Esfuerzos Causados Por Flexión

ESFUERZOS CAUSADOS POR FLEXIÓN

1.- Enunciar la formula de flexión. Debido a que las vigas han de diseñarse para que sean seguras en caso de la aplicación de cargas perpendiculares a su eje mayor, se producen momentos flexionantes en su interior que tiende a pandear la viga. Este tipo de esfuerzos se le conoce como esfuerzo causado por flexión y se calcula mediante la siguiente expresión:

Donde: σmax = Esfuerzo máximo en las fibras externas de la viga M = momento flexionante de la sección de interés. c = Distancia del eje centroidal de la viga a las fibras externas I = Momento de inercia de la sección transversal con respecto a su eje centroidal. Instrucciones para aplicar la formula de flexión 1.- Determine el momento flexionante máximo en la viga trazando los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante. 2.- Localice el centroide de la sección transversal con respecto a su eje centroidal. 3.- Calcule el momento de inercia de la sección transversal con respecto a su eje centroidal. 4.- calcule la distancia c del eje centroidal a la cara superior o inferior (la que sea mayor es la que se usara) de la viga.

5.- calcule el esfuerzo con la formula anteriormente escrita. 2.- Calcular el esfuerzo en cualquier punto de la viga Para calcular el esfuerzo en cualquier punto de la viga se repiten los paso 1, 2, 3 y 5 descritos anteriormente, el paso cuatro que es el del calculo de c, el cual establece que es la distancia medida desde el eje centroidal a la cara superior o inferior, cuando se requiere calcular el esfuerzo en cualquier punto de la sección se “c” pasa a ser la medida existente entre el eje centroidal hasta el punto en estudio, es decir, si se visualiza la siguiente figura se puede observar que para calcular el esfuerzo en el punto A, la distancia “c” es la medida entre el eje neutro hasta el punto a

3.- Condiciones para el uso de la formula de esfuerzo por flexión. No para todas las vigas sometidas a diferentes cargas pueden ser aplicadas la formula anterior, es necesario establecer las siguientes condiciones: a. Debe ser recta b. Su sección transversal debe de ser uniforme c. Las fuerza aplicadas o generadas por los apoyos debe ser completamente perpendiculares al eje de la viga d. La viga no debe de presentar torsiones al momento de la aplicación de cargas. e. El material debe de ser homogéneo y su modulo de elasticidad debe ser igual a la tensión y a la compresión.

f.El esfuerzo aplicado no debe de exceder el limite proporcional del material g. Ninguna parte de la viga puede fallar por inestabilidad, es decir, por pandeo o falla de las secciones esbeltas. 4.- Importancia de que la viga no se flexione bajo la influencia de cargas flexionantes. Como se dijo anteriormente que una viga es un elemento que ha de diseñarse para que sean seguras en caso de la aplicación de cargas perpendiculares a su eje mayor, es necesario que el material escogido, la distancia de los apoyos, y la carga de operación sean establecidas bajo factores de diseño para que es no falle al momento de que se le apliquen las cargas 5.- El eje neutro y eje centroidal de la sección transversal de una viga. Llamaremos eje neutro a aquel contenido en el plano de sección transversal, respecto al cual gira la sección. El eje neutro es paralelo al vector momento flector aplicado. El eje neutro de una viga pasa por el eje centroidal de la sección transversal de la viga, por tal motivo al conocer la figura de la sección transversal se logra ubicar su centroide y con ello los eje centroidales. 6.- Derivación de la formula de flexión e importancia del momento de inercia en relación con el esfuerzo flexionante. En la figura mostrada puede notarse cómo se vería afectada una porción de una viga y un elemento diferencial de la misma al aplicarse el momento flector.

Podemos plantear una expresión para la deformación unitaria en el elemento:

  Lim s 0

Donde:

s ' s s

Δs = Δx = ρ·Δθ Δs’ = (ρ + y)·Δθ

Entonces, replanteamos la deformación de la siguiente forma:

(   y )        0   

  Lim Finalmente:

y    0   

  Lim 

y



Nótese que la deformación normal varía linealmente. En el eje neutro, desde el cual se miden las distancias “y”, no ocurrirá deformación.

Y las

deformaciones que ocurran por encima el eje neutro serán de signo contrario a las que ocurren por debajo del mismo. Recordando la Ley de Hooke,

  E  Podemos plantear una primera expresión del esfuerzo, en función de la variable “y”:

  E

y



Donde “E” y “ρ” son constantes. Ahora, aplicando la primera condición de la estática sobre la sección transversal, tenemos:

 dF     dA  0

Sustituimos la expresión de “σ” obtenida anteriormente y nos queda

E

   dA     y  dA  0 Dado que ningún “dA” es igual a cero, tenemos que la única solución posible para esta ecuación es que se cumpla lo siguiente:

 y  dA  0 Esto nos indica que el eje neutro, desde el cual se miden todas las distancias “y”, debe coincidir con el centroide de la sección transversal de la viga. Ahora, aplicaremos la segunda condición de la estática sobre la sección. Nos queda:

 M  M     y  dA  0 De forma similar a la anterior, sustituimos la expresión de σ obtenida mas atrás y obtenemos:

M     y  dA  M 

E



  y 2  dA  0

Donde el término que encierra la integral corresponde al momento de inercia de la sección transversal respecto al eje neutro. Designando con la letra “I” a esta propiedad de área, podemos rescribir la expresión de la siguiente forma:

M

E



I  0

Recordando una expresión obtenida en líneas anteriores:

  E

y





 y



E



Al sustituir esto en la ecuación que venimos trabajando, nos queda finalmente:

M

 y

I  0



My I

Donde puede observarse que el esfuerzo normal varía linealmente respecto a la dirección “y”. 7.- Esfuerzo de diseño a usarse en el diseño de vigas. Para logran un diseño óptimo de una viga es necesario realizar ciertos cálculos como lo son: longitud, colocación de cargas, colocación de apoyos, tamaño y forma de su sección transversal, y material de la viga. Normalmente las tres consideraciones se calculan dependiendo del trabajo y/o uso pensado. Las otras tres consideraciones tiene que ser calculadas de acuerdo a dos únicas opciones, si se conoce el material, se tendría que calcular la forma y tamaño de la sección transversal, viceversa, todo esto se establece por medio de un factor, conocido como esfuerzo permisible o de diseño el cual nos establece el valor de confiabilidad o de seguridad que nos brinda el diseño. 8.- Diseño de vigas que soporten cargas con seguridad. Ver ejercicios 9.- Definir el modulo de sección de la sección transversal de una viga. De la formula general de la viga se establece que el momento de inercia I y la distancia C, son propiedades geométricas de la sección transversal de la viga, por lo que el cociente I/c, también lo es. Lo que se define como modulo de sección de la viga(S), estableciendo la formula principal de la siguiente manera:

10.- Perfiles estructurales Existen una variedad de perfiles los cuales se utilizan dependiendo del trabajo a realizar y de la ubicación de las cargas aplicadas, ya que unos son más resistentes que otros, debido a que distribuyen y almacenan esfuerzos de manera diferente. 11.- Concentradores de esfuerzos Debido a que existe la posibilidad de que se presenten cambios en la sección transversal del elemento por la aplicación de esfuerzos locales mayores que los que fueron calculados, también existen partes de los elementos estructurados como hombros, ranuras, cuñeros, donde se magnifican los esfuerzos aplicados, por tal motivo el esfuerzo normal debido a la flexión ha de ser multiplicado por un factor Kt el cual es conocido como factor de concentración de esfuerzo. 12.- Centro de Flexión Es aquel centro en donde las cargas aplicadas a la viga no tiendan a hacerla girar, si una sección tiene eje de simetría y si las cargas pasan por el entonces también lo hacen por el centro de flexión. ESFUERZOS CORTANTES EN VIGAS 1.- Determinación de los esfuerzos cortante en una viga. Los esfuerzos cortantes son importantes particularmente en el diseño de vigas cortas y gruesas. Una carga transversal en la viga produce esfuerzos normales y los esfuerzos cortantes en la sección transversal de la misma.

V

V

En la figura se presenta un elemento el cual es sometido a cargas de fuerzas transversales (V), logrando con esto la formación de esfuerzos cortantes, los cuales pueden ser calculados sus magnitudes en un punto cualquiera de una sección transversal por la siguiente ecuación:

Donde: V= Fuerza cortante en la sección de interés: el valor de V puede calcularse con el diagrama de fuerza cortante, utilizando su valor máximo absoluto ya sea positivo o negativo. I = Momento de inercia: de la sección transversal de la viga con respecto a su eje centroidal. t: Espesor de la sección transversal medido en el eje donde se va a calcular esfuerzo cortante. Q= Momento estático o primer momento de área. 2.- Primer Momento de Área o momento estático El momento estático o primer momento de área se define como el momento con respecto al eje centroidal general, del área de la parte se la sección transversal alejada del eje donde se va a calcular el esfuerzo cortante, El momento estático viene expresado por la siguiente ecuación matemática:

Donde:

Ap= Área de la parte de la sección transversal durante del eje donde se va a calcular el esfuerzo cortante. ỹ = distancia al centroide de Ap medida a partir del eje centroidal de la sección transversal completa. El calculo del valor de Q es critica para el uso correcto de la formula de cortante, por tal motivo es conveniente bosquejar o dibujar la sección transversal de la viga y en seguida realizar el área parcial Ap, localizando el centroide de dicha área. 3.- Calculo del esfuerzo cortante máximo La mayoría de las aplicaciones requieren que se determine el esfuerzo cortante máximo, para con ello lograr evaluar la confiabilidad del criterio en el diseño, en la mayoría de las secciones usadas el esfuerzo cortante transversal máximo ocurre en el eje neutro siempre y cuando el espesor en ese punto no sea mayor que algún otro eje., basándonos en esto el calculo del esfuerzo cortante transversal generado en un punto ubicado en el eje centroidal de la sección transversal daría como resultado el esfuerzo cortante máximo lo que hace que sean innecesario el calculo en cualquier otro punto que se encuentre fuera del eje centroidal de la sección. Existes secciones tales como triangular, en forma de cruz, rómbica, en forma de T, donde el eje neutro no se encuentra ubicado en la sección de menor espesor sino de mayor espesor, en estos casos el esfuerzo cortante máximo puede ocurrir en cualquier eje o punto de la sección. Desde los puntos de vistas descritos anteriormente podemos llegar a la conclusión de que:  

El esfuerzo cortante aplicado en los bordes de la sección lejos del eje centroidal es cero El esfuerzo cortante máximo ocurre en el eje neutro siempre y cuando el espesor en ese punto no sea mayor que algún otro eje

4.- Análisis de la formula del Esfuerzo Cortante Transversal 4.1.- Esfuerzo cortante máximo en una viga rectangular. La figura muestra una sección transversal de espesor t y altura h, de tal manera que el momento de inercia (I) y el primer momento de área (Q) quedan

establecidos

mediante

la

siguiente expresión

t=t Ahora al sustituir las ecuaciones del momento de inercia y del primer momento de área en la formula de la fuerza cortante nos queda lo siguiente:

Aplicando doble C

Eliminando términos semejante y simplificando queda la siguiente expresión

Conociendo que el área de un rectángulo es A=th, la ecuación nos queda expresada de la siguiente manera:

4.2.- Esfuerzo cortante en una viga Estándar Americana. Estos perfiles estructurales, también conocidos como vigas S disponen de almas relativamente esbeltas, es decir altas, delgadas, proporcionadas y simétrica, lo cual genera una distribución de esfuerzos cortantes tal, que la mayor concentración de esfuerzo cortante este siempre en el centro, y vaya disminuyendo de una forma pausada y lenta mientas se alejan los ejes de referencias al eje centroidal para luego llegar a ser nula de manera drástica en los patines de la viga.

t

Por estas razones el esfuerzo cortante máximo en el alma esta estipulado por la ecuación:

En esta formula la letra t esta representando al espesor del alma y la letra h representa a la altura total de la viga, con lo cual se calcula un esfuerzo cortante menor a 15% del esfuerzo real de la viga.