Esfuerzo Normal en Vigas
August 26, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Puesto que la sección transformada representa la sección transversal de un elemento hecho de un material homogéneo con un modelo de elasticidad
, el eje
neutro puede trazarse a través del controide de la sección transformada; y el esfuerzo
en cualquier punto del correspondiente elemento homogéneo ficticio
puede ser determinado de la ecuación (6.14).
∙
(6.14 repetida)
Donde “y” es la distancia desde la superficie neutra e
, el momento de energía de
la sección transformada con respecto al eje centroidal Z. Las deformaciones de un elemento compuesto también pueden ser determinadas usando la sección transformada en la ecuación (6.12) que nos de la curva de la línea neutra. 1 Un importante ejemplo de elementos estructurales hechos de dos materiales diferentes es el suministrado por vigas de concreto armado. b
b
c
y
yc
h d d-y Fs
n As
Fig. (6.14) Sección de viga de concreto armado y su distribución de esfuerzos.
Las varillas de acero colocadas a una pequeña distancia por encima de la cara inferior de la sección sirven de refuerzo al concreto cuya resistencia a la tracción no es buena. 28
Por debajo de la superficie neutra, el concreto se agrita a grita y las varillas de acero toman toda la carga de tracción, mientras que la parte superior de la viga de concreto toma toda la carga de compresión. Para obtener la sección transformada de una viga de concreto armado reemplazamos el área total A de las varillas de acero por un área ( n.As) (con n = Es/Ec).
Por otra parte, puesto que el concreto actúa efectivamente sólo en
compresión, debe considerarse únicamente la porción de la sección transversal ubicada por encima del eje neutro en la sección transformada. La posición del eje neutro lo define la distancia “y” desde la cara superior
hasta el centroide “c” de la sección transformada (ver figura 6.14). Si “d” es la distancia de la cara superior hasta la línea central cent ral de las maravillas de acero y “b” es el ancho de la viga; y como el momento estático de la sección
transformada con respecto al eje neutro es nulo, tenemos: (6.30)
× 0 × ∧ ⇒ 0
El signo (-) es porque (d – y) está debajo del eje neutro z . de la figura (6.14), (6.31)
ecuación que al resolver nos permite obtener la posición “y” del eje neutro en la viga y la porción de la sección de la viga de concreto que es usada efectivamente. La distribución de los esfuerzos en la sección transformada se evalúa en forma similar a lo ya explicado anteriormente.
PROBLEMA 6.6.
La viga de concreto armado cuya sección se ilustra, es
sometida a un momento flector positivo de 100 klb.pie. Sabiendo que el módulo de elasticidad es 3.75 x 106 lb/pulg 2 para el acero, determinar: a) el esfuerzo en el acero. b) es esfuerzo máximo en el concreto.
29
3.75 × 10
E s =
30 × 106 psi psi
24"
4"
20"
4
x 1"
2,5"
12"
SOLUCIÓN
n = 30 / 75 = 8 Determinación del eje neutro. (y)
84 844 18 25.1327
y L. N.
17.5 - Y
nA
s
Momento estático = 0
⇒ × × 17.5— 0 24 × 4 × 2 122 4 8 17.5 0 3 244 4870 0 244 ± 244 12 4870 2×3
30
16337.13214.94 36.5664± √ 1337. 5.1155 ..
Momento de inercia de la sección transformada.
112×24×4 2 ×24×4 24×4 24×45.5.152 525.15412×12× 12 ×12× 5. 1 54 54 (12× 5.154) × 2 25.13× 17.55.17 ⇒ 4924.51
Nótese que en I no no hemos considerado el momento de inercia de d e n.A respecto
a su propio eje controidal por ser relativamente pequeño en relación los que si fueron tomados en cuenta. Calcular de los esfuerzos: a) En el acero:
× × 12000000000 4924. 51×× 1 12. 2. 3 5 120 × 8 2 4 0 7 5 , 5
(Tracción)
b) En el concreto:
_ á 120 120000000 4924.00×5×1 5.15 1254.95 1
(Comprensión)
PROBLEMA 6.7:
Determina el máximo valor de P que puede soportar la viga de
concreto armado, cuya sección se indica; sabiendo que los esfuerzos admisibles a tracción y comprensión son: Acero:
121200
;
80 31
; 200
9
Concreto:
; 20
200 P
250 kg/m 400 mm
1m
50
0,5 m
1m
3 x x 1"
SECCION DE LA VIGA
SOLUCIÓN Utilizando el método de la sección transformada: y
0,35-y
20020 10
10
Área neta del acero:
3 × 4 7/80.0254 1.164 × 10− .. 10 × 0.000110116464 0.01111664
Luego,
La posición del eje neutro lo define la distancia “y” que a continuación evaluamos reemplazamos valores en la ecuación (6.31) 32
11640.01164 × 0.350 12 × 0.2 0.01164 → 0.1164 0.04 0
Momento de energía de la sección transformada: 13 × 0.2 × 0.155 0.01164 × × 0. 3 50. 1 5 5 6.906 × 10− El esfuerzo normal máximo en cada material lo determinamos por la ec. (6.16) evaluando previamente los momentos flectores máximos. -
Diagramas de fuerza cortante y momento flector:
Reacciones: ∑ M B = 0
× 1 24502 × 2.50.75 → =0.52296.875 0: 0.5 3828.12
33
P 250 kg/m
1m R A
1m
Sección de momento máx.
0,5 m
× 24502 2450 0
RB
De donde:
Luego,
2296,578 2450 → 0,5 2450 2450 á 2450 2 × 2450 2×2450
á 0.5 2296. 4900 87575
Sección de momento mínimo: del DMF está está en el apoyo B
í × 21× 2450 2450 × 1 í 2− 24900 24900 306.25
Cálculo del mayor valor de la carga P: -
Momento máximo positivo: En esta sección, el acero soporta el mayor esfuerzo 34
de tracción y el concreto el mayor esfuerzo de la comprensión. -
Esfuerzo en el acero: ec. (6.16)
. +. á á 6.906×10− 0.350.15
Igualando al esfuerzo admisible a la tracción del acero y efectuando:
16.92 × 120 × 10 0.5 2296.875
De donde, P = = 85 255,37 N -
En el concreto actúa el máximo esfuerzo de compresión:
-
49000.52296. × 6.906 8×757510− 0.155
Por dato, el esfuerzo admisible de comprensión del concreto es 9 Mpa.
De donde: -
9 × 100.1×3.5 384 0.5 2296.875 239390404..67
Momento máximo negativo: ahora, el acero soporta el esfuerzo máximo de comprensión, y el concreto tracción.
6.906306.× 2105 − × 0.2 8886869191
(σacero)comp = -0.089 MPa
Este valor es muy pequeño comparado con el esfuerzo admisible de comprensión para el acero (-80 Mpa). El máximo valor de P que satisface las condiciones de los esfuerzos admisibles dados es: 35
á 239 23904.04.67
PROBLEMA 6.8: Determinar la máxima carga “w” que puede soportar la viga
sabiendo que:
210 70
; ;
180 210 ;; 70 90
ROTULA w N/m
A
B
C
1,5 m
2m
2m
10 cm
A
2 cm
8 cm B
. 2
SOLUCIÓN
Primero determinaremos la sección critica, es decir aquella que soporta el mayor momento flector. Cálculo de reacciones:
∑ 00∶∶ 5.5 …… 1 Se sabe que en una rótula el momento flector es nulo:
entrando por derecha.
× 1.5 × 1.5 × 0.75 ×0 2 × 2.5 0 36
De donde,
0.75 .
Sustituyendo en (1):
4.753.33333 1.441616
M A
A
C
2m
1,5 m
R A
RB
2m 2w
1,416 w DFC
1.146
-2,083 w
0,173 w DMF
- 0,8 w
-2 w
También por condición de equilibrio
∑ 0
Reemplazando
×3. 5 × 3.5 × 1.75 2 ×10 4.9564.12525 0.883131 y despejando MA:
Conocidas ya las reacciones, se trazan los diagramas de fuerzas cortantes y momento flector. Del diagrama de momentos flectores, tenemos dos secciones de momento
37
máximo: en B, negativo y en D, positivo. Primero determinamos la ubicación de la L.N. mediante la fórmula:
… 1
Y
Z
B
L.N.
MB = -2 w
Y A = 9 Y
YB = 4 D
MD = 0,173 w
Reemplazando valores:
210 × 10210 × ×10100× ×202,×000009090 7070×10 ××110 × 1,2060000×8080 × 4040 ≅ 79.5 .
Cálculo de esfuerzos: Material A
C A:
áó × ; á. × ;
Distancia del punto más alejado a la línea neutra:
2020..5 .. → 3 20 × 80 20 100 × 20 12 3 × 10 ; 12 2563 × 10
Los momentos de inercia:
Tenemos entonces:
á 2000× 3 × ×10 20.5 0.01567 38
á 0.02101567 13,401.4
Igualando al valor del dato para
y despejando W:
Ahora, para el esfuerzo de comprensión:
3 × ××10 173000 20.5 9.0013 á 90 → 90 13 × 10− ∗ 2000× 79. 5 á ; 3 × ×10
Por dato,
Tenemos entonces para W:
W = =
69,230.77 N/m
* el valor de -79.5 indica la posición de la fibra más alejada que soporta comprensión. Luego:
á 3 × 605.33 × 10− 0.181 á 70
Por dato:
El material B soportará la maxima traccion en la sección situada a 1.416m. del empotramiento (punto D) á ∗ − ; 173000 173000 105 50.442 × 10 3 ×79. 79. En este caso (-79.5) es la ubicación de fibra que soporta tracción máxima.
→ á 3 × 50.442 × 10− 0.01515113 / / á 0.01801513 1111,,89696..9 /
reemplazando el dato para
y despejando W.
El máximo valor para la carga w es el menor de todos los obtenidos. 39
∴385. 5 ..
PROBLEMA 6.9
Se construye una viga compuesta uniendo firmemente
secciones de acero (E AC= 2.1 106 Kg/cm2) y aluminio (E AL= 0.7 106 Kg/cm2) de manera que el conjunto trabaja como una sola pieza. Determinar, para la porción horizontal principal de la viga las distribuciones de esfuerzo normal y deformación en las secciones de momento flector positivo y negativo. 3m
0.5 m
4 Ton
1 Ton
6 Ton (total)
1 Ton (total)
3m
3m
2m
m 5. 0 7.5 cm
Alum
10 cm
Acero
30 cm
SOLUCIÓN
Trazamos el D. C.L. de la viga
40
4m
6 Ton
1 Ton 4 Ton 3 Ton-m
A O
B R A
Q
RB 1.5 m
RC
1.5 m
1m
3m
RD 3m
2m
1m
Cálculo de reacciones en los apoyos. Descomponemos la viga dada en tres, utilizando las articulaciones como puntos de unión. Po es la carga debido a la acción de la viga OP.
1 ∑∑ 00 3.5 6 × 0.5 6× 2 7 24 2
w=2 T/m PO
A
B
R A
R A
Viga OQ 5 Ton
Q ∑M O: P 5 × 22.3.5 35.59.35 Ton ∑FQ O: PQ 6 P ↝ PQ 3 Ton ∑MQ O: RC 5.5/36 4 1 × 44//3 Rc =
PO
3,08 Ton.
3 Ton-m
Viga QD
41
PQ
O
1 Ton
1 ∑FY O: RC 3. 0 8 5. 531 0.2255
PQ
RC
RD
Reemplazando
en (1)
27.3 5 1.3
Si restamos la relación (1a) de la (2), R A = 2,47 Ton.
→ 6.1177
6∙ R R A = (72-27,5)/3
Diagrama de fuerza cortante y momento flector de la viga 3.18
2.47 1.25 0
0.25
D
F 1.235
DFC (TON)
-1.82
-3.53 4.59
1.52
1.59
0 DMF TON-m
-1.59
-3.6
42
Las secciones que soportan momento máximo son:
4.59 3.6
Sección F
-
Sección D
Distribución de esfuerzos y deformaciones Y
Ubicación de la L. N. (ecuación 6.21) A
Material A: Aluminio Z
5 2 =
L.N.
Material B: Acero
A
Y
Y
B
0 1 = B
Y
0. 7 ×10 ×0. 7 . 5 0252. 1 ×10 5 ×10 0.7 × 10 × 10.7.5 2.1 × 10×20×7. × 20 × 7.5
= Y =
12,14 cm cm
Sección F
++ .. ; 6.24
Aquí tenemos, 43
7. 5 10 2512.4 → 1212535322 3 ; 12 10 7.52512. 7. 5 20 12 207.512.410 → 58586464
Reemplazando valores en la ecuación (2.24)
15.237 / 125324590300 ××5864 45.711 /
Para la deformación usaremos la ecuación (6.9)
Evaluamos MB utilizando la ecuación (6.28):
459000 ×3 ×5864/125323 ×5864268049.7 268049. ×5864 7 2.16 ×10− 2.1×10
Reemplazamos los valores,
La distribución de deformaciones queda expresada por:
Sección D
Kg 360000 360000 11 11. . 9 5 y 30124 3535..85 Kg
El valor de MB en esta sección, es M B = -210235.05 Kg-cm y la distribución de deformaciones es:
210235. 0 5 − 2.1 ×10 ×5864 ×5864 1.7 ×10 44
PROBLEMA 6.10.
Se desea cconstruir onstruir una viga a partir de la unión de dos tipos
84 / / 119000 / 7000 700000 // 70 / / diferentes de madera: roble
y pino:
, para lo cual se proponen las
alternativas (a) y (b) indicadas. Determinar la alternativa alterna tiva más conveniente en cuanto a resistencia y calcular la máxima conviviente en cuanto a resistencia y calcular la máxima carga uniforme repartida w que pueda llevar la viga. w kg/m
1.20 m
3m
3 cm 3 cm cm 3 cm cm
15 cm 3 cm
roble pino
3 cm
roble
3cm
roble pino roble
1 5 c m
SOLUCIÓN:
Con el sistema de cargas dado, trazamos los diagramas de fuerza cortante y de momento flector de la viga. Para hacer el análisis de resistencia de la viga de dos materiales, consideramos como material B al roble; y como material A al pino:
1,0,179 1.7 .
Las ecuaciones (6.24) nos dá los esfuerzos:
45
o R2
R1
1.26 W 1.2 W
DFC (kg) 1.26
0.7938 W -1.74 W
DMF (kg-m)
-0.72 W
seccion 2
seccion o
Tanto por la simetría de ambas alternativas como por la ec. (6.21) se verifica que la L. N coincide con el eje centroidal z; es decir:
. 7.5
La viga cuya sección nos dá el mayor valor para el denominador de la relación (6.24) será lo más conveniente en cuento a resistencia. (vale decir mayor momentos de inercia
).
46
-
Momentos de inercia respecto a la L. N.
Alternativa (a)
Alternativa (b)
× 2 × 15×5 15×5 15156.6.254062. 5
× 2 2812. 141406506..25
B Z
L.N
A
Z
L.N
B
A
B
B
-
Por comparación de los valores obtenidos, concluimos que la alternativa (b) es la sección más resistente.
-
Cálculo de máxima carga “W”
Hacemos la evaluación de los esfuerzos máximos en las secciones sec ciones críticas ya identificadas (ver DMF), considerando la alternativa (b). Sección “O”: M) 79.38 ww Kg-cm
á 79.38 7.5 × 1.2 10− ó 1406.251.7×28125 0 77..5 á 1.7 × 1.2 10− 10− ó
Para ambos materiales el esfuerzo máximo de compresión compr esión es numéricamente
igual al de tracción (con
w=2.04
Para obtener “w”, igualmente estos valores con sus respectivos esfuerzos
admisibles: -
Material A:
. × 5833.33 / 47
-
.× 4117.64 / 72 72 × 7.5 − 72 7 5 1. 1 10 ó áá1.7 49218. − × 0 á 1.8877 10 ó
Material B:
Sección 2:
Repitiendo el procedimiento anterior, tenemos para esta sección: (materiales A y B respectivamente) W= 6363.6 kh/m
;
w= 4492 Kg/m
Por consiguiente, la máxima carga “w” que soporta la viga es 4117.64 Kg/m
48
6.2.2 FLEXIÓN ASIMÉTRICA
Ahora estudiaremos el cas caso o de vigas donde do nde los pares de flexión no actúan en un plano de simetría.
A. Para sección con un eje de simetría - Por el principio de superposición. Considérese primero un elemento con un plano vertical de simetría que se somete a un momento flector M que actúa en un plano que forma
∅
un
ángulo con el eje horizontal Z (Fig.6.15) M
Y
Z
G
Figura 6.15
∅; ∅
6.32
El par Mz actúa actúa en un plano vertical, flexa al elemento en dicho plano y genera el esfuerzo:
6.14
De otro lado, el par My actúa en un plano horizontal, flexa al elemento en dicho plano y genera el esfuerzo: 49
6.33
(Dejamos al estudiante el análisis para verificar los signos de
debido a My)
son momentos de inercia respecto a los ejes centroidales principales y –
z de la sección de la viga (
0
La expresión del esfuerzo normal causado por el momento resultante r esultante M se obtienen superponiendo las distribuciones de esfuerzos difinidos por las ecuaciones (6.14) y (6.33)
→
(6.34)
M
Y
Z
G
E . N
Fig. 6.16. Eje neutro que delimita zonas de tracción y comprensión. Para el diseño por resistencia, nos enteresa calcular los esfuerzos máximos (a la tracción y comprensión) en la SECCIÓN CRITICA de la viga, que viene a ser la que soporta el mayor momento flector resultante
.
Puesto que el EJE NEUTRO está definido por la condición de que en todos sus puntos el esfuerzo normal es nuño, igualmente a cero la relación (6.34).
Si reemplazamos para el E. N .: .:
0
por las relaciones (6.32) y despejando “y” tenemos
∙
(6.35)
(ecuación de un recta en el plano Y – Z donde m es la pendiente) Z donde
El ángulo que el eje neutro forma con el eje Y: − ⇒ ∅ 50
(6.36)
NOTA: Algunos textos y manuales consideran el ángulo entre el eje neutro y el eje Z. esta consideración transformaría la
en su inversión
.
B. Para sección Asimétri Asimétrica ca con respecto a los ejes Y-Z Los ejes centroidales de una sección, aún si es asimétrica; se determinan en forma analítica o usando el círculo de Mohr (se estudia en curso de Estática). Si U y V son los ejes Y
centroidales principales
de
una
y
U
sección, la expresión para la distribución de
esfuerzos debidos al z
par resultante M es:
C.G V
V
Fig. 6.17 Sección L, asimétrica respecto a y-z.
× × 66..37
Donde:
componente de M es el eje U. :: componente componente de M es el eje V.
51
u y
y U
las distancias del elemento de
área dA a los ejes centroidales V y U respectivamente.
My z
v son
son los momentos de inercia con
respeto a los ejes centroidales principales
U y V.
V
CASO GENERAL DE FLEXIÓN ASIMETRICA Expresando los esfuerzos en función de los momentos flectores y momentos y productos de inercia respecto a los ejes centrodales Y-Z de la sección transversal de geometría arbitraria. P
Z
R
Y
M
M G
Q
dx
S
Consideramos nuevamente un tramo de viga deformada. La sección RS gira un ángulo
respecto a su posición original
52
d
R R'
T
x
M
Z
U
d
N
Y
(y,z)
B
E.N.
a1 G
S' S
x
Figura 6.18 Semejanza de triangulos:
∆ ≈ ∆ : ∆
y-z: son ejes centroidales G: Centro de gravedad de la seccion
: Vector unitario normal del eje neutro.
Pero:
∆ ⇒ : . 6.388
De la figura de la sección transversal:
,, , ⇒
Luego, el esfuerzo normal:
53
en (b1,c1)
Como
/
es constante, la expresión para el esfuerzo
6.399
la podemos escribir:
a, b y c son constante que debemos hallar. Para cualquier sección tranversal de la viga, se cumple las condiciones de equilibrio.
∑ 0 ⇒ ∫ 0 ∑ 0 ⇒ ∫ × ∑ 0 ⇒ ∫ 0 ⇒ 0
(6.40 a) (6.40 b)
(6.40 c)
Sustituyendo la expresión (6.39) para
, en la ecuación (6.40 a).
Como y – z son ejes centroidales:
Pero
0 ⇒ 0 ⇒ × 0 ≠ 0 ⇒ 0
Reemplazamos
(con a = 0) en la ecuación (6.40b)
⇒ ∙ 66..40 ⇒ ⇒
Y ahora sustituyendo
en la ecuación (6.40 c)
(6.40 c – a)
Resolvemos las ecuaciones (6.40 b-a) y (6.40 c-a)c 54
6.40 0 × 6.40 ×(): ( ) 6.40 ×() 6.40 × : ( )
De donde:
Despejando C:
Sustituyendo las expresiones de a, b y c en la ecuación (6.39)
+ + − − . .
(6.41)
Que nos dá la distribución del esfuerzo en una sección transversal de viga que soporta carga ortogonales a su eje axial. -
Casos particulares 1. Si los ejes y-z son ejes principales, Iyz=0 (sección con un eje de simetría). s imetría).
((6.34) repetida)
Que es la ecuación anteriormente obtenida (véase apartado 6.2.2) 55
2. Si M y = 0: el vector M coincide con el eje z. M coincide La ecuación (6.41) se reduce a:
− −
(6.42)
Determinamos ahora localización del eje neutro para el caso general de flexión asimétrica. Y
De acuerdo a lo indicado, en la
seccion transversal la pendiente del E.N. es : m = tg = z/y. MY MZ
Igualando a cero x en la ecuacion (6.41) y depejando z/y:
Z E.N
+−
(6.43)
Cuando M y = 0, para obtener la pendiente del eje neutro hacemos ecuación (6.42)
0
en la
(6.44)
PROBLEMA 6.11. Para la viga cuya sección transversal se muestra, hallar el esfuerzo
normal actuante en el punto A de la sección crítica. Considerar que P pasa por el C. G.
Y
Datos de la sección:
A
185.9 17173030 146.5
X 1.5 m
P=20 kgf
56
Y
2 cm
6 cm Z
6 cm
2 cm A 3 cm
P 3 cm
SOLUCIÓN
Según es sistema de cargas, la sección de empotramiento es la sección crítica (soporta el memento máximo):
3,000 0
Cálculo del esfuerzo normal en el punto A (0, -8, - 3) Con las ec. Del esfuerzo normal es: las
0,
. × . ×
Reemplazando valores:
3000 ×146. 5 ×185. 9 185.93000 8 ×1730 146.5 185.9 ×1730 146.5 3
10.47 /
57
Gráfica de la distribución de esfuerzos:
Pendiente de la L. N.:
146.185.295 1.269 51.76° ≅52°
Y
reem.
Datos
N . L
Z
A
10.47
-
Veamos ahora solución usando ejes principales de inercia:
-
Cálculo de los momentos de inercia máxima y mínimo de la sección por el método gráfico del circulo de Mohr: En primer término, determinamos el centro del círculo y su radio R
2 185.9 21730 958 ⇒0 0.95858 1730185.9 2 2 146.5
58
785.82
171743.43.8282 172. 218 22 2×146.5 9 2 1730185. 212° →6°
Iyz (Iy,Iyz) Y (Iv,0)
U
V
2
I Z
Iu (Iz,Iyz)
Iy+Iz 2
Con estos valores representamos en la sección transversal los ejes principales centroidales u – v.
59
y u
M u
z M z
u A v
m
M v
P
q
n
z A ) ( y A, z
v A
6° 313.58 6° 2983.56
Las distancias del punto A los ejes principales: Sustituyendo valores:
8 coscos 6° 3 6° 8.27 8 coscos 6° 3 6° 2.14
La ec. (6.37) del esfuerzo normal:
. .
Sustituyendo valores:
60
313. 5 8 5 6 2983. ∙ 2.14 . 8. 2 7 172. 1 8 1743. 8 2 14.153.9 → 10.10.25 / /
PROBLEMA 6.12: Para el material de la viga que se muestra:
800 / 12120000 // ;
determinar el mayor valor de W
que puede soportar.
2 cm
y
w (Kg/m)
B
Y1
A m c 8 7.
m c 6 0
6m
1
2m
G
E m c m
2 c 2
Z1 C
D
SOLUCIÓN
Primero determinar el centro de gravedad y los momentos y productos de inercia de la sección.
1 826 11636 3.22 ̅ 1022016 3. 210102,23.2222 20203.3.221 21 288 161663.222 31314.4.22 31314.4.22 202.221.78 162.782.22 → 177.77
=
Localización de la sección de momento máximo. -
Trazamos ahora los diagramas de fuerzas cortante y momentos flectores: 61
3
2.
Momento máximo negativo: Ocurre en el apoyo 2:
1
lareacción × 2del × apoyo 1 21: Para 0 6 882 0 166 83
2 DFC
X
3.55 w
+
DMF
-
-2 w
Momento máximo positivo: dM/dx = 0
0 → 83 83 8 1 8 8 ∶ 3 3 2 3 3.5 → 355
Pendiente del eje neutro para cualquier sección de la viga.
2 2 ° 1. 7 674→60. 5 314. 177.77
Con este valor como referencia graficamos al distribución de fuerzo normal. El tipo de esfuerzo. a uno y otro lado del E.N. dependerá de si la ecuación soporta momento positivo o negativo.
62
B
A Y
E .N
44,5
E
C D
Puntos críticos A= (6.68,1.22) C= (-3.22,3.22)
6.42 . . . . . . . 67,129.27
Cuando
0
, tenemos la ec.
:
* En la sección de momento máximo positivo:
355.314. 314. 2 67, 2 2 1 29. 2 355. 7 177. 7 7. 1.66 0.94
El pto. A soporta el esfuerzo de comprensión máximo, mientras el pto. C, el esfuerzo de tracción máximo.
1.66 6.688 0.9494 1.222 9.994242 1.66 3.22 0.9494 3.22 8.337272
El valor de W lo obtenemos igualando los esfuerzos de A y C con los respectivos esfuerzos admisibles. 63
9.942 800 → ≅ 80 8.372 1200 → ≅ 80 //
* En la sección de momento negativo máximo: La ecuación de esfuerzo normal:
200 177. 7 7 314. 2 2 . 200 67,129.27 . 67,129.27 0.97 0.53 0.94 3.22 0.53 3.22 4.73 472 800 → 169 // 5.6 320.94 126.006.688 0.→53 1.1.222213 5.6632/32 → 80 /.
Ahora en c tenemos comprensión y en A tracción.
La respuesta para el valor de w debe satisfacer todas las condiciones de resistencia del material
PROBLEMA 6.13. determinar los máximos
P
esfuerzos normales producidos por flexión debido a la carga en el elemento mostrado.- sabiendo que su longitud es de
300
m 0 1
10m. y su sección transversal es cuadrada, siendo sus dimensiones en la parte superior de 600mm x 60mm y en la parte inferior de 120mm x 120mm.- determinar la posición de la sección en donde se producen estos esfuerzos,. (determinar y). nota: la carga actúa en
la
dirección
de
la
diagonal.
64
0 6
0 2 1
SOLUCIÓN
Se trata de una viga empotrada isostática en voladizo.- Por comodidad, “voltearemos” la viga de manera que el eje x (horizontal) coincida con el eje axial de
elemento. Tenemos entonces el DCL de la viga que se muestra en la página siguiente.
Cálculo de reacciones:
∑ : 300 ∑ : 103, 0 00
estudiada en curso de ESTATICA). Como la sección transversal es
P
Y
simétrica tanto con respecto al eje y A
B
X
como el eje z (ver figura), la línea
MX
neutra coincide con el eje z; y como la carga P actua en el plano x-y genera
X RX
momento flector MZ unicamente. 300
DFC (N)
+
O
DMF (N-m)
(-)
MX=P.X
3000
Los diagramas de fuerza cortante y momento flector para este tipo de viga son fáciles de obtener (viga ya 65
Para el esfuerzo normal, tenemos:
, ….
Y
y
60 cos 45°+a 60 cos 45°
a x a m
X
60 cos 45°
L.N. Y
z a
X
10,000 mm
Por semejanza de triangulos:
a x 60cos54 10,000 → a 0 0.003√ 2 x °
con este valor,quedan determinadas las dimensiones de la sección situada a una distancia x del extremo donde actúa la carga p; y por lo tanto, podemos obtener el momento de inercia de esta sección:
1 √ 2 √ 2 1 2 3 ] 3 (30 (30√ √ 2 ) 360 ⇒ 2[1212260 260 1 3 ((√ √ 22))2300. 4 003 3 300.003 ,, 300 (30 2 20. 0. 0 03 2 2) ) 900 2 √ √ √ á 300 × 30 1 0.001 410.0001 001 ….2
Reemplazando en (1) las expresiones obtenidas para
tememos para
el esfuerzo normal máximo en la sección x.
Para obtener el valor de x donde se produce el esfuerzo máximo en la viga, derivamos e igualemos a cero (teoría de máximos y mínimos).
0 001 ×0. 0 001 255 0 255√ √ 2 × 10.0001 10.310. 0001
66
⇒
1-0.0002x = 0
De donde, x = 5 000mm (RPTA) Reemplazando en (2):
(1Mpa= 1 N/mm2)
á 17.46 /
PROBLEMA PROPUESTOS
6.1. Durante la construcción del nuevo puente sobre el río Virú en la carretera Panamericana, las trabes principales principales se proyectan de un una a pila a la siguiente (ver la figura). Cada trabe tiene una longitud en voladizo de 51.82 m y una sección transversal en forma de I con con las dimensiones indicadas en la figura. La carga sobre cada trabe (durante el montaje) es de 750 Lb/pie, que incluye el peso de la misma. Determine el esfuerzo máximo de flexión en una trabe debido a esta carga.
67
6.2. Una viga DEC con un voladiz voladizo o de B a C so soporta porta una carg carga a uniforme de 2 200 00 Lb/pie. La viga es un canal U con las dimensiones mostradas en la figura. El momento de inercia respecto al eje z (el eje neutro) es igual a 5.14 puig4. Calculeel esfuerzo máximo en tensión
debido a la carga uniforme.
y el esfuerzo máximo de compresión y
200 lb / ft
0.674
z 10 ft
5 ft
C 2.496
6.3 Dos niños que pesan 90 Lb c/u ocupan el tablón de u un n sube y baja q que ue pesa 3 Lb/pie de longitud (vea la figura). El centro de gravedad de cada menor está a 8 pies del fulcro. El tablón tiene 228" de longitud, 8" de ancho y 1/2" 1/2" de espesor. ¿Cuál es el esfuerzo máximo de flexión f lexión en el tablón?
6.4 Una pequeña presa de altura h = 6 pies está construida de vigas AB verticales de madera, como se presenta en la figura. f igura. Las vigas de madera,
que tienen espesor b 2 1/2 están simplemente soportadas por vigas horizontales de acero en A y B. Trace una gráfica que muestre el esfuerzo de flexión máximo
en las vigas de madera versus la profundidad d
del agua arriba del soporte inferioren B. trafique el esfuerzo máximo
(psi) como la ordenada de la gráfica y la profundidad d (pies) como la
abcisa. (Nota: la gravedad específica del agua es,
6262..4 //
68
6.5. La sección transversal de un puente ferrocarrilero de vía angosta se muestra m uestra en la parte a) de la figura: El puente está construido con trabes longitudinales de acero que soportan los durmientes de madera. Las trabes están restringidas contra pandeo lateral por riostras diagonales, como se indica con la línea punteada. El espaciamiento de las trabes es s 1 = 0.8 m y la separación entre rieles es s 2 = 0.6 m. La carga transmitida por cada riel a un solo durmiente es P= 18 KN. La sección transversal de un durmiente [parte b) de la figura], tiene ancho b = 120 mm y altura d. Determine el valor mínimo de d con base en un esfuerzo permisible de flexión de 10 Mpa en
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