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Esercizi

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Esercizi sulla cinematica del punto 1. Sia Γ l’arco di curva con equazioni cartesiane parametriche  x1 = a cos t  x2 = b sin t ,  x3 = 0 dove t ∈ [0, 2π] ed a, b ∈ IR, con a > b > 0. Assumendo come origine dell’ascissa curvilinea su Γ il punto A = (a, 0, 0), ed orientando Γ nel verso delle t crescenti, si ricavino, in funzione del parametro t, i versori della terna intrinseca (τ , ν, β), la curvatura e la torsione. 2. Si risolva lo stesso esercizio del punto 1, con Γ definita da  x1 = t  x2 = at2 ,  x3 = 0 dove t ∈ [−1, 1] ed a > 0. 3. Una guida `e definita, in coordinate cilindriche (%, ϕ, z), dalle equazioni ¾ % = a eϕ , z = bϕ con a e b costanti reali positive. 1 Scrivere le espressioni dei vettori tangente, normale e binormale in un sistema di riferimento ortonormale levogiro (O; e1 , e2 , e3 ), con e3 diretto lungo z. 2. Determinare la curvatura della guida in un suo punto generico. 4. In un sistema di riferimento ortogonale levogiro (O; e1 , e2 , e3 ), la velocit`a di un punto con coordinate (x1 , x2 , x3 ) ha l’espressione v = −k (x2 e1 − x1 e2 ) , con k costante reale positiva. Sapendo che all’istante t = 0 si ha x1 (0) = R > 0, x2 (0) = x3 (0) = 0, trovare la traiettoria e la legge oraria del moto del punto.

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5. Le coordinate cartesiane di un punto dipendono dal tempo secondo le leggi  x1 = C eλt  x2 = C e−λt ,  x3 = 0 con C e λ costanti reali positive e t ≥ 0. Determinare la traiettoria del punto e le componenti tangenziale e normale della sua accelerazione a. Dimostrare inoltre che a `e sempre diretta verso O = (0, 0, 0). 6. Si consideri un sistema di coordinate cartesiane ortogonali Oxy in un piano. Una retta, inizialmente coincidente con l’asse x, trasla con velocit`a costante u parallela all’asse y. Un punto P si muove sulla retta in modo che l’angolo P[ AB sia sempre di π/2, essendo A un punto dell’asse x di ascissa a costante e B l’intersezione della retta con l’asse y. Determinare la legge oraria di P e l’equazione cartesiana della sua traiettoria. Che curva viene descritta da P durante il moto?

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Esercizi sulla dinamica in una dimensione 1. Una particella di massa m in una dimensione possiede energia potenziale V (x) = −

k x2 k x4 + , 2 4 a2

dove k e a sono costanti reali positive, ed x ∈ IR. 1. Tracciare le curve di fase nel piano (x, x). ˙ 2. Descrivere qualitativamente il moto della particella per t > 0, supponendo che all’istante t = 0 essa occupi la posizione x(0) = a e possieda velocit`a r k a2 x(0) ˙ = . 2m 2. Una particella di massa m si muove in una dimensione sotto l’azione di un campo di forze con energia potenziale K V (x) = − , 4 (x/a) + b (x/a)2 + 2 dove K, a e b sono costanti reali, con K e a positive. 1. Tracciare le curve di fase e descrivere qualitativamente i moti possibili della particella, nei casi b = 2 e b = −2. 2. Nel caso b = −2, determinare la frequenza delle piccolissime oscillazioni attorno a una posizione di equilibrio stabile, se questa esiste. 3. Una particella di massa m si muove lungo una retta ed `e soggetta a un campo di forze con energia potenziale V (x) = −A x e−x/α , dove A, α sono costanti positive e x `e l’ascissa della particella. 1. Tracciare le curve di fase. 2. Descrivere qualitativamente i vari tipi di moto possibili per la particella. 3. Determinare la frequenza delle piccolissime oscillazioni attorno a una posizione di equilibrio stabile. 4. Supponendo che all’istante t = 0 siano x(0) = 0 e x(0) ˙ = −v < 0, determinare il limite di x(t) ˙ per t → +∞. 4. Si consideri una particella con posizione x ∈ R ed equazione del moto ¡ ¢3/2 x¨ = a 1 − x˙ 2 /c2 , dove a e c sono costanti positive. 1. Determinare posizione e velocit`a della particella al generico istante t, supponendo che siano x(0) = 0 e x(0) ˙ = 0. Suggerimento: ! Ã 1 d y p = . dy 1 − y2 (1 − y 2 )3/2 3

2. Tracciare la curva di fase corrispondente e descrivere il comportamento della particella. 3. Determinare il legame tra posizione e velocit`a nel limite c → +∞, interpretando il risultato. 5. Una particella di massa m si muove in una dimensione sotto l’azione di un campo di forze associato all’energia potenziale A V (x) = − , 1 + (x/a)2 dove A ed a sono costanti reali positive e x `e l’ascissa della particella. Inoltre, su di essa agisce la forza di attrito viscoso −ζ x, ˙ dove ζ ≥ 0. 1. Tracciare le curve di fase nel piano (x, x) ˙ nel caso ζ = 0. 2. Fissato x0 < 0 e posto

µ v¯ :=

2A/m 1 + (x0 /a)2

¶1/2 ,

tracciare le curve di fase corrispondenti alle seguenti condizioni iniziali, nel caso ζ 6= 0: 2.1 x(0) = x0 ; 0 < x(0) ˙ < v¯; 2.2 x(0) = x0 ; x(0) ˙ = v¯; 2.3 x(0) = x0 ; x(0) ˙ > v¯. 6. Una particella di massa m `e vincolata a muoversi senza attrito lungo una retta r ed `e collegata a un punto fisso O ∈ r per mezzo di una molla ideale, di lunghezza a riposo nulla e costante elastica k. Inoltre, su di essa agisce una forza avente la stessa direzione di r e di valore F (t) = a cos Ωt + b cos 3Ωt , dove a, b e Ω sono costanti reali. 1. Determinare i/l valori/e di Ω per cui si ha risonanza. 2. Supponendo di essere in condizioni di risonanza, determinare la posizione della particella a un generico istante di tempo t > 0, sapendo che per t = 0 essa si trova in O con velocit`a nulla.

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Esercizi sulla dinamica di una particella in pi` u dimensioni 1. In un sistema di riferimento inerziale (O; e1 , e2 , e3 ), una particella di massa m e carica elettrica q `e immersa in un campo magnetico uniforme e costante B = B e3 , e in un campo elettrico uniforme ma variabile nel tempo, E = E cos ωt e1 +E sin ωt e2 . La forza agente sulla particella quando essa ha velocit`a v `e pertanto F = q E + q v × B. 1. Scrivere le equazioni differenziali del moto della particella. 2. Stabilire se esistono valori dei parametri per i quali l’energia cinetica della particella rimane costante. 3. Determinare la posizione della particella ad un istante t generico, sapendo che all’istante t = 0 essa si trova in O ed ha velocit`a nulla. 2. In un sistema di riferimento inerziale (O; e1 , e2 , e3 ), una particella di posizione x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 e massa m `e soggetta al campo di forze F = −k x1 e1 − 4 k x2 e2 , dove k `e una costante positiva. 1. Stabilire se il campo `e conservativo. 2. Scrivere le equazioni del moto della particella. 3. Determinare la soluzione delle equazioni trovate al punto 2, supponendo che all’istante di tempo t = 0 la particella occupi l’origine con velocit`a v01 e1 + v02 e2 . 4. Descrivere la traiettoria della particella. 5. Calcolare il lavoro compiuto dal campo di forze sulla particella in un tempo T > 0 generico. 3. In un sistema di riferimento non inerziale (O; ε1 , ε2 , ε3 ) con velocit`a angolare ω = α t ε3 , dove α `e una costant reale, una particella si muove senza attrito sul piano individuato da ε1 ed ε2 , ed `e collegata al punto O per mezzo di una molla ideale, di lunghezza a riposo nulla e costante elastica k. 1. Scrivere le equazioni pure del moto della particella. 2. Scrivere le espressioni di eventuali integrali primi del moto.

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Esercizi sulla dinamica di una particella vincolata 1. In un sistema di riferimento inerziale (O; e1 , e2 , e3 ), con e3 verticale, una particella P di massa m `e vincolata senza attrito alla parabola di equazione z = y 4 − 4, x = 0. Oltre al peso, il punto P `e soggetto alla forza elastica Fe = kP P 0 verso la sua proiezione P 0 sull’asse y. 1. Determinare le posizioni di equilibrio e la loro stabilit`a. 2. Scrivere l’equazione pura del moto della particella. 3. Determinare la posizione di P al tempo generico t, sapendo che per t = 0 P (0) = (0, 2, 0) e y(0) ˙ = −10. 4. Determinare la reazione vincolare quando y = −2. 2. Nel piano verticale Oxy di un sistema di riferimento inerziale (O; e1 , e2 , e3 ), con e2 verticale, una particella P di massa m `e vincolata a muoversi senza attrito lungo la circonferenza di equazione x2 + y 2 = R2 . Oltre al peso, il punto P `e soggetto alla forza elastica Fe = kP P 0 verso la sua proiezione P 0 sull’asse x. 1. Determinare le posizioni di equilibrio. 2. Determinare la stabilit`a delle posizioni di equilibrio trovate, al variare del parametro . adimensionale λ = mg kR 3. Scrivere l’equazione pura del moto della particella. 4. Descrivere qualitativamente il moto al variare dell’energia e di λ, tracciando il ritratto di fase in tutti i casi che presentano qualche differenza. 3. Nel piano verticale Oxy di un sistema di riferimento inerziale una particella P di massa m `e in moto lungo una guida orizzontale liscia di equazione y = R, con R > 0, con velocit`a v = v0 e1 . All’istante t = 0 la sua posizione era nel semipiano x < 0. La guida orizzontale ha termine sull’asse y. Per x > 0 il punto P si appoggia a un profilo circolare di equazione x2 + y 2 = R2 . 1. Determinare la posizione sul profilo circolare in cui avviene il distacco di P . 2. Determinare la velocit`a di P all’istante in cui avviene il distacco dal profilo circolare. 4. In un sistema di riferimento inerziale (O; e1 , e2 , e3 ), una particella di massa m `e vincolata senza attrito al piano individuato dai versori e1 ed e2 , ed `e collegata a un estremo di una molla ideale, di lunghezza a riposo nulla e costante elastica k. L’altro estremo della molla ha coordinate assegnate in funzione del tempo x1 (t) = R cos Ωt, x2 (t) = R sin Ωt, x3 (t) = a, dove R, Ω e a sono costanti reali positive. 1. Scrivere le equazioni pure del moto della particella. 2. Determinare la soluzione delle equazioni trovate al punto 1, con condizioni iniziali generiche. Discutere il comportamento della particella per diversi valori di Ω. 5. In una regione di spazio di un sistema inerziale `e presente un campo magnetico uniforme e costante di modulo B. Una guida rettilinea disposta perpendicolarmente alle linee di forza del campo trasla con moto armonico di ampiezza A e frequenza Ω lungo la direzione perpendicolare sia alla guida che al campo. Una particella di massa m e carica q `e vincolata senza attrito a muoversi lungo la guida ed `e collegata a un punto Q di essa per mezzo di una molla ideale, di lunghezza a riposo nulla e costante elastica k. 6

1. Scelta una base opportuna nel sistema inerziale, scrivere le espressioni delle componenti della forza di Lorentz agente sulla particella, sapendo che la sua forma generale `e qv × B. 2. Determinare la posizione della particella lungo la guida al generico istante di tempo t con condizioni iniziali generiche. 3. Determinare la reazione vincolare esercitata dalla guida sulla particella al generico istante t. 6. Nel campo dei gravi, si introduca il sistema di coordinate cilindriche (%, ϕ, z), con l’asse z verticale orientato verso l’alto. Una particella di massa m `e vincolata senza attrito sulla superficie di equazione µ ¶ z2 ρ = R exp − , 2 R2 dove R `e una costante positiva. 1. Scrivere le espressioni di due integrali primi del moto, spiegando per quali ragioni essi si conservano. 2. Ricondursi a un problema unidimensionale nella variabile z. 3. Descrivere qualitativamente i moti possibili per la particella. 4. Si supponga che all’istante t = 0 la particella occupi la posizione con z = 0 e ϕ = 0 e che la sua velocit`a abbia modulo v0 e sia diretta verso l’alto, formando un angolo di π/4 rispetto all’orizzontale. Determinare la quota massima raggiunta dalla particella. 7. In un piano verticale fisso nel campo dei gravi, una particella di massa m `e vincolata a scorrere senza attrito lungo una guida di equazione cartesiana 1 y = − α x2 , 2 dove x `e una coordinata orizzontale, y `e verticale ascendente e α `e una costante positiva. ˙ per diversi valori dell’energia. 1. Tracciare le curve di fase nel piano (x, x) 2. Determinare il valore dell’energia, e le possibili condizioni iniziali corrispondenti, per cui la coordinata x varia linearmente nel tempo. 8. Un campo di forze agente in un piano ha l’espressione F = a x2 e1 + 2a x1 e2 , dove a `e una costante reale e (x1 , x2 ) sono coordinate cartesiane rispetto al sistema ortonormale (O; e1 , e2 ). 1. Stabilire se il campo `e conservativo. In caso affermativo, determinarne l’energia potenziale. 2. Tracciare le curve di fase per il moto di una particella vincolata alla circonferenza di centro O e raggio R, sotto l’azione del campo di forze suddetto. 9. Una particella P di massa m `e vincolata senza attrito a muoversi su una retta fissa r in un −→

sistema inerziale, ed `e soggetta al campo di forze F = kx/ |x |3 , dove x := OP con O un punto fisso a distanza a da r. 7

1. Stabilire se il campo di forze `e conservativo. In caso affermativo, determinarne l’energia potenziale. 2. Scrivere l’equazione pura del moto. 3. Tracciare le curve di fase e discutere qualitativamente il moto distinguendo i casi k > 0 e k < 0. 10. In un sistema di riferimento inerziale (O; e1 , e2 , e3 ), una particella P `e vincolata a scorrere senza attrito lungo la guida circolare di centro O e raggio R contenuta nel piano individuato da e1 ed e2 , ed `e soggetta al campo di forze dipendenti dal tempo F (t) = F cos Ωt e1 + F sin Ωt e2 , dove F e Ω sono costanti reali. Si individui la posizione della particella lungo la guida per −→

mezzo dell’angolo ϕ che OP forma con e1 , misurato in senso antiorario partendo da e1 . 1. Scrivere l’equazione pura del moto. 2. Descrivere qualitativamente il moto della particella per diversi valori della sua velocit`a iniziale, supponendo che all’istante iniziale t = 0 si abbia ϕ(0) = 0. [Suggerimento: Definire la nuova variabile θ := ϕ − Ωt.] 11. Nel campo dei gravi, una particella di massa m `e vincolata a muoversi senza attrito sulla superficie di equazione r x2 y 2 z =c−c 1− 2 − 2 a b dove x, y, z sono coordinate cartesiane ortogonali con l’asse z orientato come la verticale ascendente, ed a, b, c sono costanti positive. 1. Descrivere la forma della superficie. 2. Scrivere le equazioni del moto della particella. 3. Scrivere l’espressione di eventuali integrali primi del moto, considerando entrambi i casi a 6= b ed a = b. 12. In un sistema inerziale, una particella di massa m `e vincolata a muoversi senza attrito lungo una circonferenza il cui raggio varia nel tempo secondo la legge R(t) = R0 e−t/τ , con R0 , τ costanti positive. 1. Scrivere l’espressione di una quantit`a conservata, interpretandola fisicamente. 2. Calcolare il valore della quantit`a trovata, supponendo che all’istante t = 0 il valore √ assoluto della velocit`a della particella sia pari a 2R0 /τ . 3. Determinare la reazione vincolare sulla particella al tempo t generico, sotto l’ipotesi del punto precedente. 4. Supponendo ora che sulla particella agisca una forza attiva tangente alla circonferenza e di modulo costante pari a F , stabilire se la quantit`a trovata al punto 1 `e ancora un integrale primo del moto. In caso contrario, determinarne l’evoluzione temporale. 13. Una particella di massa m `e vincolata senza attrito ad una guida circolare di raggio l giacente in un piano verticale fisso nel campo dei gravi. Il centro Ω della guida compie oscillazioni verticali armoniche di ampiezza A e frequenza ν assegnate, attorno a un punto fisso O. 8

1. Scrivere la/e equazione/i pura/e del moto della particella. 2. Scrivere le espressioni di eventuali integrali primi del moto. 14. Una particella di massa m `e vincolata senza attrito a una guida rettilinea r, che ruota attorno a una retta verticale s fissa nel campo dei gravi con velocit`a angolare costante di modulo ω, in modo che l’angolo compreso fra r ed s abbia valore costante α. Si indichi con x l’ascissa della particella lungo r, misurata a partire dal punto O, intersezione fra r ed s. 1. Scrivere l’equazione pura del moto. 2. Scrivere le espressioni di eventuali costanti del moto. 3. Tracciare le curve di fase nel piano (x, x). ˙ 4. Supponendo che all’istante t = 0 la particella si trovi in O con velocit`a nulla, determinare il valore di x a un generico istante di tempo successivo. 15. Una particella di massa m `e vincolata a muoversi senza attrito lungo una guida che, in un sistema di coordinate cartesiane ortogonali (O; ξ1 , ξ2 ), `e descritta dall’equazione ξ1 = a ξ22 , dove a `e una costante positiva. Il piano contenente la guida ruota con velocit`a angolare costante di modulo ω attorno all’asse ξ2 , che rimane fisso e verticale nel campo dei gravi, ed `e orientato secondo la verticale ascendente. 1. Scrivere le equazioni pure del moto della particella. 2. Scrivere l’espressione di eventuali integrali primi del moto. 3. Supponendo che all’istante t = 0 si abbiano ξ2 (0) = 0 e à √ !1/3 2 3 g 3 ξ˙2 (0) = , 4ωa descrivere qualitativamente il moto per t > 0. 16. Nel campo dei gravi, una circonferenza di raggio R ruota con velocit`a angolare costante ω attorno a un proprio diametro, disposto verticalmente. Una particella di massa m `e vincolata a scorrere senza attrito lungo la corda OA passante per il punto O pi` u basso della circonferenza e formante un angolo α con la verticale ascendente. 1. Scrivere l’equazione pura del moto per la particella. 2. Determinare la soluzione dell’equazione trovata al punto precedente, sapendo che all’istante t = 0 la particella si trova in A con velocit`a nulla. 3. Calcolare il limite della soluzione per ω → 0, verificando che esso coincide con la soluzione del problema in cui la circonferenza non ruota (caso ω = 0). 4. Nel caso ω = 0, determinare la dipendenza da α del tempo impiegato dalla particella per cadere in O.

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17. Una particella P di massa m `e vincolata a muoversi senza attrito su un piano π, che ruota con velocit`a angolare ω costante attorno a una retta r orizzontale, fissa nel campo dei gravi. Si individui la posizione di P su π per mezzo della sua distanza da r e dell’ascissa della sua proiezione P 0 su r, misurata (con segno) a partire da un punto fissato O ∈ π. Si supponga inoltre che all’istante di tempo t = 0 il piano π sia verticale. 1. Scrivere le equazioni pure del moto per la particella. 2. Risolvere le equazioni trovate al punto precedente con condizioni iniziali generiche. 3. Stabilire se si conserva l’energia della particella in un sistema di riferimento fisso nel campo dei gravi e in un sistema di riferimento solidale a π, motivando le risposte.

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Esercizi sui sistemi rigidi 1. Un sistema rigido `e costituito da tre particelle con le seguenti masse e posizioni: −→

m1 = 3 m ;

OP1 = a e1 + a e3 ;

m2 = 4 m ;

OP2 = a e1 + a e2 − a e3 ;

m3 = 2 m ;

OP3 = −a e1 + a e2 ;

−→ −→

dove m ed a sono parametri reali positivi, e (O; e1 , e2 , e3 ) `e un sistema di riferimento ortogonale levogiro. 1. Determinare le componenti dell’operatore d’inerzia del sistema nel riferimento (O; e1 , e2 , e3 ). 2. Verificare che uno dei momenti principali d’inerzia vale 10 m a2 . 3. Calcolare il valore degli altri due momenti principali d’inerzia. 4. Determinare la direzione dell’asse principale d’inerzia corrispondente al momento principale di valore 10 m a2 . 2. Due particelle di massa m sono collegate da un’asticella rigida senza massa di lunghezza l. Il sistema viene fatto ruotare attorno a un asse passante per il centro fisso O dell’asticella con velocit`a angolare ω costante, formante un angolo α con l’asticella stessa. Si introduca un sistema inerziale (O; e1 , e2 , e3 ) tale che ω = ω e3 . 1. Determinare Il momento della quantit`a di moto del sistema rispetto al polo O. 2. Utilizzando la seconda equazione cardinale della dinamica, determinare il momento risultante delle forze agenti sul sistema. 3. Scrivere le componenti di ω in una base formata da autovettori dell’operatore d’inerzia. 4. Utilizzando le equazioni dinamiche di Eulero, determinare il momento risultante delle forze agenti sul sistema. 5. Verificare che i momenti trovati ai punti 2 e 4 coincidono. 3. Tre particelle di massa m sono vincolate rigidamente fra loro e in un sistema di riferimento solidale (Ω; ε1 , ε2 , ε3 ) occupano le posizioni di coordinate (a, 0, 0), (0, a, 2a), (0, 2a, a). 1. Scrivere la matrice d’inerzia nel sistema (Ω; ε1 , ε2 , ε3 ). 2. Determinare i momenti principali d’inerzia. 3. Determinare una terna di autovettori dell’operatore d’inerzia, ortogonali fra loro. 4. Determinare il valore del momento d’inerzia rispetto alla retta individuata dal versore 1 n = √ (ε1 + ε2 + ε3 ) . 3 5. Supponendo che il sistema rigido possieda velocit`a angolare ω = ω n, determinare l’angolo formato da ω con il vettore momento della quantit`a di moto L calcolato rispetto al polo Ω.

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4. Un’asta omogenea di lunghezza l e massa m `e vincolata senza attrito a giacere in un piano π fisso in un sistema inerziale, ed all’istante t = 0 il suo stato cinetico `e nullo. A un estremo dell’asta `e applicata una forza costante F , che per t = 0 `e diretta ortogonalmente all’asta stessa. Si indichi con θ(t) l’angolo di cui l’asta `e ruotata, rispetto alla sua posizione a t = 0, al generico istante t > 0. 1. Determinare la posizione del centro dell’asta all’istantet. 2. Scrivere l’equazione differenziale per θ. 3. Scrivere l’espressione di un integrale primo per l’equazione trovata al punto precedente, e determinarne il valore con le condizioni iniziali assegnate. ˙ precisando quale di esse corrisponde alle 4. Tracciare le curve di fase nel piano (θ, θ), condizioni iniziali assegnate. 5. Descrivere qualitativamente il moto dell’asta per t > 0. 5. Un disco omogeneo di massa M e raggio R `e vincolato senza attrito a ruotare attorno al suo centro O e su di esso non agiscono forze attive. All’istante t = 0, la velocit`a angolare del disco rispetto a un sistema di riferimento inerziale ha modulo ω e la sua direzione forma un angolo α con la retta perpendicolare al disco passante per O. Si introduca un’opportuna base (ε1 , ε2 , ε3 ) solidale al disco. 1. Scrivere le componenti della velocit`a angolare all’istante t = 0 nella base (ε1 , ε2 , ε3 ). 2. Scrivere le componenti della velocit`a angolare al generico istante t > 0 nella base (ε1 , ε2 , ε3 ). 3. Verificare esplicitamente, utilizzando le espressioni trovate al punto precedente, che l’energia cinetica del disco `e un integrale primo del moto. 6. In un sistema di riferimento inerziale K = (O; e1 , e2 , e3 ), fisso nel campo dei gravi con e1 verticale discendente, si muove un sistema rigido formato da due particelle P e Q, di masse m e 2m rispettivamente, collegate fra loro da un’asticella di lunghezza l priva di massa. All’istante t = 0, P e Q occupano le posizioni di coordinate (0, 0, 0) e (0, l, 0), e le loro velocit`a sono v P (0) = −v0 e1 + v0 e2 , v Q (0) = v0 e1 + v0 e2 , con v0 nota. 1. Determinare la velocit`a angolare del sistema rispetto a K all’istante t = 0, ponendo uguali a zero eventuali componenti che risultino indeterminate in base ai dati forniti. 2. Determinare la velocit`a angolare del sistema rispetto a K a un generico istante t > 0, calcolando le componenti prima rispetto a un’opportuna base solidale al sistema stesso e poi rispetto alla base (e1 , e2 , e3 ). 3. Determinare la posizione del centro di massa del sistema al generico istante t > 0. 4. Determinare la posizione di P e Q al generico istante t > 0.

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Esercizi sulla dinamica lagrangiana 1. Un pendolo semplice, di massa m e lunghezza l posto nel campo dei gravi, ha il punto di sospensione che si muove orizzontalmente con accelerazione costante a. 1. Scrivere l’espressione della lagrangiana del pendolo. 2. Tracciare le curve di fase. 3. Determinare la frequenza delle piccolissime oscillazioni attorno a una posizione di equilibrio stabile. 2. In relativit`a ristretta, la lagrangiana di una particella di massa m `e r x˙ 2 ˙ = −m c2 1 − 2 − V (x) , L(x, x) c P3 dove c `e la velocit`a della luce nel vuoto, x = i=1 xi ei denota il vettore posizione della particella nello spazio tridimensionale euclideo rispetto a un sistema di riferimento ortonormale (O; e1 , e2 , e3 ) inerziale, e V `e una funzione differenziabile. 1. Trovare il vettore p che ha per componenti i momenti cinetici coniugati alle xi . 2. Dimostrare che p˙ = −∇V . 3. Scrivere l’espressione di un integrale primo del moto. 3. Nel campo dei gravi, una particella P di massa m `e vincolata a scorrere senza attrito sulla superficie di un cono di semiapertura α < π/2. Il cono `e in caduta libera (cio`e possiede un’accelerazione pari a g, l’accelerazione di gravit`a) e durante il moto mantiene l’asse verticale e il vertice rivolto verso il basso. 1. Introdurre opportune coordinate lagrangiane, e scrivere l’espressione della lagrangiana per la particella. 2. Scrivere le espressioni di eventuali costanti del moto, interpretandole fisicamente. 3. Dire se si conserva l’energia della particella nel sistema di riferimento (non inerziale) solidale al cono, motivando la risposta. 4. Una particella P di massa m `e vincolata a muoversi su un piano orizzontale π nel campo dei gravi ed `e collegata ad un’altra particella Q, di massa M , per mezzo di un filo inestensibile di lunghezza l passante attraverso un foro posto nel punto O ∈ π. La particella Q pu`o muoversi solo verticalmente. Si suppongano assenti gli attriti e si introducano coordinate polari r e ϕ per descrivere la posizione di P in π. 1. Scrivere l’espressione della lagrangiana per il sistema. 2. Scrivere le espressioni di eventuali integrali primi del moto. 3. Determinare il valore della velocit`a della particella P in un moto in cui essa descrive un’orbita circolare di raggio R.

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5. Una particella di massa m e posizione x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 in un sistema di riferimento ortonormale levogiro (O; e1 , e2 , e3 ), `e descritta dalla lagrangiana L=

1 m x˙ 2 + a (x1 x˙ 2 − x2 x˙ 1 ) , 2

dove a `e una costante reale. 1. Scrivere l’espressione della lagrangiana in coordinate cilindriche (ρ, ϕ, z), con ρ = e z = x3 .

p

x21 + x22

2. Scrivere le espressioni di eventuali integrali primi del moto. ˙ 3. Supponendo che all’istante t = 0 la particella si trovi nell’origine con velocit`a x(0) = v0 e1 , determinarne la posizione al generico istante t > 0. 6. Una trottola omogenea di massa m a forma di cono, con raggio di base r e altezza h, si muove nel campo dei gravi mantenendo il vertice O fisso rispetto a un sistema di riferimento inerziale (O; e1 , e2 , e3 ), con e3 verticale ascendente. Se (ε1 , ε2 , ε3 ) `e una terna solidale alla trottola in cui ε3 `e diretto lungo l’asse, `e possibile descrivere una configurazione della trottola per mezzo dei tre angoli di Eulero (ϕ, θ, ψ). Indicando con ω la velocit`a angolare della trottola rispetto a un riferimento inerziale, le componenti di ω nella base (ε1 , ε2 , ε3 ) sono date dalle equazioni cinematiche di Eulero:  Ω1 = ϕ˙ sin θ sin ψ + θ˙ cos ψ  . Ω2 = ϕ˙ sin θ cos ψ − θ˙ sin ψ  ˙ Ω3 = ϕ˙ cos θ + ψ 1. Dimostrare che la lagrangiana della trottola `e µ 2 ¶³ ´ ³ ´2 3 3 r 3 2 L= m +h θ˙2 + ϕ˙ 2 sin2 θ + m r2 ψ˙ + ϕ˙ cos θ − m g h cos θ . 10 4 20 4 2. Scrivere le espressioni di tre integrali primi del moto. 3. Scrivere l’espressione dell’energia nel sistema di riferimento (O; e1 , e2 , e3 ). 4. Scrivere l’espressione dell’energia potenziale efficace di un problema unidimensionale equivalente nella variabile θ. 7. Un sistema a un grado di libert`a ha lagrangiana µ ¶ 1 1 2ξt 2 2 2 , L(q, q, ˙ t) = e mq˙ − mω q 2 2 dove m > 0, ξ ≥ 0, ω ≥ 0. 1. Scrivere l’equazione del moto. Che tipo di sistema fisico pu`o essere descritto da questa lagrangiana? ¯ q , q¯˙, t) nella nuova variabile q¯ = eξt q. 2. Scrivere l’espressione della lagrangiana L(¯ 3. Verificare che le equazioni del moto per q(t) e q¯(t) sono equivalenti. 4. Scrivere l’espressione di un integrale primo del moto, sia utilizzando la coordinata q¯ che utilizzando q. Verificarne esplicitamente la conservazione.

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8. In un piano π fisso in un sistema inerziale, una particella P di massa m `e collegata per mezzo di una molla ideale, di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla, a un punto Q che, in un sistema di riferimento ortonormale levogiro (O; e1 , e2 , e3 ) solidale a π con e3 ⊥ π, possiede coordinate (R cos ωt, R sin ωt, 0), dove R e ω sono costanti positive. Si indichino con x1 , x2 e con ξ1 , ξ2 , rispettivamente, le coordinate della particella in π nei sistemi di riferimento −→

(O; e1 , e2 , e3 ) e (O; ε1 , ε2 , ε3 ), dove ε1 `e diretto come OQ, ε3 = e3 ed ε2 = ε3 × ε1 . 1. Scrivere le equazioni del moto della particella utilizzando il metodo di Lagrange con coordinate lagrangiane x1 e x2 , lavorando nel sistema (O; e1 , e2 , e3 ). 2. Scrivere le equazioni del moto della particella utilizzando il metodo di Lagrange con coordinate lagrangiane ξ1 e ξ2 , lavorando nel sistema (O; ε1 , ε2 , ε3 ). 3. Verificare l’equivalenza delle equazioni trovate ai punti precedenti. 4. Determinare la soluzione delle equazioni del moto per t > 0 con condizioni iniziali generiche, supponendo che valga la condizione k = mω 2 . Descrivere il moto della particella. 9. Una particella di massa m e posizione x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 in un sistema di riferimento ortonormale levogiro (O; e1 , e2 , e3 ) `e descritta dalla lagrangiana L=

1 mx˙ 2 + α x˙ · f , 2

dove α `e una costante e f = f1 e1 + f2 e2 + f3 e3 , con f1 , f2 , f3 funzioni di x1 , x2 e x3 . 1. Ricavare le equazioni differenziali per x1 , x2 e x3 . 2. Verificare che le equazioni trovate possono essere condensate nell’unica equazione vettoriale ¨ + β x˙ × (∇ × f ) = 0 x e determinare β. 3. Determinare la soluzione delle equazioni per f = γ x × e3 , dove γ `e una costante, con le ˙ condizioni iniziali x(0) = 0, x(0) = v0 e 1 . 4. Descrivere traiettoria e comportamento della particella per la soluzione trovata al punto precedente.

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