ESFUERZOS_PRINCIPALES

1

Universidad Nacional de Ingeniería

3 1 z y

 zx

x

3

 xy

 zy

 yx

 yx  xy

x

 zy  yz

 zy

1

 zx  xz

z CFTM – 2009 - II

3

Universidad Nacional de Ingeniería

1 1

3 1 CFTM – 2009 - II

3

3

1

I - INTRODUCCIÓN II – CONCEPTO DE TENSION III – DESCOMPOSICION DE ESFUERZOS PRINCIPALES IV - INVARIANTES

V - TENSOR DE DEFORMACIONES

3

I - INTRODUCCIÓN II – CONCEPTO DE TENSION III – DESCOMPOSICION DE ESFUERZOS PRINCIPALES IV - INVARIANTES V – TENSOR DE DEFORMACIONES

4

Cimentaciones Pilotes

Anclajes Muros y Estructuras de Contención Excavaciones y Túneles

Terraplenes

Cambio en el estado de tensiones!!!!!!

Deformaciones Incremento??

Alivio?? Introducción a la Mecánica de Suelos - 2009 5

Los esfuerzos principales son los mayores esfuerzos que actúan sobre el elemento y se hallan por medio de una rotación de coordenadas. Los esfuerzos normales principales se notan como σ1, 2 ,3,donde σ1>σ2 >σ3, y en el ángulo de rotación en el que se dan el esfuerzo cortante es cero. El esfuerzo cortante máximo absoluto se nota como  max y en el ángulo de rotación al que se da los esfuerzos normales son el promedio de los esfuerzos normales del tensor de esfuerzos.

Esfuerzos principales tridimensionales.

6

Para el caso bidimensional, los valores propios del tensor de esfuerzos se hallan de:

Resolviendo la ecuación cuadrática resulta:

Los esfuerzos principales  2

 0 se hallan de 3.3 y son:

18 7

(a) Resolución de una fuerza normal.

(B) Resolución de un componente de tensión normal

8

(A) Carga arbitraria de cualquier forma de la roca

(B) La fuerza normal, ΔN , y la fuerza cortante, ΔS , actuando en un área pequeña, ΔA , en cualquier parte de la superficie de un corte arbitrario a través de la roca.

9

El esfuerzo normal y esfuerzo cortante ahora puede ser formalmente definido como:

ESFUERZO NORMAL

esfuerzo cortante

Hay evidentes limitaciones prácticas en la reducción del tamaño de la pequeña área a cero, pero es importante darse cuenta de que formalmente los componentes de esfuerzos se definen de esta manera como las cantidades matemáticas, con el resultado de que el esfuerzo es una propiedad de punto dentro de un cuerpo. 10

Tensión directa Actuando sobre un plano normal para el eje "X"

esfuerzo cortante

Actuando sobre un plano normal para el eje "X"

Actuando en dirección “y·

Los componentes de la tensión normal y cortante en un cubo infinitesimal en la roca alineados con los ejes cartesianos X – Y - Z 11

Por lo tanto, es conveniente clasificar los componentes de esfuerzos en una matriz con las filas que representan los componentes en cualquier plano, y las columnas que representan los componentes que actúan en una dirección dada. Esto se ilustra como:

 XX  XY  XZ      YY YZ   YX  ZX  ZY  ZZ 

sección 3.6

Desde nuestra lista final de los componentes de esfuerzo en la matriz. (sección 3.6), es evidente que el estado de tensión en un punto se define por completo por seis componentes independientes.

 xx , yy , zz , xy , yz , xz Estos son los tres componentes de tensión normal y tres componentes de esfuerzo cortante 12

Y 2

0

. El esfuerzo cortante máximo absoluto es:

13

Método del triángulo equilátero 1. Se perfora con taladros de broca EX (38.1 mm ) hasta una profundidad deseada en labores no muy perturbadas 2. La distancia entre taladros 10-70 cm., se mide las deformaciones entre taladros 3. Los taladros hacen entre sí un ángulo de 60°

d

60

60

d 60

d 14

La dirección y magnitud de los esfuerzos pueden calcularse usando las siguientes formulas : 1   3 

 (U  U2  U3 ) 3D(1   2 ) 1

1 2  2 2 2 2  1   3  U  U2   U2  U3   U1  U3  2  1  6D(1   )

Tg 21 

1

3 E  U1, U2, U3 D θ1

3 U2  U3  2U1  U2  U3

= = = =

Esfuerzo Principal mayor (S) Esfuerzo Principal menor (T) Módulo de Young Relación Poisson = Corrimientos o desplazamientos o deformaciones en diámetros separados por 60°. = Longitud inicial del taladro (Diámetro del taladro). = Angulo desde S a U1 medido en sentido contrario a las agujas del reloj, en una roseta de 60°. 15

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16

Tensión es la fuerza interna que actúa por unidad de superficie. También se llama tensión al efecto de aplicar una fuerza sobre una forma alargada aumentando su elongación.

cuerda

n

T

Peso PESO

Tracción =

A cuerda

Tensión en la superficie??

17

Concepto de tensión:

T = lim S



F S

n

T = T

n

 : Tensor de tensiones T

xx xy xz

 = yx yy yz zx zy zz n: Vector normal a la superficie

18

I - INTRODUCCIÓN II – CONCEPTO DE TENSION III – DESCOMPOSICION DE ESFUERZOS PRINCIPALES IV - INVARIANTES V – TENSOR DE DEFORMACIONES

19

¿Qué representan cada una de las componentes del tensor de tensiones? Consideremos una superficie S perpendicular al eje Ox: n

T= i j

Tx Ty Tz

=

1 0 0

: Vector normal a la superficie

xx xy xz

=

T

yx yy yz zx zy zz

1 0 0

xx

=

xy xz

: Tensión que actúa en el plano perpendicular a la dirección i según la dirección j i=j : indica que el esfuerzo es actuante normal a la superficie(tensión normal) i=j : indica que el esfuerzo es actuante paralelo a la superficie según la dirección j (tensión de corte)

Componentes de esfuerzos

Tensor de esfuerzos

Cosenos directores de la normal

20

De las 9 componentes que definen el tensor de tensiones, solo 6 son independientes ya que: xy = yx , zy = yz , xz = zx .

Convención de signos: Mecánica del medio continuo

Mecánica de suelos

xz

z

xz

z

xy

y x

xx

xx > 0 en Tracción

xy

y x

xx

xx > 0 en Compresión

21

 T n





 Karl Culmann (1821 -1881) Otto Mohr (1835 -1918) Desarrollo numerosos métodos gráficos para la resolución de problemas de estática.

Extendió la representación gráfica de Culmann a estados bi y tri dimensionales y desarrollo un criterio de rotura basado en envolventes tangentes a los círculos

22

-Diferentes estados de tensiones tendrán en correspondencia distintos diagramas de Mohr -En todos ellos existen tres puntos con =0 (1, 2, 3) en correspondencia con tres planos (planos principales) en los que el esfuerzo cortante es nulo. 







 -Cuando expresamos el tensor de tensiones en la base de las direcciones principales (n1, n2, n3), se obtiene: 1  

=

 2    3

23

Los componentes de la tensión en el cubo de referencia y los componentes de la tensión principal. 24

Esto es consecuencia de la tercera ley de Newton (para cada acción hay una reacción igual y opuesta ).

Elemento en la superficie de la excavación.

Elemento en la superficie de la excavación.

(a) Antes de la excavación.

(b) Después de la excavación 25

Caso bi-dimensional:

Partiendo de las tensiones principales 1

3

1 1   3 1  3 cos2  2 2   3 sen2   1 2

3

 

26

Caso bi-dimensional: Partiendo de un par de ejes arbitrarios

Estado de tensiones en un sistema de ejes (x,y) dado. (x, y, xy)

¿Cuáles son las tensiones principales?

27

Ejemplo: Estado de deformación plana 2=0 

3

Comportamiento elástico  =0.4

2 

x1 x2

x3

El cubo de arcilla firme está contenido entre dos placas fijas y sin rozamiento en la dirección de x2. En las direcciones x1 y x3 actúan respectivamente las tensiones principales 1 y 3. Resolver: Asumiendo una tensión de corte máxima Su=100 kPa y considerando un estado de compresión donde es fija 3 en 80 kPa y se incrementa 1 hasta la rotura. Dibujar los círculos de Mohr asumiendo =0.4. Como 2=0, 2= 0.4 (1+3)

100 kPa

rotura

máx.= 1/2 (1-3) 2*100.+80= 1 1.= 280 kPa

3

80

144

2

280

1

 2.= 0.4(80+280)=144 kPa

28

Criterio de rotura de Mohr-Coulomb (estado bidimensional): 1





3= 2

c 1

3



Materiales sin cohesión (c=0)

Materiales puramente cohesivos (=0)

 1 1 sen   3 1 sen



 Arenas

2c cos 1 sen 1    3  3 1 sen  1 sen



 1  3 2c  Arcillas no drenadas

29

I - INTRODUCCIÓN II – CONCEPTO DE TENSION III – DESCOMPOSICION DE ESFUERZOS PRINCIPALES IV - INVARIANTES V - TENSOR DE DEFORMACIONES

30

Es posible definir ciertas cantidades en función de las componentes del tensor de tensiones () que resultan independientes del sistema de ejes coordenados (x, y, z) que utilicemos para expresar dicho tensor. xx xy xz

 = yx yy yz zx zy zz

1 

=



 2    3

31

:

Las tensiones principales (1, 2, 3) se corresponden con las raíces de la ecuación:

 3  I 1 2  I 2  I 3  0

Los coeficientes de dicho polinomio I1, I2 e I3, son los invariantes del tensor de tensiones. 1er Invariante:

I 1  tr  xx  yy  zz

2do Invariante:

I2 

3er Invariante:

I 3  det    x  y z  2xy xzyz  x yz2  y xz2  zxy2

1 tr 2  tr 2 ]  xy  xz  yz  xy2  xz2  yz2 [ 2

MAGNITUDES ESCALARES !!!!!!!

32

Dadas las características de los materiales y de los problemas estudiados, resulta útil expresar el tensor de tensiones () de manera que: Definiendo el esfuerzo medio

1 1 I1 p  3  xx   yy   zz   3 tr   3

 xx  p  xy  xz   p 0 0     0 p 0      yx  yy  p  yz  +    zx  zy  zz  p  0 0 p     TENSOR DESVIADOR (Sij) Tensión media nula (1er invariante de Sij , tr s=0)

  Sij  p I

TENSOR ISÓTROPO Estado de tensiones isótropo. Asociado al cambio volumétrico

1 0 0    0 1 0   0 0 1    Matriz identidad

33

Expresado en el sistema de ejes principales xy= xz= yz= 0se tiene:

 0 0  p 0 0  1  p     0   0 p 0    0 2  p  0  0 0 p  0 p       3 ¿Qué representan los invariantes del tensor desviador Sij? 1er Invariante:

J1  trSij   1  p   2  p   3  p   1   2   3   3p  0

2do Invariante:

1 1 J2  6 [ 1  2 2   2  3 2   3   1 2]  3 I 12  I 2

3er Invariante:

J3  detSij 

Esfuerzo de von Mises o Esfuerzo desviados

2 3 1 I  I I I3 27 1 3 1 2

q

1/2 2 2 2 1 3J2  [ 1  2    2  3    3  1  ] 2 Introducción a la Mecánica de Suelos - 2009 34

Trabajando en ejes principales

x3

q: esfuerzo desviador

q p: esfuerzo medio

n

(tensión isótropa media)

p

x2

x1

Plano octaédrico n:

[

1 1 1 , , 3 3 3

]

Introducción a la Mecánica de Suelos - 2009 35

Representación del criterio de Mohr-Coulomb en el espacio (1, 2, 3)

3

Recta con 1= 2= 3 3

2

1

1

2 Superficie de Mohr-Coulomb en el plano octaédrico Introducción a la Mecánica de Suelos - 2009 36

I - INTRODUCCIÓN II – CONCEPTO DE TENSION III – DESCOMPOSICION DE ESFUERZOS PRINCIPALES IV - INVARIABLES V – TENSOR DE DEFORMACIONES

37

Al igual que con las tensiones, es posible describir el estado de deformación en un punto a partir del tensor de deformaciones ij.

ux= desplazamiento según el eje x uy= desplazamiento según el eje y uz= desplazamiento según el eje z

Descomposición del tensor de deformaciones

 vol   xx   yy   zz e   ij   Vol I

Def. volumétrica Tensor desviador

Introducción a la Mecánica de Suelos - 2009 38

Relación tensión deformación ( ) en un material elástico: ELASTICIDAD

 = E

Introducción a la Mecánica de Suelos - 2009 39

Material isótropo y lineal (caso general): El tensor E se puede expresar en función de dos parámetros (ej.: E, ): x1

x2

x3

1

 2   3 

  E 1

1 ¿Qué representa el coeficiente de Poisson ()?

1 [   yy   zz  ] E xx 1  yy  [ yy   xx   zz  ] E 1  zz  [ zz   xx   yy  ] E  xx 

 xy 

 xy

2G   yz  yz 2G   xz  xz 2G

Siendo: G 

E 2 1 

Módulo de corte Introducción a la Mecánica de Suelos - 2009 40

Casos particulares: Deformación plana:

y

x

Ej.: Presa de Tierra, túnel.

Axisimetría (Simetría en cargas y geometría):

z

r

z   r   z   r  0 Ej.: Ensayo triaxial. Introducción a la Mecánica de Suelos - 2009 41

Se puede decir lo siguiente: Los esfuerzos en un macizo rocoso son tridimensionales u octaédricos. Para comprender los esfuerzos en un punto de una masa rocosa, es necesario el conocimiento y la aplicación en especial de la teoría de la elasticidad La determinar los esfuerzos principales, que actuantes en un punto de una masa rocosa, requiere conocer las 9 componentes del tensor de esfuerzos; sintetizándose estos en 6 componentes independientes: σx, σy, σz, τXY, τYZ, τZX. su representación matricial del tensor de esfuerzos en el espacio (R3) se generaliza como:

 X  ij   YX  ZX

 XY  XZ   Y  YZ   ZY  Z 

σxx  σ yy  σzz  σ1  σ2  σ3  Una constante Testigos de perforación 43

Universidad Nacional de Ingeniería

CFTM – 2009 - II

Ejercicios

Elongación, o alargamiento que sufre un cuerpo que se somete a esfuerzo de tracción

Von Misses o esfuerzos desviados: También llamado hipótesis de la energía de deformación. Estipula que la falla por fluencia ocurre cuando la energía de deformación total en un volumen unitario alcanza o excede la energía de deformación en el mismo volumen correspondiente a la resistencia de fluencia en traccion o en compresión.

El Pilote o sistema por pilotaje, es un tipo de cimentación profunda de tipo puntual, que se hinca en el terreno buscando siempre el estrato resistente capaz de soportar las cargas transmitidas. En Ingeniería Civil se denomina terraplén a la tierra con que se rellena un terreno para levantar su nivel y formar un plano de apoyo adecuado para hacer una obra.

AUGUSTIN LOUIS CAUCHY (París, 21 de agosto de 1789- Sceaux, 23 de mayo de 1857) matemático francés. Cauchy fue pionero en el análisis matemático y la teoría de grupos de permutaciones, sin duda uno de los matemáticos más importantes de la historia. También investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemática. En matemáticas, invariante es algo que no cambia al aplicarle un conjunto de transformaciones. El coeficiente de Poisson (denotado mediante la letra griega ( ν ) ) es una constante elástica que proporciona una medida del estrechamiento de sección de un prisma de material elástico lineal e isótropo cuando se estira longitudinalmente y se adelgaza en las direcciones perpendiculares a la de estiramiento. El nombre de dicho coeficiente se le dio en honor al físico francés Simeon Poisson.

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