Eserciziario Piscaglia-Onorati

Corso di Macchine a fluido Dipartimento di Energia, Politecnico di Milano

Esercitazioni del corso di MACCHINE per Allievi Energetici a.a. 2012/13

Esercizi di Macchine

Indice 1 Equazioni di conservazione

3

2 Impianti di sollevamento acqua e macchine operatrici idrauliche

5

3 Impianti idroelettrici e turbine idrauliche

12

4 Compressori di gas

17

5 Cicli Rankine e turbine a vapore

21

6 Cicli a gas

31

7 Esempio di tema d’esame (prima parte)

34

2

Esercizi di Macchine

Capitolo 1

Equazioni di conservazione

Esercizio 1.1 Una macchina opera tra una pressione di ingresso pari a 10 bar e una pressione di uscita di 6 bar. All’ingresso il fluido di lavoro (aria) si trova alla temperatura di 1000 K. La macchina fornisce all’esterno una potenza meccanica di 450 kW e cede all’ambiente una potenza termica pari a 50 kW. Si vuole determinare la temperatura dell’aria in uscita dalla macchina sapendo che la portata `e 5 kg/s. Si trascurino le energie cinetiche e la differenza di quota sulle sezioni di ingresso e uscita. (ARIA : R = 287 J/kg K; Cp = 1004 J/kg K)

Esercizio 1.2 Si consideri una macchina che elabora una portata di 10 kg/s di aria. Le condizioni in ingresso (1) e uscita (2) sono p1 = 1 bar, T1 = 20 ◦ C, p2 = 1 bar, T2 = 400 ◦ C; i diametri dei condotti in ingresso in uscita sono D2 = D1 = 0.5 m. Il lavoro prodotto `e 1/3 del calore entrante. a) Si calcoli la potenza meccanica prodotta dalla macchina. b) Ipotizzando che il calore ceduto alla macchina sia prodotto per mezzo di una combustione esterna di un combustibile con potere calorifico inferiore pari a 40000 kJ/kg, se ne calcoli il consumo orario. (ARIA : R = 287 J/kg K; Cp = 1004 J/kg K)

Esercizio 1.3 Una macchina disposta su un asse orizzontale `e alimentata da una portata di 10 kg/s di aria (R = 287 J/kg K; Cp = 1004 J/kg K) alla pressione p1 = 10 bar e alla temperatura T1 = 100 ◦ C, da un condotto circolare di diametro D1 = 100 mm. All’uscita della macchina la stessa portata di aria `e nelle condizioni p2 = 2 bar, T2 = 20 ◦ C ed `e scaricata da un condotto di diametro D2 = 300 mm. Dalle pareti non adiabatiche della macchina si rileva una fuga termica verso l’esterno pari a 500 kW. Si verifichi se la macchina `e motrice o operatrice e a quanto ammonta la potenza meccanica scambiata con l’esterno.

Esercizio 1.4 Una macchina idraulica (fluido incomprimibile) `e caratterizzata da una sezione di ingresso di 0.5 m2 nella quale la velocit` a dell’acqua `e di 6 m/s e la pressione `e pari a 1 bar. La sezione di uscita `e di 1 m2 e la pressione allo scarico `e di 10 bar. La sezione di uscita `e posta ad una quota di 15 m sopra la sezione di ingresso. a) Si calcoli la potenza meccanica effettivamente comunicata dalla macchina al fluido. b) Si ipotizzi ora che la temperatura dell’acqua aumenti nell’attraversamento della macchina di 0.15 K, si calcoli la potenza meccanica scambiata dalla macchina con l’esterno e il rendimento della macchina.

Esercizio 1.5 Il rotore di un ventilatore assiale ideale (intubato) ha un diametro medio di 200 mm, una altezza di pala di 50 mm, aspira dall’ambiente (p1 = 1 bar) una portata di 0.5 m3 /s e ruota ad una velocit`a di 3000 giri/min. Ipotizzando la componente assiale costante nell’attraversamento del rotore ed ammettendo per la palettatura rotorica una deflessione di 20 gradi, si chiede di determinare il lavoro che la macchina riesce a fornire idealmente al fluido.

Esercizio 1.6 Una macchina centrifuga ideale opera su un fluido non comprimibile secondo i valori sotto riportati: - n = 1500 giri/min - Portata oraria V˙ h = 1000 m3 /h - Altezza di pala allo scarico B2 = 20 mm 3

Esercizi di Macchine

- Diametro medio scarico D2m = 300 mm - Angolo β2 = 90◦ - Altezza di pala all’ingresso B1 = 50 mm - Diametro medio ingresso D1m = 150 mm Si calcoli il lavoro della macchina in base alle due formulazioni dell’equazione di Eulero.

Risultati capitolo 1 Esercizio 1.1:

T2 = 900.4 K

Esercizio 1.2:

L˙ = 1.93 MW; m ˙ c = 520.3 kg/h

Esercizio 1.3:

M. motrice; L˙ = 378.6 kW

Esercizio 1.4:

L˙ fluido = −3.1 MW; L˙ esterno = −4.98 MW; η = 0.62

Esercizio 1.5:

` = −519.1 J/kg

Esercizio 1.6:

` = −555.4 J/kg

4

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Capitolo 2 Impianti di sollevamento acqua e macchine operatrici idrauliche Esercizio 2.1 Un serbatoio `e posto ad una quota di 25 m dal suolo e ad una pressione pari a quella atmosferica. La tubazione di collegamento dal serbatoio all’atmosfera `e lunga L= 50 m, ha un diametro D1 = 200 mm e termina con un boccaglio di diametro d = 80 mm posto al livello del suolo. Il coefficiente di perdita per attrito nel tubo vale λ = 0.01. Sono note inoltre le seguenti fonti di perdite localizzate: - 5 curve a 90o (ciascuna con coefficiente di perdita localizzato ξc = 0.3) - 1 valvola di aspirazione con filtro (ξc = 0.8) Si chiede di determinare: a) La portata di acqua fluente nell’impianto e la pressione nel tubo immediatamente prima del boccaglio in assenza di perdite. b) In presenza di perdite, si calcoli il diametro necessario al boccaglio per ottenere la stessa portata calcolata in precedenza c) Il diametro del boccaglio necessario per ottenere la stessa portata calcolata al punto b con una condotta di diametro D10 = 150 mm. Perdite localizzate: Yc =

Vi2 i ξc,i 2g

P

; perdite distribuite: Yd =

P

i

Li λi D i

Vi2 2g

Esercizio 2.2 In un circuito idraulico due pompe centrifughe poste in serie aspirano acqua da un bacino a pressione atmosferica e la inviano ad un serbatoio mantenuto alla pressione assoluta di 5 bar, posto ad una quota di 25 m superiore a quella del bacino. Considerato che: - il condotto di aspirazione ha diametro interno Da = 70 mm, scabrezza εa = 60 µm, lunghezza La = 12 m e perdite di carico concentrate pari a 4 altezze cinetiche; - il condotto di mandata si compone di due tubi in parallelo con diametro interno Dm = 42 mm, scabrezza εm = 50 µm, lunghezza Lm = 40 m e perdite di carico concentrate pari a 18 altezze cinetiche; e data la curva caratteristica delle pompe, si chiede di valutare la portata risultante nel circuito. Sapendo che il rendimento organico ed elettrico sono pari rispettivamente a 0.95 e 0.90 e che l’assorbimento elettrico di ogni pompa `e pari a 7.5 kW, si chiede di determinare il rendimento idraulico della macchina. Equazione caratteristica della pompa: Hp = −0.035(Q − 15)2 − 1.1(Q − 15) + 90 con Hp in m e Q in m3 /h. Usare il diagramma di Moody allegato per il calcolo dei coefficienti di perdita distribuita λ.

Esercizio 2.3 Un impianto di sollevamento acqua `e caratterizzato da: - temperatura dell’acqua: 15 ◦ C - moto pienamente turbolento - condotto di aspirazione: La = 15 m, Da = 125 mm, perdite concentrate Ya = 700 mm, coefficiente delle perdite distribuite λ = 0.0234 per V˙ = 60 m3 /h - altezza di aspirazione della pompa: 3 m - NPSH disponibile: 6 m (per V˙ = 60 m3 /h) - NPSH richiesto: 1.5 m (per V˙ = 60 m3 /h) 5

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Calcolare: a) la portata massima elaborabile dall’impianto in assenza di cavitazione b) l’altezza massima di aspirazione compatibile con una portata V˙ 0 = 80 m3 /h c) la portata massima elaborabile in assenza di cavitazione quando la temperatura dell’acqua `e di 80 ◦ C, con altezza di aspirazione di 3 m. Si ipotizzi per semplicit`a che la pressione dei gas disciolti rimanga costante al variare della temperatura.

Esercizio 2.4 Una pompa volumetrica alternativa a semplice effetto `e costituida da due cilindri di 0.4 litri l’uno e ruota a 750 giri/min. Alle condizioni di normale funzionamento, all’interno di un ciclo chiuso, si ha: - rendimento volumetrico: 94% - rendimento idraulico: 77% - rendimento organico: 96% - rendimento del motore elettrico: 96% - potenza assorbita: 7.2 kW Si chiede di determinare: a) portata elaborata e potenza fornita in condizioni di progetto b) velocit` a di rotazione e potenza assorbita per smaltire una portata pari all’80% di quella di progetto, nell’ipotesi di regolare la pompa variando la velocit` a di rotazione c) Potenza assorbita se la regolazione avviene mediante by-pass. Si ipotizzi nel circuito idraulico condizioni di moto turbolento pienamente sviluppato. [ fluido: acqua. ρ = 1000 kg/m3 , viscosit` a dinamica µ = 1.1 · 10−3 Pa s]

Esercizio 2.5 Di una pompa centrifuga operante con acqua sono noti: - velocit` a di rotazione: 2000 giri/minuto - angolo della pala allo scarico: β2 = 38◦ - altezza di pala (costante) h = 30 mm - diametro della girante allo scarico D2 = 140 mm - diametro medio della girante all’ingresso D1 = 70 mm - diametro della flangia di mandata: DM = 250 mm - portata volumetrica V˙ = 50 l/s - rendimento idraulico globale: 0.52 - pressione statica assoluta nella sezione di ingresso alla girante: p1 = 3 bar Calcolare le velocit` a allo scarico della girante, la potenza entrante nella girante e la pressione statica alla flangia di mandata. Si svolga poi lo stesso esercizio nel caso in cui sia β2 = 90◦ e β2 = 128◦ . 6

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Esercizio 2.6 Si deve progettare il rotore di una pompa assiale. Il rotore ruota a 1000 Rpm, deve fornire una prevalenza utile di 11.75 metri e una portata di 0.94 m3 /s. Lo spazio a disposizione permette di avere un diametro alla base della palettatura di 200 mm e un diametro all’apice di 400 mm. Si consideri costante la componente assiale della velocit`a e si ipotizzi un rendimento idraulico di 0.7. a) In ipotesi monodimensionali, valutate sul raggio medio, si disegnino i triangoli della velocit`a in grado di realizzare le prestazioni richieste supponendo assiale la direzione del flusso in ingresso al rotore. b) Si tracci uno schizzo di massima evidenziando la metodologia per la definizione del profilo di mezzeria.

Esercizio 2.7 Un circuito di sollevamento trasporta acqua fra due bacini grazie all‘azione di una pompa sommersa (avente curva caratteristica assegnata in Fig. 1) che viene regolata mediante variazione della velocit`a di rotazione. Il fluido si muove attraverso due tubi posti in parallelo aventi diametro interno 40 mm, scabrezza 50 µm, lunghezza 60 m e perdite di carico concentrate pari a 7 altezze cinetiche. Alla velocit`a di rotazione di 2500 giri/min, la portata totale fluente nel circuito `e pari a 35 m3 /h. Valutare la velocit` a di rotazione della pompa in grado di mantenere la portata di 35 m3 /h nel caso in cui uno dei due tubi sia posto fuori servizio. Valutare altres`ı la potenza richiesta alla pompa nei due casi supponendo che il rendimento organico ed elettrico siano costanti al variare del carico e valgano rispettivamente 0.95 e 0.9. 0.8

140

0.75

120 0.7

100 0.65 efficiecy [-]

H [m]

n=2500 RPM 80

60

0.6

0.55

40

0.5

20

0.45

0 0

0.4

10

20

30

40 3

50

60

0

5

10

15

20

30 25 35 3 flow rate [m /h]

40

45

50

55

60

Q [m /h]

Figura 1: Equazione curva (n = 2500 giri/min): H = −0.035 · (Q − 15)2 − 1.1 · (Q − 15) + 110, con H espresso in m e Q in m3 /h.

Esercizio 2.8 Una pompa centrifuga ha una prevalenza di 40 m e smaltisce una portata di 0.08 m3 /s, con perdite idrauliche pari a 53.5 m2 /s2 . La girante ruota a 2850 giri/min e ha pale rivolte all’indietro con angolo in uscita di 30◦ (misurato rispetto alla direzione periferica). Il coefficiente di flusso in uscita ϕ = w2,M /u2 vale 0.3. Calcolare il lavoro euleriano, il rendimento idraulico e la potenza assorbita dalla pompa, nonch´e il diametro esterno D2 e la larghezza in uscita b2 della girante. Si supponga ηo = 0.90 e ηel = 0.93.

Esercizio 2.9 Una pompa radiale ha la bocca con area equivalente a 0.314 m2 in aspirazione ed a 0.7 m2 in mandata. La pompa `e mossa da un motore elettrico a 2 coppie polari. In condizioni nominali elabora 60 dm3 /s di acqua, innalzandone la pressione di 250 kPa. Supponendo la macchina ottimizzata, determinare il diametro della pompa e la potenza assorbita dalla girante. Il motore viene quindi sostituito con un altro a tre coppie polari e la valvola di regolazione azionata in modo da funzionare in similitudine con il caso precedente. Determinare il salto di pressione fra ingresso e uscita della pompa e la potenza nelle nuove condizioni. 7

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Esercizio 2.10 Un ventilatore assiale `e costituito dal solo rotore di diametro Dm = 1 m, altezza di pala h = 200 mm costante; esso elabora una portata Q = 10 m3 /s di aria e gira a 750 giri/min. Le pale rotoriche sono costituite da profili aerodinamici che deflettono il flusso di 20◦ . Trovare la prevalenza manometrica del ventilatore e la potenza assorbita, supponendo un rendimento idraulico dell’80%.

Esercizio 2.11 Il funzionamento di una pompa alla velocit` a di rotazione di 1500 giri/min `e descritto dalla curva caratteristica: Q (m3 /h) 0 50 100 150 200 250

H (m) 31 30.75 30.2 29 26 21

η (%) – 44 70 78 75 70

L’impianto `e definito da un dislivello geodetico di 22 m e da una misura sperimentale in cui si rileva una prevalenza richiesta pari a 25 m ad una portata di 100 m3 /h. Si ipotizzi la curva d’impianto parabolica. Si chiede di determinare il punto di funzionamento e la potenza assorbita dalla macchina. Immaginando di regolare la portata sull’impianto attraverso la velocit` a di rotazione della pompa, si chiede di determinare il punto di funzionamento a 1750 giri/min e la potenza assorbita nella nuova condizione.

ALLEGATI AL CAPITOLO 2 - Tabella propriet` a dell’acqua in condizioni di saturazione - Diagramma di Moody - Diagramma di Balje per pompe monostadio Tabella propriet` a dell’acqua in condizioni di saturazione Temp [o C] 15.00 80.00

Tensione di vapore [P a] 1704 47359

a Densit` kg/m3 999 971

Entalpia specifica [kJ/kg] 63.04 334.96

Calore specifico [kJ/kg] 4.186 4.196

Viscosit`a dinamica [kg/m · s] 0.001139 0.000355

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Risultati capitolo 2 Esercizio 2.1:

(a) Q = 0.111 m3 /s; p1 = 339 kPa (b) d0 = 82.7 mm (c) d00 = 93.1 mm

Esercizio 2.2:

Q = 0.104 m3 /s; ηy = 0.761

Esercizio 2.3:

(a) Qmax = 0.0283 m3 /s (b) zasp,max = 5.68 m (c) Q80◦ C = 0.0161 m3 /s

Esercizio 2.4: Esercizio 2.5:

(a) β2 = 38◦ : u2 = 14.66 m/s; w2 = 6.16 m/s; v2 = 19.87 m/s; α2 = 11.0◦ ; le = −286 J/kg; P = 14.3 kW pM = 4.77 bar (b) β2 = 90◦ : le = −214.9 J/kg; P = 10.7 kW pM = 4.40 bar (c) β2 = 128◦ : le = −171.5 J/kg; P = 8.58 kW pM = 4.17 bar

Esercizio 2.6:

u = 15.7 m/s; v1 = 29.93 m/s w1 = 33.79 m/s; β1 = 117.7◦ , v2 =14.47 m/s; α2 = 43.6◦ , w2 = 11.6 m/s; β2 = 147.6◦ , ∆β = 30◦

Esercizio 2.7:

Pel,1 = 11.63 kW; Q2 = 26.61 m3 /h; n2 = 3289 giri/min; Pel,2 = 26.38 kW

Esercizio 2.8:

le = −445.5 J/kg; ηy = 0.88; P = 48.39 kW; D2 = 0.2 m; b2 = 13.7 mm

Esercizio 2.9:

(a) con Ds = 4.5 m; ηopt = 0.9 → D = 0.278 m; P = 16.9 kW (b) ∆p = 110 kPa; P = 4.91 kW

Esercizio 2.10: Esercizio 2.11:

Pgir = 10.0 kW; ∆P = 525 Pa (a) n = 1500 giri/min: Q = 151.7 m3 /h; H = 28.9 m; P = 15.3 kW. (b) n0 = 1750 giri/min: Q0 = 218.94 m3 /h; H 0 = 36.4 m; P = 28.7 kW

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Capitolo 3

Impianti idroelettrici e turbine idrauliche

Esercizio 3.1 Di un impianto idroelettrico basato sull’applicazione di una turbina Pelton sono note le seguenti caratteristiche: - Caduta disponibile Hm : 600 m - Portata disponibile: 4 m3 /s - Velocit` a di sincronismo dell’alternatore: 750 Rpm - Angolo della palettatura allo scarico: β2 = 20o (dalla direzione opposta a quella tangenziale) Si chiede di determinare: 1. I triangoli di velocit` a in ingresso e uscita alla macchina, il diametro, la potenza prodotta ed il rendimento idraulico in ipotesi di macchina ideale (assenza di attriti) ottimizzata 2. Nel caso si voglia ridurre il salto motore a 500 m senza modificare la geometria ed i giri della macchina, si disegnino i nuovi triangoli di velocit` a e si calcolino la nuova portata ed il nuovo rendimento 3. Con riferimento al punto 2, si richiede inoltre una verifica della macchina da effettuarsi su di un modello da laboratorio, il cui impianto `e definito dalle seguenti caratteristiche: - Caduta disponibile Hlab : 30 m - Diametro del modello: 250 mm Si chiede di definire la portata necessaria ad alimentare l’impianto di prova, la velocit`a di rotazione del modello e la potenza del freno da installare nell’impianto di prova.

Esercizio 3.2 Di un impianto idroelettrico basato sull’applicazione di una turbina Francis sono note le seguenti caratteristiche: - Caduta disponibile Hm : 120 m - Velocit` a di rotazione n: 600 giri/min - Portata disponibile: 2.5 m3 /s - Grado di reazione: χ=0.53 - Rendimento idraulico: ηy =0.94 - Coeff. di velocit` a periferica: Kp =0.75 2

1. Assumendo la seguente definizione per il grado di reazione χ = 1− v1H/2g , si determini il numero di giri caratteristico m ωs (definito in unit` a del S.I.), la velocit` a v1 allo scarico dello statore e il diametro della macchina. 2. Il committente richiede inoltre una verifica preliminare sulle prestazioni della macchina da effettuarsi su di un modello da laboratorio il cui impianto `e definito dalle seguenti caratteristiche: - Caduta disponibile Hm : 10 m - Diametro del modello: 0.25 m Si chiede di calcolare la portata necessaria ad alimentare l’impianto di prova e la potenza richiesta al freno motore del modello. 12

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Esercizio 3.3 Un impianto idroelettrico produce energia sfruttando il dislivello geodetico pari a 240 m esistente fra due bacini. L‘acqua viene trasportata dal bacino di monte alla sala macchine attraverso una sola condotta forzata e viene poi distribuita a 3 turbine idrauliche identiche fra loro. Nelle ore di massima richiesta elettrica (punto di funzionamento nominale) sono in marcia tutte le 3 turbine presenti che lavorano nelle seguenti condizioni: - salto motore pari a 200 m - portata complessiva elaborata dall’impianto pari a 60 m3 /s Utilizzando il diagramma di Balje allegato (Fig. 2): 1. Si richiede di determinare la velocit` a di rotazione ottimale ed il diametro delle macchine, tenendo presente che per motivi economici `e necessario realizzare un accoppiamento diretto con l’alternatore riducendo al massimo le dimensioni della macchina. Stimato dal diagramma di Balje un opportuno valore di rendimento, determinare la potenza elettrica erogata da ogni macchina, assumendo di avere: - rendimento meccanico ηm =0.98 - rendimento elettrico ηe =0.97 2. Nelle ore di bassa richiesta elettrica, `e previsto che funzioni una sola delle 3 turbine (senza che venga variata la geometria della macchina). Valutare la potenza erogata dalla macchina supponendo che la curva del rapporto di rendimento idraulico in funzione del rapporto di portate rispetto alle condizioni nominali sia quella di Fig. 3-b: - rendimento idraulico:

ηI ηI,nom

˙

˙

= −15 · ( V˙ V )2 + 2.8 · ( V˙ V ) − 0.3 nom

nom

Esercizio 3.4 Una turbina idraulica elabora una portata di 10 m3 /s; la sezione di uscita della macchina `e 1 m2 . Supponendo la depressione massima nella macchina nota e pari a 0.2 bar rispetto alla sua sezione di scarico, valutare la quota di installazione della macchina se si aggiunge allo scarico un diffusore ideale (perdite per attrito ed energia cinetica allo scarico trascurabili) perch`e la pressione minima nella macchina non scenda sotto al valore pmin =0.15 bar. Ipotizzando nulla la tensione di vapore, una volta installata la macchina a tale quota, per quale portata la macchina inizier` a a cavitare?

Esercizio 3.5 Una turbina Kaplan che per Q=5 m3 /s presenta un N P SHr richiesto di 7 m e un N P SHd disponibile di 10 m `e installata alla quota di 1.5 m sul livello del pelo libero del bacino di scarico. Allo scarico della girante la pressione dei gas disciolti `e 0.03 bar e la tensione di vapore `e 0.023 bar. 1. Calcolare la perdita nel diffusore 2. Determinare la portata massima elaborabile senza cavitare ipotizzando condizioni di moto assolutamente turbolento

Esercizio 3.6 Si deve progettare una turbina idraulica assiale con i seguenti dati: - Salto utile Hu = 20 m - Velocit` a di rotazione: 250 giri/min - Velocit` a specifica ωs = 2, diametro specifico (riferito al diametro massimo della girante) Ds = 2.1 - Rapporto h/Dmax = 0.18 - angolo della velocit` a in ingresso: α1 = 60◦ - Rendimento idraulico ηy = 0.85, rendimenti organico ed elettrico pari a ηo = 0.96, ηel = 0.98. Determinare: 13

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1. La portata smaltita e la potenza elettrica prodotta; 2. I triangoli di velocit` a sul diametro medio della girante; 3. La quota massima di installazione della turbina rispetto al pelo libero del bacino di valle, sapendo che sulla sezione di uscita della macchina `e richiesto un margine di pressione di 25 kPa per evitare la cavitazione, e che le perdite nel diffusore ammontano a Y = 0.0012 Q2 (dove Q `e la portata volumetrica in m3 /s). La pressione di vapore `e pv = 2300 Pa mentre la pressione dei gas disciolti `e stimata in psol = 3000 Pa.

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ALLEGATI AL CAPITOLO 3

Figura 2: Diagramma di Balje per le turbine idrauliche.

1.02

1

0.98

0.96

η/ηi,nom

0.94

0.92

y=−1.5*x2+2.8x−0.3

0.9

0.88

0.86

0.84

0.82 0.6

0.7

0.8

0.9

Q/Qnom

Figura 3: a) turbina Pelton; b) Dipendenza del rendimento dalla portata

15

1

1.1

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Risultati capitolo 3 Esercizio 3.1:

(a) v1 = 108.5 m/s; w1 = u = w2 = 54.25 m/s; v2 = 18.84 m/s; Dm = 1.38 m/s; P = 22.8 M W , ηi = 0.97 (b) v1 = 99.04 m/s; v2 = 19.55 m/s; P 0 = 17.2 M W ; V˙ 0 = 3.65 m3 /s; ηi = 0.96 (c) V˙ LAB = 0.029 m3 /s; PLAB = 8913 W ; nLAB = 1014 giri/min

Esercizio 3.2:

(a) ωs = 0.494; v1 = 33.26 m/s; D = 0.79 m (b) V˙ LAB = 259 m3 /h; PLAB = 6.64 kW

Esercizio 3.3:

(a) . . . (b) Q0 = 21.67 m3 /h; H 0 = 234.8 m; P 0 = 42.94 kW

Esercizio 3.4:

(a) z = 1.66 m (b) Qmax = 11.02 m3 /s

Esercizio 3.5:

(a) Y = 1.71 m (b) Qmax = 6.26 m3 /s

Esercizio 3.6:

(a) Pel = 2.51 MW (b) v1 = 8.00 m/s, α1 = 60◦ , u = 24.09 m/s w1 = 21.25 m/s, β1 = 160.97◦ v2 = 7.52 m/s, α2 = 112.85◦ , w2 = 27.88 m/s, β2 = 165.6◦ (c) zmax = 6.71 m

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Capitolo 4

Compressori di gas

Esercizio 4.1 Si consideri un compressore centrifugo che elabora una portata di aria pari a 3 kg/s a partire da condizioni ambiente (T = 20◦ C e P = 1 bar) e che garantisce una pressione di mandata pari a 5 bar con un solo stadio di compressione caratterizzato da un rendimento adiabatico pari a 0.8. a) Si calcoli il lavoro specifico di compressione e la potenza richiesta all’asse della macchina. b) Si ipotizzi ora di utilizzare per lo stesso scopo una macchina costituita da due stadi di uguale rapporto di compressione ciascuno caratterizzato da un rendimento adiabatico di 0.8. Si calcoli la nuova potenza richiesta all’asse macchina c) Si interponga ora tra i due stadi di compressione un refrigeratore che raffredda l’aria alle condizioni atmosferiche di partenza prima di inviarla al secondo stadio; si ipotizzi ancora costante il rendimento dei due stadi e pari a 0.8. Si calcoli la potenza richiesta all’asse della macchina e la portata di acqua necessaria al refrigeratore, ipotizzando che l’acqua entri nello scambiatore a 18◦ C e subisca un incremento di temperatura pari a 4◦ C si calcoli inoltre l’efficacia dello scambiatore d) Si determinino il numero di giri ed il diametro della girante del primo stadio di compressione a partire dal diagramma di Balje allegato. (Aria: cp =1004 J/kgK, γaria =1.4)

Esercizio 4.2 Si disegnino i triangoli di velocit` a e si calcolino il grado di reazione, il rapporto di compressione idealmente fornito da un compressore assiale caratterizzato da: - rotore e statore con palettature simmetriche; - α1 = 60◦ (β2 = 180◦ − α1 ; α2 = 180◦ − β1 ) - velocit` a assiale costante = 130 m/s - velocit` a periferica = 200 m/s - fluido di lavoro: aria a 293 K e 1 bar Si disegni la trasformazione termodinamica all’interno della macchina su un piano h-s.

Esercizio 4.3 Un compressore centrifugo monostadio elabora una portata di aria pari a 24000 m3 /h portandola dalle condizioni ambiente (pressione= 1 atm, temperatura=30◦ C) fino alla pressione di 2.4 bar. Con l’aiuto del diagramma di Balje allegato, valutare la velocit` a di rotazione ottima del compressore, il rendimento, il diametro della girante e la potenza alle pale. Un secondo compressore che aspirasse idrogeno alla pressione di 4 bar e alla temperatura di 20◦ C e avesse stesso diametro, stessa velocit` a di rotazione e funzionasse in condizioni di similitudine cinematica con il precedente, a quali condizioni di pressione e temperatura porterebbe il flusso all’uscita? Quale sarebbe la potenza alle pale della macchina? (Aria: massa molecolare=28.8 kg/kmol, rapporto cp /cv =1.4; Idrogeno: massa molecolare= 2 kg/kmol, rapporto cp /cv =1.4)

Esercizio 4.4 Si deve progettare lo stadio di un compressore d’aria che elabori una portata m ˙ = 0.6 kg/s e che lavori tra la pressione totale p01 = 0.1 MPa (con temperatura totale T10 = 290 K e la pressione (statica) p2 = 0.14 MPa, ruotando a n = 300 giri/s. Usando il diagramma di Balje si chiede di: 17

Esercizi di Macchine

a) Determinare il compressore adatto a raggiungere il rendimento pi` u elevato e il diametro D della girante b) Calcolare il numero di Laval L c) Calcolare la temperatura totale alla fine della compressione isoentropica (T20 ), sapendo che v2 = 320 m/s d) Calcolare la potenza assorbita dal compressore, ipotizzando ηo = 0.99

Esercizio 4.5 Il circuito aria compressa di un impianto industriale che necessita di 10 kg/s di aria alla pressione di 6 bar `e alimentato da un compressore che aspira aria ambiente a 15◦ C. Determinare: a) Potenza richiesta da un compressore ideale isoentropico b) Potenza richiesta da un compressore ideale isotermo c) Potenza richiesta da un compressore reale con ηis = 80% d) Si supponga ora di suddividere la compressione reale in due gruppi, ciascuno costituito da pi` u stadi centrifughi di pari rapporto di compressione, con interrefrigerazione intermedia. Calcolare la corrispondente potenza di compressione, tenendo conto che: - La temperatura all’uscita del primo gruppo deve essere fra 120 e 130◦ C - Il rapporto di compressione del singolo stadio deve essere inferiore a 1.4 - All’uscita dell’interrefrigeratore l’aria `e alla temperatura di 35◦ C - L’interrefrigeratore causa una perdita di carico del 2% e) Tracciare nei piani p-v e h-s le trasformazioni termodinamiche nei casi (a), (b), (c) f) Stimare il numero di giri (supposto uguale per tutti gli stadi) ed il diametro delle giranti che consentono al primo gruppo (prima dell’interrefrigeratore) di funzionare nella zona di ottimo rendimento. Posizionare nel diagramma di Balje le condizioni di funzionamento di ciascuno stadio.

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Esercizi di Macchine

ALLEGATI AL CAPITOLO 4

Figura 4: Diagramma di Balje per i compressori di gas.

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Esercizi di Macchine

Risultati capitolo 4 Esercizio 4.1:

(a) ` = 214.68 kJ/kg, P = 644.0 kW (b) `0 = 220.82 kJ/kg, P = 662.5 kW (c) `IR = 190.1 kJ/kg, PIR = 570.3 kW, m ˙ H2 O = 17.03 kg/s, ε = 97.9% (d) n = 16626 giri/min, D = 0.38 m

Esercizio 4.2:

(a) α2 = 180◦ − β1 = 46.1◦ , v1 = w2 = 150 m/s, w1 = v2 = 180.3 m/s (b) χ = 0.5 (c) βid = 1.119

Esercizio 4.3:

(a) ω = 1156 rad/s, D = 0.61 m η = 0.85, P = 777 kW (b) p2 = 1.072 bar, T2 = 299.9 K, P = 219 kW

Esercizio 4.4:

(a) D = 0.22 m (b) L = 0.61 (c) T20 = 375.4 K (d) P = 51.1 kW

Esercizio 4.5:

Prima parte: (a) Ps = 1.93 MW (b) PT = 1.48 MW (c) PR = 2.41 MW Seconda parte: (a) βi,I = 1.365, βi,II = 1.341, PR = 2.21 MW (b) . . . (c) Dimensionamento stadi del primo gruppo: i. ωs = 1, Ds = 3, η = 0.85, ω = 730 rad/s, D = 0.67 m ii. ωs = 0.8, Ds = 3.5, η = 0.85, D = 0.69 m iii. ωs = 0.7, Ds = 3.8, η = 0.85, D = 0.66 m

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Esercizi di Macchine

Capitolo 5

Cicli Rankine e turbine a vapore

Esercizio 5.1 Si consideri un ciclo Rankine ideale caratterizzato dalle seguenti condizioni operative: - Potenza elettrica netta: 300 MW; - Ingresso turbina: vapore surriscaldato (p = 5 MPa, T = 450◦ C); - Pressione di condensazione: p = 25 kPa; - Potere calorifico del combustibile (carbone): 29300 kJ/kg - Rendimento del generatore di vapore: ηcomb = 0.75; - Rendimento elettrico: ηel = 0.96 - Rendimento idraulico: ηid = 0.8 - Rendimento adiabatico turbina: ηid = 0.85 Determinare i punti di funzionamento del ciclo (considerando il lavoro della pompa), il rendimento globale dell’impianto e la quantit` a di combustibile necessaria.

Esercizio 5.2 Un impianto con turbina a vapore fornisce una potenza utile pari a 160 MW con rendimento utile pari a 0.43 (rendimento organico ηo = 0.98). La pressione di condensazione `e di 0.1 bar ed il titolo di vapore allo scarico della turbina vale 0.96. L’acqua condensatrice viene prelevata alla temperatura di 20◦ C e scaricata a 30◦ C. Nell’impianto viene spillato vapore alla pressione di 1 bar ed alla temperatura di 150◦ C per preriscaldare l’acqua di alimento sino alla temperatura di 90◦ C in uno scambiatore a superficie (∆Tpp = 10◦ C). Determinare: - la portata di acqua condensatrice - la portata di vapore spillata dalla turbina - la superficie dello scambiatore, sapendo che il suo coefficiente di scambio termico globale `e pari a 5000 W/m2 K e che la potenza termica scambiata vale Q = KS∆Tml , dove ∆Tma `e la variazione di temperatura media logaritmica nello scambiatore.

Esercizio 5.3 Di uno stadio semplice assiale ad azione della turbina a vapore sono assegnati il salto entalpico isoentropico sul distributore ∆hs = 150 kJ/kg e l’angolo di uscita del vapore dal distributore α1 = 15◦ . Si chiede di calcolare: a) la velocit` a assoluta v1 del vapore all’ingresso della girante (assunto φ = 0.95) b) la velocit` a periferica u che rende ottimo il rendimento dello stadio ed il diametro D della girante (noto n = 3000 giri/min); c) la componente assiale wm1 , la componente tangenziale wt1 , ed il modulo w1 , della velocit`a relativa all’ingresso della girante d) i triangoli di velocit` a in ingresso ed uscita e) la potenza sviluppata dalla turbina, con portata di vapore m ˙ v = 100 kg/s e rendimento organico ηo = 0.98; f) il rendimento dello stadio; g) l’altezza della paletta all’ingresso della girante, conoscendo il volume specifico del vapore v1 = 0.5 m3 /kg ed il coefficiente d’ingombro ξ1 = 0.95 delle pale, con grado di ammissione  = 1 ed  = 0.8. 21

Esercizi di Macchine

Esercizio 5.4 In uno stadio di turbina assiale ad azione, ottimizzato, con  = 0.6 a 3000 giri/min, il vapore entra nella girante alla pressione di 30 bar e 410◦ C. La pala della girante `e simmetrica, con diametro medio D = 1.35 m, α1 = 25◦ , h1 = 40 mm, ξ = 0.97. Assunti come coefficienti di perdita nella palettatura φ = 0.95 e ψ = 0.90, determinare la portata elaborata, la potenza utile (ηo = 0.98, il rendimento dello stadio (ammessa dissipata l’energia cinetica allo scarico) e ipotizzando che il vapore in ingresso alla girante possa essere trattato come un gas perfetto (M MH2 O = 18.015 kg/kmol).

Esercizio 5.5 Un impianto per la produzione di energia elettrica opera secondo un ciclo Rankine definito dai seguenti parametri: - Temperatura di condensazione: 300 K; - Temperatura massima: 800 K; - Pressione di evaporazione: 86 bar; - Rendimento adiabatico turbina: 0.78 - Rendimento adiabatico pompe: 0.8 - Rendimento elettrico ed organico: 0.95 L’impianto deve fornire una potenza utile di 100 MW elettrici. Dopo aver tracciato lo schema d’impianto, si calcolino la portata d’acqua che fluisce nell’impianto ed il rendimento del ciclo.

Esercizio 5.6 Un impianto per la produzione di energia elettrica opera secondo un ciclo Rankine definito dai seguenti parametri: - Temperatura di condensazione: 300 K - Pressione di evaporazione: 86 bar; - Temperatura massima: 800 K; - Rendimento adiabatico turbina di alta pressione: 0.8 - Rendimento adiabatico turbina di bassa pressione: 0.75 - Rendimento adiabatico pompe: 0.8 - Rendimento elettrico ed organico: 0.95 L’impianto deve fornire una potenza utile di 100 MW elettrici ed usa un rigeneratore a miscela che opera con vapore prelevato a 18 bar. Dopo aver tracciato lo schema d’impianto, si calcolino la portata d’acqua che fluisce nell’impianto ed il rendimento del ciclo.

Esercizio 5.7 Uno stadio di turbina assiale (statore + rotore) presenta i triangoli di velocit`a di seguito definiti: - Velocit` a di scarico dello statore: 150 m/s - Velocit` a periferica: 100 m/s - Velocit` a assiale costante - Angolo di scarico dello statore α1 = 16◦ - Rotore simmetrico (β2 = 180◦ − β1 ) 22

Esercizi di Macchine

a) Si calcoli il lavoro fornito dallo stadio mediante la relazione di Eulero, dopo aver disegnato i triangoli di velocit` a in ingresso ed in uscita b) Si verifichi il risultato ottenuto sulla base del principio di conservazione dell’energia c) Ripetere il calcolo nel caso in cui si abbia una velocit`a relativa a valle del rotore doppia di quella in ingresso (w2 = 2w1 anzich´e β2 = 180◦ − β1 )

Esercizio 5.8 Uno stadio di turbina assiale riceve 80 kg/s di vapore alle condizioni p0 = 1.5 MPa, T0 = 350 ◦ C e velocit` a v0 trascurabile. Il distributore espande il vapore fino ad una pressione p1 = 1.0 MPa, mentre la pressione all’uscita dello stadio `e p2 = 0.7 MPa. La girante, che ruota alla velocit`a n = 3000 giri/min, ha un raggio medio rm = 0.8 m, e un’altezza delle palette h = 0.035 m, uguale in ingresso ed in uscita. I coefficienti di perdita nel distributore e nella girante valgono, rispettivamente, φ = 0.92 e ψ = 0.88. Con l’ausilio del diagramma h − s del vapor d’acqua, determinare i triangoli di velocit` a, la potenza interna, il rendimento interno ed il grado di reazione dello stadio.

Esercizio 5.9 Una turbina a vapore a reazione con u/v1 = 0.90 presenta all’ammissione 10 bar e 350 ◦ C. La pressione all’uscita dello stadio statorico `e di 8 bar e la velocit` a assoluta presenta un angolo di incidenza α1 = 20◦ . Sapendo che n = 3000 giri/min, che i triangoli di velocit` a sono simmetrici, che la portata smaltita `e pari a 150 t/h, determinare le seguenti quantit` a: a) Pressione allo scarico dello stadio b) Potenza utile, assumendo il rendimento organico pari a 0.97 c) l’altezza delle pale all’ingresso della girante h1 , assumendo un coefficiente di ingombro pale pari a 0.95 Durante lo svolgimento si utilizzi il diagramma h − s del vapor d’acqua e si assumano i seguenti valori dei coefficienti di riduzione della velocit` a: φ = 0.95, ψ = 0.91.

Esercizio 5.10 Di una ruota Curtis a due salti di velocit` a sono noti i seguenti dati: - Portata di vapore m ˙ = 135 t/h - Condizioni del vapore all’ammissione: p0 = 10 MPa, T0 = 800 K - Velocit` a di rotazione n = 3000 giri min - Coefficiente di velocit` a periferica: kp = u/vi s = 0.21 - Angolo di incidenza della velocit` a assoluta in ingresso alla girante α = 16◦ - Coefficiente di perdita ugelli del primo statore: φ = v1 /v1,is = 0.97 - Coefficiente di ingombro frontale delle pale: ξ = 0.96 - Rapporto dei calori specifici: γ = cp /cv = 1.3 - Coefficiente di perdita nei rotori e nel raddrizzatore: ψ = 0.99 − 2.28∆β/10000 − 4.97/(180◦ − ∆β) Considerando le seguenti limitazioni: - u < 220 m/s per limitare la sollecitazione centrifuga ed il numero di Mach - h/D > 0.025 per avere un accettabile rendimento volumetrico e contenere le perdite per attrito - Mw1 < 0.9 per limitare il rischio di onde d’urto in ingresso alla schiera rotorica 23

Esercizi di Macchine

si chiede di determinare: a) Il salto entalpico smaltibile dallo stadio b) Il diametro della girante c) I triangoli di velocit` a d) Il grado di ammissione e l’altezza di pala e) Il rendimento dello stadio f) Le sezioni caratteristiche dell’ugello statorico Si usino le tabelle termodinamiche del vapore surriscaldato ove necessario. p [bar] 100 44.2409 44.24 54.57 54.57

T [ ◦ C] 523 388.41 394.64 420.99 423.34

v [m3 /kg] 0.034139 0.064511 0.065295 0.054791 0.05504

h [kJ/kg] 3433.934 3178.9 3194 3240.248 3246.1

s [kJ/(kg K)] 6.67437 6.67437 6.69703 6.67437 6.68333

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Esercizi di Macchine

ALLEGATI AL CAPITOLO 5 Un calcolatore delle propriet` a termodinamiche del vapore si trova su: http://www.steamtablesonline.com Saturated Water (H2O)–Temperature Table Temp. ◦

C 0.01 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 ◦ C 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200 205 210

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Pressure kPa 0.6113 0.8721 1.2276 1.7051 2.339 3.169 4.246 5.628 7.384 9.593 12.349 15.758 19.940 25.03 31.19 38.58 47.39 57.83 70.14 84.55 MPa 0.10135 0.12082 0.14327 0.16906 0.19853 0.2321 0.2701 0.3130 0.3613 0.4154 0.4758 0.5431 0.6178 0.7005 0.7917 0.8920 1.0021 1.1227 1.2544 1.3978 1.5538 1.7230 1.9062

Specific liquid m3 /kg 0.001000 0.001000 0.001000 0.001001 0.001002 0.001003 0.001004 0.001006 0.001008 0.001010 0.001012 0.001015 0.001017 0.001020 0.001023 0.001026 0.001029 0.001033 0.001036 0.001040 m3 /kg 0.001044 0.001048 0.001052 0.001056 0.001060 0.001065 0.001070 0.001075 0.001080 0.001085 0.001091 0.001096 0.001102 0.001108 0.001114 0.001121 0.001127 0.001134 0.001141 0.001149 0.001157 0.001164 0.001173

volume vapor m3 /kg 206.14 147.12 106.38 77.93 57.79 43.36 32.89 25.22 19.52 15.26 12.03 9.568 7.671 6.197 5.042 4.131 3.407 2.828 2.361 1.982 m3 /kg 1.6729 1.4194 1.2102 1.0366 0.8919 0.7706 0.6685 0.5822 0.5089 0.4463 0.3928 0.3468 0.3071 0.2727 0.2428 0.2168 0.19405 0.17409 0.15654 0.14105 0.12736 0.11521 0.10441

Internal liquid kJ/kg 0.00 20.97 42.00 62.99 83.95 104.88 125.78 146.67 167.56 188.44 209.32 230.21 251.11 272.02 292.95 313.90 334.86 355.84 376.85 397.88 kJ/kg 418.94 440.02 461.14 482.30 503.50 524.74 546.02 567.35 588.74 610.18 631.68 653.24 674.87 696.56 718.33 740.17 762.09 784.10 806.19 828.37 850.65 873.04 895.53

Energy vapor kJ/kg 2375.3 2382.3 2389.2 2396.1 2402.9 2409.8 2416.6 2423.4 2430.1 2436.8 2443.5 2450.1 2456.6 2463.1 2469.6 2475.9 2482.2 2488.4 2494.5 2500.6 kJ/kg 2506.5 2512.4 2518.1 2523.7 2529.3 2534.6 2539.9 2545.0 2550.0 2554.9 2559.5 2564.1 2568.4 2572.5 2576.5 2580.2 2583.7 2587.0 2590.0 2592.8 2595.3 2597.5 2599.5

Enthalpy liquid vapor kJ/kg kJ/kg 0.00 2501.4 20.98 2510.6 42.01 2519.8 62.99 2528.9 83.96 2538.1 104.89 2547.2 125.79 2556.3 146.68 2565.3 167.57 2574.3 188.45 2583.2 209.33 2592.1 230.23 2600.9 251.13 2609.6 272.06 2618.3 292.98 2626.8 313.93 2643.7 334.91 2635.3 355.90 2651.9 376.92 2660.1 397.96 2668.1 kJ/kg kJ/kg 419.04 2676.1 440.15 2683.8 461.30 2691.5 482.48 2699.0 503.71 2706.3 524.99 2713.5 546.31 2720.5 567.69 2727.3 589.13 2733.9 610.63 2740.3 632.20 2746.5 653.84 2752.4 675.55 2758.1 697.34 2763.5 719.21 2768.7 741.17 2773.6 763.22 2778.2 785.37 2782.4 807.62 2786.4 829.98 2790.0 852.45 2793.2 875.04 2796.0 897.76 2798.5

Entropy liquid vapor kJ/(kgK) kJ/(kgK) 0.0000 9.1562 0.0761 9.0257 0.1510 8.9008 0.2245 8.7814 0.2966 8.6672 0.3674 8.5580 0.4369 8.4533 0.5053 8.3531 0.5725 8.2570 0.6387 8.1648 0.7038 8.0763 0.7679 7.9913 0.8312 7.9096 0.8935 7.8310 0.9549 7.7553 1.0155 7.6824 1.0753 7.6122 1.1343 7.5445 1.1925 7.4791 1.2500 7.4159 kJ/(kgK) kJ/(kgK) 1.3069 7.3549 1.3630 7.2958 1.4185 7.2387 1.4734 7.1833 1.5276 7.1296 1.5813 7.0775 1.6344 7.0269 1.6870 6.9777 1.7391 6.9299 1.7907 6.8833 1.8418 6.8379 1.8925 6.7935 1.9427 6.7502 1.9925 6.7078 2.0419 6.6663 2.0909 6.6256 2.1396 6.5857 2.1879 6.5465 2.2359 6.5079 2.2835 6.4698 2.3309 6.4323 2.3780 6.3952 2.4248 6.3585

Esercizi di Macchine

Tsat 215 220 225 230 235 240 245 250 255 260 265 270 275 280 285 290 295 300 305 310 315 320 330 340 350 360 370 374.14

psat@T 2.104 2.318 2.548 2.795 3.060 3.344 3.648 3.973 4.319 4.688 5.081 5.499 5.942 6.412 6.909 7.436 7.993 8.581 9.202 9.856 10.547 11.274 12.845 14.586 16.513 18.651 21.03 22.09

vf 0.001181 0.001190 0.001199 0.001209 0.001219 0.001229 0.001240 0.001251 0.001263 0.001276 0.001289 0.001302 0.001317 0.001332 0.001348 0.001366 0.001384 0.001404 0.001425 0.001447 0.001472 0.001499 0.001561 0.001638 0.001740 0.001893 0.002213 0.003155

vg 0.09479 0.08619 0.07849 0.07158 0.06537 0.05976 0.05471 0.05013 0.04598 0.04221 0.03877 0.03564 0.03279 0.03017 0.02777 0.02557 0.02354 0.02167 0.019948 0.018350 0.016867 0.015488 0.012996 0.010797 0.008813 0.006945 0.004925 0.003155

uf 918.14 940.87 963.73 986.74 1009.89 1033.21 1056.71 1080.39 1104.28 1128.39 1152.74 1177.36 1202.25 1227.46 1253.00 1278.92 1305.20 1332.00 1359.30 1387.10 1415.50 1444.60 1505.30 1570.30 1641.90 1725.20 1844.00 2029.60

ug 2601.1 2602.4 2603.3 2603.9 2604.1 2604.0 2603.4 2602.4 2600.9 2599.0 2596.6 2593.7 2590.2 2586.1 2581.4 2576.0 2569.9 2563.0 2555.2 2546.4 2536.6 2525.5 2498.9 2464.6 2418.4 2351.5 2228.5 2029.6

hf 920.62 943.62 966.78 990.12 1013.62 1037.32 1061.23 1085.36 1109.73 1134.37 1159.28 1184.51 1210.07 1235.99 1262.31 1289.07 1316.30 1344.00 1372.40 1401.30 1431.00 1461.50 1525.30 1594.20 1670.60 1760.50 1890.50 2099.30

hg 2800.5 2802.1 2803.3 2804.0 2804.2 2803.8 2803.0 2801.5 2799.5 2796.9 2793.6 2789.7 2785.0 2779.6 2773.3 2766.2 2758.1 2749.0 2738.7 2727.3 2714.5 2700.1 2665.9 2622.0 2563.9 2481.0 2332.1 2099.3

sf 2.4714 2.5178 2.5639 2.6099 2.6558 2.7015 2.7472 2.7927 2.8383 2.8838 2.9294 2.9751 3.0208 3.0668 3.1130 3.1594 3.2062 3.2534 3.3010 3.3493 3.3982 3.4480 3.5507 3.6594 3.7777 3.9147 4.1106 4.4298

sg 6.3221 6.2861 6.2503 6.2146 6.1791 6.1437 6.1083 6.0730 6.0375 6.0019 5.9662 5.9301 5.8938 5.8571 5.8199 5.7821 5.7437 5.7045 5.6643 5.6230 5.5804 5.5362 5.4417 5.3357 5.2112 5.0526 4.7971 4.4298

26

Esercizi di Macchine

Saturated water (H2O)–Pressure table Pressure kPa 0.6113 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 5.0 7.5 10 15 20 25 30 40 50 75 MPa 0.1 0.125 0.150 0.175 0.200 0.225 0.250 0.275 0.300 0.325 0.350 0.375 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.75 27

Temp. ◦

C 0.01 6.98 13.03 17.50 21.08 24.08 28.96 32.88 40.29 45.81 53.97 60.06 64.97 69.10 75.87 81.33 91.78 ◦ C 99.63 105.99 111.37 116.06 120.23 124 127.44 130.6 133.55 136.3 138.88 141.32 143.63 147.93 151.86 155.48 158.85 162.01 164.97 167.78 170.43 172.96 175.38 177.69 179.91 184.09 187.99 191.64 195.07 198.32 205.76

Specific liquid m3 /kg 0.001000 0.001000 0.001001 0.001001 0.001002 0.001003 0.001004 0.001005 0.001008 0.001010 0.001014 0.001017 0.001020 0.001022 0.001027 0.001030 0.001037 m3 /kg 0.001043 0.001048 0.001053 0.001057 0.001061 0.001064 0.001067 0.00107 0.001073 0.001076 0.001079 0.001081 0.001084 0.001088 0.001093 0.001097 0.001101 0.001104 0.001108 0.001112 0.001115 0.001118 0.001121 0.001124 0.001127 0.001133 0.001139 0.001144 0.001149 0.001154 0.001166

volume vapor m3 /kg 206.14 129.21 87.98 67.00 54.25 45.67 34.80 28.19 19.24 14.67 10.02 7.649 6.204 5.229 3.993 3.240 2.217 m3 /kg 1.694 1.3749 1.1593 1.0036 0.8857 0.7933 0.7187 0.6573 0.6058 0.562 0.5243 0.4914 0.4625 0.414 0.3749 0.3427 0.3157 0.2927 0.2729 0.2556 0.2404 0.227 0.215 0.2042 0.19444 0.17753 0.16333 0.15125 0.14084 0.13177 0.11349

Internal liquid kJ/kg 0 29.3 54.71 73.48 88.48 101.04 121.45 137.81 168.78 191.82 225.92 251.38 271.9 289.2 317.53 340.44 384.31 kJ/kg 417.36 444.19 466.94 486.8 504.49 520.47 535.1 548.59 561.15 572.9 583.95 594.4 604.31 622.77 639.68 655.32 669.9 683.56 696.44 708.64 720.22 731.27 741.83 751.95 761.68 780.09 797.29 813.44 828.70 843.16 876.46

Energy vapor kJ/kg 2375.3 2385.0 2393.3 2399.5 2404.4 2408.5 2415.2 2420.5 2430.5 2437.9 2448.7 2456.7 2463.1 2468.4 2477.0 2483.9 2496.7 kJ/kg 2506.1 2513.5 2519.7 2524.9 2529.5 2533.6 2537.2 2540.5 2543.6 2546.4 2548.9 2551.3 2553.6 2557.6 2561.2 2564.5 2567.4 2570.1 2572.5 2574.7 2576.8 2578.7 2580.5 2582.1 2583.6 2586.4 2588.8 2591.0 2592.8 2594.5 2597.8

Enthalpy liquid vapor kJ/kg kJ/kg 0.00 2501.4 29.30 2514.2 54.71 2525.3 73.48 2533.5 88.49 2540.0 101.05 2545.5 121.46 2554.4 137.82 2561.5 168.79 2574.8 191.83 2584.7 225.94 2599.1 251.40 2609.7 271.93 2618.2 289.23 2625.3 317.58 2636.8 340.49 2645.9 384.39 2663.0 kJ/kg kJ/kg 417.46 2675.5 444.32 2685.4 467.11 2693.6 486.99 2700.6 504.7 2706.7 520.72 2712.1 535.37 2716.9 548.89 2721.3 561.47 2725.3 573.25 2729 584.33 2732.4 594.81 2735.6 604.74 2738.6 623.25 2743.9 640.23 2748.7 665.93 2753 670.56 2756.8 684.28 2760.3 697.22 2763.5 709.47 2766.4 721.11 2769.1 732.22 2771.6 742.83 2773.9 753.02 2776.1 762.81 2778.1 781.34 2871.7 798.65 2784.8 814.93 2787.6 830.30 2790.0 844.89 2792.2 878.50 2796.4

Entropy liquid vapor kJ/(kgK) kJ/(kgK) 0.0000 9.1562 0.1059 8.9756 0.1957 8.8279 0.2607 8.7237 0.3120 8.6432 0.3545 8.5776 0.4226 8.4746 0.4764 8.3951 0.5764 8.2515 0.6493 8.1502 0.7549 8.0085 0.8320 7.9085 0.8931 7.8314 0.9439 7.7686 1.0259 7.67 1.0910 7.5939 1.2130 7.4564 kJ/(kgK) kJ/(kgK) 1.3026 7.3594 1.374 7.2844 1.4336 7.2233 1.4849 7.1717 1.5301 7.1271 1.5706 7.0878 1.6072 7.0527 1.6408 7.0209 1.6718 6.9919 1.7006 6.9652 1.7275 6.9405 1.7528 6.9175 1.7766 6.8959 1.8207 6.8565 1.8607 6.8213 1.8973 6.7893 1.9312 6.76 1.9627 6.7331 1.9922 6.708 2.02 6.6847 2.0462 6.6628 2.071 6.6421 2.0946 6.6226 2.1172 6.6041 2.1387 6.5865 2.1792 6.5536 2.2166 6.5233 2.2515 6.4953 2.2842 6.4693 2.3150 6.4448 2.3851 6.3896

Esercizi di Macchine

psat@T 2.00 2.25 2.50 3.00 3.50 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22.09

Tsat 212.42 218.45 223.99 233.90 242.60 250.40 263.99 275.64 285.88 295.06 303.40 311.06 318.15 324.75 330.93 336.75 342.24 347.44 352.37 357.06 361.54 365.81 369.89 373.80 374.14

vf 0.001177 0.001187 0.001197 0.001217 0.001235 0.001252 0.001286 0.001319 0.001351 0.001384 0.001418 0.001452 0.001489 0.001527 0.001567 0.001611 0.001658 0.001711 0.001770 0.001840 0.001924 0.002036 0.002207 0.002742 0.003155

vg 0.09963 0.08875 0.07998 0.06668 0.05707 0.04978 0.03944 0.03244 0.02737 0.02352 0.02048 0.018026 0.015987 0.014263 0.012780 0.011485 0.010337 0.009306 0.008364 0.007489 0.006657 0.005834 0.004952 0.003568 0.003155

uf 906.44 933.83 959.11 1004.78 1045.43 1082.31 1147.81 1205.44 1257.55 1305.57 1350.51 1393.04 1433.7 1473.0 1511.1 1548.6 1585.6 1622.7 1660.2 1698.9 1739.9 1785.6 1842.1 1961.9 2029.6

ug 2600.3 2602.0 2603.1 2604.1 2603.7 2602.3 2597.1 2589.7 2580.5 2569.8 2557.8 2544.4 2529.8 2513.7 2496.1 2476.8 2455.5 2431.7 2405.0 2374.3 2338.1 2293.0 2230.6 2087.1 2029.6

hf 908.79 936.49 962.11 1008.42 1049.75 1087.31 1154.23 1213.35 1267.00 1316.64 1363.26 1407.56 1450.1 1491.3 1531.5 1571.1 1610.5 1650.1 1690.3 1732.0 1776.5 1826.3 1888.4 2022.2 2099.3

hg 2799.5 2801.7 2803.1 2804.2 2803.4 2801.4 2794.3 2784.3 2772.1 2758.0 2742.1 2724.7 2705.6 2684.9 2662.2 2637.6 2610.5 2580.6 2547.2 2509.1 2464.5 2409.7 2334.6 2165.6 2099.3

sf 2.4474 2.5035 2.5547 2.6457 2.7253 2.7964 2.9202 3.0267 3.1211 3.2068 3.2858 3.3596 3.4295 3.4962 3.5606 3.6232 3.6848 3.7461 3.8079 3.8715 3.9388 4.0139 4.1075 4.3110 4.4298

sg 6.3409 6.2972 6.2575 6.1869 6.1253 6.0701 5.9734 5.8892 5.8133 5.7432 5.6722 5.6141 5.5527 5.4924 5.4323 5.3717 5.3098 5.2455 5.1777 5.1044 5.0228 4.9269 4.8013 4.5327 4.4298

28

Esercizi di Macchine

Diagramma di Mollier h − s del vapor d’acqua

29

Esercizi di Macchine

Risultati capitolo 5 Esercizio 5.1:

(a) punto 1 2 3 4 5 6s 6

T [ ◦ C] 64.97 65.27 263.99 263.99 450 64.97 64.97

P 25 kPa 5 MPa 5 MPa 5 MPa 5 MPa 25 kPa 25 kPa

stato L. SAT. L. COMPR. L. SAT. V. SAT. V. SURR x = 0.854 x = 0.921

h [kJ/kg] 271.93 277.4 1154.23 2794.3 3316.2 2275.6 2275.6

s [kJ/(kgK)] 0.8931

6.8186 6.8186

(b) ηg = 0.220 (c) m ˙ c = 49.14 kg/s Esercizio 5.2:

(a) m ˙ H2 O = 4988 kg/s (b) m ˙ spill = 7.13 kg/s (c) S = 128.57 m2

Esercizio 5.3:

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)

v1 = 520.34 m/s u = 251.3 m/s; D = 1.60 m w1,m = 134.7 m/s; w1,t = 251.3 m/s; w1 = 285.1 m/s ... Pu = 12.89 MW ηstadio = 0.825 ε = 1 ⇒ h = 0.078 m; ε = 0.8 ⇒ h = 0.097 m

Esercizio 5.4:

m ˙ = 185.9 kg/s; Pu = 15.58 MW; ηs = 0.69

Esercizio 5.5:

m ˙ = 86.6 kg/s; ηg = 0.37

Esercizio 5.6:

m ˙ = 94.32 kg/s; ηg = 0.435

Esercizio 5.7:

(a) l = 8840 J/kg (b) . . . (c) l = 15790 J/kg

Esercizio 5.8:

(a)

Esercizio 5.9:

(a) p2 = 6.67 bar (b) Pu = 3652 kW (c) h1 = 0.02 m

Esercizio 5.10:

(a) ∆his = 255.11 kJ/kg (b) D = 0.955 m (c) 1. v1 = 692.9 m/s, w1 = 550.27 m/s, β1 = 20.31◦ , Mw1 = 0.87 2. v2 = 323.54 m/s, α2 = 150.43◦ , w2 = 460.0 m/s, β2 = 159.69◦ 3. v3 = 284, 2 m/s, α3 = 29.57◦ , w3 = 170.63 m/s, β3 = 55.28◦ 4. v4 = 143.34 m/s, α4 = 65.39◦ , w4 = 158.55 m/s, β4 = 124.72◦ (d) ε = 0.181, h = 24 mm (e) ηT T = 0.695 (f ) Scarico ugello: SD = 3.43 · 10−3 m2 , sezione di gola: SG = 3.305 · 10−3 m2

u = 251.36 m/s I: v1 = 428.96 m/s, α1 = 15.92◦ , w1 = 199.5 m/s, β1 = 36.14◦ ; U: w2 = 410.29 m/s, β2 = 157.3◦ , α2 = 128.70◦ , v2 = 203.2 m/s (b) Pi = 10.85 MW, ηT T = 0.776 (c) χ = 0.411

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Esercizi di Macchine

Capitolo 6

Cicli a gas

Esercizio 6.1 Un ciclo Brayton reale `e caratterizzato dai seguenti dati: - rapporto di compressione: β = 15 - pressione e temperatura aria ammissione: p1 = 0.1 MPa; T1 = 293 K - rendimenti adiabatici compressore e turbina: ηc = 0.84 ηt = 0.86 - rendimenti meccanici compressore e turbina: ηmc = 0.98 ηmt = 0.98 - rendimento globale del combustore: ηb = 0.98 - coefficiente pneumatico (di perdita di carico) del combustore: πb = 0.95 - altri coefficienti pneumatici πi = 1 - temperatura massima di ingresso in turbina: T3 = 1225 K - potere calorifico inferiore del combustibile: Hi = 42000 kJ/kg - rapporto tra i calori specifici cp /cv = karia = 1.4 dal punto 1 al punto 2 - rapporto tra i calori specifici cp /cv = kgas comb = 1.32 dal punto 3 a 4 - calore specifico a pressione costante cp = cost = 1.005 kJ/(kg · K) da 1 a 2 - calore specifico a pressione costante cp = cost = 1.193 kJ/(kg · K) da 3 a 4 - calore specifico a pressione costante cp = cost = 1.130 kJ/(kg · K) da 2 a 3 Si chiede di calcolare: a) tutti i punti del ciclo termodinamico b) il rapporto aria/combustibile α con il bilancio al combustore c) il lavoro massico richiesto dal compressore lc , quello fornito dalla turbina lt , il lavoro massico utile lu ; d) il rendimento globale del ciclo; e) la potenza utile erogata, supposto che la portata di aria aspirata sia m ˙ a = 100 mathrmkg/s f) supposto il compressore assiale, il numero di stadi ed il rapporto di compressione del singolo stadio per garantire β = 15

Esercizio 6.2 Una turbina a gas industriale `e caratterizzata dai seguenti dati di progetto: - rapporto di compressione: β = 18; - rendimento isoentropico del compressore 0.88; - rendimento isoentropico della turbina 0.91; - portata di combustibile: m ˙ f = 9 kg/s; - temperatura dei gas all’ingresso della turbina TIT = 1550 K; - coefficiente pneumatico di perdita sul combustore πb = 0.98; - rendimento globale del combustore: ηb = 0.98; - rendimento meccanico del compressore e della turbina ηm = 0.97; - rendimento elettrico ηel = 1.0; - calore specifico a pressione costante cp = 1.005 kJ/(kg · K) da 1 a 2 (costante) 31

Esercizi di Macchine

- calore specifico a pressione costante cp = 1.130 kJ/(kg · K) da 2 a 3 (costante) - kgas,comb = cp /cv = 1.36 (M Mgas comb. = 28.4 kg/kmol) - potere calorifico inferiore del combustibile: Hi = 45 MJ/kg Si richiede: a) Schema di impianto e calcolo dei punti del ciclo a gas tracciando su un grafico opportuno le trasformazioni termodinamiche effettuate b) Calcolo della potenza elettrica effettiva e della portata d’aria aspirata e del rendimento del ciclo [M Maria = 28.85 kg/kmole, condizioni ambiente: Ta = 298 K, pa = 1.013 bar]

Esercizio 6.3 Dato un turbogas, supponendo di suddividere il suo salto entalpico disponile ∆his = 912 kJ/kg in 8 stadi, nell’ipotesi di ∆his, stadio costante e grado di reazione pari a 0.5, si determinino: a) i triangoli delle velocit` a del singolo stadio; b) il diametro medio, il numero di giri e l’altezza di pala di ingresso rotore del primo stadio essendo noti i seguenti dati: - pressione ingresso turbina: p0 = 17.86 bar - velocit` a periferica: U = 330 m/s - angolo della velocit` a assoluta di ingresso: α1 = 15◦ - coefficiente di perdita statore: 0.96 - coefficiente di perdita rotore ψ = 0.99 − 2.28

∆β 104

−

4.97 180−∆β

- rapporto h/Dm = 0.1 - temperatura di ingresso turbina TIT = 1550 K - portata massica in turbina: m ˙ t = 430 kg/s [si assumano γgc = 1.36; cp,gc = 1130 J/(kg · K); m ˙ a = 430 kg/s]

Esercizio 6.4 Considerando il ciclo descritto nell’esercizio 6.2 si realizzi un’inter-refrigerazione, con due compressori di uguale rapporto di compressione, ipotizzando un riscaldamento dell’acqua di 15 ◦ C che riporti l’aria alla temperatura ambiente. Nell’ipotesi che i rendimenti degli stadi di compressione e di turbina rimangano invariati e che si voglia ottenere una potenza utile di 156.0 MW, si determini: a) il lavoro utile, il rendimento del ciclo, la portata di combustibile richiesta. b) la portata di acqua necessaria per la inter-refrigerazione. c) il rapporto di espansione della turbina ad alta pressione necessario per fornire la potenza ai compressori d) lo schema di impianto [dati: βtot = 18; ηel = 2; ηis,c1 = ηis,c2 = 0.88; ηis,t1 = ηis,t2 = 0.91; cp,12 = 1005 J/kgK; cp,23 = 1130 J/kgK; cp,56 = 1105.931 J/kgK; γ1,2 = 1.402; γgc = 1.360; ηm,T = ηm,c = 0.97 lt ∗ ηm,t = 805307.24 W ; ηcomb = 0.98; Hi = 45 · 106 J/kg] 32

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Risultati capitolo 6 Esercizio 6.1:

(a) ciclo termodinamico: punto T [K] p [MPa]

1 293 0.1

2s 635.2 1.5

2 700.4 1.5

3 1225 1.425

4s 643.3 0.1

4 724.7 0.1

(b) α = 68.43 (c) lc = 417.8 kJ/kg, lt = 584.9 kJ/kg, lu = 175.65 kJ/kg (riferito alla portata aspirata) (d) ηg = 0.286 (e) Pu = 17.56 MW (f) N = 15, βi = 1.198 Esercizio 6.2:

(a) ciclo termodinamico: punto T [K] p [MPa]

1 298 0.1013

2s 682.6 1.82

2 735.04 1.82

3 1550 1.79

4s 725.06 0.1013

4 799.31 0.1013

(b) m ˙ a = 421.99 kg/s, Pu = 156.0 MW, ηg = 0.385 Esercizio 6.3:

(a) v1 = 324.13 m/s, α1 = 15◦ , w1 = 85.58 m/s, β1 = 101.4◦ , v2 = 79.6 m/s, α2 = 79.04◦ , w2 = 324.6 m/s, β2 = 166.06◦ (b) Dm = 2.13 m, hp = 0.21 m, n = 2953.4 giri/min

Esercizio 6.4:

(a) lu = 467.68 kg/s (riferito alla portata aspirata), ηg = 0.369, m ˙ f = 9.39 kg/s (b) m ˙ H2 O = 928.3 kg/s (c) βAP = 2.706 (d) . . .

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Esercizi di Macchine

7

Esempio di tema d’esame (prima parte)

Esercizio 7.1 In un impianto idroelettrico, la cui portata `e pari a 20 m3 /s, deve essere impiegata una turbina Francis in condizioni ottimizzate (ωs = 1, Ds = 3, a cui corrisponde un rendimento idraulico pari a 0.92). La velocit`a di rotazione imposta dall’alternatore `e pari a 750 giri/min e la sezione di uscita della girante `e pari a 1.68 m2 . Determinare: 1. Il diametro della girante della turbina e la velocit`a periferica della macchina. 2. La potenza elettrica prodotta dall’impianto, sapendo che i rendimenti elettrico ed organico valgono rispettivamente 0.92 e 0.95. 3. La percentuale di salto motore recuperata grazie all’utilizzo del diffusore. 4. Sapendo che le perdite nel diffusore ammontano a 0.6 m e che esiste una differenza di 0.15 bar tra la sezione di uscita e il punto di minima pressione della girante, determinare la massima quota a cui pu`o essere installata la turbina rispetto al bacino di scarico, ipotizzando trascurabili pv e psol . 5. Ipotizzando di impiegare la stessa macchina in un impianto con salto motore incrementato del 40%, quali dovrebbero essere la nuova portata e velocit`a di rotazione per mantenere lo stesso rendimento idraulico?

Esercizio 7.2 L’impianto di pompaggio mostrato in figura utilizza una pompa centrifuga per alimentare un serbatoio posto alla quota di 50 metri e ad una pressione di 3 bar. La pompa aspira acqua da un serbatoio, aperto in atmosfera, posto ad una quota di 5 metri. Il sistema di aspirazione `e composto da un singolo condotto lungo 20 metri avente un diametro Da = 400 mm (λa = 0.01), mentre la linea di mandata `e composta da tre tubi in parallelo aventi uguale diametro Dm = 200 mm ed una lunghezza di 70 metri (λm = 0.01). Dati i seguenti parametri : - Rendimento organico costante ηo = 0.97 - Rendimento elettrico costante ηe = 0.98 - Perdite concentrate in aspirazione 5 quote cinetiche - Perdite concentrate in mandata 8 quote cinetiche - Curva caratteristiche della pompa (per n = 1000 giri/min): H = 125.1 − 100Q2 (con Q in unit`a del SI) - Rendimento idraulico : ηy = −0.2Q2 + 0.25Q + 0.7 (con Q in unit` a del SI) - Velocit` a di rotazione: n = 1000 giri/min - Altezza di pala in uscita girante h2 = 50 mm - Diametro in uscita girante D2 = 600 mm - Moto assolutamente turbolento. Si chiede di determinare: 1. La curva caratteristica dell’impianto. 2. La portata smaltita dal sistema pompa-impianto (condizioni nominali) e la potenza elettrica assorbita. 3. Il dislivello tra flangia di aspirazione e serbatoio di aspirazione per avere NPSHd = 8 m, supponendo pv + psol = 0.01 bar. 4. I triangoli di velocit` a in uscita dalla girante. 34

Esercizi di Macchine

Ipotizzando quindi la chiusura di uno dei tre condotti di mandata, si chiede di determinare: 5. La potenza assorbita dalla pompa nel nuovo punto di funzionamento considerando la valvola di by-pass chiusa (fuori progetto). 6. La potenza assorbita dalla pompa nella condizione che la valvola di by-pass smaltisca la differenza di portata tra il punto nominale e quello fuori progetto.

Risultati capitolo 7 Esercizio 7.1:

(a) D = 1.90 m, u2 = 74.61 m/s (b) Pel = 39.85 MW (c) recupero: 2.86% (2.62% se si considerano le perdite nel diffusore) (d) zmax = 2.18 m (e) n0 = 887.41 giri/min; Q0 = 23.66 m3 /s

Esercizio 7.2:

(a) HI = 65.25 + 83.70Q2 (b) Q = 0.571 m3 /s; Pel = 700.6 kW (c) zasp − z1 = −3.53 m (d) u2 = 31.42 m/s; v2 = 37.61 m/s; α2 = 9.17◦ ; w2 = 8.32 m/s; β2 = 46.8◦ (e) Pel0 = 648.6 kW (f ) Pel00 = 777.3 kW

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