Esfera de Riemann

 

Esfera de Riemann En matemática, la Esfera de Riemann (o plano complejo extendido), llamado así al matemático del sigo XIX Bernhood Riemann, es una esfera obtenida del plano complejo mediante la adición de un punto del infinito. La Esfera es la representación geométrica de los números complejos extendidos,

̌ℂ ℂ ∪ ∞}

denotado como  o conjunción con el símbolo

, la cual consiste en los números complejos ordinarios en  para representar el infinito.

Los números complejos extendidos son comunes en análisis complejo porque permiten la división por cero en algunas circunstancias, en el sentido de hacer expresiones bien definidas tales como:

1=∞ 0

 

Por ejemplo, cualquier función racional sobre el plano complejo puede ser extendida como una función continua sobre la esfera de Riemann, con los polos de la función racional mapeados al infinito. Más generalmente, cualquier función meromorfa puede ser pensada como una función continua cuyo codominio es la esfera de Riemann. En geometría, la esfera de Riemann es el ejemplo prototípico de una superficie de Riemann, y una de las más simples variedades complejas. En geometría proyectiva, la esfera puede ser pensada como la recta proyectiva compleja de todos las rectas complejas en

ℂ

ℂℙ

, el espacio proyectivo

. Como con cualquier superficie de Riemann

compacta, la esfera también puede ser vista como una curva algebraica proyectiva, haciendo de esto un ejemplo fundamental de geometría algebraica. También encuentra utilidad en otras disciplinas que dependen del análisis y de la geometría, como puede ser la mecánica cuántica y otras ramas de la física.

 

Zorrilla Villarreal Luis Daniel (17190236) - CCencho Condori Ivan Antony (17190192) (17190192 )

En mecánica cuántica, los puntos de la recta proyectiva compleja son los valores naturales de los estados de polarización de fotones, los estados de spín de las partículas masivas de espín 1/2, y las partículas de 2-estatales 2 -estatales en general. La Esfera de Riemann se ha sugerido como un modelo relativista de la esfera celeste. También es importante en la teoría tuistor. 

Definimos la proyección estereográfica entre el plano complejo y la esfera de Riemann. Se llama Esfera de Riemann a la esfera

 = ((, , 3) ∈ ℝ3 ∶  +  + 3 = 1}.

 

Sea

ℂ = ℂ ∪ ∞}

 el plano complejo ampliado. Definimos la aplicación:

 (,,0) (0,0,1) En donde

 es el punto (diferente de

  y estereográfica.

1. 

)=  ∶ ℂ → , {((∞+ ) =(0,0,1). (0,0,1) 

+∈ℂ

si

 

 

) en el que la recta de

  corta a la esfera. A la aplicación

ℝ3

 que pasa por

  se le llama proyección

Demostrar que las ecuaciones de la proyección estereográfica son

1 2 2 || (+)=|| + 1 , || + 1 , || + 1  =+∈ℂ.

Sol.:



 

(,,0) (0,0,1) (,,1)    = λ . . = λy. Z=1

Un vector de dirección de la recta  que pasa por

 y

 es

.

Por lo tanto, unas ecuaciones paramétricas de  son  

λ.λ  + λ  + (1  λ ) = 1∶ λ (λ ( +  + 1)  2) = 0 λ = 0 λ = 2⁄( +  + 1) λ = 0 (0,0,1)     λ = 2⁄( +  + 1) = 2⁄(|| + 1) 1 2 2 || =(+)=|| + 1 , || + 1 , || + 1  =+∈ℂ. Obligando a que corten a

 

 

 o bien

Obtenemos

  o 

, en consecuencia el punto de corte

. Para

  obtenemos el punto

 corresponde a  

Sustituyendo las ecuaciones paramétricas:

 

 

Zorrilla Villarreal Luis Daniel (17190236) - CCencho Condori Ivan Antony (17190192) (17190192 ) 2. 

Demostrar que las ecuaciones de la inversa de la proyección estereográfica son

−(, , 3) = 3+1    (, , 3) ≠ (0,0,1).  − −(, , 3) =+ ∈ℝ  =  , =  ,3 =1.   −(, , 3) =+= 3+1    (, , 3) ≠ (0,0,1).  

Sol.:

Por consideraciones geométricas es claro que existe

. Si

 es biyectiva, lo cual implica que

 entonces, existe

 tal que

 

Eliminando  de entre estas e stas ecuaciones, obtenemos: