ESFUERZO

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UNIDAD I ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS 1.1 INTRODUCCIÓN Esta primera unidad trata de esfuerzos producidos en un cuerpo debido a cargas externas y campos de fuerza. En la segunda y tercera unidad se trata con las deformaciones y esfuerzos producidos por las cargas y las relaciones entre las deformaciones y los esfuerzos. Las fallas bajo condiciones de cargas ocurren por debajo del límite de esfuerzo, en estructuras con fallas pequeñas o grietas. Tales fallas muestran que en el estudio de la fuerza convencional, no importa con qué precisión se determinen, no siempre es suficiente para garantizar la integridad estructural bajo las condiciones operacionales. El campo de estudio que considera rupturadeformación como una función de cargas aplicadas es conocido como mecánica de la fractura. Como resultado de investigaciones durante las últimas décadas, la mecánica de la fractura es usada en muchos problemas prácticos de la ingeniería para resolver problemas de análisis de falla, selección de material, y predicción de vida estructural. 1.2 DEFINICIONES Dos tipos básicos de fuerzas actúan en un cuerpo para producir esfuerzos, las fuerzas del primer tipo son llamadas fuerzas superficiales o de superficie por la simple razón de que actúan en las superficies del cuerpo. Generalmente se ejercen fuerzas de superficie cuando un cuerpo entra contacto con otro. Las fuerzas del segundo tipo son llamadas fuerzas de cuerpo ya que actúan en cada elemento del cuerpo. Las fuerzas de cuerpo normalmente son producidas por campos de fuerza centrífuga, gravitacional, u otros campos de fuerzas. Las fuerzas de cuerpo más comunes son gravitacionales y están hasta cierto punto presente en casi todos los casos. En muchas aplicaciones prácticas son muy pequeñas comparadas con las fuerzas superficiales, por tal motivo pueden ser ignoradas sin errores serios. Las fuerzas de cuerpo son incluidas en los análisis siguientes por motivo demostrativos. Considere una superficie arbitraria interna o externa, que puede ser plana o curvilínea como se muestra en la Fig. 1.1. Sobre un área pequeña ∆A de esta superficie en las cercanías de un punto arbitrario P actúa un sistema de fuerzas con una resultante representada por el vector ∆Fn. Debe notarse que la línea de acción del vector fuerza ∆Fn no necesariamente coincide con la normal exterior n asociada con el elemento de área ∆A. Si la fuerza resultante ∆Fn es dividida por el incremento de área ∆A, se obtiene el esfuerzo promedio que actúa en el área. En el límite como ∆A se aproxima a cero, se obtiene una cantidad definida como el esfuerzo resultante Tn que actúa en el punto P.

∆Fn ∆A → 0 ∆A

Tn = lim

(1.1)

La línea de acción de este esfuerzo resultante Tn coincide con la línea de acción de la fuerza resultante ∆Fn, como ilustra en la Fig. 1.2. Es importante notar que el esfuerzo resultante Tn es una función de la posición del punto P en el cuerpo y la orientación del plano que pasa a través del punto y es identificado por su normal exterior n. En un cuerpo sujeto a un sistema arbitrario de cargas, la magnitud y la dirección del esfuerzo resultante Tn en cualquier punto P cambian con la orientación del plano en consideración. Como se ilustra en la Fig. 1.2, es posible descomponer Tn en dos componentes: una σn normal a la superficie que es conocida como el esfuerzo normal resultante, mientras la componente τn es conocida como el esfuerzo cortante resultante.

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FIGURA 1.1 Superficie arbitraria (interna o externa) mostrando el Resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el elemento de área ∆A

FIGURA 1.2 Descomposición del esfuerzo resultante Tn en sus componentes normales y tangenciales y σn, τn

Pueden obtenerse las componentes Cartesianas de esfuerzo para cualquier sistema de coordenadas a partir del esfuerzo resultante. Considere una superficie cuya normal exterior esta en la dirección positiva z, como se muestra en la Fig. 1.3.

FIGURA 1.3 Proyección del esfuerzo resultante Tn en tres componentes cartesianas τzx, τzy y σzz

Si el esfuerzo resultante Tn asociado con esta superficie particular es proyectada a lo largo de los ejes x, y, y z, se obtienen las componentes cartesianas de esfuerzo τzx, τzy, y σzz. Los componentes τzx y τzy son esfuerzos cortantes debido a que actúan tangente a la superficie en consideración. La componente σzz es un esfuerzo normal ya que actúa normal a la superficie. Si se sigue el mismo procedimiento usando superficies cuyo normal exterior está en las direcciones positivas x y y, se encuentran dos componentes cartesianas mas, τxy, τxz, σxx, y τyx, τyz, σyy. Se puede resumir los tres grupos con tres componentes Cartesianas en el arreglo siguiente llamado Tensor de Esfuerzos:

σ xx τ xy τ xz τ yz σ yy τ yz τ zx τ zy σ zz

Normal exterior paralela al eje x Normal exterior paralela al eje y Normal exterior paralela al eje z

En este arreglo, existen nueve componentes cartesianas de esfuerzo. Estas componentes pueden colocarse en las caras de un pequeño elemento cúbico, como se muestra en la Fig. 1.4.

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FIGURA 1.4 Las componentes Cartesianos de esfuerzo actúan sobre las caras de un pequeño elemento cúbico.

La convención del signo empleado consiste en colocar las componentes cartesianas de esfuerzo en las caras de este cubo de la siguiente manera: si el normal exterior que define la cara del cubo está en la dirección creciente de x, y, o z, entonces la normal asociada y las componentes de esfuerzo cortante también están en la dirección positiva de x, y, o z. Si el normal exterior está en la dirección negativa de x, y, o z, entonces la normal y las componentes de esfuerzo cortante también están en la dirección negativa de x, y, o z. En cuanto a la convención del subíndice, el primer subíndice se refiere a la normal exterior que define el plano sobre el cual actúan las componentes de esfuerzo y el segundo subíndice da la dirección en que actúan los esfuerzos. Finalmente, para esfuerzos normales, los signos positivos indican tensión y los signos negativos indican compresión. 1.3 ESFUERZO EN UN PUNTO En un punto dado dentro de un cuerpo, la magnitud y dirección del esfuerzo resultante Tn dependen de la orientación del plano que pasa a través del punto. Así un número infinito de vectores de esfuerzo resultante puede usarse para representar el esfuerzo resultante en cada punto a partir de un número infinito de planos pueden pasar a través del punto. Esto es fácil de mostrar, sin embargo, la magnitud y dirección de cada uno de estos vectores de esfuerzo resultante pueden darse en términos de las nueve componentes cartesianas de esfuerzo que actúan en el punto. Esto se puede comprobar considerando el Equilibrio del tetraedro elemental mostrado en la Fig. 1.5.

FIGURA 1.5 Tetraedro elemental en un punto P que muestra el esfuerzo promedio que actúa sobre sus caras.

En esta figura los esfuerzos actúan sobre las cuatro caras del tetraedro representado por sus valores promedios. El valor promedio es denotado poniendo un signo sobre el símbolo del M.C. IGNACIO ARRIOJA CÁRDENAS

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esfuerzo. Para que el tetraedro esté en Equilibrio, la condición siguiente debe satisfacerse. Primero considere Equilibrio en la dirección x:

1 T~nx A − σ~ xx A cos(n, x ) − τ~yx A cos(n, y ) − τ~zx A cos(n, z ) + F~x   hA = 0 3 Donde: h = La altura de tetraedro A = El área de base de tetraedro Fx = Intensidad promedio de fuerza de cuerpo en dirección x Tnx = Componente del esfuerzo resultante en dirección x Considerando que: Acos(n, x), Acos(n, y), y Acos(n, z) son las proyecciones del área A sobre los planos yz, xz, y xy, respectivamente. Haciendo que la altura h→ →0, después de eliminar el factor común A de cada término de la expresión, se observa que el término de fuerza de cuerpo desaparece, los esfuerzos se vuelven esfuerzos exactos al punto P, y la expresión anterior se vuelve:

Tnx = σ xx cos(n, x ) + τ yx cos(n, y ) + τ zx cos(n, z )

(1.2a)

Se obtienen expresiones similares considerando el Equilibrio en las direcciones y y z:

Tny = τ xy cos(n, x ) + σ yy cos(n, y ) + τ zy cos(n, z )

(1.2b)

Tnz = τ xz cos(n, x ) + τ yz cos(n, y ) + σ zz cos(n, z )

(1.2c)

Una vez obtenidas las tres componentes cartesianas del esfuerzo resultante para un plano en particular mediante las Ecs. (1.2), la magnitud del esfuerzo resultante Tn se puede determinar usando la expresión

Tn = Tnx2 + Tny2 + Tnz2 Los tres cosenos directores que definen la línea de acción del esfuerzo resultante Tn son:

− cos(Tn , x) =

Tnx Tn

cos(Tn , y ) =

Tny Tn

cos(Tn , z ) =

Tnz Tn

El esfuerzo normal σn y el esfuerzo cortante τn que actúan en el plano en consideración pueden obtenerse mediante las expresiones:

σ n = Tn cos(Tn , n)

y

τ n = Tn sen(Tn , n)

El ángulo entre el vector de esfuerzo resultante Tn y la normal n al plano puede ser determinado usando la relación conocida (producto escalar):

cos(Tn , n) = cos(Tn , x) cos(n, x) + cos(Tn , y ) cos(n, y ) + cos(Tn , z ) cos(n, z ) Debe notarse que el esfuerzo normal σn se puede determinar considerando las proyecciones de Tnx, Tny, y Tnz hacia la normal del plano en consideración. Así

σ n = Tnx cos(n, x) + Tny cos(n, y ) + Tnz cos(n, z ) Una vez que σn ha sido determinado, τn puede encontrarse mediante:

τ n = Tn2 − σ n2

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1.4 ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE ESFUERZO En un cuerpo sujeto a un sistema de fuerzas de cuerpo y de superficie, se producen esfuerzos de magnitud y dirección variables a lo largo del cuerpo. La distribución de estos esfuerzos debe ser tal que el Equilibrio global del cuerpo se mantiene; además, el Equilibrio de cada elemento en el cuerpo debe mantenerse. Esta sección trata del Equilibrio de los elementos individuales del cuerpo. En el elemento mostrado en la figura 1.6, el esfuerzo y la componente de fuerzas de cuerpo actúan en la dirección x como se muestra:

FIGURA 1.6 Pequeño elemento de un cuerpo, donde se muestran los esfuerzos que actúan solo en la dirección x.

Componentes similares actúan en las direcciones y y z. Los valores del esfuerzo mostrado son esfuerzos promedio que actúan sobre las caras de un elemento que se asume que es muy pequeño. Una sumatoria de fuerzas en la dirección x da:

∂τ yx   ∂σ xx ∂τ zx      σ xx + ∂x dx − σ xx  dydz −  τ yx + ∂y dy − τ yx  dxdz +  τ zx + ∂z dz − τ zx  dxdy + Fx dxdydz = 0       Dividiendo a por (dx dy dz) obtenemos:

∂σ xx ∂τ yx ∂τ zx + + + Fx = 0 ∂x ∂y ∂z

(1.3a)

Considerando la fuerza y las componentes del esfuerzo las direcciones y y z, puede establecerse de forma simple que:

∂τ xy

+

∂σ yy

+

∂τ zy

+ Fy = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xz ∂τ yz ∂σ zz + + + Fz = 0 ∂x ∂y ∂z

(1.3b)

(1.3c) 3

3

Donde Fx, Fy, Fz son las fuerzas de cuerpo (en Ib/in o N/m ) en las direcciones x, y y z, respectivamente. Las ecuaciones (1.3) son conocidas como ecuaciones de Equilibrio de esfuerzo que deben satisfacer la distribución de esfuerzos teórica o experimentalmente. Considere el elemento mostrado en la Fig. 1.7. Sólo se muestran aquéllas componentes de esfuerzo que producirán un momento alrededor del eje y.

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FIGURA 1.7 Pequeño elemento de un cuerpo. Muestra los esfuerzos que produce un momento sobre el eje y.

Se ha seleccionado el origen del sistema coordenado en el centroide del elemento, las componentes de esfuerzos normales y las fuerzas de cuerpo no producen ningún momento. Una suma de momentos sobre el eje y da la expresión siguiente:

∂τ zx dz  ∂τ zx dz  ∂τ xz dx  ∂τ xz dx  dz  dz  dx  dx  =0  τ zx +  dx ⋅ dy +  τ zx +  dx ⋅ dy −  τ xz +  dy ⋅ dz −  τ xz +  dy ⋅ dz ∂z 2  2  ∂z 2  2  ∂x 2  2  ∂x 2  2  Que se reduce a:

τ zx dx ⋅ dy ⋅ dz − τ xz dx ⋅ dy ⋅ dz = 0

Por consiguiente,

τ zx = τ xz

(1.4a)

De manera similar, tomando momentos alrededor de los ejes x y z, respectivamente, obtenemos: τ xy = τ yx (1.4b)

τ yz = τ zy

(1.4c)

Las expresiones encontradas con las Ecs. (1.4) reduce las nueve componentes cartesianas de esfuerzo a seis componentes independientes, que pueden expresarse en el siguiente arreglo:

σ xx τ xy τ xz τ yx σ yy τ yz τ zx τ zy σ zz 1.5 LEYES DE TRANSFORMACIÓN DE ESFUERZO Se ha mostrado previamente que el vector de esfuerzo resultante Tn que actúa en un plano arbitrario definido por la normal exterior n puede ser determinado sustituyendo las seis componentes cartesianas independientes del esfuerzo en las Ecs. (1.2). sin embargo, a menudo se desea hacer otra transformación, es decir, a partir de las componentes del esfuerzo σxx, σyy, σzz, τxy, τyz, τzx que están referidas a un sistema coordenado Oxyz, encontrar las componentes del esfuerzo σx'x', σy'y', σz'z', τx’y’, τy’z’, τz’x’ que estén referidas a un sistema coordenado Ox'y'z'. Las ecuaciones que dan dicha transformación se encuentran en esta sección.

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Considere un elemento Fig. 1.8 con una cara inclinada que tiene una normal exterior n. Dos direcciones mutuamente perpendiculares n' y n" se pueden establecer. El esfuerzo resultante Tn que actúa en la cara inclinada puede proyectarse a lo largo de las direcciones n, n', y n" teniendo los esfuerzos σnn, τnn’, y τnn’’. Esta descomposición del esfuerzo resultante en sus componentes se puede hacer fácilmente utilizando las componentes cartesianas Tnx, Tny, y Tnz. De tal forma que:

σ nn = Tnx cos(n, x) + Tny cos(n, y ) + Tnz cos(n, z ) τ nn ' = Tnx cos(n ', x) + Tny cos(n ', y ) + Tnz cos(n ', z ) τ nn '' = Tnx cos(n '', x) + Tny cos(n '', y ) + Tnz cos(n '', z ) Si los resultados de las Ecs. (1.2) y (1.4) se sustituye en estas expresiones; se obtienen las relaciones siguientes:

σ nn = σ xx cos 2 (n, x) + σ yy cos 2 (n, y ) + σ zz cos 2 (n, z ) + 2τ xy cos(n, x) cos(n, y ) + 2τ yz cos(n, y ) cos(n, z )

(1.5a)

+ 2τ zx cos(n, z ) cos(n, x)

τ nn ' = σ xx cos(n, x) cos(n ', x) + σ yy cos(n, y ) cos(n ', y ) + σ zz cos(n, z ) cos(n ', z ) + τ xy [ cos(n, x) cos(n ', y ) + cos(n, y ) cos(n ', x)] + τ yz [ cos(n, y ) cos(n ', z ) + cos(n, z ) cos(n ', y ) ]

(1.5b)

+ τ zx [ cos(n, z ) cos(n ', x) + cos(n, x) cos(n ', z )]

τ nn '' = σ xx cos(n, x) cos(n '', x) + σ yy cos(n, y ) cos(n '', y ) + σ zz cos(n, z ) cos(n '', z ) + τ xy [ cos(n, x) cos(n '', y ) + cos(n, y ) cos(n '', x)] + τ yz [ cos(n, y ) cos(n '', z ) + cos(n, z ) cos(n '', y ) ]

(1.5c)

+ τ zx [ cos(n, z ) cos(n '', x) + cos(n, x) cos(n '', z )]

FIGURA 1.8 La proyección de Tn en tres componentes cartesianas σnn, τnn', y τnn''.

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Las ecuaciones (1.5) se utilizan para determinar las componentes cartesianas del esfuerzo normal y cortante de punto conocido con cualquier plano de corte conocido su ventor normal que lo caracteriza. Las expresiones para las componentes de esfuerzo σx'x', σy'y', σz'z', τx'y', τy'z', que τz'x' puede obtenerse directamente de las Ec. (l.5a) o las Ec. (l.5b) empleando el procedimiento siguiente. Para determinar σx'x' seleccione un plano que tenga una normal exterior n coincidente con x'. Un esfuerzo resultante Tn = Tx', es asociado este plano. Se obtiene el esfuerzo normal que σx'x' asociado con este plano directamente de la Ec. (l.5a) sustituyendo x' para n. Así:

σ x ' x ' = σ xx cos 2 ( x ', x) + σ yy cos 2 ( x ', y ) + σ zz cos 2 ( x ', z ) + 2τ xy cos( x ', x) cos( x ', y )

(1.6a)

+ 2τ yz cos( x ', y ) cos( x ', z ) + 2τ zx cos( x ', z ) cos( x ', x) Seleccionando n coincidente con el eje y' y después con z' y siguiendo el mismo procedimiento, las expresiones para el σy'y' y σz'z' pueden obtenerse como sigue:

σ y ' y ' = σ yy cos 2 ( y ' , y ) + σ zz cos 2 ( y ' , z ) + σ xx cos 2 ( y ' , x )

+ 2τ yz cos( y ' , y ) cos( y ' , z ) + 2τ zx cos( y ' , z ) cos( y ' , x )

(1.6b)

+ 2τ xy cos( y ' , x ) cos( y ' , y )

σ z ' z ' = σ zz cos 2 ( z ' , z ) + σ xx cos 2 ( z ' , x ) + σ yy cos 2 ( z ' , y )

+ 2τ zx cos( z ' , z ) cos( z ' , x ) + 2τ xy cos( z ' , x ) cos( z ' , y )

(1.6c)

+ 2τ yz cos( z ' , y ) cos( z ' , z )

Las componentes del esfuerzo cortante τx’y’ se obtiene seleccionando un plano cuya normal exterior coincide con el eje x’ y el plano con dirección n’ coincide con y’, como se muestra en la figura 1.9. El esfuerzo cortante τx’y’ se obtiene de la ecuación (1.5b) sustituyendo x’ por n y y’ por n’, de tal forma que:

τ x ' y ' = σ xx cos( x' , x ) cos( y ' , x )

+ σ yy cos( x' , y ) cos( y ' , y ) + σ zz cos( x' , z ) cos( y ' , z ) + τ xy [cos( x' , x ) cos( y ' , y ) + cos( x' , y ) cos( y ' , x )]

(1.6d)

+ τ yz [cos( x' , y ) cos( y ' , z ) + cos( x' , z ) cos( y ' , y )] + τ zx [cos( x' , z ) cos( y ' , x ) + cos( x' , x ) cos( y ' , z )]

Seleccionando n y n' para que coincidan con los ejes y' y z', y después con los ejes z' x', pueden encontrarse expresiones adicionales respectivamente para τy’z’ y τz’x’, como sigue:

τ y ' z ' = σ yy cos( y ', y ) cos( z ', y ) + σ zz cos( y ', z ) cos( z ', z ) + σ xx cos( y ', x) cos( z ', x) + τ yz [ cos( y ', y ) cos( z ', z ) + cos( y ', z ) cos( z ', y ) ]

(1.6e)

+ τ zx [ cos( y ', z ) cos( z ', x) + cos( y ', x) cos( z ', z )]

+ τ xy [ cos( y ', x) cos( z ', y ) + cos( y ', y ) cos( z ', x) ]

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τ z ' x ' = σ zz cos( z ' , z ) cos( x' , z ) + σ xx cos(z ' , x ) cos( x' , x ) + σ yy cos( z ' , y ) cos(x' , y ) + τ zx [cos( z ' , z ) cos( x' , x ) + cos( z ' , x ) cos(x' , z )]

+ τ xy [cos( z ' , x ) cos( x' , y ) + cos( z ' , y ) cos( x' , x )]

(1.6f)

+ τ yz [cos( z ' , y ) cos( x' , z ) + cos( z ' , z ) cos( x' , y )]

Estas seis ecuaciones permiten que las seis componentes cartesianas de esfuerzo en un sistema coordenado Oxyz puedan ser transformadas en un nuevo sistema diferente de seis componentes cartesianas de esfuerzo Ox'y'z'. 1.6 ESFUERZOS PRINCIPALES En la sec. 1.2 el vector de esfuerzo resultante Tn en un punto dado P dependía de la dirección del plano en el que el esfuerzo actuaba. Si un plano se selecciona de tal forma que Tn coincida con la su normal exterior n, como se muestra en la Fig. 1.10, se observa que el esfuerzo cortante τn desaparece y que el Tn, σn, y n coinciden.

FIGURA 1.10 La coincidencia de Tn con la normal exterior n indica que los esfuerzos cortantes desaparecen y ese σn se pone igual en magnitud a Tn

Si n se selecciona para que coincida con Tn, entonces el plano definido por n es conocido como un plano principal. La dirección dada por n es una dirección principal, y el esfuerzo normal que actúa en este plano es un esfuerzo principal. En cada estado de esfuerzo existirán por lo menos tres planos principales que son mutuamente perpendiculares, y asociado con estos planos principales hay tres esfuerzos principales distintos uno del otro. Estas expresiones pueden ser establecidas refiriéndose a la Fig. 1.10 y notando que:

Tnx = σ n cos(n, x)

Tny = σ n cos(n, y )

Tnz = σ n cos(n, z )

(a)

Sí las Ecs. (1.2) se sustituye en las Ecs. (a), se obtienen las expresiones siguientes:

σ xx cos(n, x) + τ yx cos(n, y ) + τ zx cos(n, z ) = σ n cos(n, x) τ xy cos(n, x) + σ yy cos(n, y ) + τ zy cos(n, z ) = σ n cos(n, y )

(b)

τ xz cos(n, x) + τ yz cos(n, y ) + σ zz cos(n, z ) = σ n cos(n, z ) Reordenando las Ecs (b) se obtiene: M.C. IGNACIO ARRIOJA CÁRDENAS

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(σ xx − σ n ) cos(n, x) + τ yx cos(n, y ) + τ zx cos(n, z ) = 0

τ xy cos(n, x) + (σ yy − σ n ) cos(n, y ) + τ zy cos(n, z ) = 0

(c)

τ xz cos(n, x) + τ yz cos(n, y ) + (σ zz − σ n ) cos(n, z ) = 0 Resolviendo para cualquiera de los cosenos directores, por ejemplo para cos (n, x), por determinantes obtenemos

0 0 cos(n, x) =

0

τ yx

τ zx τ zy

σ yy − σ n τ yz σ zz − σ n

(d)

σ xx − σ n τ yx τ zx τ xy σ yy − σ n τ zy τ xz τ yz σ zz − σ n

Es claro que las soluciones del determinante para los cosenos directores del plano principal sólo existen sí el determinante del denominador es cero. Así

σ xx − σ n τ yx τ zx τ xy σ yy − σ n τ zy = 0 τ xz τ yz σ zz − σ n

(e)

Resolviendo el determinante después de sustituir las Ecs. (1.4) encontramos la siguiente ecuación cúbica.

σ n3 − (σ xx + σ yy + σ zz )σ n2 + (σ xxσ yy + σ yyσ zz + σ zz σ xx − τ xy2 − τ yz2 − τ zx2 )σ n

(

)

− σ xxσ yyσ zz − σ xxτ yz2 − σ yyτ zx2 − σ zzτ xy2 + 2τ xyτ yzτ zx = 0

(1.7)

Las raíces de esta ecuación cúbica son los tres esfuerzos principales. Sustituyendo las seis componentes cartesianas de esfuerzo en esta ecuación, podemos encontrar el valor de σn y se pueden obtener tres raíces reales. Existen tres posibles soluciones. 1. Si σ1, σ2 y σ3 son distintos, entonces n1, n2, y n3 son únicos y mutuamente perpendiculares. 2. Si σ1 = σ2 ≠ σ3 entonces n3 es única y cada dirección perpendicular a n3 es una dirección principal asociada con σ1 = σ2. 3. Si σ1 = σ2 = σ3 entonces existe un estado hidrostático de esfuerzo y cada dirección es una dirección principal. Una vez que los tres esfuerzos principales se han encontrado, se pueden sustituir individualmente en las Ecs. (c) para dar tres ecuaciones simultáneas junto con su relación:

cos 2 (n, x) + cos 2 (n, y ) + cos 2 (n, z ) = 1 Cuando se trabaja con esfuerzos principales es importante ordenarlos de tal manera que σ1 > σ2 > σ3 Entonces el esfuerzo es ordenado en esta forma, σ1 es el esfuerzo normal que tiene el valor algebraico más grande en un punto dado y σ3 es el esfuerzo normal que tiene el valor algebraico más pequeño. M.C. IGNACIO ARRIOJA CÁRDENAS

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Otro concepto importante son los invariantes de esfuerzo. Se comentó en la sec 1.5, que un estado de esfuerzo puede ser descrito por sus seis componentes cartesianas de esfuerzo con respecto al sistema coordenado Oxyz o en el sistema coordenado Ox'y'z'. Además, las Ecs. (1.6) fueron establecidas para dar la relación entre estos dos sistemas. Además de las Ecs. (1.6), existen otras tres relaciones qué se llaman invariantes de esfuerzo. Para establecer estos invariantes, refiérase a las Ec. (1.7) que se escriben en términos de los esfuerzos principales σ1, σ2, y σ3. Se puede decir que σ1, σ2, y σ3 son independientes del sistema cartesiano coordenado empleado, entonces está claro que los coeficientes de la Ec. (1.7) qué contiene las componentes cartesianas de esfuerzo también deben ser independientes o invariantes del sistema coordenado. Así, de las Ec. (1.7) notamos que:

I 1 = σ xx + σ yy + σ zz = σ x ' x ' + σ y ' y ' + σ z ' z '

I 2 = σ xxσ yy + σ yyσ zz + σ zz σ xx − τ xy2 − τ yz2 − τ zx2 = σ x ' x 'σ y ' y ' + σ y ' y 'σ z ' z ' + σ z ' z 'σ x ' x ' − τ x2' y ' − τ y2' z ' − τ z2' x ' I 3 = σ xxσ yyσ zz − σ xxτ yz2 − σ yyτ zx2 − σ zzτ xy2 + 2τ yxτ yzτ zx

(1.8)

= σ x ' x 'σ y ' y 'σ z ' z ' − σ x ' x 'τ y2 ' z ' − σ y ' y 'τ z2' x ' − σ z ' z 'τ x2' y ' + 2τ y ' x 'τ y ' z 'τ z ' x '

Donde I1, I2, y I3 son el primero, segundo, y tercer invariantes de esfuerzo, respectivamente. Si el sistema coordenado Oxyz se selecciona coincidentemente con las direcciones principales, las Ecs. (1.8) se reducen a:

I1 = σ 1 + σ 2 + σ 3

I 2 = σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1

I 3 = σ 1σ 2σ 3

(1.9)

1.7 ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO En las ecuaciones desarrolladas para el esfuerzo cortante máximo, un caso especial será considerado en que τxy =ττyz = τzx = 0. Sin perder generalidad con el hecho considerar este caso especial ya que involucra sólo una orientación del los ejes de referencia coincidiendo con las direcciones principales, tenemos: En el siguiente desarrollo n1, n2, y n3 se usarán para denotar las direcciones principales. En la sec. 1.3 el esfuerzo resultante en un plano oblicuo se dio por

Tn2 = Tnx2 + Tny2 + Tnz2

(a)

La sustitución de valores para Tnx Tny y Tnz de las Ecs. (1.2) con los esfuerzos normales principales y cortantes ceros da:

Tn2 = σ 12 cos 2 (n, n1 ) + σ 22 cos 2 (n, n2 ) + σ 32 cos 2 (n, n3 )

(b)

También de las Ec. (l.5a)

σ n = σ 1 cos 2 (n, n1 ) + σ 2 cos 2 (n, n2 ) + σ 3 cos 2 (n, n3 )

(c)

Ya que τn = Tn - σn , una expresión para el esfuerzo cortante τn en el plano oblicuo se obtiene de las Ecs. (b) y (c) después de sustituir l = cos (n, n1), m = cos (n, n2), y n = cos (n, n3), esto es: 2

2

2

τ n2 = σ 12l12 + σ 22 m2 + σ 32 n2 − (σ 1l 2 + σ 2 m 2 + σ 3 n 2 ) 2

2

(d)

Pueden obtenerse los planos en los que ocurren esfuerzos cortantes máximos y mínimos de las Ec. (d) derivando con respecto a los cosenos directores l, m, y n. Uno de los cosenos directores, por ejemplo con respecto a n, en la Ec. (d) puede ser eliminado y resolviendo la expresión:

l 2 + m2 + n2 = 1 M.C. IGNACIO ARRIOJA CÁRDENAS

(e)

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Para l y sustituyendo en la Ec. (d). Así

τ n2 = (σ 12 − σ 32 )l 2 + (σ 22 − σ 32 )m 2 + σ 32 −  (σ 1 − σ 3 )l 2 + (σ 2 − σ 3 )m 2 + σ 3 

2

(f)

Tomando las derivadas parciales de la Ec. (f), primero con respecto a l y luego con respecto a m, e igualando a cero, las ecuaciones siguientes se obtienen para determinar los cosenos directores asociados con los esfuerzos cortantes máximos y mínimos:

1  l  (σ 1 − σ 3 ) − (σ 1 − σ 3 )2 − (σ 2 − σ 3 )m 2  = 0 2  1  m  (σ 2 − σ 3 ) − (σ 1 − σ 3 ) 2 − (σ 2 − σ 3 )m 2  = 0 2 

(g) (h)

Una solución de estas ecuaciones es obviamente l = m = O. Entonces de las Ec.(e), n = ±1 (un plano principal con cortante cero). Las soluciones diferentes de cero también son posibles para 1/2 estas ecuaciones. Considere primero que m = 0; entonces de la Ec. (g), l = ±(1/2) y de la Ec. (e), 1/2 1/2 1/2 n = ±(1/2) . Además si l = 0, entonces de la Ec. (h), m = ±(1/2) y de la Ec. (e), n = ± (1/2) . Repitiendo el procedimiento anterior eliminando l y m a su vez de la Ec. (f) obtenemos otros valores para los cosenos directores que hacen el cortante máximo o mínimo. Sustituyendo los 1/2 1/2 valores l = ±(1/2) y n = ±(1/2) en la Ec. (d) los resultados son:

1

1 

1

1

 

2

τ n2 = σ 12 + 0 + σ 32 −  σ 1 + 0 + σ 3  2 2 2 2 Por lo que:

τn =

1 (σ 1 − σ 3 ) 2

Semejantemente, usando los otros valores para los cosenos directores que hacen que el cortante sea el máximo da

τn =

1 (σ 1 − σ 2 ) 2

y

τn =

1 (σ 2 − σ 3 ) 2

De estos tres posibles resultados, la magnitud más grande se obtendrá de σ1 - σ3 si los esfuerzos principales se ordenan de tal forma σ1 ≥ σ2 ≥ σ3. Así

τ max =

1 1 (σ max − σ min ) = (σ 1 − σ 3 ) 2 2

(1.10)

Una ayuda útil para visualizar el estado completo de esfuerzo en un punto es el círculo tridimensional de Mohr mostrado en la Fig. 1.11.

FIGURA 1.11 El círculo de Mohr para el estado tridimensional de esfuerzo.

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Esta representación similar a la representación del círculo bidimensional de Mohr, muestra los tres esfuerzos principales, el máximo esfuerzo cortante, y el rango de valores dentro del cual el esfuerzo normal y las componentes del esfuerzo cortante deben quedar para un estado dado de esfuerzo. 1.8 ESTADO BIDIMENSIONAL DE ESFUERZO Para los campos de esfuerzo bidimensionales donde el σzz = τzx= τyz = 0, el eje z' es coincidente con z, y 0º es el ángulo entre x y x'. Las Ecs. (1.6a) a (1.6f) se reduzca a

σ x ' x ' = σ xx cos 2 θ + σ yysen 2θ + 2τ xysenθ cos θ =

σ xx + σ yy 2

+

σ xx − σ yy 2

(1.11a)

cos 2θ + τ xysen 2θ

σ y ' y ' = σ yy cos 2 θ + σ xx sen 2θ − 2τ xy senθ cos θ =

σ yy + σ xx 2

+

σ yy − σ xx 2

(1.11b)

cos 2θ − τ xy sen 2θ

σ x ' y ' = σ yy cos θsenθ − σ xx cos θsenθ + τ xy (cos 2 θ − sen 2θ ) =

σ yy − σ xx 2

(1.11c)

sen 2θ + τ xy cos 2θ

σ z'z ' = τ z'x' = τ y'z' = 0

(1.11d)

Las relaciones entre componentes de esfuerzos vistos en las Ecs. (1.11) puede ser representado gráficamente usando el círculo de Mohr para esfuerzos, como se indica en la Fig. 1.12.

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FIGURA 1.12 Circulo de Mohr para esfuerzos.

En este diagrama, las componentes de esfuerzo normal σ se trazan horizontalmente, mientras las componentes de esfuerzo cortante τ se trazan verticalmente. Los valores de esfuerzo a tensión son trazados a la derecha del eje τ. Se traza el esfuerzo de comprensión a la izquierda. Las componentes del esfuerzo cortante que tienden a girar en el sentido de las agujas del reloj la rotación de un elemento pequeño que rodea el punto se traza sobre el eje de Aquellos que en la rotación tienden a girar en un sentido contrario a las agujas del reloj se trazan hacia bajo. Cuando se traza de esta manera, las componentes de esfuerzos asociados con cada plano a través del punto son representados por un punto en el círculo. El diagrama da un cuadro visual del estado de esfuerzo en un punto. El círculo de Mohr y las Ecs. (1.11) se usan a menudo en trabajos del análisis experimental de esfuerzo cuando se transforman componentes de un sistema coordenado a otro. Si un sistema coordenado es escogido para que el σzz = τzx = τyz = 0, entonces un estado de esfuerzo plano existe y las Ec. (1.7) se reduce a:

σ n σ n2 − (σ xx + σ yy ) σ n + (σ xxσ yy − τ xy2 )  = 0

(a)

Resolviendo esta ecuación para los tres esfuerzos principales, tenemos:

σ1 ,σ 2 =

σ xx + σ yy 2

 σ − σ yy  2 ±  xx  + τ xy 2  

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2

σ3 = 0

(1.12)

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Pueden determinarse los dos cosenos directores que definen los dos planos principales de las Ec. (1.11c) dado que τx'y' en términos de σxx, σyy, τxy y el ángulo entre x y x'. Si se seleccionan x' y y' para que el x' = n1 y y' = n2, entonces τx'y' = 0, es decir, no deben existir esfuerzos cortantes en estos planos.

σ yy − σ xx 2

sen2(n1 , x) + τ xy cos 2(n1 , x) = 0

(1.13)

Dividiendo por cos 2(n1, x) y simplificando da:

tan 2(n1 , x) =

2τ xy

(1.14a)

σ xx − σ yy

y de

σ xx − σ yy

cos 2( n1 , x ) =

(1.14b)

(σ xx − σ yy ) 2 + 4τ xy2

2τ xy

sen2(n1 , x ) =

(σ

− σ yy ) + 4τ 2

xx

(1.14c) 2 xy

Las ecuaciones (1.14) son usadas para encontrar dirección de n1 si las componentes cartesianas de esfuerzo τxy, σxx, σyy son conocidas. 1.9 ESFUERZO RELATIVO A UN SISTEMA COORDENADO PRINCIPAL Si el sistema de la coordenada Oxyz se selecciona para coincidir con las tres direcciones principales n1, n2, n3, entonces σ1 = σxx, σ2 = σyy, σ3 = σzz, y τxy = τyz = τzx = 0. Esto reduce las seis componentes de esfuerzo a tres que nos permite una simplificación considerable en algunos de los resultados anteriores. Las ecuaciones (1.2) se convierten

Tnx = σ 1 cos(n, x)

Tny = σ 2 cos(n, y )

Tnz = σ 3 cos(n, z )

(1.15)

y las Ecs. (1.6) se reducen a:

σ x ' x ' = σ 1 cos 2 ( x ', x) + σ 2 cos 2 ( x ', y ) + σ 3 cos 2 ( x ', z )

σ y ' y ' = σ 1 cos 2 ( y ', x) + σ 2 cos 2 ( y ', y ) + σ 3 cos 2 ( y ', z ) σ z ' z ' = σ 1 cos 2 ( z ', x) + σ 2 cos 2 ( z ', y ) + σ 3 cos 2 ( z ', z )

(1.16)

τ x ' y ' = σ 1 cos( x ', x) cos( y ', x) + σ 2 cos( x ', y ) cos( y ', y ) + σ 3 cos( x ', z ) cos( y ', z )

τ y ' z ' = σ 1 cos( y ', x) cos( z ', x) + σ 2 cos( y ', y ) cos( z ', y ) + σ 3 cos( y ', z ) cos( z ', z )

τ z ' x ' = σ 1 cos( z ', x) cos( x ', x) + σ 2 cos( z ', y ) cos( x ', y ) + σ 3 cos( z ', z ) cos( x ', z ) A menudo en los métodos experimentales se obtienen esfuerzos principales directamente, y en estos casos, usando las Ecs. (1.16) frecuentemente obtenemos los esfuerzos que actúan en otros planos. M.C. IGNACIO ARRIOJA CÁRDENAS

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1.10 ESTADOS ESPECIALES DE ESFUERZO Dos estados de esfuerzo ocurren frecuentemente en la práctica. Son el estado de esfuerzo cortante puro y el estado hidrostático de esfuerzo. Los dos se definen abajo. 1.- Un estado de esfuerzo cortante puro existe si un grupo particular de ejes Oxyz puede encontrarse tal el σxx = σyy = σzz = 0 puede mostrarse que este particular grupo de ejes Oxyz existe sí y sólo sí los primeros invariantes de esfuerzo I1 = 0. Dos formas de escribir este arreglo se muestran:

0

τ yz τ zx

τ xy τ xz 0 τ yz τ zy 0

σ xx τ xy τ xz τ yz σ yy = σ xx τ yz τ zx τ zy 0

ó

2.- Se dice que un estado de esfuerzo es hidrostático si el σxx = σyy = σzz = -p y todos los esfuerzos cortantes desaparecen. En fotoelasticidad se trabaja un estado hidrostático de esfuerzo llamada a menudo un estado del esfuerzo isotrópico. La representación de este esfuerzo es:

−p 0 0

0

0

−p 0 0 −p

Una propiedad particularmente importante de estos dos estados de esfuerzo es que ellos pueden combinarse para formar un estado general de esfuerzo. De más importancia, sin embargo, el hecho es que cualquier estado de esfuerzo puede separarse en un estado de cortante puro más un estado hidrostático de esfuerzo. Esto se ve fácilmente en el arreglo siguiente:

−p 0 0 σ xx τ xy τ xz σ xx + p τ xy τ xz τ yx σ yy τ yz = 0 − p 0 + τ yx σ yy + p τ yz τ zx τ zy σ zz 0 0 −p τ zx τ zy σ zz + p

(1.17)

Estado general de esfuerzo = Estado hidrostático de esfuerzo + Estado de esfuerzo cortante puro Está claro que el miembro izquierdo representa un estado general de esfuerzo y que el termino del centro representa un estado hidrostático de esfuerzo; sin embargo, el ultimo termino representa un estado de cortante puro si y sólo si su primer invariante de esfuerzo es cero. Este hecho implica que

(σ xx + p ) + (σ yy + p ) + (σ xx + p ) = 0 De

p=−

1 (σ xx + σ yy + σ zz ) 3

(1.18)

Si el termino p en el estado hidrostático de esfuerzo satisface la Ec. (1.18), entonces la separación del estado de esfuerzo dado en la Ec. (1.17) es válido. En el estudio de plasticidad, el efecto de los esfuerzos hidrostáticos es normalmente ignorado; por consiguiente, el principio ilustrado es muy importante.

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