Esfuerzo Plano y Circulo de Mohr 2d
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Círculo de Mohr Fernando Guerrero Vélez
Momento de Inercia •
Rotación: •
El movimiento de una patinadora artística puede usarse para ilustrar 2 clases de movimiento puro no combinado.
Traslación Pura •
Rotación Pura
Podemos analizar la rotación de un cuerpo rígido, rígido, el cual gira alrededor de un eje de rotación. rotación .
Momento de Inercia •
Rotación: •
El movimiento de una patinadora artística puede usarse para ilustrar 2 clases de movimiento puro no combinado.
Traslación Pura •
Rotación Pura
Podemos analizar la rotación de un cuerpo rígido, rígido, el cual gira alrededor de un eje de rotación. rotación .
Momento de Inercia •
Rotación: •
Todo punto del cuerpo se mueve en un círculo cuyo centro se encuentra en el eje de rotación, y con el mismo ángulo durante un intervalo particular de tiempo.
•
Se pueden definir los equivalentes angulares de las cantidades lineales de posición, desplazamiento, velocidad y aceleración.
Momento de Inercia •
Rotación: Posición Angular
= =
Velocidad Angular
= = − − = =
Desplazamiento Angular
∆= − Aceleración Angular
= −− = = =
Momento de Inercia •
Rotación: •
Si consideramos cualquier cuerpo rígido en rotación como un conjunto de partículas con velocidades diferentes.
= + + 33+… = 12 •
El problema con v i es que no es la misma para todas las partículas. Esto se resuelve al considerar :
=
= 12 ( ) = 12
Momento de Inercia •
Rotación: Esta cantidad indica como esta distribuida la masa del cuerpo en rotación alrededor del eje. A esta cantidad se le denomina Momento de Inercia I.
= = 12 = 12 ( ) = 12
Momento de Inercia •
Rotación:
Centro de Masa •
Es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema.
•
De manera análoga, se puede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el centro de masas es un sistema equivalente al original.
Centro de Masa •
Si consideramos un sistema de partículas:
= + Si m2=0
x cm=0
Si m1=0
x cm=d
Centro de Masa •
De manera mas general:
= ++ = + = ++++33+3⋯+ ⋯ = = 1 Si x 2=0
Centro de Masa •
En cuerpos solidos:
= 1 = 1
= 1
= 1 = 1
Objeto con densidad uniforme:
= + + = 1
= 1
= 1
= =
= 1
= 1
Centroide: Centro de masa de un objeto con densidad uniforme.
Centroide •
•
• •
El centroide de una figura geométrica es el centro de simetría. Para cualquier otro Para unde objeto objeto formaunidimensional irregular de dosuniforme de longitud L, el centroide dimensiones, el centroide es es el punto el punto medio donde del segmento un soportede simple línea.puede equilibrar este objeto. Para un triángulo, el centroide es el punto de intersección Por lo general, deelsus centroide tres medianas. de un objeto bidimensional o tridimensional se encuentra utilizando integrales dobles o triples
Esfuerzo Plano •
El esfuerzo o tensión se define como una fuerza por unidad de área, con unidades en psi o MPa.
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Cada elemento infinitesimal en un material puede experimentar esfuerzos distintos al mismo tiempo, por lo que debemos considerar los esfuerzos como actuando sobre elementos infinitesimalmente pequeños dentro de la pieza.
Esfuerzo Plano •
Estos elementos suelen modelarse cada uno como un cubo, según se muestra en la figura.
Las componentes de los esfuerzos actúan en las caras de estos cubos de dos maneras distintas.
Los esfuerzos normales: Actúan de manera perpendicular (es decir, normal) a la cara del cubo y tienen tendencia ya sea a tirar de él (esfuerzo a tracción), o a empujarlo (esfuerzo a compresión). Los esfuerzos cortantes: Actúan paralelos a las caras de los cubos, en pares sobre caras opuestas, lo que tiende a distorsionar el cubo a forma romboidal.
Esfuerzo Plano •
El esfuerzo es un tensor de segundo orden y por lo tanto requiere nueve valores componentes para describirlo en tres dimensiones. El tensor de esfuerzos en tres dimensiones se puede expresar como la matriz. La notación para cada componente de esfuerzos contiene tres elementos, una magnitud (ya sea σ o τ). La dirección de una normal a la superficie de referencia (primer subíndice) y en una dirección de acción (segundo subíndice) Generalmente σ de referimos a los esfuerzos normales y τ para los esfuerzos cortantes.
Esfuerzo Plano •
El esfuerzo es un tensor de segundo orden y por lo tanto requiere nueve valores componentes para describirlo en tres dimensiones. El tensor de esfuerzos en tres dimensiones se puede expresar como la matriz.
Esfuerzo Plano •
En la región elástica de la mayor parte de los materiales de ingeniería el esfuerzo y la deformación están relacionados de manera lineal mediante la ley de Hooke. La deformación es también un tensor de segundo orden y se puede expresar para el caso tridimensional de la forma:
, , →ó ,, → ó .. Siempre habrá planos sobre los cuales las componentes de esfuerzo cortante sean igual a cero. Los esfuerzos normales que actúan sobre esos planos se conocen como esfuerzos principales.
Esfuerzo Plano •
El estado general del esfuerzo y la deformación es tridimensional, pero hay configuraciones geométricas particulares que pueden ser tratadas de manera distinta.
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El estado de esfuerzos en dos dimensiones, es decir biaxial, también se conoce como esfuerzo plano. El esfuerzo plano requiere que un esfuerzo principal sea igual a cero.
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Hay deformaciones principales asociadas con los esfuerzos principales. Si una de las deformaciones principales (digamos ε3) es igual a cero, y las deformaciones restantes son independientes de dimensión a lo largo del eje principal, este se conocerá como esfuerzo plano.
Circulo de Mohr
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Desarrollo hecho por Christian Otto Mohr (18351918), el círculo de Mohr es un método gráfico para determinar el estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo.
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Este método tiene aplicación para estados tensionales en dos y tres dimensiones.
Circulo de Mohr •
2 Dimensiones: •
Considere un cuerpo sobre el cuál actúa un estado plano de cargas (Plano XY).
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Adoptamos un elemento triangular donde se supone que los ejes x e y son principales, o sea las tensiones de corte en esos planos son nulas.
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Se muestra otro par de ejes coordenados los cuales han sido rotados un ángulo θ respecto del eje z , el par de ejes x 1 e y1.
Circulo de Mohr •
2 Dimensiones: •
Queremos obtener una relación entre las tensiones en las áreas Ax , Ay y Aθ.
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Evaluemos el equilibrio de fuerzas en la dirección del eje x:
•
Evaluemos el equilibrio de fuerzas en la dirección del eje x:
Circulo de Mohr •
2 Dimensiones: •
Considerando que Ax =Aθ.cosθ y que Ay =Aθ.senθ, entonces reescribimos las ecuaciones 1 y 2:
•
Multiplicando la ecuación (1-1) por cosθ, la (2-2) por senθ y sumando:
Circulo de Mohr •
2 Dimensiones: •
Considerando las relaciones trigonométricas
•
Llegamos a:
Circulo de Mohr •
2 Dimensiones: •
Para obtener el corte en el plano θ, multiplicamos (1-1) por senθ, (2-2) por cosθ, sumando ambas y considerando las relaciones trigonométricas (4) se llega a:
Circulo de Mohr •
2 Dimensiones: •
Las ecuaciones (5) y (6) son las componentes cartesianas de los puntos correspondientes a una circunferencia en el plano XY.
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Considerando sen2θ+cos2θ=1:
Circulo de Mohr •
2 Dimensiones:
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Esta circunferencia es la que se denomina circulo de Mohr para 2D.
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El ángulo formado por la recta con el origen y un punto cualquiera pertenece al perímetro de la circunferencia y tiene valor 2θ, siendo θ el ángulo de inclinación del plano para el cuál las tensiones sobre esa superficie valen σθ y τθ.
Circulo de Mohr •
3 Dimensiones: •
Sea un tetraedro con tres caras ortogonales las cuales definen un punto O el cuál adoptamos como nuestro origen de coordenadas, y la cuarta cara es un plano oblicuo.
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Sean las tensiones σi y las áreas Ai correspondientes a cada una de las i caras del tetraedro.
Circulo de Mohr •
3 Dimensiones: •
El equilibrio de fuerzas de este sólido se puede expresar a partir de la siguiente ecuación vectorial:
Circulo de Mohr •
3 Dimensiones: •
Sea un tetraedro con tres caras ortogonales las cuales definen un punto O el cuál adoptamos como nuestro origen de coordenadas, y la cuarta cara es un plano oblicuo.
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Sean las tensiones σi y las áreas Ai correspondientes a cada una de las i caras del tetraedro.
Circulo de Mohr •
3 Dimensiones: •
Sea un tetraedro con tres caras ortogonales las cuales definen un punto O el cuál adoptamos como nuestro origen de coordenadas, y la cuarta cara es un plano oblicuo.
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Sean las tensiones σi y las áreas Ai correspondientes a cada una de las i caras del tetraedro.
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