Esfuerzo y Deformación

 

E SFUERZO Y DEFORMACIÓN UNIDAD I.- ESFUERZO RESISTENCIA DE MATERIALES

UNELLEZ

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LOS LLANOS OCCIDENTALES “EZEQUIEL ZAMORA”  VICERRECTORADO DE INFRAESTRUCTURA Y PROCESOS INDUSTRIALES PROGRAMA DE INGENIERÍA, ARQUITECTURA Y TECNOLOGÍA INGENIERÍA CIVIL

Ing Eulicer Linares Fdez

1  UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL

 

E SFUERZO Y DEFORMACIÓN UNIDAD I.- ESFUERZO RESISTENCIA DE MATERIALES

U

NIDAD

1 

ESFUERZOS Y DEFORMACION DEFORMACIONES ES 

Las fuerzas internas que actúan en áreas infinitesimales de un corte o sección de un cuerpo pueden ser magnitudes y direcciones variables. Estas fuerzas internas son vectores y se mantienen en equilibrio con las fuerzas aplicadas exteriormente. En general, las intensidades de estas fuerzas varían de un punto a otro y son inclinadas con respecto a un  plano de corte. La componente perpendicular o normal a la sección se denomina esfuerzo normal en = lim    0  donde:  F   es una fuerza normal al corte.  A  es el área un punto (ζ), respectiva alrededor del punto =  .



       

Los se esfuerzos que originan traccióneno tanto estiramiento superficie de lao sección, conocennormales como esfuerzos de tensión; que los en quelacausan presión empuje contra la superficie del corte, se llaman esfuerzos de compresión. La otra componente de la intensidad de la fuerza actúa paralelamente al plano del área elemental, esta componente se denomina esfuerzo cortante (η), = lim  donde  A representa el



       0

área, V  es  es la componente de la fuerza paralela a la sección o corte.

Los esfuerzos multiplicados por las áreas respectivas en las que actúan dan fuerzas, y es la suma de estas fuerzas en una sección o corte de un cuerpo cargado, la que mantienen a este en equilibrio.

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C ar ga A Axi xia al: E sfue sfuerr zo N or mal o Tens Tensii ón Si Sim mple.

Se define el esfuerzo axial o normal como la relación entre la fuerza aplicada y el área de la sección sobre la cual actúa. O en otros términos como la carga que actúa por unidad de área del material.

E sfuer sfuerzzo C Co or ta tante nte o Tens Tensii ón C Co or ta tante nte.

   

Denominada por la ecuación =  , donde V es la fuerzas total que actúa en el plano de la sección y se denomina fuerza cortante, y  A  es el área de la sección del elemento cortado. La fuerza se transmite de una parte del cuerpo a otra ocasionando esfuerzos en un  plano paralelo a la fuerza aplicada.

Fuerzas Internas: Es la distribución de las fuerzas internas de esfuerzos que produce un sistema de fuerzas exteriores aplicadas. En la sección cortada de un cuerpo o elemento, las fuerzas que deben actuar en esta sección para mantener el equilibrio del sólido deben ser  proporcionales a las fuerzas externas e xternas que actúan sobre el mismo. El sistema de fuer fuerzas zas 3  UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL

 

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equivale a una fuerza y un par; los cuales se descomponen según la normal y tangente a la sección.  F 1 

 F 3 

 F 1

 M  XY  

Y

 P  XY    

 P  XZ   F 2 

F 4 

F 2

Z

 P  XX    M  XZ

 X 

 

 M  XX  

El origen del sistema de ejes coordenados se considera siempre en el C.G.; si el eje  X es normal a la sección, esta se denomina superficie o cara  X ; la orientación de los ejes Z   ee Y   en el plano de la sección se suele elegir de manera tal que coincidan con los ejes  principales de inercia.  Pxy; fuerza que actúa sobre la cara X  en  en la dirección Y.  Pxx; fuerza axial, esta componente mide una acción de empujar sobre la sección.

Puede ser fuerza de tracción o de compresión. (P).  Pxy, Pxz ; fuerza cortante, son componentes de la resistencia total al deslizamiento de la porción de un sólido a un lado de la sección respectivamente ( Vy, Vz ))..  Mxx; momento torsor o par, mide la resistencia a la torsión del sólido  Mt .  Mxy, Mxz ; momentos flectores, miden la resistencia del cuerpo respecto a los ejes Y   o Z My, Mz .

El efecto interno de un sistema de fuerzas exteriores depende de la sección y orientación de la sección. Si las cargas actúan en el plano  XY ; las componentes son:  Pxx  ( P),  P), Pxy (V), Momento Flector (Mxz) M . D efor maci ción ón N No or mal.

Cuando un elemento o cuerpo se somete a tracción o compresión y se aplican gradualmente fuerzas de tracción; se puede medir el alargamiento total de la longitud  patrón para cualquier incremento de la carga axial y determinar a partir de este valor, el alargamiento por unidad de longitud llamado deformación normal, el cual viene dada por la ecuación: =  , donde Δ es el alargamiento total, L la longitud del patrón.





Cuando se aumenta gradualmente la carga axial por incremento de carga, se mide el alargamiento de la longitud patrón para cada incremento, continuando de este modo hasta que se produce la rotura del elemento; para cada valor de la carga axial, se obtiene un esfuerzo:

= , donde A es el área original de la sección transversal.

   

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4 

 

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Con varios valores de la tensión normal (ζ) y de la deformación normal (ε) se puede

representar gráficamente los datos experimentales tomando estas cantidades ordenadas y abscisas respectivamente, obteniendo el diagrama de tensión-deformación. ζ   D 

D A

A 

Ley de Proporcionalidad

ε   Material Dúctil

Material Frágil

El esfuerzo correspondiente al tramo  AB se denomina punto de fluencia. la ordenada del punto ζ  R  se llama resistencia a la tracción.  D  es la ordenada del punto que se llama resistencia la rotura, corresponde a la falla completa del material. L ey d de e H oo ookke.  Robert Hooke estableció la Ley que relaciona fuerzas y deformaciones. Con un

sencillo dispositivo en el cual a un plato se le van agregando pesos y se van midiendo las deformaciones producidas progresivamente en el resorte encontró una proporcionalidad directa entre los pesos aplicados y las deformaciones.

       

Esta generalización aplicable a todos los materiales se conoce como  Ley de Hooke, la misma se define como: =     = , el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación y la constante de proporcionalidad es  E , también conocido como módulo de elasticidad   o mó módulo dulo de Y oung , y posee las mismas unidades que el esfuerzo. Esta nos determina qué tan rígido es un material. La rigidez, la resistencia y la ductilidad son propiedades mecánicas de los materiales: -Rigidez: Capacidad de oponerse a las deformaciones -Resistencia: Capacidad de oponerse a la rotura -Ductilidad : Capacidad de deformarse antes de romperse. En la gráfica de tensión-deformación, el esfuerzo correspondiente a tal punto final se denomina límite de proporcionalidad del material. El módulo elástico representa la rigidez del material a una carga específica. 5  UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL

 

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El punto de rotura o tensión en el punto de rotura se mide dividiendo la carga por el área inicial de la sección de la barra. El material se alarga cuando este se encuentra en su límite de rotura y al mismo tiempo se acorta, de forma, que la carga en el instante de la rotura se distribuye realmente sobre una sección mucho más pequeña. Si la carga en el momento de la rotura se divide por el área medida después de la rotura, se obtiene el valor real de la tensión en el punto de rotura, aunque es bastante mayor que la tensión de rotura, se sigue tomando esta, en la mayoría de los casos, como tensión máxima del material.

 Diagrama de Tensión-Deformación

Esta ley se aplica solamente hasta el límite de proporcionalidad , cuya ordenada corresponde al punto A, esto es la máxima tensión que se puede producir durante el ensayo de tensión simple, de modo que la tensión sea función lineal de la deformación. L í mi te elás lástico tico: corresponde a la zona elástica de la ordenada, coincide con el punto  A, esto es, la tensión máxima que puede producirse durante el ensayo de tracción simple de

modo que no haya deformación permanente cuando se suprime totalmente la carga. L í mi te de e elast lastii ci cid dad : representa la tensión más allá de la cual el material no

recupera la forma original al ser descargado, sino que queda con una deformación residual llamada deformación permanente, y es el punto de transición de la región de fluencia. Límite de fluencia: Es donde aparece un considerable alargamiento o fluencia del

material sin el correspondiente aumento de carga, que incluso puede disminuir mientras dura la fluencia. Es el punto de transición CD.  Zona  Zo na elást lástica ica: Es la región de la curva tensión-deformación que va desde el origen

hasta el límite de proporcionalidad. 6  UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL

 

E SFUERZO Y DEFORMACIÓN UNIDAD I.- ESFUERZO RESISTENCIA DE MATERIALES

 Zona  Zo na plást lástica ica:: Es la región de la curva que va desde el límite de proporcionalidad

hasta el punto de rotura del elemento sometido a carga.  Mó  M ódulo uloss de ela last stii cid cida ad de algun lguno os mater ial iale es.-

R otura nom nomii nal: A partir del esfuerzo máximo alcanzado se produce un

angostamiento de la sección de la barra ensayada (Estricción) hasta que finalmente se  produce la rotura. La rotura nominal es igual a la carga de rotura dividida por el área inicial de la probeta (sin tener en cuenta la estricción). Rotura real: Es igual a la carga de rotura dividida por el área final de la sección transversal (calculada con el diámetro final de la probeta). D efor orma maci ción ón de elem leme entos co con n car cargga a axxi al.

Las determinaciones se aplican solo dentro del intervalo elástico del comportamiento de un material, donde se emplea la  Ley de Hooke. Se considera la barra cargada axialmente, cuya área transversal varía según la longitud y se aplican fuerzas de diversas magnitudes en varios puntos. L

P1

A

P2

P3

B

P4

dx 

Px

Px dx + εdx  Suponer el cambio d longitud de la barra entre dos puntos  A y  B, causado por las fuerzas aplicadas. La cantidad por determinar es la suma de las deformaciones que ocurren en elementos de longitud infinitesimal de la barra. Por tanto, se encuentra primero la deformación que ocurre en un elemento arbitrario de longitud dx  y la integral sobre la longitud dada, será lo que se busca.

7  UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL

 

E SFUERZO Y DEFORMACIÓN UNIDAD I.- ESFUERZO RESISTENCIA DE MATERIALES

La deformación (alargamiento) infinitesimal dΔ que ocurre en tal elemento debido a



la acción de las fuerzas, es igual a la deformación relativa ε multiplicada por la longitud dx 

=



.

          

=

=

   

 

=

  .

 

Deformación axial: la pendiente de la recta es la relación entre la tensión y la deformación E = ζ/ε  Ley  Ley de Hooke, E : módulo elástico: =

   

 

=

.

.

 

E sf sfuer uerzo zoss po porr cam cambi bios os d de e te temp mpe er at atur ura a: El proceso de expansión o la contracción

de un cuerpo se puede restringir o impedir por completo en ciertas direcciones. Las deformaciones libres originadas por un cambio de temperatura se deben reconocer para determinar los esfuerzos causados por la variación de temperatura.



=

. .

 

   



= Deformación longitudinal (dilatación o contracción) α = Coeficiente de dilatación lineal térmica    = Variación de temperatura.

Torsión: La aplicación de una carga de torsión a una barra, tiene efectos de

 producir un desplazamiento angular de la ssección ección de un extremo respecto r especto a otro y originar tensiones cortantes en cualquier sección de la barra perpendicular a su eje.  Mo  M oment nto o torso rsor  r : Para cada sección de la barra, es la sumatoria algebraica de los

momentos de los pares aplicados, situados a un lado de la sección considerada.  F   T  

T  

δ b  ’ 

a  F  

d

b

Deformación por Cortante

Ángulo de Torsión 

   =

 .

 .

 

T  

T   θ 

8  UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL

 

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E j emplo # 1.

De la Armadura mostrada en la figura. Determine la sección transversal y la deformación de las  barras E c , de, cd . 4 T/m 

2T

E = 2.1 x 106 Kg/cm2 

3T

1T  b 

a 

 A

ζCompresión: 1460 Kg/cm2 ζTracción: 800 Kg/cm2

c  

5T

B 

4T  4m 

2T  E C   3 T.m 

D 

d

e 

3T 4m

1m

4m

2T

4m

4m

4m 

 Soluc  So lución ión: 1.-Cálculo de Reacciones: De la ARMADURA  + ΣMD = 0 -5T(4m) + 3T(4m) - 3T(4m) - 2T(8m) - 1T(8m) + 4T(4m) + 12R EY = 0 Y

R E  = 2.33 T

 

2.- Aplicando  Aplicando el el Método de los Nodos: Nodos:  N od odo o E . V ΣF

+

 F  Ec 

=0

2.33T + FEc.sen 45º = 0  Ø

 

E  

 F  Ee 

H ΣF

+

Dado que el Esfuerzo σ = P/A, entonces determinamos el área de la sección:

             =

= .

=



3330 1460

 

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/

2

 

(C)

=0

FEe+ 3.30cos 45º = 0 

2.33T

=

FEc = 3.30 T 

FEe = 2.33

Aplicando la Ley deformación axial

          =

.

.

,:,:  

= .

=

  (T)

T

de

para

     3300

2.26

Hooke,

2 

   566

 2.1 10 6

/

2

 

  9 

 

E SFUERZO Y DEFORMACIÓN UNIDAD I.- ESFUERZO RESISTENCIA DE MATERIALES

N od odo o e. V ΣF

+

 F eecc 

=0

-2T + Fec = 0  2.33 T 

e

 F eed  d  

H ΣF

+

Dado que la tensión ed   (Tracción) es igual a la tensión de, entonces determinamos el área de la sección:

 

=



   

  =

=



= .

2330

800

/

2

 

V ΣF

+

c  F ccbb 

4T 

Determinamos el área de la sección:

             =

= .

 =

Hooke,

para

         .

.

,:,:  

=

2330

2.91

2 

   400

 2.1 10 6

/

=



950 1460

 

/

2

 

2

 

 

= .

=0 (C)

H ΣF = 0 + 0.95cos45º- 3.30cos 45º - 4 T + Fcb = 0  Fcb = 5.66 T

2T 3.30T

=



de

-1T - 2T +3.30Tsen45º + FEc.sen 45º = 0  Fcd = 0.95 T  Ø 

 F ccd  d  

Aplicando la Ley deformación axial

 (T)

    

N od odo o c .

1T 

Fed = 2.33 T



 

     

(T)

=0

Fed + 2.33 = 0 

2 T



Fec = 2T 

Aplicando la Ley deformación axial

          =

.

.

,:,:  

= .

=

0.65

de

  (C)

Hooke,

para

     950

   566

2 

 2.1 10 6

/

2

 

 

10  UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL

 

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E j emplo # 2. Calcular el valor de la fuerza P admisible a la estructura, sabiendo que los esfuerzos admisibles del material son:

ζBC Tensión: 1400 Kg/cm2 ζAC Compresión: 800 Kg/cm2

 B

Sección Transversal de 5x2cm 

1.5m  α  C  A  P admisible=?

3m   Soluc  So lucii ón:

 Debe cumplirse que: ζBC actuante ≤ ζ Tensión: 1400 Kg/cm2

ζAC actuante ≤ ζ Compresión: 800 Kg/cm2

Se determinan los esfuerzos actuantes para cada barra:

 F  BC  

 F  AC  

 P  permisibl   

11  UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL

 

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E j emplo # 3. Calcular los esfuerzos normales en la barra  AB  y en los dos tramos de la barra CBD  de la figura. El cable tiene un diámetro de 1.5cm y una sección de 2x5cm:  D

1m 

A α   β

B 

4K  N 

 Solucii ón:  Soluc Por geometría sabemos que: α = 36.87º  β = 53.13º  Los esfuerzos solicitados serán iguales a:

2m  C

1.5m

0.75m 

12  UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL

 

E SFUERZO Y DEFORMACIÓN UNIDAD I.- ESFUERZO RESISTENCIA DE MATERIALES

D

D 4.5sen53.13º

B

4.5KN 

4sen36.87º

 

36.87º

4cos36.87º  

4KN

53.13º

4.5cos53.13º

 

B

=

C

C

C  x

C  x  C Y

C  y  13 

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D v 

=

D D 

2.40

 

3.60

 

3.20

2.40

3.20 

3.20

v 

B

v 

2.40  3.60 

2.70

 F  BD



v 

B 

2.70 

= 0 

 F  BD =3.20 KN    F CB CB

C



= 0 

 F  BD =3.20+ 2.70 = 5.90 KN  

C  y 

E j emplo # 4. Determinar la sección transversal de  AB y CB, también determine la componente horizontal y vertical del desplazamiento del punto B.:  A

ζBC Tensión: 2100 Kg/cm2 ζAC Compresión: 1200 Kg/cm2

312cm 

 B

E = 2.1x106 Kg/cm2 

3000Kg  60º

360cm

 Solu  So lució ción: n:   1.- Aplicando el método de los Nodos:

C  

Nodo B . B 

 F  AB 

+

Ø

 

 F CB CB 

+ ΣFV = 0 -3000Kg + FCB.sen 30º = 0 

3000Kg 

H ΣF

FCB = 6000 Kg 

(C) acorta

=0

FAB + 6000cos 30º = 0 

FAB = 5196.15 T

  (T) alarga

14  UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL

 

E SFUERZO Y DEFORMACIÓN UNIDAD I.- ESFUERZO RESISTENCIA DE MATERIALES

Dado que el Esfuerzo σ = P/A, entonces determinamos el área de la sección:

                      =

  =

=

  

5196.152 2100

/

 =

  =

Hooke,

para

.

,:,:  

=

5196.512 2 

2.47

   312

 2.1 10 6

/

2

 

 

Tramo CB: =

  

6000 1200

/

  2

 =

 

= .

.

= .

Tramo CB:

de

                                 

  2

 

= .

=

Aplicando la Ley deformación axial

.

.

,:,:  

=

6000 2 

5

   360

 2.1 10 6

2

/

 

 

= .

Cálculo del desplazamiento horizontal y vertical del punto B.  Δ AB= 0.3126 ccm m 

B

Δh

            

b

 ΔCB= 0.2057 ccm m 

= ΔAB= 0.3126cm

a

CO

 b =      30º   b = 0.2057    30º   b = 0.1029 cm

60º

 Δv    Δv CA

30º =

 

a = 0.1781 cm 

 B’  

                 30º =

 

  ; 30º

+

= 0. 0.10 1029 29

+

  = 30º

 

= 0. 0.84 8499 99

=

=

 

a =      30º  a = 0.2057    30º 

30º 

=

 

30º =

=

0.1781

   + 0.3126 30º

 

 

 

  + 0. 0.849 8499 9

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= .

    

  15 

 

E SFUERZO Y DEFORMACIÓN UNIDAD I.- ESFUERZO RESISTENCIA DE MATERIALES

E j emplo # 5. Calcular la fuerza en los alambres  BC y  DE,  si se sabe que los alambres son idénticos , a excepción de sus longitudes. 

E

 Soluc  So lucii ón:  

 

 

Trigonométricamente tenemos que: 300   30º =

C

LBC = 346.10cm

30º 

 

30º

 A

30º =

 

500

 

LDE = 577.35cm

B

D 600Kg 

3m

2m 

D i agr ama de C ue uerr po L i br e:  F  BC

 A  

30º

+

30º

B

 A x 

 F  DE  

H ΣF

=0 Ax –   F FBC cos  cos30º 30º - FDE cos30º = 0 I Ecu.

D 

 A y 

+ ΣFV = 0 -Ay + FBC.sen 30º + FDE.sen 30º - 600 = 0   II Ecu.  + ΣMA = 0 300 FBC.sen 30º + 500 F DE.sen 30º - 600x500 = 0 III Ecu.

3 Ecuaciones con 4 incógnitas. Estáticamente indeterminado

16  UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL

 

E SFUERZO Y DEFORMACIÓN UNIDAD I.- ESFUERZO RESISTENCIA DE MATERIALES

Relación de deformación: E   B   δCB 

D 

C

δ DE   30º

δCB /sen30º δ DE  /sen30º   30º

Posición Inicial  

30º

 A

30º  

δ 2 

δ1  B’  

 D’   Posición  Posición Final  

600 Kg  

Trigonométricamente tenemos que:  A

B

   1

D

300 δ DE  /sen30º  

δCB /sen30º

=

2

500

 

También tenemos que:

    30º =

 B’    D’   600 Kg  

Por tanto:



1

  donde:

=

=

   



 

º

º

Dado que: 2

1

= 500   es decir

  

300

Resolvemos:



 = 0.60. 30º



30º

       = 0.6

  1

 

2

= 0.6

 

Sustituyendo Ecuación V en III:

∗∗      ∗    − ∗         

IV Ecu.



.

 

.

 

,:  ,: 

 346.10

 

=

 

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  

= 0.6

= 0.60

  

   

Sustituyendo estos valores en Ecuación II:

como:  =

= =

 

=

 

Sustituyendo este valor en Ecuación I:   .   =  

577.35

 

V Ecu. 

  

17 

 

E SFUERZO Y DEFORMACIÓN UNIDAD I.- ESFUERZO RESISTENCIA DE MATERIALES

E j emplo # 6. Determine el esfuerzo en cada alambre, de una  barra mostrada en la figura, suponiendo que es absolutamente rígida. 

 A  Ac  c  

           

CO Cobre

Acero

 

 A

B

          

= 90   = 5 2  = 1.2 106

= 150   = 3 2  = 2.1 106

/

/

2

2

2000Kg 

120cm

60cm

60cm 

 Soluc  So lucii ón: Diagrama de Cuerpo Libre  P CO CO

+

H ΣF

=0  Ax = 0

 P  Ac 

 A  ΔCO

 A x 

 Δ Ac 

 A y 

+ ΣFV = 0 Ay + PCO + PAc - 2000 = 0  

I Ec. 

2000 Kg  

++ ΣΣMMAA== 00 120 120 PPCO  + 240 240 PPAc 2000x180 == 00 CO + Ac.. -- 2000x180 120 120 PPCO  + 240 240 PPAc = 360.000 360.000 CO + Ac.. =

       

II  Ec. II Ec.

Como: Como:    = =

Dado Dado que: que: 240 240

= =

240 240

 =.     =. 120 120

  se se tiene: tiene:

UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL

..

..

,:,:  ,:,:   

  

= =

   Resolvemos: Resolvemos:

120 120

       ∧                    −

     =  =   

   III III Ec. Ec.  

= =3

3

= = ..

  

  

  

    150  150

22 .2.1  .2.1

10 1066  

//

  

22

 Pac  Pac  

18 

 

E SFUERZO Y DEFORMACIÓN UNIDAD I.- ESFUERZO RESISTENCIA DE MATERIALES

Como:

                 −              .

 =

.

,:,:  

 

=

Sustituyendo Ecuación

=

1.2 10 6  

 

=

 

=

 

.

/

 

=

 

.

Como: =

852.273 5

= .

 en III:

V Ec.

Sustituyendo en Ecuación II:   = los .valores IV   Sustituyendo el valor V en Ecuación IV:

2

 PCO 

= .

=

/

   

∗       ∗∗                         

 

   90

2  .

5

   

2 

=

 

 

=

 

.

/

 

=

 

1073.864 3

2 

 

E j emplo # 7. Determinar el esfuerzo en cada alambre, si la temperatura del mismo aumenta hacia la derecha Δ t  =  = 40ºC  a

b 

c  

         = 12 10 6 = 5 2  = 2.1 106

/

/

2

 

2 

 Soluc  So lucii ón:  D.C.L

 A

B 120Kg

25cm

25cm

 P a

 Δa V ΣF

=0 + Pa + Pb + Pc - 120 = 0 

I Ec. 

 P b

 Δb

120Kg   Δb –  Δ   a

 P c 

 Δc 

 Δc –  Δ   a 

19  UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL

 

E SFUERZO Y DEFORMACIÓN UNIDAD I.- ESFUERZO RESISTENCIA DE MATERIALES

+

A ΣM

=0 Como:

25P b + 50 Pc - 120x25 = 0 25P b + 50 Pc = 3000

    −         .

 =

II Ec.

.

,:,:  

 

 

 −     −     

=

25

50

 

               −     .

.

Deformación en cable c:

          −      − −

,:  ,: 

 

 

=

=

 

0.10  2.1

10 6

 =

 

=

  Pb.L 

= .

Sustituyendo Ecuación

 −− −  6

4.762 10

2.381 10

 −− 

  Pb.L - 4.762 10 6

   

,

6

6

.

.

 ±

. ,: ,:  

.

 

+ 12 10

0.10  2.1 10 6

 en III:

− −



  Pb.L + 2.381 10

6

6

6

. 40 40ºº .  

 

  Pc .L .L + 4.80x

= .

  Pa.L = 0.50. (4.762 10

  Pa.L = 4.762 10

  Pa.L 

= .

III Ec.

Deformación en cable b:  =

0.10  2.1 10 6  

=

=

Relación por deformación:  

 

−

−

  Pc.L + 4.80x10 4 L - 4.762 10 6   Pa.L)

−

  Pc.L + 2.40 x10

4

. L 

∗      −  −       −    −     −               −                        

=  

 

 

.

 

IV Ec. 

Sustituyendo los valores IV en Ecuación I: 2

 

=

.

 

120 = 0 

+

 100.  10 0.79 798 8+

V Ec.

Sustituyendo el valor V en Ecuación II: 25 . 73.599 73.599 + 50 = 3000  =

.

 

= 22 220. 0.79 798 8 

3

= 11 1160 60.0 .025 25 

50

VI Ec.

Sustituyendo el valor valor V y VI en Ecu Ecuación ación I: 120 = 0 

+ 73.5 73.599 99 + 23.2 23.201 01

Como el esfuerzo:

=

=

 

=

UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL



=

=

23.20 0.10

 

73.599 0.10

2 

2 

.

=

=

 

 

=

.

.

 

 

/

/



    

 

 

20 

 

E SFUERZO Y DEFORMACIÓN UNIDAD I.- ESFUERZO RESISTENCIA DE MATERIALES

E j emplo # 8. Determinar el esfuerzo en cada alambre, para que la barra  A-B  permanezca horizontal. La variación de temperatura aumenta para los 3 alambres por igual. 

 Ac  A c

CO   Br Cobre

B 1200Kg 

90cm

60cm

 Soluc  So lucii ón: Diagrama de Cuerpo Libre  P  Ac  A

 P  Br

 

 − −   − −     − −

= 1. 1.1 1 10

5

= 16 10

º

6

 

/ 6

2  1

/

2  1

º

= 17.7 17.7 10

= 20   = 1.8 2   = 1.2 106

 

2  1

/

= 15   = 3 2  = 9.8 105

 

Acero

 A

               

= 25   2   = 1.2 = 2.1 106

º

 

 

 P CO CO  B

+ ΣFV = 0  ΔCO  PBr + PCO + PAc - 1200 = 0  

 Δ Br  Δ Ac 

I Ec. 

1200 Kg  

+

ΣMA

=0

120PPBr CO 240PCO PAc - 2000x180= 0 = 0 90  + +150  -.1200x90 120PPBr CO 240PCO PAc 360.000 90  + +150 . =. =108000

II Ec.

como:

             −     − − .

 =

Relación por deformación:

      =

=

.

=

 

II Ec. 

 ±

. ,: ,:  

.

 25

1.2

= .

2 

 2.1 10 6

+ 1.1 10

5

. 14º .25 

  P Ac  +  + 3.85x

21  UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL

 

 

E SFUERZO Y DEFORMACIÓN UNIDAD I.- ESFUERZO RESISTENCIA DE MATERIALES

     −      −     − −    − −   − −  − −        − − − −      =

 15

2 

3

 9.8 10 5

= .

+ 17 17.7 .7 10

6

. 14º .15 

=

 

  PBr  + 3.717x

 20

2 

1.8

 9.8 10 5

= .

+ 16 10

6

  PCO + 4.48x

. 14º .20 

 

 

= Si Entonces:

6

9.921 10

  P Ac + 3.85x10 3   = 5.102 10 6   P Br  + 3.717x10 3  

 = .

  PBr  - 13.406

Si = Entonces:

III Ec.

 

6

9.259 10

  PCO + 4.48x10 3   = 5.102 10 6   P Br  + 3.717x10 3  

 = .

  PBr   –   –  82.406

IV Ec.

Sustituyendo Ecuación Ecuación III y IV en Ecuación I:

PBr + 0.551  P Br  –   82.406 + 0.514  P Br  - 13.406 - 1200 = 0   –  82.406 2.065 P Br = 1295.812

P Br = 627.51 627.51 Kg K g 

Sustituyendo Ecuación V en Ecuación IV:



 ) –  82.406  82.406   = 0. 0.55 551 1 (627.51 Kg  )

      =

Sustituyendo el valor V en Ecuación III:   = 0. 0.51 514 4  (627.51 Kg  ) - 13.406

.

 =

 

.

 

 

                                                 E sfuerzo sfuerzoss E jercidos: jercidos:

Como: = =

=

=

 

 

 

=

=

=

 

627.51 3

2 

=

2 

1.2

=

2 

263.353 1.8

309.135

=

.

/

 

 

/

.

.

/

 

22  UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL

 

E SFUERZO Y DEFORMACIÓN UNIDAD I.- ESFUERZO RESISTENCIA DE MATERIALES

E j emplo # 9. Una barra está soportada por tres varillas de la misma sección y del mismo material. Determinar la parte de la carga que soporta cada varilla.

B

Considerando que: -WBARRA = 80000Kg -Varilla A: Aumenta Temp: 20ºC -Varilla B: Disminuye Temp: 30ºC

C

 A

4m

5m

5m 

α = 16 x 10-6 ºC-1 

A = 3cm2  E = 2.1x106 Kg/cm2 

 A ’  

2.7m

C’  

1.3m

 Soluc  So lucii ón: Diagrama de Cuerpo Libre  P  A

 P  B

 P C  C  

 A  A’  ’  

C ’  ’ 

2m 

+ ΣFV = 0 PA + PB + PC - 80000 = 0  

80000 Kg

I Ec. 

 ΔC  

 ΔB   ΔB 

 Δ A 

+

A ΣM

=0

270 PB + 400 PC - 80000x200 = 0 270 PB + 400 PC. = 16000000

II Ec.

Relación por deformación:

        +

400

13 27

 

+

=

=

270

 

 

40

 

   

 

   −  27

UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL

 

+

=

  

40   27

  ;

+

 

 

 =

 −   

40   27

 

  III Ec. 

 



23 

 

E SFUERZO Y DEFORMACIÓN UNIDAD I.- ESFUERZO RESISTENCIA DE MATERIALES

como:



 =

      

   .

.

 ±

  

,:  . ,: 

.

    −   −         −  −      −   −     −      − − – −  −      −    

=

 400

2 

3

  P A  + 0.128 

= .

=

 500

2 

3

. 20º .400 .400 

6

+ 16 10

 2.1 10 6

 16 10

 2.1 10 6

6

. 30º .500 .500 

= .

  PB  –   0.240    –  0.240

Sustituyendo

,

6.349 10

5

 2.1 10 6

−

 16 10

6

. 30º .500 .500 

  PB   –   –  0.240  0.240

 en Ecuación III:

   

13  

 

 500

2 

3

= .

  PA  + 0. 0.12 128 8 = 27

= .

=

(6.944 10

+

  .

5

.

  PB    0.240) 

 

 

40 13

 –  0.240)  0.240) (6.944 10 5   P B  – 

IV Ec.

Sustituyendo Ecuación IV en Ecua Ecuación ción I:

 − −         −   −  − −     

 3.366PB + 1764.05 1764.057 7  + PB + PC - 80000 = 0

0.227 PC .

 

+

=

.

.

 

V Ec.

De las Ecuaciones II y V, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:: 270 PB + 400 PC. = 16000000

2.366 PB + 1. 1.22 227P 7PC = 78235. 78235.943 943  . .

= =

   

   

Sustituyendo PB  y PC  en Ecuación IV:

PA = 0.227 (46161.201) (46161.201) =

.

 3.366( 912 9127.7 7.705 05 ) + 1764 1764.05 .057 7 

 

24  UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL

 

E SFUERZO Y DEFORMACIÓN UNIDAD I.- ESFUERZO RESISTENCIA DE MATERIALES

E j emplo # 10. Determinar los esfuerzos que surgen en las  barras del sistema mostrado, si después de haber sido montado, fueron calentados a una temperatura de Δt = 40ºC.

  = 3 2  = 2.1 106

        

 Acero 

 L

Cobre 

Cobre

/

= 125 10 7 º   = 5 2  = 1.2 106 /

 

30º 30º

 − −     − −

= 16 165 5 10

7

º

2  1

 

2  1

 

B  Soluc  So lucii ón: Diagrama de Cuerpo Libre    P  Ac  30º 

cos30º =

 P CO CO 

P CO CO 

B



 

 

 =

+ ΣFV = 0 -cos30ºPCO + PAC  –   cos30ºPCO = 0  –  cos30ºP

B

PAC = 2PCO.cos30º

 ΔCO

  º

I Ec. 

 ΔCO   Δ AC   60º

 B’  

Relación por deformación: cos 30º =

   

 

      

=

.

º 

II Ec. 

25  UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL

 

E SFUERZO Y DEFORMACIÓN UNIDAD I.- ESFUERZO RESISTENCIA DE MATERIALES

   −      

  −   −               −     −     −  −          −     −  −            −      −−     Por otra parte, se tiene que:  =

.

.

 ±

=

. ,:  ,: 

.

º

30 10 6

5  1.2

 165 10

7

. 40 40ºº .

30

º 

7

=

3

  2    2.1 10 6

Sustituyendo

.

7

 165 10

 

7 . 40 40ºº

30º5  1.2 10 6

=

.  

 165 10

. 40 40ºº .

 

30 º

 en Ecuación II:

   

30º5  1.2 10 6

=

+ 125 10

+

.

. 40 40ºº .

30

 

º=

 

2 

3

 2.1 10 6

+ 12 125 5 10

7

. 40 40ºº . .

30º 

III Ec.

Sustituyendo Ecuación III en Ecua Ecuación ción I:

1.40 PCO + 2393.45 2393.455 5 - 2PCO.cos30º = 0

−      −                                     =

.

 

Sustituyendo Ecuación IV en III:

PAC =

1.40 (

=

.

) + 2393 2393.4 .455 55 

.

 

 

Esfuerzo Ejercido:

=

 

=

1323.583 3

2 

=

.

/

 

764.194

=

 

=

5

2 

=

.

/

 

26  UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL

 

E SFUERZO Y DEFORMACIÓN UNIDAD I.- ESFUERZO RESISTENCIA DE MATERIALES

E jerci jercicios cios Pr Pro opue uest sto os.1.- 

Determinar el esfuerzo en cada alambre, suponiendo que estos son del 1.-  Determinar el esfuerzo en cada 2 mismo material, ambosque conestos área son de 2cm alambre, suponiendo del . 

 B

2.- Una

barra  ABF  rígida,   rígida, es halada hacia arriba con una fuerza de 80 KN. determinar el esfuerzo de los alambres BC  y  y FC . 

C

80 KN    B δ 

 A

320cm 

Cobre 

θ

F  

Cobre 

100cm  α 

 β  

 A

  

  = 3 2  = 2.1 106

D 250 Kg  

C  

220cm

320cm

50cm

3.- Calcule

el esfuerzo de cada material, si la temperatura del alambre  Br   aumenta 15ºC y el alambre Al  disminuye  disminuye 30ºC. 

       − −  

2

=4

= 9.8 105

/

2 

º

= 1.77 1.77 10

2 

90cm 

el esfuerzo de cada alambre del mismo material, sabiendo que: El alambre  A  aumenta 25ºC y el resto disminuye 12ºC  D A

C

D

 L= 60cm

1

5

/

4.-  Determine

Br

 

 

 

 L= 10cm

6cm

 L= 10cm 

12cm

 L= 15cm 

B

 A

       − −  

=5

2

12cm

 L= 50cm

6cm

6cm 

 

= 0.7 106

= 16.2 10

/

6

 Al

2 

º

125cm

1

5Tn

 

        − −

B

 

60cm 

= 4 2  = 2.1 2.1 106 = 16 10

UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL

 L= 8cm 

/

6

º

2  1

 

27 

 

E SFUERZO Y DEFORMACIÓN UNIDAD I.- ESFUERZO RESISTENCIA DE MATERIALES

E j emplo # 11. Determinar el esfuerzos cortante máximo que  puede llegar a resistir el sistema sistema mostrado.  11769

 

 

 Kg.cm

 M ηη  A     D=8cm 

GAl = 2.8x1 2.8x100 Kg/c Kg/cm m

M η ηC   C  

D=5cm

 Al

GAc = 8.4x105 Kg/cm2 

 Ac ηmáx = ? C

 A

B 

2m

1m 

∑Mη = 0

 Soluc  So lucii ón:

 11769 + MηC = 0 MηA –  11769

MτA + MτC = 11769 I Ec. 

∑θ = 0

Tr amo AB

θAl + θAc = 0

 A 

II Ec. 

(+)

 B

11769   Momento Polar Polar de Inercia Inercia:

B

                        −   −                                            . 4

=

32

  ;

=

32

=

.(5

=

=

 M η η A  - 11769 

 M ηη  A 

 

)4

32

.

3.716 10

á  

32

 

  ;

Tra Tr amo BC

 B 

 

 .

 .

  ;

=

 .

  ;

 .

 .

2.8 10 5

 .

UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL

 .(8

)3

  ;

5623.371 . (16)  .(5

/

2. 402.124

=

6135.629 . (16)

  ;

C  M η η A  - 11769 = M η ηc   

M η ηc   = -5633.371 Kg.cm 

 . 200

= 0. 0.02 0228 28 

6

(+)

 M ηη  A  - 11769

 

=

 Dado que:

á  

)4

.

. 4

=

.(8

)3

.

á  

=

=

  ;

.

(

8.4 10 5

.

 

 

.

11769) . 100

+ 4

/

 

/



2. 61.359

4

 

 

/

 

á  

28 

 

E SFUERZO Y DEFORMACIÓN UNIDAD I.- ESFUERZO RESISTENCIA DE MATERIALES

E j emplo # 12. Determinar el esfuerzos cortante máximo que  puede llegar a resistir el sistema sistema mostrado.   

3000Kg.cm 

 M ηη  A   

 D=5cm 

4500Kg.cm

GAl =

2.8x100 Kg/c 2.8x1 Kg/cm m GAc = 8.4x105 Kg/cm2  GBr  =  = 4.2x105 Kg/cm2  ηmáx = ?

 M η η D    

 D=4cm  D=3cm

Br

 Ac

 Al  A

D  B 

C

2.5m 

1.5m

1.9m 

∑Mη = 0

 Soluc  So lucii ón:

MηA + 300000 + 450000 + MηD = 0 ∑θ = 0

MτA + MτD = -750000 I Ec. 

Tr amo AB

θAl + θAc + θBr = 0

 A 

II Ec. 

 M ηη  A 

(+)

 B

M η η A   

300000

B  Momento Polar Polar de Inercia Inercia:

=

     

         −             . 4

32

  ;

.(3

32

= .

= =

=

=

Tra Tr amo BC

 

 

. 4

32

  ;

. 4

  ;

.

 B 

.(5 4 34 )

 

32

.

32

)4

 M η η A  - 11769 

 M ηη  A 

 M ηη  A   + 300000

(+) 450000

 

.(4

)4

32

C

M η η A   + 300000 

C

 

 M ηη  A   + 300000

M η η A   + 750000 

Tra Tr amo C D

 

C  

 M ηη  A   + 750000

(+)

 D

M η η A   + 750000 = M η η D  

29  UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL

 

E SFUERZO Y DEFORMACIÓN UNIDAD I.- ESFUERZO RESISTENCIA DE MATERIALES

Como:



=

   .

  ; en la Ecuación II, tenemos:  

 .

              . 250

0=

2.8 10 5

/

(

+ 4

2. 7.952

+300000)) . 150 +300000

8.4 10 5

/

2. 53.407

 + 4

   

(

+750000)) . 190 +750000

4.2 10 5

/

2. 25.133

−   −     −                           −   −                          1.336 10 =

á  

á  

=

á  

=

4

14.5027 

=

 .

 .

.

 .(3

  ;

 .

 .

  ;

  ;

)3

191446 19144 6 .856 . 16 16  .(54

)

 .(

.

108553 10855 3 .144 . (16)

  ;

 .

=

641446 64144 6 .856 . 16 16  .(4

)3

=

á  

5

34 )

  ;

  ; á  

.

=

/

=

 

.

.

 

 

.

á  

4

 

 

/

/

 

 

E j emplo # 13. Determinar el ángulo de torseón θ AE   ejercido  por el sistema.   M ηη  A   

210Kg.cm 

 D=5cm 

185Kg.cm

375Kg.cm   D=2.5cm 

 A

B 

25cm

C

15cm

D

15cm

GAc = 8.4x105 Kg/cm2 

E

25cm 

 Soluc  So lucii ón: ∑Mη = 0

MηA + 210 –  185  185 + 375 = 0

MτA = - 400Kg.cm

∑θ = θ AE   θAB + θBC + θCD + θDE = θ AE   I Ec. 

30  UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL

 

E SFUERZO Y DEFORMACIÓN UNIDAD I.- ESFUERZO RESISTENCIA DE MATERIALES

Tra Tr amo AB  A 

(-)

 B

 Momento Polar Polar de Inercia Inercia:

     

=

. 4

32

32

B

 

Tra Tr amo BCD BC D  B 

.(5 4 2.5 4 )

(-)

190

 

32

190 

400 

 

  ;

. 4

)4

32

.

=

=

.(5

  ;

.

190 

D

.(5 4 2.5 4 )

190

 

32

 D

185

 

  ;

400 

210

 

 

.

=

=



32

)4

32

.

. 4

=

.(5

  ;

32

=

=

Como:

              −       −  . 4

=

400 

 

375 

Tra Tr amo C D

   

 D 

(-)

 E

375

375 

   .

 .

  ; en la Ecuación I, tenemos: 

θAB + θBC + θCD + θDE = θ AE  

θ  AE = 8.4

 −     −    400 . 25

10 5

/

4

2. 61.359

θ  AE =  1.940 10

4

 

+

190 . 15

8.4 10 5

5.529 10

/

5

2. 61.359

4

5.998 10

 + 5

 −     −      190 . 15

8.4 10 5

/

2. 57.524

1.940 10

4

4

+

375 . 25

8.4 10 5

/

2. 57.524

4

 

−  − −  − −  − −  − −   −      −− 

θ  AE = 5.0227 10 4   5.0227 10 4 1  

 

. 180º

  ;

=

.

º 

31  UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL

 

E SFUERZO Y DEFORMACIÓN UNIDAD I.- ESFUERZO RESISTENCIA DE MATERIALES

E j emplo # 14. Determinar el esfuerzos cortante máximo que  puede llegar a resistir el sistema sistema mostrado. 

 M η  A 

500Kg.cm

 D=8.5cm 

GBr  =  = 4.2 4.2x1 x100 Kg/ Kg/cm 5 GAc = 8.4x10  Kg/cm2  GAl = 2.8x105 Kg/cm2

850Kg.cm 

 D=7.5cm

M η  E  

ηmáx = ?

D=6cm

Br

 Ac

 Al

 A

E  B 

C

1.9m 

2.7m

D

1.5m 

2.4m 

∑Mη = 0

 Soluc  So lucii ón:

MηA + 50000 - 85000 + MηE = 0 ∑θ = 0

Tra Tr amo A B C

θBr + θAc + θAl = 0

 A 

II Ec. 

 M ηη  A 

 Momento Polar Polar de Inercia Inercia:

            −         =

.

4

32

= =

.

. 4

32

  ;

C

M η η A   

50000

 

 M η η A  + 50000 

 M ηη  A 

 

4)

32

(+)

C )4

32

.

.( 4

=

.(7.5

  ;

=

=

MτA + MτE = 35000 I Ec. 

Tra Tr amo C D

.(8.5 4 64 )

  ; .(6

 

)4

32

.

−

32

 

 

C  

(+)

 M ηη  A   + 300000

 D

85000

 

M η η A   + 300000 

D  M ηη  A   + 50000

M η η A   - 35000 

Tra Tr amo D E  D 

 M ηη  A   - 35000

(+)

 E

M η η A   - 35000= M η η E 

32  UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL

 

E SFUERZO Y DEFORMACIÓN UNIDAD I.- ESFUERZO RESISTENCIA DE MATERIALES

Como:



=

   .

 .

  ; en la Ecuación II, tenemos: 

θ  AE

       

= 4.2 10 5

 .190

/

4

2. 310.631

 − 

+

. 270

8.4 10 5

= 0. 0.02 025 5 

5

          

    −    

=

á  

=

á  

=

 .

 .

 .

 .(

  ; .

  ;

 .

  ;

)3

 .(8.5 4

33089.124 . (16)  .(6

4

 +

   −     +50000)  . 150

(

2.8 10 5

)3

.

  ;

1910.876 . 16 16

)

 .

=

1910.876 . 16 16  .(7.5

2. 385.244

/

4

2. 127.235

+

(

2.8 10 5

                    −                

1.324 10

á  

/

á  

8.5

64 )

  ;

.

=

  ;

    á  

/

2. 127.235

4

 

.

/

=

á  

=

35000)  . 240

.

 

.

 

/

/

 

 

33  UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL

 

E SFUERZO Y DEFORMACIÓN UNIDAD I.- ESFUERZO RESISTENCIA DE MATERIALES

E jerci jercicios cios Pr Pro opue uest sto os.2.-  Una

barra se compone de 3 porciones de materiales diferentes. Hallar el esfuerzo máximo para cada material. 

1.- Determinar el esfuerzo máximo en

cada material, el cual es capaz de resistir el 1.-  Determinar el esfuerzo en cada sistema.  Ac = 8.4x10 5 Kg/cm2 alambre, suponiendo queGGestos son5 Kg/cm del 2   = 4.2x10 Br  = 5

GAc = 8.4x105 Kg/cm2 GAl = 2.8x105 Kg/cm2 GBr  =  = 4.2x105 Kg/cm2 

2

GAl = 2.8x10  Kg/cm

750Kg.cm   D=7.5cm 

260Kg.cm  320Kg.cm   D=4.5cm

 Ac

Br

 A B 

 D

E

2.20m

F

1.9m  2m

el esfuerzo máximo en cada material, el cual es capaz de resistir el sistema.  GAc = 8.4x105 Kg/cm2 GBr  =  = 4.2x105 Kg/cm2 

A

B

150Kg.cm  400Kg.cm 

C

1.8m

1.2m

0.9m 

el valor del esfuerzo máximo en cada material, el cual es capaz de resistir el sistema.  5 2 GBr  =  = 4.2x10  Kg/cm GAc = 8.4x105 Kg/cm2

350Kg.m 

 D=8cm 

 D=3cm

D

4.- Halle

200Kg.m  300Kg.m 

800Kg.m   D=6cm

D=2cm

 Ac

Br

0.5m

 Al  D=4cm 

3.-  Calcule

 A

D=6cm

 Ac

 Al

C  

1.5m 

 D=5cm D=6cm

400Kg.cm  2.5m

6000Kg.m 

B 

C  

0.7m 

 D

1.2m

E

0.6m  0.8m

D=2cm

 Ac

Br

F

G

0.8m

A

B

0.5m

Br

Macizo

C

1.5m

D

0.5m 

34  UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL