Esfuerzoz en Vigas y Delfexiones en Vigas

UNIVERSIDAD LAICA “ELOY ALFARO” DE MANABI

FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL

RESISTENCIA DE MATERIALES ESFUERZOS EN VIGAS Y DEFLEXIONES EN VIGAS ESTUDIANTE: PINTO RIVERO JOSE ANTONIO

PROFESOR: ING. TONIO REALPE

CURSO: 3ro SEMESTRE “ B”

FECHA: 21 de Enero del 2018 AÑO LECTIVO 2018 (1)

1

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INTRODUCCIÓN Anteriormente se han estudiado los efectos que tiene sobre una viga las cargas externas, es decir, generar efectos internos diagramados en forma de fuerzas cortantes y momentos flexionantes. En el presente capitulo, se estudiarán los esfuerzos y deformaciones que son creados a partir de estos elementos, que son parte fundamental para el diseño de vigas, pues tanto el concepto de esfuerzo como el de deformación están íntimamente ligados con la geometría y material de cualquier estructura. Una viga constituye una pieza lineal apoyada que resiste fundamentalmente a flexión. Estas estructuras presentan un canto e inercia crecientes con luz, puesto que la flexión es directamente  proporcional al cuadrado de la luz. Los puentes viga, por tanto, se basan en secciones de máxima inercia y de mínimo peso (secciones en doble T, cajones, etc.). Las primeras intuiciones sobre el mecanismo de la flexión en una viga surgen en el Renacimiento con Leonardo da Vinci, aunque fue Galileo el primero que intentó dar una explicación científica al comportamiento de una viga. Sin embargo, fue Coulomb (1736-1806) el primero que propuso las condiciones de equilibrio de las secciones de la viga y Navier (1785(1785 1836) el que resolvió en 1824 completamente el problema basándose basándose en la proporcionalidad proporcionalidad de tensiones y deformaciones (ley de Hooke) y en la hipótesis de la conservación de las secciones  planas. Continuadores de Navier fueron Saint-Venant y Bresse que hicieron importantes aportaciones a la resistencia de materiales y al cálculo de las estructuras hiperestáticas. Sin embargo, no fue hasta 1954 el año en que Livesley inició el método matricial del cálculo de estructuras empleado hoy masivamente con el empleo de los ordenadores ordenadores personales.

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Índice 1.

ESFUERZOS EN VIGAS ..................................................................................... 4

2.

TIPOS DE CARGAS ............................................................................................ 5

3.

FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE .......................... ............ ............................ ................ 7

4.

Relaciones entre cargas, fuerzas cortantes y momentos m omentos flexionantes. ............... .............. . 8

5.

RELACIONES ENTRE LA CARGA Y EL CORTANTE. ........................... ............. .......................... ............ 9

6.

Relacion Entre El Cortante Y El Momento Flector. ........................... ............. ........................... ................. .... 10

7.

Diagrama De Fuerza Cortante Y Momento Flexionante ............................ .............. ...................... ........ 10

8.

Flexión Pura Y Flexión No Uniforme............................ ............. ............................. ............................ ........................ .......... 15

9.

CURVATURA DE UNA VIGA ............................................................................ 17

10.

Deformaciones Longitudinales Longitudinales En Vigas ........................... ............. ............................ ............................ ................ 18

11.

Esfuerzos Normales ....................................................................................... 18

12.

Esfuerzos Cortantes En Las Almas De Vigas Con Patines ........................... ............. ................ 19

12.1.

Fuerza Cortante En El Alma .................................................................... 20

13.

TRABES ARMADAS ...................................................................................... 20

14.

Relaciones fundamentales fundamentales de las deflexiones de una viga .................... ........ 23

15.

Método de la Doble Integración........................... ............. ............................ ............................ ............................ ................ 23

16.

Conclusiones .................................................................................................. 23

Bibliografía ............................................................................................................... 24

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1. ESFUERZOS EN VIGAS La teoría de vigas es una parte de la l a resistencia de materiales que permite el cálculo de esfuerzos y deformaciones en en vigas. Si bien las vigas reales reales son sólidos deformables, en teoría teoría de vigas se hacen ciertas simplificaciones gracias a las que se pueden calcular aproximadamente las tensiones, desplazamientos y esfuerzos en las vigas como si fueran elementos unidimensionales. Todos los esfuerzos nombrados son usados en distintas ramas como por ejemplo en la construcción ya que las vigas son de hierro y cemento, ya que el hierro soporta mejor la flexión fl exión y el cemento resiste mejor la compresión por lo que el hierro se coloca abajo

VIGA En ingeniería y arquitectura se denomina viga a un elemento constructivo lineal que trabaja  principalmente a flexión. En las vigas la longitud predomina predomina sobre sobre las otras otras dos dimensiones dimensiones y suele ser horizontal. El esfuerzo de flexión provoca tensiones de tracción y compresión, produciéndose las máximas en el cordón inferior y en el cordón superior respectivamente, las cuales se calculan relacionando el momento flector y el segundo momento de inercia. En las zonas cercanas a los apoyos se producen esfuerzos cortantes. También pueden producirse tensiones por torsión, sobre todo en las vigas que forman el perímetro exterior de un forjado. Estructuralmente el comportamiento de una viga se estudia mediante un modelo de prisma mecánico.

ESFUERZOS: El primer esfuerzo que definiremos será el esfuerzo de flexión, es decir donde no se encuentran esfuerzos cortantes, suponiendo que una viga está formada por un gran número de fibras longitudinales, cuando estas se flexionan la parte superior de la viga se comprimen, mientras que la parte inferior se alargan, estas son iguales en magnitud y forman el momento resistente interno en la viga. En la mitad de la superficie de la viga se verifica la transición entre

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2. TIPOS DE CARGAS 

Caso

1. Viga libremente apoyada, carga concentrada

al

centro.

  ∗      Figura 1: Carga



concentrada en el centro

Caso 2. Viga libremente li bremente apoyada, carga concentrada en cualquier punto.

  ∗∗  en el punto de aplicación de la carga  Figura 2: Carga



en punto arbitrario

Caso 3. Viga libremente apoyada, dos cargas concentradas iguales colocadas simétricamente.

       ∗   Figura 3: Cargas colocadas simétricamente



Caso 4. Viga libremente li bremente apoyada, carga uniformemente distribuida.

  18 ∗  ∗      Figura 4: Viga

con con carga uniformemente uniformemente distribuida

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

Caso 5. Viga libremente apoyada, carga distribuida con variación linea.

      0,0642 0642  ∗ 

  0,577 

 Figura 5: Viga



con carga distribuida con variación lineal

Caso 6. Viga libremente apoyada, par en un extremo.

        Figura 6: Viga 

con par en un extremo

Caso 7. Viga en voladizo, carga concentrada en el extremo libre.

      ∗ 

   0  Figura 7: Carga



concentrada en un extremo

Caso 8. Viga en voladizo, carga concentrada en cualquier punto.

      ∗ 

   0  Figura 8: Viga con carga en



cualquier punto

Caso 9. Viga en voladizo, carga uniformemente distribuida.

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 Figura 9: Viga

con carga uniformemente uniformemente distribuida (Porras, 2015)

3. FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE Consideremos una viga simplemente apoyada, con una carga distribuida y dos cargas  puntuales.

El comportamiento interno de una viga simplemente apoyada sometida a cargas se manifiesta en una fuerza cortante y un momento flector. Para determinar estos valores, es necesario determinar previamente las reacciones en los apoyos, una vez determinadas éstas, se hace un corte de la viga en el lugar donde se quieren determinar las reacciones internas. Como la viga está equilibrada, las secciones que queden del corte también lo están. La fuerza cortante V y el momento flector M en un punto determinado se consideran positivos cuando las fuerzas interiores y los pares que actúan sobre cada posición de la viga están dirigidos, esta es la convención más utilizada. En la siguiente figura se muestra la fuerza cortante y el momento flector en la viga, empleando la convención definida anteriormente.

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de fuerza a la izquierda del corte, o bien a la sumatoria de fuerzas a la derecha del corte. Para el momento flexionante ocurre la misma situación.

La Fuerza cortante en C  es positiva cuando las fuerzas exteriores que actúan sobre las vigas tienden a cortar la viga en C.

El momento flector en C es positivo cuando las fuerzas exteriores que actúan sobre la viga tienden a doblarla. (DIMEC, 2011)

4. Relaciones entre cargas, fuerzas cortantes y momentos flexionantes. Cuando una viga lleva más de una, dos o más cargas distribuidas, para graficar el cortante y el momento flector resulta muy complicado. La construcción del diagrama de fuerza cortante y especialmente del diagrama de momento flector, facilitará en gran medida el análisis de una viga cuando se toman ciertas consideraciones en la relación que existe entre la carga, la fuerza cortante y el momento flector.

-

Considere una viga simplemente apoyada AB que lleva una carga distribuida “ω”  por

unidad de longitud como se aprecia en la figura 1.1, y sean C y C’ dos  puntos en la viga a una distancia “∆x” uno del otro. El cortante y el momento flector en C se denotarán

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 Figura 10: Viga

simplemente apoyada con carga distribuida w(x)

Ahora se desprende la porción de la viga CC’ y se dibuja su diagrama de cuerpo libre. Las fuerzas ejercidas sobre el cuerpo libre incluyen una carga de magnitud ω ∆x y fuerzas y pares internos en C y en C’. Ya que el corte y el momento flector se han supuesto posit ivos,

las

fuerzas y pares se dirigirán como se indica en la figura siguiente:

 Figura 11: Elemento

diferencial diferencial de una viga

5. RELACIONES ENTRE LA CARGA Y EL CORTANTE. Escribiendo que la suma de la componentes verticales verticales de la fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre CC’ son cero, se tiene que

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Integrando la ecuación α entre los puntos C y D, se escribe:



 −  =  − ∫     −  = −(        6. Relacion Entre El Cortante Y El Momento Flector. Regresando al diagrama de cuerpo libre de la figura respectiva, y escribiendo ahora que la suma de momentos alrededor de C’ es cero, se tiene que: (M + ∆M) –  M  – V.∆x + ω∆x. (∆x/2) = 0  M – V.∆x ∆M =V∆x - ω  /2 Dividiendo ambos miembros de la ecuación entre ∆ x y haciendo que ∆ x se aproxime acero,

+↑ΣMC= 0;

(∆x)

se obtiene:

    (Ecuación β) 

La ecuación β indica que el pendiente dM/dx de la curva de momento flector es igual al valor

del cortante. Esto es cierto en cualquier punto donde el cortante tenga un valor bien definido, esto es, en cualquier punto donde no se encuentre aplicada una carga concentrada. La ecuación β también  muestra

que V =0 en puntos donde M es máximo. Esta propiedad facilita la

determinación de los puntos donde es posible que la viga falle bajo flexión. (Aquino, 2011) Integrando la ecuación β entre los puntos C y D, se

escribe:



 −  =  − ∫   

 −  = −(       

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Figura 12 Viga

sometida a cargas

Se indica que el primer paso es la determinación de las reacciones. Con una animación, los apoyos son transformados en flechas indicando el sentido de la reacción. Este diagrama de cuerpo libre se mantiene a lo largo de toda la escena. Se continúa estableciendo un eje de referencia y posteriormente se efectúa un corte para analizar las acciones internas a una distancia x del origen del eje de referencia

Figura 13 Primer

corte corte a una distancia distancia x del extremo izquierdo izquierdo de la viga

¿Se obtiene el diagrama del cuerpo libre del lado izquierdo del corte y se analizará todas las fuerzas que se encuentran en ese lado;  por equilibrio se obtienen las ecuaciones ecuaciones para la fuerza

cortante V y el momento flexionante M

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Figura 15 Ecuaciones para

V y M obtenidas en el segundo corte

Realizado esto, la placa se mueve nuevamente ahora más allá de los 3.5 m. Aquí aparecen nuevas cargas que modifican el diagrama de cuerpo libre anterior. Entonces nuevas ecuaciones  para V y M son obtenidas. Para explicar de manera visual cómo se consideran las cargas distribuidas, mediante una animación ésta se transforma en una carga puntual y se acota su distancia al corte.

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Figura 16   Diagrama

de cuerpo libre del lado derecho derecho del tercer tercer corte

De esta manera se le explica al usuario las consideraciones que debe de tomar en cuenta al momento de definir el número de cortes necesarios para analizar una viga. A continuación se muestran gráficamente los cortes que fueron necesarios para obtener las variaciones de fuerza cortante y momento flexionante de esta viga en particular

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Figura 18   Eje

de coordenadas coordenadas para para el diagrama de fuerza cortante

En el extremo izquierdo de la pantalla aparecen las ecuaciones de V respectivas a cada rango, además de texto explicativo de cómo se obtiene la gráfica. Después, con ayuda de una animación, se consigue el diagrama: la placa transparente t ransparente avanza por la viga (que representa r epresenta la  posición x, el corte donde se estudia la viga) y en el eje de referencia se van graficando los valores para V a medida que avanza la placa

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También se le explica al usuario que el diagrama de momentos ayuda a entender la manera en que la viga se flexiona. Para esto, el diagrama de cuerpo libre de la viga se flexiona con una animación hasta el punto en que puede verse la relación entre la deflexión y el diagrama de momentos (Palacio, 2006)

Figura 20 Deflexión

de la viga y Diagrama Diagrama de momentos momentos

8. Flexión Pura Y Flexión No Uniforme Se dice que una pieza está sometida a flexión pura cuando se aplica en sus extremos dos pares iguales y opuestos. O de otra forma cuando de los elementos de reducción N, M, T y C todos son iguales a cero excepto M.

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Al analizar vigas suele requerirse distinguir entre flexión pura y flexión no uniforme . Flexión  pura se refiere a la flexión de una viga bajo un momento flexionante constante; por lo tanto, ocurre sólo en regiones de una viga donde la fuerza cortante es cero ( porque V = d M/dx ). En contraste, la flexión no uniforme se refiere a flexión en presencia de fuerzas cortantes, lo que significa que el momento cambia al movemos a lo largo del eje de la viga. Al analizar vigas suele requerirse distinguir entre flexión f lexión pura y flexión no uniforme.

Flexión Pura Se refiere a la flexión de una viga bajo un momento flexionante constante; por tanto, ocurre solo en regiones de una viga donde la fuerza cortante cero (porque V=dM/dx)

Flexión No Uniforme Se refiere a la flexión en presencia de fuerzas cortantes, lo que significa que el momento flexionante cambia al movernos a lo largo del eje de la viga. Para ejemplicar la flexión pura, consideremos una viga simple AB cargada con dos pares M1 que tienen la misma magnitud.  pero que actúan actúan en direcciones direcciones opuestas opuestas

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En esta viga no hay fuerzas cortantes y el momento de flexión M es constante en toda su longitud; pero es negativo ( M= - M2), como puede verse en el diagrama de momento flexionante que se muestra.

La viga simple cargada en forma simétrica en la figura siguiente.

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Para fines de análisis, identificamos dos puntos, m1 y m2, sobre la curva de deflexión. El  punto m1 se selecciona a una distancia arbitraria x desde el eje y y el punto m2 se localiza a una pequeña distancia ds a lo largo de la curva. En cada uno de estos puntos dibujamos una línea l ínea normal a la tangente a la curva de deflexión; es decir, normal a la curva misma. Estas normales se cortan en el punto 0′, que es  el centro de curvatura de la curva de deflexión. Dado que la mayoría de las l as vigas tienen deflexiones muy pequeñas y curvas de deflexión casi  planas, el punto 0′ suele quedar mucho mucho más alejado de la viga que como se indica en la figura.

La curvatura es una medida de cuán agudamente está doblada una viga. Si la carga sobre una viga es pequeña, ésta permanecerá casi recta, el radio de curvatura será muy grande y la curvatura muy pequeña. Si la carga se incrementa, a la flexión aumentará, el radio de curvatura será más pequeño y la curvatura será mayor. (conocimientosweb, (conocimientosweb, 2013)

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Esfuerzo normal (normal o perpendicular al plano considerado), es el que viene dado por la resultante de tensiones normales σ, es decir, perpendiculares, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo normal. Esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado), es el que viene dado por la resultante de tensiones cortantes τ, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante. El esfuerzo normal (σ = F/A) en una componente estructural o espécimen de prueba, donde A representa la sección transversal que estaría expuesta por un "corte" perpendicular a la línea de la transmisión de la fuera. Cuando el corte se hace con algún otro ángulo, se observa una situación diferente. El símbolo σ representa un esfuerzo normal; т  se usa para un esfuerzo cortante o tangencial. Es importante una comprensión clara del concepto de esfuerzo cortante. La palabra cortante viene del instrumento usado para cortar lana, en donde dos navajas se

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(a) Sección transversal de la viga y (b) distribución de los esfuerzos cortantes verticales en el alma

El esfuerzo cortante τ en el alma de la viga viga a una distancia y1 y1 del eje neutro es

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entre las cuales se suelda una placa de alma relativamente delgada. La atura de las trabes armadas puede ser de 20 ft o mayor y los claros de varios cientos de pies no son poco comunes. Los trabes armadas (TA)  son por lo general secciones compactas, por lo que los problemas de

pandeos

local

y

de

corte

no

son

estados

límite

probables.

Los patines de las TA son usualmente proporcionados con relaciones ancho-espesor ancho-espesor suficientemente pequeños para impedir el pandeo local antes de alcanzar el momento de fluencia de la sección transversal. Pero una sección eficiente podría requerir un alma con una relación ancho-espesor lo suficientemente grande que produzca pandeo por flexión o pandeo por cortante , o ambos, antes de lograr la fluencia en los patines. El pandeo del alma no determina la resistencia última de una TA, ya que se ha visto que en el  post pandeo se desarrolla resistencia a tomarse tomarse en cuenta para determinar la resistencia última

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Con objeto de obtener una fórmula para las fuerzas cortantes horizontales que actúan entre  partes de una una viga, considérese considérese la deducción deducción de la fórmula fórmula del esfuerzo cortante. cortante. (Roke, 2015) 2015)

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14.Relaciones 14. Relaciones fundamentales de las deflexiones de una viga Consideramos una viga en voladizo con una carga concentrada que actúa hacia arriba en el extremo libre

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Bibliografía Aquino, Y. (09 de Marzo de 2011). https://es.scribd.com. Obtenido https://es.scribd.com. Obtenido de /doc/80496145/Esfuerzos-enVigas: https://es.scribd.com/doc/80496145/Esfuerzos-en-Vigas conocimientosweb. (4 de Julio de 2013). https://www.conocimientosweb.net. https://www.conocimientosweb.net. Obtenido  Obtenido de /dcmt/ficha16812.html: https://www.conocimientosw https://www.conocimientosweb.net/dcmt/ficha16812.html eb.net/dcmt/ficha16812.html conocimientosweb. (4 de Julio de 2013). https://www.conocimientosweb.net. https://www.conocimientosweb.net. Obtenido  Obtenido de