Eserciziario Meccanica Applicata alle Macchine

Indice 2 Cinematica del punto e del corpo rigido 2.1 Moto del punto nel piano: es.1 . . . . . 2.2 Moto del punto nel piano: es.2 . . . . . 2.3 Tram su percorso urbano . . . . . . . . 2.4 Gru da cantiere . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Asta su guida circolare . . . . . . . . . . 2.6 Disco su guida circolare . . . . . . . . .

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3 3 3 4 5 6 7

3 Cinematica dei sistemi di corpi rigidi 3.1 Attuatore oleodinamico . . . . . . . 3.2 Quadrilatero articolato . . . . . . . . 3.3 Manovellismo ordinario deviato . . . 3.4 Disco cuneo . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Manovellismo particolare . . . . . . . 3.6 Manovellismo piano inclinato . . . . 3.7 Sistema Disco Asta . . . . . . . . . . 3.8 Carrellino . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Sistema meccanico articolato . . . .

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9 9 10 11 12 13 14 15 17 18

4 Statica dei sistemi di corpi rigidi 4.1 Scala . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Disco su guida circolare . . . . . 4.3 Manovellismo . . . . . . . . . . . 4.4 Glifo . . . . . . . . . . . . . . . .

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19 19 20 20 21

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23 23 23 24 24 25 26

5 Geometria delle masse 5.1 Asta non omogenea . . . . . . 5.2 Piastra triangolare omogenea 5.3 Semidisco omogeneo . . . . . 5.4 Anello con massa puntiforme 5.5 Asta e disco omogenei . . . . 5.6 Riduzione della biella . . . . . 1

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E2

Capitolo 1

6 Dinamica dei sistemi di corpi 6.1 Asta ad L . . . . . . . . . . 6.2 Asta che scorre su disco . . 6.3 Martellone . . . . . . . . . . 6.4 Quadrilatero Quadro . . . . 6.5 Disco Cuneo . . . . . . . . . 6.6 Disco che rotola su un piano

rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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29 29 30 31 32 33 34

7 Azioni mutue tra elementi di 7.1 Attrito radente tra corpi . . 7.2 Veicolo a due ruote in salita 7.3 Quadrilatero articolato . . . 7.4 Manovellismo deviato . . . 7.5 Attuatore oleodinamico . . 7.6 Sistema meccanico . . . . .

macchine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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35 35 36 36 37 38 39

8 Dinamica della macchina a un grado di libert` a 8.1 Skilift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Ascensore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Muletto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Impianto di sollevamento . . . . . . . . . . . . . 8.5 Utilizzatore a regime periodico . . . . . . . . . .

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41 41 42 44 45 46

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10 Gli elementi delle macchine 10.1 Trasmissione mediante cinghia piana 10.2 Dimensionamento tendicinghia . . . 10.3 Camma circolare . . . . . . . . . . . 10.4 Freno a disco . . . . . . . . . . . . . 10.5 Cinematica del veicolo in curva . . . 10.6 Innesto a frizione automobilistico . .

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49 49 49 51 52 53 55

11 Vibrazioni meccaniche a un 11.1 Fermaporta . . . . . . . . 11.2 Locomotore . . . . . . . . 11.3 Sospensione motociclistica 11.4 Sistema vibrante: es.1 . . 11.5 Sistema vibrante: es.2 . .

libert` a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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57 57 58 58 60 60

grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

di . . . . . . . . . .

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Capitolo 2

Cinematica del punto e del corpo rigido 2.1

Moto del punto nel piano: es.1

Un punto materiale si muove lungo una traiettoria la cui legge oraria `e P (t) = (9t)i + (3 + 2t2 )j Si richiede di: 1. calcolare i vettori velocit` a ed accelerazione in funzione del tempo; 2. calcolare l’espressione dei versori tangente e normale alla traiettoria all’istante t = 3 s; 3. calcolare il raggio di curvatura della traiettoria sempre all’istante t=3s

2.2

Moto del punto nel piano: es.2

Un punto si trova inizialmente (t = 0 s) in una posizione individuata dall’origine O di un sistema di riferimento assoluto rispetto al quale ` assegnato l’andamento della sono definite le grandezze d’interesse. E velocit`a in funzione del tempo, in termini di componenti cartesiane: v = 2 i + 4t j. Si determinino: 1. la legge di moto: x = x(t), y = y(t); 2. la traiettoria del punto materiale; 3. l’accelerazione in funzione del tempo; 4. i vettori posizione, velocit` a e accelerazione al tempo t = 2 s.

3

E4

Capitolo 2

2.3

Tram su percorso urbano

Di un tram che si muove su percorso urbano, schematizzabile come un punto che si muove su un piano, `e assegnato il seguente percorso tra due fermate successive, identificate dai punti A e D, distanti lungo l’ascissa curvilinea sT = 1870 m: A ✛

B 200m ✲ ✯ ✟✟ R1 = 400m ✟ ✟ ✟

C

✟ ✟✟ ✟ ✟✟R2 = 600m ✟ ✙ ✟

D

E

Figura 2.1: Schema percorso urbano del tram Sono inoltre note: • la velocit` a massima del veicolo: vmax = 60 km/h; • la massima accelerazione in trazione: at = 1 m/s2 ; • la massima decelerazione in frenatura: af = −0.8 m/s2 . Sapendo che il tram parte e deve arrivare fermo alle due fermate, si chiede di: 1. definire la legge di moto del veicolo che minimizzi il tempo di percorrenza del tragitto assegnato; 2. realizzare i diagrammi di spostamento, velocit`a ed accelerazione del veicolo in funzione del tempo; 3. realizzare i diagrammi di velocit`a ed accelerazione in funzione dell’ascissa curvilinea; 4. verificare che l’accelerazione laterale massima sui passeggeri sia minore di un valore di comfort fissato pari a 0.8 m/s2 .

Eserciziario di fondamenti di meccanica teorica e applicata

2.4

E5

Gru da cantiere

vr , ar

Figura 2.2: Gru a braccio La figura 2.2 riporta lo schema di una gru da cantiere a braccio girevole con il carrello portagancio mobile lungo il braccio. Si richiede di studiare il moto del carrello, schematizzato come un punto materiale, determinandone velocit` a ed accelerazione quando il braccio ruota con velocit`a angolare ω = 0.1 rad/s ed accelerazione angolare ω˙ = 0.01 rad/s2 attorno all’asse verticale (entrambe in senso orario viste da una vista in pianta dall’alto) mentre il carrello si sta muovendo verso l’estremit`a del braccio con componenti di velocit` a ed accelerazione allineate al braccio pari rispettivamente a vr = 0.7 m/s e ar = 0.1 m/s2 . Si conosce la distanza del carrello dall’asse di rotazione nell’istante di tempo considerato pari a 3.9 m e la posizione angolare del braccio pari a π/6 rispetto all’asse x della terna riportata in figura 2.3. Risolvere il problema mediante: • metodo dei numeri complessi; • teorema dei moti relativi. y

Im P

P ρ

O

ϑ

ϑ x

O

Re

Figura 2.3: Posizione del punto P nel piano complesso

E6

2.5

Capitolo 2

Asta su guida circolare

A l R

α

vB , aB B

O Figura 2.4: Asta su guida circolare L’asta AB di lunghezza l = 2 m, rappresentata in Figura 2.4, si muove nel piano ed `e vincolata tramite due carrelli agli estremi A e√B. Il carrello in A scorre su una guida circolare di raggio costante R = 2 m e centro in O. Il carrello in B scorre invece su una guida rettilinea orizzontale. Nell’atto di moto rappresentato, l’angolo α formato dall’asta AB con la guida orizzontale `e pari a π/6. Note la velocit`a e l’accelerazione del punto B (vB = 0.5 m/s e aB = 0.1 m/s2 ): 1. individuare la posizione del centro di istantanea rotazione; 2. calcolare la velocit`a e l’accelerazione angolare dell’asta: ωAB e ω˙ AB ; 3. calcolare la velocit`a e l’accelerazione del punto A: vA e aA .

Eserciziario di fondamenti di meccanica teorica e applicata

2.6

E7

Disco su guida circolare O

ϑ R

y

P

x

r C

Figura 2.5: Disco su guida circolare Il sistema meccanico riportato in Figura 2.5 si muove nel piano verticale ed `e composto da un disco rigido di raggio r = 0.25 m che rotola senza strisciare su una guida rigida curva con raggio di curvatura R = 1 m. ` nota la legge di moto dell’angolo ϑ(t) che descrive la posizione E angolare del disco rispetto al sistema di riferimento assoluto Oxy con origine nel centro di curvatura della guida. Nell’atto di moto rappresentato in Figura 2.5 (ϑ = π/6, ϑ˙ = 2 rad/s e ϑ¨ = 0.1 rad/s2 ) si richiede di calcolare: 1. velocit` a ed accelerazione del centro del disco (punto C); 2. velocit` a ed accelerazione del punto P posto sulla circonferenza (nell’atto di moto considerato il vettore (P − C) `e parallelo all’asse x).

Le soluzioni svolte degli esercizi sono liberamente scaricabili all’indirizzo http://www.ateneonline.it/Bachschmid

E8

Capitolo 2

Capitolo 3

Cinematica dei sistemi di corpi rigidi 3.1

Attuatore oleodinamico B

O1

γ O

β Figura 3.1: Sistema articolato

Del meccanismo riportato in Figura 3.1 `e nota la geometria:√lunghezza della manovella O1 B = 2.5 m, lunghezza del telaio OO1 = 2 m e l’inclinazione del telaio γ = π4 rad. Nell’istante di tempo considerato (t = 3 s), rappresentato in figura, l’angolo di manovella α = 0 rad. La legge con cui varia la lunghezza dell’attuatore oleodinamico OB in funzione del tempo `e: OB(t) = b(t) = 3.385 + 0.07t + 0.005t2 [m] Nell’istante considerato, si chiede di determinare: 1. il valore dell’angolo β dell’attuatore oleodinamico; 2. i valori dei vettori velocit` a angolare delle aste O1 B e OB; 3. i valori dei vettori accelerazione angolare delle aste O1 B e OB. 9

E 10

Capitolo 3

P

γ

G

B

O2

β A

D

ϑ

α O1

Figura 3.2: Sistema articolato

3.2

Quadrilatero articolato

In figura 3.2 `e riportato lo schema di un sistema meccanico composto da un disco incernierato a terra nel suo centro O1 , al quale `e collegata un’asta AB di lunghezza pari a 0.8 m mediante la cerniera A, posizionata ad una distanza radiale O1 A = 0.2 m. All’estremo B di tale asta `e incernierata una seconda asta BO2 lunga 0.6 m, che risulta rigidamente collegata al semidisco, di raggio RSD = 0.15 m, incernierato a terra nel punto O2 . Su tale semidisco si avvolge senza strisciare una fune inestensibile al cui estremo `e collegato il centro del disco D, di raggio RD = 0.15 m che rotola senza strisciare su un piano inclinato di un angolo ϑ = 160◦ . Sono note le distanze fra le due cerniere poste a terra nei punti O1 e O2 distanti 0.3 m sull’orizzontale e 0.8 m sulla verticale. Sono note inoltre le seguenti grandezze fisiche relativamente all’atto di moto considerato, riportate in Tabella 3.1. Si richiede di calcolare all’istante di tempo considerato: 1. i vettori velocit`a e l’accelerazione del punto G, baricentro del semidisco (si ritenga nota la distanza del baricentro dalla cerniera O2 pari a RSD /2); 2. i vettori velocit`a e l’accelerazione del punto D. Tabella 3.1: Dati dell’atto di moto considerato dell’esercizio 3.2 α = 160◦

α˙ = 0.1 rad/s

α ¨ = 0 rad/s2

Eserciziario di fondamenti di meccanica teorica e applicata

3.3

E 11

Manovellismo ordinario deviato P A

β

ω

B R C

α, α, ˙ α ¨ O Figura 3.3: Manovellismo ordinario deviato Il manovellismo rappresentato in Figura 3.3 `e costituito da una manovella OA, da una biella AB e da un disco di raggio R che rotola senza strisciare su una guida rettilinea. Siano noti i dati relativi all’atto di moto da considerare (riportati in Tabella 3.2), ovvero posizione, velocit`a e accelerazione angolare della manovella e posizione della biella. Si chiede di determinare: 1. deviazione del manovellismo; 2. i vettori velocit` a ed accelerazione del centro del disco B; 3. i vettori velocit` a angolare ω e accelerazione angolare ω˙ del disco; 4. i vettori velocit` a ed accelerazione del punto P , posto sulla circonferenza del disco. Tabella 3.2: Dati del manovellismo ordinatio deviato nell’atto di moto considerato α = π3 rad β = 0 rad R = 0.2 m

α˙ = rad/s OA = √13 m

α ¨ = rad/s2 AB = 1 m

E 12

3.4

Capitolo 3

Disco cuneo

B x, ˙ x ¨ ψ

A

C D

δ

Figura 3.4: Sistema meccanico disco cuneo Il sistema meccanico rappresentato in Figura 3.4 `e costituito da tre corpi rigidi: • un cuneo costituito da un piano inclinato di un angolo δ, traslante su di una guida orizzontale; • un disco di raggio R e centro in A che rotola senza strisciare sul piano inclinato; • un’asta AB incernierata al centro del disco, e con un pattino all’altra estremit`a vincolato a scorrere lungo una guida verticale. Nell’istante considerato t sia assegnata la velocit`a di traslazione del piano inclinato x˙ = 0.4 m/s e la sua accelerazione x ¨ = 0.2 m/s2 secondo le convenzioni riportate in Figura 3.4. Siano inoltre noti l’angolo di inclinazione del piano inclinato δ = π6 rad, l’angolo di inclinazione dell’asta ψ = π4 rad, la lunghezza dell’asta AB pari a 0.2 m ed il raggio del disco R = 0.05 m. Nell’istante t determinare: 1. il vettore velocit`a del punto B ed il vettore velocit`a angolare del disco ωD ; 2. il vettore accelerazione del punto B ed il vettore accelerazione angolare del disco ω˙ D .

Eserciziario di fondamenti di meccanica teorica e applicata

3.5

E 13

Manovellismo particolare β

A C

O

α

B

Figura 3.5: Manovellismo particolare In Figura 3.5 `e riportato lo schema di un sistema meccanico, che si muove nel piano, costituito dalla manovella AO = 0.4 m incernierata a terra nel punto O e dalla biella AB = 1.4 m vincolata in A all’asta AO tramite una cerniera e in C al terreno tramite un manicotto che consente la rotazione dell’asta e lo scorrimento della stessa. I dati relativi all’atto di moto nell’istante considerato t, sono riportati in Tabella 3.3 in termini di posizione α, velocit`a angolare α, ˙ accelerazione angolare α ¨ della manovella, distanza AC tra la cerniera in A ed il vincolo in C e posizione angolare della biella β. Si chiede di determinare: 1. il vettore velocit` a angolare ωAB dell’asta AB; 2. il vettore accelerazione angolare ω ˙ AB dell’asta AB; 3. il vettore velocit` a assoluta vB del punto B ; 4. il vettore accelerazione assoluta aB del punto B. Tabella 3.3: Dati relativi all’atto di moto considerato al tempo t α = 45◦ β = 170◦

α˙ = −25 rad/s AC = 0.6 m

α ¨ = 0 rad/s2

E 14

3.6

Capitolo 3

Manovellismo piano inclinato C β A

α

B

O

Π

π/6

Figura 3.6: Sistema manovellismo con piano inclinato Il manovellismo rappresentato in Figura 3.6 `e costituito da una manovella OA di lunghezza 0.4 m, da una biella AB di lunghezza 0.4 m e dal corsoio B che scorre su un piano Π inclinato di π/6 rispetto all’orizzontale. Da ultimo il corsoio `e collegato a terra tramite un attuatore idraulico CB. I dati relativi all’atto di moto da considerare sono riportati in Tabella 3.4, ovvero posizione angolare α, velocit`a α˙ e accelerazione angolare α ¨ della manovella, posizione angolare della biella β e lunghezza del attuatore idraulico. Si chiede quindi di determinare: 1. la velocit` a del corsoio B; 2. la velocit` a di sfilo del pistone CB; 3. l’accelerazione del corsoio B. Tabella 3.4: Dati dell’atto di moto considerato α = 30◦

α˙ = −10 rad/s

β = 330◦

CB = 0.5 m

α ¨ = 100 rad/s2

Eserciziario di fondamenti di meccanica teorica e applicata

3.7

E 15

Sistema Disco Asta

Il sistema meccanico illustrato in Figura 3.7 si muove nel piano verticale. Due dischi concentrici aventi rispettivamente raggio R1 = 0.4 m e R2 = 0.5 m sono rigidamente collegati tra loro. Tra il disco di raggio R2 e un piano inclinato di un angolo ϑ pari a π/6 agisce un vincolo di rotolamento in assenza di strisciamento. Un perno `e rigidamente vincolato ai dischi in corrispondenza del punto E posto ad una distanza dal centro D pari a ED = 0.25 m. Il perno E scorre all’interno di un’asta incernierata a terra in O. La distanza s fra la cerniera in O ed il piano inclinato `e assegnata e pari a 2 m che scorre su un piano inclinato. Sulla superficie laterale del disco di raggio R1 si avvolge una fune in estensibile all’estremo della quale `e collegata una massa m. Il tratto di fune che collega il disco alla massa m `e parallelo al piano inclinato. ´ assegnata la legge di moto della rotazione dell’asta lungo cui scorre E
il perno E: ϕ(t) = ϑ + π2 + π6 sin(2πt), secondo le convenzioni riportate in Figura 3.7 dove `e rappresentata la configurazione del sistema in un istante generico t = 0.17 s. Si considerino note le grandezze riportate nella Tabella 3.5 per l’istante t = 0 s e t = 0.1 s. Si richiede quindi di calcolare nell’istante t = 0.1 s: 1. il vettore velocit` a ed accelerazione angolare dei due dischi: ωd e ω˙ d ; 2. il vettore velocit` a ed accelerazione punto E: vE e aE ; 3. il vettore velocit` a ed accelerazione della massa collegata alla fune: vm e am . Tabella 3.5: Dati dell’atto di moto considerato t=0s t = 0.1 s

OE = 2.75 m OE = 2.72 m

ε = 120◦ ε = 187.9◦

E 16

Capitolo 3

m

F

E D

ϑ ϕ O (a) Istante t = 0 s

m

F

E D

ε R2 R1

ϑ

s ϕ O

(b) Istante t = 0.17 s

Figura 3.7: Sistema articolato nell’istante t = 0 e t = 0.17 s

Eserciziario di fondamenti di meccanica teorica e applicata

3.8

E 17

Carrellino B h

~v ,~a

D

R

E Rp

ϑ

L/4

L/4

L/4

L/4

Figura 3.8: Sistema carrello automobile In Figura 3.8 `e riportato lo schema cinematico di un sistema meccanico che si muove nel piano. Tale sistema `e composto da un carrello libero di muoversi lungo un piano inclinato rispetto all’orizzontale di un angolo pari a ϑ = 10◦ . Un attuatore idraulico collega il punto E della ruota anteriore al punto B appartenente al carrello stesso. Sono note le grandezze geometriche riportate in Tabella 3.6. Per il sistema in esame viene inoltre assegnata, a partire dalla condizione di quiete, la seguente legge di moto: ( 2 m/s2 0 ≤ t < 1 (3.1) a(t) = 0 m/s2 t ≥ 1. Si richiede quindi di calcolare: 1. la lunghezza e l’inclinazione dell’attuatore nell’istante t = 0.5 s; 2. il vettore velocit` a di allungamento del pistone vEB nell’istante t = 0.5 s; 3. il vettore accelerazione di allungamento del pistone aEB nell’istante t = 0.5 s. Tabella 3.6: Dati geometrici del carrello automobile h=5m

R = 0.8 m

L=4m

Rp = 0.4 m

E 18

3.9

Capitolo 3

Sistema meccanico articolato D B

G C

A Figura 3.9: Schematizzatione di una carriola In figura 3.9 `e riportato lo schema di un sistema meccanico, che si muove nel piano verticale, costituito dall’asta AB = 3 m collegata mediante un pattino ad una seconda asta DC. All’estremit` a C di tale asta `e incernierato un disco di raggio 0.6 m che rotola senza strisciare ` inoltre assegnata la legge oraria (di tipo lungo un piano orizzontale. E periodico) del punto C espressa secondo un sistema di riferimento con origine nel punto A; tale legge vale xC (t) = 6 + 2.5 sin(2πt) [m]. Si consideri quindi il sistema nell’istante t = 0 s e si calcolino: 1. la velocit` a e l’accelerazione angolare dell’asta AB; 2. la velocit` a e l’accelerazione del baricentro G.

Le soluzioni svolte degli esercizi sono liberamente scaricabili all’indirizzo http://www.ateneonline.it/Bachschmid

Capitolo 4

Statica dei sistemi di corpi rigidi 4.1

Scala y A

G m, l B

α O

F x

Figura 4.1: Scala Il sistema meccanico in Figura 4.1, posto nel piano verticale, `e costituito da un’asta AB omogenea di massa m e lunghezza l che `e vincolata agli estremi A e B tramite dei carrelli. I carrelli scorrono su guide rettilinee prive di attrito, il carrello in A scorre in direzione orizzontale mentre il carrello B scorre in direzione verticale. Determinare la forza orizzontale F applicata nel punto B che garantisce l’equilibrio statico del sistema per un angolo α pari a 30◦ . Tabella 4.1: Dati scala m = 20 kg

l = 4m

19

α = 30◦

E 20

4.2

Capitolo 4

Disco su guida circolare O

y ϑ

R r

x C

P H

Figura 4.2: Disco su guida circolare Il sistema meccanico in Figura 4.2, posto nel piano verticale, `e costituito da un disco di raggio r e massa m che rotola senza strisciare su una guida curvilinea circolare di raggio R. Nella posizione rappresentata in Figura, determinare: 1. la coppia C che garantisce l’equilibrio statico del sistema; 2. le reazioni vincolari nel punto di contatto tra disco e guida (punto H). Tabella 4.2: Dati disco m = 30 kg

4.3

r = 1m

R = 3m

ϑ = 30◦

Manovellismo

Il sistema meccanico in Figura 4.3, posto nel piano verticale, `e costituito da un’asta AB omogenea di massa m e lunghezza l che `e incernierata a terra in A e in B ad un’asta BC priva di massa e lunga L. L’asta BC `e incernierata in C al centro di un disco di massa M e raggio R omogeneo che rotola senza strisciare su una guida orizzontale. Nella configurazione indicata in figura, calcolare: 1. la coppia Cm applicata al disco che garantisce l’equilibrio statico del sistema; 2. le reazioni vincolari che l’asta BC scambia in B ed in C.

Eserciziario di fondamenti di meccanica teorica e applicata

E 21

B m, l

L G M, R C

α

Cm

A Figura 4.3: Manovellismo Tabella 4.3: Dati del manovellismo m = 20 kg l = 0.6 m

4.4

M = 10 kg L = 0.7348 m

α = 60◦ R = 0.1 m

Glifo

D

B

F

m C

A

α

Figura 4.4: Glifo

Il sistema meccanico in Figura 4.4, posto nel piano verticale, `e costituito da un’asta AD priva di massa al cui interno `e ricavata una guida rettilinea in cui scorre un corsoio di massa m. Tra corsoio e guida c’`e attrito con coefficiente di attrito statico fs . Al centro del corsoio `e vincolata tramite una cerniera un’asta BC priva di massa che `e collegata in B a terra tramite un’altra cerniera. All’estremo D dell’asta AD `e applicata una forza orizzontale F . Determinare il valore della forza F che garantisce l’equilibrio statico del sistema per un angolo α pari a 30◦ .

E 22

Capitolo 4

Tabella 4.4: Dati glifo m = 20 kg AD = 4 m

α = 30◦ AB = 2 m

fs = 0.3 BC = 2 m

Le soluzioni svolte degli esercizi sono liberamente scaricabili all’indirizzo http://www.ateneonline.it/Bachschmid

Capitolo 5

Geometria delle masse 5.1

Asta non omogenea y

dx x

O L Figura 5.1: Asta non omogenea

L’asta rappresentata in Figura 5.1 `e lunga L, ha altezza h e spessore s costanti e trascurabili rispetto alla lunghezza. La densit`a dell’asta non `e omogenea e segue una legge del tipo ρ(x) = A + Bx

(5.1)

Rispetto al sistema di riferimento rappresentato in Figura, calcolare: 1. la posizione del baricentro ; 2. il momento d’inerzia polare rispetto all’origine degli assi. Tabella 5.1: Dati asta non omogenea A = 5000 kg/m3

5.2

B = 100 kg/m4

L = 4m

Piastra triangolare omogenea

La piastra rappresentata in Figura 5.2 ha la forma di un triangolo isoscele di altezza OC lunga h = 2 m, base AB lunga b = 2 m e spessore 23

E 24

Capitolo 5

y C

dy 2x

O

A

B

x

Figura 5.2: Piastra triangolare costante s = 10 mm. La densit`a `e costante e pari a ρ = 2700 kg/m3 . Determinare la posizione del baricentro rispetto al sistema di assi cartesiano rappresentato in Figura 5.2.

5.3

Semidisco omogeneo y

R O

x

Figura 5.3: Semidisco omogeneo Dato il semidisco omogeneo di densit`a ρ = 7850 kg/m3 , spessore s = 20 mm e raggio R = 0.75 m, rappresentato in Figura 5.3, calcolare: 1. la massa del semidisco; 2. la posizione del baricentro nel sistema di riferimento centrato in O come in Figura; 3. il momento d’inerzia baricentrico JG .

5.4

Anello con massa puntiforme

Il sistema meccanico in Figura 5.4 `e composto da un anello omogeneo di massa M = 1 kg, raggio esterno Re = 2.1 m, raggio interno Ri = 1.9 m e

Eserciziario di fondamenti di meccanica teorica e applicata

E 25

y

Ri Re

m

R O1

O2

x

Figura 5.4: Anello omogeneo e massa concentrata spessore s = 10 mm. All’anello `e fissata una massa puntiforme di massa m = 2 kg distante R = 2 m dal centro dell’anello. Determinare: 1. la posizione del baricentro del sistema, nel sistema di riferimento centrato in O1 riportato in Figura; 2. il momento d’inerzia complessivo rispetto al polo O1 .

5.5

Asta e disco omogenei

R

O m

A R

M L

Figura 5.5: Anello omogeneo e massa concentrata Il corpo mostrato in Figura 5.5 `e costituito da un’asta omogenea di massa M = 1 kg e lunghezza L = 2 m rigidamente collegata ad un disco omogeneo di massa m = 5 kg e raggio R = 0.5 m. Il punto A si trova ad una distanza R dal centro del disco. L’asta ha un estremo coincidente col centro del disco. Calcolare: 1. la posizione del baricentro; 2. il momento d’inerzia complessivo JA .

E 26

5.6

Capitolo 5

Riduzione della biella

Figura 5.6: Biella La biella rappresentata in Figura 5.6 ha le caratteristiche riportate in Tabella 5.2. Si chiede di calcolare le masse puntiformi che approssimano le propriet` a inerziali della biella nel caso: 1. a tre masse; 2. a due masse. Discutere le differenze tra i due casi valutando l’errore massimo che si commette nella stima del momento d’inerzia nel caso a 2 masse. Tabella 5.2: Propriet`a inerziali biella densit`a massa momento d’inerzia

ρ M Jx Jy Jz

7833 0.118574 0.000264 0.000256 0.000012

kg/m3 kg kg m2 kg m2 kg m2

Eserciziario di fondamenti di meccanica teorica e applicata

E 27

Le soluzioni svolte degli esercizi sono liberamente scaricabili all’indirizzo http://www.ateneonline.it/Bachschmid

E 28

Capitolo 5

Capitolo 6

Dinamica dei sistemi di corpi rigidi 6.1

Asta ad L a m G

l

j C O

k

ϑ

i

Figura 6.1: Sistema asta ad L Dell’asta ad L, incernierata a terra ad un’estremit`a in O, rappresentata in Figura 6.1 `e nota la geometria a = 0.3 m e l = 0.5 m e la legge di moto ϑ(t) = At2 + Bt + C. Sono inoltre noti A = 0.03 rad/s2 , B = 0.04 rad/s, C = 0.06 rad, m = 2 kg e JG = 0.015 kg m2 . Al tempo t = 2s, si vuole determinare: 1. la coppia C necessaria a realizzare la legge di moto assegnata; 2. le reazioni vincolari in O.

29

E 30

6.2

Capitolo 6

Asta che scorre su disco F A

M2

G2 P1

Mm

B

α

j O

ϑ

k

M1 , J1 , R

i

Figura 6.2: Sistema composto da un’asta che scorre su un disco. Il sistema meccanico rappresentato in Figura 6.2 si muove nel piano verticale ed `e costituito da un disco di raggio R, massa M1 e momento d’inerzia baricentrico J1 che `e incernierato a terra nel suo centro: punto O. Sul disco agisce una coppia motrice Mm e su di esso appoggia un’asta AB omogenea con baricentro in G2 che rotola senza strisciare sul disco con punto di contatto in P1 . L’asta `e poi vincolata in B tramite un carrello che scorre su una guida rettilinea scabra. Nel punto B agisce poi una forza esterna F inclinata di un angolo α rispetto all’orizzontale. Noti i dati relativi al problema, riportati in Tabella 6.1, determinare l’andamento nel tempo di: ¨ 1. posizione ϑ, velocit`a ϑ˙ ed accelerazione ϑdel disco, note le condizioni iniziali: ( ϑ(0) = 0 rad (6.1) ˙ ϑ(0) = 0 rad/s 2. le reazioni vincolari in O. Tabella 6.1: Dati dell’esercizio 6.2 R = 0.2 m M2 = 3 kg AP1 = 0.3 m

M1 = 10 kg F = 30 N AB = 1 m

J1 = 0.4 kg m2 (disco non omogeneo) α = 45◦ Mm = 50 Nm

Eserciziario di fondamenti di meccanica teorica e applicata

6.3

E 31

Martellone f b D

e

P M2

G

C

F d

a M1 , J1

B A

c

j k

i

Figura 6.3: Sistema martellone Il sistema meccanico riportato in Figura 6.3 si muove nel piano verticale ed `e composto da un’asta AC incastrata a terra. Nel punto A un’altra asta CP di massa M1 e momento d’inerzia J1 `e incernierata in C all’asta AC. In P una massa M2 , con momento d’inerzia trascurabile, `e vincolata rigidamente all’asta CP . Il sistema `e movimentato da un attuatore idraulico incernierato in B all’asta AC ed in D all’asta CP . Nel punto P `e applicata una forza esterna F = 100 N diretta verticalmente verso il basso. √ Nell’istante considerato (per cui c = 3 m) determinare: 1. la posizione angolare dei bracci BD e CP ; 2. la velocit` a e l’accelerazione angolare del braccio CP , data una portata d’olio costante entrante nel cilindro Q = 9 m3 /h; 3. la pressione all’interno del cilindro e le reazioni di incastro in A. Tabella 6.2: Dati dell’esercizio 6.3 a=b=1m M1 = 20 kg

d=2m M2 = 30 kg

e = 0.7 m J1 = 10 kgm2

f =2m Acilindro = 0.5 dm2

E 32

6.4

Capitolo 6

Quadrilatero Quadro

h B C

π/4 G P

F j

D A

π/6

k

i

Figura 6.4: Sistema quadrilatero con massa a forma di quadrato Il sistema meccanico rappresentato in Figura 6.4 si muove nel piano verticale ed `e costituito da un corpo di forma quadrata di lato h = CD = 0.353 m omogeneo con baricentro in G, massa M = 10 kg e momento d’inerzia baricentrico J = 0.1 kg m2 . Nel punto P del quadrato agisce una forza F perpendicolare al lato del quadrato con verso entrante. Il corpo `e poi vincolato nel vertice C ad un’asta BC (BC = 0.183 m) priva di massa che `e incernierata a terra in B. Nell’atto di moto rappresentato, l’asta BC `e parallela all’orizzontale. Il vertice D del quadrato `e invece incernierato ad un’asta AD (AD = 0.5 m) che `e incernierata a terra in A. La distanza tra le cerniere A e B, allineate verticalemnte, `e AB = 0.5 m. L’asta AD, nell’atto di moto considerato, `e inclinata di π/6 rispetto all’orizzontale. Sempre nell’atto di moto i punti B, C e G sono allineati. Note inoltre la velocit`a angolare ω = 37.32 rad/s e l’accelerazione angolare ω˙ = 110 rad/s2 della manovella BC, determinare per l’istante temporale considerato: 1. le velocit` a e le accelerazioni angolari delle aste AD e CD; 2. le velocit` a del punto G (baricentro del corpo) e del punto P (punto di applicazione della forza F ); 3. la coppia Cm da applicare alla manovella BC per ottenere il moto studiato con F = 50 N; 4. le reazioni vincolari in A e B.

Eserciziario di fondamenti di meccanica teorica e applicata

6.5

E 33

Disco Cuneo y a A

α

G b

B

P

M, R

j

C F x

O

k

ϑ

i

Figura 6.5: Sistema disco-cuneo. Il sistema rappresentato in Figura 6.5, posto nel piano verticale, `e composto da due corpi rigidi: un disco ed un cuneo, a contatto in condizione di rotolamento senza strisciamento. Sul centro C del disco, omogeneo di raggio R e massa M , che scorre lungo una guida orizzontale, `e applicata una forza F orizzontale. Sul disco `e appoggiato un cuneo omogeneo di massa m, cateti a e b e ipotenusa inclinata di un angolo α rispetto all’orizzontale. Il cuneo `e vincolato mediante due carrelli a scorrere lungo una guida verticale. I dati del problema sono riportati in Tabella 6.3. Conoscendo la legge di moto del centro del disco x(t), calcolare: 1. il modulo della forza F necessario a garantire il moto assegnato nell’ipotesi di rotolamento senza strisciamento tra disco e cuneo nel punto di contatto P . 2. le reazioni vincolari in A e in B, sapendo che il carrello inferiore del cuneo si trova a met` a del lato verticale di lunghezza b e che nell’istante considerato il punto P `e allineato al carrello inferiore. Tabella 6.3: Dati dell’esercizio 6.5 √ a = 3/2 m M = 10 kg

b = 0.5 m R = 0.25 m

m = 5 kg AB = b/2

E 34

6.6

Capitolo 6

Disco che rotola su un piano

y C

m, R G

ϑ H O

x Figura 6.6: Disco che rotola su un piano

Come mostrato in Figura 6.6, il sistema in esame `e composto da un disco che rotola senza strisciare su una guida rettilinea. Nota la storia temporale della coppia C(t) = At Nm applicata al disco, le condizioni ˙ iniziali del moto ϑ(0) = 0 rad e ϑ(0) = 0 rad/s, la massa m = 5 kg, il raggio R = 0.1 m ed il valore della costante A = 0.008 Nm/s calcolare: 1. la legge di moto del disco ϑ(t); 2. le reazioni vincolari H e V nel punto di contatto con la guida al tempo t = 1 s.

Le soluzioni svolte degli esercizi sono liberamente scaricabili all’indirizzo http://www.ateneonline.it/Bachschmid

Capitolo 7

Azioni mutue tra elementi di macchine 7.1

Attrito radente tra corpi m2 m1

µs , µd F µs , µd

Figura 7.1: Attrito radente tra corpi Del sistema meccanico mostrato in Figura 7.1, disposto nel piano verticale, sono note le masse dei due corpi (m1 = 3 kg e m2 = 2 kg) e i coefficienti di attrito statico e dinamico (µs = µd = 0.5). Si chiede di determinare il moto del sistema al variare della forza F applicata al corpo 1, ovvero determinare il valore della forza F per cui: 1. i corpi 1 e 2, solidali tra loro, iniziano a strisciare sul piano; 2. il corpo 1 striscia sul piano ed il corpo 2 inizia a strisciare sul corpo 1.

35

E 36

7.2

Capitolo 7

Veicolo a due ruote in salita Ca Cp

m, R

m, R

M, L

fs α Figura 7.2: Veicolo in salita Il veicolo schematizzato in Figura 7.2 `e composto da due dischi omogenei di raggio R = 0.3 m e massa m = 20 kg, schematizzanti le ruote, e un’asta rigida omogenea di lunghezza L = 1.75 m e massa M = 250 kg schematizzante la cassa. Il veicolo si muove su un piano inclinato di un angolo α = π/6 rad rispetto all’orizzontale. Il coefficiente d’attrito statico tra ruote e piano inclinato `e fs = 1, si consideri inoltre un coefficiente di restistenza al rotolamento fv = 0.01. Nelle condizioni di moto a regime in salita, verificare l’aderenza delle ruote, ovvero il vincolo di rotolamento senza strisciamento, per i seguenti casi: 1. coppia motrice applicata alla sola ruota anteriore (Ca 6= 0, Cp = 0); 2. coppia motrice applicata alla sola ruota posteriore (Ca = 0, Cp 6= 0); 3. coppia motrice applicata egualmente ad entrambe le ruote (Ca = Cp 6= 0). P.S. le coppie motrici sono forze interne al sistema: sul telaio si hanno delle coppie uguali e contrarie a quelle applicate alle ruote.

7.3

Quadrilatero articolato

Si consideri il sistema meccanico riportato in figura 7.3 di cui `e stata calcolata la cinematica all’esercizio 3.2. Il disco 1 `e omogeneo di massa m1 , raggio R1 e momento d’inerzia baricentrico J1 ; il semidisco ha massa mSD , raggio RSD e momento d’inerzia baricentrico JG mentre. Il disco 3 `e omogeneo ed ha massa mD , raggio RD e momento d’inerzia baricentrico JD . Tra il disco 3 e il piano inclinato il coefficiente di resistenza al rotolamento `e fv = 0.2. Per le condizioni di moto assegnate, si chiede di calcolare:

Eserciziario di fondamenti di meccanica teorica e applicata mSD , RSD , JG

E 37

P

G

B

mD , RD , JD O2

D

fv

Cm A

O1

m1 , R1 , J1

Figura 7.3: Sistema articolato Tabella 7.1: Dati dell’esercizio 7.3 m1 = 1 kg mSD = 0.5 kg mD = 5 kg

R1 = 0.2 m RSD = 0.15 m RD = 0.15 m

J1 = 0.05 kg m2 JSD = 0.005 kg m2 JD = 0.06 kg m2

1. la potenza assorbita per resistenza al rotolamento del disco 3; 2. la coppia Cm applicata al disco 1 che garantisce le condizioni di moto assegnate.

7.4

Manovellismo deviato P A

β

B R C fv

Cr α, α, ˙ α ¨ O Figura 7.4: Manovellismo ordinario deviato

ω F

E 38

Capitolo 7

Al sistema in Figura 7.4, la cui cinematica `e stata risolta nell’esercizio 3.3, sono applicate una forza motrice F , applicata al centro del disco, ed una coppia resistente Cr , costante ed applicata alla manovella. Il sistema si muove nel piano verticale. Tra disco e piano orizzontale il coefficiente di resistenza al rotolamento `e fv . Il disco `e omogeneo di massa M mentre l’asta, anch’essa omogenea, ha massa m. Determinare: 1. il valore della forza F che garantisce il moto assegnato; 2. le reazioni vincolari in C. Tabella 7.2: Dati dell’esercizio 7.4 α = π3 rad OA = √13 m M = 10 kg

7.5

α˙ = rad/s AB = 1 m m = 2 kg

α ¨ = rad/s2 R = 0.2 m fv = 0.02

β = 0 rad Cr = 50 Nm

Attuatore oleodinamico

O1

A

C

γ O

F

M, JA

D

B

m, JC

β Figura 7.5: Glifo Oscillante

Del meccanismo riportato in Figura 7.5 `e nota la cinematica, calcolata all’esercizio 3.1. L’asta O1 B ha massa M e momento d’inerzia baricentrico JA mentre il pistone ha massa m e momento d’inerzia baricentrico JC . All’interno dell’attuatore agiste una pressione p e, tra cilindro e pistone, una forza d’attrito con coefficiente d’attrito dinamico µd . Nel punto D `e applicata una forza F verticale di modulo costante e diretta verso il basso, la distanza BD `e nota e riportata in Tabella 7.3. Il sistema giace nel piano verticale. Determinare: 1. la pressione p all’interno del cilindro che garantisce il moto assegnato; 2. le reazioni vincolari tra cilindro e pistone.

Eserciziario di fondamenti di meccanica teorica e applicata

E 39

Tabella 7.3: Dati dell’esercizio 7.5 O1 B = 2.5 m γ = π4 rad M = 13 kg m = 2 kg

7.6

OO1 = 1.41 m α = 0rad JA = 0.5 kg m2 JC = 0.01 kg m2

BD = 0.5 m OB(t = 3 s) = 3.64 m F = 150 N µd = 0.3

Sistema meccanico m, JG B fd

G M, R C

F

A Figura 7.6: Schematizzatione di una carriola Il sistema meccanico in Figura 7.6, la cui cinematica `e stata risolta all’esercizio 3.9, `e posto nel piano verticale ed `e mosso da una forza F applicata nel punto C. L’asta CG ha massa m e momento d’inerzia baricentrico JG mentre il disco `e omogeneo di massa M e raggio R. Considerando un coefficiente d’attrito dinamico fd tra pattino ed asta, per l’atto di moto rappresentato, calcolare: 1. la forza F che garantisce il moto assegnato; 2. le reazioni vincolari nel punto B. Tabella 7.4: Dati dell’esercizio 7.6 AB = 3 m m = 50 kg M = 2 kg

R = 0.6 m JG = 1 kg m2 R = 0.2 m

xC = 6 m CG = 1.2 m fd = 0.2

Le soluzioni svolte degli esercizi sono liberamente scaricabili all’indirizzo http://www.ateneonline.it/Bachschmid

E 40

Capitolo 7

Capitolo 8

Dinamica della macchina a un grado di libert` a 8.1

Skilift R2 , J2 R1 , J1

A′

A β

β B

η, τ

m

B′

m

Motore

Jm

α Figura 8.1: Sistema meccanico dell’esercizio 8.1 Il sistema riportato in Figura 8.1 schematizza un impianto di risalita (skilift), costituito da una fune inestensibile, avvolta sulle pulegge di momento d’inerzia baricentrico J1 e J2 , che `e azionata da un motore 2 . Quest’ultima elettrico la cui curva caratteristica `e Cm (ωm ) = A − Bωm puleggia `e collegata al motore mediante una trasmissione caratterizzata da un rapporto di trasmissione τ e da un rendimento diretto ηd e un rendimento retrogrado ηr . Alla fune sono collegate, tramite due funi AB e A′ B ′ (ipotizzate prive di massa), due masse puntiformi di massa m che vengono trascinate da due pattini, ad esse rigidamente collegati, lungo un piano inclina41

E 42

Capitolo 8

to caratterizzato da un coefficiente di attrito dinamico fd . I dati del problema sono riportati in tabella 8.1. Ipotizzando di trascurare l’attrito dinamico tra pattini e piano inclinato, calcolare: 1. l’accelerazione as allo spunto delle masse in salita; 2. la coppia motrice a regime; 3. la velocit` a v di avanzamento delle masse a regime; 4. il tiro nelle funi di traino AB e A′ B ′ nelle condizioni indicate nel punto 1. Ipotizzando di considerare l’attrito dinamico presente tra pattini e piano inclinato, calcolare: 5. la coppia motrice necessaria per garantire il moto a regime in salita; 6. l’accelerazione delle masse a partire dalla condizione di regime del punto precedente ipotizzando di annullare la coppia motrice lasciando il motore folle. Tabella 8.1: Dati dell’esercizio 8.1 A = 100 Nm B = 0.1 Nms2 /rad2 Jm = 6.25 kgm2 m = 70 kg

8.2

R1 = R2 = 0.5 m ηd = ηr = 0.95 J1 = 2.5 kgm2 fd = 0.2

α = 20◦ β = 45◦ J2 = 3.75 kgm2 τ = 1/5

Ascensore

Sia assegnato l’impianto di sollevamento riportato in Figura 8.2. Tale impianto `e costituito da un motore elettrico posizionato su un supporto vincolato isostaticamente come mostrato in Figura 8.3 che movimenta, attraverso un sistema di riduzione, una puleggia di raggio Rp e momento d’inerzia polare baricentrico Jp . Su tale puleggia si avvolge una fune inestensibile alle cui estremit`a `e collegata una cabina di massa mc , in grado di caricare una massa utile mu , ed un contrappeso di massa mq . ` inoltre nota la I dati noti dell’impianto sono riportati in Tabella 8.2. E curva caratteristica del motore elettrico: Cm (ωm ) = Cm0 − kωm . Si richiede di calcolare:

Eserciziario di fondamenti di meccanica teorica e applicata

ωp

Cm

Jm

τ, ηd , ηr

ωm

Rp , Jp

mq v

E 43

v

mc

Figura 8.2: Sistema meccanico dell’esercizio 8.2 b

a B α

Cm C A mq mc Figura 8.3: Sistema di vincolo 1. l’accelerazione allo spunto in salita del sistema, nel caso in cui la cabina sia a pieno carico (quindi con massa sollevata pari a mc + mu ); 2. la velocit` a di regime a pieno carico in salita e la coppia motrice necessaria per mantenere tale velocit`a; 3. la decelerazione del sistema a partire dalla condizione di regime calcolata al punto 2 applicando una coppia frenante sull’albero motore pari a Cf = 8.6 Nm e annullando la coppia motrice; 4. la coppia necessaria a garantire un’accelerazione della cabina pari a a = 0.5 m/s2 nel caso quest’ultima sia in salita e priva di alcun carico e quindi con massa pari a mc ; 5. le reazioni vincolari in A, nelle condizioni di moto del punto 1.

E 44

Capitolo 8

Tabella 8.2: Dati dell’esercizio 8.2 mc = 300 kg τ = 1/55 Jm = 0, 02 kg m2 Cm0 = 30 Nm b = 0.8 m

8.3

mu = 325 kg ηd = 0.7 Jp = 1 kg m2 k = 0.01 Nm/rpm α = 45◦

mq = 500 kg ηr = 0.6 Rp = 0, 27 m a=1m

Muletto

m1 G1 G m m2 G2

h1

h d a

b

c

Figura 8.4: Carrello elevatore Del carrello elevatore riportato in Figura 8.4 sono note le seguenti grandezze geometriche: semipasso posteriore a = 0.5 m, semipasso anteriore b = 1 m, il raggio delle ruote R = 0.4 m, l’altezza del baricentro G del solo carrello elevatore rispetto al suolo h = 0.6 m, la distanza orizzontale tra il baricentro G del carrello e il baricentro G1 della massa posta sulle forche c = 2 m e l’altezza rispetto al suolo del punto di attacco della fune di traino d = 0.5 m. Risulta inoltre noto lo schema del sistema di trasmissione di potenza, rappresentato in Figura 8.5. Conoscendo la massa del solo carrello m = 2000 kg, il momento d’inerzia baricentrico di ogni singola ruota Jr = 2.5 kg m2 , il momento d’inerzia del motore Jm = 0.25 kg m2 , il rapporto di trasmissione τ = 1/50 ed il rendimento della trasmissione η = 0.80 oltre ai coefficienti di attrito statico fs = 1, dinamico fd = 0.30 e volvente fv = 0.02, si richiede di determinare: 1. il carico limite m1 sollevabile a veicolo fermo senza che avvenga il ribaltamento del carrello elevatore;

Eserciziario di fondamenti di meccanica teorica e applicata

E 45

Trasmissione

Motore

η, τ

Motore longitudinale Jm

Ruote motrici anteriori

Figura 8.5: Sistema di trasmissione In condizione di avanzamento a regime con motore erogante una coppia Cm pari a C m = 200 N m si determini: 2. il carico limite m2 trascinabile dal carrello nel caso di massa m1 posta sulle forche; 3. il valore della risultante dei carichi normali agenti sulla coppia di pneumatici anteriori e posteriori con carrello impegnato a trasportare le masse m1 e m2 ; Infine, per coppia motrice Cm pari a 1.5C m e sempre nel caso di masse trasportate m1 e m2 , si calcoli: 4. l’accelerazione longitudinale del carrello; 5. l’altezza h1 massima rispetto al suolo del baricentro G1 per la quale risulta verificata l’aderenza delle ruote motrici.

8.4

Impianto di sollevamento

In Figura 8.6 `e raffigurato lo schema di un impianto di sollevamento. L’azionamento elettrico, con momento di inerzia Jm pari a 0.5 kg m2 , ha una caratteristica di coppia descritta dalla relazione: Cm (ω) = Cm0 − kωm dove Cm0 = 10 Nm e k = 0.0318 Nms/rad. Quest’ultimo `e collegato attraverso un organo di riduzione, caratterizzato da τ1 = 1/50, η1d = 0.9 e η1r = 0.75, ad una puleggia di raggio R1 = 0, 2 m e momento

E 46

Capitolo 8

A

Cm

J1 , R1

τ2 η2d η2r

τ1 η1d η1r Jm

ω2

J2 , R2

A

R2 m2 fs , fd

v1

m1

α

Figura 8.6: Sistema d’inerzia baricentrico J1 = 2.5 kg m2 . Su tale puleggia si avvolge una fune inestensibile collegata alla massa m1 = 100 kg. Sul medesimo albero cui `e calettata la puleggia, viene installato un organo di riduzione ad assi sghembi costituito da una vite senza fine e una ruota dentata; tale trasmissione `e caratterizzata dai rapporti τ2 = 1/11, η2d = 0.85 e η2r = 0.7. L’albero di uscita del secondo riduttore `e collegato a un disco (di raggio R2 = 1 m e momento d’inerzia baricentrico J2 = 1 kg m2 ) su cui si avvolge una fune inestensibile per il sollevamento della massa m2 = 100 kg, che striscia su un piano inclinato di un angolo α = 30◦ con coefficiente di attrito dinamico fd = 0.1 e di attrito statico fs = 0.15. Si richiede di determinare: 1. la coppia motrice necessaria per sollevare a regime la massa m1 ; 2. la velocit` a di regime cui si porta il sistema; 3. l’accelerazione allo spunto in salita della massa m1 ; 4. la coppia agente nella sezione A − A dell’albero nella condizione del punto precedente; 5. il valore di m2 per cui, in condizioni di regime, il flusso di potenza sulla prima trasmissione passa da diretto a retrogrado o viceversa; 6. utilizzando il valore di m2 calcolato al punto precedente valutare, a regime, la coppia motrice e la velocit`a del sistema.

8.5

Utilizzatore a regime periodico

Il sistema MTU rappresentato in Figura 8.7 `e composto da un motore con inerzia Jv e coppia motrice Mm incogniti, una trasmissione di rendimento η = 0.8 e rapporto di trasmissione τ = 1/50 ed un utilizzatore

Eserciziario di fondamenti di meccanica teorica e applicata Jv

ωm Mm Mot.

E 47

Mr Trasm.

Util.

Figura 8.7: Macchina ad un grado di libert` a con utilizzatore a regime periodico Mr

[Nm]

✻

Mr,A Mr,B ✲

0

π

2π

3π

4π

αr [rad]

Figura 8.8: Andamento del momento resistente in funzione dell’angolo dell’albero dell’utilizzatore con momento resistente Mr variabile periodicamente in funzione della posizione angolare dell’utilizzatore αr secondo l’equazione: ( Mr,A = 800 Nm 0 ≤ αr < π (8.1) Mr = Mr,B = 400 Nm π ≤ αr < 2π con periodo ∆αr = 2π come mostrato in Figura 8.8. calcolare:

Si chiede di

1. il momento motore Mm costante che garantisce il moto del sistema a regime periodico; 2. lo scostamento dell’energia cinetica Ec dal valore medio ovvero ∆Ec = (Ec,max − Ec,min )/2; 3. il valore del momento d’inerzia del volano Jv che fornisce un indice di irregolarit`a di funzionamento della macchina imax del 3%; 4. la velocit` a angolare (ωm ) massima e minima dell’albero motore.

Le soluzioni svolte degli esercizi sono liberamente scaricabili all’indirizzo http://www.ateneonline.it/Bachschmid

E 48

Capitolo 9

Capitolo 10

Gli elementi delle macchine 10.1

Trasmissione mediante cinghia piana

Mm d

Mr D

S

I Figura 10.1: Trasmissione a cinghia piana Sia assegnato il sistema di trasmissione a cinghia riportato in Figura 10.1. Siano inoltre assegnate le grandezze geometriche riportate in Tabella 10.1. Si richiede di effettuare: 1. il calcolo degli angoli di avvolgimento della cinghia su entrambe le pulegge; 2. il calcolo del momento resistente Mr , con momento motore Mm ce la velocit` a angolare della puleggia motrice ωm = 50 rad/s costanti; 3. la verifica di aderenza; 4. il calcolo del massimo momento motore Mm-max trasmissibile.

10.2

Dimensionamento tendicinghia

In Figura 10.2 `e rappresentato un sistema di trasmissione a cinghia con tendicinghia sul ramo lasco costituito da un sistema a molla e cuscinet49

E 50

Capitolo 10

Tabella 10.1: Dati cinghia Mm = 20 Nm I = 600 mm

D = 500 mm fs = 0.6

d = 200 mm S = 300 N E

A

y x

Cm O1

C

O2

B D

Figura 10.2: Trasmissione a cinghia con tendicinghia to. Il momento motore applicato alla puleggia motrice `e Cm mentre la potenza da trasmettere `e W . La puleggia motrice ha raggio Rm mentre la puleggia condotta ha raggio Rc , l’interasse tra le puleggie `e l. I dati del problema sono riportati in Tabella 10.2. Determinare: 1. la velocit` a angolare della puleggia motrice e della puleggia condotta; 2. la coppia resistente della puleggia condotta; 3. gli angoli di avvolgimento della cinghia sulle pulegge; 4. il precarico della molla del tendicinghia che garantisce il non slittamento. Tabella 10.2: Dati per il dimensionamento del tendicinghia Momento motore Potenza Raggio puleggia motrice Raggio puleggia condotta Rigidezza molla interasse pulegge coordinate punto C

Cm W Rm Rc k l xC yC

20 5 100 300 100 600 500 0

Nm kW mm mm kN/m mm mm mm

Eserciziario di fondamenti di meccanica teorica e applicata

10.3

E 51

Camma circolare mp k O

R e

ϑ

C

P z(t)

ω Figura 10.3: Meccanismo a camma circolare centrata con punteria a piattello e molla elastica di richiamo Il meccanismo a camma rappresentato in Figura 10.3 `e costituito da una camma centrata con punteria a piattello e molla elastica di richiamo di rigidezza k (si trascuri la massa della molla). La camma `e ottenuta con un profilo circolare che ruota intorno ad un punto distante dal centro del cerchio del profilo di una quantit`a e. La velocit`a di rotazione della ˙ `e costante nel tempo. I dati noti del meccanismo sono camma (ω = ϑ) riportati in Tabella 10.3. Determinare: 1. la legge di alzata, la velocit` a e l’accelerazione della punteria z(t), z(t), ˙ z¨(t); 2. la velocit` a di strisciamento tra camma e punteria; 3. la rigidezza della molla di richiamo che impedisce alla punteria di staccarsi dal profilo della camma; 4. l’energia dissipata per attrito per un giro completo della camma. Tabella 10.3: Dati meccanismo a camma raggio camma (CP ) eccentricit` a (CO) velocit` a angolare massa punteria coefficiente attrito dinamico compressione della molla per ϑ = 0 rad

R e ω mp fd ∆l0

20 3 4π 50 0.1 1

mm mm rad/s g mm

E 52

Capitolo 10

10.4

F

Freno a disco

A B a C b 1 2 3 4 5

Figura 10.4: Sistema frenante a disco: 1 corpo pinza, 2 camera olio, 3 pistoncino, 4 pastiglia, 5 disco In Figura 10.4 `e riportato il disegno di un tipico sistema frenante automobilistico. Il sistema `e costituito da un disco, la cui pista frenante ha raggio esterno Re = 310 mm e raggio interno Ri = 200 mm, e da una pinza a 6 pistoncini di diametro dp = 65 mm che premono le pastiglie contro il disco. Le pastiglie hanno raggio interno ed esterno pari a quelli del disco e coprono un settore circolare ∆ϑ = 75◦ ; il coefficiente d’attrito dinamico tra disco e pastiglie `e µd = 0.4. Nell’istante considerato il veicolo viaggia a 100 km/h (raggio ruota Rr = 300 mm) ed il pilota applica una forza sul pedale del freno di 100 N. La pompa del freno ha una superficie di spinta di Sf = 45 mm2 ed `e movimentata secondo lo schema in Figura (a = 50 mm, b = 150 mm). Si chiede di calcolare: 1. la pressione dell’impianto frenante; 2. la forza che preme le pastiglie contro il disco; 3. la forza e la coppia frenante sviluppate; 4. la potenza istantanea dissipata per attrito.

Eserciziario di fondamenti di meccanica teorica e applicata

10.5

E 53

Cinematica del veicolo in curva

R vs ωm

ωs

ωp

ωc

ψ˙

vd

CIR

ωd

c Figura 10.5: Autoveicolo in condizioni di sterzatura cinematica In Figura 10.5 `e rappresentato un autoveicolo a trazione posteriore in condizioni di sterzatura cinematica. Nota la geometria del veicolo e del differenziale e note la velocit` a di avanzamento e la velocit` a d’imbardata1 , calcolare la velocit` a dell’albero motore e la coppia alle ruote nel caso di potenza erogata dal motore costante e pari a 20 kW. Tabella 10.4: Dati veicolo velocit`a veicolo velocit`a d’imbardata raggio ruota raggio primitivo ruota conica albero trasmissione raggio primitivo corona dentata ponte raggio primitivo ruota planetaria differenziale raggio primitivo ruota satellitare differenziale carreggiata

v ψ˙ Rr rm rp rpl rsat c

54 0.3 280 50 150 40 35 1500

km/h rad/s mm mm mm mm mm mm

La velocit` a d’imbardata ψ˙ `e la velocit` a angolare con cui il veicolo ruota intorno all’asse z, perpendicolare alla strada. Pertanto in una curva di raggio medio R, un v veicolo che viaggia con velocit` a v ha una velocit` a d’imbardata in modulo pari a ψ˙ = R 1

E 54

Capitolo 10

7 5 6 1

1

2

3

4

Figura 10.6: Differenziale: 1 semialbero, 2 perno satelliti, 3 satellite, 4 planetaria, 5 corona dentata ponte, 6 ruota conica trasmissione, 7 albero di trasmissione

Eserciziario di fondamenti di meccanica teorica e applicata

10.6

Innesto a frizione automobilistico

1 2

E 55

5 6

3 4

7

8

a) frizione innestata

b) frizione disinnestata

Figura 10.7: Innesto a frizione automobilistico: 1 volano, 2 materiale di frizione lato volano, 3 materiale di frizione lato disco frizione, 4 albero motore, 5 disco frizione, 6 molla a diaframma, 7 meccanismo di disinnesco (spintore, cuscinetto assiale, forcella di comando), 8 albero condotto (verso il cambio) In Figura 10.7 `e rappresentato lo schema di un tipico innesto a frizione di derivazione automobilistica. Il meccanismo ha il compito di sincronizzare la velocit` a dell’albero motore e l’albero condotto che entra nel cambio di velocit` a. Un disco ricoperto di apposito materiale di frizione viene premuto contro il volano del motore: l’attrito che si genera nel contatto assicura la trasmissione del moto tra i due alberi. Il comando viene azionato tramite il pedale su cui agisce il guidatore della vettura. Nota la geometria della frizione e la legge con cui viene esercitata la forza N (t) premente i dischi di frizione, determinare: 1. le equazioni di moto del sistema; 2. l’andamento delle velocit` a angolari dei due alberi fino ad innesto avvenuto; 3. l’energia dissipata per attrito nel processo di avviamento del veicolo.

Le soluzioni svolte degli esercizi sono liberamente scaricabili all’indirizzo http://www.ateneonline.it/Bachschmid

E 56

Capitolo 10

Tabella 10.5: Dati innesto a frizione coppia motrice costante velocit` a angolare iniziale motore velocit` a angolare iniziale utilizzatore inerzia motore + volano inerzia lato cambio coppia resistente costante raggio esterno dischi frizione raggio interno dischi frizione legge della forza premente coefficiente d’attrito dinamico coefficiente d’attrito statico

Cm ωm0 ωu0 Jm Ju Cr Re Ri N (t) fd fs

100 100 100 0.5 0.8 30 200 120 3000t 0.5 0.5

Nm rad/s rad/s kg m2 kg m2 Nm mm mm N

Capitolo 11

Vibrazioni meccaniche a un grado di libert` a 11.1

Fermaporta A

G

m, l

x k

r

Figura 11.1: Schematizzazione del fermaporta In Figura 11.1 `e rappresentato un meccanismo di ritenuta che impedisce ad una porta di sbattere. Per minimizzare il tempo di riposizionamento della porta nella posizione di riposo, `e stato progettato un sistema molla-smorzatore che opera in condizioni di rapporto di smorzamento critico. Nota la massa m della porta, la lunghezza l, la rigidezza k della molla e che l’estremo della porta (punto A) subisce uno spostamento massimo di xmax = 20 mm dopo l’impatto, si chiede di determinare in base ai valori riportati in Tabella 11.1: 1. il valore del coefficiente di smorzamento fisico r; 2. la velocit` a iniziale del punto A: x˙ 0 ; 3. il tempo necessario affinch´e il punto A ritorni ad una posizione di x2 = 5 mm dalla posizione iniziale.

57

E 58

Capitolo 11

Tabella 11.1: Fermaporta: dati massa porta lunghezza della porta rigidezza molla

11.2

m l k

30 900 10000

kg mm N/m

Locomotore

Un locomotore di massa m in moto con una velocit`a v `e fermato alla fine del binario da un respingente schematizzato come un sistema mollasmorzatore, Figura 11.2. Nota la rigidezza k della molla e la costante di smorzamento r, si chiede di determinare lo spostamento massimo raggiunto dall’istante in cui il locomotore colpisce il respingente ed il tempo necessario per raggiungere il massimo spostamento in base ai dati indicati in Tabella 11.2.

Figura 11.2: Schematizzazione del respingente ferroviario Tabella 11.2: Locomotore: dati massa locomotore velocit`a all’impatto rigidezza molla costante di smorzamento

11.3

m v k r

80 15 10 2

t km/h kN/mm kNs/mm

Sospensione motociclistica

Si vuole effettuare il dimensionamento di una sospensione per una motocicletta di massa m = 200 kg che soddisfi le seguenti specifiche: • Le oscillazioni devono smorzarsi con un tasso di riduzione che ne riduca le ampiezze di 4 volte ogni mezzo periodo;

Eserciziario di fondamenti di meccanica teorica e applicata

E 59

m k

r

Figura 11.3: Schematizzazione di una sospensione motociclistica

• Il periodo di vibrazione del sistema sia uguale a 2 s La sospensione pu` o essere schematizzata, in prima approssimazione, come in Figura 11.3. Una volta identificati i parametri di rigidezza e di smorzamento della sospensione in base ai dati forniti in Tabella 11.3, determinare quale sia la minima velocit`a iniziale da fornire al sistema meccanico per raggiungere un massimo spostamento di xLim = 50 mm. Tabella 11.3: Dati per il dimensionamento della sospensione massa moto periodo di vibrazione riduzione di ampiezza

m T x(t + 0.5T )

200 2 =

kg s 1/4x(t)

x(t) [mm]

40 20 0 −20 −40 0

1

2

3 t [s]

4

Figura 11.4: Oscillazioni nel tempo

5

6

E 60

Capitolo 11

k2

m2 , J2 C(t) k3

R

r2 2R

ϑ

m3 r3 m1 r1

k1

Figura 11.5: Sistema vibrante: es.1

11.4

Sistema vibrante: es.1

Il sistema in Figura 11.5, posto nel piano verticale, `e costituito da un carrello di massa M3 che scorre su un piano orizzontale. Il carrello `e vincolato a terra tramite un gruppo molla-smorzatore di caratteristiche k3 , r3 . Su di esso `e posta una coppia di dischi concentrici e solidali, di massa totale M2 e momento d’inerzia complessivo J2 . Il disco di raggio 2R rotola senza strisciare sul carrello ed `e vincolato allo stesso tramite un gruppo molla-smorzatore di caratteristiche k2 , r2 . Sul disco di raggio R si avvolge una fune collegata ad una massa M1 . La massa M1 `e vincolata a terra tramite un gruppo molla-smorzatore di caratteristiche k1 , r1 . Una coppia esterna C(t) = C0 cos(Ωt) agisce sul disco di raggio 2R. Considerando la coordinata libera ϑ, determinare: 1. la posizione di equilibrio statico ϑ0 ; 2. l’equazione di moto del sistema nell’intorno della posizione di equilibrio statico; 3. la frequenza propria del sistema smorzato; 4. la risposta a regime del sistema.

11.5

Sistema vibrante: es.2

Il sistema rappresentato in Figura 11.6 si trova nel piano verticale. Un corpo di massa M1 scorre lungo una guida verticale ed `e vincolato a terra attraverso un gruppo molla-smorzatore di rigidezza k1 e smorzamento r1 . Una coppia di dischi concentrici, di momento di inerzia complessivo pari

Eserciziario di fondamenti di meccanica teorica e applicata

E 61

Tabella 11.4: Dati dell’esercizio 11.4 M1 = M2 = J2 = M3 = R= Ω= C0 =

10 50 25 70 0.5 30 100

k1

kg kg kg m2 kg m rad/s Nm

r1

k1 r1 k2 r2 k3 r3

= = = = = =

k2

100 10 100 10 1000 30

N/m Ns/m N/m Ns/m N/m Ns/m

r2

R3 M1

R2

F1

F2

r3

ϑ

k3

Figura 11.6: Sistema vibrante: es.2 a J2 , `e incernierata a terra nel suo centro O e rotola senza strisciare sul corpo di massa M1 . Una fune collega il disco interno di raggio R2 a terra attraverso un gruppo molla-smorzatore di rigidezza k2 e smorzamento r2 . Un’altra fune si avvolge sul disco esterno di raggio R3 ed `e vincolata ad un altro gruppo molla-smorzatore di rigidezza k3 e smorzamento r3 che la collega al carrello. Al sistema sono applicate due forzanti esterne: F1 (t) = F1 cos(Ωt), F2 = costante. Si richiede di determinare: 1. l’equazione di moto del sistema nell’intorno della posizione di equilibrio statico, utilizzando come variabile indipendente la rotazione ϑ indicata in figura; 2. la frequenza propria del sistema e lo smorzamento adimensionale; 3. la risposta del sistema ϑ(t) in transitorio perturbando il sistema a partire dalla condizione di equilibrio statico (ϑd (t = 0) = 0 rad, ϑ˙ d (t = 0) = 1 rad/s).

E 62

Capitolo 11

Tabella 11.5: Dati dell’esercizio 11.5 M1 = J2 = R2 = R3 = F1 = F2 = Ω=

10 20 0.2 0.3 100 150 10

kg kg m2 m m N N rad/s

k1 r1 k2 r2 k3 r3

= = = = = =

3000 30 6000 60 12000 60

N/m Ns/m N/m Ns/m N/m Ns/m

Le soluzioni svolte degli esercizi sono liberamente scaricabili all’indirizzo http://www.ateneonline.it/Bachschmid