x = −y + 1 dans (2) on obtient z = 2y + 2 et (1) devient: 6y 2 + 6 = 0 ⇔

y = 0 ou y = −1

d’où les deux points de contact H(1, 0, 2) et H1 (2, −1, 0) Equation du plan π tangent enH à S et contenant d :  −−→ −−→ −−→ → → M(x, y, z) ∈ π A, − u , AH ⇔ d´ et AM , − u , AH = 0    x + 10 10 11      ⇔  y + 10 8 10  = 0    z 1 2  ⇔ 2x − 3y + 4z − 10 = 0

Equation du plan π 1 tangent enH1 à S et contenant d : π1 ≡ 3x − 4y + 2z − 10 = 0

102

Cours de géométrie analytique de l’espace

Exercice 3:3 Un rayon lumineux issu du point P (4, 5, −1) se réfléchit sur un miroir plan d’équation α ≡ x + 3y − 2z − 7 = 0, le rayon réfléchi passe par le point Q(−7, 8, −9). Trouver les coordonnées du point d’incidence M.

Solution: Première méthode:

n Q

P

K

r i M H

α

→ Soit − n un vecteur normal au plan α. On sait que !i = r! donc cos !i = cos r!  −−→ − −−→ − QM · → n PM · → n  



 =  − − → − − →

→ 
QM
· − n n

→
P M
· − M (x, y, z) vérifie   M ∈α    M ∈ (KH)

(1) (2) (3)

où K est la projection orthogonale du point Q sur le plan α et H est la projection orthogonale du point P sur le plan α       1 x+7 x−4 −−→  −−→      − → n 3  QM  y − 8  PM  y − 5  −2 z+9 z+1 3

Fundamentum de mathématique Géométrie vectorielle et analytique de l’espace - page 131

5. Problèmes divers. Applications

103

⇔

−−→ − −−→ − PM · → n QM · → n
−−→

−−→
=

→

→ n n
QM
· −
P M
· −

x + 7 + 3 (y − 8) − 2 (z + 9) x − 4 + 3 (y − 5) − 2 (z + 1) " = " (x + 7)2 + (y − 8)2 + (z + 9)2 (x − 4)2 + (y − 5)2 + (z + 1)2

x + 3y − 2z + 7 − 24 − 18 x + 3y − 2z − 4 − 15 − 2  =  x2 + y 2 + z 2 + 14x − 16y + 8z + 194 x2 + y 2 + z 2 − 8x − 10y + 2z + 42 x + 3y − 2z − 21 x + 3y − 2z − 35  =  ⇔ 2 2 2 2 2 x + y + z + 14x − 16y + 8z + 194 x + y + z 2 − 8x − 10y + 2z + 42 Déterminons les coordonnées du point H    x=4+k On a: (P H) ≡ ,k ∈ R y = 5 + 3k   z = −1 − 2k   (1) x + 3y − 2z − 7 = 0     (2) x=4+k (P H) ∩ α :  y = 5 + 3k (3)     z = −1 − 2k (4)

⇔

(2), (3) et (4) dans (1) :

4 + k + 15 + 9k + 2 + 4k − 7 = 0 14k + 14 = 0 k = −1

Par suite H(3, 2, 1) Déterminons les coordonnées du point K    x = −7 + k On a: (QK) ≡ y = 8 + 3k   z = −9 − 2k   x + 3y − 2z − 7 = 0     x = −7 + k (QK) ∩ α :  y = 8 + 3k     z = −9 − 2k (2), (3) et (4) dans (1) :

,k ∈ R (1) (2) (3) (4)

−7 + k + 245 + 9k + 182 + 4k − 7 = 0 14k + 284 = 0 

12 −−→   Par suite K(−9, 2, −5) et KH  0  6    x = 3 + 2k donc (KH) ≡ y=2   z =1+k

104

k = −2



,k ∈ R

(3)

Cours de géométrie analytique de l’espace

Par conséquent M (x, y, z) vérifie le système suivant:  x + 3y − 2z − 35 x + 3y − 2z − 21    =   2 2 2 2 2  x + y + z + 14x − 16y + 8z + 194 x + y + z 2 − 8x − 10y + 2z + 42     x + 3y − 2z − 7 = 0 x = 3 + 2k      y=2     z =1+k

(1) (2) (3) (4) (5)

remplaçons (2) dans (1) :

 x2 + y 2 + z 2 − 8x − 10y + 2z + 42 = −14 · x2 + y 2 + z 2 + 14x − 16y + 8z + 194   4 x2 + y 2 + z 2 − 8x − 10y + 2z + 42 = x2 + y 2 + z 2 + 14x − 16y + 8z + 194

−28 · ⇔



⇔ 3x2 + 3y 2 + 3z 2 − 46x − 24y − 10z − 26 = 0

(6)

par suite remplaçons (3), (4), (5) dans (6) 3(3 + 2k)2 + 12 + 3 (1 + k)2 − 46 (3 + 2k) − 24 · 2 − 10 (1 + k) − 26 = 0

⇔

27 + 36k + 12k 2 + 12 + 3 + 6k + 3k 2 − 138 − 92k − 48 − 10 − 10k − 26 = 0

15k 2 − 60k − 180 = 0

⇔ ⇔

k = −2 et k = 6

Le sytème a comme solutions(−1, 2, −1) et (15, 2, 7) comme M ∈ [KH] on a M (−1, 2, −1) Deuxième méthode: Déterminons les coordonnées du point P
symétrique de P par rapport à α. Soit H le projeté orthogonal de P sur α. Lors des calculs faits dans la première méthode, on a trouvé H(3, 2, 1) P
(x, y, z) est le symétrique de P par rapport à α lorsque H = mil [P P
]  4+x   3=   2    5+y donc 2=  2     −1 +z   1= 2    x=2 ⇔ y = −1   z=3 5. Problèmes divers. Applications

105

d’où P
(2, −1, 3) comme P
∈ (QM) on obtient: {M (x, y, z)} = (QP
) ∩ α     9 3 −−→     → On a: QP
 −9  , un vecteur directeur de (QP
) est − u  −3  12 4    x = 2 + 3k
ainsi (QP ) ≡ ,k∈R y = −1 − 3k   z = 3 + 4k   x + 3y − 2z − 7 = 0 (1)     x = 2 + 3k (2) (QP
) ∩ α :  y = −1 − 3k (3)     z = 3 + 4k (4)

(2), (3), (4) dans (1) :

2 + 3k + 3(−1 − 3k) − 2(3 + 4k) − 7 = 0 ⇔ ⇔    x = −1 ainsi et M (−1, 2, −1) y=2   z = −1

Exercice 4:

−14k + 2 − 3 − 6 − 7 = 0 k = −1

4

Un rayon lumineux est issu du point P (1, 11, 2) et est parallèle à la droite (OJ). Il se réfléchit sur la sphère d’équation x2 + y 2 + z 2 = 9 et le rayon réfléchi passe par le point Q du plan (OIK). Déterminer les coordonnées du point Q.

4

106

Fundamentum de mathématique Géométrie vectorielle et analytique de l’espace - page 142

Cours de géométrie analytique de l’espace

Solution:

z

Q

n P

M

y

Ο H S

P’ β

(OIK)

x

S = x2 + y 2 + z 2 = 9 est la sphère de centre O(0, 0, 0) et de rayon r = 3. Soit d la droite passant par P (1, 11, 2) et parallèle à (OJ)    x=1 d≡ ,k∈R y = 11 + k   z=2

Déterminons le point d’incidence M du rayon lumineux avec la sphère   x2 + y 2 + z 2 = 9 (1)     x=1 (2) {M } = S ∩ d :  y = 11 + k (3)     z=2 (4)

remplaçons (2), (3), (4) dans (1):

1 + (11 + k)2 + 4 = 9 ⇔

k 2 + 22k + 117 = 0  = 16 donc k = −9 ou k = −13

on obtient 2 points de contact (1, 2, 2) et (1, −2, 2). 5. Problèmes divers. Applications

107

Le rayon lumineux se réfléchit sur le premier point de contact, donc M(1, 2, 2). Soit β le plan tangent à S en M . −−→ −−→ X(x, y, z) ∈ β ⇔ OM · M X = 0 ⇔ 1(x − 1) + 2(y − 2) + 2(z − 2) = 0 

⇔ x + 2y + 2z − 9 = 0



1   − → vecteur normal à β : n  2  2

Soit H le projeté orthogonal de P sur β Déterminons les coordonnées du point H

− → n étant un vecteur directeur de (P H) donc    x=1+k (P H) ≡ ,k∈R y = 11 + 2k   z = 2 + 2k On a:

(P H) ∩ β

  x + 2y + 2z − 9 = 0     x=1+k     

y = 11 + 2k z = 2 + 2k

(1) (2) (3) (4)

remplaçons (2), (3), (4) dans (1): 1 + k + 22 + 4k + 4 + 4k − 9 = 0 ⇔

9k + 18 = 0 k = −2

d’où

H(−1, 7, −2)

Soit P
le symétrique de P par rapport à β.  x+1    = −1    2   x = −3 y + 11
On a donc H = mil [P P ] ⇔ y=3 =7 ⇔   2     z = −6  z + 2 = −2 2 donc P
(−3, 3, −6) D’autre part P
(−3, 3, −6) ∈ (QM ) et Q ∈ (OIK)    x = −3 + 4k
On a: (QM ) = (P M ) ≡ ,k ∈ R y = 3−k   z = −6 + 8k 108

Cours de géométrie analytique de l’espace

  y=0     x = −3 + 4k Or {Q} = (P
M) ∩ (OIK) :  y =3−k     z = −6 + 8K

(1) (2) (3) (4)

Remplaçons (3) dans (1)

⇔3−k =0⇔k =3    x = −3 + 12 = 9 d’où y=0   z = −6 + 24 = 18 et Q(9, 0, 18)

5. Problèmes divers. Applications

109

110

Cours de géométrie analytique de l’espace

A A.1

Solutions des exercices Solutions des exercices du chapitre 1 et 2, voir 2.6

Exercice 1:

1.



 1 −→   AB  0  0 

 1 −→   AF  0  1 

−→  AS 

2.

1 1 2 1 2

  



 1 −→   AC  1  0 

 1 −→   AG  1  1 

−→  AR 



 0 −→   AB  −1  0

1 1 2

0

  



 0 −−→   AD  1  0

 0 −−→   AH  1  1



 2 −→   AG  −1  2



 1 −→   AS  −1  1



−−→  AK 

 0 −→   AC  −1  2

 2 −→   AF  −1  0

 0 −→   AE  0  1











 0 −→   AR  −1  1

1 2 1 2 1 2



 1 −−→   AM  1  2

  



 0 −−→   AD  0  2 

 2 −−→   AH  0  2

 1 −−→  1  AK  − 2  1 



 2 −→   AE  0  0 

 1 −−→   AM  −1  2

Exercice 2: A(0, 0, 0) B(1, 0, 0) C(0, 1, 0) D(0, 0, 1) I( 12 , 0, 0) M (o, 12 , 0) L(0, 0, 12 ) −→ 1 −→ −→ AJ = 2 (AB + AC) donc J( 12 , 12 , 0) de même On a: de même

K(0, 13 , 13 ) −→ 2 −→ AP = 3 AJ = R(0, 13 , 13 )

N ( 12 , 0, 12 ) −→ −→ · 12 (AB + AC) donc et

2 3

et

S( 13 , 0, 13 )

Q étant l’isobarycentre des points B, C, D −→ −→ −→ −−→ donc 3AQ = AB + AC + AD d’où −→ −−→ −→ −−→ − → et GA + GB + GC + GD = 0 A. Solutions des exercices

P ( 13 , 13 , 0)

Q = ( 13 , 13 , 13 )

111

soit

−→ −→ −→ −−→ 4AG = AB + AC + AD

d’où

G( 14 , 14 , 14 )

Exercice 3: − → → → 1. − a , b ,− c sont coplanaires ssi

d’où

− → − → → → ∃(α, β, γ) = (0, 0, 0) tels que α− a + β b + γ− c = 0    α + 2β + 7γ = 0 ⇔ ∃(α, β, γ) = (0, 0, 0) : −2α + β − 4γ = 0   α−β+γ =0    α + 2β + 7γ = 0 ⇔ ∃(α, β, γ) = (0, 0, 0) : 5β + 10γ = 0   3β + 6γ = 0  α + 2β + 7γ = 0 ⇔ ∃(α, β, γ) = (0, 0, 0) : β + 2γ = 0    α = −3 ce qui est vérifié par exemple par β = −2   γ=1 − → − → → → − → → −3− a −2 b +− c =0 ⇔ c = 3− a +2 b

et les 3 vecteurs sont donc coplanaires. − → → − → − → − → − → → 2. d , − e , f sont coplanaires ⇔ ∃(α, β, γ) = (0, 0, 0) : α d + β − e +γf = 0      α + 12β + 2γ = 0  α=0 ⇔ ⇔ 2α − 3β − γ = 0 β=0     −3α + 2β + 5γ = 0 γ=0 ainsi les 3 vecteurs sont donc coplanaires.

Exercice 4:  72   − → u  14  −11 

 −8   − → v  −21  11 

Exercice 5: 

 −3   → 1) − v  13  −7

112





   − → w   

 6   → 2) − u 0  −2

419 6 41 2 46 − 3

        

  − → 3) t    



 0 − →  t  0  0 54 29 34 − 29 14 29

       

Cours de géométrie analytique de l’espace

Exercice 6: 1. (Ox) ≡ 2.



y=0 z=0

(Oy) ≡



− → M (x, y, z) ∈ d(A, v)

3. M (x, y, z) ∈ (AB)

x=0 z=0

(Oz) ≡



x=0 y=0

−−→ → ⇔ ∃k ∈ R tel que AM = k · − v    x − 1 = 3k ⇔ ∃k ∈ R : y − 2 = −k   z + 3 = 2k z+3 x−1 ⇔ = 2−y = 2 3 x − 1 = 3(2 − y) ⇔ z + 3 = 2(2 − y)  x + 3y − 7 = 0 ⇔ 2y + z − 1 = 0 −−→ −→ ⇔ ∃k ∈ R tel que AM = k · AB    x−2=0 ⇔ ∃k ∈ R : y−1 =0   z + 3 = 8k  x=2 ⇔ y=1

Exercice 7:

1. Système d’équations paramétriques de (AB) :

Système d’équations cartésiennes de (AB) :



   x = 1 − 2k y = 5 − 4k   z =2−k

→ 2. Système d’équations paramétriques de d(D, − u):

Système d’équations cartésiennes de d :

A. Solutions des exercices



;

k∈R

2x + y − 7 = 0 x + 2z − 5 = 0

   x = 1 + 2k y=2   z = 3 + 3k

;

k∈R

3x − 2y + 3 = 0 y=2

113

Exercice 8: 1. A(−2a + 1, b + 2, a − 4b) ∈ d

⇔ ⇔ ⇔

b+2 a − 4b − 1 −2a + 1 − 2 = = 4 2 3  −4a − 2 = 4b + 8 3b + 6 = 2a − 8b − 2  4a + 4b + 10 = 0



2a − 11b − 8 = 0

2a + 24b + 5 = 0 2a − 11b − 8 = 0 ⇔ 13b + 13 = 0 2 b = −1 et a=− 3 ⇔

2. A(−2a + 1, b + 2, a − 4b) ∈ d

⇔

⇔

⇔ ⇔ ⇔

   −2a + 1 = 2γ − 1 b+2=γ   a − 4b = 3γ + 1   −a + 1 = γ   b+2 =γ  a − 4b −1   =γ 3  −a + 1 = b + 2 a − 4b − 1 = 3b + 6  a+b+1=0 a − 7b − 7 = 0 8b + 8 = 0

b = −1

114

et

a=0

Cours de géométrie analytique de l’espace

Exercice 9: 1. Posons z = α, α ∈ R

d ≡

⇔

⇔

⇔

   2x + y = α + 4 x + y = 4α − 2   z=α    2x + y = α + 4 x = −3α + 6   z=α    −6α + 12 + y = α + 4 x = −3α + 6   z=α    x = 6 − 3α y = −8 + 6α   z=α



 −3   → d est la droite passant par A(6, −8, 0) et de vecteur directeur − v  6  1   1   − → 2. A(8, 10, 0) v  0  3

3. A(2, 0, −4)



 0   − → v  1  0

Exercice 10:

1. Système d’équations paramétriques:

Système d’équations cartésiennes:



2. Système d’équations paramétriques:

Système d’équations cartésiennes: A. Solutions des exercices



   x=1 y = 2 − 2k   z = 3 + 2k

x=1 y+z−5=0    x=2+k y = 3 − 2k   z = 5 − 2k

;

k∈R

;

k∈R

2x + y − 7 = 0 y−z+2 =0 115

3. Système d’équations paramétriques:

Système d’équations cartésiennes:



4. Système d’équations paramétriques:

Système d’équations cartésiennes:



5. Système d’équations paramétriques:

Système d’équations cartésiennes:



   x = −3 y=5   z =2+k

k∈R

;

x = −3 y=5

   x=k y = −2   z = −7

;

k∈R

y = −2 z = −7

   x= 8+k y = 6 − 2k   z = −12 + 5k

;

k∈R

2x + y − 22 = 0 5x − z − 52 = 0

Exercice 11: − → → Système d’équations paramétriques de π(A, − a, b)    x = −3 + k − h y = 1 − 2k + 2h   z = 2 + 3k + 3h

k, h ∈ R

Equation cartésienne de π :

2x + y + 5 = 0

Exercice 12:     0 2 −−→  −−→    M P  −1  M N  −4  1 4 −−→ −−→ M N non colinéaire à MP donc le plan (M NP ) existe X(x, y, z)

∈

(M N P )

⇔ ⇔

116

−−→ −−→ −−→ d´ et(M X, M N, M P ) = 0 y+z+1=0

Cours de géométrie analytique de l’espace

Exercice 13: (xOy) ≡ z = 0 (yOz) ≡ x = 0 (xOz) ≡ y = 0 Exercice 14:

A(2m − 3, m + 1, 1 − 2m)

∈π

⇔

2(2m − 3) − 3(m + 1) − 1(1 − 2m) − 1 = 0 11 m= 3

⇔

Exercice 15: D∈π E∈ /π

−−→ −→ −→ car d´ et(AD, AB, AC) = 0 −→ −→ −→ car d´ et(EA, AB, AC) = 0

Exercice 16: L’ensemble E des points M (x, y, z) d’équation |x| |y| |z| + + =1 a b c

est l’ensemble vérifiant

x ≥ 0 y≥0 z≥0

et

x < 0 y≥0 z≥0

et

x y z + + =1 ou a b c x y z − + + =1 ou a b c

· · · x < 0 y < 0 z