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Esercitazione di Statistica e analisi dei dati Lungo alcuni sentieri di montagna si trovano qua e l`a cespugli di un’altra erba rara, chiamiamola aroma. Sia la variabile aleatoria che descrive il numero di cespugli di aroma che si incontrano durante una passeggiata lunga un chilometro, e supponiamo che questa variabile aleatoria segua una legge di Poisson.

Domanda 1 Si esprima, in funzione di λ = numero medio di cespugli di aroma incontrati in una passeggiata di un chilometro, la probabilit` a fX (k) = P (X = k) di incontrare cespugli durante una passeggiata di un chilometro. E[X] = λ λk k! Cammino su un sentiero per un chilometro e raccolgo un ramo da tutti i cespugli di aroma che incontro. Torno in paese e vendo ogni ramo di aroma a 2 euro l’uno. Sia la variabile aleatoria che descrive il guadagno dopo una passeggiata. P (X = k) = e−λ

Domanda 2.a Si esprima Y in funzione di X. Y = 2X

Domanda 2b Si esprima µY = E[Y ] in funzione di λ E[Y ] = E[2X] = 2E[X] = 2λ

Domanda 2.c Si esprima σY2 di Y in funzione di µY . var(Y ) = var(2X) = 22 var(X) = 4λ = 4µX = 2µY

Domanda 2.d Supponendo che si trovi in media un cespuglio di aroma ogni 500 metri, si calcoli la probabilit`a che la passeggiata mi frutti pi` u di 2 euro. λ=2 P (Y > 2) = 1 − P (Y ≤ 2) = 1 − P (2X ≤ 2) = 1 − P (X ≤ 1) = 1 − (P (X = 0) + P (X = 1)) = = 1 − (e−2 + 2e−2 ) = 1 − 3e−2 Modelliamo la variabile aleatoria D che indica la distanza tra due cespugli consecutivi di aroma come una variabile esponenziale di parametro ν.

Domanda 3.a Si esprima in funzione di ν il valore atteso della distanza tra due cespugli consecutivi di aroma (misurata in chilometri). Si tratterebbe di un processo di Poisson. E[D] =

1 ν

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domanda 3.b Si esprima in funzione di ν la densit` a di probabilit`a di D. pD (x) = νe−νx IR+ (x) Sto camminando su un sentiero e raccogliendo un ramo da ogni cespuglio di aroma che incontro. Ho appena raccolto un ramo.

Domanda 3.c Qual `e la probabilit` a P (D > s) che nei prossimi chilometri io non incontri altri cespugli di aroma? P (D > s) = 1 − P (D ≤ s) = 1 − (1 − e−νs ) = eνs

0.1

Domanda 3.d

Dal momento in cui ho raccolto l’ultimo ramo di aroma ho gi`a percorso chilometri senza incontrare altri cespugli. Qual `e la probabilit` a P (D > s + r|D > s) che nei successivi s chilometri io non incontri altri cespugli? Per assenza di memoria: P (D > s + r|D > s) = P (D > s) = eνs Durante le vacanze ho fatto 10 passeggiate di un chilometro sui sentieri intorno al paese, senza mai tornare su un tragitto gi` a percorso. Ho raccolto un ramo di aroma da ogni cespuglio incontrato, e venduto i rami a 2 euro l’uno. Ho annotato la somma di denaro ricavata dopo ogni passeggiata 4, 0, 8, 0, 0, 6, 6, 2, 4, 2 Salviamo questi dati in un vettore dati e il numero di osservazioni nella variabile n: dati = c (4 ,0 ,8 ,0 ,0 ,6 ,6 ,2 ,4 ,2) n = length ( d a t i )

Domanda 4.a Fornire una stima di µ2Y .

n

µ2Y =

1 X (dati[i] − µdati )2 n − 1 i=1

d a t i . avg = sum( d a t i ) /n sigma2hat = sum( ( d a t i − d a t i . avg ) ∗∗ 2 ) / ( n−1) # d a t i . avg = 3 . 2 # sigma2hat ˜ 8.17

Domanda 4.b Fornire una stima del guadagno atteso µY a seguito di una passeggiata. µY = dati.avg

domanda 4.c Indicando coN M la variabile aleatoria che descrive la statistica usata al punto precedente, indicare la media e la varianza di M rispettivamente in funzione di µY e di σY2 e n. E[M ] = µY var(M ) = var(

n n X 1X 1 n σ2 Yi ) = 2 var( Yi ) = 2 var(Y ) = Y n i=1 n n n i=1

0.1. DOMANDA 3.D

3

Domanda 4.d Utilizzando il teorema del limite centrale, fornire un’approssimazione della probabilit`a P (|M − µY | < ) ≥ 0.95 in funzione di , µY , n e della funzione di distribuzione cumulativa normale standard. P (|M − µY | < ) = P (

− M − E[M ]  −  n < < ) = P( = 0.95, sfruttando l’approssimazione del punto 4.d. n = 10σY2 ≈ 8.17 →

 √  √ 1.96 √ n= √ 10 ≥ 1.96 ≥ 8.17 ≈ 1.77 σY sqrt10 8.17

quindi n ≥ 1.78

Domanda 4.g (opzionale) Che conclusioni si possono trarre da quanto ottenuto nei punti da 4.d a 4.f? (Suggerimento, immaginate di sostituire a M il valore stimato al punto 4.b) dati.avg = 3.2 = valorestimatoalpunto4.bP (|M −µY | < ) = P (M − < µY < M +) ≈ P (1.42 < µY < 4.97) ≥ 0.95 notando che sto stimando una probabilit` a di dati fissi (non aleatori!)

Domanda 5 Si determini un numero n0 tale che facendo almeno n0 passeggiate diventa non inferiore a 0.95 la proσY babilit` a che la mia stima σc Y disti in valore assoluto dal valore stimato meno di 2 . Ho due strade: 1: Teorema centrale del limite σY 2 n ≥ (α )  con σY = → n ≥ (2α)2 = 4α2 ≈ 15, ... 2

4 quindi n0 = 16 = d4α2 e 2: Teorema di chebyshev P (|X − µX | ≤ ) ≥

σ2 2

applicandolo: P (|M − µY | <

σ∗Y σ2 4 4 ) ≥ √Y = √ ≥ 0.95  n σY 2 n

quindi n≥(

4 2 ) ≈ 17.72 ⇒ n0 = 18 0.95

Domanda 6 Si determini un numero n0 tale che facendo almeno n0 passeggiate diventa non inferiore a 0.95 la probabilit` a che la mia stima σc Y disti in valore assoluto dal valore stimato meno di 10 centesimi di euro. come sopra sostituendo a  0.10