Esfuerzos en Vigas

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DEDICATORIA A nuestros padres y educadores, por la ardua labor que realizan en contribución a nuestra formación profesional

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RESUMEN En el presente tema denominado “ESFUERZOS SOBRE VIGAS”, determinaremos los esfuerzos en estos miembros estructurales causados por la fuerza cortante y momento flector (flexión) producidos por cargas que soporta la viga. Para llegar a entender y analizar el comportamiento de una viga ya sea de sección simétrica o asimétrica es necesario entender su comportamiento ante la acción de fuerzas externas (cargas), las cuales van a producir esfuerzos normales y cortantes. Para calcular estos esfuerzos vemos en la sección I las relaciones que guardan la carga, la fuerza cortante y el momento flector sobre cada sección transversal de la viga utilizando relaciones diferenciales y el análisis grafico, importante para saber el cortante nulo y momento máximo en una viga. Si bien el criterio dominante en el diseño de una viga por resistencia es el máximo valor del esfuerzo normal en la viga. En la sección 2 veremos a los esfuerzos cortantes y su distribución parabólica sobre el plano que contiene a la sección transversal de la viga su fórmula es: , donde (V) es la fuerza cortante interna resultante, (I) es el momento de inercia de toda la sección transversal, (t) es el ancho de la sección transversal de la viga prismática y (Q) es el primer momento del área superior o inferior respecto al EJE NEUTRO, calculando el máximo valor cortante

cuando es calculada sobre el EJE NEUTRO. También veremos

cómo actúa en la sección longitudinal de la viga y la distribución de esfuerzos sobre estas. Los esfuerzos cortantes son importantes en el diseño de vigas cortas y gruesas.

En la sección 3 se detallaremos la formula de la flexión o conocida también como la “fórmula de la escuadría”, a partir de un elemento diferencial, la cual es

donde (M)

es el momento interno resultante, (I) es el momento de inercia respecto al EJE NEUTRO y es la distancia perpendicular del EJE NEUTRO al punto sobre el que actúa es esfuerzo, siendo su valor máximo

cuando se halla en el punto más alejado de la sección transversal

respecto al EJE NEUTRO. Siguiendo la Ley de las deformaciones elásticas cabe mencionar que para obtener las relaciones tanto del esfuerzo normal como del esfuerzo cortante hacemos las hipótesis siguientes: 1. La secciones planas de la viga, inicialmente planas, permanecen planas. 2. El material es homogéneo y obedece a la ley de Hooke. 3. El módulo elástico es igual a tensión como a compresión. 2 INGENIERÍA CIVIL

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4. La viga es inicialmente recta y de sección constante. También veremos los efectos del esfuerzo flector (flexión) sobre el plano longitudinal de la viga. Por último, pero no menos importante,

en la sección 4 tratamos el cálculo de

esfuerzos principales en vigas, y cuerpos de forma arbitraria sometida a cargas combinadas, recordando la relación entre el esfuerzo normal y el esfuerzo cortante en cualquier punto de la sección transversal de las vigas prismáticas. En la distribución de los esfuerzos principales en una viga volada, angosta y rectangular sujeta a una carga P concentrada en su extremo libre sabemos que en cualquier sección transversal, excepto en las cercanas al punto de aplicación de la carga, el máximo esfuerzo principal nunca excede al esfuerzo normal máximo que se halla en la superficie de la viga, pero esto no cumple para vigas W y vigas S ya que el esfuerzo principal si excedería al esfuerzo normal. Nos encontraremos con las conocidas cargas combinadas en elementos prismáticos, las cuales son la combinación de los conocimientos en esfuerzos ocasionados por cargas axiales, torsión, flexión, y cargas transversales. Después de haber visto todo lo que abarca los ESFUERZOS EN VIGAS (normales y cortantes) debemos saber que para diseñar una viga por resistencia, lo más importante a calcular es el esfuerzo normal o flector máximo, producido por el momento flector máximo que actúa en la viga. El tiempo estimado para realizar nuestra exposición es aproximadamente de 90 min hablada más algún material extra que sirva para el mejor entendimiento del Tema.

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OBJETIVOS: Saber analizar como las cargas influyen en el comportamiento estructural de las vigas las cuales mediante esfuerzos llegan a resistir estas cargas hasta que fallan. Demostrar las formulas de los esfuerzos tanto los cortantes como los flexionantes. Hallar la importancia de la superficie neutra Encontrar la importancia de los esfuerzos dentro del proceso constructivo y la aplicación dentro de ello. El objetivo principal es lograr que el estudiante de ingeniería desarrolle su capacidad para analizar de una manera sencilla y lógica un problema dado de esfuerzos en vigas y vigas con cargas combinadas, y que aplique a su solución unos pocos principios fundamentales bien entendidos. Analizar vigas sometidas a cargas transversales que pueden ser puntuales y distribuidas Interpretar como actúan los esfuerzos normales y cortantes en la viga. Interpretar las graficas de fuerza cortante y momento flector, puntos donde es máximo y donde es mínimo. Estudiar el efecto que causan estas cargas en la viga (flexión) que es el criterio dominante para el diseño de una viga por resistencia.

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I. CONCEPTOS PREVIOS 1.1 RELACIONES ENTRE LA CARGA, EL CORTE Y EL MOMENTO FLECTOR Cuando una viga llevas más de una, dos o más cargas distribuidas, para graficar el cortante y el momento flector resulta muy complicado. La construcción del diagrama de fuerza cortante y, especialmente del diagrama de momento flector, facilitará en gran medida el análisis de una viga cuando se toman ciertas consideraciones en la relación que existe entre la carga, la fuerza cortante y el momento flector. Considere una viga simplemente apoyada AB que lleva una carga distribuida “ω” por unidad de longitud como se aprecia en la figura 1.1, y sean C y C’ dos puntos en la viga a una distancia “∆x” uno del otro. El cortante y el momento flector en C se denotaran por V y por M, respectivamente, y se supondrán positivos; el cortante y el momento flector en C’ se denotara por V+∆V y por M + ∆M.

Figura 1.1 Viga simplemente apoyada con carga distribuida w(x)

Ahora se desprende la porción de la viga CC’ y se dibuja su diagrama de cuerpo libre. Las fuerzas ejercidas sobre el cuerpo libre incluyen una carga de magnitud ω ∆x y fuerzas y pares internos en C y en C’. Ya que el corte y el momento flector se han supuesto positivos, las fuerzas y pares se dirigirán como se indica en la figura siguiente:

Figura 1.2 Elemento diferencial de una viga

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RELACIONES ENTRE LA CARGA Y EL CORTANTE. Escribiendo que la suma de la componentes verticales de la fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre CC’ son cero, se tiene que +↑ΣFy=0;

V – ( V + ∆V ) - ω∆x = 0 ∆V = - ω ∆x

Dividendo ambos componentes entre ∆x y haciendo que ∆x se aproxime a cero (0, se tiene que: (Ecuación α) La ecuación (5.5) indica que, para una viga cargada como se muestra en la figura respectiva, la pendiente dV/dx de la curva de cortante es negativa; el valor numérico de la pendiente en cualquier punto es igual a la carga por unidad de longitud en dicho punto. Integrando la ecuación α entre los puntos C y D, se escribe:

Advierta que este resultado también podría haberse obtenido considerando el equilibrio de la porción de la viga CD, ya que el área bajo la curva de carga representa el total de la carga aplicada entre C y d. Debe también observarse que la ecuación α no es válida en un punto donde se aplique una carga concentrada; la curva de cortante es discontinua en tal punto, como se vio en la sección anterior. De manera similar, las ecuaciones resultantes después de haberla integrado dejan de ser validas cuando se aplican cargas concentradas entre C y D, debido a que no consideran el cambio súbito en el cortante causado por la carga concentrada. Por lo tanto, las ecuaciones resultantes deberán aplicarse solo entre cargas concentradas sucesivamente, en otras palabras cargas distribuidas. RELACION ENTRE EL CORTANTE Y EL MOMENTO FLECTOR. Regresando al diagrama de cuerpo libre de la figura respectiva, y escribiendo ahora que la suma de momentos alrededor de C’ es cero, se tiene que: +↑ΣMC’=0;

(M + ∆M) – M – V.∆x + ω∆x .(∆x/2) = 0 ∆M =V∆x - ω (∆x)2/2

Dividiendo ambos miembros de la ecuación entre ∆x y haciendo que ∆x se aproxime a cero, se obtiene: (ecuación β)

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La ecuación β indica que la pendiente dM/dx de la curva de momento flector es igual al valor del cortante. Esto es cierto en cualquier punto donde el cortante tenga un valor bien definido, esto es, en cualquier punto donde no se encuentre aplicada una carga concentrada. La ecuación β también muestra que V =0 en puntos donde M es máximo. Esta propiedad facilita la determinación de los puntos donde es posible que la viga falle bajo flexión. Integrando la ecuación β entre los puntos C y D, se escribe:

Note que el área bajo la curva de cortante deberá considerarse positiva donde el esfuerzo cortante es positivo y negativo donde el esfuerzo cortante es negativo. Las ecuaciones resultantes son validas aun cuando se aplican cargas concentradas entre C y D, en tanto la curva de cortante haya sido correctamente dibujada Las ecuación dejan de ser validas, sin embargo, si un par se aplica en un punto entre C y D, ya que no toman en consideración el cambio súbito de momento cortante causado por un par. 1.2 METODO GRAFICO PARA CONSTRUIR DIAGRAMAS DE FUERZA MOMENTO FLEXIONANTE

CORTANTE Y

Tomamos una sección diferencial de una viga

Figura 1.3 Elemento diferencial de una viga

De la ecuación α:

Pendiente del diagrama de fuerza cortante en cada punto.

=

- Intensidad de la carga distribuida en cada punto.

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De la ecuación β:

Pendiente del diagrama de momento = flexionante en cada punto

Fuerza cortante en cada punto.

Figura 1.4 Grafica de la cortante y momento flector de una viga con carga distribuida.

Del análisis grafico deducimos que el cambio de valor de la fuerza cortante (∆V) es el área bajo la carga distribuida: ∆V = . Del mismo modo deducimos que el cambio de valor del momento flector (∆M) es el área bajo el diagrama del esfuerzo cortante: ∆M = ).

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II. ESFUERZOS CORTANTES EN VIGAS En la sección anterior se vio que una carga transversal aplicada a una viga resultara en esfuerzos normales y cortantes en cualquier sección transversal dada de la viga. Los esfuerzos normales se crean por el momento flector M en dicha sección y los esfuerzos cortantes por el cortante V. Como el criterio dominante en el diseño de un viga por resistencia es el máximo valor del esfuerzo normal en la viga, en el capítulo anterior el análisis se limitó a la determinación de los esfuerzos normales .Los esfuerzos cortantes, sin embargo son importantes, particularmente en el diseño de vigas cortas y gruesas y su estudio será el tema de la primera parte de este capítulo.

Figura 6.1: fuerza cortante y momento flector

Figura 6.2: esfuerzo cortante 2.1 CORTANTE EN LA CARA HORIZONTAL DE UNA VIGA: Considere una viga prismática AB con un plano vertical de simetría que soporta varias cargas concentradas y distribuidas (figura 6.3).A una distancia “x” del extremo A se desprende de la viga un elemento CDD´C´ con la longitud ∆x que se extiende a través del ancho de la viga desde la superficie superior de la viga hasta una plano localizado a una distancia y1 del eje neutro (figura 6.4).

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FIGURA 6.3 fuerzas cortantes en una viga

FIGURA 6.4 seccion de la viga

Las fuerzas ejercidas sobre este elemento consiste de las fuerzas cortantes verticales V´C y V´D, una fuerza cortante horizontal ∆H ejercida sobre la cara inferior del elemento, las fuerzas normales elementales horizontales y y posiblemente una cdA DdA carga ω∆x (figura 6.5). Se escribe la ecuación de equilibrio.

Figura 6.5: sección de corte de la viga Donde la integral se extiende por el área sombreada α de la sección localizada sobre la línea y=y1 .despejando ∆H de esta ecuación y utilizando la ecuación =My/l, para expresar los esfuerzos normales en términos de los momentos flectores en C y D, se tiene:

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La integral de la ecuación representa el primer momento con respecto al eje neutro de la porción α de la sección transversal de la viga que se localiza por encima de la línea y = y1 y se denotara por Q. Se sabe que:

Al sustituir en la ecuación se obtiene la siguiente expresión para el corte horizontal ejercido sobre el elemento de la viga

Figura 6.6: sección de corte de la viga Lo mismo se habría obtenido si se hubiera utilizado como cuerpo libre el elemento inferior C´D´D´´C´´, en lugar del elemento superior CDD´C´(figura 7) ya que las fuerzas cortantes ∆H y ∆H´, ejercidas por los dos elementos uno sobre el otro son iguales y opuestas . Esto nos lleva a observar que el primer momento Q de la porción α´ de la sección transversal localizada bajo la línea y=y1 (figura6.8) es igual en magnitud y opuesto en sentido al primer momento del área de toda la sección transversal con respecto a su eje centroidal y, por lo tanto, debe ser cero. Esta propiedad en ocasiones utilizarse para simplificar el cálculo de Q. se advierte que Q es máximo para y1= 0, ya que los elementos de la sección transversal localizada por encima del eje neutro contribuye positivamente la integral que define a Q, mientras que los elementos localizados por debajo de dicho eje contribuye negativamente. El corte horizontal por unidad de longitud, que se denotara por la letra q, se obtiene ambos miembros de la ecuación entre ∆x:

Recuerde que Q es el primer momento con respecto al eje neutro de la porción de la sección transversal localizada bien por encima o bien por debajo del punto en el que se calcula, y que 11 INGENIERÍA CIVIL

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l es el momento centroidal de inercia de toda el área de la sección transversal. El corte horizontal por unidad de longitud q también se conoce como flujo cortante. 2.2 DETERMINACION DE LOS ESFUERZOS CORTANTES EN UNA VIGA Considere de nuevo en una viga con un plano vertical de simetría, sometida a varias cargas concentradas o distribuidas que se aplican sobre ese plano. Se vio en la sección precedente que, si por medio de dos corte verticales y uno horizontal , se desprende de la viga un elemento de longitud ∆x (figura 6.7), la magnitud ∆H de la fuerza cortante ejercida sobre la cara horizontal del elemento puede obtenerse de la ecuación . El esfuerzo cortante promedio en dicha cara del elemento se obtiene dividiendo ∆H entre el área ∆A de la cara. Observando que ∆A =t∆x, donde t es el espesor del elemento ene el corte, se escribe:

Figura 6.7 esfuerzo cortante en una sección de la viga

Se nota que, como los esfuerzos cortantes y ejercidos respectivamente sobre un plano transversal y en un horizontal a través de D´ son iguales, la expresión obtenida representa también el valor promedio de en la línea D´1 D´2 (figura 9) Observe que , en las caras superior e inferior de la viga , puesto que no se ejercen fuerzas sobre estas caras se sigue que a lo largo de los bordes superior e inferior de la sección transversal (figura 10) .también se nota que , aunque Q es máximo para y=0, no puede concluirse

que será máximo a lo largo del eje neutro , ya que depende del ancho t de la sección como de Q .

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Figura 6.8 esfuerzo cortante en la sección de la viga Siempre que el ancho de la viga permanezca pequeño comparado con la altura , el esfuerzo cortante solo varia suavemente a lo largo de la línea D´1 D´2 (figura 9), y puede usarse la ecuación de para calcular en cualquier punto a lo largo de D´1 D´2 .en realidad es mayor en D´1 D´2 que en D´, pero la teoría de la elasticidad muestra que , para una viga de sección rectangular , de ancho b y la altura h, y siempre que b≤h/4 , el valor del esfuerzo cortante en los puntos C1 y C2 (figura 10) no excede más del 0.8 % el valor promedio del esfuerzo calculado a lo largo del eje neutro.

Figura 10: esfuerzos en el eje 2.3 ESFUERZOS CORTANTES

EN TIPOS COMUNES DE VIGAS

En la sección anterior se vio que para una viga rectangular delgada, es decir para una viga de sección rectangular de ancho b y altura h con b≤h/4 , la variación del esfuerzo cortante a través de ancho de la viga es menor que el 0.8% de . Puede entonces usarse la ecuación:

Donde t es igual al ancho b de la viga y Q es el primer momento del área sombreada A con respecto al eje neutro (figura 11).

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Figura 11 Observando que la distancia desde el eje neutro al centroide C’ de A es recordando que,

, y

se escribe:

Recordando, por otra parte, que:

Notando que el área transversal de la viga es A=2bc

La ecuación anterior muestra que la distribución de esfuerzos cortantes en una sección transversal de una viga rectangular es parabólica como se aprecia en la figura 12. Como ya se observó en la sección anterior, los esfuerzos cortantes son cero en la parte superior y en la base de la sección . Haciendo y=0 en la ecuación anterior, se obtiene el valor del esfuerzo cortante máximo en una sección dada de una viga rectangular delgada.

Figura 12: distribucion de esfuerzos cortantes de la seccion transversal de una viga 14 INGENIERÍA CIVIL

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La relación obtenida muestra que el valor máximo del esfuerzo cortante en una viga de sección rectangular es un 50% mayor que el valor V/A que se hubiera obtenido suponiendo, erróneamente, una distribución uniforme a través de toda la sección transversal. En el caso de una viga estándar americana (viga S) o una viga de aleta ancha (viga W), la ecuación siguiente puede usarse para calcular el valor promedio del esfuerzo cortante ejercido sobre una sección aa’ o bb’ de la sección transversal de la viga como se observa en la figura 14.

Donde V es fuerza cortante vertical, t el ancho de la sección a la elevación considerada. Q el primer momento del área sombreada con respecto al eje neutro cc’ e I el momento de inercia de toda la sección transversal con respecto a cc’. Dibujando contra la distancia vertical y, se obtiene la curva de la figura. Se notan las discontinuidades existentes en esta curva, que reflejan la diferencia entre los valores de t correspondientes, respectivamente a las aletas ABGD y A’B’G’D’ y al alma EFF’E’.

Figura 13 En el caso del alma, el esfuerzo cortante varía sólo muy ligeramente a través del corte bb’ y puede suponerse igual al promedio . Esto no es cierto sin embargo, para las aletas. Por ejemplo considerando la línea horizontal DEFG se nota que es cero entre D y E y entre F y G, ya que estos segmentos son parte de la superficie libre de la viga. Por otra parte, el valor de entre E y F puede obtenerse haciendo t= EF en la ecuación . En la práctica generalmente se supone que toda la carga cortante la soporta el alma y que una buena aproximación del valor máximo del esfuerzo cortante en la sección se obtiene dividiendo V entre el área del alma.

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No obstante debe notarse que mientras la componente vertical del esfuerzo cortante en las aletas puede despreciarse, su componente horizontal tiene un valor significativo.

2.4 ANALISIS ADICIONAL SOBRE LA DISTRIBUCION DE ESFUERZOS EN UNA VIGA

Figura 14: fuerza aplicada sobre una viga empotrada Considere una viga en voladizo, de sección transversal rectangular de ancho b y altura h, sometida a una carga P, en su extremo libre (figura 14). Como la fuerza cortante V de la viga es constante e igual en magnitud a P

τ

……………………………..ecuación A

De la ecuación A se nota que los esfuerzos cortantes dependen solo de la distancia y del eje neutro. Son independientes, por tanto, de la distancia desde el punto de aplicación de la carga, se sigue que todos los elementos localizados a la misma distancia de la superficie neutra sufren la misma deformación por cortante como se muestra en la figura. Aunque las secciones planas no permanezcan planas, la distancia entre dos puntos correspondientes D y D` localizados en distintas secciones, se mantiene igual. Esto indica que las deformaciones normal єx y los esfuerzos normales σx no se afectan por los esfuerzos cortantes y que la hipótesis formulada en la sección anterior. Se justifica para la condición de carga de la figura 15.

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Figura 15 Se concluye que el análisis de los esfuerzos en un voladizo de sección transversal rectangular, sometido a una carga P en su extremo libre, es válido. Los valores correctos del esfuerzo cortante en la viga están dados por la ecuación anterior y los esfuerzos normales a una distancia x del extremo libre se obtiene haciendo

σx

…………………………………………………………………..B

La validez de esta proposición depende, sin embargo, de las condiciones de extremo. Si la ecuación (A) se aplica en todas partes, entonces la carga P debe distribuirse da manera parabólica sobre la sección de extremo libre. Además, el soporte empotrado debe ser tal que permita el tipo de deformación por cortante indicado en la figura (15). El modelo resultante (16) es muy difícil de encontrar en la práctica. Sin embargo del principio de saint-vernant se sigue que, para otros modos de aplicación de aplicación de la carga y para otros tipos de soportes empotrados, las ecuaciones (A) y (B) todavía proporcionan la distribución correcta de esfuerzos, excepto cerca a los extremos de la viga

Figura 16 Cuando una viga de sección rectangular se somete a varias fuerzas concentradas como indica en la siguiente figura, puede usarse el principio de superposición para determinar esfuerzos normales y cortantes en secciones localizadas entre los puntos de aplicación de las cargas. Sin embargo, como las cargas P1, P2, P3, etc., se aplican en la superficie de la viga y no puede

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suponerse que estén distribuidas parabólicamente a través de la sección, los resultados obtenidos dejan de ser validos en la inmediata vecindad del punto de aplicación de las cargas

Figura 17: fuerzas sobre la viga empotrada Cuando la viga se somete a una carga distribuida como en la siguiente figura el corte varia con la distancia del extremo de la viga y así lo hace el esfuerzo cortante a una elevación dada y. Las deformaciones por cortante resultantes son tales que la distancia entre dos puntos correspondientes de diferentes secciones transversales, como D1, D`1 o D2, D`2 dependerá de su elevación.

Figura 18: fuerzas distribuidas sobre la viga empotrada Debe notarse también que en porciones de la viga localizadas bajo una carga concentrada o distribuida, los esfuerzos normales σy se ejercerán sobre las caras horizontales de un elemento cubico de material, además de los esfuerzos τxy mostrados en la figura. III. ESFUERZO NORMAL 3.1 DEDUCCIÓN DE LA FORMULA DE LA FLEXIÓN Los esfuerzos normales producidos por el momento flexionante se llaman esfuerzos por flexión y las relaciones entre estos esfuerzos y el momento flexionante se expresan mediante la fórmula de la flexión Para su deducción se sigue el mismo procedimiento que desarrolló para 18 INGENIERÍA CIVIL

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deducir la formula de la torsión , es decir, las deformaciones elásticas junto con la ley de Hooke determinan la forma de la distribución de esfuerzos, y mediante las condiciones de equilibrio se establece la relación entre los esfuerzos y las cargas.

Fig.3-1a Fig.3-1b Figura 3-1. Deformaciones. La figura 3-1a muestra dos secciones adyacentes y separadas una distancia . Debido a la flexión producida por la carga , las secciones y giran una con respecto a la otra un pequeño ángulo , como se ve en la figura 3-1b, pero permanecen planas y sin distorsión de acuerdo con la hipótesis 1. La fibra de la parte superior se acorta y la fibra se alarga. En algún punto entre ellas existe una fibra, tal como , cuya longitud no varía. Trazando la línea por , paralela a , se observa que la fibra se ha acortado una longitud y está, pues, comprimida, mientras que a fibra se ha alargado la longitud y está sometida a tensión. El plano que contiene todas las fibras como la se llaman superficie neutra, ya que tales fibras no varían de longitud y, por tanto, no están sujetas a esfuerzo alguno. En seguida veremos que la superficie neutra pasa por los centros de gravedad de las secciones transversales de la viga. Consideremos ahora la deformación de una fibra cualquiera situada a una distancia y de la superficie neutra. Su alargamiento es el arco de circunferencia de radio y ángulo y viene dado por:

La deformación se obtiene dividiendo el alargamiento entre la longitud

de la fibra

Llamando al radio de curvatura de la superficie neutra, la longitud por lo que la deformación unitaria vale

es igual a

,

Suponiendo que el material es homogéneo y obedece a la ley de Hooke, hipótesis 2 el esfuerzo en la fibra viene dado por: 19 INGENIERÍA CIVIL

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….…..…………………………….……….. Esta expresión indica que el esfuerzo en cualquier fibra es directamente proporcional a su distancia y a la superficie neutra, ya que se ha supuesto que el módulo elástico es igual a tensión que a compresión, hipótesis 3, y el radio de curvatura de la superficie neutra es independiente de la ordenada y de la fibra. Ahora bien, los esfuerzos no deben sobrepasar el límite de proporcionalidad, pues en caso contrario dejaría de cumplir la ley de Hooke en la que se ha basado la determinación de la forma de distribución de los esfuerzos. Para completar la deducción de la formula de la flexión se aplican las condiciones de equilibrio. Las fuerzas exteriores que actúan a un lado de la sección en estudio quedan equilibradas por la fuerza cortante y el momento flexionante resistentes. Para que se produzca este equilibrio, un elemento diferencial cualquiera de la sección de exploración está sometido a las fuerzas que indica en la figura 3-2. La intersección de la superficie neutra con la sección se llama eje neutro, abreviadamente E. N. Para satisfacer la condición de que las fuerzas exteriores no tengan componente según el eje , hipótesis 5, se tiene:

En donde

, equivale a

de la ecuación

. Sustituyendo

por su valor

y resulta

Figura 3-2. Fuerzas que actúan sobre un elemento de área de la sección recta. Los términos y , constantes, se han sacado fuera del signo integral. Como y da es el momento estático del área diferencial respecto de E. N., la integral es el momento estático total del área. Por tanto,

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Sin embargo, como solamente en esta expresión puede ser nulo, se deduce que la distancia a E. N., eje de referencia, del centro de gravedad de la sección recta debe ser cero, es decir, que la línea neutra pasa por el centroide del área de la sección transversal. La condición que da conduce a la fórmula del esfuerzo cortante, cuya deducción se deja para más adelante. De momento. Se hace observar solamente que la fuerza cortante resistente es la suma de todas las fuerzas cortantes , es decir: . La condición conduce a que . Puesto que las fuerzas exteriores no tienen componente según el eje , en el sistema de fuerzas cortantes está en equilibrio. También se verá como el plan de las fuerzas puede no ser el plano , sino uno paralelo a él. En estos casos, las cargas producen un momento con respecto al eje que es equilibrado por para cumplir la ecuación . Esta condición se verifica automáticamente para secciones simétricas respecto del eje , ya que cualquier elemento tiene otro simétrico y, por lo tanto, las integrales se anulan. Como consecuencia, para secciones simétricas con respecto del eje , el plano de fuerzas exteriores debe coincidir con el plano , y si no ocurre así, la viga estará sometida a torsión. Consideremos ahora la condición . Las fuerzas exteriores no producen momento con respecto al eje , ni tampoco las fuerzas cortantes interiores. Por tanto:

Sustituyendo

, por

, resulta:

La integral es el producto de inercia que es nulo solamente si y son ejes de simetría o ejes principales de la sección. Esto constituye la justificación de la hipótesis 5. La última condición de equilibrio requiere que el momento flexionante sea equilibrado por el momento resistente, es decir, . El momento resistente con respecto a E. N. de un elemento cualquiera es y, por tanto.

Sustituyendo

por

, resulta

Puesto que es el momento de inercia* I del área con respecto al eje de referencia, que en este caso es E. N., que pasa por el centro de gravedad, se obtiene finalmente,

Pues era necesario considerar el eje que pasa por el centroide de la sección de exploración, 21 INGENIERÍA CIVIL

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como eje con respecto al cual se calcula el momento flexionante; de esta manera se tiene un eje común para calcular e igualar y . La formula más común de escribir la ecuación es …………………………………………………………. (b) Puesto que la curvatura es el reciproco del radio de curvatura, la ecuación (3-1) indica que la curvatura es directamente proporcional al momento. Este hecho ya se había utilizado al identificar el signo del momento con la forma de la viga deformada; curvatura positiva, cóncava hacia arriba, correspondiente a un momento flexionante positivo, y viceversa. Igualando la relación deducida de (5-1) con el valor de la ecuación se obtiene

Que conduce directamente a la fórmula de flexión, también llamada “fórmula de la escuadría”: ………………………………………………………………………. (3-2) Esta expresión indica que el esfuerzo debido a la flexión en cualquier sección es directamente proporcional a la distancia del punto considerando a la línea neutra. Una forma más común de la fórmula de la flexión se obtiene sustituyendo y por la distancia c del elemento más alejado de la línea neutra. Con esto se obtiene el esfuerzo máximo: ……………………………………………………………….. (3-2a) El cociente se llama módulo de resistencia de la sección o simplemente, módulo de sección, y se suele designar por S, por lo que la fórmula de la flexión adquiere la forma: ………………………………………………………….. (3-2b) Esta fórmula es muy empleada en vigas de sección constante, y muestra cómo el esfuerzo máximo se produce en la sección de momento flexionante máximo. En la tabla 5-1 se dan los valores del módulo de resistencia de las formas más comunes de sección recta. Un análisis muy interesante, análogo al que se empleará en el estudio de las vigas de concreto armado es el de la variación de los esfuerzos de flexión en una sección rectangular, como se indica en la figura 3-3. Dado que la suma de las fuerzas horizontales en la sección debe ser nula, la fuerza total de compresión , en la mitad superior de la sección recta, ha de ser igual a la fuerza total de tension T en la mitad inferior. Por tanto, el momento resistente , está constituido por el par que forman las fuerzas y iguales y opuestas. La magnitud de cada una de estas fuerzas es igual al producto del esfuerzo medio por el área. Por consiguiente, como el esfuerzo medio es una distribución lineal es la mitad del esfuerzo máximo, se tiene:

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Tabla 3-1. Módulos de resistencia de varias formas de sección transversal

Rectangular

Circular (llena)

Circular hueca (tubular)

Triangular

Figura 3-3. El momento resistente equivale a un par formado por la resultante de las fuerzas de compresión. Las fuerzas

y

actúan en el centro de gravedad de la carga triangular a una distancia k

de E. N., y como

, el brazo del par resistente es

, Igualando el

momento flexionante al momento resistente resulta:

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Que coincide con la ecuación (3-2b) para una sección rectangular. 3.1.1 MÓDULO DE RUPTURA Puede emplearse la ecuación (3-2a) para determinar el esfuerzo de flexión en una viga cargada hasta su ruptura en una máquina de ensayos. Puesto que en este caso se excede el límite de proporcionalidad, el esfuerzo determinado de esta forma no es el verdadero esfuerzo en el material cuando se produce la ruptura de la viga. Sin embargo, el esfuerzo ficticio así obteniendo se llama módulo de ruptura del material y se utiliza para comparar las resistencias últimas de vigas de distintos tamaños y materiales. 3.2 ANALISIS DEL EFECTO DE FLEXION Si una viga estuviera formada por muchas capas delgadas colocadas una sobre otra, la flexión produciría el efecto que considera la fig. 3-4. Las capas, independientes deslizarían unas sobre otras y la resistencia total de la viga seria la suma de la resistencia total de la viga seria la suma de la resistencia de las diversas capas.

Fig. 3-4 deslizamientos entre las distintas capas de una viga formada de capas macizas sobrepuestas.

Una viga formada de esta manera es mucho menos resistente que una viga única de las mismas dimensiones totales. Como demostración práctica de este efecto, curvemos un paquete de naipes entre las manos, sujetándola suavemente, sin impedir que los naipes puedan deslizar entre si al curvarse. Después, sujétense fuertemente por los extremos, de manera que no puedan deslizar, y aproximadamente, por tanto a las características de una sección única y maciza, e inténtese curvar el paquete. Se observara que se requiere un esfuerzo mucho mayor que antes. La figura 3-5a ayuda a comprender este efecto. Representa la distribución de los esfuerzos normales de flexión sobre la porción de viga a la izquierda de una sección de exploración m-n de la viga maciza de la figura 3-5b. Sumando las fuerzas horizontales que actúan en toda la altura de la sección, las fuerzas de compresión quedan equilibradas por las de tensión, como se requiere por la condición de 24 INGENIERÍA CIVIL

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equilibrio . Sin embargo, sumando las fuerzas horizontales que actúan en parte de la altura de la sección, por ejemplo, desde los elementos superiores a-b hasta los c-d la fuerza de compresión total C1 , sobre el área abcd, igual al valor medio del esfuerzo por el área de abcd, solo puede equilibrarse mediante una fuerza cortante que debe desarrollándose en el plano horizontal dce. Esta fuerza cortante se puede producir en una viga maciza, pero no en una formada por capas independientes. Si se extiende la suma de las fuerzas hasta el plano fg, la compresión que resulta queda incrementada en C2, que es el valor medio de y por el área cdfg. Por tanto tendrá que haber una mayor fuerza cortante en el plano horizontal fg que en el plano cde. Por supuesto que la fuerza cortante en el plano horizontal fg que en el plano cde. Por supuesto que la fuerza de compresión total C1 + C2, que actúa sobre el área abgf, también puede calcularse con la medida de esfuerzos y por el área abgf. Sin embargo, el primer procedimiento da una idea más clara de cómo el incremento de la fuerza de compresión va siendo cada vez menor conforme se desciende a intervalos iguales desde la parte superior de la sección hacia la inferior, aunque la fuerza de compresión va siendo cada vez menor conforme se desciende a intervalos iguales desde la parte superior de la sección hacia la inferior, aunque la fuerza de compresión total vaya aumentando hasta llegar a la línea neutra, en donde el incremento de la fuerza de compresión se anula. Este análisis indica que el máximo desequilibrio horizontal tiene lugar precisamente en el E.N. desequilibrio que va reduciéndose gradualmente hasta cero, conforme se incluyen más elementos de superficie de la sección por debajo de E.N. Esto es debido, naturalmente a que el efecto de las fuerzas de compresión se va compensando por las tensiones que existen.

Figura 3-5 distribuciones de fuerzas de compresión y tensión

Por debajo del E.N. hasta que, finalmente al considerarla sección completa, el desequilibrio horizontal, por ejemplo, en y , ya que al añadir a las fuerzas iguales y opuestas no varia el resultado, de todo ello se deduce que la fuerza cortante que se desarrolla en fg y hk es la misma, aunque esto requiere que las áreas desde la línea neutra a las capas o planos equidistantes sean simétricas respecto a aquella y por tanto, esta ultima conclusión no será válida, por ejemplo, si la sección de la viga fuera un triangulo de base horizontal. IV. ESFUERZOS PRINCIPALES BAJO UNA CARGA DADA 25 INGENIERÍA CIVIL

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4.1 ESFUERZOS PRINCIPALES EN UNA VIGA: Considere una viga prismática AB sometida alguna carga arbitraria transversal (FIGURA 4.1).

FIGURA 4.1

Se denotaran con V y M al momento cortante y de flexión, respectivamente, en una sección que pase por un punto dado C. Se sabe que dentro de un límite elástico, los esfuerzos que se ejercen sobre un pequeño elemento con caras perpendiculares a los ejes x y y, respectivamente, se reducen a los esfuerzos normales encuentra en la superficie libre de la viga, y a los esfuerzos cortantes elemento está en la superficie neutral.

si el elemento se

si el

En cualquier punto de la sección transversal, un elemento de material está sujeto simultáneamente a los esfuerzos normales. (.1) En donde y es la distancia a la superficie neutral e I el momento de inercia centroidal de la sección, y a los esfuerzo cortantes. (.2) Donde Q es el primer momento sobre el eje neutral de la porción del área de la sección transversal localizada sobre el punto de donde se calculan los esfuerzos, y t es el ancho de la sección transversal en ese punto. Con el uso de cualquiera de los métodos de análisis que se presentaran, es posible obtener los esfuerzos principales en cualquier punto de la sección transversal . Ahora procede formular la siguiente pregunta: ¿el esfuerzo normal máximo en algún punto dentro de la sección transversal podría se mayor que el valor calculado en la superficie de la viga? Si es así, entonces la determinación de el mayor esfuerzo normal en la viga implicaría una dificultad mas grande que el calculo de y el uso de la ecuación (.1) se puede obtener una respuesta a dicha pregunta con la investigación de la distribución de 26 INGENIERÍA CIVIL

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los esfuerzos principales en una viga rectangular a voladuria sometida a una carga P concentrada en su extremo libre (FIGURA 4).

FIGURA 4.4

Se recordara que los esfuerzos normal y contante a una distancia x de la carga P y a una distancia sobre la superficie neutral, están dados respectivamente, por las ecuaciones y

. Toda vez que el momento de inercia de la sección

transversal es:

En donde A es el área de la sección transversal y c la mitad del peralte de la viga; se tiene que

(.3) Y que (.4) Con el uso del método de la sección de esfuerzos principales y circulo de Mohr, puede determinarse el valor de en cualquier punto de la viga. La FIGURA .5 muestra los resultados del calculo de las razones y en las dos sección de la viga, correspondientes respectivamente a y a . En cada sección estas razones se determinaron en 11 puntos diferentes, y se indica la orientación de los ejes principales en cada punto.

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Figura 4.5

Queda claro que

no excede

en ninguna de las dos secciones consideradas en la

FIGURA 4.5 y que , si excede a en algún caso, será en las secciones cercanas a la carga P, el principio de Saint-Venant no se aplica, y las ecuaciones (.3) y (.4) dejan de ser validas, excepto en el caso muy improbable de una carga distribuida en forma parabólica sobre el extremo libre de la sección, y se requiere usar métodos mas avanzados de análisis que tomen en cuenta el efecto de las concentraciones de esfuerzo. Por tanto, se concluye que, para vigas de sección transversal rectangular, y dentro del marco de la teoría presentada en este texto, el esfuerzo normal máximo puede obtenerse de la ecuación (.1). En la FIGURA 4 .5 se determinaron las direcciones de los ejes principales en 11 puntos en cada una de las dos secciones consideradas. Si este análisis se extendiera un número mayor de secciones a un número más grande de puntos en cada sección, seria posible dibujar dos sistemas ortogonales de curvas en el flanco de la viga FIGURA 4.6.

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FIGURA 4.6 Trayectorias de esfuerzo

Un sistema consistiría en curvas tangentes al eje principal que corresponde a y el otro en curvas tangentes al eje principal que es el de . Las curvas así obtenidas se conoces como trayectorias de esfuerzo. Una trayectoria del primer tipo (líneas continuas) define en cada uno de sus puntos la dirección del esfuerzo mayor a la tensión, mientras que una trayectoria del segundo tipo (líneas punteadas) define la dirección del mayor esfuerzo de compresión.

FIGURA 4.7

Un procedimiento alternativo consiste en asignar a de la sección

el valor del esfuerzo cortante máximo

dado por la ecuación

, esto lleva a un valor

ligeramente mayor, y por tanto conservador, del esfuerzo principal malla con las pestañas de la viga.

en la unión de la

4.2 ESFUERZOS BAJO CARGAS COMBINADAS. Se aprendió a determinar los esfuerzos causados por una carga axial centrada, se analizo la distribución de esfuerzos en un elemento cilíndrico sometido a un par giratorio, se determinaron los esfuerzos ocasionados por pares flectores por ultimo los esfuerzos que 29 INGENIERÍA CIVIL

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producen cargas transversales. Como se vera enseguida, es posible combinar los conocimientos adquiridos para determinar los esfuerzos en miembros estructurales esbeltos o en elementos de maquinas sometidas a casa cualquier condición de carga. Por ejemplo considere un elemento curveado ABCD de sección transversal circular sujeto a varias fuerzas FIGURA 4.8.

FIGURA 4.8

Con el objeto de calcular esfuerzos que producen en los puntos H o K las cargas dadas, primero se traza una sección de dichos puntos y se determina en el centroide C de la sección el sistema de par de fuerzas requeridas para conservar el equilibrio de la porción ABC. Este sistema representa las fuerzas internas en la sección y e general, consta de tres componentes de fuerza y tres pares de vectores que se supone se dirigen según se ilustra en la FIGURA4 .9.

FIGURA 4.9

FIGURA 4.10

La fuerza P es axial centrada y produce esfuerzos normales en la sección. El par de vectores

My y Mz provocan que el elemento se tuerza y también producen esfuerzos normales en la sección. Por tanto se agrupan con la fuerza P en la parte a de la FIGURA 4.10 y las sumas de los esfuerzos normales que producen en los punto H y K se muestran el la parte a de la FIGURA 4.11. Es posible determinar estor esfuerzos.

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FIGURA 4.11 Por otro lado, el par giratorio T y los esfuerzos cortantes Vy y Vz producen esfuerzos cortantes en la sección. Las sumas

y

de las componentes de los esfuerzos cortantes que

producen en los puntos H y K se muestran en la parte b de la FIGURA 4.11. Los esfuerzos normales y cortantes que se muestran en las partes a y b de la FIGURA 4.11 pueden combinarse ahora y manifestarse en los puntos H y K en la superficie del elemento (FIGURA 4.12).

FIGUR4.12 Los esfuerzos principales y la orientación de los planos principales en los punto H y K pueden determinarse a partir de los valores

,

y

en cada uno de dichos puntos con alguno

de los métodos ya presentados (FIGURA 4.13). Los valores del esfuerzo cortante máximo en cada uno de estos puntos y los planos correspondientes se pueden encontrar en una forma similar.

FIGURA 4.13 31 INGENIERÍA CIVIL

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Los resultados obtenidos en esta sección son validos solo hasta donde lo permiten las condiciones de aplicación del principio de superposición y el principio de Saint –Venant. Esto significa que los esfuerzos involucrados no deben exceder el límite proporcional del material, que las deformaciones debidas a alguna de las cargas no afectan la determinación de los esfuerzos debidas a las demás, y que la sección utilizada en el análisis no debe estar demasiado cerca de los puntos de aplicación de las fuerzas dadas. Es evidente, del primero de estos requerimientos, que el método aquí presentado no es aplicable a deformaciones plásticas.

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CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES Si la viga tiene una sección transversal rectangular, entonces la distribución del esfuerzo cortante será parabólica y se obtiene un valor máximo al nivel del eje neutro. Se aplican similares procedimientos para la deducción de formulas entre torsión y flexión. Las vigas encuentran su mayor empleo en las estructuras de edificios, las cuales soporten los pisos, transmitiendo las cargas a cimentación. Las vigas únicas son más resistentes que una viga de similar tamaño, pero formada por varias capas macizas sobrepuestas deslizantes. Como hemos visto los esfuerzos combinados se usan frecuentemente sin darnos cuenta, como por ejemplo nuestras casas están hechas de vigas, que combinado distintos materiales, soportan algunos mejor la flexión y otros mejor la compresión. Todos los esfuerzos nombrados son usados en distintas ramas como por ejemplo en la construcción ya que las vigas son de hierro y cemento y el hierro soporta mejor la flexión y el cemento resiste mejor la compresión por lo que el hierro se coloca abajo. Haciendo un adecuado diseño por resistencia podemos hacer a una viga mas resistente a la flexión. Tanto los esfuerzos normales como los transversales se ejercen sobre un plano transversal, y los esfuerzos cortantes también se ejercen sobre un plano horizontal. En un caso particular de una viga de sección transversal rectangular la distribución de esfuerzos es parabólica y que el máximo esfuerzo ocurre en el centro de la sección.

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BIBLIOGRAFIA: MECANICA DE MATERIALES 3ra y 4ta EDICION/FERDINAND BEER- RUSSELL JOHNSTONJOHN DEWOLF/ MCGRAW – HILL RESISTENCIA DE MATERIALES 4ta EDICION /ANDREW PYTEL FERDINAD SINGER/ HARLA MEXICO. RESISTENCIA DE MATERIALES/ HIBBELER / MCGRAW – HILL

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ANEXOS 1. EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Una viga tiene una sección transversal rectangular y está sometida a la distribución de esfuerzo mostrada en la figura1.1. Determine el momento interno M en la sección causado por la distribución del esfuerzo usando la formula de la flexión.

Figura 1.1 Distribución de esfuerzos Solución: La formula de la flexión es

De la figura mostrada c= 6 pulg y

=

2

2Klb/pulg . El eje neutro se define como la línea EN porque el esfuerzo es cero a lo largo de esta línea. Como la sección transversal tiene una forma rectangular, el momento de inercia de la sección respecto al eje EN se determina con la fórmula para un rectángulo dado como se muestra a continuación:

Por tanto:

; … Rpta

02. La viga simplemente apoyada en la figura 2.1 tiene la sección transversal mostrada en la figura 2.2 .Determine el esfuerzo máximo absoluto de flexión en la viga y dibuje la distribución del esfuerzo en la sección transversal en esta posición.

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Figura 2.1 Viga simplemente apoyada

Figura 2.2 Sección de viga Solución: Momento interno máximo: El momento interno máximo en la viga, M = 22.5 KN.m Ocurre en el centro dele claro como se muestra en el diagrama de momento flexionante.

Propiedades de la sección .Por razones de simetría, el centroide C y el eje neutro pasan por la mitad de la altura de la viga, como se ve en el eje neutro. La sección transversal se subdivide en las tres partes mostradas y el momento de inercia de cada parte se calcula respecto al eje neutro usando el teorema de los ejes paralelos. Trabajando en metros tenemos:

… Rpta

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Figura2.3 Corte de viga Esfuerzo de flexión. Aplicando la formula de la flexión, con c= 170mm, el esfuerzo máximo absoluto de flexión es:

En la figura 2.3 se muestran vistas bi y tridimensionales de la distribución del esfuerzo. Note cómo el esfuerzo en cada punto sobre la sección transversal desarrolla una fuerza que contribuye con un momento dM respecto al eje neutro que tiene el mismo sentido que M, específicamente, en el punto B, YB = 150mm, por lo que:

0.3 La viga mostrada en la figura 3.1 es de madera y está sometida a una fuerza cortante vertical interna resultante de V= 3 klb. (a)Determine el esfuerzo cortante en la viga en el punto P, y (b) calcule el esfuerzo cortante máximo en la viga.

Figura 3.1 Sección de una viga de madera Solución: Parte(a) Propiedades de la sección. El momento de inercia del área de la sección transversal calculada respecto al eje neutro es:

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Se traza una línea horizontal por el punto P y el área parcial A’ se muestra sombreada en la figura 3.2. Por consiguiente:

Figura 3.2 Cortante en ‘P’

Esfuerzo cortante. La fuerza cortante en la sección es V = 3 klb. Aplicando la fórmula del cortante máximo tenemos:

Parte (b). Propiedades de la sección. El esfuerzo cortante máximo ocurre en el eje neutro, ya que t es cte en toda la sección transversal y Q es máximo para tal caso. Para el área A’ sombreada en la figura 3.3, tenemos:

Figura 3.3 Esfuerzo cortante máximo

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Esfuerzo cortante. Aplicando la fórmula del esfuerzo cortante obtenemos:

Note que esto es equivalente a:

0.4 Una viga de seccion rectagular soporta una carga uniformemente repartida de ‘w’ N/m sobre un calor ‘L’. Determinar la longitud crítica Lc para la cual el esfuerzo cortante y el esfuerzo normal alcanzan simultaneamente sus valores admisibles. Lc=f(σ,τ,h).

Figura 4.1 Viga simplemente apoyada

Solucion: Como se observa en la figura 4.2 el Vmax =W/2, donde W es la carga total distribuida.

Figura4.2 Momento máximo de la viga

La carga admisible está limitada por el esfuerzo admisible τ determinado por la ecuación:

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Entonces reemplazando variables: despejando W: Observe que W resulta independiente de la longitud. En el punto de cortante cero, el momento flexionante máximo, evaluado a partir del área del diagrama de cortante vale:

Sustituyendo este valor en la formula de la flexión resulta:

Donde c = distancia del eje neutro al punto mas alejado, I= momento de inercia de la seccion transversal figura 4.3:

Figura 4.3 Seccion transversal de la viga

;

reemplazando resulta:

Ahora sustituyendo W por su valor en fuancion de τ resulta:

De donde :

Rpta.

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2. APLICACIONES: 2.1PERFILES COMERCIALES: En una viga de sección rectangular o circular, las fibras situadas en la proximidad del E. N. están sometidas a un esfuerzo muy pequeño comparado con el esfuerzo en la parte superior o en la inferior. El hecho de que una gran parte de la sección este poco aprovechada las hace poco apropiadas para trabajar a flexión. La fórmula de la flexión, , muestra que si el área de la sección rectangular (fig. 2.1-a) pudiera distribuirse de manera que la viga siguiera teniendo la misma altura pero con la forma indicada en la figura 5-4b, el momento de inercia aumentaría muchísimo, por lo que el momento flexionante que podría soportar sería mucho mayor. Físicamente, el incremento de momento resistente es debido a que hay muchas mas fibras a mayor distancia del E. N., fibras que soportan un esfuerzo mayor, y con un brazo de momento también mayor respecto del E. N. Sin embargo, la sección de la figura 2-1b no es realizable; las dos partes en que ha quedado dividida no pueden estar aisladas, Es necesario emplear parte del área en la sujeción, como se indica en la figura 2-1c. Se verá mas adelante cómo el área del alma soporta prácticamente la totalidad de la fuerza cortante vertical, y se estudiará como determinar sus dimensiones.

(a)

(b)

(c) Viga H (ala ancha) (Perfil W)

(d) Viga I (Perfil S)

Figura 5-4 La figura 2-1c representa una sección I de ala ancha (que suele llamarse H). Es uno de los perfiles más eficientes, ya que no sólo tiene gran resistencia trabajando a la flexión como viga, sino también como columna. Otro tipo de perfil laminando es el I normal, figura 2-1d, más antiguo que el de ala ancha y que al no ser tan eficiente tiende a ser sustituido por aquél. La designación de las vigas I y H (ala ancha) se da expresando su altura nominal y su masa (o peso) por unidad de longitud, Por ejemplo, un W610 x 140 tiene una altura (o peralte) real de 617mm y una masa real de 140.1kg/m. Las tablas dan también el momento de inercia (/), el módulo de sección (S) y el radio de giro (r) para cada eje principal. Al escoger una determinada sección para aplicarla como viga es innecesario decir que el momento que puede resistir, , debe ser igual o mayor que el momento flexionante máximo aplicado M. Esta condición puede expresarse por la desigualdad:

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Que indica que la sección debe elegirse de manera que su módulo resistente sea igual I mayor que la relación del momento flexionante al esfuerzo admisible. FLEXIÓN LATERAL EN VIGAS En las vigas I, los patines sometidos a compresión tienden a pandearse transversalmente en sentido horizontal si la viga es demasiado larga. Cuando esta flexión lateral esta impedida por el forjado del piso ó porque los patines sometidos a compresión estén arriostrados mediante varillas espaciadas a intervalos apropiados, se puede emplear el esfuerzo admisible puede hacerse según fórmulas dadas por el American Institute of Steel Construction. En lo que sigue, supondremos que todas las vigas están arriostradas adecuadamente para evitar la deflexión lateral. 2.2ESTRUCTURAS DE PISOS Quizá el empleo más general de las vigas es en las estructuras de edificios y para soporte de los pisos. La figura 2-2 indica la disposición más usual del entramado de un piso. El tablado está soportado por viguetas. Se supone que éstas trabajan como vigas simplemente apoyadas. Las viguetas a su vez están apoyadas en vigas de mayor tamaño, llamadas trabes o vigas maestras, que se apoyan en los soportes o columnas que transmiten el peso de las cargas a cimentación.

Fig. 2.2 Estructura o entramado de un piso de madera La carga sobre el suelo está especificada en los distintos reglamentos de construcción es y puede variar desde 2.5 hasta según se trate de viviendas, oficinas, etc., hasta ciertos edificios industriales. Si las viguetas tienen L metros de longitud y están esparcidas a entre centros, se supone que cada una soporta la carga de la superficie a por L que se indica rayada en la figura 2-2. La carga en las viguetas se supone uniformemente repartida como se indica en la figura 2-3. El peso total W es igual a la carga por el área , y se divide entre el claro para dar la carga uniforme . 42 INGENIERÍA CIVIL

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En estructuras metálicas, la disposición del entramado es esencialmente la misma, excepto que las viguetas se suelen remachar o soldar al alma de las trabes, en lugar de apoyarse sobre ellas. Las figuras del ejemplo que se sigue representan una pequeña edificación y muestran cómo se construyen los diagramas de carga para las diversas vigas.

Figura 2-3. Carga sobre las viguetas

2.3 VIGAS ASIMETRICAS Todas las vigas examinadas hasta ahora eran de sección simétrica con respecto a la línea neutra. Como el esfuerzo por flexión varia linealmente con la distancia al eje neutro que pasa por el centro de gravedad, tales secciones son útiles para materiales que tengan igual resistencia a la tensión como a la compresión pero para aquellos otros que sean relativamente débiles a la tensión y mas resistentes a la compresión, como es el caso del hierro fundido, es preferente emplear secciones asimétricas con respecto al E.N. Con esta forma de sección, las fibras de gran resistencia pueden colocarse a mayor distancia de la línea neutra que las fibras más débiles. La sección ideal será aquella en la que el centro de gravedad, o sea la línea neutra, se colocara en tal posición que la relación de distancias a las fibras que van a quedar sometidas a la máxima tensión y compresión, fuera la misma que la relación de los esfuerzos admisibles para cada caso. De esta manera se alcanzarían simultáneamente los valores admisibles a tensión y compresión. 2.4 DISEÑO POR FLEXIÓN Y POR CORTANTE En esta sección se estudia la determinación de la capacidad de carga, o del tamaño de la sección, de una viga que tenga limitados, al mismo tiempo, sus esfuerzos por flexión y de corte . No se requieren otros principios que los ya estudiados. En vigas cortas, fuertemente cargadas, las dimensiones vendrán dadas generalmente por el esfuerzo normal, o esfuerzo por flexión, el que limita la carga o determina las dimensiones de la sección, ya que el momento flexionante aumenta con la longitud y las cargas. El esfuerzo cortante también tiene mayor importancia en las vigas de madera que en las de acero por la poca resistencia al cortante que presentan aquellas.

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