Esfuerzo Cortante

 

RESISTENCIA DE MATERIALES II

Ing. Luis Maya Aguirre Fecha: oct. 2016 - mar. 2017

UNIDAD 1 ESFUERZOS POR FLEXION EN VIGAS   q (KN/m) y M   V x

N

x

y Sección Longitudinal - Viga DIAGRAMA PLANO

B Sección Transversal - Viga

Donde:

σ = CTE en c/punto

N: Fuerza axial M: Momento flexionante

Observaciones: - En el dia diagra grama ma de cue cuerpo rpo libre libre mos mostr trado ado,, apa aparec recen en to toda dass pos posit itiva ivas, s, las tre tress rea reacci ccione oness del del equ equili ilibri brio o es está tátic tico o par paraa un est estado ado pla plano no de fue fuerza rzas,e s,esto sto es, es, la fuer fuerza za norm normal al N, la fu fuer erza za cort cortan ante te V y el mome moment nto o flex flexio iona nant ntee M. La fuer fuerza za N prod produc ucee los los es esfu fuer erzo zoss norm normal ales es ya an anal aliz izad ados os en la part partee in inic icia iall del curso; la fuerza cortante V, producirá los respectivos esfuerzos cortantes, que serán estudiados mas adelante. - El mo mome ment nto o fl flex exio iona nant ntee M, curv curvaa to toda da la viga viga en su mi mism smo o plan plano o de acci acción ón,, que que es el pl plan ano o long longit itud udin inal al YZ, YZ, por por lo cu cual al,, so sobr brev evie iene ne in inme medi diat atam amen ente te la ine inevit vitab able le def deform ormac ación ión.. En el cas caso o ana analiz lizad ado, o, la lass fibras fibras loc locali aliza zadas das en la par parte te sup superi erior or de la viga, viga, ex exper perime imenta ntan n los los aco acorta rtamie mient ntos os axi axiale aless máx máximo imos, s, mientras que las fibras del extremo inferior, los máximos alargamientos axiales. - Est Esto o pru prueba eba entonc entonces, es, la pre presen sencia cia adi adicio ciona nall en la sec secció ción n transv transvers ersal al de la viga, viga, de dos esf esfuer uerzo zoss norma normales les sim simult ultáne áneos, os, unos unos de compr compresi esión ón y ot otros ros de tracción, respectivamente, esto es en las fibras superiores e inferiores de la viga considerada.

MOMENTOS FLEXIONANTES: CASOS GENERALES. - PARA RESISTENCIA DE MATERIALES, SE HA ESTABLECIDO LA SIGUIENTE CONVENCIÓ CONVENCIÓN N DE SIGNOS:

Caso 1:

M < 0:

* FIBRAS SUPERIORES SE TRACCIONAN * FIBRAS INFERIORES SE COMPRIMEN

Donde: T: C: M:

T

M1

M2 C

Caso 2:

M > 0:

* FIBRAS INFERIORES SE TRACCIONAN * FIBRAS SUPERIORES SE COMPRIMEN C

M3

ΔZ

T

M4

ΔZ:

Tracción: Fibras se alargan Compresión: Fibras se acortan Momento ffllexionante Longitud inicial finita inicial finita  de la viga sin deformación

 

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1. ESFUERZO NORMAL.Si: M > 0: b

a

c

c

S.

y

N ΔZ δy δc

a

b

c VISTA LONGITUDINAL DE LA VIGA DEFORMADA EN EL PLAZO YZ

 c

Si:

- c

a

δc

entonces:

c

-

a

δy

=

y

=

CTE

q (KN/m) y

x EJE NEUTRO

SUPERFICIE NEUTRA x y

B

HIPOTESIS: 1. Las cargas se aplican en uno de los ejes principales. (PRODUCEN SOLAMENTE FLEXIÓN PURA; LA TORSIÓN ES CERO). SOLO EXISTE FLEXION TORSION = 0 2. Las secciones permanecen planas antes y después de la flexión δc

=

c

δy

y

=

CTE

a

(Todos los elementos longitudinales, inicialmente y sin deformació deformación, n, tienen la misma longitud) Conclusión: Lass def La deform ormaci acione oness axial axiales es (δ) en la lass viga vigass como como cons consec ecue uenc ncia ia de la flex flexió ión, n, re resu sult ltan an se serr prop propor orci cion onal ales es a la lass di dist stan anci cias as me medi dida dass desd desdee la su supe perf rfic icie ie neutra hasta las fibras consideradas. εy =

δy

Donde:

ΔZ

  ε: Deformación específica normal

 

RESISTENCIA DE MATERIALES II De ec.

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a : y

δy =

y εy =

εy =

y c

εy =

  y   c

εy

=

y

δc

c δc

c ΔZ δc ΔZ

εc

εc

=

c

CTE

b

Nota: Est Esto o signif significa ica que las deform deformac acion iones es nor normal males es esp espec ecífi ífica cas, s, res result ultant antes es de la flexió flexión, n, son pro propor porcio cional nales es a las dis dista tanci ncias as medidads desde la superficie neutra hasta las fibras en cuestión. 3. Los esfuerzos normales, no van mas allá de su límite de proporcionalidad (LEY DE HOOKE) σ = E ε

Ley de Hooke σ

ε=

E

Reemplazamos en ec. σy

Ey y

b

:

σc

=

Ec c

4. Módulo de Elasticidad (Módulo de Rigidez o Módulo de Young), permanece constante: E = CTE CTE.. Tan Tanto to en ttrac racció ción n co como mo en ccomp ompres resió ión n En consecuenci consecuencia, a, Los materiales deben ser homogéneos e isotrópicos σy

y

=

σc

c

==

CTE

1

Los Los esfu esfuer erzo zoss norm normal ales es por por fl flex exió ión n en la lass viga vigas, s, re resu sult ltan an ser ser prop propor orci cion onal ales es a la lass di dist stan anci cias as me medi dida dass desd desdee la su supe perf rfic icie ie neut neutra ra hast hastaa la lass fibr fibras as consideradas. σmax (-)

C M

Superficie Neutra

Mr

d1

z

T σmax (+)

Viga ((SSección LLo ongitudinal)

Diagrama de EEssfuerzos No Normales

Es importante nortar que estos esfuerzos actúan perpendicularmente a la sección transversal de la viga. Del equilibrio estático:

ΣFz = 0

T=C T d1 = C d1 = Mr

MOMENTO RESISTENTE

 

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POSICION DE LA SUPERFICIE NEUTRA: B dy

σy

 dN dA

y M

Superficie Neutra

Mr c.g.

Eje Neutro

z

b

Diagrama de Esfuerzos Normales (sobre la viga "T")

Hipótesis: - La Superficie Neutra (S.N.), coincide con el centro de gravedad (c.g.) de la sección transversal de la viga σ=

  N   A

N= σA dN = σy dA

dA = B dy

;

ΣFz = 0

0=

De ec.

1 :

σy =

0=

0=

dN = σy dA  A A y

σc

c

  y σc  A c

y dA = 

  σc

  c

dA

A

σc

c

y dA

σy

y

=

0

A

σy

y

En consecuencia:   0 = y dA =   A

Conclusión:

No es válido A=0

y A

No es válido

En consecuencia: y =0

2

Válido

- En flexión, para la hipótesis considerada en vigas homogéneas e isotrópicas, la superficie neutra, coincide con la superficie centroidal de la viga.

 

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ΣM (s.n.) = 0

M = Mr = y dN   A y ( σy dA )

Mr =   A Mr = A Mr =

y y σc dA c

σc

  c Mr =

σy

  y

Donde:

Mr =

σy =

2

( y   dA )

A 2

( y   dA )

A

( y2  dA ) = Inercia centroidal: Ixc = Ixg   A   σy

y

( Ixc )

Mr y Ixc

ECUACION GENERAL DEL ESFUERZO NORMAL POR FLEXION

3

Cálculo de los Esfuerzos normales por flexión: a. Si y = 0:

σ= 0

( Supe Superf rfic icie ie Ne Neut utra ra )

b. Si y = ymax: ( Fibras más extremas )

Esfuerzo normal máximo por flexión:

σmax =

σ=

σmax =

  Mr max * Ymax   Ixc

Mr Ymax Ixc ESFUERZO NORMAL MAXIMO POR FLEXIÓN CALCULADO (TEORICO)

Notas: esta ec ecua uaci ción ón pued puedee vers verse, e, la im impo port rtan anci ciaa fund fundam amen enta tall que que ti tien enee la se secc cció ión n tr tran ansv sver ersa sall de la viga viga,, en lo refe refere rent ntee a - En esta su posición que tenga, respecto del plano de flexión. - Hay una relación inve inversa rsa entre el esfuerzo nor normal mal calculado y la inercia de la viga.

 

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INERCIAS DE FIGURAS MAS CONOCIDAS SECCIONES TRANSVERSALES MÁS COMUNMENTE USADAS: a. Rectangulo: 2

y Ixx = Ixc =

 

H

x

Iyy = Iyc =

x

I11 = 1

1

I22 =

y

B H3 12 H B3 12 B H3 3 H B3 3

2 B

b. Circulo: y 4

 

D

x

Ixc = Iyc =

x

π  D

64

y

c. Triángulo rectángulo: 2 Ixx = Ixc =

y  

Iyy = Iyc =

H x

x

I11 = 1

1

(1/3) H I22 =

y

2

B H3 36 H B3 36 B H3 12 H B3 12

(1/3) B B

d. Triángulo: a

2

Ixx = Ixc =

y  

Iyy = Iyc =

h x

x

I11 = 1

1 y

2 xc = (a+b)/3

b

yc = (1/3) h I22 =

b h3 36 hb 36 b h3 12 hb 12

( a2 - ab + b2 )

( a2 + ab + b2 )

 

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TEOREMA DE STEINER (Teorema de los ejes paralelos):

y1 y

x

Teorema de Steiner:

c.g

Ix1-x1 = Ixc + ( A y 2 )

x

Iy1-y1 = Iyc + ( A x 2 )

 

y

y

x1 o x

CONDICION CONDICIO N REAL DE RESISTENCIA PARA EL DISEÑO: Es si siem empr pree mu muyy im impo port rtan ante te cons consid ider erar ar como como fa fact ctor or bási básico co,, la dife difere renc ncia ia que que ex exis iste te entr entree lo que que te tene nemo moss como como es esfu fuer erzo zoss norm normal ales es de cá cálc lcul ulos os teóricos, y cuanto en realidad puede resistir el material de la viga.

ESFUERZO NORMAL MAXIMO

σmax =

Mr max * Ymax Ixc

≤

ESFUERZO NORMAL MAXIMO ADMISIBLE

≤ (σmax)

ESFUERZO NORMAL MÁXIMO ADMISIBLE POR FLEXIÓN. Conoc Conocido ido tam tambié bién n como como Esf Esfuer uerzo zo Má Máxim ximo o de Tra Trabaj bajo, o, o Esf Esfuer uerzo zo Má Máxim ximo o Admisi Admisible ble,, se define define com como o el máx máximo imo esf esfuer uerzo zo permit permitido ido en los los cá cálcu lculo loss de dis diseño eño.. Se lo obt obtien ienee como como la rel relaci ación ón por por co cocie ciente nte ent entre re el esf esfuer uerzo zo que pro produc ducee la rotura rotura del del materi material al por por flexió flexión n y el Fac Facto torr de Seg Seguri uridad dad adopt adoptado ado.. Ëste deberá ser siempre mayor que la unidad (salvo otros casos de diseño, en donde puede ser este valor). Est Estee co conce ncept pto o sur surge, ge, por cua cuant nto o en las est estruc ructur turas, as, las car cargas gas rea reales les que ac actúa túan n so sobre bre las pie pieza zas, s, así como como las pro propie piedad dades es de los los mat materi eriale ales, s, pueden pueden varia variarr con consid sider erabl ableme emente nte en un sen senti tido do desfa desfavo vorab rable le de las que se con consid sider eraro aron n en el cál cálcul culo. o. Pue Puesto sto que las est estruc ructur turas as ti tiene enen n que trabaj trabajar ar en est estas as condiciones desfavorables (sobrecargas, heterogeneidad de los materiales), que son magnitudes de carácter accidental y que no pueden ser previstas, ent entonc onces es es nec necesa esario rio tomar tomar ciert ciertas as pre precau caucio ciones nes.. Por est estas as circun circunsta stanci ncias, as, lo loss esf esfuer uerzo zoss adm admisi isible bless se señ señal alan an por por debaj debajo o de los los es esfue fuerzo rzoss de rotura rotura de los materiales.

 

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2. ESFUERZOS CORTANTES La cons consid ider erac ació ión n del del esfu esfuer erzo zo cort cortan ante te vert vertic ical al como como ta tal, l, co cons nsec ecue uenc ncia ia de la Fuer Fuerza za Cort Cortan ante te Vert Vertic ical al V, se hace hace mu muyy poca pocass vece vecess en el an anál ális isis is y dis diseño eño de vig vigas. as. Sin emb embar argo, go, los esfue esfuerzo rzoss cor corta tante ntess verti vertica cales les se rel relaci aciona onan n direc directa tamen mente te con con los los esf esfuer uerzo zoss cor cortan tante tess horizo horizonta ntales les,, sie siendo ndo est esto o de gran gran im impo port rtan anci ciaa en al algu guno noss aspe aspect ctos os del del dise diseño ño de la lass viga vigas. s. Lo Loss esfu esfuer erzo zoss cort cortan ante tess hori horizo zont ntal ales es,, debe deben n cons consid ider erar arse se en en dos dos ap apli lica caci cion ones es importantes, y que las describimos asÍ: 1.- Lo Loss mat materi eriale aless uti utiliz lizado adoss en la lass vigas vigas tienen tienen baj bajaa res resist istenc encia ia al esf esfue uerzo rzo corta cortante nte en una dir direcc ección ión,, gener generalm alment entee la horizo horizonta ntal, l, como como se da en las vigas de madera. 2.2.- Cuan Cuando do se di dise seña ñan n vi viga gass comp compue uest stas as,, añad añadie iend ndo o cubr cubrep epla laca cass a la lass se secc ccio ione nes, s, o ensa ensamb mbla land ndo o viga vigass de ma made dera ra,, se requ requie iere re cono conoce cerr la lass fu fuer erza zass cortantes, para determinar los refuerzos respectivos, como pernos remaches y otros elementos.

M

- TENER MUY PRESENTE LO SIGUIENTE: N: actúa PERPENDICULARMENTE a la sección transversal de la viga V: actúa PARALELAMENTE a la sección transversal de la viga

  V N

τv Sección Longitudinal Longitudinal - Viga - Plano YZ

La fue fuerza rza corta cortante nte ve verti rtica call V, como como res result ultant antee vecto vectoria rial, l, ta tambi mbien en se distr distribu ibuirá irá so sobre bre el pla plano no YX de la sec secció ción n transv transvers ersal al de la viga, viga, pro produc ducien iendo do los los resp respec ecyi yivo voss esfu esfuer erzo zoss cort cortan ante tess vert vertic ical ales es,, si sigu guie iend ndo o al algu guna na le ley, y, que que va vamo moss a dedu deduci cir. r.En En el di diag agra rama ma de cu cuer erpo po li libr bree de es este te bl bloq oque ue el elem emen enta tal, l, tenemos que: Ex Exis isti tien endo do la únic únicaa ac acci ción ón ve vert rtic ical al haci haciaa abaj abajo, o, por por el equi equili libr brio io que que debe debe ex exis isti tir, r, ap apar arec ecee ot otro ro cort cortan ante te vert vertic ical al para parale lelo lo haci haciaa arri arriba ba.. Si Sin n emba embarg rgo, o, esto estoss dos dos cort cortan ante tess vert vertic ical ales es,, fo form rman an un par par hora horari rio, o, por por lo que que para para que que se ma mant nten enga ga el equi equili libr brio io in intterno erno fina final, l, en la lass se secc ccio ione ness hori horizo zont ntal ales es (longitudinales), deben aparecer dos cortantes horizontales, que entre si formen un par antihorario. Veamos ahora que relación existe entre estos dos cortantes:

τH

Donde:      

τv: Esfuerzo cortante vertical - Actúa en el plano YX. τH: Esfuerzo cortante horizontal - Actúa en el plano XZ.

τv  

τv = τH

LEY DE RECIPROCID RECIPROCIDAD AD DE CORTANTES QUE ACTÚAN EN PLANOS PERPENDICULARES PERPENDICULARES ENTRE SI

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE ELEMENTAL EN PLANO YZ.  A LO LARGO DE DE LA VIGA.

Ejemplo: FASE 1: - Viga conformada por láminas:

h

 APOYO

RESORTES INTERMEDIOS

APOYO

 

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FASE 2: - Pr Proc oced edem emos os a re reti tira rarr los los re reso sort rtes es;; y en co cons nsec ecue uenc ncia ia,, se prod produc ucee flex flexió ión n en la viga viga,, gene generá ránd ndos osee en entr tree la lass lá lámi mina nas, s, fu fuer erza zass de fric fricci ción ón,, pero pero horizontalmente. FASE 3: Se restituyen los resortes a la viga y se procede a unir todas las láminas con pernos verticales. FASE FASE 4: Se re reti tira ran n los los re reso sort rtes es nuev nuevam amen ente te y se perm permit itee la flex flexió ión n de la lass lá lámi mina nas. s. La defo deform rmac ació ión n del del conj conjun unto to se será rá mu much cho o meno menorr que que en la fa fase se 2, pues pues está está si sien endo do cont contro rola lada da por por la acci acción ón de lo loss pern pernos os,, pero pero ésto éstoss a su vez vez está están n some someti tido doss a a la lass mi mism smas as fu fuer erza zass de fric fricci ción ón an ante teri rior ores es,, que que no so son n sino las fuerzas cortantes horizontales, en el plano XZ.

f 

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE CUALQUIERA DE LOS PERNOS:

Donde: f: Fuerzas friccionantes

f1

f2

FUERZA CORTANTE HORIZONTAL

f = VH

(RESULTAN (RESULTANTE PLANO XZ. TE VECTORIAL)

f3

DEDUCCIÓN DE ECUACIONES DE LOS ESFUERZOS ESF UERZOS CORTANTES EN VIGAS. Ecuaciones:

A

B

Donde: ΔZ: Longitud finita de la viga

ΔZ

1

2

- En viga "T": B

M1

S

M2

N

X

c.g.

G yo

 

dN1

 dN2

y dy dA

  σ1

ΔZ

VIGA (Sección Longitudinal)

σ2

b VIGA (Sección Transversal)

c = Ymax

 

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Hipótesis: M2 > M1: σ=

  N   A

N= σA dN = σy dA N=

σy dA

σ =   M*y

  N2 =  

  Ixc

N=

  My   Ixc   A

dA

c

M2 y dA Ixc yo c

N1 =

  M1 y dA   Ixc   yo

ΣFz = 0

Si: M2 > M1

N2 > N1

Ent Entonc onces, es, par paraa que el equ equili ilibri brio o horiz horizont ontal, al, se est establ ablezc ezca, a, debe debe par partic ticipa iparr la pro propia pia viga viga med media iante nte una fue fuerza rza horizo horizonta ntall VH que se produce en el interior de la misma. En consecuenci consecuencia: a:

1

N1 + VH = N2

Esfuerzo Cortante horizontal promedio: VH

τH =

b Δz

VH = τH (b Δz)

De ec.

1 :

b Δz

Area viga =

2

VH = N2 - N1     VH =  

c

c M2 y dA Ixc Ix

M1 y dA Ixc

-

  yyo o

yo  

VH =

 

M2 - M1 Ixc

c y dA

  yo ΔM = M2 - M1

Incremento finito de Momento flexionante  

VH =

ΔM

 

Ixc

c y dA

=  τH (b Δz)

  yo   τH =

ΔM

b Δz

1 Ixc

c y dA

  yo

=  τH promedio

 

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Ing. Luis Maya Aguirre Fecha: oct. 2016 - mar. 2017   dM dz

τH EXACTO =

1 b Ixc

c y dA

  yo

Δz → 0 (dz) ΔM → (dM)

dM dZ

V =

  V

τH =

y dA

Ixc b

  Sx =

  yo

c

MO MOME MENT NTO O ES ESTA TATI TICO CO del del área área deli delimi mita tado do por por la al altu tura ra de la lass fibr fibras as inve invest stig igad adas as y la lass fibr fibras as má máss ex extr trem emas as resp respec ecto to de su superficie neutra.

y dA   yo

V Sx Ixc b

τH =

Nota:

c

ECUACION GENERAL DEL ESFUERZO CORTANTE POR FLEXION EN VIGAS

3

A pesa pesarr de te tene nerr la Ecua Ecuaci cion on Gene Genera rall del del Esfu Esfuer erzo zo Cort Cortan ante te Ho Hori rizo zont ntal al,, aú aún, n, no cono conoce cemo moss la le leyy de va vari riac ació ión n de es este te cortante en función de la geometría de las vigas.

VARIACION DE LOS CORTANTES.- Viga "T":

c V Sx Ixc b

τH =

V Ixc b

=

y dA

; dA = b dy

  yo

V Ixc b

τH =

 

c

 

y (b dy)

  yo c 2

y 2

V Ixc

τH =

yo V

τH =

Ley de Variación para la viga "T"

c2  - yo2

2 Ixc

Parabólica de grado 2

Valores críticos: - Si: yo = 0

(Superficie Neutra)

τH =

- Si: yo = c

(Fibras extremas)

τH = 0

τH

max =

  V c2   2 Ixc

B

A E

N c.g.

τH max

2° b

=

  V c2   2 Ixc

 

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Ing. Luis Maya Aguirre Fecha: oct. 2016 - mar. 2017

- Viga Rectangular: Rectangular: V 2 Ixc

τH =

Ley de Variación para la viga rectangular (Igualmente Parabólica de grado 2)

(H2/4) - yo2

Valores críticos: - Si: yo = 0

(Superficie Neutra)

- Si: yo = H/2 (Fibras extremas)

τH =

τH

max =

  V H2   8 Ixc

=

  3 2

V BH

τH = 0

y

x

H

x

c.g.

τH max

=

  3 2

V BH

 A y B OBSERVACIÓN: Es decir que el esfuerzo cortante horizontal máximo de una viga de secc secció ión n re rect ctan angu gula lar, r, es el 50 % ma mayo yorr que que el co cort rtan ante te medi medio, o, ob obte teni nido do al  di divi vidi dirr la fuer fuerza za co cort rtan ante te to tota tall para para el área área de la secc secció ión n tr tran ansv sver ersa sall de la viga. Conclusión: - Para materiales homogéneos e isotrópicos: τH → f (parabólica de 2° grado) con valores máximos en la S.N. y cero en las fibras extremas.