Eso No Estaba en Mi Libro de Matemáticas

 

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6. EL PARÉNTESIS 7. NÚMEROS COMBINATORIOS 8. FACTORIAL 9. INFINITO 1 O.TRES NUMERO S FAMOSOS: TC,IYE 1i. EL SÍMBOLO SUMATORIO 12. EL PASO AL LÍMITE 13. DERIVADAS 14. INTEGRALES 15. EL SIMBOLISMO GEOMÉTRICO DE PIERRE HÉRIGONE 15801643) 16. RECTAS PARALELAS 17. RAZONES R AZONES TRIGONOMÉT TRIGONOMÉTRI RICAS CAS 18. INCÓGNITAS Y PARÁMETROS ig. DETERMINANTES RlERENGIAS BIBLIOGRÁFI BIBLIOGRÁFICAS CAS RoEI?GNC RoEI?G NCIAS IAS ON LL LL1I: 1I: CAPÍTULO 2. ¿POR QUÉ ALGUNAS EXPRESIONES SE LLAMAN NOTABLES? 1. CUADRADO DE LA SUMA 2. UN JUEGO DE ADIVINACI ADIVINACIÓN ÓN CUADRÁT CUADR ÁTICO ICO 3. LA RAÍZ CUADRADA Y EL CUADRADO DE LA SUMA 4. «COMPLETAR CUADRADOS»: UNA ESTRATEGIA INTELIGENTE PARA RESOLVER ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 5. UNA IDENTIDAD QUE RESUELVE ALGUNOS PROBLEMAS CUADR ÁT  ÁTII C OS 6. CUBO DE LA SUMA 7. LA RAÍZ CUBICA Y EL CUBO DE LA SUMA 8. RES R ESOL OLUC UCIÓN IÓN DE LA ECUACI ECUACIÓN ÓN DE D E TERCER TERCER GRADO 10

 

REFERENCIAS BIBLIOGI?IFIGAS CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE PITÁGORAS 1. UNA DEMOSTRACIÓN EGIPCIA 2. DOS DEMOSTRACIONES ATRIBUIDAS A PITÁGORAS (S.VI A. C.) 3. DOS DEMOSTRACIONES DEL %HOU PEI S(AN CHLI'C 4. UNA DEMOSTRACIÓN CHINA 5. GENERALIZACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS: DEMOSTRACIÓN DEMOSTRACI ÓN DE PAPPUS 6. UNA BELLÍSIMA DEMOSTRACIÓN ÁRABE 7. DEMOSTRACIONES DE BHASKARA 8. LA ENIGMÁTICA SONRISA DE LA GIOCONDA 9. PITÁGORAS EN LA TIERRA DE LOS TULIPANES 10. DEMOSTRACIONES DE THOMAS SIMPSON 11. DEMOSTRACIÓN DE JUAN CORTÁZAR 12. GARFIELD FOR PRESIDENT RrIEBENCIAS BIBLIOGRÁFI BIBLIOGRÁFICAS CAS CAPÍTULO 4. ALGUNAS ESTRATEGIAS INGENIOSAS PARA SUMAR POTENCIAS 1. LAS DIAGONALES DEL «TRIÁNGULO DE PASCAL» 2. UNA PROPIEDAD FRUCTÍFERA 3. SUMA DE LOS SUCESIVOS NÚMEROS NATURALES EMPEZANDO POR 1 4. CÁLCULO DE 1' + 2 ~ + 3"+...+Ñ 5. CÁLCULO DE 1'; + 2" + 3" + +... N 6. CÁLCULO DE 14 + 24 + 3 4 +... +,N4 7. SUMA DE CUADRADOS: UNA TABLILLA CUNEIFORME Y UNA DEMOSTRACIÓN DE ARQUÍMEDES 8. FIBONACCI Y LOS CUADRADOS 9. SUMA DE CUADRADOS EN CHINA 11

 

10. SUMA DE CUBOS EN INDIA 1-?L 1?LFERENC FERENCIAS IAS BIBLIO BIBLIOGRÁFIC GRÁFICAS AS CAPÍTULO 6. LECCIONES DE GEOMETRÍA PRÁCTICA 1. DIEGO DE ÁLAVA Y VIAMONT: JURISTA Y ARTILLERO 2. EL ASTROLABIO 3. DE ESCALA LA MANERA ALTÍMETRA DE MEDIR QUE CUALQUIER ESTÁ EN EL DISTANCIA DORSO DELPOR LA  ASTR  AST R OLABI OLABIO O 4. OTRA MANERA DE MEDIR ESTA TORRE POR EL MISMO INSTRUMENTO SIN MUDAR LUGAR 55. COMO SE MEDIRÁ CUALQUIER ALTURA PUESTA EN UN PLANO, NO PUDIENDO LLEGAR A ELLA 6. DE QUÉ MANERA SE MEDIRÁ LA LONGITUD DE CUALQUIER PLANO 7. COMO SE MEDIRÁ UN POZO 0 CUALQUIER PROFUNDIDAD 1i1L 1i 1LFERENC FERENCIAS IAS BIBL BIBLIOGRÁFIC IOGRÁFICAS AS CAPÍTULO 6. GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL MUNDO REAL I.LAS CASAS ÁRBOL DE HELMOND: UNA INVESTIGACIÓN GEOMÉTRICA PARA LOS ALUMNOS Y ALUMNAS DE BACHILLERATO 2. PERFUME MATEMÁTICO RrIERENCIAS O:N' O:N' LINE CAPÍTULO 7. Dos SOLUCIONES INTELIGENTES A UN PROBLEMA CLÁSICO DE LA MATEMÁTICA GRIEGA 1. PROCEDIMIENTO DE DIOCLES 2. EL MÉTODO DE ARQUITAS RLFERFNCIAS RLFERFNCI AS BIBL BIBLIOCRIF IOCRIFICAS ICAS CAPÍTULO 8. MATEMÁTICA RECREATIVA VALENCIANA 1. ADIVINAR EL NUMERO QUE OTRO HA PENSADO 2. OTRA FORMA DE ADIVINAR EL NUMERO QUE UNO HA PENSADO 3. ¿CUÁNTAS VARAS DE PAÑO COMPRASTE? 12

 

4. PIEDRAS, NAIPES 5. TRES DADOS 6. EL JUEGO DE LAS TRES PRENDAS 7. EL JUEGO DE LA SORTIJA 8. ¿QUIÉN SIRVE LA COMIDA? RLI;ERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS CAPÍTULO 9. Así CALCULABAN LOS ARQUITECTOS DEL SIGLO XVII 1. UN TEOREMA PARA EMPEZAR 2. IN INT TERS ERSECCIÓN ECCIÓN DE UN U N CILINDR C ILINDRO O RECTO RECTO Y UN PL PLANO ANO NO PERPENDICULAR A SUS GENERATRICES 3. ¿QUÉ ES Y COMO SE GENERA UNA BÓVEDA ESQUIFADA? RLFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS CAPÍTULO 10. PARADOJAS MATEMÁTICAS 1. DE COMO 4 ES IGUAL A 5 2. DE COMO CUALQUIER NUMERO ES IGUAL A SU DOBLE 3. LOGARITMOS Y DESIGUALDADES 4. OTRA PARADOJA LOGARÍTMICA 55. UNA PARADOJA INTEGRAL 6. ¿MAGIA O GEOMETRÍA? 7. PARADOJA GEOMÉTRICA (64 = 65) 8. DIAGONAL D IAGONAL ESCALONAD ESCALONADA A (2 = -\f 2-) 9. ZENON, AQUILES Y LA TORTUGA RILFERFNCIAS RILFERFNC IAS BIBLIOCR1FICAS BIBLIOCR1FICAS CAPÍTULO 11. DIVIDIR CON CRITERIO 1. DIVIS DI VISIBILIDAD IBILIDAD POR 2 2. DIVIS DI VISIBILIDAD IBILIDAD POR 3 3. DIVIS DI VISIBILIDAD IBILIDAD POR 4 13

 

4. DIVIS DI VISIBILIDAD IBILIDAD POR 5 5. DIVIS DI VISIBILIDAD IBILIDAD POR 6 6. DIVIS DI VISIBILIDAD IBILIDAD POR 7 7. DIVIS DI VISIBILIDAD IBILIDAD POR 8 8. DIv ISIB ISIBILIDA ILIDAD D POR POR 9 9. DIVIS DI VISIBILIDAD IBILIDAD POR 10 1 O.DIVISIBILIDAD POR 11 1-?r 1?rI'ERENC I'ERENCIAS IAS BIBLIOCRÁFICAs BIBLIOCRÁFI CAs CAPÍTULO 12. ANTOLOGÍA DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS Y ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN 1. EL «MÉTODO DE INVERSIÓN» 2. PROBLEMAS DE MÓVILES 3. PROBLEMAS DE GRIFOS 4. CIEN PÁJAROS CON PROBLEMAS 5. DE DOS EN DOS, DE TRES EN TRES, DE CUATRO EN CUATRO 6. LA COPA DE PLATA 7. REGLA DE UNA FALSA POSICIÓN 8. REGLA DE DOS FALSAS POSICIONES IllIER1ENCIAS BIBLIOCLÁFICAS  

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kauffmanschafft (1489).

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pisos de «alturas» «alturas» p,qy r). El v olumen olumen de cada u una na de de el ellas las es un sumando del desarrollo de (p+q+r)3.

¿Qué estructura tienen estos sumandos? Dado que las dimensiones de cada pieza pertenecen al conjunto {p, q, r}, resulta result a obv io que que se pueden pueden presentar presentar las tres t res situaciones s ituaciones siguientes: (1)Las tres dimensiones coinciden. En este caso las piezas son cubos de volúmenes respectivos p3, q3 y rr. (2)Sólo coinciden dos dimensiones. En esta situación, los v olúmenes de las piezas piezas son s on p2q, p2q, p2r, p2r, q2r q2r,, rq, rpy q2p. (3)Las tres dimensiones son di (3)Las diff erentes. erentes. En est este e caso los v olúmenes de las piezas piezas son s on pqr. pqr. ¿Cuán ¿C uántas tas pie piezzas hay de cada tipo? Para hacer Para hacer un un recuento recuento ef ectiv o, ccon onsider sideremos emos una v ista ccen enital ital del cubo (v éase la f igura igura siguiente). siguiente). En ella, en el interior interior de cada una de de las nuev e piez piezas, hemos escrito es crito el área de de su base.

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ESCLAVO: Sí. SÓCRATES: ¿Y que en un espacio cuadrado las cuatro líneas que ves son iguales?

ESCLAVO: Enteramente. SÓCRATES: ¿Y que estas líneas que lo cruzan por la mitaV' s on también iguales? ESCLAVO: Sí. SÓCRAT SÓCRA TES: Un U n espacio de esta clase, c lase, ¿pue ¿ puede de ser may or o meno menor? r? ESCLAVO: Ciertamente. SÓCR ATES: Si se dieran a est SÓCRA este e lado dos pies de longitud y a est este e otro también dos pies, ¿cuál sería la dimensión del todo? Examina esto: est o: si s i po porr este lado hub hubiese iese do doss pies y por est este e un uno o solo, ¿no ¿ no es es v erdad erdad que que el el espacio sería de una una v ez dos pies? ESCLAVO: Sí. SÓCRATES: Ahora bien, al tener también dos pies para el segundo la lado do,, ¿no ¿ no supon supone e esto dos v eces dos? ESCLAVO: ESCLA VO: En ef ecto. ect o. SÓCRAT SÓCRA TES: El espacio es entonc entonces, es, dos v eces dos pies, ¿ ¿no? no? ESCLAVO: Sí. SÓCC SÓ CCRA RAT TES ES:: ¿Cuán ¿ Cuántas tas v eces hacen dos dos v eces dos pie pies? s? Calcúlalo. ESCLAVO: ESCLA VO: Cuatro, C uatro, Sócrates. Sócrates . SÓCRATES:¿No se podría tener otro espacio doble de este, pero semejante, semejan te, y qu que e tuv ier iera a también también todas todas sus línea líneass ig igua uale les?" s?" ESCLAVO: Sí. SÓCRAT SÓCRA TES: ¿Cuántos ¿ Cuántos pies pies tendría? ESCLAVO: Ocho. SÓCRATES: Pues bien, intenta decirme cuál sería la longitud de cada línea en en este nuev o espacio. En esa línea tiene dos dos pies, ¿cuántos tendría en el segundo, que sería doble?

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SÓCRATES: ¿Con SÓCRAT ¿ Con qué línea, pues, obtendremos obtendremos una ssupe uperf rf icie de ocho pies? pies? Pues esta es ta nos da una una superf icie que e ess cuádruple cuádruple d de e la primera, ¿no? ESCLAVO: Sí.

SÓCRATES: Y est SÓCRAT esta a línea cuy a lon longitud gitud es de la mitad nos da una superf icie de de cuatro pies, pies, ¿no? ESCLAVO: Sí. SÓCRATES: Bien. SÓCRAT Bien. ¿Y acaso la supe s uperf rf icie de ocho pies pies no es el doble dob le de esta est a que tiene cuatro pies, pies, y la mitad de la otra, otra, que tiene dieciséis? ESCLAVO: Ciertamente. SÓCRATES: Necesitamos, pues, una línea más corta que esta`' y más largas5 que aquella, ¿no? ESCLAVO: Así me parece. SÓCRATES: Muy SÓCRAT Muy bien. bien. R Respónde espóndeme me segú s egún n lo qu que e tú creas. Dim Dime, e, ¿no tenía nuestra nuest ra primera primera línea dos dos pies y cuatro pies la segunda? ESCLAVO: Sí. SÓCRATES: Por tanto, para el espacio de ocho pies, ¿necesitamos una línea más larga que esta, que tiene dos pies, pero más corta que aquella que tiene cuatro? ESCLAVO: Sí. SÓCRATES: Intenta decirme qué longitud le das tú. ESCLAVO: Tres pies. SÓCRATES: Para que ella tenga tres pies de longitud no tenemos que añadirle más que la mitad de su longitud, lo cual es aquí dos pies más un pie. Yen la otra también dos pies más un pie. Y obtenemos el cuadrado que tú pedías. ESCLAVO: Sí. SÓCRATES: Ahora bien, si el espacio tiene tres pies de longitud y tres pies pies de anchu anchura ra,, ¿no será la la superf superf icie de tres v eces ttre ress pies? ESCLAVO: Claro que sí. 87

 

SÓCRATES: ¿Y cuántas mitade SÓCRAT mit adess de est estas as hay en e ell cuadra cuadrado do de dell centro? ESCLAVO: Cuatro. SÓCRATES: ¿Y en este? ~6'

ESCLAVO: Dos. SÓCRATES: ¿Y qué es cuatro respecto de dos? ESCLAVO: El doble. SÓCRATES: ¿Cuántos pies tiene, entonces, este cuadrado?171 ESCLAVO: Ocho. SÓCRATES. ¿Y sobre qué línea se ha construido? ESCLAVO: Sobre esta. SÓCR ATES: ¿Sobre SÓCRA ¿ Sobre la lílí nea que v a de un ángulo ángulo a otro en el cuadrado de cuatro pies? ESCLAVO: Sí. SÓCRATES: Esta SÓCRAT Es ta línea lí nea es es lo que que los sof s of ist istas as llaman la diagona diagonal.l. Supuesto que este es su nombre, la diagonal es, según tú, esclav esc lav o de Menón, lo que que da lugar a la s uperf icie del dob doble. le. ESCLA ES CLAVO VO:: Así es, en ef ef ecto, Sócrates. Sócrates. 2. Dos demostraciones atribuidas a Pitágoras (s. VI a. C.) PRIM PRI MERA DEMO DEMOST STRAC RACII ÓN  Algunos hist his t oriadores s ugieren que Pit Pitágoras ágoras pudo dem demos ostt rar el t eorema que llev aa su nombre utiliz utilizando ando un pr procedim ocedimiento iento ssimilar imilar al que describimos continuación.

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•Multiplica •Multipli ca el cateto catet o menor y el cateto may m ay or cada uno por sí mismo, mis mo, suma s uma y ext extrae rae la raíz cuadrada. cuadrada. Est Esto oe ess la hi hipotenu potenusa. sa. •Multiplica •Multipli ca el cateto catet o may or por por sí mism m ismo. o. R Rést éstalo alo del pro producto ducto de la hipotenusa por sí misma. Extrae la raíz cuadrada de la dif erencia. erencia. Esto Es to es el cateto cat eto menor menor..

•Multiplica el cateto menor por sí mismo. Réstalo del producto de la hipotenusa por sí misma. Extrae la raíz cuadrada de la di diff eren erencia. cia. Esto Est o es el cateto may or. or.

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El diagrama necesario para comprender la descripción de Liu Hui se ha perdido. Sin embargo, el historiador J. C. MartzloW0, propone como una posible descomposición la que se detalla en el diagrama siguiente.

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7. Demostraciones de Bhaskara Bhaskara, al que también se conoce como Bhaskara II o como Bhask Bha skara arachary chary a [«Bhaskara el sabio» sabio» o «Bhask «Bhaskara ara el maest maestro» ro»]] nació en Vijay Vijay apura (India) en el seno de una f amilia de ast astrólog rólogos. os. Bhask Bha skara ara siguió siguió esta est a tradición f amiliar pero pero con un una a ori orientación entación científ ica f un unda damentad mentada a en en sus conocimientos conocimientos matemáticos y astronómicos.

En 1150 1150 escribió esc ribió la obra Siddhanta Siddhanta Siromani, div idida en c uatro partes par tes:: la primera de ellas, ellas, Lilav ati, se dedicaba a temas de aritm ari tmética ética elemental y geomet geometría ría práct práctica; ica; la segu s egunda nda,, Bijag Bijagani anita, ta, era un tratado de álgebra. En el Bijaganita se «demuestra» el teorema de Pitágoras del modo siguiente: El doble doble del del produ product cto o del bhuj bhuja a y el koti [= [ = lo loss cat catetos etos del triángulo triáng ulo rect rectáng ángulo ulo]] com combin binado ado con el cuad c uadrad rado o de su dif ere erencia ncia es igual a la suma de sus cuadrados. Los comentari com entarist stas as Krsna y Ganesa Ganesa aclaran aclaran e est sta a de desc scrip ripción. ción.

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Introd Introduj ujo o la noción noción de ev ev ol oluta uta e inv inv ol oluta uta de una una curv curv a, rectif icó la cisoid cis oide, e, inv est estigó igó la f orma y pro propie piedad dades es de la cat catena enaria ria,, escrib esc ribió ió sobre la curv a logarítm logarítmica, ica, pub publicó licó el primer primer libro libro sobre el cálculo de probabilidades (De Ratiociniis in Ludo Aleae), demostró que la cicloid cic loide e es una curv a tautócrona~151 tautócrona~151,, y contribuyó de forma brillante a la aplicación de las Matemáticas a la Física. En las las líneas que siguen siguen of recemos una adap adaptac tación ión d de e la demostt ración que hizo demos hizo Huy gens del teorema de Pit Pit ágora ágorass allá por el

año 1657. Sea ABC un triángulo rectángulo cualquiera, ACIH el cuadrado sobre sobr e su hipotenu hipotenusay say BCDE y ABFG ABFG los cua c uadr drad ados os ssob obre re sus catetos. Sobre la prolongación de DC se toma el punto K de modo que CK = CD. Sobre la prolongación de GA se toma el punto L de modo que AL =  AG.

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H. Prolónguese EA hasta que corte a GH en N. Si de los los ángulos ángulos iguales iguales GAB y CAN se quita el áng ángulo ulo común NAB, resulta result a que que los ángulo ánguloss NAG N AG y BAC son igua iguales. les. Como el ángulo G[24' es igual igual al al ABC ABC y los la lado doss AG y AB son iguale igu ales, s, entonces los lados lados AN y AC (= A AE) E) son ig igual uales. es.

En consecuenc cons ecuencia, ia, el paralelogr paralelogramo amo AM~25 AM~25'' es equiv alente al paralelogramo AH~261 C omo el paralel paralelogramo ogramo AH es equiv alente al c uadra uadrado do BU27' BU27' que descansa descans a sobre la la misma mis ma base y está est á comprend comprendido ido e entre ntre las mismas mis mas parale paralelas, las, resulta que el cuad cuadrad rado o BG es equiv alente alente al paralelogramo AM. D e modo similar sim ilar,, el paralelogra paralelogram m o C»25' es equiv alente al c uadra uadrado do BI~2 BI ~291. 91. En consecuenc cons ecuencia, ia, el cuadrado AD AD (= AM + CM) es equiv alente a la suma sum a de los cuadrados cuadrados BG y BI. 11. Demostración de Juan Cortázar 

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La siguiente demostración del teorema de Pitágoras está contenida en su Tratado de geometría elemental (3a edición, 1850).

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Quadra Quad rante, nte, y otros otros instru inst rumentos mentos Matemáticos Matemáticos (f ols. ols. 189r 189r-2 -223 23vv ), sse e consagra a la geometría práctica (altimetría, planimetría y estere est ereometrí ometría) a) y contiene n numerosos umerosos ejemplos de cálculo indire indirect cto o de longitudes longitudes mediante mediante div ersos instrumentos. inst rumentos. En la introducción al libro cuarto leemos: Mal se podrá usar de la Artillería, si primero que se aseste al lugar que se ha de batir no se conociere puntualmente la distancia dist ancia que que hay hasta el puesto donde se hub hubier ieren en de ases asestar  tar  las piezas. Porque si la pieza se dispara sin otra seguridad del espacio de tierra que que hay hay en medio, medio, del que que el artill artillero ero d da, a, f iad iado o en lo que ellos ellos llaman llaman bor borneo neo del ojo, ojo, y en muy poco más o menos, que suele suele tener de de error error la mitad del camino, y pri primero mero que se acierte a la muralla o blanco adonde está asestada se

habrán tirado muchos tiro habrán t iross al aire aire de ning ningún ún ef ect ecto o y desper despertado tado al enemigo si está ignorante del daño que se le procura hacer. A cuy a causa, antes de tratar de de los los inst instru rumentos mentos ccon on q que ue se ha han n de dar dar las cazas y del arte arte con c on que que se harán las ttablas ablas para encarar la pieza por un punto que arrojada la bala por él con certidumbre of enda enda al blanco blanco propuesto, propuesto, me ha pare parecido cido sser  er  conf orme a buen buen orden orden ref ref erir erir muchas muc has mane m aneras ras de medir todo llo o que se alcanz alc anzare are a v er, er, ahora e ess t é el objeto objeto en alt alto o o en lla llano, no, usando de de las que comúnmente se ejercitan con div ersos in inst stru rumentos mentos y sin ello ellos, s, y de o otras tras que qu quiz izás ás los muy ejercitados en esto nunca han alcanzado a saber, por ser  sacadas de res lo más escondi dos de dde e lamedi G eometría metría Ar Aritmétic itmética andar and ar v ulgares ulga en los loescondido s tratado t ratados mGeo edidas das que yh hay ay en a y no dif erentes erentes autores. Y pues pues tratar t ratar d de e medir sin saber e en n cuántas partes par tes se div iden iden las medidas Geo Geomét métricas ricas sserá erá pro proceder ceder con poca distinción distinc ión,, diré brev brev emente lo qu que e en e est sto o ha hay, y, pro propue puest stas as las def iniciones iniciones neces necesari arias, as, para para entender entender lo loss términos Matemáticos de que adelante he de usar. 2. El astrolabio Para el uso de este instrumento, Para inst rumento, lo primero que se ha de adv ertir  es que toda t odass las v eces que encarar encarare e a alg alguna una cosa que hub hubier iere e de medir, si la dioptra, o regla EF (adonde están puestas las miras), cay c ay ere sobre algu algunas nas de las las doc doce e pa partes rtes en que se div ide el el lado lado del cuadrante cuadrante donde donde cae la umbra v ersa, la distancia que hubiere de mi ojo a la parte que le corresponde f ron rontero tero en la cosa cos a que mido, será s erá may or qu que e la al altura tura de el ella; la; y al contrario si cay c ay ere e en n alguna alguna de las las doce par partes tes en qu que e se div ide el el lado lado de la la umbra rect recta, a, será s erá may or la a altura ltura de lla a torre, o muralla, que el espacio que hay desde el lugar lugar dond donde e me hallo hasta ella; y si cay c ay ere de medio medio a medio del áng ángulo ulo q que ue h hacen acen los dos lados de estas sombras, que será la línea GH, que llaman línea línea media, que atrav iesa las dos ssombras, ombras, lo q que ue 177

 

hubiere por la lílí nea v isual desde hubiere des de mi ojo a la torre será s erá igual igual a la altura.

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COMENTARIO

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de los seis s eis lados del polígono polígono son iguales iguales y que lla a amplitud de cada uno de los ángulos interiores del hexágono es 120°.

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PALABRAS PRELIMINARES En la la primera primera sección secc ión de e est ste e capítulo capít ulo hemos prop propuesto uesto y resuel resuelto to un problema geométrico-arquitectónico. En las líneas que siguen presentamos un material aromáticodidáctico, rescatado del mundo del diseño industrial, que permite poner al descubierto algunos contenidos matemáticos escond esc ondido idoss en un env ase que encierra encierra un un delicado delicado perf perf ume.J ume.J1' 1'

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objeto real objeto real [= env ase de perf perf ume] desde un una a óptica óptica m matemát atemática. ica. En dicho análisis hemos utilizado algunos tópicos elementales de geomet geo metría ría analít analítica ica 3D (sistem (sis tema a de ref ere erencia, ncia, ccoor oorden denada adass de un punto, pun to, ecuaciones de la la rect recta a y el plan plano, o, intersec intersección ción de rectas y planos, pla nos, product producto oe esc scala alarr de de d dos os v ect ectore ores. s... ..)) q que ue e est stán án al a alcance lcance de un buen buen número de estudiantes estudiantes de Bachill Bachillera erato. to. Con la ay uda de este instrumental teórico hemos puesto al descubierto la estructura matemátic mat emática a del del objeto objeto en estudi est udio o y hemos aislado los los elementos básicos para crear objetos artísticos. En pocas pocas palabr palabras, as, las Matemát Matemáticas icas sirv en para para in interpre terpretar tar el mundo real real y pueden pueden serv ir de de inspiración inspiración a los los artis artistas tas.. Desde aquí animamos a nuestros colegas, los profesores de Matemáticas atemát icas,, a que incluy incluy an entre entre sus activ ac tiv ida idades des de e enseñan nseñanzza y aprendizaje algunas tareas similares a las que hemos propuesto en las líneas precedentes. precedentes. De este est e modo lograr lograremos emos cconv onv encer a nuestros alumnos de la presencia de las Matemáticas en el mundo real.

Ref erencias erencias on line line Casas cúbicas. http://w http:/ /ww ww.f otosde otosdear arqu quitectura. itectura. f otopic.net/f otopic.net/f ra rame_coll me_collection_  ection_  side.php?id=455999 Cubic houses (kubuswoningen), Rotterdam (Piet Blom, 1984). http://www.galinsky.com/buildings/cubichouses/ Paalwoningen. http://he1mond.neder1andon1ine.net/a1bum. asp?alb=Paalwoningen Paalwoningen in Helmond. http:/ htt p://blogg /blogger er.x .xs4all.nl/osdorp/gall s4all.nl/osdorp/gallery ery /7311.aspx /7311.aspx  

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de dichos dichos juegos, juegos, sus adaptaciones adaptaciones al castellan cas tellano o moder moderno no y los comentari com entarios os necesarios necesarios para justif just if icar su v alid alidez ez.. 1. Adiv inar el número que que otro ha pensado

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[1]Multiplicar por 2 el número que ha pensado. [2]Sumar 8 al producto anterior. [3]Restar de la suma anterior su mitad. [4]Res [4] Restar tar 4 de la dif ere erencia ncia anterior. anterior. Con esto, el resultado obtenido en [4] es el número que había pensado. JUSTIFICACIÓN Sea x el número pensado. Entonces: [1] 2x [2] 2x + 8 [3] (2x+8) -(x+4) =x+4

[4] (x+4) -4=x 3. ¿Cuá ¿C uántas ntas v aras aras de pañ paño o comprast compraste? e?

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 Área de una bóv eda es esquif quif ada: el proc procedim edimient iento o de J uan de Torija Formarás la mitad de su planta de 40. pies, como parece por E. F. G. H. y leua leuantar ntarás ás su mon m ontea, tea, ó perf perf il E. E. R R.. F F..

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la qual se diuidirá en partes iguales, como en la presente, que son 9. saca s aca ssu u circunf circ unf erencia erencia por la regl regla a que en en el pri primer mer ccapi apitulo tulo tte e he enseñado, enseña do, y hal hallar larás ás que tiene 62 6 de circunf ere erencia ncia el di dicho cho semicirculo, sem icirculo, y desde llas as diuisiones diuisiones baxarás plomos plomos que toquen en su v asis asis,, ó diamet diametro, ro, y corten en los angulo anguloss de su qu quadr adrado ado:: y adonde ado nde cortaren, tirarás tirarás lineas lineas para paralela lelass á la dicha v asis asis.. Ansim Ansimism ismo o tiraráss las lineas tirará lineas que buel bueluen uen p por or los los lados, lados, y cons consecutiuamente ecutiuamente que di dist sten en igu igual almente, mente, como c omo pare parece ce por su plan planta, ta, y pe perf rf il, y he hecho cho lo dicho formarás vn triangulo, que tenga vasis 40. pies, y por  perpen per pendicular dicular la mitad del del semicírc semic írculo ulo,, que son trein treinta ta y v n pi pies es y medio; la diuidirás en otras tantas partes, como lo está dicha mitad de circunf erencia erenciaque R. en F. ccon qexemplo ue v ienen ienentiene a esercada dichas dichas diuisiones s qua quatro tro y media, est eon ste eque tien v nadiuisione d de e di dichas chas diuisiones diu isiones ñ 7. pies, que juntas juntas en v na, suma s uma las quatro d diui iuisiones siones y media, hazen hazen los treinta y v no y medio, por todas las diuisiones diuisiones de dicha perpen perpendicular dicular,, se passarñn lineas lineas parale paralelas las a la v asis asis,, tom tomand ando o los largos largos de cada v na d de e por por si, por las que est están án f ormada ormadass en la planta, procedidas de las diuisiones de la montea E. F. G. H. L R. L. M. N. O. 268

 

y señalando señalando en en sus extremos ex tremos,, se s e tirar tirarán án d de e tres en tres puntos porciones, 6 lineas curbas E. G. 1. L.N.Con que quedará cerrado el dicho triangulo, haziendo otro tanto al lado que le corresponde, con que qued quedará arán n hechas las cinco c inco f igu iguras ras trap t rapecias; ecias; las qual quales es irás midiendo midiend o pract practicamente icamente cada c ada v na de de por por si, y luego luego llas as juntará juntaráss en v na suma, que montará toda la ar arca ca de dicho triangulo triangulo 7 7661 661yy por porque que dicho triangulo es la quarta parte de la propuesta Capilla, quatrodobla los 766 1 y hallar hallarás ás que montan 3066 3066 y tantos son los pies que haze. Y para para may or claridad claridad,, }, de la primera primera f igu igura ra trap trapez ezia, ia, ttomando omando primero pri mero la v asis, asis , q(ue) es de 40. en E. E. F. 5' luego luego v e a bu busc scar ar con el compás com pás la otra linea, linea, que se le sigue G. G. H. y por e ell pitipie hal hallar larás ás que tiene 37. 37. pies. lua luantalos ntalos en v na suma ccon on llos os 40. 5' v ald aldrán rán 77. toma la mitad, que son 382, multiplicalos por 7. que tiene de ancho v na de de las las quatro trapez trapezias, y montará 26 2692 92 y tanto dirá diráss que tiene la superf superfoicie la primera prifmera igu ra,rest y conf orme a est esta ao orde rden n irás ás midiend midiendo las de demas igu iguras rasf igura, que restan an del de l dicho trian triangulo gulo: : Yir la segunda segund a trapezia trapezia hallar hallarás ás que tiene 231. 231. pies supe s uperf rf iciales: y la tercera tiene 168. 168. pies ssupe uperf rf iciales, y la quarta quarta trapez trapezia ia tiene 8 872 72 y el triangulo de la media diuision tiene 102 con que sumarás las cinco partidas par tidas en v na y hal hallar larás ás que montan 7662 7662 que son los mis mismos mos que arriba arrib a te ref eri, con c on que se prueua, que dicha Bobeda Bobeda tiene 3066. piess quadra pie quadrados dos supe s uperf rf iciales en su arca concaua, como c omo parece parece por  su planta, planta, y per perff il e en n la demonstracion demonst racion pre presente. sente. 269

 

COMENTARIO El procedimiento descrito en las líneas precedentes tiene como objetiv obj etiv o calcula calc ularr el ár área ea aproximada aproximada de una una de las ccuatro uatro caras [[= = triángulo triáng ulo mixtilíneo mixt ilíneo = superf superf icie alabe alabeada ada]] de una bó bóvv eda esqui esquilad lada, a, transf ormándola ormándola en una una superf superf icie plana plana com compue puest sta ap por or v ari arios os trapecios trap ecios isóscel isósc eles es y un triáng triángul ulo o isóscel isósc eles. es. Para ello, ello, Torija div ide la altura de dicha cara c ara [= cuarta c uarta parte de una circunf er eren encia] cia] en cuatro p par artes tes ig igua uales les y medi media a más, y po porr lo loss cuatro puntos de div isión traza traza sendas rectas rect as paral paralela elass a la ba base se del triángulo triáng ulo que, que, al cortar c ortar a los los lados lados ccurv urv ilíneos del triángulo triángulo,, determinan segmentos rectilíneos paralelos. Des pués, Despué s, est estira irando ndo la altura altura y uniend uniendo o los ext extremos remos de los segmentos par parale alelos los mediante mediante segmentos rectilíneo rect ilíneoss (v éase la f igu igura ra ad adjun junta) ta) la cara de lla a bóv eda de de aljibe aljibe se conv ier ierte te en una superff icie plan super plana a f ormada ormada por por cuatro cuatro trapecios trapecios isósc isóscel eles es y un triángulo isósceles.

Entonces, suma de olasdeáreas de dichos polígonos apr aproxim oximación aciónlapor def def ecto ect la cuarta parte parte del área d de eeslauna bóv eda eda.. Pero, ¿cuáles Pero, ¿ cuáles sson on las las dimensiones (bases (bases y altura alturas) s) de lo loss antedichos polígonos?

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Sea P un punto cualquiera de la altura MG del triángulo mixti líneo EFG [= cara de una una bóv eda esquif ada] ada] y P1P P1P2 2e ell segmento rect ilíneo que c ontiene a P y es paralelo a EF rectilíneo EF.. Sea O el el centro c entro de la plan planta ta ccuad uadrad rada a de la bó bóvv eda y P' la proy ección ecc ión ort ort ogonal ogonal de P s obre OM OM [M = punto m medio edio de EF] EF].. Entonces, si Entonces, s i P1' P1' y P2 P2'' son, respectiv respectiv amente, amente, las pr proy oy eccione eccioness de p, y P2 sobre sobre OE y OF [sem [ semidia idiagon gonale aless de lla a pla planta nta cuadra cuadrada da d de e la bóv eda], eda], resulta que P PIP2 IP2 = P1 P1P2. P2. Con esto, pasemos a la consideración del diagrama siguiente (similar al que utiliza Torija) en el que se representa la mitad de la planta pla nta de la bóv eda [= EMNQ] EMNQ],, la altura [=E [=EJ=JQ] J=JQ] y los lado ladoss curv ilíneos [= KQ] KQ] de cada una una de sus caras.

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Sea P un punto cualquiera de la altura MG. Entonces, P' es la proy ección ecc ión ortogonal ortogonal de P sobre OM (v éase el diag diagrama rama adjunto). Por otro otro lado es la pro proy y ección ecc osegmento rtogonal al derectilíneo P PII sobreP1P2 OE y la longitud delado, PI' ,RPcoincide con laión delortogon trazado por P paralelamente a EF.

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En consecuencia, a partir partir de la construcción const rucción anterior anterior y tenien teniendo do en cuenta que EQ = 40, se pueden determinar las longitudes de las bases de los polígonos mediante la aplicación de la regla de tres. REVISIÓN DEL PROCEDIMIENTO Hac iendo Hacien do uso de la trigonometrí trigonometría a y siguiendo siguiendo lo loss pasos del procedimiento procedimient o de Torija v amos a calcular calc ular,, ccon on más prec precisión, isión, el ár área ea de la bóv bóv eda de aljibe repres repres entada en la f igura s iguien iguiente te [[AB AB = 40 pies].

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1. En primer lugar lugar se div ide la altura ME ME del t riáng riángulo ulo mix mixtt ilíneo  ABE en c uat uatro ro partes part es iguales y m edia m ás ás..

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Dado que ME = lit 4OM=2it420=10it = 31,415927..., entonces: MP=P P=PQ= Q=QR=RS= QR=RS= 4ME 4ME = 6,9813.. 6,9813.... y SE= 3,4906.. 3,4906.... 4' 2. Acto Act o seguido, seguido, por los puntos puntos de div div isión [P, [P, Q, R Ryy S] sse e traz trazan an paralelas a la base AB con lo que se materializan cuatro trapecios mixtilí mix tilíneo neoss y un triá triángu ngulo lo mixtilíneo mixt ilíneo (v éase el dia diagra grama ma adju adjunto). nto).

En la f igura anterior se tiene que:

Por tanto, si P', q, R' R ' y S son la lass proy ecc eccion iones es ortogon ortogonale aless de P P,, Q, R y S sob sobre re OM OM,, se s e v er erifif ica q que ue:: 276

 

 Adem ás,, dado que LAOM = 45°  Además 45°,, s i PI', PI ', Ql', R I ' y S,' S, ' s on las proyy eccion pro ecc iones es ortogonales ortogonales de P1, Q1, R R1 1 y S1 sobre O OA A resulta que (v éase el dia diagra grama ma sigu s iguien iente): te):

Por tanto:

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 Área trapec t rapecio io ABP2P1 = 269,5 269, 5 Área trapec t rapecio io P1P2Q2Q1 = 231 trapecio Q1Q2R2R1 = 168 Area trapecio R1R2S2S1 = 87,5 AreaArea triángulo S1S2E = 10,5 En consecuencia, el v alo alorr ap aproximado roximado del del áre área a de la bóv eda esquif ada v iene iene da dado do por: por:  Área bóv eda es esquif quif ada = = 4 • Área triángulo mixtilíneo ABE = 3167,7968... [ 7] EL CÁLCULO INTEGRAL Y EL ÁREA DE LA BÓVEDA ESQUIFADA En la f igura igura siguiente siguiente hemos representado representado la octav a par parte te de una bóv eda esquif ada, ada, ref erida erida a un un sistema sist ema ortogona ortogonall de ref ere erencia. ncia. Dicha Dic ha ión porción porción bóv sobre una superf cilíndrica ec ecuac uación x 2 + de x2 z2 z2 =bóv X X2 2eda [=> [ =>se z =apoy x2] -a xx2 2 y determ det ermina ina enicie el plano OX OXY Yde un recinto triangul triangular ar R de v értices O, M y B.

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un mismo mis mo problema: el cálculo c álculo del á área rea de de una s uperf icie alabead alabeada. a. Dos de ellas ellas sson on aproximadas aproximadas y la o otra tra exacta. exact a. Las dos pr primeras imeras se apoyy an en conocimien apo conocim ientos tos elementales elementales de geometría geometría ssintétic intética ay geometría geomet ría descriptiv a, y la tercera utiliza utiliza el cálc cálculo ulo integr integral. al. Desde Des de una una perspectiv perspectiv a didáct didáctica, ica, resultaría saludable saludable iincluir ncluir e en n nuestros programas elementales de enseñanza aquellas soluciones a problemas de Matemáticas Superiores que sólo utilizan conceptos matemáticos básicos. De este modo, los alumnos y alumnas de Educación Secundaria (16-18 años) podrían tomar contacto con algunos problemas a los que, dentro de unos años, deberán enf rentarse rentarse desde una una óptic óptica a más f ormaliz ormalizada ada.. Ref er eren encias cias bibli bibliog ográ ráff icas MEAVILLA EAVILLA SEGUÍ, SEGUÍ , V. V. (2005). «M «Matem atemátic áticas as y arquitect arquitectura: ura: un procedimiento de Juan de Torija (1624-1666) para el cálculo aproxim apr oximado ado del del área área de una una bóv bóv eda esquif esquif ada ada». ». EU EUREKA. REKA. Rev ist ista a de la Licenciatura Licenciatura en Matemáticas atemát icas Aplicadas [Univ [U niv ersidad ersidad Autónoma de Queré Querétaro taro (Méxic (México)], o)], n° 20, pp. 1919-33. 33. TORIJA, J. (1661). Breue tratado de todo genero de bobedas as¡ regula reg ulares res como c omo y rregul rregulare aress execucion ex ecucion de obra obrarla rlass y medirl medirlas as ccon on singularid singula ridad ad y modo moderno moderno observ and ando o los preceptos canteriles de los maestros de architectura. Por Juan de Torixa

maest ro architec maestro architecto to y aparexado aparexadorr de las las obr obras as reale reales. s. Madr adrid: id: Pablo de Val.  

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¿Dónde está el errorP'1 2. De cómo cualquier número es igual a su doble

Sustituy Sustit uy end endo o y por x en la últim última a igual igualdad dad resulta:

¿Dónde está el error? 3. Logaritmos Logaritmos y desigualda desigualdades des

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¿Dónde está el error? 4. Otra para paradoj doja a loga logarít rítmic mica a

¿Dónde está el error? 5. Una paradoja integral

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¿Qué v arilla arilla ha desaparecido? desaparecido? ¿Dónde está? 7. Paradoja geométrica (64 = 65)

Édouard Lucas (1842-1891), en sus Récreations Mathématiques, propuso la siguiente paradoja:

Consideremos un cuadrado Consideremos cuadrado de 64 casilla cas illass (f ig. 82). 82). Div idámos idámoslo lo en dos dos rectángulos rectángulos cuy as alturas sean s ean igua iguales les a la altura d del el cuadrado y cuyas bases tengan 3 y 5 unidades. Dividamos el rectángul rect ángulo o pequeño pequeño en dos partes por una una diag diagonal, onal, y el rectángulo grande en dos trapecios iguales. De este modo el c uadra uadrado do queda queda div idido en en cuatro cuat ro piez piezas ccon on las que se puede 287

 

obtener la f igura obtener igura 83. 83. Esta Es ta f igura igura contiene 65 casillas m mien ientras tras que la anterior sólo contiene 64. Por tanto, 64 = 65. ¿Cómo se explica esto? 8. Diagonal escalonada (2=-~-2-)

La f igura igura anterio anteriorr representa representa un cuadr cuadrado ado ABCD ABCD,, de la lado do 1, y la diagonal BD. En esta situación, la longitud de BD es. En los los tres t res diagramas diagramas sigu s iguien ientes tes los extremos ext remos B y D de la diago diagonal nal BD se conectan mediante líneas quebradas (= «escaleras») compuestas por dos segmentos rectilíneos iguales, cuatro segmentos rectilíneos rect ilíneos ig igual uales es y ocho segmentos segment os re rect ctilíneo ilíneoss igua iguales, les, respectivamente.

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Del mismo modo se podrían construir escaleras compuestas por  16, 32..., 2" segmentos rectilíneos iguales.

 Adv irtam irt amos os que, en c ada pas paso, o, las longit longitudes udes de los s egment egm entos os constituy constit entes sealeras reducen red ucen a la laoximan mitad ycada su número númer o sea dup dupli lica. ca. nal. Po Por  otro laduy lado, o, en lastesescale esc ras se s e aproximan apr c ada v ez más la di diago agonal .r  Habiendo llegado a este punto, parece razonable admitir que cuando el el número número de segmentos sea s ea muy gra grande nde [= tienda a inf inito] la escalera correspondiente coincidirá con la diagonal. Dicho en otras palabras: 2 =