Esercizi

Giovanni Incerti ` degli Studi di Brescia Universita ` di Ingegneria Facolta

Dinamica dei sistemi vibranti Esercizi Dispensa fuori commercio ad uso degli studenti dei corsi di: Fondamenti di Vibrazioni Meccaniche, Complementi di Vibrazioni e Controllo delle Vibrazioni

f

Rev. 8 ottobre 2008

Giovanni Incerti ` degli Studi di Brescia Universita ` di Ingegneria Facolta

Dinamica dei sistemi vibranti Esercizi Dispensa fuori commercio ad uso degli studenti dei corsi di: Fondamenti di Vibrazioni Meccaniche, Complementi di Vibrazioni e Controllo delle Vibrazioni

Rev. 8 ottobre 2008

Indice I

Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a

4

II

Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a

77

III

Vibrazioni di sistemi continui

166

1

Prefazione Il presente testo contiene una raccolta di esercizi riguardanti la teoria elementare delle vibrazioni meccaniche. Il materiale didattico `e stato raggruppato nelle parti sotto elencate: • Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a: si analizzano sistemi lineari ad un grado di libert` a, con particolare riferimento ai casi di moto libero e di moto soggetto all’azione di una forzante armonica. • Parte II - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a: si affronta il problema delle vibrazioni di sistemi lineari a molti gradi di libert` a, ponendo particolare attenzione al calcolo delle pulsazioni proprie e dei modi principali di vibrare; vengono inoltre presentati alcuni esempi di studio del moto a regime in presenza di forzante armonica. • Parte III - Vibrazioni di sistemi continui: si effettua il calcolo delle pulsazioni proprie e dei modi principali di vibrare per sistemi con massa ed elasticit`a distribuite. Come si potr` a facilmente verificare, la deduzione delle equazioni di moto pu`o essere effettuata sia mediante il metodo degli equilibri dinamici, sia mediante l’approccio energetico (conservazione dell’energia, equazioni di Lagrange); pertanto, al fine di acquisire maggiore familiarit`a con le tecniche di calcolo, si suggerisce al lettore di risolvere uno stesso problema con metodi diversi: in tal modo egli potr`a individuare, per ciascun caso, l’approccio pi` u conveniente alla risoluzione del problema. Concludo questa premessa con la speranza che la presente raccolta di esercizi possa essere di valido aiuto a tutti coloro che si accingono ad affrontare lo studio della teoria elementare delle vibrazioni meccaniche. Ringrazio anticipatamente tutti coloro che vorranno comunicarmi i loro suggerimenti al fine di migliorare le edizioni future del testo ed auguro a tutti buon lavoro.

L’Autore

Parte I

Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a

Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.1

5

- Cod. VIB-001

Determinare la pulsazione propria dell’oscillatore armonico rappresentato in Figura 1, dotato di molla avente massa non trascurabile.

x

l

k

M

mm Figura 1

Dati • • • •

Massa dell’oscillatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M Massa della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mm Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k Lunghezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l

Soluzione Indichiamo con l la lunghezza totale della molla e con y la distanza dal punto di ancoraggio di un elemento infinitesimo della molla di lunghezza pari a dy (vedi Figura 2).

l

x

v( y ) x

y

M

dy Figura 2 L’estremo sinistro della molla `e fissato a terra e pertanto il suo spostamento e la sua velocit`a sono nulli; al contrario, l’estremo destro della molla `e fissato alla massa M e quindi avr`a spostamento e velocit`a pari a quelli di tale massa (x ed x˙ rispettivamente); supponendo che la velocit`a vari linearmente lungo la molla, possiamo ricavare immediatamente la velocit` a v(y) dell’elemento infinitesimo dy: v(y) =

x˙ y l

(1)

Se la massa della molla `e uniformemente distribuita, la massa dm dell’elemento infinitesimo vale: dm =

mm dy l

(2)

La sua energia cinetica vale pertanto: 1 mm 1 dTm (y) = dm [v(y)]2 = 2 2 l



x˙ y l

2 dy

(3)

6

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Integrando lungo y da 0 al l si ottiene l’energia cinetica associata all’intera molla: l

Z Tm = 0

1 mm 2 l



x˙ y l

2

1 mm 2 x˙ dy = 2 l3

Z

l

y 2 dy =

0

1 mm 2 x˙ 2 3

(4)

L’energia cinetica complessiva risulta quindi: T =

mm  2 1 1 mm 2 1 M+ x˙ M x˙ 2 + x˙ = 2 2 3 2 3

(5)

L’energia potenziale del sistema si calcola immediatamente con la relazione: V =

1 2 kx 2

(6)

Per determinare la pulsazione propria applichiamo il metodo energetico di Rayleigh, in base al quale `e possibile affermare che, per un sistema conservativo, il valore dell’energia cinetica massima uguaglia quello dell’energia potenziale massima: Tmax = Vmax (7) Poich´e il sistema si muove di moto armonico con pulsazione ω, possiamo scrivere: x(t) = X sin ωt

xmax = X ⇒

x(t) ˙ = ωX cos ωt

(8) x˙ max = ωX

L’energia cinetica massima e l’energia potenziale massima assumono pertanto le espressioni seguenti: Tmax =

mm  2 2 1 M+ X ω 2 3

Vmax =

1 kX 2 2

(9)

Sostituendo nella (7) le equazioni (9) si ottiene con semplici passaggi, il valore della pulsazione propria del sistema: v u k u ω=t (10) mm M+ 3

Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.2

7

- Cod. VIB-002

Per il sistema vibrante rappresentato in Figura 1 si chiede di: • scrivere l’equazione di moto e calcolare la pulsazione propria; • determinare la legge di moto, essendo note le condizioni iniziali: x(0) = x0

x(0) ˙ =0

dove x indica lo spostamento del baricentro del rullo rispetto alla posizione di equilibrio statico. • determinare il minimo valore del coefficiente di aderenza fra rullo e terreno che garantisce il non slittamento del rullo stesso.

m2 , J G R

k

x

m1

Figura 1

Dati • • • • • •

Massa del carrello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1 Massa del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m2 Momento d’inerzia baricentrico del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JG Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k Raggio del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .R Condizioni iniziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x(0) = x0 x(0) ˙ =0

Soluzione L’equazione di moto del sistema verr` a ricavata utilizzando sia il metodo degli equilibri dinamici sia il metodo energetico.

Metodo degli equilibri dinamici Per risolvere il problema con il metodo degli equilibri dinamici occorre in primo luogo disegnare il diagramma di corpo libero del sistema rullo-carrello, mettendo in evidenza le forze che agiscono durante il moto. La coppia d’inerzia sul rullo vale Ci = JG ϑ¨ , dove ϑ indica la rotazione del rullo stesso; se si ipotizza l’assenza di strisciamento fra rullo e terreno, `e possibile correlare lo spostamento x del baricentro e la rotazione ϑ tramite la relazione: x = Rϑ (1) A questo punto si possono scrivere le seguenti tre equazioni di equilibrio dinamico: Equilibrio alla traslazione verticale per l’intero sistema: ΦN = (m1 + m2 )g

(2)

Equilibrio alla traslazione orizzontale per l’intero sistema: (m1 + m2 )¨ x + kx + ΦT = 0

(3)

8

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008  JGϑ ( m1 + m2 ) x

kx

( m1 + m2 ) g

ΦT

ΦN

Figura 2 Equilibrio alla rotazione attorno al baricentro per il solo rullo: ΦT R − JG ϑ¨ = 0

(4)

Da quest’ultima equazione si pu` o ricavare l’espressione della forza ΦT : ΦT =

JG ¨ JG ϑ = 2x ¨ R R

(5)

Sostituendo ora il valore di ΦT cos`ı calcolato nell’equazione di equilibrio alla traslazione orizzontale, si perviene all’equazione di moto:   JG ¨ + kx = 0 (6) m1 + m2 + 2 x R La pulsazione propria del sistema risulta quindi: s v u k k ω=u = t JG meq m1 + m2 + 2 R

(7)

dove meq = m1 + m2 + JG /R2 rappresenta la massa equivalente del sistema.

Metodo energetico La risoluzione con il metodo energetico consiste nell’esprimere la conservazione dell’energia meccanica totale (cinetica e potenziale) del sistema. Poich´e sono verificate le seguenti ipotesi: • assenza di forzanti esterne; • assenza di attriti nel perno di collegamento del rullo al carrello; • sistema soggetto a vincoli non dissipativi (fra il rullo ed il terreno vi `e un vincolo di puro rotolamento, mantenuto tramite attrito statico); l’energia totale del sistema si mantiene costante, quindi: T + V = cost.

⇒

d (T + V ) = 0 dt

Esprimendo l’energia cinetica e potenziale in funzione della coordinata libera x otteniamo:   1 1 JG 2 2 2 ˙ T = (m1 x˙ + m2 x˙ + JG ϑ ) = m1 + m2 + 2 x˙ 2 2 2 R V =

1 2 kx 2

Derivando ora rispetto al tempo l’energia totale si ha:    JG d (T + V ) = x˙ m1 + m2 + 2 x ¨ + kx = 0 dt R

(8)

(9) (10)

(11)

Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008 da cui,essendo x˙ 6= 0 , si ricava nuovamente l’equazione di moto   JG m1 + m2 + 2 x ¨ + kx = 0 R

9

(12)

Risoluzione dell’equazione di moto L’equazione di moto ottenuta `e un’equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti; essa descrive le vibrazioni libere del sistema la sua soluzione `e del tipo: x(t) = A cos ωt + B sin ωt dove A e B rappresentano due opportune costanti. Derivando la soluzione x(t) si ha: x(t) ˙ = −ωA sin ωt + ωB cos ωt

(13)

(14)

Come `e noto, le costanti A e B si determinano imponendo le condizioni iniziali assegnate dal testo: x(0) = x0

x(0) ˙ =0

(15)

Dalla prima condizione si ricava: x(0) = A = x0

(16)

mentre dalla seconda si ottiene: x(0)ωB ˙ =0

B=0

(17)

Pertanto la legge di moto `e espressa dall’equazione: x(t) = x0 cos ωt

(18)

Calcolo del minimo valore del coefficiente di aderenza che impedisce lo slittamento del rullo Affinch´e non vi sia slittamento fra rullo e terreno deve essere verificata la disequazione di Coulomb: ΦT µ≥ ΦN

(19)

dove µ indica il coefficiente di aderenza (o di attrito statico) fra rullo e terreno. La reazione normale ΦN rimane costante nel tempo ed il suo valore `e pari al peso del sistema rullo-carrello; al contrario, la reazione tangenziale ΦT varia nel tempo secondo la legge: ΦT (t) =

JG JG x ¨(t) = − 2 ω 2 x0 cos ωt 2 R R

(20)

La condizione pi` u sfavorevole per lo slittamento si verifica quando il modulo della forza tangenziale raggiunge il suo valore massimo: JG (21) ΦT max = 2 ω 2 x0 R Quindi dovr` a risultare: JG 2 ω x0 ΦT max R2 µ≥ = = µmin (22) ΦN (m1 + m2 )g

10

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Esercizio 1.3

- Cod. VIB-003

Il pendolo semplice in Figura 1 `e incernierato nel punto O; a tale punto viene impresso un moto orizzontale con legge x(t) = X sin Ωt; determinare: 1. lo spostamento angolare ϑ(t) del pendolo per Ω/ω > 1 e per Ω/ω < 1 (ω indica la pulsazione propria del pendolo); 2. la forza richiesta per imprimere il moto orizzontale al punto O.

x(t ) O

ϑ

L

m Figura 1

Dati • • • •

Massa del pendolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m Lunghezza del pendolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L Ampiezza dello spostamento armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X Pulsazione dello spostamento armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω

Soluzione 1. Calcolo dello spostamento angolare ϑ(t) Per risolvere il problema assegnato occorre in primo luogo mettere in evidenza le forze agenti sul sistema durante il moto (vedi Figura 2). Si osservi che la forza d’inerzia agente sulla massa m `e stata scomposta nelle sue componenti generate dal moto di trascinamento (traslatorio in direzione orizzontale) e dal moto relativo (rotatorio attorno al punto O). Per l’equilibrio dinamico alla rotazione attorno al punto O possiamo scrivere: m¨ xL cos ϑ + mL2 ϑ¨ + mgL sin ϑ = 0

(1)

Se si ritiene valida l’ipotesi di piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio (sin ϑ ∼ = ϑ, cos ϑ ∼ = 1), si ottiene, con semplici passaggi: g x ¨ ϑ¨ + ϑ = − (2) L L ovvero, essendo x ¨ = −Ω2 X sin Ωt: g Ω2 X ϑ¨ + ϑ = sin Ωt L L

(3)

Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

11

x(t )

Fx

O

ϑ

 mLϑ

mx

mg

2 mLϑ

Figura 2 La pulsazione propria del sistema risulta pertanto: r ω=

g L

(4)

Poich´e il sistema in esame `e lineare (nell’ipotesi di piccole oscillazioni) ed `e eccitato da una forzante armonica di pulsazione Ω, il moto a regime risulter` a ancora armonico, con pulsazione uguale a quella della forzante; quindi, indicando con ϑ(t) la soluzione a regime, si pu`o scrivere: ϑ(t) = Θ sin(Ωt − ϕ)

(5)

Non essendo presenti elementi smorzanti nel sistema, lo sfasamento ϕ `e nullo per per Ω/ω < 1 mentre vale π radianti per Ω/ω > 1. L’ampiezza delle oscillazioni a regime si calcola sostituendo la funzione ϑ(t) e la sua derivata seconda nell’equazione di moto e risolvendo il tutto rispetto a Θ; dopo semplici passaggi si ottiene:  2 X Ω L ω Θ = (6)  2 Ω 1 − ω In definitiva si ha:

ϑ(t) =

  2 X Ω      L  ω   2 sin Ωt   Ω     1−   ω 

per

 2    X Ω     L ω    2 sin(Ωt − π)   Ω    1−  ω

per

Ω 1 ω

Nel diagramma seguente `e riportato l’andamento dell’ampiezza di vibrazione adimensionalizzata ΘL/X in funzione del rapporto di frequenza Ω/ω; si osserva che, avendo trascurato lo smorzamento, l’ampiezza delle vibrazioni tende all’infinito in condizioni di risonanza (Ω/ω = 1).

,

12

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5

4

ΘL X

3

2

1

0

0

1

2

Ω/ω

3

4

5

Figura 3

2. Calcolo della forza richiesta per imprimere il moto orizzontale al punto O Indicando con Fx la forza incognita, l’equilibrio alla traslazione orizzontale per l’intero sistema (asta orizzontale + pendolo) fornisce l’equazione seguente: Fx + m¨ x + mLϑ¨ cos ϑ − mLϑ˙ 2 sin ϑ = 0

(8)

Fx + m¨ x + mLϑ¨ − mLϑ˙ 2 ϑ = 0

(9)

Per piccole oscillazioni si ha: Trascurando, per semplicit` a, l’ultimo termine al primo membro e risolvendo rispetto ad Fx si ottiene: ¨ Fx = −(m¨ x + mLϑ)

(10)

¨ mgϑ = −(m¨ x + mLϑ)

(11)

Dall’equazione di moto risulta: Per cui:

Fx = mg ϑ(t) =

  2 X Ω      L  ω  mg  2 sin Ωt   Ω     1−   ω 

per

 2    X Ω     L ω   mg  2 sin(Ωt − π)   Ω   1−   ω

per

Ω 1 ω

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Esercizio 1.4

13

- Cod. VIB-004

Nel sistema in Figura 1, collocato in un piano verticale, l’asta scorrevole all’interno del manicotto si muove nella direzione indicata con legge armonica y(t) = Y sin Ωt. Scrivere l’espressione analitica del moto a regime e determinarne l’ampiezza e la fase, assumendo l’ipotesi di piccole oscillazioni dell’asta AB attorno al punto O. Nota. Per semplicit` a si supponga che l’asta AB (di massa trascurabile) sia in equilibrio statico in posizione orizzontale, con y = 0 e con la molla che esercita un tiro Ts .

b

a

B

O

A

m

ϑ k

y (t )

Figura 1

Dati • • • • •

Lunghezza dei bracci dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 0.2 m b = 0.3 m Massa concentrata nell’estremo B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 2 kg Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 500 N/m Pulsazione del movimento armonico dell’asta scorrevole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 40 rad/s Ampiezza del movimento armonico dell’asta scorrevole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y = 10 mm

Soluzione Il testo afferma che la posizione di equilibrio del sistema si ha per ϑ = 0, con y = 0 e con la molla che esercita un tiro Ts (vedi Figura 2). Pertanto dovr` a essere verificata la relazione:

b

a

O

A

B

Ts

mg

Segni di riferimento coincidenti ( y = 0)

Figura 2

Ts a = mgb

(1)

da cui: Ts = mg

b = 29.43 N a

(2)

14

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

L’allungamento statico δst della molla all’equilibrio risulta: δst =

Ts = 0.058 m = 58 mm k

(3)

Per ricavare l’equazione di moto occorre disegnare il sistema in una generica posizione, mettendo in evidenza le forze agenti su di esso durante il movimento.

b

a

2 mbϑ b sin ϑ

O

a sin ϑ

ϑ T = k ∆l

y (t )

mg my

 mbϑ

Figura 3 Si osservi che la forza d’inerzia agente sulla massa m `e stata scomposta nelle sue componenti generate dal moto di trascinamento (traslatorio in direzione verticale) e dal moto relativo (rotatorio attorno al punto O). L’allungamento totale ∆l della molla vale: ∆l = δst + y − a sin ϑ

(4)

T = k∆l = k(δst + y − a sin ϑ) = Ts + k(y − a sin ϑ)

(5)

e la corrispondente forza elastica:

L’equilibrio dinamico alla rotazione attorno al punto O fornisce la seguente equazione: ¨ + (mg + m¨ (mbϑ)b y )b cos ϑ − T a cos ϑ = 0

(6)

Sostituendo in tale equazione il valore della forza elastica T precedentemente calcolata e ritenendo valida l’ipotesi di piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio (sin ϑ ∼ = ϑ, cos ϑ ∼ = 1), si perviene con semplici passaggi alla seguente equazione: ka2 ka 1 ϑ¨ + ϑ= y − y¨ (7) 2 2 mb mb b Poich´e il moto dell’asta verticale scorrevole y(t) `e di tipo armonico si pu`o scrivere: y(t) = Y sin Ωt y¨(t) = −Ω2 Y sin Ωt

(8)

Pertanto l’equazione di moto pu` o essere riscritta nella forma:   ka2 kaY Ω2 Y ¨ sin Ωt ϑ+ ϑ= + mb2 mb2 b

(9)

La pulsazione propria del sistema risulta: a ω= b

r

k = 10.54 rad/s m

(10)

La soluzione a regime vale: ϑ(t) = Θ sin(Ωt − ϕ)

(11)

Poich´e nel sistema non compaiono elementi smorzanti, lo sfasamento ϕ `e nullo per Ω/ω < 1, mentre vale π radianti per Ω/ω > 1; nel nostro caso: Ω/ω = 3.795 > 1

⇒

ϕ=π

(12)

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15

L’ampiezza delle oscillazioni a regime si ricava, come `e noto, sostituendo la funzione ϑ(t) e la sua derivata seconda nell’equazione di moto, semplificando i termini sinusoidali e risolvendo il tutto rispetto a Θ; dopo semplici passaggi si ottiene:  2 1 1 Ω + a b ω ◦ (13) Θ =  2 Y = 0.0396 rad = 2.27 Ω 1 − ω Come si pu` o osservare, l’ampiezza delle vibrazioni a regime `e dell’ordine di qualche grado: `e quindi verificata l’ipotesi di piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio. L’espressione del moto a regime risulta, in definitiva: ϑ(t) = 0.0396 sin(40t − π) (14) dove t `e espresso in secondi e ϑ in radianti.

16

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Esercizio 1.5

- Cod. VIB-005

Per il sistema in Figura 1 determinare: 1. la pulsazione propria; 2. l’ampiezza delle oscillazioni a regime, quando alla puleggia viene applicata una coppia variabile nel tempo secondo la legge Cm = C0 sin Ωt. Nota. Si ritenga trascurabile l’attrito fra il corpo di massa m ed il piano inclinato.

k

Cm JO

r O

R

k

m α Figura 1

Dati • • • • • • • •

Massa del carico trascinato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 15 kg Momento d’inerzia del gruppo puleggia-tamburo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J0 = 1 kg m2 Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 40 kN/m Raggio della puleggia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 0.2 m Raggio del tamburo di avvolgimento della fune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 0.1 m Pendenza del piano inclinato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . α = 20◦ Ampiezza della coppia applicata al gruppo puleggia-tamburo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C0 = 400 Nm Pulsazione della coppia applicata al gruppo puleggia-tamburo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 20 rad/s

Soluzione Poich´e la fune `e inestensibile, il sistema ha un solo grado di libert`a; per descrivere il moto utilizziamo come coordinata libera la rotazione ϑ del tamburo (positiva antioraria), misurata a partire dalla posizione di equilibrio statico; in corrispondenza di tale rotazione la massa m trasla lungo il piano inclinato di una quantit`a x = rϑ. Le forze agenti sul sistema durante il moto libero (cio`e in assenza della coppia forzante Cm ) sono evidenziate nella Figura 2, nella quale si `e indicata con il simbolo δ la deformazione statica subita dalle molle per effetto della forza peso. Da semplici considerazioni di equilibrio si ricava per tale deformazione il valore: δ= Le equazioni di equilibrio dinamico sono le seguenti:

mgr sin α 2kR

(1)

Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

17

k ( Rϑ + δ)  JOϑ

ϑ O

T

x

T

k ( Rϑ + δ)

mx N

mg

α

Figura 2 • Equilibrio alla rotazione attorno ad O per il tamburo: JO ϑ¨ + 2Rk(Rϑ + δ) − T r = 0

(2)

• Equilibrio alla traslazione della massa m lungo il piano inclinato: m¨ x + T − mg sin α = 0

(3)

Da quest’ultima equazione `e possibile ricavare il valore della tensione T della fune: ¨ T = m(g sin α − x ¨) = m(g sin α − rϑ)

(4)

Sostituendo il valore di T fornito dalla (4) nell’equazione (2) e tenendo conto della (1) si ottiene l’equazione di moto relativa alle vibrazioni libere del sistema: (JO + mr2 )ϑ¨ + 2kR2 ϑ = 0

(5)

Come si pu` o notare, avendo assunto come origine per la coordinata libera la posizione di equilibrio statico, nell’equazione (5) non compare il termine gravitazionale. La pulsazione propria vale: s 2kR2 ω= = 52.75 rad/s (6) JO + mr2 Nel caso in cui venga applicata al tamburo una coppia esterna variabile nel tempo con legge armonica, l’equazione di moto diventa: (JO + mr2 )ϑ¨ + 2kR2 ϑ = C0 sin Ωt (7) e la soluzione a regime si pu` o scrivere nella forma: ϑ(t) = Θ sin(Ωt − ϕ)

(8)

dove ϕ = 0 se Ω/ω < 1 e ϕ = π se Ω/ω > 1. Nel nostro caso, essendo Ω/ω = 0.379 < 1 lo sfasamento ϕ risulta nullo. L’ampiezza di vibrazione a regime si ricava sostituendo la soluzione ϑ(t) data dalla (8) e la sua derivata seconda nell’equazione di moto (7), semplificando i termini armonici e risolvendo il tutto rispetto a Θ; con semplici passaggi si ottiene: C0 Θ= = 0.146 rad = 8.36◦ (9) 2kR2 − Ω2 (JO + mr2 ) La soluzione a regime `e quindi: θ(t) = 0.146 sin 20t dove t `e espresso in secondi e ϑ in radianti.

(10)

18

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Nota. Affinch´e il sistema assegnato possa funzionare, occorre che nella fune sia sempre presente una forza di trazione (infatti una fune non pu` o resistere a compressione); utilizzando la relazione (4) si pu`o calcolare la legge con cui varia il tiro della fune durante il moto: T = mg sin α + mrΩ2 Θ sin Ωt

(11)

Il valore minimo di tale tensione si ha per sin Ωt = −1, ovvero: Tmin = mg sin α − mrΩ2 Θ = −37.2 N

(12)

Poich´e tale valore risulta negativo la fune non `e sempre in grado di trasmettere il movimento alla massa traslante lungo il piano inclinato. Occorre allora sostituire la fune con un elemento in grado di resistere anche a compressione; a tale scopo si potrebbe utilizzare un’asta a cremagliera, opportunamente guidata, in grado di accoppiarsi con una ruota dentata di raggio primitivo r, montata in sostituzione del tamburo di avvolgimento della fune; in alternativa, si potrebbe continuare ad utilizzare la fune, incrementando per`o la parte statica del tiro mediante un adeguato aumento dell’angolo α (ad esempio, se si impone un’inclinazione α = 60◦ si ottiene Tmin = 39.8 N > 0).

Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.6

19

- Cod. VIB-006

Determinare il valore minimo del coefficiente di aderenza µ che consente al rullo di rotolare senza strisciare sul piano di appoggio, quando il carrello si muove con legge di moto y(t) = Y sin Ωt. Nota. Si consideri soltanto la soluzione a regime, trascurando il transitorio.

m, J G

k

R

G

y(t )

µ

Figura 1

Dati • • • • • • •

Massa del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m Momento d’inerzia baricentrico del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JG Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k Raggio del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .R Ampiezza dello spostamento armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y Pulsazione dello spostamento armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω Coefficiente di aderenza fra rullo e piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . µ

Soluzione Metodo n.1 Indichiamo con ϑ la rotazione del rullo e con z la posizione del suo baricentro, misurata relativamente al carrello (vedi Figura 2). Posizione del rullo con molla indeformata

k

ϑ

G'

y (t )

G

z (t )

Figura 2 Se il rullo rotola senza strisciare sul piano del carrello, la relazione cinematica fra z e ϑ `e la seguente: ϑ=

z R

(1)

20

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

 JGϑ

m(z + y)

kz mg

G

T N Figura 3 Durante il moto agiscono sul rullo le forze e coppie indicate nel diagramma di corpo libero rappresentato in Figura 3: A questo punto `e immediato ricavare le equazioni di equilibrio dinamico del rullo: Equilibrio alla traslazione orizzontale: m(¨ z + y¨) + kz + T = 0 (2) Equilibrio alla traslazione verticale: N = mg

(3)

T R = JG ϑ¨

(4)

Equilibrio alla rotazione attorno al baricentro:

Ricavando dalla (4) la reazione T e tenendo conto della relazione cinematica (1) si ha: T =

JG z¨ R2

(5)

Sostituendo tale valore nella (2) si ricava, con semplici passaggi, l’equazione di moto:   JG m + 2 z¨ + kz = −m¨ y R

(6)

La pulsazione propria vale: v u ω=u t

k JG m+ 2 R

s =

k meq

(7)

avendo posto meq = m + JG /R2 . Poich´e la causa eccitatrice `e di natura armonica con pulsazione Ω, la soluzione a regime della (6) sar`a del tipo: z(t) = Z sin(Ωt − ϕ)

(8)

La fase ϕ `e nulla se Ω/ω < 1, mentre vale π radianti se Ω/ω > 1. L’ampiezza di vibrazione Z si calcola sostituendo la (8) e la sua derivata seconda nell’equazione di moto (6); dopo alcune semplificazioni si ricava: mΩ2 Y Z= (9) |k − meq Ω2 | L’accelerazione relativa z¨ del baricentro del rullo risulta: z¨(t) = −Ω2 z(t) = − ed il suo valore massimo `e: |¨ zmax | =

mΩ4 Y sin(Ωt − ϕ) |k − meq Ω2 |

(10)

mΩ4 Y |k − meq Ω2 |

(11)

Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

21

Affinch´e il rullo non slitti sul piano del carrello occorre che, nella situazione pi` u sfavorevole (ovvero quando T = Tmax ), risulti comunque verificata la relazione di Coulomb: |Tmax | |N |

µ≥

(12)

Il valore della reazione tangenziale massima Tmax si ricava facilmente dalla (5) e dalla (11): |Tmax | =

JG mΩ4 Y JG |¨ z | = max R2 R2 |k − meq Ω2 |

(13)

J G Ω4 Y = µmin gR2 |k − meq Ω2 |

(14)

per cui, dalla (12), si ha: µ≥

Metodo n.2 Anzich´e utilizzare la coordinata relativa z, individuiamo la posizione del baricentro G mediante la coordinata assoluta x (vedi Figura 4). Posizione del rullo con molla indeformata

k

G'

ϑ

G

y (t )

x(t )

Figura 4 La relazione cinematica fra x e ϑ, nell’ipotesi di non strisciamento, `e: ϑ=

x−y R

(15)

Le azioni sul rullo sono evidenziate in Figura 5:

mx

 JGϑ k ( x − y) G mg T N Figura 5

22

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Le equazioni di equilibrio dinamico si possono allora scrivere nella forma sotto riportata: Equilibrio alla traslazione orizzontale: m¨ x + k(x − y) + T = 0

(16)

Equilibrio alla traslazione orizzontale: N = mg

(17)

T R = JG ϑ¨

(18)

Equilibrio alla rotazione attorno al baricentro:

Procedendo in modo analogo al caso precedente si ricavano le seguenti relazioni: T =

JG (¨ x − y¨) R2

JG y¨ R2 Sostituendo nel secondo membro della (20) l’espressione di y(t) e della sua derivata seconda si ottiene:   JG 2 meq x ¨ + kx = k − 2 Ω Y sin Ωt = F0 sin Ωt R   JG 2 avendo posto, per semplicit` a di scrittura, F0 = k − 2 Ω Y . R La soluzione a regime `e: x(t) = X sin(Ωt − ϕ) meq x ¨ + kx = ky +

(19) (20)

(21)

(22)

dove ϕ assume gli stessi valori visti nel caso precedente, mentre l’ampiezza X vale: X=

F0 |k − meq Ω2 |

(23)

L’accelerazione assoluta x ¨ del baricentro del rullo risulta: x ¨(t) = −Ω2 x(t) = −

Ω 2 F0 sin(Ωt − ϕ) |k − meq Ω2 |

(24)

Dalla (19) si pu` o dedurre la legge con cui varia la reazione tangenziale T durante il movimento: JG JG (¨ x(t) − y¨(t)) = 2 Ω2 (−X + Y ) sin(Ωt − ϕ) 2 R R   JG 2 F0 = 2Ω − + Y sin(Ωt − ϕ) R |k − meq Ω2 |

T (t) =

(25)

Ricordando la definizione di F0 , si pu` o ottenere della (25) il valore massimo Tmax della reazione tangenziale:     JG 2 k − Ω Y 4 JG 2  R2   = JG mΩ Y |Tmax | = 2 Ω Y − (26) R |k − meq Ω2 |  R2 |k − meq Ω2 | Come si pu` o notare, il valore di Tmax calcolato mediante la (26) `e uguale a quello ricavato precedentemente (vedi equazione (13)); tutto questo conferma la correttezza dei calcoli svolti.

Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.7

23

- Cod. VIB-007

Il sistema in Figura 1, collocato in un piano verticale, `e eccitato mediante uno spostamento di tipo armonico y(t) = Y sin Ωt impresso all’estremo A della molla. Supponendo che il rullo non slitti sul piano di rotolamento, determinare il valore massimo dell’ampiezza Y per cui, in condizioni di vibrazioni a regime, il tiro della fune non si annulla.

y (t )

A

Fune inestensibile

k

B

2R R

G

M , JG

m

Figura 1

Dati • • • • • • • •

Massa dei rulli coassiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M Momento d’inerzia baricentrico dei rulli coassiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JG Massa traslante in direzione verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k Raggio del rullo piccolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R Raggio del rullo grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2R Ampiezza dello spostamento armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y Pulsazione dello spostamento armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω

Soluzione Indichiamo con ϑ la rotazione del rullo e con x lo spostamento della massa m; entrambe le coordinate sono misurate a partire dalla posizione di equilibrio statico. Risolviamo l’esercizio con il metodo degli equilibri dinamici; a tale scopo evidenziamo le forze agenti sui componenti del sistema: Nella Figura 2 si `e indicata con δ la deformazione statica subita dalla molla per effetto del peso mg; con semplici considerazioni di equilibrio si pu` o verificare che tale deformazione vale: δ=

3mg 4k

(1)

A questo punto `e possibile scrivere le seguenti equazioni di equilibrio dinamico: Equilibrio alla rotazione per il rullo attorno al punto C (centro di istantanea rotazione): T · 3R − k(4Rϑ − y + δ) · 4R − JG ϑ¨ − 2M Rϑ¨ · 2R = 0

(2)

24

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

k ( 4 Rϑ − y + δ )  JGϑ T

 2 MRϑ

4R

T T

G

ϑ

2R

Mg C

ΦT

T

ΦN

x mx

mg Figura 2 Equilibrio alla traslazione verticale per la massa m: T + m¨ x = mg

(3)

Poich´e il rullo rotola senza strisciare e la fune `e inestensibile, l’abbassamento verticale x della massa m e la rotazione ϑ del rullo sono legati dalla seguente relazione cinematica: x = 3Rϑ

(4)

Pertanto il sistema ha un solo grado di libert` a: ci`o significa che `e sufficiente una sola coordinata per descrivere il suo moto. Dalla (3) `e possibile ricavare la tensione T della fune; sostituendo il valore di T cos`ı calcolato nell’equazione (2) e tenendo conto delle relazioni (1) e (4) si perviene, dopo semplici passaggi, all’equazione di moto del sistema: (JG + 4M R2 + 9mR2 )ϑ¨ + 16kR2 ϑ = 4kRy

(5)

La pulsazione propria `e: s ω=

16kR2 = JG + 4M R2 + 9mR2

s

16kR2 Jeq

(6)

avendo posto Jeq = JG + 4M R2 + 9mR2 . Poich´e il sistema `e eccitato da uno spostamento armonico del vincolo y(t) = Y sin Ωt, la soluzione a regime ϑ(t) sar` a ancora di tipo armonico, con pulsazione pari a quella della causa eccitatrice; possiamo quindi scrivere: ϑ(t) = Θ sin Ωt

(7)

Sostituendo la (7) e la sua derivata seconda nell’equazione di moto (5) e semplificando i termini armonici si ottiene per l’ampiezza a regime Θ il valore sotto riportato: Θ=

4kRY |16kR2 − Ω2 Jeq |

(8)

L’espressione del tiro della fune in condizioni di regime risulta: ¨ = mg + 3mRΩ2 ϑ(t) T (t) = mg − 3mRϑ(t)   4kRY = mg + 3mRΩ2 sin Ωt |16kR2 − Ω2 Jeq | 2

= mg +

2

12mR Ω kY sin Ωt |16kR2 − Ω2 Jeq |

(9)

Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

25

Dalla (9) si deduce che il valore minimo del tiro si ha per sin Ωt = −1; quindi, per ricavare il valore massimo dell’ampiezza Y che in condizioni di regime rende non nullo il tiro della fune, `e sufficiente imporre la condizione: Tmin = mg −

12mR2 Ω2 kY ≥0 |16kR2 − Ω2 Jeq |

(10)

e risolvere la disequazione rispetto a Y ; con semplici passaggi si ottiene: Y ≤

g|16kR2 − Jeq Ω2 | = Ymax 12kR2 Ω2

(11)

26

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.8

- Cod. VIB-008

Il sistema vibrante rappresentato in Figura 1 `e collocato in un piano verticale ed `e costituito dai seguenti elementi: • una coppia di dischi (1) e (2) aventi raggio r1 ed r2 e momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione J1 e J2 rispettivamente; • un’asta O2 P, solidale con il disco (2), avente lunghezza pari ad l e massa trascurabile; • una massa puntiforme m collocata in corrispondenza del punto P; • una molla di rigidezza k, che risulta scarica quando l’asta O2 P si trova in posizione verticale. Assumendo l’ipotesi di piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio, si chiede di: 1. scrivere l’equazione differenziale relativa alle oscillazioni libere del sistema e determinare la pulsazione propria; 2. determinare l’ampiezza delle vibrazioni in condizioni di regime, quando si applica al disco (1) una coppia esterna con andamento sinusoidale di ampiezza M0 e frequenza f ; si effettui il calcolo: a) nell’ipotesi di smorzamento nullo; b) in presenza di uno smorzatore viscoso (visibile nel riquadro tratteggiato) avente una costante di smorzamento c assegnata. Nota. Si supponga assenza di slittamento fra i due dischi.

M

1

r1

O1 90°

r2

k O2

c

90° 2 l

m

P

Figura 1

Dati • • • • • • • • • •

Raggio del disco (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r1 = 0.1 m Raggio del disco (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r2 = 0.2 m Momento d’inerzia del disco (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 5 × 10−3 kgm2 Momento d’inerzia del disco (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J2 = 4 × 10−2 kgm2 Lunghezza dell’asta O2 P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 1 m Massa del punto P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 2 kg Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 20000 N/m Costante di smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 1000 Nm−1 s Ampiezza della coppia applicata al disco (0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M0 = 18 Nm Frequenza della coppia applicata al disco (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f = 2 Hz

Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

27

Soluzione Risolviamo il problema con il metodo degli equilibri dinamici, mettendo in evidenza le forze e le coppie agenti durante il moto sui singoli componenti del sistema; indichiamo con ϑ1 la rotazione del disco (1) (positiva in senso orario) e con ϑ2 la rotazione del disco (2) (positiva in senso antiorario). Nel caso di vibrazioni libere in assenza di smorzamento si ha la situazione riportata nella Figura 2:

 ϑ1 J1ϑ 1 O1 T N N

T kr2 ϑ2

 J 2ϑ 2 O2

ϑ2

 mlϑ 2 mg

2 mlϑ 2

Figura 2

Moto libero Le equazioni di equilibrio alla rotazione attorno ai perni O1 e O2 sono:   T r1 + J1 ϑ¨1 = 0 

(1)

J2 ϑ¨2 + kr22 ϑ2 + ml2 ϑ¨2 + mgl sin ϑ2 − T r2 = 0

Ricavando T dalla prima equazione e sostituendo il valore cos`ı ottenuto nella seconda si ha: r2 (J2 + ml2 )ϑ¨2 + kr2 ϑ2 + mgl sin ϑ2 − J1 ϑ¨1 = 0 r1

(2)

Per piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio (pendolo verticale) si ha sin ϑ ∼ = ϑ; inoltre, ipotizzando assenza di slittamento fra i due dischi, `e possibile definire il rapporto di trasmissione τ nel modo seguente: ϑ2 r1 τ= = = 0.5 (3) ϑ1 r2

28

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Tenendo conto della (3) l’equazione di moto (2) diventa:   J1 2 + J + ml ϑ¨2 + (kr22 + mgl)ϑ2 = 0 2 τ2

(4)

La pulsazione propria risulta: v u kr2 + mgl 2 = 19.95 rad/s ω=u tJ 1 2 + J2 + ml τ2

(5)

Moto forzato (in assenza di smorzamento) Nel caso di moto forzato in assenza di smorzamento le equazioni di equilibrio alla rotazione diventano:   T r1 + J1 ϑ¨1 − M0 sin Ωt = 0 

(6)

J2 ϑ¨2 + kr22 ϑ5 + ml2 ϑ¨2 + mgl sin ϑ2 − T r8 = 0

dove Ω = 2πf = 12.56 rad/s. Procedendo come nel caso precedente si ottiene:   J1 M0 2 + J2 + ml ϑ¨2 + (kr22 + mgl)ϑ2 = sin Ωt τ2 τ

(7)

Per semplicit` a di scrittura poniamo: Jeq =

J1 + J2 + ml2 = 2.06 kgm2 τ2

keq = kr82 + mgl = 819.02 Nm Meq =

(8)

M0 = 36 Nm τ

Con queste definizioni la (7) diviene: Jeq ϑ¨2 + keq ϑ2 = Meq sin Ωt

(9)

ϑ2 (t) = Θ2 sin(Ωt − ϕ)

(10)

La soluzione a regime `e del tipo: In assenza di smorzamento l’ampiezza di oscillazione risulta: Θ2 =

Meq = 0.0728 rad = 4.17◦ |keq − Ω2 Jeq |

(11)

mentre la fase ϕ risulta nulla in quanto Ω/ω = 0.60 < 1.

Moto forzato (in presenza di smorzamento) Inserendo nel sistema uno smorzatore viscoso nella posizione indicata dal testo, occorre considerare nell’equilibrio alla rotazione della puleggia maggiore una coppia smorzante Msw di valore: Msm = Fsm · r2 = c · r2 ϑ˙ 2 · r2 = cr22 ϑ˙ 2

(12)

ceq = cr01 = 40 Nms

(13)

Se si pone: l’equazione di moto per vibrazioni forzate in presenza di smorzamento risulta: Jeq ϑ¨2 + ceq ϑ˙ 2 + keq ϑ1 = Meq sin Ωt

(14)

Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

29

La soluzione a regime di tale equazione si pu` o ancora scrivere nella forma (80), ma l’ampiezza e la fase valgono ora: Meq Θ2 = p = 0.051 rad = 2.9◦ (15) 2 (keq − Ω Jeq )2 + (ceq Ω)2 tan ϕ =

ceq Ω = 1.017 keq − Ω2 Jeq

ϕ = 0.794 rad = 45.5◦

⇒

(16)

Confrontando i valori dell’ampiezza a regime nei due casi, si osserva che in presenza di smorzamento l’ampiezza a regime risulta ridotta di circa il 30%. Nei grafici di Figura 3 viene riportato, in funzione della pulsazione della forzante, l’andamento dell’ampiezza e della fase per il moto a regime in assenza di smorzamento (linea tratteggiata) ed in presenza di smorzamento (linea continua).

Modulo

10

8

gradi

6

4

2

0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

60

70

80

90

100

rad/s

Fase

200 180 160

gradi

140 120 100 80 60 40 20 0 20

0

10

20

30

40

50 rad/s

Figura 3

100

30

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.9

- Cod. VIB-009

Un’autovettura in marcia lungo una strada liscia incontra improvvisamente un tratto di carreggiata sconnesso con profilo approssimativamente sinusoidale. Si schematizzi l’automobile come una massa m collegata al terreno con una molla verticale di rigidezza k e l’andamento della strada con un profilo sinusoidale di ampiezza Y e lunghezza d’onda l. Assumendo che la costante di smorzamento sia pari a c, si richiede di determinare: 1. l’espressione analitica in transitorio e a regime del moto oscillatorio dell’autovettura, supponendo che essa viaggi alla velocit` a v = 72 km/h; 2. il tempo approssimativamente necessario affinch´e il sistema giunga a regime; 3. la velocit` a per cui la vettura entra in risonanza; 4. i valori di velocit` a in corrispondenza dei quali l’ampiezza massima delle oscillazioni a regime risulti inferiore a 4 cm. v

Y

l

Figura 1

Dati • • • • •

Massa dell’autovettura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 1200 kg Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 90 kN/m Costante di smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 2000 Ns/m Ampiezza del profilo sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y = 3 cm Lunghezza d’onda del profilo sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .l = 5 m

Soluzione Determinazione dell’espressione analitica del moto oscillatorio dell’autovettura Per lo studio delle oscillazioni verticali dell’autovettura il testo suggerisce di schematizzare il veicolo mediante il modello riportato nella Figura 2. v

m

x(t )

c

k

Y

y (t ) l

Figura 2

Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

31

Misurando lo spostamento verticale x a partire dalla posizione di equilibrio statico (molla deformata sotto l’azione del peso P = mg), l’equazione di moto risulta: m¨ x + c(x˙ − y) ˙ + k(x − y) = 0

(1)

Il profilo della strada y(t) pu` o essere schematizzato mediante una sinusoide di ampiezza Y e di pulsazione Ω, il cui valore risulta funzione della lunghezza d’onda l del profilo e della velocit`a v del veicolo; infatti, nell’ipotesi che l’automobile mantenga costante la sua velocit`a, il tempo T (detto periodo della sinusoide) impiegato a percorrere un tratto di strada sconnesso di lunghezza l sar`a pari a l/v; la pulsazione risulter`a pertanto: Ω=

2π 2πv = T l

(2)

L’espressione analitica del profilo stradale sar` a quindi: y(t) = Y sin Ωt

(3)

Con i dati del problema si ha: v = 72 km/h = 20 m/s Ω=

2πv = 25.13 rad/s l

T =

l = 0.25 s v

(4)

Derivando la (3) si ottiene: y(t) ˙ = ΩY cos Ωt

(5)

Tenendo conto delle relazioni (3) e (5) l’equazione di moto (1) pu`o essere riscritta nella forma: m¨ x + cx˙ + kx = kY sin Ωt + cΩY cos Ωt

(6)

La soluzione x(t) di tale equazione, come `e noto, `e data dalla somma di due termini: l’integrale generale xgen (t) dell’omogenea associata e l’integrale particolare xpart (t) dell’equazione completa.

Calcolo dell’integrale generale dell’equazione omogenea associata Per determinare l’espressione analitica dell’integrale generale dell’equazione omogenea associata occorre in primo luogo verificare se il sistema risulta sottosmorzato, sovrasmorzato o in condizioni di smorzamento critico; calcoliamo pertanto il fattore di smorzamento ξ: ξ=

c c = ccr 2mω

dove ccr indica lo smorzamento critico ed ω la pulsazione propria del sistema. Con i valori numerici assegnati si ricava: r k c ω= = 8.66 rad/s ξ= = 0.096 m 2mω

(7)

(8)

Poich´e risulta xi < 1 il sistema `e sottosmorzato; definendo ora la pulsazione propria smorzata nel modo seguente: p ωs = ω 1 − ξ 2 = 8.62 rad/s (9) l’integrale generale dell’equazione omogenea associata si pu`o scrivere nella forma: xgen (t) = e−ξωt (A cos ωs t + B sin ωs t) dove A e B rappresentano due costanti ricavabili mediante le condizioni iniziali.

(10)

32

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Calcolo dell’integrale particolare dell’equazione completa L’integrale particolare dell’equazione completa fornisce la soluzione dell’equazione di moto in condizioni di regime sinusoidale permanente; per il caso in esame (moto forzato dovuto allo spostamento del vincolo) tale soluzione `e del tipo: xpart (t) = X sin(Ωt − ϕ) (11) dove s X=Y

tan ϕ =

k 2 + (cΩ)2 = 4.62 × 10−3 m (k − mΩ2 )2 + (cΩ)2

mcΩ3 = −0.662 k(k − mΩ2 ) + (cΩ)2

⇒

ϕ = 2.557 rad = 146.5◦

(12)

(13)

Pertanto la soluzione dell’equazione di moto `e: x(t) = e−ξωt (A cos ωs t + B sin ωs t) + X sin(Ωt − ϕ)

(14)

Come si `e detto, per ricavare le costanti di integrazione A e B occorre conoscere le condizioni iniziali; a tale scopo supponiamo che, nell’istante t = 0 in cui l’autovettura incontra il profilo di strada sconnesso, la massa oscillante (scocca del veicolo) si trovi nella posizione di equilibrio con velocit`a nulla in direzione verticale; con tale ipotesi le condizioni iniziali si possono esprimere nella forma sotto riportata: x(0) = 0

x(0) ˙ =0

(15)

Per poter imporre la seconda delle (15) occorre derivare la (14): x(t) ˙ = e−ξωt [(Bωs − ξωA) cos ωs t − (Aωs + ξωB) sin ωs t] + ΩX cos(Ωt − ϕ) Dalle (15), tenendo conto delle espressioni (14) e (16) si ricava il seguente sistema di equazioni:  A + X sin(−ϕ) = 0 (Bωs − ξωA) + ΩX cos(−ϕ) = 0

(16)

(17)

La soluzione di tale sistema `e:   A = X sin ϕ = 2.55 × 10−3 m 1 (ξωA − ΩX cos ϕ) = 11.47 × 10−3 m  B= ωs

(18)

In definitiva l’equazione (14) pu` o essere riscritta nella forma: x(t) = 10−3 [e−0.833t (2.55 cos 8.62 t + 11.47 sin 8.62 t) + 4.62 sin(25.13 t − 2.557)]

(19)

dove x `e espresso in metri e t in secondi. Nei grafici seguenti sono riportati gli andamenti delle funzioni xgen (t), xpart (t) e x(t); come si pu`o osservare, il contributo del termine xgen (t) tende ad annullarsi con il trascorrere del tempo.

Calcolo del tempo approssimativamente necessario affinch´ e il sistema giunga a regime La condizione di regime per il sistema si ha quando si annulla nella (14) il termine corrispondente all’integrale generale dell’equazione omogenea associata xgen (t); ci`o si verifica, da un punto di vista strettamente teorico, in un tempo infinito, in quanto, per la presenza del termine esponenziale decrescente, risulta: lim xgen (t) = 0

t→+∞

(20)

Tuttavia, da un punto di vista pratico, si pu` o ritenere che il sistema abbia raggiunto la condizione di regime quando xgen (t) risulta trascurabile rispetto al contributo dell’integrale particolare dell’equazione completa xpart (t);

Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

33

0.02

spostamento [m]

0.01

0

0.01

0.02

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

3

3.5

4

4.5

5

3

3.5

4

4.5

5

tempo [s] 0.02

spostamento [m]

0.01

0

0.01

0.02

0

0.5

1

1.5

2

2.5 tempo [s]

0.02

spostamento [m]

0.01

0

0.01

0.02

0

0.5

1

1.5

2

2.5 tempo [s]

Figura 3 a) Integrale generale dell’equazione omogenea associata xgen (t); b) Integrale particolare dell’equazione completa xpart (t); c) Integrale generale dell’equazione completa x(t) = xgen (t) + xpart (t).

34

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

pertanto, fissata arbitrariamente una soglia γ  1, si considera esaurito il transitorio quando `e verificata la seguente condizione: Ampiezza di xgen (t) ≤γ (21) Ampiezza di xpart (t) L’ampiezza di xpart (t) `e data dalla (12), mentre l’ampiezza di xgen (t) si pu`o ricavare riscrivendo la (10) nella forma: xgen (t) = Ce−ξωt sin(ωs t + α) (22) dove si `e posto: A (23) B L’equazione (22) pu` o essere interpretata come l’espressione analitica di una sinusoide con ampiezza Ce−ξωt decrescente nel tempo con legge esponenziale; dalla (21) si ricava pertanto: C=

p

A2 + B 2

tan α =

Ce−ξωt ≤ γX

(24)

ovvero, risolvendo rispetto al tempo: t≥

1 ln ξω



C γX

 = treg

(25)

Sostituendo nella prima delle (23) i valori di A e B dati dalle (18) si ottiene C = 11.75 × 10−3 m; ponendo infine γ = 1/100, la disequazione (25) fornisce treg ≥ 6.65 s: ci`o significa che occorrono poco meno di 7 secondi per raggiungere la condizione di regime1 .

Calcolo della velocit` a per cui la vettura entra in risonanza Per calcolare la velocit` a del veicolo che porta la sospensione in condizioni di risonanza `e sufficiente imporre che la pulsazione propria del sistema sia uguale alla pulsazione della forzante: Ω=ω

⇒

2πv =ω l

(26)

Risolvendo rispetto a v si ottiene: ωl = 6.89 m/s = 24.8 km/h (27) 2π Occorre tuttavia precisare che per “risonanza” non si deve intendere soltanto la condizione espressa dalla (26), bens`ı tutto il campo di frequenze prossime a quella della forzante; infatti, anche per frequenze della forzante poco differenti da quella propria del sistema, si verifica un’amplificazione dell’ampiezza delle vibrazioni a regime, tanto pi` u evidente quanto minore `e lo smorzamento. Di conseguenza, per evitare l’insorgere di vibrazioni con ampiezza eccessiva, `e necessario fissare una soglia massima consentita per l’ampiezza delle vibrazioni e verificare che la pulsazione della forzante non sia tale da determinare il superamento del limite imposto (vedi punto successivo). v=

Calcolo dei valori di velocit` a per i quali l’ampiezza massima delle oscillazioni a regime risulta inferiore al limite imposto Per rispondere a questa domanda consideriamo l’equazione (12), che fornisce l’ampiezza delle oscillazioni a regime in funzione della pulsazione Ω della forzante; con semplici passaggi possiamo riscrivere tale equazione della forma: s 1 + (2ξr)2 X=Y (28) (1 − r2 )2 + (2ξr)2 dove si `e posto r = Ω/ω Imponendo la condizione X ≤ Xmax e definendo α = (Xmax /Y )2 si ricava dalla (28) la seguente disequazione:     2ξ 2 1 r4 + 2r2 2ξ 2 − 1 − + 1− ≥0 (29) α α 1 Ovviamente il valore di t reg dipende dal valore di γ (arbitrario) che viene inserito nella (25); pertanto quando si determina il tempo necessario per raggiungere la condizione di regime ` e bene specificare il valore di γ utilizzato per il calcolo.

Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

35

Utilizzando i dati assegnati si ricava α = 1.778, mentre il valore di ξ `e gi`a noto dalla seconda delle (8); effettuando il calcolo numerico dei coefficienti della (29) si perviene alla seguente disequazione: r4 − 1.984 r2 + 0.438 ≥ 0

(30)

Poich´e il rapporto r deve risultare necessariamente positivo (si tratta infatti del rapporto fra due pulsazioni), gli intervalli per i quali la disequazione `e verificata sono i seguenti: 0 ≤ r ≤ 0.503

r ≥ 1.316

(31)

A questo punto, tenendo conto della (2) e della definizione di r, `e immediato calcolare i corrispondenti valori della velocit` a v del veicolo: r = r1 = 0.503 r = r2 = 1.316

lω = 3.46 m/s = 12.5 km/h 2π

⇒

v1 = r1

⇒

lω v2 = r2 = 9.07 m/s = 32.6 km/h 2π

(32)

In definitiva gli intervalli di velocit` a in corrispondenza dei quali l’ampiezza della vibrazione a regime non supera il limite imposto sono quindi: 0 ≤ v ≤ v1 v ≥ v2 (33) I risultati ottenuti sono riassunti nel diagramma di Figura 4, che fornisce l’ampiezza delle vibrazioni a regime in funzione della velocit` a del veicolo.

Ampiezza oscillazioni a regime 20 17.5 15

[cm]

12.5 10 7.5 5 2.5 0

0

5

10

15

20

velocità dell' autoveicolo [m/s]

Figura 4

25

30

35

36

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.10

- Cod. VIB-010

Il meccanismo rappresentato in Figura 1 `e collocato in un piano verticale ed `e costituito dai seguenti elementi: • una ruota dentata di raggio primitivo r e momento d’inerzia baricentrico J ruotante attorno al punto O2 ; • una slitta di massa M , dotata di cremagliera, che si accoppia alla ruota dentata scorrendo in una guida orizzontale; • un’asta O2 P, solidale con la ruota dentata, avente lunghezza pari ad l e massa trascurabile; • una massa puntiforme m collocata all’estremit`a inferiore dell’asta; • un meccanismo a glifo, la cui manovella O1 A ruota a velocit`a costante Ω; • una molla di rigidezza k; • uno smorzatore viscoso con costante di smorzamento pari a c Il sistema `e in equilibrio quando la manovella O1 A e l’asta O2 P si trovano in posizione verticale. Assumendo l’ipotesi di piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio, si chiede di: 1. scrivere l’equazione differenziale di moto del sistema; 2. determinare la pulsazione propria ω ed il fattore di smorzamento ξ; 3. calcolare l’ampiezza e la fase delle vibrazioni in condizioni di regime.

Ω

O1

Y

A

k

c

M

r O2 J

l

P

m

Figura 1

Dati • • • • • • • • •

Raggio primitivo della ruota dentata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 0.2 m Momento d’inerzia della ruota dentata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.03 kg m2 Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 1 kg Lunghezza dell’asta O2 P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= 0.75 m Massa del punto P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m = 0.2 kg Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 5000 N/m Costante di smorzamento dello smorzatore viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .c = 80 Ns/m Lunghezza della manovella O1 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y = 0.05 m Velocit` a angolare della manovella O1 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 70 rad/s

Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

37

Soluzione Per risolvere il problema applichiamo il metodo degli equilibri dinamici; indicando con x lo spostamento della slitta e con ϑ la rotazione del pendolo, il sistema di forze e coppie agente sul meccanismo durante il movimento `e quello indicato nella Figura 2. x k ( x − y)

M&x&

c&x

T N N

T Jϑ&&

O2

ϑ

mϑ&&l mϑ& 2l mg

Figura 2 L’equilibrio alla traslazione orizzontale della slitta fornisce l’equazione: Mx ¨ + cx˙ + k(x − y) + T = 0

(1)

mentre l’equilibrio alla rotazione per il sistema pendolo-ruota dentata d`a luogo all’equazione: T r − J ϑ¨ − ml2 ϑ¨ − mgl sin ϑ = 0

(2)

Si osservi che, nell’equazione (1) si `e indicato con y il movimento impresso all’estremo sinistro della molla tramite il manovellismo a croce; poich´e la manovella O1 A ruota a velocit`a angolare Ω costante, risulta y(t) = Y sin Ωt. Dalla (2), ritenendo valida l’ipotesi di piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio (sin ϑ ∼ = ϑ ), `e possibile ricavare l’azione tangenziale T : T =

1 [(J + ml2 )ϑ¨ + mglϑ] r

(3)

La relazione cinematica che lega la traslazione x della slitta con la rotazione ϑ della ruota dentata `e la seguente: ϑ= dove r indica il raggio primitivo della ruota dentata.

x r

(4)

38

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

A questo punto `e immediato ricavare l’equazione di moto del sistema: basta infatti sostituire nella (1) il valore di T fornito dalla (3) e tenere conto della relazione (4); con semplici passaggi si ottiene: "  2 #   l J mgl = kY sin Ωt (5) M + 2 +m x ¨ + cx˙ + k + 2 r r r Per semplicit` a di scrittura poniamo: Meq

J =M + 2 +m r

 2 l = 4.563 kg r

ceq = c = 80 Ns/m keq

(6)

mgl = k + 2 = 5036.8 N/m r

Feq = kY = 250 N La (5) pu` o quindi essere riscritta nella forma: Meq x ¨ + ceq x˙ + keq x = Feq sin Ωt La pulsazione propria ω ed il fattore di smorzamento ξ valgono rispettivamente: s keq ceq ω= = 33.2 rad/s ξ= = 0.264 Meq 2Meq ω

(7)

(8)

L’espressione analitica del moto a regime risulta: x(t) = X sin(Ωt − ϕ)

(9)

dove l’ampiezza X e la fase ϕ si ricavano con le seguenti relazioni: Feq X=p = 0.0137 m (keq − Meq Ω2 )2 + (ceq Ω)2 tan ϕ =

ceq Ω = −0.323 keq − Meq Ω2

⇒

ϕ = 2.829 rad = 162◦

(10)

(11)

L’ampiezza a regime delle oscillazioni del pendolo risulta: Θ=

X = 0.0687 rad = 3.93◦ r

(12)

Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.11

39

- Cod. VIB-050

Si deve installare in un laboratorio una macchina per prove di fatica cha ha tutte le masse in movimento equilibrate, tranne la massa in moto alterno, che si muove verticalmente con legge pressoch´e sinusoidale. La macchina, rappresentata schematicamente in Figura 1, `e costituita da un telaio di massa MT sul quale `e montato un meccanismo biella-manovella, di massa trascurabile, che aziona una testa oscillante di massa m; mediante un opportuno sistema di fissaggio, la testa oscillante `e collegata al provino in modo tale da generare una sollecitazione di flessione alternata. Utilizzando i dati assegnati ed i diagrammi di Figura 2 si chiede di progettare la fondazione (basamento di cemento sul quale viene installata la macchina) in modo che la forza alternata trasmessa al pavimento risulti inferiore al valore Fmax = 100 N e che l’ampiezza delle vibrazioni della fondazione non superi il valore Xmax = 0.1 mm. Si chiede inoltre di verificare che, per ragioni pratiche, la massa totale Mtot (somma della massa della macchina e di quella della fondazione) non superi il limite di 10000 kg.

testa oscillante provino sollecitato a flessione alternata

fondazione (basamento di cemento) Ω

sospensione elastica

Figura 1

Dati • Massa della testa oscillante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m = 200 kg • Massa complessiva della macchina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = MT + m = 1500 kg • Corsa della testa oscillante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 8 mm • Velocit` a di rotazione della manovella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n = 300 giri/min

40

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008 5

4.5 4 3.5 3 2.5

2

X M tot mr

1.5 1

Ftr Fecc

0.5 0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Ω/ω

Figura 2

Nomenclatura ω Ω r = c/2 Fecc Ftr X

Fecc = mrΩ2

Pulsazione propria Pulsazione della forzante Raggio di manovella Forza eccitatrice Forza trasmessa Ampiezza delle oscillazioni a regime

Ftr 1 = Fecc |1 − (Ω/ω)2 | XMtot (Ω/ω)2 = mr |1 − (Ω/ω)2 |

Soluzione Il progetto della fondazione consiste nel determinare i parametri del sistema vibrante (massa e rigidezza) in modo tale da mantenere i valori della forza trasmessa al terreno e dell’ampiezza di oscillazione entro i limiti assegnati. Per risolvere il problema faremo riferimento allo schema di Figura 3, in cui sono rappresentate la macchina per prove di fatica e la relativa fondazione. Indichiamo con z(t) lo spostamento della testa oscillante relativo alla macchina e con x(t) lo spostamento assoluto del gruppo macchina-fondazione; poich´e la testa oscillante si muove con legge pressoch´e sinusoidale2 possiamo scrivere: c z(t) ∼ (1) = r sin Ωt = sin Ωt 2 dove Ω indica la velocit` a angolare della manovella (coincidente con la pulsazione del moto armonico della testa oscillante) ed r = c/2 il raggio di manovella. Poich´e ad ogni oscillazione della massa m corrisponde una rotazione completa della manovella, si ha: Ω=

2πn 60

(2)

Per le masse in gioco adottiamo i seguenti simboli: • Massa della testa oscillante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m • Massa del telaio della macchina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MT 2 Indicando rispettivamente con r ed l le lunghezze della manovella e della biella, si pu` o ritenere che la testa oscillante si muova con legge pressoch´ e sinusoidale se il parametro λ = r/l (detto rapporto caratteristico del manovellismo) risulta molto minore dell’unit` a.

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41

z(t)

Ω

x(t)

Figura 3 • Massa complessiva della macchina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = MT + m • Massa della fondazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MF • Massa totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mtot = M + MF = MT + m + MF Le forze agenti sul sistema durante il movimento sono evidenziate in Figura 4. Si noti che: • la forza esercitata dalla sospensione elastica si ottiene moltiplicando la rigidezza equivalente k per lo spostamento verticale x del gruppo “macchina-fondazione”; poich´e le molle sono in parallelo (ovvero sono soggette alla stessa deformazione) la rigidezza k `e data dalla somma delle rigidezze delle singole molle; • la forza d’inerzia agente sulla massa oscillante `e data dal prodotto della massa m per la sua accelerazione assoluta (che si ottiene sommando l’accelerazione relativa z¨ con l’accelerazione di trascinamento x ¨); • in Figura 4 sono state omesse le forze peso, in quanto tali forze risultano in ogni istante equilibrate dalle forze elastiche che si generano a causa delle deformazioni statiche delle molle); • lo spostamento x viene misurato a partire dalla posizione di equilibrio statico. L’equazione di moto per il sistema in esame si ottiene scrivendo la condizione di equilibrio dinamico alla traslazione verticale: (MT + MF )¨ x + m(¨ x + z¨) + kx = 0 (3) ovvero, raccogliendo x ¨ e tenendo conto della definizione di massa totale Mtot : Mtot x ¨ + kx = −m¨ z

(4)

Derivando due volte rispetto al tempo la (1) e sostituendo nella (4) il valore di z¨ cos`ı determinato, si ricava, dopo semplici passaggi: Mtot x ¨ + kx = mrΩ2 sin Ωt (5) p Dalla (5), ponendo ω = k/Mtot e dividendo tutti i termini per Mtot , si perviene all’equazione sotto riportata: x ¨ + ω2 x =

m rΩ2 sin Ωt Mtot

(6)

La (6) `e un’equazione differenziale del 2◦ ordine che descrive il moto di un sistema vibrante ad un grado di libert` a (non smorzato) eccitato da una forzante armonica; come `e noto, la soluzione a regime (integrale particolare) di tale equazione `e del tipo x(t) = X sin Ωt (7)

42

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

m

m( x + z)

z (t ) MT

Ω

MF x(t )

( M T + M F ) x kx

Figura 4 dove X (ampiezza delle oscillazioni a regime) si ricava sostituendo la (7) e la sua derivata seconda nella (6) e semplificando i termini armonici; con semplici passaggi si ottiene:  2 Ω mr ω X=  2 Mtot Ω 1− ω

(8)

Dalla (8) si deduce che l’ampiezza X `e positiva per Ω/ω < 1, `e negativa per Ω/ω > 1 e tende all’infinito3 per Ω/ω = 1; spesso l’ampiezza X viene considerata in valore assoluto e, per tenere conto del suo segno, si introduce uno sfasamento ϕ rispetto alla causa eccitatrice, rappresentata dal termine al secondo membro nella (6); in questo caso possiamo scrivere: x(t) = X sin(Ωt − ϕ) (9) dove

La funzione

 2 Ω mr ω X= 2  Mtot Ω 1 − ω

 ϕ=

 2 Ω X ω = 2  µr Ω 1 − ω

0 π

per Ω/ω < 1 per Ω/ω > 1

(10)

(11)

in cui si `e posto µ = m/Mtot rappresenta l’ampiezza di oscillazione adimensionalizzata ed il suo grafico `e riportato con linea tratteggiata in Figura 2; come risulta evidente, tale funzione dipende dal rapporto fra la pulsazione della causa eccitatrice e la pulsazione propria del sistema. Per quanto riguarda la forza Ftr trasmessa al terreno, possiamo affermare che il suo valore risulta pari a quello della forza elastica (infatti, come risulta evidente dalla Figura 3, il collegamento tra il sistema vibrante ed il 3 Nella realt` a l’ampiezza delle oscillazioni non tende all’infinito in condizioni di risonanza (Ω/ω = 1), poich´ e intervengono i fenomeni di attrito a limitare l’ampiezza stessa delle vibrazioni (si veda a questo proposito la trattazione delle vibrazioni forzate in presenza di smorzamento).

Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

43

terreno avviene esclusivamente tramite le molle); si ha pertanto:

Ftr

 2  2 Ω Ω mrΩ2 mr ω ω 2 = mrω = = kX = k  2  2  2 Mtot Ω Ω Ω 1 − 1 − 1 − ω ω ω

(12)

Il termine mrΩ2 rappresenta il valore massimo della forza d’inerzia agente sulla testa oscillante per effetto del moto armonico z(t); tale forza rappresenta la causa eccitatrice che genera le vibrazioni del sistema; dalla (12), ponendo Fecc = mrΩ2 , si ha: Ftr 1 (13) =  2 Fecc Ω 1 − ω Il grafico della funzione (13) `e riportato con linea continua in Figura 2 anche in questo caso si pu`o osservare che il rapporto fra la forza trasmessa e la forza eccitatrice dipende dal rapporto fra la pulsazione della forzante e la pulsazione propria del sistema. Osservando i due diagrammi si nota che, per Ω/ω  1 si hanno elevati valori di forza trasmessa e piccoli valori dell’ampiezza di oscillazione: in questo caso la pulsazione propria del sistema `e elevata rispetto alla pulsazione della forzante (fondazione rigida); viceversa, per Ω/ω  1 la forza trasmessa `e di bassa entit`a, mentre l’ampiezza di oscillazione risulta elevata: in questo caso la pulsazione propria del sistema `e piccola rispetto alla pulsazione della forzante (fondazione sospesa). In altri termini, la fondazione rigida `e caratterizzata da elevati valori della costante elastica e da bassi valori della massa, mentre per la fondazione sospesa si hanno basse rigidezze e masse elevate. Le considerazioni sopra riportate sono riassunte schematicamente in Figura 5, nella quale sono riportati qualitativamente i diagrammi di Figura 2 e sono evidenziati gli intervalli del rapporto Ω/ω per i quali una fondazione pu`o considerarsi rigida oppure sospesa.

X µr

1

Ftr Fecc

Ω/ω

1 fond. sospesa

fond. rigida

Figura 5 Giunti a questo punto possiamo effettuare il dimensionamento della fondazione utilizzando i dati ed i diagrammi assegnati. Procediamo innanzitutto con il calcolo della pulsazione della forzante, facilmente calcolabile mediante la relazione (2): 2πn 2 × π × 300 Ω= = = 31.4 rad/s (14) 60 60

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G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

La forza eccitatrice risulta: Fecc = mrΩ2 = 200 × 4 × 10−3 × 31.42 = 789 N

(15)

Il rapporto tra forza trasmessa ammissibile e la forza eccitatrice vale pertanto: Fmax 100 = = 0.127 Fecc 789

(16)

Affinch´e non venga superato il limite imposto sulla forza trasmessa al pavimento, dovr`a essere verificata la seguente disequazione: Fmax 1 (17) =  2 ≤ 0.127 Fecc Ω 1 − ω Per quanto concerne l’ampiezza di oscillazione, possiamo procedere in modo analogo: dapprima si calcola il rapporto X/µr e successivamente si impone la limitazione richiesta dal testo del problema. Assumendo per la massa totale un valore pari al 95% del valore massimo ammissibile si ha: Mtot = 0.95 × 10000 = 9500 kg

(18)

Xmax Mtot 0.1 × 10−3 × 9500 = 1.188 = mr 200 × 4 × 10−3  2 Ω XMtot ω =  2 ≤ 1.188 mr Ω 1 − ω

(19)

(20)

Le disequazioni (17) e (20) possono essere agevolmente risolte per via grafica con l’ausilio dei diagrammi di Figura 2, disegnati separatamente in Figura 6 per motivi di chiarezza. Dai grafici si ricava che la limitazione sulla forza trasmessa `e soddisfatta per Ω/ω > 3, mentre la limitazione sull’ampiezza massima di oscillazione `e soddisfatta per Ω/ω < 0.7 oppure per Ω/ω > 2.5; pertanto entrambe le condizioni risultano verificate se assumiamo Ω/ω = 3.5. Forza trasmessa al terreno

Ampiezza di oscillazione

3

3

2.5

2.5

2

2

1.5

1.5 1.188

1

1

0.5

0.5

0.127 0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0

4

Ω/ω

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Ω/ω

Figura 6 Conoscendo ora il rapporto Ω/ω possiamo calcolare immediatamente la rigidezza equivalente k da assegnare alla sospensione elastica; si ha: k = Mtot ω 2 (21)

Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

45

dove

Ω 31.4 = = 8.97 rad/s (22) 3.5 3.5 Con i dati assegnati si ottiene k = 765.4 kN/m. La massa della fondazione sulla quale dovr` a essere montata la macchina si ottiene come differenza fra la massa totale e la massa propria della macchina: ω=

MF = Mtot − M = 9500 − 1500 = 8000 kg

(23)

La forza trasmessa al terreno risulta: 789 Fecc Ftr =  2 = 1 − 3.52 = 70 N Ω 1 − ω

(24)

e l’ampiezza di oscillazione:  2 Ω mr 200 × 4 × 10−3 3.52 ω = X= = 9.2 × 10−5 m = 0.092 mm ×   2 Mtot 9500 1 − 3.52 Ω 1 − ω

(25)

Come si pu` o notare, tutte le limitazioni richieste dal progetto risultano soddisfatte; infatti la forza trasmessa risulta minore di 100 N, l’ampiezza di oscillazione `e inferiore a 0.1 mm e la massa totale non supera i 10000 kg.

Esercizi proposti

Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.12

47

- Cod. VIB-052

Re 8 m

1 k1

3 M JO

a

c1

2 7

6

O 4 a k2

c2 5

Il sistema rappresentato in figura `e costituito da un motore elettrico (1) montato sopra una slitta (2), scorrevole senza attrito all’interno di una guida rettilinea; l’asta (3), di massa trascurabile, collega la slitta alla leva (4), incernierata nel punto O; il sistema `e vincolato a terra mediante i supporti elastici (5) e (6), schematizzati mediante una molla lineare in parallelo con uno smorzatore viscoso. La slitta pu` o essere bloccata mediante il chiavistello (7). A causa di un errore di montaggio il rotore (8), calettato sull’asse del motore elettrico, presenta un’eccentricit` a pari ad Re . Il motore viene avviato e viene portato alla velocit`a di regime n, mantenendo il chiavistello nella posizione di bloccaggio, al fine di impedire qualsiasi movimento della slitta e degli organi ad essa collegati; una volta raggiunta la velocit` a di regime, il chiavistello viene sfilato: il sistema pu`o allora vibrare sotto l’effetto della forzante causata dallo squilibrio del rotore. Domande 1. 2. 3. 4. 5.

scrivere l’equazione di moto del sistema, supponendo che l’asta (4) compia piccole oscillazioni; determinare la legge di moto della slitta (in transitorio e a regime); calcolare il tempo approssimativamente necessario per raggiungere la condizione di regime; determinare l’andamento temporale delle sollecitazioni nell’asta (in condizioni di regime); nell’ipotesi che lo smorzamento dei supporti sia trascurabile e che la velocit`a di rotazione del motore coincida con la pulsazione propria del sistema (condizione di risonanza), si determini l’andamento temporale delle vibrazioni della slitta.

Dati • • • • • • • •

Massa del sistema slitta-motore (escluso rotore) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 20 kg Massa del rotore squilibrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 5 kg Momento d’inerzia della leva (4) rispetto al punto O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J0 = 0.15 kg m2 Costanti elastiche dei supporti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 10 kN/m k2 = 15 kN/m Costanti di smorzamento dei supporti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c1 = 80 Ns/m c2 = 100 Ns/m Eccentricit` a del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Re = 5 mm Lunghezza dei bracci della leva (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 300 mm Velocit` a angolare del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n = 1000 giri/min

48

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.13 k1

- Cod. VIB-059

1 r1 J1 3

2

J

R

J

R

y(t) k2

P

Y

Ω

O c

Il carrello rappresentato in figura viene azionato da un manovellismo a croce, la cui manovella OP ruota a velocit` a angolare Ω costante. La trasmissione del moto fra il manovellismo ed il carrello avviene mediante una molla di rigidezza k2 ed uno smorzatore avente costante di smorzamento pari a c. Sul carrello `e montata una ruota (1) di raggio r1 che viene messa in movimento dalla ruota (2) del carrello; si supponga che la trasmissione del moto fra le ruote (1) e (2) avvenga senza slittamenti. La ruota (1) `e collegata al telaio del carrello da una molla di rigidezza k1 ; si noti che l’estremit`a destra della molla si avvolge sulla circonferenza della ruota (1). Nell’ipotesi che le ruote (2) e (3) rotolino senza strisciare sul terreno, si chiede di: 1. scrivere l’equazione di moto del sistema; 2. calcolare il valore della pulsazione propria ω e del fattore di smorzamento ξ; 3. determinare l’espressione analitica del moto a regime del carrello.

Dati • • • • • • • • • •

Massa del carrello (comprensiva della massa di tutte le ruote) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 50 kg Momento d’inerzia baricentrico della ruota (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 0.04 kg m2 Momento d’inerzia baricentrico delle ruote (2) e (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.2 kgm2 Raggio della ruota (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r1 = 0.15 m Raggio delle ruote (2) e (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .R = 0.25 m Lunghezza della manovella OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y = 0.1 m Rigidezza della prima molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 1000 N/m Rigidezza della seconda molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k2 = 14000 N/m Costante di smorzamento dello smorzatore viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 600 Ns/m Velocit` a angolare della manovella OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 15 rad/s

Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.14

49

- Cod. VIB-061

J r

O2

Fune inestensibile

c

a

B

a A

G

m

k

M

Asta omogenea P O1

Y

y(t)

Ω Il sistema ad un grado di libert` a rappresentato in figura giace in un piano verticale e si trova in equilibrio quando la manovella O1 P e l’asta AB sono entrambe in posizione orizzontale. Supponendo che l’asta possa compiere soltanto piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio, si chiede di: 1. scrivere l’equazione di moto del sistema; 2. calcolare la pulsazione propria ω ed il fattore di smorzamento ξ; 3. determinare l’ampiezza e la fase delle oscillazioni a regime della massa M quando la manovella O1 P ruota con velocit` a angolare costante Ω.

Dati • • • • • • • • •

Massa dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 5 kg Massa traslante in direzione verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 15 kg Momento d’inerzia della puleggia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.09 kg m2 Raggio della puleggia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 0.1 m Semi lunghezza dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 0.25 m Lunghezza della manovella O1 P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y = 0.05 m Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 2000 N/m Costante di smorzamento dello smorzatore viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .c = 60 Ns/m Velocit` a angolare della manovella O1 P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 10 rad/s

50

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.15

- Cod. VIB-074

L

A

B kT

Ω

m1 r

M

m

k

c

In figura `e rappresentata schematicamente una pressa per operazioni di stampaggio. Come risulta evidente dal disegno, il meccanismo che muove la massa m `e un manovellismo a croce azionato da una manovella di raggio r che ruota a velocit` a angolare costante Ω. La massa della macchina (esclusa la massa azionata dal manovellismo) `e pari ad M . Nella parte superiore la macchina `e vincolata, tramite una cerniera A, ad un’asta omogenea di lunghezza L e massa m1 , collegata a terra tramite un supporto elastico B di rigidezza torsionale kT . Nella parte inferiore la macchina `e vincolata al suolo mediante un supporto elastico schematizzato mediante una molla di rigidezza k ed uno smorzatore viscoso di costante c. Domande 1. Scrivere l’equazione di moto del sistema, supponendo che l’asta AB compia piccole oscillazioni nell’intorno della posizione orizzontale. 2. Determinare la costante di smorzamento c in modo che l’ampiezza di vibrazione a regime della macchina risulti ≤ 5 mm quando il sistema opera in condizioni di risonanza.

Dati • • • • • • •

Massa della macchina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 1500 kg Massa traslante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 100 kg Massa dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m1 = 48 kg Lunghezza dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .L = 1.5 m Rigidezza torsionale del supporto B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kT = 80 kNm/rad Rigidezza del supporto inferiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 180 kN/m Raggio di manovella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 200 mm

Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.16

51

- Cod. VIB-076

re

k

k

slitta

me Ω

R

M1 c

M2 , JG rullo

Per il sistema vibrante rappresentato in figura si chiede di: 1. scrivere l’equazione di moto del sistema, nell’ipotesi che il rullo rotoli senza strisciare sul terreno e che la slitta scorra senza attrito sui supporti; 2. calcolare la frequenza propria ed il fattore di smorzamento; 3. determinare ampiezza e fase delle oscillazioni della slitta in condizioni di regime, supponendo costante la velocit` a angolare del rotore eccentrico; 4. determinare il minimo valore del coefficiente di aderenza µ, che garantisce assenza di slittamento del rullo, quando il sistema vibra in condizioni di regime.

Dati • • • • • • • • •

Massa del gruppo slitta-motore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M1 = 20 kg Massa del rotore eccentrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . me = 7 kg Massa del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M2 = 10 kg Momento d’inerzia baricentrico del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JG = 0.08 kg m2 Eccentricit` a del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . re = 6 mm Raggio del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 150 mm Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 1000 N/m Costante di smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 90 Ns/m Velocit` a angolare del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 13 rad/s

52

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.17

- Cod. VIB-078

Slitta con cremagliera

αk

m R

a

a

JO

A

B

O Settore dentato

Asta k

M

c

Stantuffo

p(t)=p0+p 1 sin Ω t

d

Si consideri il sistema meccanico rappresentato in figura. Nella posizione di equilibrio l’asta AB `e orizzontale, le molle sono scariche ed il peso dello stantuffo `e completamente equilibrato dalla pressione p0 del gas contenuto nel recipiente. Si supponga che la pressione subisca una variazione temporale attorno al valore medio p0 , con legge sinusoidale di ampiezza p1 e pulsazione Ω. Supponendo trascurabili tutti gli attriti e ritenendo valida l’ipotesi di piccole oscillazioni dell’asta AB nell’intorno della posizione orizzontale, si chiede di: 1. scrivere l’equazione di moto del sistema; 2. determinare il valore della costante α in modo che la frequenza propria del sistema sia tripla rispetto a quella della causa eccitatrice; 3. calcolare il fattore di smorzamento e dire se il sistema risulta sottosmorzato, sovrasmorzato o in condizioni di smorzamento critico; 4. calcolare la legge di moto della slitta in condizioni di regime; 5. nell’ipotesi di smorzamento trascurabile, dire per quali valori di frequenza della forzante l’accelerazione massima della slitta risulta inferiore a 5 m/s2 .

Dati • • • • • • • • • •

Massa dello stantuffo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 15 kg Mom. d’inerzia dell’asta AB rispetto ad O (compreso il settore dentato) . . . . . . . . . . . . . . . . . . JO = 0.04 kg m2 Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m = 6 kg Rigidezza della molla verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 2000 N/m Costante di smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 20 Ns/m Lunghezza dei bracci dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 120 mm Raggio primitivo del settore dentato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .R = 80 mm Ampiezza della variazione di pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p1 = 6000 Pa Pulsazione della variazione di pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 6 rad/s Diametro dello stantuffo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 100 mm

Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.18

53

- Cod. VIB-086 v0

k

c

R

M

J

R J

Un carrello scorrevole su rotaia urta con velocit`a v0 contro un respingente al quale rimane agganciato. Si schematizzi il respingente mediante una molla ed uno smorzatore viscoso (entrambi di massa trascurabile rispetto alla massa del carrello). Supponendo che non vi sia strisciamento fra la rotaia e le ruote, si chiede di determinare: • la pulsazione propria ed il fattore di smorzamento del sistema; • la legge di moto del carrello, l’ampiezza massima di vibrazione e l’istante di tempo in cui tale massimo viene raggiunto; • l’andamento temporale della forza trasmessa dal respingente al carrello, il massimo valore di tale forza e l’istante di tempo in cui il massimo viene raggiunto; • il tempo necessario per dissipare i 3/4 dell’energia posseduta dal carrello all’istante iniziale (si calcoli tale tempo a partire dall’istante in cui avviene l’urto fra respingente e carrello). Se il carrello non rimanesse agganciato al respingente, calcolare l’istante di tempo in cui avviene il distacco e la velocit` a del carrello in tale istante. Nota. Si ritenga trascurabile l’attrito volvente fra le ruote e la rotaia.

Dati • • • • • •

Massa del carrello (ruote comprese) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M = 1200 kg Momento d’inerzia di ogni ruota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 2 kg m2 Raggio delle ruote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 200 mm Costante elastica del respingente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 120 kN/m Costante di smorzamento del respingente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 6700 Ns/m Velocit` a del carrello all’istante iniziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v0 = 18 km/h

54

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.19

- Cod. VIB-088

L

L m c a

n

B

A

P

R

J

R

k3

O k2

k1

C

D L

M

J L Asta a cremagliera

Una macchina di massa M , che pu` o compiere oscillazioni in direzione orizzontale, `e fissata a terra mediante un supporto deformabile, schematizzato mediante una molla di rigidezza k1 ed uno smorzatore viscoso di costante pari a c. Grazie alla presenza di corpi volventi, interposti fra la macchina ed il piano orizzontale, si possono ritenere trascurabili i fenomeni di attrito. All’interno della macchina `e presente un manovellismo a croce che aziona un pistone di massa m; il manovellismo `e azionato da un motore elettrico ruotante a velocit`a costante. Un’asta a cremagliera, solidale alla macchina, muove due settori dentati, aventi massa trascurabile e raggio primitivo R, sui quali sono montate due aste AB e CD di lunghezza 2L. Le estremit` a delle aste sono collegate a due molle di rigidezza k2 e k3 , disposte come in figura; le molle risultano scariche quando le due aste si trovano in posizione orizzontale. Supponendo che le oscillazioni del sistema siano di ampiezza limitata (cosicch´e le aste AB e CD compiano piccole rotazioni attorno alla posizione orizzontale) si chiede di: 1. scrivere l’equazione di moto del sistema; 2. calcolare la pulsazione propria, il fattore di smorzamento e la pulsazione propria smorzata; 3. calcolare l’ampiezza e la fase delle oscillazioni a regime supponendo che la manovella OP ruoti a velocit` a angolare costante.

Dati • • • • • • • • •

Massa della macchina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M = 200 kg Massa in moto alternativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 20 kg Momento d’inerzia delle aste AB e CD attorno all’asse di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .J = 0.5 kg m2 Rigidezze delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 10000 N/m k2 = 5000 N/m k3 = 2500 N/m Costante di smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 4000 Ns/m Semi lunghezza delle aste AB e CD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L = 300 mm Raggio dei settori dentati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 100 mm Lunghezza della manovella OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 60 mm Velocit` a angolare della manovella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n = 250 giri/min

Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.20

55

- Cod. VIB-094

m M l Utilizzando il metodo di Rayleigh si calcoli la pulsazione propria del sistema rappresentato in figura, costituito da una trave a mensola di massa m (uniformemente distribuita), sulla quale `e fissata una massa M in corrispondenza dell’estremit` a libera.

Dati • • • • •

Massa della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m Massa concentrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M Lunghezza della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l Modulo di Young del materiale costituente la trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E Momento d’inerzia della sezione traversale della trave rispetto all’asse neutro della flessione . . . . . . . . . . . . . . I

56

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.21

- Cod. VIB-095

m M l /2

l /2

Utilizzando il metodo di Rayleigh si calcoli la pulsazione propria del sistema rappresentato in figura, costituito da una trave di massa m (uniformemente distribuita), vincolata mediante due appoggi, sulla quale `e fissata una massa M in corrispondenza del punto medio.

Dati • • • • •

Massa della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m Massa concentrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M Lunghezza della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l Modulo di Young del materiale costituente la trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E Momento d’inerzia della sezione traversale della trave rispetto all’asse neutro della flessione . . . . . . . . . . . . . . I

Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.22

- Cod. VIB-099

4

1 R

10 k

Y

G

M c n

57

τ

JG a /2

3 2

O

JO

a /2

k

Il sistema in figura `e costituito da un carrello (1), traslante in direzione orizzontale e collegato al bilanciere (2) tramite la cerniera O. L’estremo inferiore del bilanciere `e vincolato al telaio tramite una molla di costante elastica k. Il carrello riceve il movimento da un manovellismo a croce (3), attraverso un elemento deformabile (4), schematizzato mediante una molla di rigidezza 10k in parallelo ad uno smorzatore viscoso di costante c. La manovella viene azionata a velocit` a angolare costante da un motore elettrico attraverso un riduttore di velocit` a avente rapporto di trasmissione τ . Nell’ipotesi che: • tutti gli attriti siano trascurabili; • la ruota del carrello rotoli senza strisciare sul piano sottostante; • il bilanciere compia piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio (verticale); si chiede di: 1. scrivere l’equazione di moto del sistema; 2. calcolare la pulsazione propria ed il fattore di smorzamento; 3. determinare ampiezza e fase delle vibrazioni del sistema in condizioni di regime.

Dati • • • • • • • • • •

Massa del carrello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 20 kg Momento d’inerzia baricentrico della ruota del carrello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JG = 0.15 kg m2 Momento d’inerzia del bilanciere attorno al perno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JO = 0.08 kg m2 Lunghezza del bilanciere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 360 mm Raggio della ruota del carrello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 150 mm Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 2500 N/m Costante di smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 700 Ns/m Lunghezza della manovella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y = 60 mm Velocit` a angolare del motore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n = 5000 giri/min Rapporto di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . τ = 1/4

58

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.23

- Cod. VIB-100

k

a

b

R

kT

G

M

ms , J O

O

m P

c

Si studino le vibrazioni libere del sistema in figura (posto in un piano verticale), conseguenti ad uno spostamento x0 (verso il basso) della massa M rispetto alla posizione di equilibrio statico. Si risolva l’esercizio nell’ipotesi che: • il sistema sia in quiete all’istante t = 0; • l’asta OP (di massa trascurabile) compia piccole oscillazioni attorno alla posizione orizzontale di equilibrio. • la trasmissione del moto fra il settore e la massa traslante sia affidata ad una dentatura (non rappresentata in figura). Dopo aver ricavato l’espressione analitica della legge di moto del sistema, se ne dia una rappresentazione grafica a livello qualitativo. Nota. Si tenga presente che nella posizione di equilibrio, la molla torsionale `e scarica, mentre la molla collegata alla massa M esercita una forza tale da mantenere in equilibrio il sistema con l’asta OP orizzontale.

Dati • • • • • • • • • • •

Massa traslante verticalmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 10 kg Massa posta all’estremit` a dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 2 kg Massa del settore dentato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ms = 3 kg Momento d’inerzia del settore dentato attorno al punto O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JO = 0.08 kg m2 Distanza del baricentro G del settore dal punto O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 120 mm Distanza della massa m dal punto O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b = 400 mm Raggio primitivo del settore dentato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 250 mm Rigidezza della molla collegata alla massa M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 2500 N/m Rigidezza della molla torsionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kT = 30 Nm/rad Costante di smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 120 Ns/m Spostamento iniziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .x0 = 15 mm

Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.24

59

- Cod. VIB-103

m1

p

k1

D R

J m2

k2

c

Figura 1 p(t)

p0

t

Figura 2 Il sistema rappresentato in Figura 1 `e costituito dai seguenti elementi: • • • • •

due slitte dotate di cremagliera, scorrevoli senza attrito all’interno di guide rettilinee; una ruota dentata di raggio primitivo R; una cilindro idraulico di diametro D; due molle collegate alle slitte come in figura; uno smorzatore collegato alla slitta inferiore.

Per semplicit` a di rappresentazione non sono state rappresentate le dentature delle cremagliere e della ruota.

Domande 1. ricavare l’equazione di moto del sistema; 2. calcolare la pulsazione propria ω; 3. calcolare il fattore di smorzamento ξ e dire se il sistema risulta sottosmorzato, sovrasmorzato o in condizioni di smorzamento critico; 4. nell’ipotesi che all’istante iniziale il sistema sia fermo nella posizione di equilibrio, determinare l’andamento delle vibrazioni del sistema quando la pressione nel cilindro idraulico subisce una variazione a gradino (come indicato in Figura 2).

Dati • • • • • • •

Masse delle slitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1 = 5 kg m2 = 8 kg Momento d’inerzia della ruota dentata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.05 kg m2 Raggio primitivo della ruota dentata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 120 mm Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 1500 N/m k2 = 3000 N/m Costante di smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 100 Ns/m Pressione nel cilindro idraulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p0 = 70 kPa Diametro del cilindro idraulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D = 80 mm

60

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.25

- Cod. VIB-105

d1 d2

R J

l1 l2

c k

Figura 1 In Figura 1 `e rappresentata una barra di torsione di acciaio sulla quale `e fissato un disco di raggio R e momento d’inerzia J in corrispondenza dell’estremit` a libera. I due tratti della barra hanno diametri e lunghezze differenti. Al disco sono applicati una molla di rigidezza k ed uno smorzatore viscoso di costante pari a c.

Domande 1. 2. 3. 4.

calcolare la rigidezza torsionale della barra; scrivere l’equazione di moto del disco; calcolare la pulsazione propria del sistema; determinare il valore della costante di smorzamento in modo tale che il sistema si trovi in condizioni di smorzamento critico; 5. utilizzando il valore di c precedentemente calcolato, determinare la legge di moto del disco quando vengono assegnate le condizioni iniziali sotto indicate.

Dati • • • • • • •

Momento d’inerzia del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.1 kg m2 Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 9000 N/m Raggio del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 150 mm Diametri dei due tratti della barra di torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d1 = 15 mm d2 = 10 mm Lunghezza dei due tratti della barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l1 = 200 mm l2 = 300 mm Modulo di elasticit` a tangenziale dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G = 80 kN/mm2 Condizioni iniziali (ϕ indica la rotazione del disco) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ϕ(0) = 60◦ ϕ(0) ˙ =0

Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.26

61

- Cod. VIB-107

k2 r O

R

F (t ) = F0 sin Ωt

JO

m k1

c

Figura 1 Il sistema in Figura 1 `e costituito dai seguenti elementi: • due pulegge coassiali di raggio r ed R con perno del punto O; • una massa m traslante in direzione verticale lungo una guida priva di attrito; • due molle di rigidezza k1 e k2 disposte come in figura; • una fune inestensibile che si avvolge sulla puleggia di raggio maggiore, collegata alla massa traslante. Il sistema `e soggetto all’azione di una forza esterna, applicata alla massa m e variabile nel tempo con legge sinusoidale; il valore di picco e la pulsazione della forzante sono assegnati.

Domande • Scrivere l’equazione di moto del sistema e calcolarne la pulsazione propria. • Determinare la legge di moto della massa m in condizioni di regime, nell’ipotesi che non vi siano fenomeni di smorzamento; • Supponendo di applicare alla massa m uno smorzatore viscoso (vedi figura), calcolare il valore della costante di smorzamento c per il quale l’ampiezza di vibrazione della massa traslante risulta dimezzata rispetto al caso non smorzato.

Dati • • • • • •

Massa traslante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 10 kg Momento d’inerzia totale delle due pulegge coassiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JO = 0.5 kg m2 Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 1000 N/m k2 = 2500 N/m Raggi delle pulegge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 120 mm R = 240 mm Valore di picco della forzante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F0 = 80 N Pulsazione della forzante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 6 rad/s

62

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.27

- Cod. VIB-109

asta rigida barra di torsione m

c d

supporto

L

λa

a asse z

Figura 1 In Figura 1 `e rappresentato un sistema vibrante costituito dai seguenti elementi: • un’asta rigida di lunghezza a e massa trascurabile; • una barra di torsione di acciaio di lunghezza L e diametro d, fissata al telaio ad un estremo e collegata all’asta come in figura; • una massa m, collocata all’estremit` a dell’asta; • uno smorzatore viscoso di costante pari a c, collegato all’asta ad una distanza λa (λ < 1) dall’asse z. L’asta `e in grado di compiere piccole rotazioni attorno all’asse z, grazie alla deformabilit`a torsionale della barra. Il supporto indicato in figura `e fissato al telaio ed impedisce l’inflessione della barra. Utilizzando i dati assegnati si chiede di: 1. 2. 3. 4.

calcolare la rigidezza torsionale della barra; scrivere l’equazione di moto dell’asta e calcolare la frequenza propria delle piccole oscillazioni; determinare il valore di λ per il quale il sistema ha un fattore di smorzamento ξ = 0.1; supponendo che all’istante iniziale l’asta sia ruotata di 5◦ rispetto all’orizzontale ed abbia velocit`a nulla, determinare la legge di moto dell’asta e tracciarne un grafico qualitativo.

Dati • • • • • •

Massa fissata all’estremit` a dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 20 kg Lunghezza dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a = 180 mm Lunghezza della barra di torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L = 120 mm Diametro della barra di torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 15 mm Costante di smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 1000 Ns/m Modulo di elasticit` a tangenziale dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G = 80000 MPa

Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.28

63

- Cod. VIB-110

L m e Sezione trasv. della trave

Ω M h

b

Figura 1 Si consideri il sistema in Figura 1, costituito da una trave a mensola in acciaio sulla quale `e montato un motore elettrico in corrispondenza dell’estremit` a. Sul motore, di massa M , `e calettato un rotore di massa m che presenta un’eccentricit`a e. Dopo aver calcolato la rigidezza equivalente della mensola, si studi il comportamento vibratorio del motore nella direzione verticale scrivendone l’equazione di moto (si ipotizzi smorzamento trascurabile). Si determini poi la pulsazione propria del sistema e si individuino, per via grafica o analitica, gli intervalli di velocit` a del motore per cui l’ampiezza di vibrazione a regime risulti inferiore a 2 mm. Nota. Si supponga trascurabile la massa della mensola.

Dati • • • • • •

Massa del motore (escluso il rotore) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 45 kg Massa del rotore eccentrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 1 kg Eccentricit` a del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e = 15 mm Lunghezza della mensola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L = 300 mm Dimensioni della sezione trasversale della mensola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .b = 100 mm h = 15 mm Modulo di Young dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 206000 MPa

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G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.29

- Cod. VIB-112

Il sistema rappresentato in Figura 1 `e costituito dai seguenti elementi: • un disco di raggio r e momento d’inerzia baricentrico J, ruotante attorno al punto O; • una slitta di massa M , scorrevole in una guida orizzontale, che trasmette il movimento al disco per attrito. • due molle di rigidezza k disposte come in figura; • uno smorzatore viscoso con costante di smorzamento pari a c, collegato alla slitta. Si ipotizzi assenza di strisciamento fra il disco e la slitta. Domande 1. Scrivere l’equazione differenziale di moto del sistema. 2. Determinare la costante di smorzamento c in modo che il sistema sia in condizioni di smorzamento critico. 3. Studiare il movimento del sistema quando la slitta viene spostata di 80 mm dalla sua posizione di equilibrio statico (si ipotizzi il sistema in quiete all’istante t = 0). 4. Rappresentare in funzione del tempo la soluzione dell’equazione di moto, tracciandone un grafico qualitativo.

k

c

M r O J

k

Figura 1

Dati • • • •

Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 2 kg Momento d’inerzia del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.04 kg m2 Raggio del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 0.25 m Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 2000 N/m

Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.30

65

- Cod. VIB-113

m

e Ω M k

c

r

r J

J

Il sistema rappresentato in figura `e costituito da un carrello di massa M , dotato di quattro ruote aventi raggio r e momento d’inerzia baricentrico pari a J. Sul carrello `e montata una massa m avente eccentricit`a e rispetto al perno di rotazione e ruotante con velocit` a angolare costante Ω. Il carrello `e collegato a terra tramite una molla di rigidezza k ed uno smorzatore viscoso di costante pari a c. Domande 1. Scrivere l’equazione di moto del carrello. 2. Calcolare la pulsazione propria ed il fattore di smorzamento. 3. Studiare le vibrazioni forzate in condizioni di regime. Nota. Si supponga che non vi sia strisciamento fra le ruote ed il terreno.

Dati • • • • • • • •

Massa del carrello (ruote comprese) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 15 kg Momento d’inerzia delle ruote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.05 kg m2 Massa eccentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 2 kg Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 3000 N/m Costante di smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 80 Ns/m Eccentricit` a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e = 30 mm Raggio delle ruote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 160 mm Velocit` a angolare della massa eccentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 10 rad/s

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G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.31

- Cod. VIB-114

k2

k1

R J

c m Figura 1 Si • • •

studi il sistema vibrante rappresentato in Figura 1, ritenendo valide le seguenti ipotesi: puleggia di rinvio con inerzia trascurabile; attrito trascurabile nei supporti che sostengono la slitta di massa m; assenza di slittamento fra il disco di raggio R e la slitta.

Domande 1. 2. 3. 4.

Calcolare la rigidezza equivalente delle due molle. Scrivere l’equazione di moto del sistema. Calcolare la pulsazione propria nell’ipotesi di smorzamento nullo. Determinare la costante c dello smorzatore viscoso in modo che, dopo 5 cicli, l’ampiezza di vibrazione risulti il 10% di quella iniziale. 5. Studiare le vibrazioni libere smorzate del sistema derivanti dalle condizioni iniziali assegnate. 6. Tracciare un grafico qualitativo che rappresenti l’andamento delle vibrazioni nel tempo.

Dati • • • • • •

Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 10 kg Momento d’inerzia del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.045 kg m2 Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 3000 N/m k2 = 4000 N/m Raggio del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 100 mm Spostamento iniziale della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x0 = 6 cm Velocit` a iniziale della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x˙ 0 = 0

Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.32

67

- Cod. VIB-117

αk

Ms p D 2

p(t)

1

R

3

J k

Jr

Jr

r

r

p0

c

Mc

t

a)

b)

Figura 1 Il sistema rappresentato in Figura 1a `e costituito dai seguenti elementi: • una slitta (1) dotata di cremagliera nella parte inferiore, scorrevole senza attrito all’interno di una guida rettilinea; • una ruota dentata (2) di raggio primitivo R; • un carrello (3) con quattro ruote di raggio r, dotato di cremagliera nella parte superiore, che riceve il moto dalla ruota dentata; • un cilindro idraulico in cui scorre un pistone collegato alla slitta (1); • due molle ed uno smorzatore viscoso disposti come in figura; Per semplicit` a non sono state rappresentate le dentature delle cremagliere e della ruota. La molla collegata alla slitta (1) ha una rigidezza pari ad α volte quella della molla collegata al carrello. Si supponga che le ruote del carrello rotolino senza strisciare sul terreno e che l’attrito volvente sia trascurabile.

Domande 1. 2. 3. 4.

ricavare l’equazione di moto del sistema; calcolare la costante α in modo che la frequenza propria (non smorzata) del sistema sia pari a 2 Hz; calcolare la costante dello smorzatore in modo che il fattore di smorzamento del sistema risulti pari al 70%; nell’ipotesi che all’istante iniziale il sistema sia fermo nella posizione di equilibrio, determinare il moto del carrello quando la pressione nel cilindro idraulico subisce una variazione a gradino (come indicato in Figura 1b); 5. tracciare un grafico qualitativo che rappresenti lo spostamento del carrello in funzione del tempo.

Dati • • • • • • • • •

Massa della slitta (1) (pistone compreso) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ms = 35 kg Massa del carrello (3) (ruote comprese) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Mc = 50 kg Momento d’inerzia della ruota dentata (2) rispetto all’asse di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.025 kg m2 Momento d’inerzia baricentrico delle ruote del carrello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jr = 2 × 10−3 kg m2 Raggio primitivo della ruota dentata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 80 mm Raggio delle ruote del carrello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 30 mm Rigidezza della molla collegata al carrello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k = 10000 N/m Pressione nel cilindro idraulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .p0 = 160 kPa Diametro del cilindro idraulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D = 65 mm

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G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.33

- Cod. VIB-118

αL

L d

J1

r1

r1

J2

r2 M

1

2

r2

F (t ) = F0 sin Ωt

Figura 1 In Figura 1 `e rappresentato un sistema meccanico costituito da due ruote dentate che trasmettono il movimento ad una slitta scorrevole senza attrito in una guida orizzontale. La ruota dentata (1) `e vincolata al telaio tramite due barre di torsione di acciaio, aventi uguale diametro e differente lunghezza, mentre la ruota (2) `e libera di ruotare attorno al proprio asse. Supponendo trascurabili tutti gli attriti e le masse delle barre di torsione, si chiede di: 1. ricavare l’equazione di moto del sistema utilizzando il metodo di Lagrange; 2. calcolare la costante α in modo che la pulsazione propria del sistema sia pari a ω = 40 rad/s; 3. nel caso in cui al carrello venga applicata una forza variabile con legge sinusoidale F (t) = F0 sin Ωt, determinare per quali valori della pulsazione Ω l’ampiezza di oscillazione della slitta risulta inferiore a 5 mm.

Dati • • • • • • •

Momento d’inerzia delle ruota dentate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 0.02 kg m2 J2 = 0.25 kg m2 Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 35 kg Raggi primitivi delle ruote dentate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r1 = 70 mm r2 = 180 mm Diametro delle barre di torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 10 mm Lunghezza delle barra di torsione di sinistra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L = 800 mm Intensit` a della forza sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F0 = 600 N Modulo di elasticit` a tangenziale dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G = 80 kN/mm2

Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.34

69

- Cod. VIB-119

c Sezione trasv. della trave

L/2

L/2 m e

h

Ω M

b

Figura 1 Si consideri il sistema in Figura 1, costituito da una trave di acciaio, incastrata ad entrambi gli estremi, sulla quale `e montato un motore elettrico in corrispondenza del punto medio. Sul motore, di massa M , `e calettato un rotore di massa m che presenta un’eccentricit`a e. Il motore deve funzionare ad una velocit` a angolare costante assegnata.

Domande 1. Determinare la lunghezza L della trave in modo che sia pari a 3 il rapporto fra la frequenza di rotazione del motore e la frequenza propria del sistema vibrante costituito dal motore e dalla trave elastica (si ritenga trascurabile la massa propria della trave); 2. calcolare l’ampiezza delle oscillazioni del motore per la velocit`a di rotazione assegnata; 3. supponendo ora di dimezzare la velocit` a di rotazione del motore, calcolare la costante c dello smorzatore (da inserire nella posizione indicata in figura), in modo che l’ampiezza delle vibrazioni rimanga uguale al valore calcolato al punto 2.

Dati • • • • • •

Massa del motore (escluso il rotore) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 80 kg Massa del rotore eccentrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 0.8 kg Eccentricit` a del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e = 12 mm Dimensioni della sezione trasversale della mensola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .b = 100 mm h = 10 mm Modulo di Young dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 206000 MPa Velocit` a angolare del motore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ω = 300 rad/s

70

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.35

- Cod. VIB-120

2k

J k r

y(t)

R 3k

c

P

Y

Ω

O M

Figura 1 In Figura 1 `e rappresentato un sistema vibrante costituito dagli elementi sotto indicati: • • • •

una coppia di ruote coassiali di raggio r ed R collegate a due molle come in figura; una slitta di massa M scorrevole in direzione orizzontale su due supporti; un manovellismo a croce che trasmette il moto alla slitta tramite una molla; uno smorzatore viscoso, collegato alla slitta come in figura.

Si supponga che l’attrito dei supporti sia trascurabile, che la trasmissione del moto fra la slitta e la ruota di raggio maggiore avvenga in assenza di slittamento e che la manovella OP ruoti a velocit`a angolare costante Ω.

Domande 1. Scrivere l’equazione di moto del sistema vibrante; 2. calcolare la frequenza propria (non smorzata) del sistema; 3. determinare la costante c dello smorzatore in modo che, in condizioni di regime, l’ampiezza delle vibrazioni dei dischi coassiali sia di 5◦ ; 4. calcolare il fattore adimensionale di smorzamento del sistema, utilizzando il valore di c ricavato al punto precedente; 5. calcolare i valori massimi della velocit` a e dell’accelerazione della slitta in condizioni di regime (sempre per il valore di smorzamento precedentemente determinato).

Dati • • • • • •

Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 15 kg Momento d’inerzia della coppia di ruote coassiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.2 kg m2 Rigidezza di una delle tre molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k = 800 N/m Raggi delle ruote coassiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 100 mm R = 200 mm Lunghezza della manovella OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y = 120 mm Velocit` a di rotazione della manovella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ω = 30 rad/s

Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.36

p

71

- Cod. VIB-121

p(t)

MP A

D

p0

a t

kT Jasta

a

MR ,JG R

B

c

G

Figura 1 Per il sistema vibrante rappresentato in Figura 1, nell’ipotesi che l’asta AB compia piccole oscillazioni attorno alla posizione verticale ed il rullo rotoli senza strisciare sul piano di appoggio, si chiede di: 1. 2. 3. 4.

scrivere l’equazione di moto; calcolare la frequenza propria (non smorzata); determinare la costante c dello smorzatore in modo che il grado di smorzamento risulti pari al 30%; studiare le oscillazioni libere del sistema, quando l’asta viene ruotata di 5◦ in senso orario rispetto alla verticale (si utilizzi il valore di c precedentemente calcolato e si ritenga nulla la pressione del fluido nel cilindro); 5. determinare l’andamento temporale delle oscillazioni dell’asta AB, quando la pressione del fluido nel cilindro subisce una variazione a gradino (si supponga che il sistema sia in quiete all’istante iniziale, con l’asta AB in posizione verticale).

Dati • • • • • • • • •

Massa del pistone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .MP = 5 kg Momento d’inerzia dell’asta AB rispetto al perno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jasta = 0.12 kg m2 Massa del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MR = 12 kg Momento d’inerzia baricentrico del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JG = 0.15 kg m2 Rigidezza della molla a spirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kT = 400 Nm/rad Raggio del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 150 mm Semi-lunghezza dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 250 mm Pressione nel cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p0 = 50 kPa Diametro del cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D = 50 mm

72

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.37

- Cod. VIB-125

JO c O

m

R1 R3

R2

2k

G

k

Figura 1 Si consideri il sistema in Figura 1, costituito dai seguenti elementi: • • • • •

una coppia di pulegge coassiali, ruotanti attorno al perno O, aventi raggio R1 ed R2 rispettivamente; un rullo omogeneo di raggio R3 che rotola senza strisciare sul terreno sottostante; due molle di rigidezza k e 2k disposte come in figura; uno smorzatore viscoso collegato alla puleggia di raggio R1 ; una tratto di fune inestensibile che collega la puleggia di raggio R2 al centro del rullo.

Si supponga che alle molle venga assegnato un opportuno precarico, in modo tale che il tratto di fune risulti sempre in trazione. Domande 1. scrivere l’equazione di moto del sistema vibrante; 2. calcolare il valore della rigidezza k in modo che la frequenza propria (non smorzata) del sistema sia pari a 2 Hz; 3. determinare il valore della costante c dello smorzatore in modo che il fattore di smorzamento del sistema risulti dell’ 8%; 4. utilizzando i valori di k e c precedentemente calcolati, determinare la legge di moto del centro del rullo, quando questo viene spostato di 50 mm verso destra rispetto alla posizione di equilibrio e successivamente rilasciato (si ritenga nulla la velocit` a iniziale del rullo). 5. tracciare un grafico qualitativo che rappresenti l’andamento delle vibrazioni in funzione del tempo; 6. calcolare la riduzione percentuale dell’ampiezza di vibrazione dopo 3 cicli completi.

Dati • • • • •

Momento d’inerzia complessivo delle due pulegge coassiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JO = 0.5 kg m2 Massa del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 25 kg Raggio della puleggia piccola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R1 = 80 mm Raggio della puleggia grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R2 = 160 mm Raggio del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R3 = 110 mm

Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.38

73

- Cod. VIB-126

e 3

2

m

1

M k

k

k

k

c Figura 1 Il sistema vibrante rappresentato in Figura 1 `e costituito da una piattaforma (1) sulla quale `e montato un motore elettrico (2) dotato di un rotore (3) con eccentricit`a pari ad e. La piattaforma `e vincolata tramite guide rettilinee e pertanto pu`o effettuare spostamenti soltanto in direzione verticale. Il collegamento tra la piattaforma ed il telaio `e costituito da quattro molle elicoidali, aventi ciascuna ns spire utili di diametro D; ogni molla `e realizzata con un filo di acciaio di diametro d. Supponendo trascurabili tutti i fenomeni di smorzamento dovuti agli effetti dell’attrito, si chiede di: 1. 2. 3. 4.

scrivere l’equazione di moto del sistema vibrante; determinare la rigidezza equivalente della sospensione elastica; calcolare la frequenza propria del sistema; calcolare, per via grafica o analitica, gli intervalli di velocit`a di rotazione del motore per cui l’ampiezza di vibrazione risulta inferiore a 2 mm; 5. supponendo di introdurre nel sistema uno smorzatore viscoso (disposto come in figura), determinare il valore della costante di smorzamento c in modo che l’ampiezza di vibrazione risulti sempre pari a 2 mm quando il sistema opera in condizioni di risonanza.

Dati • • • • • • •

Massa traslante (piattaforma e motore - rotore escluso) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 3 kg Massa del rotore eccentrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 0.6 kg Eccentricit` a del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e = 8 mm Numero di spire utili di ogni molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ns = 5 Diametro delle spire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D = 15 mm Diametro del filo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 1.5 mm Modulo di elasticit` a tangenziale dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G = 80 kN/mm2

Nota. Per il calcolo della rigidezza di una molla elicoidale si utilizzi la formula sotto riportata: k=

Gd4 8 ns D 3

74

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.39

- Cod. VIB-127

k MS c

R B

JL

a MR ,JR

p(t)

a

pmax

MP T

t

A

p D

Figura 1 Per il sistema vibrante rappresentato in Figura 1, nell’ipotesi che l’asta AB compia piccole oscillazioni ed il rullo rotoli senza strisciare, si chiede di: 1. scrivere l’equazione di moto; 2. determinare la rigidezza k della molla in modo che la pulsazione propria non smorzata del sistema risulti uguale a 30 rad/s; 3. determinare la costante c dello smorzatore viscoso in modo che il fattore di smorzamento adimensionale del sistema risulti pari al 20%; 4. supponendo nulla la pressione nel cilindro, studiare le vibrazioni libere del sistema quando la slitta viene spostata di 25 mm verso destra e successivamente rilasciata (si consideri pertanto nulla la velocit`a iniziale); tracciare inoltre un grafico qualitativo che rappresenti l’andamento nel tempo dello spostamento della slitta; 5. supponendo che la variazione nel tempo della pressione nel cilindro sia approssimabile mediante la legge sinusoidale4 rappresentata in Figura 1, determinare l’andamento delle oscillazioni della slitta in condizioni di regime.

Dati • • • • • • • • • •

Massa del pistone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .MP = 4 kg Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MS = 12 kg Massa del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MR = 6 kg Momento d’inerzia della leva rispetto al perno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JL = 0.2 kg m2 Momento d’inerzia baricentrico del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JR = 0.075 kg m2 Raggio del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 150 mm Semi-lunghezza della leva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 300 mm Pressione massima nel cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pmax = 40000 Pa Periodo con cui varia la pressione nel cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .T = 2 s Diametro del cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D = 130 mm

4I

valori negativi indicano una depressione nel cilindro.

Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.40

75

- Cod. VIB-130

e mr

R

r

r M

3k J

c k

k

R

J

Figura 1 Il sistema vibrante rappresentato in Figura 1, `e costituito da una piattaforma traslante di massa M che pu` o muoversi soltanto in direzione verticale grazie alla presenza di due guide. Le guide presentano attrito trascurabile e sulla loro parte esterna sono ricavate due cremagliere che permettono la trasmissione del moto senza slittamenti alle due ruote dentate laterali (per semplicit`a di rappresentazione non sono state disegnate le dentature delle cremagliere e delle ruote). Sulla piattaforma `e montato un motore elettrico, il cui rotore, di massa mr , ha un’eccentricit`a pari ad e. La piattaforma `e fissata a due supporti elastici schematizzati mediante molle di uguale costante elastica k. Coassialmente alle ruote dentate sono montate due pulegge di raggio r. La puleggia di sinistra `e collegata ad una molla di rigidezza 3k, mentre quella di destra `e collegata ad uno smorzatore viscoso di costante c. Domande 1. scrivere l’equazione di moto del sistema vibrante; 2. determinare la rigidezza k dei supporti elastici in modo che la frequenza propria non smorzata del sistema risulti uguale a 8 Hz; 3. determinare la costante c dello smorzatore viscoso in modo che il fattore di smorzamento adimensionale del sistema risulti pari al 20%; 4. nell’ipotesi che il motore sia fermo, studiare le vibrazioni libere del sistema quando la slitta viene spostata di 50 mm verso l’alto e successivamente rilasciata (si consideri pertanto nulla la velocit`a iniziale); 5. tracciare inoltre un grafico qualitativo che rappresenti l’andamento nel tempo dello spostamento della slitta durante la vibrazione libera; 6. calcolare la riduzione percentuale dell’ampiezza di vibrazione dopo 2 cicli di vibrazione libera; 7. supponendo che il motore venga azionato a velocit`a angolare costante, determinare ampiezza e fase della legge di moto della piattaforma in condizioni di regime; 8. nell’ipotesi che lo smorzatore viscoso venga scollegato, dire per quali valori di velocit`a angolare del motore l’accelerazione della piattaforma (a regime) risulta superiore a 1.5 m/s2 .

Dati • • • • • • •

Massa della piattaforma (motore compreso) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 10 kg Massa del rotore eccentrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mr = 0.5 kg Momento d’inerzia dei gruppi laterali ruota dentata-puleggia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.2 kg m2 Raggio primitivo delle ruote dentate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 150 mm Raggio delle pulegge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 75 mm Eccentricit` a del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e = 6 mm Velocit` a angolare del motore elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n = 1200 giri/min

76

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 1.41

- Cod. VIB-131

m

R

a

τ n

r k

c

a

J

Y y(t)

Jasta

αk

Figura 1 Il sistema vibrante rappresentato in Figura 1 `e azionato da un manovellismo a croce tramite un motore elettrico ed un riduttore di velocit` a avente rapporto di trasmissione τ . Il manovellismo a croce trasmette il moto ad una coppia di dischi coassiali tramite un elemento elastico di rigidezza k. Sul disco di raggio maggiore agisce uno smorzatore viscoso di costante c. Una slitta di massa m, scorrevole in direzione verticale, riceve il moto per attrito dal disco di raggio R (si ipotizzi assenza di slittamento fra il disco e la slitta). La slitta `e collegata ad un’asta di lunghezza 2a incernierata nel punto medio; una molla di rigidezza αk `e fissata all’estremo destro dell’asta. Si ipotizzi che i supporti della slitta abbiano attrito trascurabile e che l’asta compia piccole oscillazioni. Domande 1. scrivere l’equazione di moto del sistema vibrante; 2. calcolare il valore della costante α in modo che la frequenza propria non smorzata del sistema risulti uguale a 3 Hz; 3. determinare la costante c dello smorzatore viscoso in modo che il sistema sia in condizioni di smorzamento critico; 4. nell’ipotesi che il motore sia fermo, studiare le vibrazioni libere del sistema quando la slitta viene spostata di 35 mm verso l’alto e successivamente rilasciata (si consideri pertanto nulla la velocit`a iniziale); 5. rappresentare in forma grafica l’andamento nel tempo dello spostamento della slitta durante la vibrazione libera; 6. calcolare la velocit` a massima (in valore assoluto) della slitta durante la fase di moto libero; 7. supponendo che il motore venga azionato a velocit`a angolare costante, determinare ampiezza e fase della legge di moto della slitta in condizioni di regime; 8. calcolare l’aumento percentuale dell’ampiezza di vibrazione a regime quando lo smorzatore viene scollegato.

Dati • • • • • • • • • •

Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m = 3 kg Momento d’inerzia della coppia di dischi coassiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.015 kg m2 Momento d’inerzia dell’asta oscillante rispetto al perno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jasta = 0.04 kg m2 Rigidezza della molla collegata al manovellismo a croce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 1200 N/m Semi-lunghezza dell’asta oscillante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 200 mm Raggio del disco maggiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .R = 150 mm Raggio del disco minore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 75 mm Lunghezza della manovella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y = 80 mm Rapporto di trasmissione del riduttore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . τ = 1/20 Velocit` a angolare del motore elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n = 1440 giri/min

Parte II

Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a

78

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.1

- Cod. VIB-025

Determinare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare del sistema vibrante riportato in Figura 1, nell’ipotesi di piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio.

O2

O1

θ2

θ1

l1

k

G1

l2

G2 m2 B

m1

A

Figura 1

Dati • • • • •

Massa dell’asta O1 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1 = 2m = 14 kg Massa dell’asta O2 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m2 = m = 7 kg Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 1500 N/m Lunghezza dell’asta O1 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l1 = 2l = 1.8 m Lunghezza dell’asta O1 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .l2 = l = 0.9 m

Soluzione Il problema pu` o essere facilmente risolto mediante le equazioni di Lagrange:    d ∂T ∂T ∂V   − + =0   ˙  dt ∂ ϑ1 ∂ϑ1 ∂ϑ1     d ∂T ∂T ∂V   − + =0  ˙ dt ∂ ϑ2 ∂ϑ2 ∂ϑ2

(1)

L’energia cinetica del sistema risulta: T =

1 (J1 ϑ˙ 21 + J2 ϑ˙ 22 ) 2

(2)

dove J1 e J2 indicano rispettivamente i momenti d’inerzia delle due aste rispetto ai centri di rotazione O1 ed O2 ; trattandosi di aste omogenee si ha: J1 =

m1 l12 2m · (2l)2 8 = = ml2 3 3 3

m2 l22 ml2 J2 = = 3 3

(3)

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

79

L’energia potenziale `e costituita da due termini legati al peso proprio delle aste e da un termine dipendente dalla rigidezza della molla di collegamento; assumendo come riferimento per l’energia potenziale gravitazionale la retta orizzontale passante per le cerniere O1 ed O2 possiamo scrivere:  2 l1 l2 1 l1 V = −m1 g cos ϑ1 − m2 g cos ϑ2 + k l2 sin ϑ2 − sin ϑ1 2 2 2 2   1 1 = −mgl 2 cos ϑ1 + cos ϑ2 + kl2 (sin ϑ2 − sin ϑ1 )2 2 2

(4)

Nell’ipotesi di piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio (aste verticali), `e possibile approssimare le funzioni seno e coseno con i rispettivi sviluppi in serie arrestati al 2◦ ordine; si ha pertanto: sin ϑ ∼ =ϑ

cos ϑ ∼ =1−

ϑ2 2

(5)

Utilizzando le espressioni approssimate (5) l’energia potenziale assume la forma seguente:   1 2 1 2 V = mgl ϑ1 + ϑ2 + kl2 (ϑ2 − ϑ1 )2 + cost. 4 2

(6)

A questo punto `e possibile calcolare i vari termini che compaiono nelle equazioni di Lagrange:   ∂T d ∂T ∂V 8 =0 = (kl2 + 2mgl)ϑ1 − kl2 ϑ2 = ml2 ϑ¨1 ˙ dt ∂ ϑ1 3 ∂ϑ1 ∂ϑ1 (7) d dt



∂T ∂ ϑ˙ 2



ml2 ¨ ϑ2 = 3

∂T =0 ∂ϑ2

∂V 1 = mgl ϑ2 + kl2 (ϑ2 − ϑ1 ) ∂ϑ2 2

Sostituendo le relazioni sopra riportate nel sistema (1) si ottiene:  8 2¨  ml ϑ1 + (kl2 + 2mgl)ϑ1 − kl2 ϑ2 = 0    3    ml2 ¨ 1    ϑ2 − kl2 ϑ1 + kl2 + mgl ϑ2 = 0 3 2

(8)

In forma matriciale possiamo scrivere5 : ¨ + [K]{ϑ} = 0 [J]{ϑ} dove:

8 2  3 ml [J] =  0 

0 ml2 3

  

" [K] =

kl2 + 2mgl −kl2

−kl2 1 kl2 + mgl 2

(9) #

 {ϑ} =

ϑ1 ϑ2

 (10)

Il calcolo delle pulsazioni proprie si effettua ponendo uguale a zero il determinante della matrice [∆] = [K] − ω 2 [J]: 8 −kl2 (kl2 + 2mgl) − ω 2 ml2 3   2 =0 |[∆]| = |[K] − ω 2 [J]| = (11) 1 2 2 2 ml −kl kl + mgl − ω 2 3 Dividendo per l tutti gli elementi della matrice [∆] e sviluppando il determinante, si ricava la seguente equazione caratteristica:   8 22 4 5 m l ω − (3kl2 m + 2m2 gl)ω 2 + klmg + m2 g 2 = 0 (12) 9 2 Con i dati del problema si ha: 35.3 ω 4 − 26380.2 ω 2 + 236476.8 = 0

(13)

5 Il simbolo 0 indica il vettore nullo, ovvero un vettore colonna i cui elementi sono tutti nulli; ovviamente la dimensione del vettore coincide con il numero dei gradi di libert` a del sistema.

80

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Le pulsazioni proprie risultano pertanto: ω1 = 3.012 rad/s

ω2 = 27.178 rad/s

Il calcolo dei modi principali di vibrare si effettua considerando il sistema lineare algebrico:     2 2 28  ml Θ1 − kl2 Θ2 = 0 kl + 2mgl − ω    3

(14)

(15)

    1 ml2   Θ2 = 0  −kl2 Θ1 + kl2 + mgl − ω 2 2 3 in cui i simboli Θ1 e Θ2 indicano le ampiezze di vibrazione di ciascuna asta; da una qualsiasi delle due equazioni `e possibile ricavare il rapporto fra le ampiezze di oscillazione. Utilizzando, ad esempio, la prima equazione si ricava:   kl Θ1 = = 1.011 8 Θ2 ω=ω1 kl + 2mg − ω12 ml 3   (16) kl Θ1 = = −0.124 8 Θ2 ω=ω2 kl + 2mg − ω22 ml 3 I modi principali di vibrare risultano pertanto espressi dai seguenti vettori modali: • Primo modo (ω = ω1 = 3.012 rad/s):     Θ1 1.011 Φ1 = = 1 Θ2 ω=ω

(17)

1

• Secondo modo (ω = ω2 = 27.178 rad/s):  Φ2 =

Θ1 Θ2



 = ω=ω2

−0.124 1

 (18)

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.2

81

- Cod. VIB-026

Nel sistema in Figura 1 le due aste rigide ed uniformi hanno uguale lunghezza e differenti masse. Scrivere le equazioni di moto del sistema e determinarne le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare. l/2

l/4

O1

l/4

G1 m1

m2

k1

G2

O2

k2

l/4

l/4

l/4

l/4

Figura 1

Dati • Masse delle aste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1 = 1 kg m2 = 5 kg • Rigidezze delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 1600 N/m k2 = 2000 N/m Nota. Il momento d’inerzia baricentrico di un’asta omogenea di massa m e lunghezza l risulta pari a JG = ml2 /12.

Soluzione Il problema si pu` o risolvere agevolmente mediante le equazioni di Lagrange. Indichiamo con ϑ1 e ϑ2 gli spostamenti angolari delle due aste, misurati a partire dalla posizione di equilibrio del sistema (vedi Figura 2). O1

θ1

G1 k1

G2 θ2

O2

k2

Figura 2 L’energia cinetica risulta: T =

1 (J1 ϑ˙21 + J2 ϑ˙22 ) 2

(1)

dove J1 e J2 indicano i momenti d’inerzia delle due aste calcolati rispetto ai centri di rotazione O1 e O2 ; poich´e si tratta di aste omogenee di uguale lunghezza e di massa differente si ha:  2 l 1 m1 l2 + m1 = m1 l 2 12 2 3  2 7 m2 l2 l J2 = + m2 = m2 l2 12 4 48 J1 =

(2)

82

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

L’energia potenziale, nell’ipotesi di piccole vibrazioni nell’intorno della posizione di equilibrio, si pu`o scrivere nella forma sotto riportata: 1 V = k1 2



3 3 lϑ1 − lϑ2 4 4

2

1 + k2 2



l ϑ2 2

2 =

9 1 k1 l2 (ϑ1 − ϑ2 )2 + k2 l2 ϑ22 32 8

(3)

Le equazioni di Lagrange per il sistema in esame sono le seguenti:      d ∂T − ∂T + ∂V = 0    dt ∂ ϑ˙ 1 ∂ϑ1 ∂ϑ1

(4)

    d ∂T ∂T ∂V   − + =0  dt ∂ ϑ˙ 2 ∂ϑ2 ∂ϑ2 in cui: d dt



∂T ∂ ϑ˙ 1



1 = J1 ϑ¨1 = m1 l2 ϑ¨1 3

∂T =0 ∂ϑ1

∂V 9 = k1 l2 (ϑ1 − ϑ2 ) ∂ϑ1 16

d dt



∂T ∂ ϑ˙ 2



7 = J2 ϑ¨2 = m2 l2 ϑ¨2 48

∂T =0 ∂ϑ2

∂V 9 = − k 1 l 2 ϑ1 + ∂ϑ2 16

(5) 

 1 2 9 2 k2 l + k1 l ϑ2 4 16

Sostituendo tali espressioni nel sistema di equazioni (4) e semplificando rispetto ad l2 , si ottengono le equazioni di moto sotto riportate:  9 9 1   m1 ϑ¨1 + k1 ϑ1 − k1 ϑ2 = 0   3 16 16 (6)    7 9 1 9   ¨  m2 ϑ2 − k1 ϑ1 + k2 + k1 ϑ2 = 0 48 16 4 16 Come si pu` o notare, tali equazioni risultano indipendenti dalla lunghezza delle aste. Passando alla notazione matriciale si ha: ¨ + [K]{ϑ} = 0 [M ]{ϑ} dove: 

1  3 m1 [M ] =  0





 

 [K] =  

0 7 m2 48

9 k1 16 9 − k1 16

−

(7) 9 k1 16

1 9 k2 + k1 4 16

   

 {ϑ} =

ϑ1 ϑ2

 (8)

Le pulsazioni proprie del sistema si calcolano uguagliando a zero il determinante della matrice [∆] = [K]−ω 2 [M ]: 9 1 9 k1 − ω 2 m 1 − k1 16 3 16 2 (9) |[∆]| = |[K] − ω [M ]| = =0   1 9 7 9 2 k2 + k1 − ω m2 − k1 16 4 16 48 L’equazione caratteristica `e la seguente: Aω 4 + Bω 2 + C = 0

(10)

avendo posto: 7 m1 m2 = 0.243 kg2 144   21 1 3 B=− k1 m2 + k2 m1 + k1 m1 = −1122.9 kg2 s−2 256 12 16 A=

C=

9 k1 k2 = 450000 kg2 s−4 64

(11)

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

83

Risolvendo l’equazione caratteristica si ottengono, per le pulsazioni proprie, i valori: ω1 = 21.05 rad/s

ω2 = 64.63 rad/s

I modi principali di vibrare si calcolano utilizzando una delle due equazioni del sistema:    9 9  21  k − ω m Θ1 − k1 Θ2 = 0  1 1   16 3 16

(12)

(13)

    9 1 9  2 7  k2 + k1 − ω m2 = 0  − k 1 Θ1 + 16 4 16 48 nelle incognite Θ1 e Θ2 (ampiezze di oscillazione). Utilizzando ad esempio la prima equazione, si ottiene: 



Θ1 Θ2



Θ1 Θ2



= ω=ω1

= ω=ω2

9 k1 16 9 1 k1 − ω12 m1 16 3 9 k1 16 9 1 k1 − ω22 m1 16 3

= 1.196 (14) = −1.828

I modi principali di vibrare risultano pertanto espressi dai seguenti vettori modali: • Primo modo (ω = ω1 = 21.05 rad/s):     1.196 Θ1 = Φ1 = 1 Θ2 ω=ω

(15)

1

• Secondo modo (ω = ω2 = 64.63 rad/s):  Φ2 =

Θ1 Θ2



 = ω=ω2

−1.828 1

 (16)

84

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.3

- Cod. VIB-027

Il sistema in Figura 1 `e costituito da due pulegge collegate da una cinghia di cui si evidenzia la costante elastica k; alla puleggia di diametro maggiore `e collegato un pendolo costituito da un’asta di massa trascurabile e da una massa m concentrata all’estremit` a. Nell’ipotesi che la cinghia non slitti sulle pulegge, si richiede di: 1. determinare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare del sistema; 2. calcolare l’ampiezza delle oscillazioni dei due dischi in condizioni di regime, quando al disco (1) viene applicata una coppia Cm variabile nel tempo secondo la legge Cm = C0 sin Ωt. Nota. Si assuma l’ipotesi di piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio (pendolo verticale).

k Cm(t)

r O1 1

O2

J1

R J2

k

2

Figura 1

Dati • • • • • • •

Momento d’inerzia delle due pulegge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 1 kg m2 J2 = 3 kg m2 Raggi delle due pulegge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 0.4 m R = 0.8 m Massa del pendolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 5 kg Lunghezza del pendolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 1.5 m Rigidezza dei due rami della cinghia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 2000 N/m Ampiezza della coppia applicata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C0 = 50 Nm Pulsazione della coppia applicata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 20 rad/s

Soluzione Calcolo delle pulsazioni proprie e dei modi principali di vibrare Per ricavare le pulsazioni proprie del sistema occorre scrivere le equazioni di moto relative alle vibrazioni libere: quindi, in questa prima fase dello studio non si considerer`a l’effetto della forzante esterna. Se si adotta il metodo degli equilibri dinamici, occorre in primo luogo evidenziare le forze e le coppie che agiscono sugli elementi del sistema durante il moto (vedi Figura 2). Le equazioni di equilibrio dinamico alla rotazione attorno ai perni sono le seguenti:   J1 ϑ¨1 + kr(rϑ1 − Rϑ2 ) − kr(Rϑ2 − rϑ1 ) = 0 (1)  J2 ϑ¨2 + kR(Rϑ2 − rϑ1 ) − kR(rϑ1 − Rϑ2 ) + ml2 ϑ¨2 + mgl sin ϑ2 = 0

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

85

k (r θ1 - R θ2 ) k (r θ1- R θ2 ) .. J2θ 2

.. J1θ1

θ1 k(R θ 2 - r θ 1 )

θ2 k(R θ 2 - r θ 1 )

.. ml θ 2

mg

. ml θ 22

Figura 2 Ritenendo valida l’ipotesi di piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio (sin ϑ ∼ = ϑ) e semplificando opportunamente, si ottiene:   J1 ϑ¨1 + 2kr2 ϑ1 − 2krR ϑ2 = 0 (2)  2 ¨ 2 (J2 + ml )ϑ2 − 2krR ϑ1 + (2kR + mgl)ϑ2 = 0 Utilizzando ora le seguenti definizioni:   J1 0 [J] = 0 J2 + ml2

 [K] =

2kr2 −2krR

−2krR 2kR2 + mgl



 {ϑ} =

ϑ1 ϑ2

 (3)

il sistema delle equazioni di moto pu` o essere riscritto nella forma matriciale: ¨ + [K]{ϑ} = 0 [J]{ϑ}

(4)

Osservando le matrici [J] e [K] si osserva che il sistema presenta accoppiamento elastico (matrice [K] non diagonale), mentre risulta disaccoppiato dal punto di vista inerziale (matrice [J] diagonale). Le pulsazioni proprie si calcolano ponendo uguale a zero il determinante della matrice [∆] = [K] − ω 2 [J]: 2kr2 − ω 2 J1 −2krR 2 |[∆]| = |[K] − ω [J]| = (5) 2 2 2 =0 −2krR (2kR + mgl) − ω (J2 + ml ) L’equazione caratteristica che si ottiene sviluppando il determinante `e la seguente: Aω 4 + Bω 2 + C = 0

(6)

avendo posto: A = J1 (J2 + ml2 ) = 14.25 kg2 m4 B = −2kr2 (J2 + ml2 ) − J1 (2kR2 + mgl) = −11753.575 kg2 m4 s−2 C = 2kr2 mgl = 47088 kg2 m4 s−4

(7)

86

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Con i dati assegnati dal problema si ottengono, per le pulsazioni proprie, i valori sotto riportati: ω1 = 2.006 rad/s

ω2 = 28.649 rad/s

(8)

Calcoliamo ora i modi principali di vibrare, considerando il sistema lineare algebrico omogeneo avente come matrice dei coefficienti la matrice [∆]; le incognite T heta1 e T heta2 di tale sistema rappresentano le ampiezze di vibrazione delle due pulegge.   (2kr2 − ω 2 J1 )Θ1 − 2krR Θ2 = 0 (9)  −2krR Θ1 + [(2kR2 + mgl) − ω 2 (J2 + ml2 )]Θ2 = 0 Avendo posto uguale a zero il determinante della matrice dei coefficienti, le due equazioni risultano equivalenti; pertanto possiamo ricavare il rapporto fra le ampiezze da una qualsiasi di esse. Utilizzando, ad esempio, la prima equazione si ha:   2krR Θ1 = = 2.013 Θ2 ω=ω1 2kr2 − ω12 J1 (10)   Θ1 2krR = = −7.080 Θ2 ω=ω2 2kr2 − ω22 J1 I modi principali di vibrare risultano pertanto espressi dai seguenti vettori modali: • Primo modo (ω = ω1 = 2.006 rad/s):     Θ1 2.013 Φ1 = = 1 Θ2 ω=ω

(11)

1

• Secondo modo (ω = ω2 = 28.649 rad/s):  Φ2 =

Θ1 Θ2



 = ω=ω2

−7.080 1

 (12)

Moto forzato Inserendo nelle equazioni di moto il contributo della forzante esterna si ottiene:   J1 ϑ¨1 + 2kr2 ϑ1 − 2krR ϑ2 = Cm (t) 

(13)

(J2 + ml2 )ϑ¨2 − 2krR ϑ1 + (2kR2 + mgl)ϑ2 = 0

Poich´e Cm = C0 sin Ωt, ed il sistema `e lineare, la soluzione a regime sar`a del tipo:   ϑ1 (t) = Θ1 sin Ωt 

(14)

ϑ2 (t) = Θ2 sin Ωt

dove ora i simboli Θ1 e Θ2 indicano ora l’ampiezza delle vibrazioni nel moto forzato in condizioni di regime. Sostituendo tale soluzione nel sistema di equazioni e semplificando i termini armonici si ottiene:   (2kr2 − Ω2 J1 )Θ1 − 2krR Θ2 = C0 (15)  −2krR Θ1 + [(2kR2 + mgl) − Ω2 (J2 + ml2 )]Θ2 = 0 Si tratta di un sistema lineare algebrico non omogeneo nelle incognite Θ1 e Θ2 . Con i dati del problema si ha:   240 Θ1 − 1280 Θ2 = 50 

−1280 Θ1 − 3066.425 Θ2 = 0

(16)

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008 Risolvendo il sistema si ricava:

  Θ1 = 0.0646 rad = 3.7◦ 

87

(17)

Θ2 = −0.027 rad = −1.54◦

Come si pu` o osservare, le vibrazioni a regime avvengono in opposizione di fase, poich´e le ampiezze hanno segno discorde; pertanto:   ϑ1 (t) = 0.0646 sin 20 t (18)  ϑ2 (t) = −0.027 sin 20 t = 0.027 sin(20 t − π)

88

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.4

- Cod. VIB-028

Per il sistema vibrante a due gradi di libert` a rappresentato in Figura 1 si chiede di calcolare: 1. le pulsazioni proprie; 2. i modi principali di vibrare; 3. l’ampiezza delle vibrazioni a regime per effetto dello spostamento impresso al punto A. k2

Y

Ω

A

k1

R B

G m , JG

M k3

Figura 1

Dati • • • • • • •

Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 4 kg Massa del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 1 kg Momento d’inerzia baricentrico del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JG = 0.02 kgm2 Raggio del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 200 mm Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 100 kN/m k2 = 10 kN/m k3 = 20 kN/m Lunghezza della manovella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y = 10 mm Velocit` a angolare della manovella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 100 rad/s

Soluzione Risolviamo il problema con il metodo degli equilibri dinamici. Per descrivere il moto del sistema utilizziamo come coordinate libere la traslazione della slitta x e la rotazione della puleggia ϑ; il manovellismo a croce imprime al punto A uno spostamento armonico esprimibile mediante l’equazione y(t) = Y sin Ωt (vedi Figura 2). k2 y(t) Ωt

Y

A

k1

x B

θ

G R

Figura 2

m , JG

k3

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

89

Per lo studio delle vibrazioni libere occorre annullare gli effetti delle forzanti esterne; pertanto porremo y(t) = 0. In Figura 3 sono evidenziate le forze e le coppie agenti sul sistema in condizioni di moto libero: k 2(x + R θ ) .. JGθ x

k1x

.. (M+m) x

θ G R k 3(x - R θ )

Figura 3 L’equazione di equilibrio alla traslazione per il sistema slitta-puleggia `e la seguente: (M + m)¨ x + k1 x + k2 (x + Rϑ) + k3 (x − Rϑ) = 0

(1)

Per l’equilibrio alla rotazione della puleggia attorno al punto G si ha: JG ϑ¨ + k2 R(x + Rϑ) − k3 R(x − Rϑ) = 0

(2)

Riordinando i vari termini si perviene al sistema di equazioni differenziali:  x + (k1 + k2 + k3 )x + (k2 − k3 )Rϑ = 0  (M + m)¨ 

(3)

JG ϑ¨ + (k2 − k3 )Rx + (k2 + k3 )R2 ϑ = 0

Utilizzando ora le seguenti definizioni:   M +m 0 [M ] = 0 JG

 [K] =

(k1 + k2 + k3 ) (k2 − k3 )R (k2 − k3 )R (k2 + k3 )R2



 {x} =

x ϑ

 (4)

il sistema delle equazioni di moto pu` o essere riscritto nella forma matriciale sotto riportata: [M ]{¨ x} + [K]{x} = 0

(5)

A questo punto possiamo calcolare le pulsazioni proprie del sistema, annullando il determinante della matrice [∆] = [K] − ω 2 [M ]: (k1 + k2 + k3 ) − ω 2 (M + m) (k2 − k3 )R 2 =0 |[∆]| = |[K] − ω [M ]| = (6) (k2 − k3 )R (k2 + k3 )R2 − ω 2 JG Con semplici passaggi algebrici si perviene all’equazione caratteristica: Aω 4 + Bω 2 + C = 0 in cui:

(7)

A = (M + m)JG = 0.1 kg2 m2 B = −[(M + m)(k2 + k3 )R2 + (k1 + k2 + k3 )JG ] = −8600 kg2 m2 s−2

(8)

C = (k1 k2 + k1 k3 + 4 k2 k3 )R2 = 1.52 × 108 kg2 m2 s−4 Risolvendo l’equazione caratteristica si ottengono, per le pulsazioni proprie, i valori sotto riportati: ω1 = 157.7 rad/s

ω2 = 247.3 rad/s

(9)

90

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Calcoliamo ora i modi principali di vibrare considerando il sistema lineare omogeneo, avente come incognite le ampiezze di oscillazione X e Θ e come matrice dei coefficienti la matrice [∆].   [(k1 + k2 + k3 ) − ω 2 (M + m)] X + (k2 − k3 )R Θ = 0 (10)  (k2 − k3 )R X + [(k2 + k3 )R2 − ω 2 JG ] Θ = 0 Da una qualsiasi delle due equazioni `e possibile ricavare il rapporto fra le ampiezze di oscillazione; ad esempio dalla seconda si ricava:   X (k2 + k3 )R2 − ω12 JG = = 0.351 m/rad Θ ω=ω1 (k3 − k2 )R (11)   (k2 + k3 )R2 − ω22 JG X = = −0.011 m/rad Θ ω=ω2 (k3 − k2 )R I modi principali di vibrare risultano pertanto espressi dai seguenti vettori modali: • Primo modo (ω = ω1 = 157.7 rad/s):     X 0.351 Φ1 = = Θ ω=ω 1

(12)

1

• Secondo modo (ω = ω2 = 247.3 rad/s):  Φ2 =

X Θ



 = ω=ω2

−0.011 1

 (13)

Moto forzato Per il calcolo delle ampiezze di oscillazione in condizioni di regime sinusoidale permanente occorre considerare nelle equazioni di moto il contributo della forzante armonica; a tale scopo basta osservare che, a causa dello spostamento del punto A, la forza esercitata dalla molla di rigidezza k1 vale k1 (x − y); il sistema delle equazioni di moto diviene pertanto:  x + (k1 + k2 + k3 )x + (k2 − k3 )Rϑ = k1 Y sin Ωt  (M + m)¨ (14)  JG ϑ¨ + (k2 − k3 )Rx + (k2 + k3 )R2 ϑ = 0 La soluzione a regime sar` a:   x(t) = X sin Ωt 

(15)

ϑ(t) = Θ sin Ωt

in cui i simboli X e Θ indicano ora le ampiezze di vibrazione in condizioni di regime. Sostituendo le espressioni di x(t) e ϑ(t) con le loro derivate seconde nelle equazioni di moto e semplificando i termini armonici si ricava:   [(k1 + k2 + k3 ) − Ω2 (M + m)] X + (k2 − k3 )R Θ = k1 Y (16)  (k2 − k3 )R X + [(k2 + k3 )R2 − Ω2 JG ] Θ = 0 Con i dati del problema si ottiene:   80 X − 2 Θ = 1  da cui:

  X = 0.0132 m = 13.2 mm 

(17)

−2 X + Θ = 0

Θ = 0.0263 rad = 1.51◦

(18)

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.5

91

- Cod. VIB-029

Il meccanismo rappresentato in Figura 1 `e collocato in un piano orizzontale ed `e costituito dai seguenti elementi: • una puleggia di raggio R e momento d’inerzia J1 rotante attorno al punto O1 ; • una puleggia di raggio 2R e momento d’inerzia J2 rotante attorno al punto O2 ; • un’asta AB di massa m, che costituisce la biella del parallelogramma articolato O2 ABO3 ; • un’asta O3 C, di massa trascurabile e lunghezza l = 3R, alla cui estremit`a superiore `e fissata una massa puntiforme M ; • una cinghia di trasmissione i cui rami presentano una rigidezza k assegnata; • una molla torsionale, avente rigidezza kt , che esercita un richiamo elastico sull’asta O3 C. Supponendo che le manovelle O2 A e O3 B abbiano lunghezza pari ad R, si chiede di: 1. scrivere le equazioni di moto del sistema in assenza di forzanti esterne; 2. calcolare le pulsazioni proprie e i rapporti fra le ampiezze di oscillazione per ciascuno dei modi principali di vibrare; 3. determinare le ampiezze di oscillazione in condizioni di regime quando alla puleggia di raggio minore viene applicata una coppia C(t) variabile del tempo secondo la legge C(t) = C0 sin Ωt.

M C k C(t)

R O1

R

m

A O2

J1

kt

2R

B O3

R

3R

J2

k Figura 1

Dati • • • • • • • • •

Raggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 0.1 m Momento d’inerzia della puleggia di raggio minore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 5 × 10−3 kgm2 Momento d’inerzia della puleggia di raggio maggiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J2 = 6 × 10−2 kgm2 Massa della biella AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 1 kg Massa concentrata nel punto C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 2 kg Rigidezza dei due rami della cinghia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 3000 N/m Rigidezza della molla torsionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kt = 50 Nm Ampiezza della coppia applicata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C0 = 5 Nm Pulsazione della coppia applicata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 10 rad/s

Soluzione Il sistema `e collocato in un piano orizzontale, quindi non intervengono le forze peso. Alla puleggia di diametro maggiore `e collegata, tramite il perno A, una biella AB che trasmette il movimento all’asta O3 C; poich´e il quadrilatero O2 ABO3 `e un parallelogramma articolato, la biella AB si muove di moto traslatorio curvilineo

92

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

con velocit` a pari a quella del punto A, mentre l’asta O3 C si muove esattamente come la puleggia di diametro maggiore; da tali considerazioni si deduce che, per descrivere il moto del sistema, bastano due sole coordinate angolari, che indichiamo con ϑ1 e ϑ2 (vedi Figura 2).

M C k m

A θ1

B θ2

θ2 kt

J1 J2

k

Figura 2 Sulla base delle considerazioni cinematiche sopra riportate possiamo scrivere v = Rϑ˙ 2

vC = 3Rϑ˙ 2

(1)

dove v e vC indicano rispettivamente la velocit`a di traslazione della biella e la velocit`a del punto C. Pertanto l’energia cinetica del sistema risulta: 1 2 (J1 ϑ˙ 21 + J2 ϑ˙ 22 + mv 2 + M vC ) 2 h i 1 = J1 ϑ˙ 21 + (J2 + mR2 + 9M R2 )ϑ˙ 22 2

(2)

1 1 V = 2 · k(2Rϑ2 − Rϑ1 )2 + kt ϑ22 2 2 1 2 2 2 = kR (2ϑ2 − ϑ1 ) + kt ϑ2 2

(3)

T =

L’energia potenziale vale:

Nel caso di vibrazioni libere le equazioni di Lagrange assumono la forma seguente:    d ∂T ∂T ∂V   − + =0    dt ∂ ϑ˙ 1 ∂ϑ1 ∂ϑ1

(4)

    d ∂T ∂T ∂V   − + =0  dt ∂ ϑ˙ 2 ∂ϑ2 ∂ϑ2 in cui: d dt



∂T ∂ ϑ˙ 1



d dt



∂T ∂ ϑ˙ 2



= J1 ϑ¨1

∂T =0 ∂ϑ1

∂V = −2kR2 (2ϑ2 − ϑ1 ) ∂ϑ1

= (J2 + mR2 + 9M R2 )ϑ¨2

∂T =0 ∂ϑ2

∂V = 4kR2 (2ϑ2 − ϑ1 ) + kt ϑ2 ∂ϑ2

(5)

Sostituendo tali espressioni nelle equazioni () e riordinando i termini si ha:   J1 ϑ¨1 + 2kR2 ϑ1 − 4kR2 ϑ2 = 0 

(J2 + mR2 + 9M R2 )ϑ¨2 − 4kR2 ϑ1 + (8kR2 + kt )ϑ2 = 0

(6)

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

93

Passando alla notazione matriciale si ha: ¨ + [K]{ϑ} = 0 [J]{ϑ} dove

 [J] =

J1 0

0 J2 + (m + 9M )R2



 [K] =

2kR2 −4kR2

(7) −4kR2 8kR2 + kt



 {ϑ} =

ϑ1 ϑ2

 (8)

Calcoliamo le pulsazioni proprie del sistema uguagliando a zero il determinante della matrice [∆] = [K] − ω 2 [J]: 2kR2 − ω 2 J1 −4kR2 2 (9) |[∆]| = |[K] − ω [J]| = 2 2 2 2 =0 −4kR (8kR + kt ) − ω [J2 + (m + 9M )R ] Per semplicit` a di scrittura poniamo: keq = 8kR2 + kt = 290 Nm (10) Jeq = J2 + (m + 9M )R2 = 0.25 kgm2 Sviluppando il determinante si ottiene l’equazione caratteristica, le cui soluzioni, come `e noto, forniscono le pulsazioni proprie del sistema: J1 Jeq ω 4 − (J1 keq + 2kR2 Jeq )ω 2 + (2kR2 keq − 16k 2 R4 ) = 0 Posto

(11)

A = J1 Jeq = 0.00125 kg2 m4 B = −(J1 keq + 2kR2 Jeq ) = −16.45 kg2 m4 s−2

(12)

C = 2kR2 keq − 16k 2 R4 = 3000 kg2 m4 s−4 le pulsazioni proprie risultano: ω1 = 13.6 rad/s

ω2 = 113.9 rad/s

(13)

Per il calcolo dei modi principali di vibrare, consideriamo il sistema lineare algebrico omogeneo nelle incognite Θ1 e Θ2 (ampiezze di vibrazione), avente come matrice dei coefficienti la matrice [∆]:   (2kR2 − ω 2 J1 )Θ1 − 4kR2 Θ2 = 0 (14)  −4kR2 Θ1 + (keq − ω 2 Jeq )Θ2 = 0 Da una qualsiasi delle due equazioni `e possibile ricavare il rapporto fra le ampiezze di oscillazione; utilizzando, ad esempio, la prima si ricava:   Θ1 4kR2 = = 2.031 Θ2 ω=ω1 2kR2 − ω12 J1 (15)   Θ1 4kR2 = = −24.615 Θ2 ω=ω2 2kR2 − ω22 J1 I modi principali di vibrare risultano pertanto espressi dai seguenti vettori modali: • Primo modo (ω = ω1 = 13.6 rad/s):     Θ1 2.031 Φ1 = = Θ2 ω=ω 1

(16)

1

• Secondo modo (ω = ω2 = 113.9 rad/s):  Φ2 =

ϑ ϑ



 = ω=ω2

−24.615 1

 (17)

94

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Moto forzato Per quanto riguarda il moto forzato, si possono riscrivere le equazioni di Lagrange nella forma seguente:    ∂T ∂V δL d ∂T   − + =    dt ∂ ϑ˙ 1 ∂ϑ1 ∂ϑ1 δϑ1     d ∂T ∂T ∂V δL   − + =  dt ∂ ϑ˙ 2 ∂ϑ2 ∂ϑ2 δϑ2

(18)

in cui δL indica il lavoro virtuale delle azioni (forze e coppie) che non ammettono potenziale; nel nostro caso l’unica azione di questo tipo `e la coppia C(t) applicata alla puleggia di diametro minore; si ha pertanto: δL = C(t) = C0 sin Ωt δϑ1

δL =0 δϑ2

Le equazioni relative al moto forzato sono quindi le seguenti:   J1 ϑ¨1 + 2kR2 ϑ1 − 4kR2 ϑ2 = C0 sin Ωt 

(19)

(20)

(J2 + mR2 + 9M R2 )ϑ¨2 − 4kR2 ϑ1 + (8kR2 + kt )ϑ2 = 0

La soluzione a regime per tale sistema si pu` o scrivere nella forma:   ϑ1 (t) = Θ1 sin Ωt 

(21)

ϑ2 (t) = Θ2 sin Ωt

in cui Θ1 e Θ2 indicano ora le ampiezze di vibrazione nel moto a regime. Sostituendo le espressioni di ϑ1 (t) e ϑ2 (t) con le loro derivate seconde nelle equazioni di moto e semplificando i termini armonici si ricava:   (2kR2 − Ω2 J1 )Θ1 − 4kR2 Θ2 = C0 (22)  −4kR2 Θ1 + (keq − Ω2 Jeq )Θ2 = 0 Con i dati del problema si ottiene:   59.5 Θ1 − 120 Θ2 = 5  Risolvendo il sistema lineare si ha:

  Θ1 = 0.969 rad = 55.5◦ 

(23)

−120 Θ1 + 265 Θ2 = 0

(24)

Θ2 = 0.439 rad = 25.1◦

La soluzione a regime risulta pertanto:   ϑ1 (t) = 0.969 sin 10 t 

ϑ2 (t) = 0.439 sin 10 t

(25)

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.6

95

- Cod. VIB-030

Determinare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare per il sistema vibrante riportato in Figura 1. Nota. Si osservi che il corpo rigido costituito dai due dischi coassiali `e sospeso (quindi non `e incernierato nel punto G).

k3

k1 m2 m1 k2

M , JG R

r G

Figura 1

Dati • Masse traslanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m1 = 2 kg

m2 = 3.6 kg

• Massa dei due dischi coassiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 25 kg • Momento d’inerzia baricentrico dei due dischi coassiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JG = 0.6 kgm2 • Rigidezze delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 900 N/m

k2 = 350 N/m

• Raggi dei dischi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 0.25 m

k3 = 500 N/m r = 0.15 m

Soluzione Per descrivere il moto del sistema utilizziamo le seguenti coordinate (misurate a partire dalla posizione di equilibrio statico): x1 : spostamento verticale della massa m1 ; x2 : spostamento verticale della massa m2 ; x3 : spostamento verticale del punto G (baricentro del corpo rigido); ϑ: rotazione del corpo rigido. Volendo utilizzare le equazioni di Lagrange per risolvere il problema, `e necessario calcolare l’energia cinetica e potenziale del sistema.

96

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

k3

k1

x2 m2

x1 m1

k2

M , JG R x3

B

ϑ

r G

A

Figura 2 Poich´e le masse m1 ed m2 si muovono di moto traslatorio, mentre il corpo rigido compie un moto rototraslatorio, l’energia cinetica assume la seguente espressione: 1 (m1 x˙ 21 + m2 x˙ 22 + M x˙ 23 + JG ϑ˙ 2 ) (1) 2 Misurando le coordinate a partire dalla posizione di equilibrio statico, i termini gravitazionali non compaiono nell’espressione dell’energia potenziale complessiva; sia ha pertanto: T =

1 [k1 x21 + k2 (xB − x2 )2 + k3 x22 ] 2 dove xB indica lo spostamento verticale del punto B, assunto positivo verso il basso. Per il sistema in esame valgono inoltre le seguenti relazioni cinematiche: V =

xB = x1 + (R + r)ϑ

x3 = x1 + Rϑ

(2)

(3)

Poich´e `e possibile esprimere x3 in funzione di x1 e ϑ, la coordinata x3 risulta ridondante; il sistema ha pertanto tre gradi di libert` a e le coordinate x1 , x2 e ϑ sono sufficienti a descriverne il movimento. L’energia cinetica e l’energia potenziale possono quindi essere riscritte nella forma seguente: i 1h ˙ 2 + JG ϑ˙ 2 T = m1 x˙ 21 + m2 x˙ 22 + M (x˙ 1 + Rϑ) (4) 2 1 V = k1 x21 + k2 [x1 + (R + r)ϑ − x2 ]2 + k3 x22 (5) 2 Scriviamo ora le equazioni di Lagrange per il sistema:    ∂T ∂V d ∂T   − + =0    dt ∂ x ˙ ∂x ∂x 1 1 1       d  ∂T  ∂T ∂V − + =0 (6)  dt ∂ x ˙ ∂x ∂x 2 2 2          d ∂T ∂T ∂V   − + =0  dt ∂ ϑ˙ ∂ϑ ∂ϑ

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008 I singoli termini valgono:   d ∂T = (m1 + M )¨ x1 + M Rϑ¨ dt ∂ x˙ 1 d dt



d dt



∂T ∂ x˙ 2 ∂T ∂ ϑ˙

∂T =0 ∂x1

∂V = (k1 + k2 )x1 + k2 (R + r)ϑ − k2 x2 ∂x1

= m2 x ¨2

∂T =0 ∂x2

∂V = −k2 x1 + (k2 + k3 )x2 − k2 (R + r)ϑ ∂x2

= M R¨ x1 + (JG + M R2 )ϑ¨

∂T =0 ∂ϑ

∂V = k2 (R + r)x1 + k2 (R + r)2 ϑ − k2 (R + r)x2 ∂ϑ





Sostituendo le espressioni precedenti nelle equazioni di Lagrange si ottiene:  x1 + M Rϑ¨ + (k1 + k2 )x1 − k2 x2 + k2 (R + r)ϑ = 0   (m1 + M )¨    m2 x ¨2 − k2 x1 + (k2 + k3 )x2 − k2 (R + r)ϑ = 0      M R¨ x1 + (JG + M R2 )ϑ¨ + k2 (R + r)x1 − k2 (R + r)x2 + k2 (R + r)2 ϑ = 0

97

(7)

(8)

In forma matriciale possiamo scrivere: [M ]{¨ x} + [K]{x} = 0

(9)

T

dove {x} = {x1 x2 ϑ} indica il vettore delle coordinate libere, mentre le matrici [M ] e [K] sono definite dalle espressioni seguenti:     27 0 6.25 (m1 + M ) 0 MR = 0  3.6 0 0 m2 0 (10) [M ] =  2 6.25 0 2.1625 MR 0 (JG + M R )     (k1 + k2 ) −k2 k2 (R + r) 1250 −350 140 −k2 (k2 + k3 ) −k2 (R + r)  =  −350 850 −140  [K] =  (11) k2 (R + r) −k2 (R + r) k2 (R + r)2 140 −140 56 Le pulsazioni proprie del sistema si ricavano uguagliando a zero il determinante della matrice [∆] = [K]−ω 2 [M ]: 1250 − 27 ω 2 −350 140 − 6.25 ω 2 =0 −350 850 − 3.6 ω 2 −140 (12) |[∆]| = |[K] − ω 2 [M ]| = 2 140 − 6.25 ω 2 −140 56 − 2.1625 ω Sviluppando il determinante si ottiene la seguente equazione caratteristica:

in cui:

Aω 6 + Bω 4 + Cω 2 + D = 0

(13)

A = −69.57 B = 25300.7 C = −2095190 D = 25200000

(14)

Le soluzioni dell’equazione caratteristica forniscono le pulsazioni proprie del sistema; nel nostro caso si ottengono i seguenti valori: ω1 = 3.801 rad/s ω2 = 10.05 rad/s ω3 = 15.755 rad/s (15) Il calcolo dei modi principali di vibrare si effettua considerando il sistema lineare algebrico omogeneo: [∆]{x} = 0 ovvero:

1250 − 27 ω 2  −350 140 − 6.25 ω 2 

−350 850 − 3.6 ω 2 −140

    140 − 6.25 ω 2  X1   0   −140 X2 0 =     2 56 − 2.1625 ω Θ 0

(16)

(17)

in cui i simboli X1 , X2 e Θ indicano le ampiezze di vibrazione relative a ciascun grado di libert`a; da tale sistema, ponendo ω = ωi (i = 1.2.3), `e possibile ricavare le ampiezze di oscillazione corrispondenti a ciascun modo principale di vibrare. Con i dati del problema si ottiene:

98

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

• Primo modo (ω = ω1 = 3.801 rad/s):      X1   0.0166  X2 0.1827 Φ1 = =     Θ 1 ω=ω

(18)

1

• Secondo modo (ω = ω2 = 10.05 rad/s):      X1   −0.3424  X2 0.0414 Φ2 = =     Θ 1 ω=ω

(19)

2

• Terzo modo (ω = ω3 = 15.755 rad/s):      X1   −0.1089  X2 −2.3365 Φ3 = =     Θ 1 ω=ω 3

(20)

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.7

99

- Cod. VIB-031

Il sistema vibrante rappresentato in Figura 1 `e collocato in un piano verticale ed `e costituito dai seguenti elementi: • un disco (1) di raggio r1 e momento d’inerzia baricentrico J1 ruotante attorno al punto fisso O1 ; • un disco (2) di raggio r2 , massa m2 e momento d’inerzia baricentrico J2 , che rotola senza strisciare sul piano d’appoggio; • un’asta O1 P, solidale con il disco (1), avente lunghezza pari ad l e massa trascurabile; • una massa puntiforme M collocata in corrispondenza del punto P; • un manovellismo a croce, la cui manovella O3 A ruota a velocit`a costante Ω; • una fune di collegamento fra gli elementi del sistema (di massa trascurabile); • tre molle di rigidezza k1 , k2 e k3 . Il sistema `e in equilibrio quando la manovella O3 A e l’asta O1 P si trovano in posizione verticale. Assumendo l’ipotesi di piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio, si chiede di: 1. scrivere le equazioni di moto del sistema; 2. determinare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare; 3. calcolare le ampiezze di oscillazione in condizioni di regime. k1 J1 O1

1

r1

2 k2

r2 O2

ϑ

l

m 2 J2

y

x k3

A

Ω

Y

O3

P M

Figura 1

Dati • • • • • • • • • •

Raggio del disco (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r1 = 0.2 m Raggio del disco (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .r2 = 0.15 m Momento d’inerzia baricentrico del disco (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 0.03 kgm2 Momento d’inerzia baricentrico del disco (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J2 = 0.018 kgm2 Massa del disco (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m2 = 1 kg Lunghezza dell’asta O1 P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 0.9 m Massa del punto P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 0.5 kg Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 3000 N/m k2 = 4000 N/m k3 = 6000 N/m Lunghezza della manovella O3 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y = 0.05 m Velocit` a angolare della manovella O3 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 60 rad/s

100

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Soluzione Risolviamo il problema con il metodo delle equazioni di Lagrange, assumendo come coordinate libere la rotazione ϑ del disco (1) e lo spostamento x del baricentro del disco (2); il moto della proiezione del punto A in direzione orizzontale `e descritto dalla coordinata y(t) = Y sin Ωt e viene imposto al sistema mediante il manovellismo a croce. Le equazioni di Lagrange risultano:    ∂T ∂V d ∂T   − + =0    dt ∂ ϑ˙ ∂ϑ ∂ϑ (1)     d ∂T ∂T ∂V   − + =0  dt ∂ x˙ ∂x ∂x L’energia cinetica e l’energia potenziale assumono la forma seguente:     1 J2 2 ˙2 T = (J1 + M l )ϑ + m2 + 2 x˙ 2 2 r2 V =

(2)

 1 k1 (r1 ϑ)2 + k2 (r1 ϑ − x)2 + k3 (x − y)2 − M gl cos ϑ 2

(3)

Il calcolo delle derivate parziali che compaiono nelle equazioni (1) fornisce i risultati sotto riportati:   ∂V ∂T d ∂T =0 = k1 r12 ϑ + k2 r1 (r1 ϑ − x) + M gl sin ϑ = (J1 + M l2 )ϑ¨ ˙ dt ∂ ϑ ∂ϑ ∂ϑ     d ∂T J2 ∂T ∂V = m2 + 2 x ¨ =0 = −k2 (r1 ϑ − x) + k3 (x − y) dt ∂ x˙ r2 ∂x ∂x

(4)

Sostituendo le espressioni (4) nelle equazioni (1) e assumendo l’ipotesi di piccole oscillazioni dell’asta O1 P nell’intorno della posizione di equilibrio (sin ϑ ∼ = ϑ), si perviene, dopo semplici passaggi, alle equazioni di moto del sistema:  (J + M l2 )ϑ¨ + [(k1 + k2 )r12 + M gl]ϑ − k2 r1 x = 0    1   (5) J2   ¨ − k2 r1 ϑ + (k2 + k3 )x = k3 y  m2 + 2 x r2 In forma matriciale possiamo scrivere: [M ]{¨ x} + [K]{x} = {F }

(6)

dove {x} = {ϑ x}T `e il vettore delle coordinate libere, {F } = {0 k3 y}T il vettore delle azioni forzanti, [M ] la matrice d’inerzia e [K] la matrice di rigidezza; queste ultime sono definite dalle espressioni seguenti:     (J1 + M l2 )  0  0.435 0 J2  = [M ] =  (7) 0 1.8 0 m2 + 2 r2  [K] =

[(k1 + k2 )r12 + M gl] −k2 r1 −k2 r1 (k2 + k3 )



 =

284.4 −800 −800 10000

 (8)

Per effettuare il calcolo delle pulsazioni proprie poniamo {F } = 0 (moto libero) ed uguagliamo a zero il determinante della matrice [∆] = [K] − ω 2 [M ]: 284.4 − 0.435 ω 2 −800 |[∆]| = |[K] − ω 2 [M ]| = (9) 2 =0 −800 10000 − 1.8 ω Sviluppando il determinante si ottiene la seguente equazione caratteristica: Aω 4 + Bω 2 + C = 0

(10)

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

101

in cui: A = 0.783 B = −4861.9

(11)

C = 2204145 Le pulsazioni proprie valgono: ω1 = 22.19 rad/s

ω2 = 75.61 rad/s

(12)

Per il calcolo dei modi principali di vibrare, consideriamo il sistema lineare algebrico omogeneo nelle incognite Θ ed X (ampiezze di vibrazione), avente come matrice dei coefficienti la matrice [∆]:    (k1 + k2 )r12 + M gl − ω 2 (J1 + M l2 ) Θ − k2 r1 X = 0       (13) J2   X=0  −k2 r1 Θ + (k2 + k3 ) − ω 2 m2 + 2 r2 Da una qualsiasi delle due equazioni `e possibile ricavare il rapporto fra le ampiezze di oscillazione; utilizzando, ad esempio, la seconda si ricava:   J2   k2 + k3 − ω12 m2 + 2 Θ r2 = = 11.392 rad/m X ω=ω1 k2 r1 (14)   J 2   k2 + k3 − ω22 m2 + 2 Θ r2 = = −0.363 rad/m X ω=ω2 k2 r1 Quindi: • Primo modo (ω = ω1 = 22.19 rad/s):  Φ1 =

Θ X



Θ X



 = ω=ω1

11.392 1



−0.363 1



(15)

• Secondo modo (ω = ω2 = 75.61 rad/s):  Φ2 =

 = ω=ω2

(16)

Moto forzato Per lo studio del moto forzato riscriviamo le equazioni di moto (5), mettendo in evidenza il termine armonico y(t) che eccita il sistema:  2 ¨ 2   (J1 + M l )ϑ + [(k1 + k2 )r1 + M gl]ϑ − k2 r1 x = 0    (17) J2   ¨ − k2 r1 ϑ + (k2 + k3 )x = k3 Y sin Ωt  m2 + 2 x r2 La soluzione a regime del sistema (17) si pu` o esprimere nella forma:   ϑ(t) = Θ sin Ωt 

x(t) = X sin Ωt

in cui i simboli Θ ed X indicano ora le ampiezze di vibrazione in condizioni di regime.

(18)

102

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Sostituendo le espressioni di ϑ(t) e x(t) con le loro derivate seconde nelle equazioni di moto (17) e semplificando i termini armonici si ricava:    (k1 + k2 )r12 + M gl − Ω2 (J1 + M l2 ) Θ − k2 r1 X = 0       (19) J2  2  X = k3 Y  −k2 r1 Θ + (k2 + k3 ) − Ω m2 + 2 r2 Con i dati del problema si ottiene:   −1281.6 Θ − 800 X = 0  da cui:

  Θ = 0.0466 rad = −2.67◦ 

(20)

−800 Θ + 3520 X = 300

X = 0.0746 m = 74.6 mm

(21)

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.8

103

- Cod. VIB-032

Il sistema rappresentato in Figura 1 risulta costituito dai seguenti elementi: • un’asta omogenea AB di massa m e lunghezza 2a; • un manovellismo a croce che imprime un movimento armonico y(t) = Y sin Ωt in direzione orizzontale al baricentro G dell’asta; • un rullo di massa M , raggio R e momento d’inerzia baricentrico J, che rotola senza strisciare su un piano orizzontale; • due molle di rigidezza k disposte come in figura. Supponendo che, per y = 0 e rullo fermo, l’asta AB sia in posizione verticale e le due molle siano scariche, si chiede di determinare: 1. le equazioni di moto del sistema nell’ipotesi che l’asta AB compia piccole oscillazioni nell’intorno della posizione verticale; 2. le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare; 3. l’ampiezza delle oscillazioni dell’asta AB e del rullo in condizioni di regime. k

A

y(t)

O

Y

Ω

P

a

m

G x(t)

a k

R

B M,J

ϑ

Figura 1 Nota. Il momento d’inerzia baricentrico di un’asta omogenea di massa m e lunghezza 2a vale: Jasta =

1 ma2 3

Dati • • • • • • • •

Massa dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 2 kg Semi lunghezza dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 0.45 m Massa del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 5 kg Raggio del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 0.15 m Momento d’inerzia baricentrico del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.06 kgm2 Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 30000 N/m Lunghezza della manovella OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y = 0.08 m Velocit` a angolare della manovella OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 90 rad/s

104

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Soluzione Il problema presenta due gradi di libert` a e pu` o quindi essere facilmente risolto mediante le equazioni di Lagrange; indicando con ϑ la rotazione del’asta attorno al punto G e con x lo spostamento del centro del rullo, si ottiene:    ∂T ∂V d ∂T   − + =0   ˙  dt ∂ ϑ ∂ϑ ∂ϑ (1)     ∂T ∂T ∂V d   − + =0  dt ∂ x˙ ∂x ∂x L’energia cinetica del sistema risulta:     1 a2 ˙ 2 1 J 2 T = m y˙ + ϑ + M + 2 x˙ 2 2 3 2 R

(2)

Per il calcolo dell’energia potenziale occorre valutare correttamente la deformazione delle due molle; con le convenzioni assunte e ritenendo valida l’ipotesi di piccole oscillazioni dell’asta AB nell’intorno della posizione verticale, la molla superiore subisce un allungamento y per effetto dello spostamento verso destra del punto G ed un accorciamento aϑ per effetto della rotazione antioraria ϑ * dell’asta AB; la deformazione complessiva risulta pertanto pari a y − aϑ; ragionando in modo analogo si pu`o osservare che la molla inferiore subisce una deformazione pari a x − (y + aϑ). L’energia potenziale del sistema assume quindi la seguente espressione: V =

1 1 2 k [x − (y + aϑ)] + k(y − aϑ)2 2 2

(3)

Il calcolo delle derivate parziali che costituiscono i singoli termini delle equazioni di Lagrange fornisce i seguenti risultati:   d ∂T 1 ∂T ∂V = ma2 ϑ¨ =0 = 2ka2 ϑ − kax dt ∂ ϑ˙ 3 ∂ϑ ∂ϑ (4)     J ∂V d ∂T ∂T = M+ 2 x =0 = k(x − y − aϑ) ¨ dt ∂ x˙ R ∂x ∂x Sostituendo nelle equazioni di Lagrange le relazioni (4) e riordinando i termini si ottengono le equazioni di moto sotto riportate:  1   ma2 ϑ¨ + 2ka2 ϑ − kax = 0 3   (5) J   M+ 2 x ¨ − kaϑ + kx = ky R In forma matriciale il sistema (5) assume la forma: [M ]{¨ x} + [K]{x} = {F }

(6)

dove {x} = {ϑ x}T `e il vettore delle coordinate libere, {F } = {0 ky}T il vettore delle azioni forzanti, [M ] la matrice d’inerzia e [K] la matrice di rigidezza; queste ultime sono definite dalle espressioni seguenti:   1   ma2 0 0.135 0  3    [M ] =  (7) = J 0 7.667 0 M+ 2 R     2ka2 −ka 12150 −13500 [K] = = (8) −ka k −13500 30000 Per effettuare il calcolo delle pulsazioni proprie poniamo (moto libero) ed uguagliamo a zero il determinante della matrice [∆] = [K] − ω 2 [M ]; con semplici passaggi si ottiene: 1 2ka2 − ω 2 ma2 −ka 3 2   (9) |[∆]| = |[K] − ω [M ]| = =0 J 2 −ka k − ω M + 2 R

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

105

Sviluppando il determinante si ottiene la seguente equazione caratteristica: Aω 4 + Bω 2 + C = 0 in cui: A=

(10)

  1 J ma2 M + 2 = 1.035 3 R

   J B = −ka2 m + 2 M + 2 = −97200 R

(11)

C = k 2 a2 = 1.8225 × 108 Le pulsazioni proprie valgono: ω1 = 43.7 rad/s

ω2 = 303.3 rad/s

(12)

Il calcolo dei modi principali di vibrare si effettua, come di consueto, considerando il sistema lineare omogeneo avente come incognite le ampiezze di oscillazione Θ ed X e come matrice dei coefficienti la matrice [∆].     2 2 21  ma Θ − kaX = 0 2ka − ω    3 (13)      J  2  X=0  −kaΘ + k − ω M + 2 R Da una qualsiasi delle due equazioni `e possibile ricavare il rapporto fra le ampiezze di oscillazione; utilizzando, ad esempio, la seconda equazione si ha:   J 2   k − ω1 M + 2 Θ R = = 1.135 rad/m X ω=ω1 ka (14)   J   k − ω22 M + 2 Θ R = −50.024 rad/m = X ω=ω2 ka Quindi: • Primo modo (ω = ω1 = 43.7 rad/s):  Φ1 =

Θ X



 = ω=ω1

1.135 1

 (15)

• Secondo modo (ω = ω2 = 303.3 rad/s):  Φ2 =

Θ X



 = ω=ω2

−50.024 1

 (16)

Moto forzato Il calcolo delle ampiezze di oscillazione in condizioni di regime sinusoidale permanente si effettua considerando nelle equazioni di moto il contributo della forzante armonica; riscriviamo pertanto il sistema (5) mettendo in evidenza tale contributo:  1   ma2 ϑ¨ + 2ka2 ϑ − kax = 0 3   (17) J   M+ 2 x ¨ − kaϑ + kx = kY sin Ωt R La soluzione a regime di tale sistema si pu` o esprimere nella forma:   ϑ(t) = Θ sin Ωt 

x(t) = X sin Ωt

(18)

106

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

in cui i simboli Θ ed X indicano ora le ampiezze di vibrazione in condizioni di regime. Sostituendo le espressioni di ϑ(t) e x(t) con le loro derivate seconde nelle equazioni di moto (17) e semplificando i termini armonici si ricava:     2 2 21  ma Θ − kaX = 0 2ka − Ω    3 (19)      J  2  X = kY  −kaΘ + k − Ω M + 2 R Con i dati assegnati si ottiene:   11056.5 Θ − 13500 X = 0  da cui:

  Θ = −0.0603 rad = −3.45◦ 

(20)

−13500 Θ − 32100 X = 2400

X = −0.0494 m = −49.4 mm

(21)

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.9

107

- Cod. VIB-033

Calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare del sistema vibrante riportato in Figura 1, costituito da una trave elastica di massa trascurabile, appoggiata alle due estremit`a, sulla quale sono fissate, ad intervalli regolari, tre masse puntiformi di uguale valore.

m

m

EJ l/4

l/4

m l/4

l/4 Figura 1

Dati • • • • •

Massa concentrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m Lunghezza della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l Lunghezza di ogni campata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l/4 Modulo di Young del materiale costituente la trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E Momento d’inerzia della sezione della trave (rispetto all’asse neutro della flessione) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J

Soluzione Trascurando la massa dell’asta, si ha un sistema a tre gradi di libert`a. Per descrivere il moto di tale sistema `e sufficiente utilizzare come coordinate libere gli spostamenti verticali delle tre masse concentrate, assunti positivi verso il basso (vedi Figura 2).

m

m x1

1

x2

2

m x3

3

Figura 2 Il problema assegnato si risolve agevolmente applicando il metodo delle forze, noto dalla Scienza delle Costruzioni. In primo luogo occorre studiare la trave schematizzata in Figura 3:

P1

P3

P2 1

2

3

Figura 3 Si tratta della stessa trave descritta nel testo del problema, caricata con tre forze P1 , P2 e P3 applicate nei punti in cui sono fissate le masse concentrate. Supponendo noti i coefficienti di influenza αij della matrice di cedevolezza possiamo scrivere:   x1 = α11 P1 + α12 P2 + α13 P3 x2 = α21 P1 + α22 P2 + α23 P3 (1)  x3 = α31 P1 + α32 P2 + α33 P3

108

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Come si pu` o notare, ciascuno spostamento xi (i = 1.2, 3) viene espresso come somma di contributi generati dai singoli carichi applicati nei vari punti della trave; vedremo nel seguito che tali carichi sono rappresentati dalle forze d’inerzia agenti su ciascuna massa concentrata. Per la determinazione dei coefficienti di influenza si ricorre solitamente ad apposite tabelle nelle quali vengono riportate le formule generali per il calcolo di rotazioni e spostamenti di travi con particolari condizioni di vincolo e di carico. Ad esempio, a pagina D-63 del Manuale Colombo (82-esima edizione) vengono date le formule per una trave su due appoggi con carico concentrato applicato in un generico punto C (vedi Figura 4):

αL

βL

P

A

B

C ζL

ξL L Figura 4 • Freccia nel punto C: 1 P L3 2 2 α β 3 EJ

(2)

1 P L3 βξ(1 − β 2 − ξ 2 ) 6 EJ

(3)

1 P L3 αζ(1 − α2 − ζ 2 ) 6 EJ

(4)

νc = • Freccia in un punto generico del tratto AC: ν= • Freccia in un punto generico del tratto CB: ν=

A questo punto `e possibile calcolare i coefficienti di influenza; si osservi che, poich´e la matrice di cedevolezza `e simmetrica (αij = αji ), i coefficienti incogniti sono soltanto sei. 1. Calcolo di α11 : freccia nel punto (1) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (1). Sostituendo nell’equazione (2) α = 1/4 e β = 3/4 si ottiene: α11 =

1 l3 × × 3 EJ

 2  2 1 3 3 l3 × = 4 4 256 EJ

(5)

2. Calcolo di α22 : freccia nel punto (2) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (2). Sostituendo nell’equazione (2) α = 1/2 e β = 1/2 si ottiene: α22

1 l3 = × × 3 EJ

 2  2 1 1 1 l3 × = 2 2 48 EJ

(6)

3. Calcolo di α33 : freccia nel punto (3) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (3). Sostituendo nell’equazione (2) α = 3/4 e β = 1/4 si ottiene6 : α33 6 Ovviamente

1 l3 = × × 3 EJ

 2  2 3 1 3 l3 × = 4 4 256 EJ

deve risultare, per ragioni di simmetria, α11 = α33 .

(7)

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008 l/4

3/4 l

109

l/2

l/2

1

1 1

α 11

2

3

α 22

1

a)

2

3

l/2

b)

l/2

l/4

3/4 l

1

1 1

2

3

α 12 α 33

1

c)

3

d)

l/4

3/4 l

2

l/4 l/4

3/4 l

1 α13

1

2

1

l/4

α 13

1

3

2

l/2

e)

3

f)

Figura 5 4. Calcolo di α12 : freccia nel punto (1) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (2). Sostituendo nell’equazione (3) α = 1/2, β = 1/2 e ξ = 1/4 si ottiene: "  2  2 # 1 l3 1 1 1 1 11 l3 α12 = × × × × 1− − (8) = 6 EJ 2 4 2 4 768 EJ 5. Calcolo di α13 : freccia nel punto (1) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (3). Sostituendo nell’equazione (3) α = 3/4, β = 1/4 e ξ = 1/4 si ottiene: "  2  2 # 1 l3 1 1 1 1 7 l3 α13 = × × × × 1− − = (9) 6 EJ 4 4 4 4 768 EJ 6. Calcolo di α23 : freccia nel punto (2) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (3). Sostituendo nell’equazione (3) α = 3/4, β = 1/4 e ξ = 1/2 si ottiene: "  2  2 # 1 l3 1 1 1 1 11 l3 α23 = × × × × 1− − = (10) 6 EJ 4 2 4 2 768 EJ Poich´e gli spostamenti x1 , x2 ed x3 sono assunti positivi verso il basso, anche per le corrispondenti accelerazioni deve valere la stessa convenzione di segno; da questo fatto si deduce che le forze d’inerzia agenti sulle masse concentrate risultano dirette verso l’alto (vedi Figura 6):

.. mx1 .. x1

.. mx2 1

.. x2

.. mx3 2

.. x3

3

Figura 6 Pertanto, sostituendo nel sistema di equazioni le relazioni: P1 = −m¨ x1

P2 = −m¨ x2

P3 = −m¨ x3

ed i valori dei coefficienti di influenza precedentemente calcolati, si ottiene, dopo semplici passaggi:  ml3   x1 = − (9¨ x1 + 11¨ x2 + 7¨ x3 )   768EJ     ml3 x2 = − (11¨ x1 + 16¨ x2 + 11¨ x3 ) 768EJ      ml3   (7¨ x1 + 11¨ x2 + 9¨ x3 )  x3 = − 768EJ

(11)

(12)

110

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Ponendo ora a = 768EJ/ml3 e riordinando i termini si ha:  x1 + 11¨ x2 + 7¨ x3 + ax1 = 0   9¨ 11¨ x1 + 16¨ x2 + 11¨ x3 + ax2 = 0   7¨ x1 + 11¨ x2 + 9¨ x3 + ax3 = 0

(13)

In forma matriciale si pu` o scrivere: [M ]{¨ x} + [K]{x} = {0}

(14)

avendo posto: 

 7 11  9

9 11 [M ] =  11 16 7 11



a [K] =  0 0

 0 0 a 0  0 a

   x1  x2 {x} =   x3

(15)

Per il calcolo delle pulsazioni proprie uguagliamo a zero il determinante della matrice [∆] = [K] − ω 2 [M ]: a − 9 ω2 −11 ω 2 −7 ω 2 (16) |[∆]| = |[K] − ω 2 [M ]| = −11 ω 2 a − 16 ω 2 −11 ω 2 = 0 −7 ω 2 −11 ω 2 a − 9 ω2 Sviluppando il determinante si ottiene la seguente equazione caratteristica: 28 ω 6 − 78 a ω 4 + 34 a2 ω 2 − a3 = 0 ovvero, scomponendo il polinomio al primo membro e ponendo λ = ω 2 :   1 λ − a (28λ2 − 64aλ + 2a2 ) = 0 2 Le soluzioni sono: λ1 =

32a −

√

(17)

(18)

√ 1024a2 − 56a2 (16 − 11 2)a = = 0.0317 a 28 14

1 a 2 √ √ (16 + 11 2)a 32a + 1024a2 − 56a2 = = 2.2540 a λ3 = 28 14 λ2 =

(19)

Quindi le pulsazioni proprie risultano: r √ 16 − 11 2 768EJ EJ ω1 = × = 4.93 14 ml3 ml3 r r 1 768EJ EJ × = 19.6 ω2 = 3 2 ml ml3 r r √ 16 + 11 2 768EJ EJ ω3 = × = 41.6 3 14 ml ml3 r

Il calcolo dei modi principali di vibrare si effettua considerando il sistema lineare omogeneo:  2 2 2   (a − 9 ω )X1 − 11 ω X2 − 7 ω X3 = 0 −11 ω 2 X1 + (a − 16 ω 2 )X2 − 11 ω 2 X3 = 0   −7 ω 2 X − 11 ω 2 X + (a − 9 ω 2 )X = 0 1 2 3

(20)

(21)

in cui i simboli X1 , X2 e X3 indicano le ampiezze di vibrazione di ciascuna massa concentrata; da tale sistema, sostituendo i valori delle pulsazioni proprie precedentemente calcolati, si possono ricavare i modi principali di vibrare della trave. Con semplici passaggi algebrici si ricava:

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008 r • Primo modo: ω = ω1 =

√ (16 − 11 2)a 14

r • Secondo modo: ω = ω2 =

111

     X1   √1  X2 Φ1 = = 2     X3 ω=ω 1 1

(22)

     X1   −1  X2 0 Φ2 = =     X3 ω=ω 1

(23)

1 a 2

2

r • Terzo modo: ω = ω3 =

√

(16 + 11 2)a 14     1   X1   √ X2 Φ3 = = − 2     X3 ω=ω 1 3

(24)

Nelle figure seguenti sono riportate le configurazioni deformate della trave relative a ciascun modo di vibrare: 1

2

1

3

1

2

Figura 7: Primo modo di vibrare.

1

2

1

3

1

Figura 8: Secondo modo di vibrare.

1

1

2

3 2

Figura 9: Terzo modo di vibrare.

1

112

Esercizio 2.10

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008 - Cod. VIB-034

Calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare del sistema vibrante riportato in Figura 1, costituito da una trave elastica di massa trascurabile, incastrata ad una estremit`a, sulla quale sono fissate, ad intervalli regolari, tre masse puntiformi di uguale valore.

m

m

EJ l/3

l/3

m l/3

Figura 1

Dati • • • • •

Massa concentrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m Lunghezza della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l Lunghezza di ogni campata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l/3 Modulo di Young del materiale costituente la trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E Momento d’inerzia della sezione della trave (rispetto all’asse neutro della flessione) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J

Soluzione Trascurando la massa dell’asta, si ha un sistema a tre gradi di libert`a. Per descrivere il moto di tale sistema `e sufficiente utilizzare come coordinate libere gli spostamenti verticali delle tre masse concentrate, assunti positivi verso il basso (vedi Figura 2).

1

m

2

x1

m

x2

3

m

x3

Figura 2 Il problema assegnato si risolve agevolmente applicando il metodo delle forze, noto dalla Scienza delle Costruzioni. In primo luogo occorre studiare la trave schematizzata in Figura 3:

P1

P3

P2 2

1

3

Figura 3 Si tratta della stessa trave descritta nel testo del problema, caricata con tre forze P1 , P2 e P3 applicate nei punti in cui sono fissate le masse concentrate. Supponendo noti i coefficienti di influenza αij della matrice di cedevolezza possiamo scrivere:   x1 = α11 P1 + α12 P2 + α13 P3 x2 = α21 P1 + α22 P2 + α23 P3 (1)  x3 = α31 P1 + α32 P2 + α33 P3 Come si pu` o notare, ciascuno spostamento xi (i = 1.2, 3) viene espresso come somma di contributi generati dai singoli carichi applicati nei vari punti della trave; vedremo nel seguito che tali carichi sono rappresentati

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

113

dalle forze d’inerzia agenti su ciascuna massa concentrata. Per la determinazione dei coefficienti di influenza si ricorre solitamente ad apposite tabelle nelle quali vengono riportate le formule generali per il calcolo di rotazioni e spostamenti di travi con particolari condizioni di vincolo e di carico. Ad esempio, a pagina D-62 del Manuale Colombo (82-esima edizione) vengono date le formule per una trave incastrata ad una estremit` a con carico concentrato applicato all’estremit`a libera (vedi Figura 4):

P B

A ζL

ξL L Figura 4 • Freccia nel punto B: 1 P L3 3 EJ

(2)

1 P L3 2 ξ (3 − ξ) 6 EJ

(3)

νB = • Freccia in un punto generico della trave: ν=

A questo punto `e possibile calcolare i coefficienti di influenza; si osservi che, poich´e la matrice di cedevolezza `e simmetrica (αij = αji ), i coefficienti incogniti sono soltanto sei. 1. Calcolo di α11 : freccia nel punto (1) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (1). Sostituendo nell’equazione (2) L = l/3 si ottiene: α11 =

1 × 3EJ

 3 l 1 l3 = 3 81 EJ

(4)

2. Calcolo di α22 : freccia nel punto (2) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (2). Sostituendo nell’equazione (2) L = 2l/3 si ottiene: α22

1 = × 3EJ



2 l 3

3 =

8 l3 81 EJ

(5)

3. Calcolo di α33 : freccia nel punto (3) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (3). Sostituendo nell’equazione (2) L = l si ottiene: l3 α33 = (6) 3EJ 4. Calcolo di α12 : freccia nel punto (1) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (2). Sostituendo nell’equazione (3) L = 2l/3 e ξ = 1/2 si ottiene: α12

1 = × 6EJ



2 l 3

3

 2   1 1 5 l3 × × 3− = 2 2 162 EJ

(7)

5. Calcolo di α13 : freccia nel punto (1) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (3). Sostituendo nell’equazione (3) L = l e ξ = 1/3 si ottiene: α13 =

1 × l3 × 6EJ

 2   1 1 4 l3 × 3− = 3 3 81 EJ

(8)

114

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008 l/3

2/3 l 1

1

1

2

α 11

3

2

1

3

α 22

a)

b) 2/3 l

l

1

1 2

1

1

2

3

α 12

3

l/3

α 33

c)

d) l

l

1

1 1

2

1

3

α 13

2

α 23

3

2/3 l

l/3

e)

f)

Figura 5

6. Calcolo di α23 : freccia nel punto (2) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (3). Sostituendo nell’equazione (3) L = l e ξ = 2/3 si ottiene:

α23 =

1 × l3 × 6EJ

 2   2 2 14 l3 × 3− = 3 3 81 EJ

(9)

Poich´e gli spostamenti x1 , x2 ed x3 sono assunti positivi verso il basso, anche per le corrispondenti accelerazioni deve valere la stessa convenzione di segno; da questo fatto si deduce che le forze d’inerzia agenti sulle masse concentrate risultano dirette verso l’alto (vedi Figura 6):

.. mx1 .. x1

.. mx2 .. x2

1

.. mx3 .. x3

2

3

Figura 6 Pertanto, sostituendo nel sistema di equazioni, le relazioni: P1 = −m¨ x1

P2 = −m¨ x2

P3 = −m¨ x3

(10)

ed i valori dei coefficienti di influenza precedentemente calcolati, si ottiene, dopo semplici passaggi:   ml3 1   x = − x ¨1 +  1   27EJ 3       ml3 5 x2 = − x ¨1 + 27EJ 6       ml3 4   x = − x ¨1 +  3   27EJ 3

5 4 x ¨2 + x ¨3 6 3



 8 14 x ¨2 + x ¨3 3 3  14 x ¨2 + 9¨ x3 3

(11)

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

115

Ponendo ora a = 27EJ/ml3 e riordinando i termini si ha:  1  x ¨1 +    3   5 x ¨1 + 6     4   x ¨1 + 3

5 4 x ¨2 + x ¨3 + ax1 = 0 6 3 8 14 x ¨2 + x ¨3 + ax2 = 0 3 3 14 x ¨2 + 9¨ x3 + ax3 = 0 3

(12)

In forma matriciale si pu` o scrivere: [M ]{¨ x} + [K]{x} = {0}

(13)

avendo posto:      [M ] =    

1 3 5 6 4 3

5 6 8 3 14 3

4 3 14 3



       9 



a [K] =  0 0

   x1  x2 {x} =   x3

 0 0 a 0  0 a

(14)

Per il calcolo delle pulsazioni proprie uguagliamo a zero il determinante della matrice [∆] = [K] − ω 2 [M ]: 5 2 4 2 1 a − ω2 − ω − ω 3 6 3 8 2 14 2 − 5 ω2 2 a − ω − ω (15) |[∆]| = |[K] − ω [M ]| = =0 6 3 3 4 2 14 − ω2 a − 9 ω2 − ω 3 3 Sviluppando il determinante si ottiene la seguente equazione caratteristica: 13 6 131 ω − a ω 4 + 12 a2 ω 2 − a3 = 0 108 36

(16)

Le pulsazioni proprie risultano pertanto: ω1 =

√

r 0.086 a =

27EJ = 1.52 0.086 × ml3

r

EJ ml3

r

r 27EJ EJ ω2 = 3.668 a = 3.668 × = 9.95 ml3 ml3 r r √ 27EJ EJ ω3 = 26.477 a = 26.477 × = 26.74 ml3 ml3 √

Il calcolo dei modi principali di vibrare si effettua considerando il sistema lineare omogeneo:    1 2 5 4   a − ω X1 − ω 2 X2 − ω 2 X3 = 0   3 6 3        5 8 2 14 2 2 − ω X1 + a − ω X2 − ω X3 = 0 6 3 3      14 2 4 2  2    − 3 ω X1 − 3 ω X2 + (a − 9 ω )X3 = 0

(17)

(18)

in cui i simboli X1 , X2 e X3 indicano le ampiezze di vibrazione di ciascuna massa concentrata; da tale sistema, sostituendo i valori delle pulsazioni proprie precedentemente calcolati, si possono ricavare i modi principali di vibrare della trave. Con semplici passaggi algebrici si ricava:

116 • Primo modo: ω = ω1 =

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008 √

0.086 a      X1   0.156  X2 0.532 Φ1 = =     X3 ω=ω 1

(19)

     X1   −1.269  X2 −1.508 Φ2 = =     X3 ω=ω 1

(20)

     X1   4.647  X2 −3.248 Φ3 = =     X3 ω=ω 1

(21)

1

• Secondo modo: ω = ω2 =

√

3.668 a

2

• Terzo modo: ω = ω3 =

√

26.477 a

3

Nelle figure seguenti sono riportate le configurazioni deformate della trave relative a ciascun modo di vibrare: 2

1

3

0.156 1

0.532

Figura 7: Primo modo di vibrare.

1.508

1.269

3

2

1

1

Figura 8: Secondo modo di vibrare.

3.248

2

1

3 1

4.647

Figura 9: Terzo modo di vibrare.

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.11

117

- Cod. VIB-035

Il sistema in Figura 1 `e costituito da due masse puntiformi fissate ad una trave elastica di acciaio vincolata a terra mediante un incastro ed un appoggio. Nell’ipotesi che risulti trascurabile la massa della trave, si chiede di: • scrivere le equazioni di moto relative alle vibrazioni flessionali del sistema; • calcolare le pulsazioni proprie; • determinare i rapporti fra le ampiezze di oscillazione per ciascuno dei modi principali di vibrare.

m2

m1

EJ l/3

l/3

l/3

Figura 1

Dati • • • •

Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1 = 50 kg m2 = 2m1 = 100 kg Lunghezza della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 900 mm Modulo elastico dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 206000 N/mm2 Momento d’inerzia della sezione della trave rispetto all’asse neutro della flessione . . . . . . . . . . . J = 3000 mm4

Soluzione Prima di risolvere il problema `e opportuno convertire i dati assegnati nelle unit`a di misura del Sistema Internazionale: - Lunghezza: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 900 mm = 0.9 m - Modulo elastico dell’acciaio: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .E = 206000 N/mm2 = 2.06 × 1011 N/m2 - Momento d’inerzia della sezione della trave: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 3000 mm4 = 3 × 10−9 m4 Trascurando la massa dell’asta, si ha un sistema a due gradi di libert`a. Per descrivere il moto di tale sistema `e sufficiente utilizzare come coordinate libere gli spostamenti verticali delle due masse concentrate, assunti positivi verso il basso (vedi Figura 2).

1

m1

2

x1

m2

x2 Figura 2

Il problema assegnato si risolve agevolmente applicando il metodo delle forze, noto dalla Scienza delle Costruzioni. In primo luogo occorre studiare la trave schematizzata nella Figura 3 sotto riportata: Si tratta della stessa trave descritta nel testo del problema, caricata con due forze P1 e P2 applicate nei punti in cui sono fissate le masse concentrate. Supponendo noti i coefficienti di influenza αij della matrice di cedevolezza possiamo scrivere:  x1 = α11 P1 + α12 P2 (1) x2 = α21 P1 + α22 P2

118

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

P1

P2 1

2

Figura 3 Come si pu` o notare, ciascuno spostamento xi (i = 1.2) viene espresso come somma di contributi generati dai singoli carichi applicati nei vari punti della trave; vedremo nel seguito che tali carichi sono rappresentati dalle forze d’inerzia agenti su ciascuna massa concentrata. Per la determinazione dei coefficienti di influenza si ricorre solitamente ad apposite tabelle nelle quali vengono riportate le formule generali per il calcolo di rotazioni e spostamenti di travi con particolari condizioni di vincolo e di carico. Ad esempio, a pagina D-65 del Manuale Colombo (82-esima edizione) vengono date le formule per una trave iperstatica vincolata con incastro e appoggio alla quale `e applicato un carico concentrato in un generico punto C (vedi Figura 4):

αL

βL

P

A

B C ζL

ξL L Figura 4 • Freccia nel punto C: νC =

1 P L3 2 3 α β (3 + α) 12 EJ

(2)

• Freccia in un punto generico del tratto AC: ν=

 1 P L3 2  ξβ 3α − (2 + α)ξ 2 12 EJ

(3)

• Freccia in un punto generico del tratto CB: ν=



 1 P L3 2  αζ 3 1 − α2 − 3 − α2 ζ 12 EJ

(4)

A questo punto `e possibile calcolare i coefficienti di influenza; si osservi che, poich´e la matrice di cedevolezza `e simmetrica (αij = αji ), i coefficienti incogniti sono soltanto tre. 1. Calcolo di α11 : freccia nel punto (1) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (1). Sostituendo nell’equazione (2) α = 1/3 e β = 2/3 si ottiene:  2  3   1 l3 1 2 1 20 l3 α11 = × × × × 3+ = (5) 12 EJ 3 3 3 2187 EJ 2. Calcolo di α22 : freccia nel punto (2) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (2). Sostituendo nell’equazione (2) α = 2/3 e β = 1/3 si ottiene:  2  3   1 l3 2 1 2 11 l3 α22 = × × × × 3+ = (6) 12 EJ 3 3 3 2187 EJ

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008 l/3

2/3 l

2/3 l

l/3

1

2/3 l l/3

1 2

1

α 11

1

a)

119

2

l/3 1

1

α 22

α 12

b)

2

c)

Figura 5 3. Calcolo di α12 : freccia nel punto (1) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (2). Sostituendo nell’equazione (3) α = 2/3, β = 1/3 e ξ = 1/3 si ottiene:  2 "    2 # 1 l3 1 1 2 1 2 23 l3 α12 = × × × × 3× − 2+ × (7) = 12 EJ 3 3 3 3 3 4374 EJ Poich´e gli spostamenti x1 , x2 ed x3 , sono assunti positivi verso il basso, anche per le corrispondenti accelerazioni deve valere la stessa convenzione di segno; da questo fatto si deduce che le forze d’inerzia agenti sulle masse concentrate risultano dirette verso l’alto (vedi Figura 6):

.. m2x2

.. m1x1 .. x1

1

.. x2

2

Figura 6 Pertanto, sostituendo nel sistema di equazioni, le relazioni: P1 = −m1 x ¨1

P2 = −m2 x ¨2 = −2m1 x ¨2

(8)

ed i valori dei coefficienti di influenza precedentemente calcolati, si ottiene, dopo semplici passaggi:  m1 l3   ¨1 + 23 x ¨2 )   x1 = − 2187EJ (20 x   m1 l 3 23   x = − x ¨ + 22 x ¨  2 1 2  2187EJ 2 Ponendo ora a = 2187EJ/m1 l3 e riordinando i termini si ha:  ¨1 + 23 x ¨2 + ax1 = 0   20 x 23  ¨1 + 22 x ¨2 + ax2 = 0  2 x

(9)

(10)

In forma matriciale si pu` o scrivere: [M ]{¨ x} + [K]{x} = {0}

(11)

avendo posto: 

20

 [M ] =  23 2

23



22

 

 [K] =

a 0

0 a



 {x} =

x1 x2

 (12)

Per il calcolo delle pulsazioni proprie uguagliamo a zero il determinante della matrice [∆] = [K] − ω 2 [M ]: a − 20 ω 2 −23 ω 2 23 (13) |[∆]| = |[K] − ω 2 [M ]| = =0 − ω 2 a − 22 ω 2 2

120

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Sviluppando il determinante si ottiene la seguente equazione caratteristica: 351 4 ω − 42 aω 2 + a2 = 0 2

(14)

Con i dati del problema si ha: a=

2187 × 2.06 × 1011 × 3 × 10−9 2187EJ = = 3.708 × 104 s−2 m1 l3 50 × 0.93

(15)

Quindi l’equazione caratteristica pu` o essere riscritta nella forma: 175.5 ω 4 − 1.557 × 106 ω 2 + 1.375 × 109 = 0

(16)

Le pulsazioni proprie risultano: ω1 = 31.53 rad/s

ω2 = 88.77 rad/s

Il calcolo dei modi principali di vibrare si effettua considerando il sistema lineare omogeneo:  2 2   (a − 20 ω )X1 − 23 ω X2 = 0 23 2 2   − 2 ω X1 + (a − 22 ω )X2 = 0

(17)

(18)

in cui i simboli X1 e X2 indicano le ampiezze di vibrazione di ciascuna massa concentrata; da tale sistema, sostituendo i valori delle pulsazioni proprie precedentemente calcolati, si possono ricavare i rapporti fra le ampiezze per ciascuno dei modi principali di vibrare della trave. Con semplici passaggi algebrici si ricava: • Primo modo (ω = ω1 = 31.53 rad/s):  Φ1 =

X1 X2



 = ω=ω1

1.33 1

 (19)

• Secondo modo (ω = ω2 = 88.77 rad/s):  Φ2 =

X1 X2





−1.504 1

= ω=ω2

 (20)

Nelle figure seguenti sono riportate le configurazioni deformate della trave relative a ciascun modo di vibrare: 2

1

1

1.33

Figura 7: Primo modo di vibrare.

2

1

- 1.504 1

Figura 8: Secondo modo di vibrare.

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.12

121

- Cod. VIB-036

Il sistema in Figura 1 `e costituito da una trave elastica di acciaio, incastrata ad una estremit`a, sulla quale `e fissato, in corrispondenza dell’estremo libero, un corpo rigido di massa m e momento d’inerzia baricentrico JG . Nell’ipotesi che risulti trascurabile la massa della trave, si chiede di: • scrivere le equazioni di moto del sistema; • calcolare le pulsazioni proprie; • determinare i rapporti fra le ampiezze di oscillazione per ciascuno dei modi principali di vibrare.

m , JG

EJ

l

Figura 1

Dati • • • • •

Massa del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 20 kg Momento d’inerzia baricentrico del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JG = 5 kg m2 Lunghezza della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 1 m Modulo elastico dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 206000 N/mm2 Momento d’inerzia della sezione della trave rispetto all’asse neutro della flessione . . . . . . . . . . . J = 5000 mm4

Soluzione Prima di risolvere il problema `e opportuno convertire i dati assegnati nelle unit`a di misura del Sistema Internazionale: - Modulo elastico dell’acciaio: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .E = 206000 N/mm2 = 2.06 × 1011 N/m2 - Momento d’inerzia della sezione della trave: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 5000 mm4 = 5 × 10−9 m4 Trascurando la massa dell’asta, si ha un sistema a due gradi di libert`a. Per descrivere il moto di tale sistema `e sufficiente utilizzare come coordinate libere lo spostamento verticale e la rotazione del corpo rigido (vedi Figura 2). θ

m , JG

EJ

y

l

Figura 2

122

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Il problema assegnato si risolve agevolmente applicando il metodo delle forze, noto dalla Scienza delle Costruzioni. In primo luogo occorre studiare la trave schematizzata in Figura 3: P EJ

M

Figura 3 Si tratta della stessa trave descritta nel testo del problema, caricata con una forza P ed una coppia M applicate nel punto in cui `e fissato il corpo rigido. Supponendo noti i coefficienti di influenza αi j della matrice di cedevolezza possiamo scrivere:  y = α11 P + α12 M (1) ϑ = α21 P + α22 M Come si pu` o notare, lo spostamento y e la rotazione ϑ vengono espressi come somma di contributi generati dai singoli carichi applicati nei vari punti della trave; vedremo nel seguito che tali carichi sono rappresentati dalla forza d’inerzia e dalla coppia d’inerzia agenti sul corpo rigido. Per la determinazione dei coefficienti di influenza si ricorre solitamente ad apposite tabelle nelle quali vengono riportate le formule generali per il calcolo di rotazioni e spostamenti di travi con particolari condizioni di vincolo e di carico. Ad esempio, a pagina D-62 del Manuale Colombo (82-esima edizione) vengono date le formule per una trave incastrata ad una estremit` a nelle condizioni di carico sotto riportate: 1. Forza applicata all’estremo libero: P B

A L

Figura 4 • Freccia nel punto B: νB =

1 P L3 3 EJ

(2)

ϕB =

1 P L2 2 EJ

(3)

• Rotazione nel punto B:

2. Coppia applicata all’estremo libero: B

A

M

L

Figura 5 • Freccia nel punto B: νB =

1 M L2 2 EJ

(4)

ML EJ

(5)

• Rotazione nel punto B: ϕB =

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

123

A questo punto `e possibile calcolare i coefficienti di influenza; si osservi che, poich´e la matrice di cedevolezza `e simmetrica (αij = αji ), i coefficienti incogniti sono soltanto tre7 . 1. Calcolo di α11 (freccia all’estremit` a libera prodotta da una forza unitaria ivi applicata).

l 1 α 11 Figura 6 Dalla (2) si ha: α11 =

l3 3EJ

(6)

2. Calcolo di α22 (rotazione all’estremit` a libera prodotta da una coppia unitaria ivi applicata).

l α22 1

Figura 7 Dalla (5) si ha: α22 =

l EJ

(7)

3. Calcolo di α12 (freccia all’estremit` a libera prodotta da una coppia unitaria ivi applicata).

l

α12

1

Figura 8 Dalla (4) si ha: α12 =

l2 2EJ

(8)

7 Come ` e noto, la simmetria della matrice di cedevolezza implica che la freccia nel punto B dovuta ad una coppia unitaria ivi applicata risulti uguale alla rotazione nel punto B generata da una forza unitaria ivi applicata; infatti, ponendo P = 1 nella (3) ed  2  L M = 1 nella (4) si ottiene sempre lo stesso risultato . 2EJ

124

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Con le convenzioni di segno utilizzate, lo spostamento y risulta positivo verso il basso mentre la rotazione ϑ ¨ le risulta positiva in senso orario; poich´e tali convenzioni valgono anche per le rispettive accelerazioni y¨ e ϑ, azioni d’inerzia (forza e coppia) agenti sul corpo rigido saranno dirette come in Figura 9. .. my .. JG θ

EJ

l

Figura 9 Pertanto, sostituendo nel sistema di equazioni, le relazioni: P = −m¨ y

M = −JG ϑ¨

(9)

ed i valori dei coefficienti di influenza precedentemente calcolati, si ottiene, dopo semplici passaggi:   2  l ml JG l ¨    y = − y ¨ + ϑ   EJ 3 2   l ml   ¨ ϑ = − y ¨ + J ϑ  G   EJ 2 Ponendo ora a = EJ/l e riordinando i termini si ha:  2   ml y¨ + JG l ϑ¨ + ay = 0   3 2 ml  ¨    2 y¨ + JG ϑ + aϑ = 0

(10)

(11)

In forma matriciale si pu` o scrivere: [M ]{¨ x} + [K]{x} = {0}

(12)

avendo posto:    [M ] =  

ml2 3 ml 2

 JG l 2    J 

 [K] =

a 0

0 a



 {x} =

y ϑ

 (13)

G

Per il calcolo delle pulsazioni proprie uguagliamo a zero il determinante della matrice [∆] = [K] − ω 2 [M ]: 2 a − ml ω 2 − JG l ω 2 3 2 |[∆]| = |[K] − ω 2 [M ]| = (14) =0 ml 2 ω a − JG ω 2 − 2 Sviluppando il determinante si ottiene la seguente equazione caratteristica:   ml2 a ml2 JG 4 ω − aJG + ω 2 + a2 = 0 12 3

(15)

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

125

Con i dati del problema si ha: a=

EJ 2.06 × 1011 × 5 × 10−9 = = 1030 Nm l 1

(16)

Quindi l’equazione caratteristica pu` o essere riscritta nella forma: 8.333 ω 4 − 1.202 × 104 ω 2 + 1.061 × 106 = 0

(17)

Le pulsazioni proprie risultano: ω1 = 9.72 rad/s

ω2 = 36.709 rad/s

Il calcolo dei modi principali di vibrare si effettua considerando il sistema lineare omogeneo:    JG l 2 ml2 2     a− 3 ω Y − 2 ω Θ=0 ml 2  2    − 2 ω Y + (a − JG ω )Θ = 0

(18)

(19)

in cui i simboli Y e Θ indicano le ampiezze di vibrazione di ciascuna massa concentrata; da tale sistema, sostituendo i valori delle pulsazioni proprie precedentemente calcolati, si possono ricavare i rapporti fra le ampiezze per ciascuno dei modi principali di vibrare della trave. Con semplici passaggi algebrici si ricava: • Primo modo (ω = ω1 = 9.72 rad/s):  Φ1 =

Y Θ



 = ω=ω1

0.59 1

 (20)

• Secondo modo (ω = ω2 = 36.709 rad/s):  Φ2 =

Y Θ



 = ω=ω2

−0.424 1

 (21)

Nelle figure seguenti sono riportate le configurazioni deformate della trave relative a ciascun modo di vibrare: 1

0.59

Figura 10: Primo modo di vibrare. 1

- 0.424

Figura 11: Secondo modo di vibrare.

126

Esercizio 2.13

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008 - Cod. VIB-037

Calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare del sistema in Figura 1, costituito da una trave a mensola in acciaio di massa trascurabile, da due masse concentrate m1 ed m2 collocate rispettivamente a distanza l e 2l dall’incastro e da una molla di rigidezza k, collegata come in figura alla massa m2 .

l

l m1

EJ

m2 k

Figura 1

Dati • • • • •

Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1 = 50 kg m2 = 30 kg Semi-lunghezza della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 700 mm Modulo elastico dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 206000 N/mm2 Momento d’inerzia della sezione della trave rispetto all’asse neutro della flessione . . . . . . . . . . . J = 2000 mm4 Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 5000 N/m

Soluzione Prima di risolvere il problema `e opportuno convertire i dati assegnati nelle unit`a di misura del Sistema Internazionale: - Lunghezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .l = 700 mm = 0.7 m - Modulo elastico dell’acciaio: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .E = 206000 N/mm2 = 2.06 × 1011 N/m2 - Momento d’inerzia della sezione della trave: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 2000 mm4 = 2 × 10−9 m4 Trascurando la massa dell’asta, si ha un sistema a due gradi di libert`a. Per descrivere il moto di tale sistema `e sufficiente utilizzare come coordinate libere gli spostamenti verticali delle due masse concentrate, assunti positivi verso il basso (vedi Figura 2).

m1 x1

m2 1

2

k

x2

Figura 2 Il problema assegnato si risolve agevolmente applicando il metodo delle forze, noto dalla Scienza delle Costruzioni. In primo luogo occorre studiare la trave a mensola schematizzata nella Figura 3: si tratta della stessa trave descritta nel testo del problema, caricata con due forze P1 e P2 applicate nei punti in cui sono fissate le masse concentrate.

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

P1

127

P2 2

1

Figura 3 Supponendo noti i coefficienti di influenza αij della matrice di cedevolezza possiamo scrivere:  x1 = α11 P1 + α12 P2 x2 = α21 P1 + α22 P2

(1)

Come si pu` o notare, ciascuno spostamento xi (i = 1, 2) viene espresso come somma di contributi generati dai singoli carichi applicati nei vari punti della trave; nel punto 1 il carico `e rappresentato dalla forza d’inerzia agente sulla massa m1 , mentre nel punto 2 il carico `e dato dalla somma di due forze: la forza d’inerzia agente sulla massa m2 e la forza elastica esercitata dalla molla. Per la determinazione dei coefficienti di influenza si ricorre solitamente ad apposite tabelle nelle quali vengono riportate le formule generali per il calcolo di rotazioni e spostamenti di travi con particolari condizioni di vincolo e di carico. Ad esempio, a pagina D-62 del Manuale Colombo (82-esima edizione) vengono date le formule per una trave incastrata ad una estremit` a con carico concentrato applicato all’estremit`a libera (vedi Figura 4):

P B

A ζL

ξL L Figura 4 • Freccia nel punto B: 1 P L3 3 EJ

(2)

1 P L3 2 ξ (3 − ξ) 6 EJ

(3)

νB = • Freccia in un punto generico della trave: ν=

A questo punto `e possibile calcolare i coefficienti di influenza; si osservi che, poich´e la matrice di cedevolezza `e simmetrica (αij = αji ), i coefficienti incogniti sono soltanto tre. 1. Calcolo di α11 : freccia nel punto (1) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (1). Sostituendo nell’equazione (2) L = l si ottiene: l3 (4) α11 = 3EJ 2. Calcolo di α22 : freccia nel punto (2) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (2). Sostituendo nell’equazione (2) L = 2l si ottiene: (2l)3 8 l3 α22 = = (5) 3EJ 3 EJ 3. Calcolo di α12 : freccia nel punto (1) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (2). Sostituendo nell’equazione (3) L = 2l e ξ = 1/2 si ottiene:  2   1 (2l)3 1 1 5 l3 α12 = × × × 3− = (6) 6 EJ 2 2 6 EJ

128

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008 2l l

1

2l 1 1

1

1 2

α 11

2

1

2

α 12 l

α22

a)

b)

c)

Figura 5 Poich´e gli spostamenti x1 ed x2 sono assunti positivi verso il basso, anche per le corrispondenti accelerazioni deve valere la stessa convenzione di segno; da questo fatto si deduce che le forze d’inerzia agenti sulle masse concentrate risultano dirette verso l’alto: un discorso analogo vale per la forza elastica esercitata dalla molla: lo spostamento x2 produce infatti una compressione della molla stessa, la quale genera una spinta kx2 verso l’alto che si somma alla forza d’inerzia m2 x ¨2 (vedi Figura 6).

.. mx1 .. x1 , x1

.. mx2 1

2

kx2

.. x2 , x2

Figura 6 Pertanto, sostituendo nel sistema di equazioni le relazioni: P1 = −m¨ x1

P2 = −(m¨ x2 + kx2 )

(7)

ed i valori dei coefficienti di influenza precedentemente calcolati, si ottiene, dopo semplici passaggi:  l3   x = − (2 m1 x ¨ 1 + 5 m2 x ¨2 + 5kx2 )  1  6EJ l3   x = − (5 m1 x ¨1 + 16 m2 x ¨2 + 16kx2 )  2  6EJ Ponendo ora a = 6EJ/l3 e riordinando i termini si ha:  2 m1 x ¨1 + 5 m2 x ¨2 + ax1 + 5kx2 = 0 5 m1 x ¨1 + 16 m2 x ¨2 + (a + 16k)x2 = 0

(8)

(9)

In forma matriciale si pu` o scrivere: [M ]{¨ x} + [K]{x} = {0}

(10)

avendo posto:  [M ] =

2 m1 5 m1

5 m2 16 m2



 [K] =

a 0

5k a + 16k



 {x} =

x1 x2

 (11)

Per il calcolo delle pulsazioni proprie uguagliamo a zero il determinante della matrice [∆] = [K] − ω 2 [M ]: a − 2 m1 ω 2 5k − 5 m2 ω 2 2 =0 |[∆]| = |[K] − ω [M ]| = (12) a + 16k − 16 m2 ω 2 −5 m1 ω 2 Sviluppando il determinante si ottiene la seguente equazione caratteristica: Aω 4 + Bω 2 + C = 0

(13)

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008 in cui:

129

A = 7 m1 m2 = 1.05 × 104 B = −(16 am2 + 2 am1 + 7 km1 ) = −5.93 × 106 C = a2 + 16 ak = 6.29 × 108

(14)

Le pulsazioni proprie risultano pertanto: ω1 = 11.89 rad/s

ω2 = 20.576 rad/s

(15)

Il calcolo dei modi principali di vibrare si effettua considerando il sistema lineare omogeneo:  (a − 2 m1 ω 2 )X1 + (5 k − 5 m2 ω 2 )X2 = 0 −5 m1 ω 2 X1 + (a + 16 k − 16 m2 ω 2 )X2 = 0

(16)

in cui i simboli X1 e X2 indicano le ampiezze di vibrazione di ciascuna massa concentrata; da tale sistema, sostituendo i valori delle pulsazioni proprie precedentemente calcolati, si possono ricavare i modi principali di vibrare della trave. Con semplici passaggi algebrici si ricava: • Primo modo (ω = ω1 = 11.89 rad/s):  Φ1 =

X1 X2



 = ω=ω1

0.5474 1

 (17)

• Secondo modo (ω = ω2 = 20.576 rad/s):  Φ2 =

X1 X2



 = ω=ω2

−1.0961 1

 (18)

Nelle figure seguenti sono riportate le configurazioni deformate della trave relative a ciascun modo di vibrare: 2

1 0.5474

1

Figura 7: Primo modo di vibrare.

1.0961 1

2 1

Figura 8: Secondo modo di vibrare.

130

Esercizio 2.14

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008 - Cod. VIB-038

Un gruppo motore-generatore `e stato progettato per funzionare nel campo di velocit`a compreso fra i 2000 e i 4000 giri/min; si nota per` o che il sistema vibra violentemente alla velocit`a di 3000 giri/min, a causa di una imperfetta equilibratura del rotore. Per eliminare il problema si propone di montare un assorbitore dinamico, costituito da una trave a mensola con massa concentrata. Come primo tentativo, si applica al gruppo motore-generatore una trave a mensola, dotata di una massa di prova di 2 kg, sintonizzata a 3000 giri/min: le frequenze proprie risultanti del sistema sono di 2500 e 3600 giri/min; Sulla base di questi dati, si chiede di progettare l’assorbitore dinamico da applicare al gruppo motore-generatore (specificando la sua massa e la sua rigidezza) in modo che le frequenze naturali del sistema complessivo cadano all’esterno del campo di velocit` a operative del sistema.

motore

generatore

assorbitore di vibrazioni Figura 1

Soluzione Consideriamo il gruppo motore-generatore e l’assorbitore dinamico di vibrazioni come due sistemi separati ad un solo grado di libert` a; indicando con il pedice “1” i parametri del gruppo motore-generatore e con il pedice “2” i corrispondenti parametri dell’assorbitore, le pulsazioni proprie risultano: r ω1 =

k1 m1

r ω2 =

k2 m2

(1)

Per calcolare le pulsazioni proprie Ω1 e Ω2 del sistema complessivo a due gradi di libert`a (risultante dall’abbinamento del gruppo motore-generatore con l’assorbitore dinamico) occorre invece utilizzare le espressioni seguenti: p  2 [1 + (1 + µ)λ2 ] − [1 + (1 + µ)λ2 ]2 − 4λ2 Ω1 = ω2 2λ2 

Ω1 ω2

2 =

[1 + (1 + µ)λ2 ] +

p [1 + (1 + µ)λ2 ]2 − 4λ2 2λ2

(2)

dove si `e posto µ = m2 /m1 e λ = ω2 /ω1 . L’assorbitore di prova che viene applicato al sistema `e sintonizzato per una velocit`a n = 3000 giri/min; trasformando tale valore in rad/s si ottiene: Ω=

2πn 2π × 3000 = = 314.16 rad/s 60 60

(3)

La condizione di sintonizzazione `e la seguente: ω1 = ω2 = Ω

(4)

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

131

Posto ora r1 = Ω1 /ω2 e r2 = Ω2 /ω2 e tenendo presente che, per la (4), risulta λ = 1, possiamo riscrivere le relazioni (2) nella forma sotto riportata: r p 2 + µ − (2 + µ)2 − 4 µ 2 µ 2 r1 = 1+ =1+ − −1 2 2 2 (5) r p  2−4 2 (2 + µ) 2 + µ + µ µ 1+ =1+ + −1 r22 = 2 2 2 I valori di Ω1 e Ω2 sono noti, in quanto corrispondono alle velocit`a n1 = 2500 giri/min ed n2 = 3600 giri/min assegnate dal testo; si ha pertanto: Ω1 =

2πn1 2π × 2500 = = 261.8 rad/s 60 60

Ω2 =

2πn2 2π × 3600 = = 377 rad/s 60 60

(6)

Ω2 377 = = 1.2 ω2 314.16

(7)

` ora possibile calcolare i valori dei rapporti r1 ed r2 : E r1 =

Ω1 261.8 = = 0.8333 ω2 314.16

r2 =

A questo punto, essendo noto r1 , possiamo ricavare il valore del rapporto µ fra le masse dalla prima delle (5): con semplici passaggi si ottiene8 : µ=

0.83334 + 1 r14 + 1 −2= − 2 = 0.1344 2 r1 0.83332

(8)

Ricordando ora la definizione di µ e tenendo presente che la massa dell’assorbitore vale m2 = 2 kg `e possibile ricavare il valore della massa m1 del gruppo motore-generatore: m1 =

m2 2 = = 14.88 kg µ 0.1344

(9)

Siamo ora in grado di progettare nuovamente l’assorbitore in modo che le pulsazioni proprie del sistema complessivo cadano all’esterno del campo di velocit`a operative del sistema (2000 ÷ 4000 giri/min). Se fissiamo la prima pulsazione propria in corrispondenza della velocit`a n1 = 1900 giri/min (che risulta minore di 2000 giri/min) otteniamo: 2πn1 2π × 1900 Ω1 = = = 198.97 rad/s (10) 60 60 Ω1 198.97 r1 = = = 0.6333 (11) ω2 314.16 Con il valore di r1 fornito dalla (11) si ottiene per µ il valore: µ=

r14 + 1 0.63334 + 1 −2= − 2 = 0.8942 2 r1 0.63332

(12)

La massa m2 dell’assorbitore dovr` a quindi essere pari a: m2 = µ m1 = 0.8942 × 14.88 = 13.3 kg

(13)

Essendo ora noto µ, `e possibile calcolare il valore di r2 , corrispondente alla seconda pulsazione propria del sistema; si ha infatti: v s s u r 2 u  2 µ µ 0.8942 0.8942 t r2 = 1 + + 1+ −1= 1+ + 1+ − 1 = 1.58 (14) 2 2 2 2 8 In alternativa, essendo noto anche il valore di r , si pu` o utilizzare la seconda delle (5) per calcolare il rapporto µ; il risultato 2 che si ottiene ` e il medesimo; infatti: r4 + 1 1.24 + 1 µ= 2 2 −2= − 2 = 0.1344 r2 1.22

132

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008 Ω2 = r2 ω2 = 1.58 × 314.16 = 496 rad/s

60Ω2 30 = × 496 = 4737 giri/min 2π π Essendo n2 > 4000 giri/min, risultano soddisfatte le specifiche di progetto. La rigidezza k2 della molla dell’assorbitore (trave a mensola) si calcola con la relazione: n2 =

k2 = m2 ω22 = 13.3 × 314.162 = 1.31 × 106 N/m

(15) (16)

(17)

Esercizi proposti

134

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.15

- Cod. VIB-053

Cilindro n.1

r1

k1 J1

Cilindro n.2

J6 k2

r1

k3

r1

Inerzia del volano + inerzia del motore

J2 Cilindro n.3

J5 r3

J3 r2

k4

k5 r4

J4

Si calcolino le frequenze proprie ed i modi principali di vibrare relativi alle vibrazioni torsionali della macchina da stampa offset rappresentata in figura. Si schematizzino gli alberi come molle torsionali prive di massa ed i cilindri come corpi rigidi privi di contatto reciproco.

Dati • Momenti d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = J2 = J3 • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J4 • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J5 • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J6

= 2.6 kg m2 = 0.5 kg m2 = 1.8 kg m2 = 1.1 kg m2

• Rapporti di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r4 /r3 = 5 • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r1 /r2 = 2 • Rigidezza torsionale degli alberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = k3 • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k2 • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k4 • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k5

= 8.4 × 105 = 6.3 × 105 = 2.5 × 105 = 4.6 × 105

Nm Nm Nm Nm

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.16

135

- Cod. VIB-054

a M A

b C

B

2 k2 k1

1

P

m

Ω

y(t)

r P’

3

O

k3

c

Il sistema vibrante rappresentato in figura `e costituito dai seguenti elementi: • • • • •

un manovellismo a croce (1), la cui manovella ruota con velocit`a angolare costante Ω; un bilanciere (2) realizzato mediante un’asta omogenea di massa M ; una massa traslante (3) scorrevole senza attrito nella guida verticale; tre molle di costante elastica k1 , k2 e k3 rispettivamente; uno smorzatore viscoso avente costante di smorzamento pari a c.

Nell’ipotesi che il bilanciere compia piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio (orizzontale) si chiede di: 1. scrivere le equazioni differenziali di moto per il sistema in esame; 2. calcolare le leggi di moto del bilanciere e della massa traslante in condizioni di regime.

Dati • • • • •

Massa traslante: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 6 kg Massa del bilanciere: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M = 8 kg Costante di smorzamento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 20 Ns/m Raggio della manovella: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 50 mm Velocit` a angolare della manovella: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 25 rad/s k1 = 4000 N/m • Rigidezza delle molle: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k2 = 2000 N/m k3 = 1500 N/m a = 150 mm • Distanza dei punti A e B dal perno C: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b = 250 mm

136

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.17

- Cod. VIB-056

k Y

m, J

r

5k

m, J

r

Ω

O

Per il sistema in figura, nell’ipotesi che i dischi rotolino senza strisciare sul carrello, si chiede di: 1. calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare; 2. calcolare le ampiezze di vibrazione a regime, quando la manovella ruota con velocit`a angolare Ω costante.

Dati • • • • • •

Massa dei dischi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 10 kg Momento d’inerzia baricentrico dei dischi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.05 kg m2 Costante elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 1000 N/m Lunghezza della manovella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y = 80 mm Raggio dei dischi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 100 mm Velocit` a angolare della manovella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 40 rad/s

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.18

137

- Cod. VIB-057

l1

l2 zA

Cm

d 1

d

J1 zB

R

2

J2 k

k

k

r J3

Si consideri la trasmissione meccanica rappresentata in figura; nell’ipotesi che la cinghia di trasmissione e gli alberi (1) e (2) abbiano comportamento elastico, si chiede di: 1. scrivere le equazioni di moto del sistema; 2. calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare; 3. determinare l’ampiezza delle vibrazioni dei tre dischi in condizioni di regime quando al sistema viene applicata una coppia variabile nel tempo con legge sinusoidale Cm = C0 sin Ωt. Nota. Si consideri trascurabile l’inerzia delle due ruote dentate.

Dati • • • • • • • •

Momenti d’inerzia dei dischi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 5 kg m2 J2 = 3 kg m2 J3 = 2 kg m2 Numero di denti delle ruote dentate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zA = 20 zB = 60 Modulo di elasticit` a tangenziale dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G = 80 kN/mm2 Lunghezze degli alberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l1 = 1 m l2 = 0.5 m Diametro degli alberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 40 mm Raggi delle pulegge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 100 mm r = 80 mm Costante elastica della cinghia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 3 × 105 N/m Dati relativi alla forzante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .C0 = 80 Nm Ω = 20 rad/s

138

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.19

- Cod. VIB-063

2

J2

L3

k M

d3 zA

L2

zB

d2

R d1

L1

k 1

M

J1 Cm Il sistema rappresentato in figura `e costituito dai componenti sotto elencati: • • • • •

due dischi aventi momento d’inerzia J1 e J2 ; due alberi di acciaio montati su cuscinetti; una coppia di ruote dentate che permettono la trasmissione del moto fra i due alberi; un elemento elastico di rigidezza k; una massa M collegata all’elemento elastico e scorrevole senza attrito lungo una guida orizzontale.

Nell’ipotesi che risultino trascurabili le masse degli alberi ed il momento d’inerzia delle ruote dentate, si chiede di: 1. scrivere le equazioni di moto; 2. calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare; 3. calcolare l’ampiezza delle vibrazioni a regime quando al disco (1) viene applicata una coppia motrice Cm variabile nel tempo con legge armonica Cm = Cmax sin Ωt.

Dati • • • • • • • • •

Momenti d’inerzia dei dischi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 5kg m2 J2 = 2 kg m2 Massa del corpo traslante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 10 kg Costante elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 10000 N/m Raggio del disco (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 150 mm Numero di denti delle ruote dentate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zA = 20 zB = 60 Modulo di elasticit` a tangenziale dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G = 80 kN/mm2 Lunghezze degli alberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L1 = 300 mm L2 = 250 mm L3 = 200 mm Diametri degli alberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d1 = 30 mm d2 = 20 mm d3 = 15 mm Dati relativi alla forzante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cmax = 100 Nm Ω = 25 rad/s

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.20

139

- Cod. VIB-066

slitta

k

M1

e

k

k

m

M3

P k

O Ω

M2

rullo

R

Per il sistema rappresentato in figura, nell’ipotesi che non vi sia strisciamento fra il rullo ed il terreno e fra il rullo e la slitta, si chiede di: 1. scrivere le equazioni di moto; 2. calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare; 3. determinare l’ampiezza delle vibrazioni in condizioni di regime, quando l’asta OP ruota a velocit`a angolare Ω costante. Nota. Si ricordi che, per il rullo omogeneo di massa M2 e raggio R, il momento d’inerzia baricentrico vale: J=

M2 R 2 2

Dati • • • • • • • •

Massa del corpo su cui `e montato il rotore eccentrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M1 = 50 kg Massa del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M2 = 15 kg Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M3 = 10 kg Massa eccentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 4 kg Eccentricit` a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e = 25 mm Raggio del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 200 mm Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 2000 N/m Velocit` a angolare dell’asta OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 20 rad/s

140

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.21

- Cod. VIB-067

EI

l/4

m1

k

l/4

m2

l/4

l/4

Calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare relativi alle vibrazioni flessionali della trave in figura, nell’ipotesi che la massa della trave sia trascurabile. Si imposti poi il calcolo suddetto nel caso in cui la massa della trave non risulti trascurabile (si indichino con % la densit` a del materiale costituente la trave e con A l’area della sua sezione trasversale).

Dati • • • • • •

Massa n.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1 = 30 kg Massa n.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m2 = 15 kg Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 8000 N/m Modulo di Young dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 206000 N/mm2 Lunghezza della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 1 m Momento d’inerzia della sezione della trave rispetto all’asse neutro della flessione . . . . . . . . . . . I = 2500 mm4

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.22

141

- Cod. VIB-068

e Ωt

M 4k

m 1

r

r

k

A

G J

J

a O

2

2

3a

3 mB B

Il sistema rappresentato in figura giace in un piano verticale ed `e costituito da un carrello (1) di massa M , dotato di due ruote (2) aventi entrambe raggio r e momento d’inerzia baricentrico pari a J. Sul carrello `e montata una massa m avente eccentricit`a e rispetto al perno di rotazione. Il carrello `e collegato a terra tramite una molla di rigidezza 4k, disposta come in figura; un’altra molla, di rigidezza k, collega il carrello ad un’asta (3) di massa trascurabile, incernierata in O, sulla cui estremit`a inferiore `e fissata una massa di valore pari ad mB . Domande 1. Scrivere le equazioni di moto per il sistema in esame nei due casi seguenti: a) rotore fermo (bloccato sul proprio perno in modo da risultare solidale con il carrello); b) rotore azionato a velocit` a angolare costante Ω. 2. Nell’ipotesi che il rotore sia bloccato sul proprio perno calcolare: a) le pulsazioni proprie del sistema; b) i modi principali di vibrare; c) la legge di movimento del sistema quando vengono assegnate le seguenti condizioni iniziali: - carrello spostato di x0 = 5 mm verso destra rispetto alla sua posizione di equilibrio statico; - asta (3) verticale; - velocit` a nulle. 3. Nel caso di funzionamento a regime (rotore azionato a velocit`a angolare costante Ω) determinare: a) l’ampiezza delle vibrazioni orizzontali del carrello; b) l’ampiezza delle oscillazioni angolari dell’asta (3). Nota. Per la scrittura delle equazioni di moto si ritengano valide le seguenti ipotesi: • assenza di strisciamento fra ruote e terreno; • piccole oscillazioni dell’asta (3).

Dati • • • • • • • • •

Massa del carrello (ruote comprese) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 20 kg Momento d’inerzia delle ruote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.05 kg m2 Massa eccentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 3 kg Massa fissata all’estremit` a B dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mB = 2 kg Costante elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 800 N/m Eccentricit` a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e = 30 mm Raggio delle ruote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 180 mm Lunghezza dei due bracci dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . OA = a = 100 mm OB = 3a = 300 mm Velocit` a angolare della massa eccentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 10 rad/s

142

Esercizio 2.23

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008 - Cod. VIB-069

k2

m1

d

EI m2

k1 l

l

l

Si consideri il sistema in figura, costituito da un albero di acciaio di diametro d, montato su due supporti, sul quale sono fissate due masse m1 ed m2 , vincolate a terra mediante due molle di rigidezza k1 e k2 . Domande 1. Calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare relativi alle vibrazioni flessionali del sistema, supponendo trascurabile la massa dell’albero rispetto a quella delle due masse concentrate. 2. Nell’ipotesi che la massa dell’albero non sia trascurabile, scrivere le condizioni al contorno che permettono di calcolare le pulsazioni proprie del sistema (si indichi con % la densit`a del materiale costituente l’albero).

Dati • • • • • •

Masse concentrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1 = 40 kg m2 = 15 kg Rigidezze delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 5000 N/m k2 = 10000 N/m Modulo di Young dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 206000 N/mm2 Lunghezza di ciascun tratto dell’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 800 mm Diametro dell’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 20 mm Momento d’inerzia della sezione dell’albero rispetto all’asse neutro della flessione . . . . . . . . . . . . . . I = πd4 /64

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.24

143

- Cod. VIB-070

1

2 k2

3

J2

J13 O1

a

a k2

M

O2

R

k1

L e

4 n

m

mP

P La slitta (4) scorre in direzione orizzontale ed `e vincolata a terra mediante una molla di rigidezza k1 . Nella parte inferiore della slitta `e montata una massa eccentrica rotante a velocit`a angolare costante; nella parte superiore la slitta `e dotata di una cremagliera che permette la trasmissione del moto alla ruota dentata (3), di massa trascurabile e solidale con la puleggia (1); quest’ultima trasmette il movimento alla puleggia (2) mediante una cinghia elastica i cui rami hanno rigidezza pari a k2 . L’asta O2 P, di massa trascurabile e lunghezza L, `e solidale con la puleggia (2) e porta all’estremit`a inferiore una massa mP . Nell’ipotesi che il pendolo compia piccole oscillazioni nell’intorno della posizione verticale si chiede di: 1. scrivere le equazioni di moto del sistema; 2. calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare; 3. calcolare l’ampiezza delle vibrazioni del pendolo e della slitta in condizioni di regime. Nota. Si assuma che tutte le molle siano scariche quando l’asta O2 P `e in posizione verticale e che tutti gli attriti siano trascurabili.

Dati • • • • • • • • • • •

Massa della slitta (esclusa la massa eccentrica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 20 kg Momento d’inerzia totale della puleggia (1) e della ruota dentata (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J13 = 0.08 kg m2 Momento d’inerzia della puleggia (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J2 = 0.02 kg m2 Massa eccentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 3 kg Massa del pendolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mP = 6 kg Eccentricit` a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e = 40 mm Raggio primitivo della ruota dentata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 120 mm Raggio delle pulegge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 90 mm Lunghezza dell’asta O2 P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L = 200 mm Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 3000 N/m k2 = 6000 N/m Velocit` a angolare del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 giri/min

144

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.25

- Cod. VIB-072

a

a B

A mA

k

M

e

m

Ω

5k

Per il sistema vibrante rappresentato in figura, nell’ipotesi che l’asta AB (di massa trascurabile) compia piccole oscillazioni attorno alla posizione orizzontale, si chiede di: 1. scrivere le equazioni di moto; 2. calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare; 3. calcolare l’ampiezza delle vibrazioni a regime supponendo che il rotore eccentrico ruoti a velocit`a angolare costante. Nota. Per semplicit` a si supponga che l’asta AB sia in equilibrio in posizione orizzontale.

Dati • • • • • • •

Massa del corpo traslante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 60 kg Massa eccentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 4 kg Massa applicata all’estremit` a A dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mA = 8 kg Costante elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 10000 N/m Lunghezza di ciascun braccio dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 0.5 m Eccentricit` a del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e = 50 mm Velocit` a angolare del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n = 500 giri/min

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.26

145

- Cod. VIB-081

J3

k

J3

R

R

d1

d2

a

b

k J2

J1 l

J2

Determinare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare della trasmissione meccanica indicata in figura, considerando nei calcoli la rigidezza torsionale dell’albero e la deformabilit`a della cinghia. Si tenga presente che le pulegge (1) e (2), pur essendo geometricamente identiche, sono realizzate in materiali diversi e pertanto il loro momento d’inerzia assume valori differenti.

Dati • • • • • • • • • •

Momento di’inerzia della puleggia (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 0.005 kg m2 Momento di’inerzia della puleggia (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J2 = 0.008 kg m2 Momento di’inerzia del disco (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J3 = 0.02 kg m2 Raggio delle pulegge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 50 mm Modulo di Young del materiale costituente la cinghia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 7.5 kN/mm2 Area della sezione trasversale della cinghia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A = 400 mm2 Lunghezza di ciascun ramo della cinghia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 800 mm Modulo di elasticit` a tangenziale del materiale costituente l’albero (acciaio) . . . . . . . . . . . . . . . G = 80 kN/mm2 Lunghezza dei due tratti di albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 400 mm b = 600 mm Diametri dei due tratti di albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d1 = 20 mm d2 = 30 mm

Nota. Si osservi che i rami della cinghia sono stati schematizzati mediante due molle di rigidezza k, calcolabile mediante i dati assegnati.

146

Esercizio 2.27

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008 - Cod. VIB-082

A

M1

k2

M2 , JG a

k1

P

R

n O

a k3

m B

Per il sistema vibrante rappresentato in figura, nell’ipotesi che l’asta AB compia piccole oscillazioni attorno alla posizione verticale, si chiede di: 1. scrivere le equazioni di moto; 2. calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare; 3. calcolare l’ampiezza delle vibrazioni a regime supponendo che la manovella OP ruoti a velocit`a angolare costante.

Dati • • • • • • • •

Massa della macchina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M1 = 150 kg Massa in moto alternativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 15 kg Massa dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M2 = 30 kg Momento d’inerzia baricentrico dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JG = 2 kg m2 Rigidezze delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 8000 N/m k2 = 5000 N/m k3 = 1000 N/m Semi lunghezza dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 400 mm Lunghezza della manovella OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 80 mm Velocit` a angolare della manovella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n = 150 giri/min

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.28

147

- Cod. VIB-083

L/3

EI

L/3

k1

L/3

k2 m1

m2

Calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare per il sistema in figura, costituito da una trave elastica in acciaio, di massa trascurabile, incastrata alle estremit`a, alla quale sono collegate due masse m1 ed m2 mediante due molle di rigidezza pari a k1 e k2 .

Dati • • • • •

Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1 = 70 kg m2 = 30 kg Rigidezze delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 50000 N/m k2 = 20000 N/m Modulo di Young dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 206000 N/mm2 Lunghezza della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L = 1 m Momento d’inerzia della sezione della trave rispetto all’asse neutro della flessione . . . . . . . . . . . . .I = 500 mm4

148

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.29

- Cod. VIB-084

J3 J2 d

J1 l1

l2

Determinare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare relativi alle vibrazioni torsionali dell’albero rappresentato in figura.

Dati • • • •

Momenti d’inerzia dei tre dischi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 3 kg m2 J2 = 4 kg m2 J3 = 5 kg m2 Lunghezze dei due tratti di albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l1 = 400 mm l2 = 700 mm Diametro dell’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 40 mm Modulo di elasticit` a tangenziale del materiale costituente l’albero (acciaio) . . . . . . . . . . . . . . . G = 80 kN/mm2

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.30

149

- Cod. VIB-090

m A J1

k1

a

r R F(t)=F0 sin 2πf t

M

k1

J2

r b

k3 B

k2

Il sistema meccanico rappresentato in figura, posto in un piano verticale, `e costituito da una massa traslante in direzione orizzontale e soggetta all’azione di una forza esterna variabile nel tempo con legge sinusoidale. Tramite un’asta a cremagliera il movimento viene trasmesso ad una ruota dentata di raggio primitivo R, montata coassialmente con una puleggia di raggio r. Mediante una trasmissione a cinghia viene azionata un’altra puleggia di raggio r, solidale ad un’asta AB, di massa trascurabile; all’estremo A dell’asta `e fissata una massa m, mentre all’estremo B `e collegata una molla di rigidezza k3 . Un’altra molla, di rigidezza k2 `e fissata fra il telaio e l’asta a cremagliera. L’elasticit` a dei rami della cinghia viene schematizzata mediante due molle di rigidezza k1 . Nella posizione di equilibrio l’asta AB `e verticale e tutte le molle sono scariche. Supponendo trascurabili gli attriti e ritenendo valida l’ipotesi di piccole oscillazioni dell’asta AB nell’intorno della posizione verticale, si chiede di: 1. scrivere le equazioni di moto del sistema; 2. calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare; 3. calcolare l’ampiezza delle vibrazioni in condizioni di regime.

Dati • • • • • • • • • •

Massa traslante (stantuffo e asta a cremagliera) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 7 kg Momento d’inerzia della ruota dentata e della puleggia sinistra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 0.2 kg m2 Momento d’inerzia della puleggia destra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J2 = 0.01 kg m2 Massa solidale al punto A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 2 kg Rigidezze delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 3000 N/m k2 = 4000 N/m k3 = 500 N/m Lunghezze dei bracci dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 250 mm b = 150 mm Raggio primitivo della ruota dentata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 200 mm Raggi delle pulegge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 80 mm Valore massimo della forzante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F0 = 100 N Frequenza della forzante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f = 5 Hz

150

Esercizio 2.31

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008 - Cod. VIB-091

l

l m1

d

k2 k1

m2

Una trave di sezione circolare `e vincolata mediante un incastro all’estremit`a sinistra e mediante un appoggio cedevole (schematizzato tramite una molla di costante k1 ) nel punto intermedio. Una massa di valore pari ad m1 `e fissata a met`a della lunghezza, mentre una seconda massa, di valore pari ad m2 , `e fissata all’estremo destro, mediante un supporto elastico di rigidezza k2 . Nell’ipotesi che la massa propria della trave risulti trascurabile, si chiede di calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare relativi alle vibrazioni flessionali del sistema.

Dati • • • • •

Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1 = 25 kg m2 = 15 kg Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 32000 N/m k2 = 28000 N/m Modulo di Young dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 206000 N/mm2 Semi lunghezza della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 400 mm Diametro della sezione della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .d = 12 mm

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.32

151

- Cod. VIB-093

m, JG G k2

k1 l1

l2

Calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare di un’automobile, schematizzata mediante il modello indicato in figura (corpo rigido su appoggi elastici).

Dati • • • • • •

Massa del veicolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 1000 kg Momento d’inerzia baricentrico del veicolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JG = 810 kg m2 Rigidezza della sospensione anteriore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 1.8 × 104 N/m Rigidezza della sospensione posteriore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k2 = 2.2 × 104 N/m Distanza del baricentro dall’asse anteriore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l1 = 1 m Distanza del baricentro dall’asse posteriore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l2 = 1.5 m

152

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.33

- Cod. VIB-096

k1

m1 x1

k2

m2

k3

x2

Per il sistema vibrante rappresentato in figura si chiede di determinare: 1. le pulsazioni proprie; 2. i modi principali di vibrare; 3. le leggi di moto delle due masse, quando vengono assegnate le condizioni iniziali sotto riportate.

Dati • Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1 = 1.6 kg m2 = 2.5 kg • Rigidezze delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 2000 N/m k2 = 4000 N/m k3 = 3000 N/m   x1 (0) = 0.3 m x2 (0) = 0.2 m • Condizioni iniziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x˙1 (0) = 1 m/s x˙2 (0) = 6 m/s

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.34

- Cod. VIB-101

l2

l1 d1

153

J1

r1

r1

J3 r2 J2

d2

r3

r3

r2 M

k

k

Il sistema rappresentato in figura `e costituito dai seguenti elementi: • • • • •

una coppia di ruote dentate aventi raggio primitivo r1 ed r2 rispettivamente; una barra di torsione in acciaio avente lunghezza l1 e diametro d1 ; un albero in acciaio di lunghezza l2 e diametro d2 ; una slitta di massa M scorrevole all’interno di una guida rettilinea; una ruota dentata di raggio primitivo r3 che trasmette il moto alla slitta tramite una cremagliera (non rappresentata in figura); • due molle di uguale rigidezza k collegate alla slitta come in figura.

Nell’ipotesi che tutte le dissipazioni energetiche dovute ai fenomeni di attrito siano trascurabili, si chiede di: 1. scrivere le equazioni di moto del sistema; 2. determinare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare.

Dati • • • • • • •

Momenti d’inerzia delle ruote dentate . . . . . . . . . . . . J1 = 0.01 kg m2 J2 = 0.35 kg m2 J3 = 3.2 kg m2 Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 40 kg Raggi primitivi delle ruote dentate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r1 = 80 mm r2 = 200 mm r3 = 350 mm Lunghezza e diametro della barra di torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l1 = 750 mm d1 = 20 mm Lunghezza e diametro dell’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l2 = 700 mm d2 = 30 mm Modulo di elasticit` a tangenziale dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G = 80 kN/mm2 Rigidezza delle molle collegate alla slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 12000 N/m

154

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.35

- Cod. VIB-102

M

m

e

n

n

R

R

md , J d

md , J d

k1

k2

a)

M

m

e

k1

k1

k2

k2

k1

b)

Il sistema rappresentato in Figura a) `e costituito da una macchina di massa M , vincolata a terra mediante due supporti elastici di rigidezza k1 . Sulla macchina `e montato un disco di massa md , momento d’inerzia baricentrico Jd e raggio R, al quale `e fissata una molla di rigidezza k2 , disposta come in figura. La macchina `e sottoposta ad una eccitazione armonica generata da un rotore eccentrico di massa m ed eccentricit` a e, rotante a velocit` a angolare costante n. Nell’ipotesi che tutti i fenomeni di smorzamento siano trascurabili, si chiede di: 1. 2. 3. 4.

scrivere le equazioni di moto del sistema di Figura a); calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare; determinare l’ampiezza delle oscillazioni in condizioni di regime; nel caso in cui al disco venga aggiunta una seconda molla (sempre di rigidezza k2 ), come rappresentato in Figura b), dire come si modificano le equazioni di moto e commentare il risultato ottenuto.

Dati • • • • • • • • •

Massa della macchina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M = 100 kg Massa del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . md = 40 kg Momento d’inerzia del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jd = 0.6 kg m2 Massa del rotore eccentrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 15 kg Eccentricit` a del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e = 8 mm Raggio del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 180 mm Rigidezza dei supporti elastici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 8500 N/m Rigidezza dei rami della fune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k2 = 2500 N/m Velocit` a angolare del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n = 100 giri/min

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.36

155

- Cod. VIB-104

J1 J2 d

a

b Figura 1

In Figura 1 `e rappresentata una barra di torsione di acciaio sulla quale sono montate due masse aventi momento d’inerzia pari a J1 e J2 . I due tratti della barra hanno lo stesso diametro d e differenti lunghezze (indicate con i simboli a e b in figura).

Domande 1. 2. 3. 4.

calcolare le rigidezze torsionali dei due tratti della barra; scrivere le equazioni di moto delle due masse; calcolare le pulsazioni proprie del sistema; calcolare i modi principali di vibrare e disegnare i grafici delle forme modali.

Dati • • • •

Momenti d’inerzia delle due masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 6 kg m2 J2 = 4 kg m2 Diametro della barra di torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 20 mm Lunghezza dei due tratti della barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 0.6 m b=1m Modulo di elasticit` a tangenziale dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G = 80 kN/mm2

156

Esercizio 2.37

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008 - Cod. VIB-106

k1

L

G

JG

L k2

M

F (t )

Figura 1 Il sistema vibrante rappresentato in Figura 1 `e costituito da un’asta incernierata nel baricentro e collegata ad una molla di rigidezza k1 in corrispondenza dell’estremit`a superiore. Una seconda molla, di rigidezza k2 , collega l’estremo inferiore dell’asta ad una massa M , che pu`o scorrere orizzontalmente all’interno di una guida rettilinea. Nell’ipotesi che l’asta compia piccole oscillazioni attorno alla posizione verticale (di equilibrio statico) e che la massa M scorra senza attrito all’interno della guida, si chiede di: 1. scrivere le equazioni di moto del sistema; 2. calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare; 3. determinare, in condizioni di regime, l’ampiezza delle oscillazioni dell’asta e della massa traslante, quando quest’ultima `e sottoposta all’azione di una forzante armonica F (t) di intensit`a e frequenza assegnate.

Dati • • • • • •

Massa traslante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 10 kg Momento d’inerzia baricentrico dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JG = 0.5 kg m2 Semi-lunghezza dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L = 600 mm Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 1000 N/m k2 = 2500 N/m Valore massimo della forza applicata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .F0 = 50 N Frequenza della forza applicata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f = 2 Hz

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.38

157

- Cod. VIB-108

kt

R

k1 J

m

k2 y (t ) = Y0 sin Ω t Figura 1 Per il sistema vibrante rappresentato in Figura 1, nell’ipotesi che la fune sia inestensibile e che la puleggia di rinvio abbia inerzia trascurabile, si chiede di: • scrivere le equazioni di moto del sistema; • calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare; • studiare le vibrazioni forzate del sistema, quando l’estremo inferiore della molla di rigidezza k2 si muove con legge sinusoidale y(t) = Y0 sin Ωt.

Dati • • • • • • •

Massa traslante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 4 kg Momento d’inerzia del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.04 kg m2 Rigidezza della molla torsionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kt = 50 Nm/rad Rigidezza delle molle collegate alla massa traslante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 4000 N/m k2 = 2000 N/m Raggio del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 100 mm Ampiezza del moto armonico imposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y0 = 100 mm Pulsazione del moto armonico imposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 10 rad/s

158

Esercizio 2.39

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008 - Cod. VIB-115

a J1 , z1 d1

d2

J 2 , z2

b

d3

J3

b

c

Figura 1 Per il sistema rappresentato in Figura 1, nell’ipotesi che siano trascurabili dissipazioni di energia dovute ai fenomeni di attrito e la massa degli elementi deformabili a torsione, si chiede di: 1. scrivere le equazioni di moto; 2. determinare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare relativi alle vibrazioni torsionali.

Dati • • •

• •

J1 = 0.03 kg m2 Momenti d’inerzia: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J2 = 2.4 kg m2 J3 = 3.5 kg m2 z = 40 Numero di denti delle ruote dentate: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 z2 = 120 a = 400 mm Lunghezza degli elementi deformabili a torsione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b = 230 mm c = 350 mm d1 = 15 mm Diametro degli elementi deformabili a torsione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d2 = 18 mm d3 = 24 mm Modulo di elasticit` a tangenziale dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G = 80 kN/mm2

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.40 L1

159

- Cod. VIB-116

L2

Sezione trasv. della trave

L1

h EJ

m1

m2

b

Figura 1 Si determinino le frequenze proprie di vibrazione flessionale e le corrispondenti deformate modali della trave di acciaio rappresentata in Figura 1, nell’ipotesi che la massa propria della trave risulti trascurabile rispetto a quella delle masse applicate su di essa.

Dati m1 = 20 kg m2 = 35 kg L = 250 mm • Lunghezze: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 L2 = 700 mm b = 50 mm • Dimensioni della sezione trasversale della trave: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h = 15 mm • Modulo di Young dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 206 kN/mm2

• Masse: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

160

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.41

- Cod. VIB-122

k2 A

a k1 J1

J2 r

r k1 k3

R

JO M

a

B

Figura 1 Calcolare le pulsazioni proprie e i modi principali di vibrare per il sistema in Figura 1, nell’ipotesi che: a) l’asta AB compia piccole oscillazioni; b) la trasmissione del moto fra la ruota di frizione di raggio R e la slitta sottostante avvenga in assenza di slittamento.

Dati • • • • • • • • • •

Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 40 kg Momento d’inerzia della puleggia sinistra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 0.015 kg m2 Momento d’inerzia complessivo della puleggia destra e della ruota di frizione . . . . . . . . . . . . . . J2 = 0.16 kg m2 Momento d’inerzia del’asta rispetto al perno O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JO = 0.25 kg m2 Rigidezza dei rami della cinghia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k1 = 5 × 104 N/m Rigidezza della molla collegata al punto A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k2 = 2.5 × 104 N/m Rigidezza della molla collegata alla slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k3 = 104 N/m Raggio delle pulegge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 80 mm Raggio della ruota di frizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 160 mm Semi-lunghezza dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 200 mm

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.42 B

161

- Cod. VIB-123

k2

M

a

R r

C

n O

k3 P

a

Jasta

Y

J

P’ y(t)

k1

A Figura 1

Si consideri il sistema vibrante rappresentato in Figura 1; nell’ipotesi che l’asta AB compia piccole oscillazioni e che l’attrito tra la slitta ed i supporti sia trascurabile, si chiede di: 1. 2. 3. 4.

scrivere le equazioni di moto del sistema; calcolare le frequenze proprie di vibrazione; calcolare i vettori modali; studiare il moto a regime quando la manovella OP ruota a velocit`a angolare costante.

Dati • • • • • • • • •

Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 50 kg Momento d’inerzia complessivo della puleggia e della ruota di frizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.015 kg m2 Momento d’inerzia dell’asta rispetto al perno C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Jasta = 0.35 kg m2 Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 15 kN/m k2 = 10 kN/m k3 = 12 kN/m Raggio della puleggia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 75 mm Raggio della ruota di frizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 150 mm Semi-lunghezza dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 250 mm Lunghezza della manovella OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y = 50 mm Velocit` a angolare della manovella OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n = 50 giri/min

162

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.43

- Cod. VIB-124

L A

Cm

J1

R

d J2

B

k C

Cr

k

k

D

r

J3 Figura 1 La macchina rappresentata schematicamente in Figura 1 `e costituita da un motore (A), un albero di trasmissione di acciaio (B), una cinghia (C) e un dispositivo utilizzatore (D). La coppia motrice e la coppia resistente sono indicate in figura con i simboli Cm e Cr rispettivamente, mentre i momenti d’inerzia delle masse rotanti sono indicati con il simbolo J seguito da un pedice numerico. Sia kt la rigidezza torsionale dell’albero di trasmissione e k la rigidezza di ciascun ramo della cinghia. Supponendo trascurabili tutti gli effetti di smorzamento, si chiede di: 1. scrivere le equazioni di moto del sistema; 2. calcolare le pulsazioni proprie; 3. calcolare i vettori modali.

Dati • • • • • •

Momenti d’inerzia delle masse rotanti . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 2 kg m2 J2 = 0.4 kg m2 J3 = 0.12 kg m2 Rigidezza dei rami della cinghia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 4 × 106 N/m Raggi delle pulegge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 150 mm R = 200 mm Lunghezza dell’albero di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L = 1 m Diametro dell’albero di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 30 mm Modulo di elasticit` a tangenziale dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G = 80 kN/mm2

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.44

163

- Cod. VIB-128

4

3

J2

M

2

R

R

r2

k

J Cm 1

J

k

r1 J1 Figura 1

In Figura 1 `e rappresentato schematicamente un nastro trasportatore azionato da un motore elettrico tramite una trasmissione a cinghia. I rami della cinghia presentano un certo grado di cedevolezza e vengono pertanto schematizzati mediante due molle di uguale rigidezza k. Utilizzando i dati sotto indicati e ritenendo trascurabili i fenomeni di smorzamento, si chiede di: 1. scrivere le equazioni di moto del sistema; 2. calcolare le pulsazioni proprie; 3. calcolare i modi principali di vibrare.

Dati • • • • • • • •

Massa della cassa trasportata dal nastro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 60 kg Momento d’inerzia della puleggia motrice (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 0.013 kg m2 Momento d’inerzia della puleggia (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J2 = 1 kg m2 Momento d’inerzia delle pulegge (3) e (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.01 kg m2 Raggio della puleggia motrice (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r1 = 80 mm Raggio della puleggia (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r2 = 240 mm Raggio delle pulegge (3) e (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 75 mm Rigidezza dei rami della cinghia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 5 × 106 N/m

164

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.45

- Cod. VIB-129 mP

J2 A

kc R

p(t)

r1

a

r2

d

O mS

J1

b kc

k

k B

Figura 1 Per il sistema vibrante rappresentato in Figura 1, nell’ipotesi che l’asta AB compia piccole oscillazioni ed il rullo rotoli senza strisciare, si chiede di: 1. scrivere l’equazione di moto; 2. determinare la rigidezza k della molla in modo che la pulsazione propria non smorzata del sistema risulti uguale a 30 rad/s; 3. determinare la costante c dello smorzatore viscoso in modo che il fattore di smorzamento adimensionale del sistema risulti pari al 20%; 4. supponendo nulla la pressione nel cilindro, studiare le vibrazioni libere del sistema quando la slitta viene spostata di 25 mm verso destra e successivamente rilasciata (si consideri pertanto nulla la velocit`a iniziale); tracciare inoltre un grafico qualitativo che rappresenti l’andamento nel tempo dello spostamento della slitta; 5. supponendo che la variazione nel tempo della pressione nel cilindro sia approssimabile mediante la legge sinusoidale9 rappresentata in Figura 1, determinare l’andamento delle oscillazioni della slitta in condizioni di regime.

Dati • • • • • • • • • •

Massa del pistone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .MP = 4 kg Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MS = 12 kg Massa del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MR = 6 kg Momento d’inerzia della leva rispetto al perno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JL = 0.2 kg m2 Momento d’inerzia baricentrico del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JR = 0.075 kg m2 Raggio del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 150 mm Semi-lunghezza della leva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 300 mm Pressione massima nel cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pmax = 40000 Pa Periodo con cui varia la pressione nel cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .T = 2 s Diametro del cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D = 130 mm

9I

valori negativi indicano una depressione nel cilindro.

Parte III - Vibrazioni di sistemi a pi` u gradi di libert` a - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 2.46

165

- Cod. VIB-132

k J3

r M2 2k

b J1

a 3k

J2

b

p(t)

a

pmax

M1 T

t

p D k

Figura 1 Per il sistema vibrante rappresentato in Figura 1, nell’ipotesi che le aste compiano piccole oscillazioni e la trasmissione del moto tra la slitta e il disco avvenga in assenza di strisciamento, si chiede di: 1. scrivere le equazioni di moto; 2. calcolare le pulsazioni proprie e i modi principali di vibrare; 3. supponendo che la pressione nel cilindro oscilli secondo la legge sinusoidale10 rappresentata in figura, determinare il movimento del pistone e della slitta in condizioni di regime.

Dati • • • • • • • • • •

Massa del pistone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M1 = 2 kg Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M2 = 6 kg Momenti d’inerzia delle aste oscillanti rispetto ai perni . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 0.2 kg m2 J2 = 0.04 kg m2 Momento d’inerzia del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .J3 = 0.03 kg m2 Raggio del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 90 mm Semi-lunghezza delle aste oscillanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 250 mm b = 150 mm Rigidezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 3000 N/m Pressione massima nel cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pmax = 6 × 104 Pa Periodo con cui varia la pressione nel cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .T = 1 s Diametro del cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D = 50 mm

10 I

valori negativi indicano una depressione nel cilindro.

Parte III

Vibrazioni di sistemi continui

Parte IV - Vibrazioni di sistemi continui - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 3.1

167

- Cod. VIB-039

Determinare la legge di movimento di una corda uniforme di lunghezza l, fissata ad entrambe le estremit` a, che viene pizzicata in corrispondenza del suo punto medio, come indicato in Figura 1, e successivamente rilasciata.

w0 (x) = w(x,0)

h x l/2

l/2 Figura 1

Soluzione Indichiamo con T il tiro, supposto costante, a cui `e soggetta la corda e con % la densit`a lineare (massa per unit` a di lunghezza) della corda stessa. La velocit` a c di propagazione dell’onda lungo la corda risulta: s T (1) c= % mentre l’equazione di moto `e data dalla seguente espressione:  ωx ωx  w(x, t) = W (x)f (t) = A cos + B sin (C cos ωt + D sin ωt) c c

(2)

Poich´e la corda `e fissata ad entrambe le estremit`a, possiamo scrivere le condizioni ad contorno sotto riportate:  w(0, t) = 0 (3) w(l, t) = 0 Poich´e la funzione f (t) risulta, in generale, diversa da zero, le condizioni (3) si trasformano nelle seguenti:  W (0) = 0 (4) W (l) = 0 Dalla prima delle (4) si ricava A = 0, mentre dalla seconda delle (4) si ha: sin

ωl =0 c

(5)

dovendo risultare B 6= 0, al fine di non ottenere una soluzione identicamente nulla. Risolvendo la (5) si ottengono i valori delle pulsazioni proprie: ωn l = nπ c

⇒

ωn =

nπc l

(n = 1, 2, . . .)

L’n-esimo modo di vibrare risulta pertanto definito dall’equazione: nπx  nπc nπc  wn (x, t) = Wn (x)fn (t) = sin Cn cos t + Dn sin t l l l

(6)

(7)

La legge di movimento della corda si ottiene per sovrapposizione degli infiniti modi di vibrare wn (x, t); si ha pertanto: ∞ ∞ X X nπx  nπc nπc  Cn cos t + Dn sin t (8) w(x, t) = wn (x, t) = sin l l l n=1 n=1

168

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Derivando la (8) si ricava l’espressione della velocit`a per i vari punti della corda: w(x, ˙ t) =

∞ X

sin

n=1

nπx  nπc nπc nπc nπc  Cn sin t+ Dn cos t − l l l l l

(9)

Indichiamo ora con w0 (x) la configurazione iniziale deformata della corda: w0 (x) = w(x, 0)

(10)

Poich´e la corda `e in quiete all’istante iniziale si ha: w˙ 0 (x) = w(x, ˙ 0) = 0

(11)

Applicando le condizioni iniziali (10) e (11) alle (8) e (9) si ricavano le seguenti relazioni: ∞ X

Cn sin

n=1

nπx = w0 (x) l

∞ X nπx nπc Dn sin =0 l l n=1

(12)

Dalla seconda delle (12) si deduce immediatamente che deve essere: Dn = 0

per

n = 1, 2, 3, . . .

l calcolo dei coefficienti Cn si pu` o effettuare moltiplicando la prima delle (12) per sin ad x da 0 ad l; il risultato che si ottiene `e il seguente11 : Z 2 l nπx Cn = dx w0 (x) sin l 0 l

(13) mπx ed integrando rispetto l

(14)

L’espressione analitica della deformata iniziale, necessaria per il calcolo dell’integrale al secondo membro della (14), si deduce dalla Figura 1:  2h l   per 0 ≤ x ≤   l x 2 w0 (x) = (15)   l 2h   (l − x) per < x ≤ l l 2 Dalla (14), tenendo conto della (15), si ricava: "Z # Z l l/2 i 2 2h nπx 2h nπx 4h h nπ Cn = x sin dx + (l − x) sin dx = 2 2 2 sin − sin nπ (16) l l l l n π 2 0 l/2 l 11 Illustriamo

nel dettaglio i passaggi da effettuare per ricavare i coefficienti Cn a partire dalla prima delle (12): mπx • moltiplichiamo la prima delle (12) per sin : l " ∞ # ∞ X mπx X nπx mπx nπx mπx mπx sin Cn sin = w0 (x) sin ⇒ Cn sin sin = w0 (x) sin l l l l l l n=1 n=1 • integriamo fra 0 ed l: l

Z 0

"

∞ X

# Z l mπx mπx nπx Cn sin sin dx = w0 (x) sin dx l l l 0 n=1

• applichiamo la propriet` a di linearit` a degli integrali (l’integrale di un sommatoria di funzioni ` e uguale alla sommatoria degli integrali delle singole funzioni):  Z l Z l ∞  X nπx mπx mπx w0 (x) sin Cn sin sin dx = dx l l l 0 0 n=1 • si osserva che:

l

Z

sin 0

nπx mπx sin dx = l l



l/2 0

per m = n per m = 6 n

• quindi, di tutti i termini della sommatoria, rimane solo quello corrispondente a m = n; in definitiva si ottiene: Z l Z l nπx 2 l nπx Cn = w0 (x) sin dx ⇒ Cn = w0 (x) sin dx 2 l l 0 l 0

Parte IV - Vibrazioni di sistemi continui - Rev. 8 ottobre 2008

169

Poich´e risulta sin nπ = 0 per n = 1, 2, 3, . . ., si ha: Cn =

8h nπ sin 2 2 n π 2

Osservando ora che: nπ = sin 2



per

(−1)(n−1)/2 0

n = 1, 2, 3, . . .

per n = 1, 3, 5, . . . per n = 2, 4, 6, . . .

(17)

(18)

possiamo scrivere: ( Cn =

(−1)(n−1)/2 0

8h n2 π 2

per n = 1, 3, 5, . . .

(19)

per n = 2, 4, 6, . . .

In definitiva, tenendo conto della (13) e della (19), l’equazione (8) pu`o essere riscritta nella forma: πx πc 3πx 3πc 5πx 5πc w(x, t) = C1 sin cos t + C3 sin cos t + C5 sin cos t + ... l l l l l  l  πx πc 1 3πx 3πc 1 5πx 5πc 8h cos t − sin cos t+ sin cos t − ... = 2 sin π l l 9 l l 25 l l

(20)

170

Esercizio 3.2

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008 - Cod. VIB-040

Si considerino le vibrazioni assiali di un’asta omogenea di lunghezza l, avente sezione trasversale uniforme di area As , vincolata nei modi indicati in Figura 1:

a)

b)

c) Figura 1 Condizioni di vincolo: c) incastro - incastro.

a) incastro - estremo libero; b) estremo libero - estremo libero;

Siano % ed E rispettivamente la densit` a ed il modulo di Young del materiale costituente l’asta; per ciascuna delle condizioni di vincolo specificate si chiede di determinare: • le condizioni al contorno; • l’equazione delle frequenze; • le pulsazioni proprie; • i modi principali di vibrare.

Soluzione Indicando con u(x, t) lo spostamento assiale di una generica sezione dell’asta, l’equazione delle vibrazioni assiali risulta:  ωx ωx  u(x, t) = U (x)f (t) = A cos + B sin (C cos ωt + D sin ωt) (1) c c dove s E c= (2) % rappresenta la velocit` a di propagazione dell’onda lungo l’asta. Esaminiamo ora le condizioni di vincolo sopra riportate.

Caso a): Incastro - estremo libero

x l Figura 2 • Condizioni al contorno In x = 0 lo spostamento `e nullo, quindi: u(0.t) = 0

(3)

In x = l la forza assiale N `e nulla, quindi: N (l, t) = EAs

∂u (l, t) = 0 ∂x

⇒

∂u (l, t) = 0 ∂x

(4)

Parte IV - Vibrazioni di sistemi continui - Rev. 8 ottobre 2008

171

• Equazione delle frequenze Per ricavare l’equazione delle frequenze applichiamo le condizioni al contorno sopra riportate:  ωx ωx  u(x, t) = A cos f (t) ⇒ u(0.t) = Af (t) = 0 + B sin c c    ω ∂u ∂u ωx ω ωx  ω ωl f (t) ⇒ (x, t) = − A sin + B cos (l, t) = B cos f (t) = 0 ∂x c c c c ∂x c c

(5) (6)

Dalla (5) si deduce che deve essere A = 0, mentre dalla (6) si ricava l’equazione delle frequenze: ωl =0 c

cos

(7)

• Pulsazioni proprie Le pulsazioni proprie si ricavano risolvendo la (7) rispetto ad ω: ωl π = (2n + 1) c 2

⇒

ω=

(2n + 1)πc 2l

n = 0.1.2.3. . . .

(8)

• Modi principali di vibrare Tenendo presenti i risultati ottenuti in precedenza, l’espressione analitica dell’nesimo modo principale di vibrare Un (x) risulta: Un (x) = Cn sin

(2n + 1)πx 2l

(9)

dove Cn rappresenta una generica costante.

Caso b): Estremo libero - estremo libero

x l Figura 3 • Condizioni al contorno In x = 0 la forza assiale N `e nulla, quindi: N (0.t) = EAs

∂u (0.t) = 0 ∂x

⇒

∂u (0.t) = 0 ∂x

(10)

∂u (l, t) = 0 ∂x

⇒

∂u (l, t) = 0 ∂x

(11)

In x = l la forza assiale N `e nulla, quindi: N (l, t) = EAs • Equazione delle frequenze Per ricavare l’equazione delle frequenze applichiamo le condizioni al contorno sopra riportate: ∂u ω (0.t) = Bf (t) = 0  ω ∂x c ∂u ωx ω ωx  (x, t) = − A sin + B cos f (t) ⇒   ∂x c c c c ∂u ω ωl ω ωl (l, t) = − A sin + B cos f (t) = 0 ∂x c c c c (12) Dalla prima delle (12) si ottiene B = 0, mentre dalla seconda si ricava l’equazione delle frequenze: sin

ωl =0 c

(13)

172

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

• Pulsazioni proprie Le pulsazioni proprie si ricavano risolvendo la (13) rispetto ad ω: ωl = nπ c

⇒

ω=

nπc l

n = 1.2.3. . . .

(14)

• Modi principali di vibrare Tenendo presenti i risultati ottenuti in precedenza, l’espressione analitica dell’n-esimo modo principale di vibrare Un (x) risulta: nπx Un (x) = Cn cos (15) l dove Cn rappresenta una generica costante.

Caso c): Incastro - incastro

x l Figura 4 • Condizioni al contorno In x = 0 lo spostamento `e nullo, quindi: u(0.t) = 0

(16)

u(l, t) = 0

(17)

In x = l lo spostamento `e nullo, quindi: • Equazione delle frequenze Per ricavare l’equazione delle frequenze applichiamo le condizioni al contorno sopra riportate: u(0.t) = Af (t) = 0 ωx ωx  u(x, t) = A cos + B sin f (t) c c 

⇒

  ωl ωl u(l, t) = A cos + B sin f (t) = 0 c c

(18)

Dalla prima delle (18) si ottiene A = 0, mentre dalla seconda si ricava l’equazione delle frequenze: sin

ωl =0 c

(19)

• Pulsazioni proprie Le pulsazioni proprie si ricavano risolvendo la (19) rispetto ad ω: ωl = nπ c

⇒

ω=

nπc l

n = 1.2.3. . . .

(20)

• Modi principali di vibrare Tenendo presenti i risultati ottenuti in precedenza, l’espressione analitica dell’n-esimo modo principale di vibrare Un (x) risulta: nπx Un (x) = Cn sin (21) l dove Cn rappresenta una generica costante.

Parte IV - Vibrazioni di sistemi continui - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 3.3

173

- Cod. VIB-041

Calcolare le prime tre frequenze proprie relative alle vibrazioni longitudinali delle aste di acciaio riportate nelle figure seguenti:

Caso a)

x

k l Figura 1

Caso b)

k1

k2

x l Figura 2

Dati • • • • •

Lunghezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 1.5 m Modulo di Young dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 206000 N/mm2 Densit` a dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . % = 7800 kg/m3 Diametro della sezione trasversale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 10 mm Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 3 × 107 N/m k1 = 5 × 107 N/m k2 = 8 × 107 N/m

Soluzione Assumiamo per convenzione lo spostamento assiale u positivo verso destra e l’azione assiale N positiva a trazione (vedi Figura 3).

u +

N

+

N

Figura 3 L’equazione delle vibrazioni assiali `e la seguente:  ωx ωx  u(x, t) = U (x)f (t) = A cos + B sin (C cos ωt + D sin ωt) c c dove s E c= % rappresenta la velocit` a di propagazione delle onde. Esaminiamo ora separatamente i due casi.

(1)

(2)

174

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Caso a)

x

k l Figura 4

La condizione al contorno relativa all’estremo sinistro (x = 0) `e: u(0.t) = 0

(3)

Imponendo tale condizione si ricava: ⇒

u(0.t) = Af (t) = 0

A=0

(4)

La condizione sull’estremo destro (x = l) si pu`o ottenere esprimendo l’equilibrio delle forze agenti sull’elemento terminale dell’asta: tali forze sono rappresentate dall’azione assiale N (l, t) e dalla forza elastica ku(l, t) esercitata dalla molla (vedi Figura 5).

∂ u(l,t) N(l,t) = EA s ______ ∂x

k u(l,t)

Figura 5 Estremo destro dell’asta Se As indica l’area della sezione trasversale dell’asta, la condizione di equilibrio suddetta risulta: EAs

∂u (l, t) + ku(l, t) = 0 ∂x

Tenendo conto della (4), la funzione u(x, t) e la sua derivata parziale rispetto ad x risultano:  ω ωx  ωx  ∂u u(x, t) = B sin (x, t) = B cos f (t) f (t) c ∂x c c

(5)

(6)

Sostituendo le espressioni (6), calcolate in x = l, nella (5) e semplificando il termine Bf (t) si ricava l’equazione delle frequenze per il sistema in esame: EAs

ω ωl ωl cos + k sin =0 c c c

Ponendo ora ωl β= = ωl c

r

(7)

% E

(8)

EAs β kl

(9)

l’equazione (7) pu` o essere riscritta nella forma: tan β = −

L’equazione (9), risolta per via numerica, consente di ricavare i valori di corrispondenti alle pulsazioni proprie del sistema; per localizzare le soluzioni `e conveniente rappresentare in forma grafica i due membri della (9): Si osservi che, essendo β > 0, si considera solo il semiasse orizzontale positivo. Indichiamo con β1 , β2 e β3 le prime tre soluzioni della (9): dal grafico sopra riportato si deduce che: π < β1 < π 2

3 π < β2 < 2π 2

5 π < β3 < 3π 2

Con i dati numerici forniti dal testo si ottengono i seguenti risultati:

(10)

Parte IV - Vibrazioni di sistemi continui - Rev. 8 ottobre 2008

0

β1

β2

π

175

2π

β3

3π

β

Figura 6

• Area della sezione trasversale dell’asta: πd2 π × 0.012 = = 7.85 × 10−5 m2 4 4

(11)

206000 × 106 × 7.85 × 10−5 EAs =− = 0.36 kl 3 × 107 × 1.5

(12)

As = • Coefficiente angolare della retta: b=−

Risolvendo numericamente la (9) si ottengono i valori di β sotto riportati: β1 = 2.425

β2 = 5.203

β3 = 8.182

(13)

La velocit` a di propagazione delle onde si ricava dalla relazione (2): s

r

206000 × 106 = 5139 m/s 7800

(14)

c 5139 = 2.425 × = 8307 rad/s l 1.5 c 5139 ω2 = β2 = 5.203 × = 17827 rad/s l 1.5 c 5139 ω3 = β3 = 8.182 × = 28031 rad/s l 1.5

(15)

c=

E = %

Le pulsazioni proprie risultano pertanto: ω1 = β1

176

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

e le corrispondenti frequenze: ω1 8307 = = 1322 Hz 2π 2π ω2 17827 f2 = = = 2837 Hz 2π 2π ω3 28031 f3 = = = 4461 Hz 2π 2π f1 =

(16)

Caso b)

k1

x

k2 l Figura 7

Le condizioni al contorno si ottengono mediante considerazioni di equilibrio per entrambi gli estremi; le forze in gioco sono evidenziate nelle figure seguenti:

∂u(0,t) N(0,t) = EAs ______ ∂x

k1 u(0,t)

Figura 8 Estremo sinistro dell’asta.

∂ u(l,t) N(l,t) = EA s ______ ∂x

k 2 u(l,t)

Figura 9 Estremo destro dell’asta. Si ha pertanto: ∂u (0.t) − k1 u(0.t) = 0 ∂x ∂u EAs (l, t) + k2 u(l, t) = 0 ∂x EAs

(17)

La funzione u(x, t) e la sua derivata parziale rispetto ad x risultano:  ωx ωx  u(x, t) = A cos + B sin f (t) c c  ω ∂u ωx ω ωx  (x, t) = − A sin + B cos f (t) ∂x c c c c

(18)

Dalle (17) e (18), semplificando il termine f (t), si ottiene il seguente sistema di equazioni:  ω  EAs B − k1 A = 0    c     ω ωl ω ωl ωl ωl  EA − A sin + B cos + k A cos + B sin =0  s 2   c c c c c c

(19)

Parte IV - Vibrazioni di sistemi continui - Rev. 8 ottobre 2008

177

Per determinare l’equazione delle frequenze si pu`o ricavare la costante A dalla prima delle (19) e sostituire il valore cos`ı ottenuto nella seconda equazione; dopo alcuni passaggi algebrici si perviene al seguente risultato:   k2 a 1+ β k1 (20) tan β = − a2 k2 − β 2 k1 in cui β `e dato dalla (8), mentre la costante a `e definita dalla relazione: a=

EAs l

(21)

Possiamo osservare subito che, per k1 → ∞ e k2 = k, l’equazione (20) si trasforma nella (9); ci`o era prevedibile, dal momento che una molla di rigidezza infinita impedisce qualsiasi spostamento assiale e risulta pertanto equivalente ad un incastro. Anche in questo caso l’equazione delle frequenze (20) deve essere risolta per via numerica; per localizzare le soluzioni rappresentiamo graficamente i due membri dell’equazione suddetta:

β1 0

β2

π

2π

β3

3π

β

Figura 10 Indichiamo con β1 , β2 e β3 le prime tre soluzioni della (20): dal grafico sopra riportato si deduce che: π < β1 < π 2

3 π < β2 < 2π 2

2π < β3 <

5 π 2

(22)

Con i dati numerici forniti dal testo la (20) assume la seguente espressione: tan β = −

2.804 β 8 − 0.233 β 2

(23)

Risolvendo numericamente la (20) si ottengono i valori di β sotto riportati: β1 = 2.362

β2 = 4.888

β3 = 7.604

(24)

178

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Le pulsazioni proprie risultano pertanto: c 5139 = 2.362 × = 8092 rad/s l 1.5 c 5139 ω2 = β2 = 4.888 × = 16748 rad/s l 1.5 5139 c = 26051 rad/s ω3 = β3 = 7.604 × l 1.5

(25)

ω1 8092 = = 1288 Hz 2π 2π ω2 16748 f2 = = = 2666 Hz 2π 2π ω3 26051 f3 = = = 4146 Hz 2π 2π

(26)

ω1 = β1

e le corrispondenti frequenze: f1 =

Confrontando i valori delle frequenze proprie ottenuti nei due casi, si osserva che i valori relativi al caso b) sono pi` u bassi rispetto ai corrispondenti valori dal caso a); questo risultato era prevedibile, dal momento che la rigidezza del sistema diminuisce, passando dal caso a) al caso b), in seguito all’introduzione della seconda molla.

Parte IV - Vibrazioni di sistemi continui - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 3.4

179

- Cod. VIB-042

Calcolare le prime tre frequenze proprie relative alle vibrazioni assiali di un’asta di acciaio con un estremo incastrato, alla quale `e fissata una massa concentrata M in corrispondenza dell’estremo libero.

x M l Figura 1

Dati • • • • •

Lunghezza dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 0.75 m Modulo di Young dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 206000 N/mm2 Densit` a dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . % = 7800 kg/m3 Diametro della sezione trasversale dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 10 mm Massa applicata all’estremit` a destra dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 1.5 kg

Soluzione Assumiamo per convenzione lo spostamento assiale u positivo verso destra e l’azione assiale N positiva a trazione (vedi Figura 2).

u +

N

+

N

Figura 2 L’equazione delle vibrazioni assiali `e la seguente:  ωx  ωx + B sin (C cos ωt + D sin ωt) u(x, t) = U (x)f (t) = A cos c c dove

s c=

E %

(1)

(2)

rappresenta la velocit` a di propagazione delle onde. La condizione al contorno relativa all’estremo sinistro (x = 0) `e: u(0.t) = 0

(3)

Imponendo tale condizione si ricava: u(0.t) = Af (t) = 0

⇒

A=0

(4)

La condizione sull’estremo destro (x = l) si pu`o ottenere esprimendo l’equilibrio delle forze agenti sulla massa concentrata; tali forze sono rappresentate dall’azione assiale N (l, t) e dalla forza d’inerzia Fi (l, t) generata dalla massa stessa (vedi Figura 3). Si ha pertanto: ∂u ∂2u EAs (l, t) + M 2 (l, t) = 0 (5) ∂x ∂t

180

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

∂ u(l,t) Fi (l,t) = M _______ ∂ t2 2

∂ u(l,t) N(l,t) = EA s ______ ∂x Figura 3 dove As indica l’area della sezione trasversale del’asta. Poich´e la costante A `e nulla (vedi equazione (4)), la derivata parziale rispetto ad x della funzione u(x, t) risulta: ω ∂u dU (x) ωx  f (t) (x, t) = f (t) = B cos ∂x dx c c

(6)

Per quanto riguarda la derivata parziale seconda rispetto al tempo possiamo scrivere:  ∂2u d2 f (t) ωx  (x, t) = U (x) = −ω 2 U (x)f (t) = −ω 2 B sin f (t) 2 2 ∂t dt c

(7)

Sostituendo le (6) e (7), calcolate in x = l, nella (5) e semplificando, si ottiene l’equazione seguente: EAs ωl ωl cos − M ω sin =0 c c c

(8)

Poich´e risulta E = %c2 (vedi equazione (2)) possiamo riscrivere la (8) nella forma: ωl ωl ωl %As l cos = sin M c c c

(9)

Si osservi che il prodotto m = %As l rappresenta la massa propria dell’asta. Definendo ora le costanti r %As l m ωl % h= = β= = ωl M M c E

(10)

l’equazione (9) diventa: tan β =

h β

(11)

L’equazione (11), risolta per via numerica, fornisce i valori di β corrispondenti alle pulsazioni proprie del sistema in esame; la rappresentazione grafica dei due membri della (11) `e riportata nella Figura 4: Si noti che, essendo β > 0, si considera soltanto il semiasse orizzontale positivo. Indichiamo con β1 , β2 e β3 le prime tre soluzioni della (11): dal grafico sopra riportato si deduce che: 0 < β1 <

π 2

π < β2 <

3 π 2

2π < β3 <

5 π 2

(12)

Con i dati numerici assegnati dal problema si ha: As =

πd2 π × 0.012 = = 7.85 × 10−5 m2 4 4

%As l 7800 × 7.85 × 10−5 × 0.75 = = 0.306 M 1.5 β1 = 0.527 β2 = 3.236 β3 = 6.332

h=

La velocit` a di propagazione delle onde si ricava dalla relazione (2): s r E 206000 × 106 c= = = 5139 m/s % 7800

(13) (14) (15)

(16)

Parte IV - Vibrazioni di sistemi continui - Rev. 8 ottobre 2008

0

β1

π

β2

181

2π β3

3π

β

Figura 4 Le pulsazioni proprie risultano pertanto: c 5139 = 0.527 × = 3609 rad/s l 0.75 c 5139 ω2 = β2 = 3.236 × = 22173 rad/s l 0.75 5139 c = 43384 rad/s ω3 = β3 = 6.332 × l 0.75

(17)

ω1 3609 = = 574 Hz 2π 2π ω2 22173 = = 3529 Hz f2 = 2π 2π ω3 43384 f3 = = = 6905 Hz 2π 2π

(18)

ω1 = β1

e le corrispondenti frequenze: f1 =

Se si trascura la massa dell’asta, si ottiene un sistema ad un solo grado di libert`a del tipo illustrato in Figura 5:

k M Figura 5 La costante elastica k rappresenta la rigidezza assiale dell’asta e vale: k=

EAs l

(19)

182

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

La pulsazione propria `e pertanto: r r r k EAs 206000 × 106 × 7.85 × 10−5 ω= = = = 3792 rad/s M Ml 1.5 × 0.75

(20)

L’errore percentuale commesso sul calcolo della prima frequenza propria `e: ε=

3792 − 3609 ω − ω1 × 100 == × 100 ∼ = 5% ω1 3609

(21)

Parte IV - Vibrazioni di sistemi continui - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 3.5

183

- Cod. VIB-043

Si considerino le vibrazioni torsionali di un’asta omogenea di lunghezza l, avente sezione trasversale uniforme con momento d’inerzia polare Jp , vincolata nei modi indicati in Figura 1:

a)

b)

c) Figura 1 Condizioni di vincolo: c) incastro - incastro.

a) incastro - estremo libero;

b)estremo libero - estremo libero;

Siano % e G rispettivamente la densit` a ed il modulo di elasticit`a tangenziale del materiale costituente l’asta; per ciascuna delle condizioni di vincolo specificate si chiede di determinare: • le condizioni al contorno; • l’equazione delle frequenze; • le pulsazioni proprie; • i modi principali di vibrare.

Soluzione Indicando con ϑ(x, t) la rotazione di una generica sezione dell’asta, l’equazione delle vibrazioni torsionali risulta:  ωx  ωx + B sin (C cos ωt + D sin ωt) (1) ϑ(x, t) = Θ(x)f (t) = A cos c c dove s G c= (2) % rappresenta la velocit` a di propagazione dell’onda lungo l’asta. Esaminiamo ora le condizioni di vincolo sopra riportate.

Caso a): Incastro - estremo libero

x l Figura 2 • Condizioni al contorno In x = 0 la rotazione `e nulla, quindi: ϑ(0.t) = 0

(3)

In x = l il momento torcente Mt `e nullo, quindi: Mt (l, t) = GJp

∂ϑ (l, t) = 0 ∂x

⇒

∂ϑ (l, t) = 0 ∂x

(4)

184

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

• Equazione delle frequenze Per ricavare l’equazione delle frequenze applichiamo le condizioni al contorno sopra riportate:  ωx ωx  f (t) ⇒ ϑ(0.t) = Af (t) = 0 ϑ(x, t) = A cos + B sin c c    ω ∂ϑ ∂ϑ ωx ω ωx  ω ωl f (t) ⇒ (x, t) = − A sin + B cos (l, t) = B cos f (t) = 0 ∂x c c c c ∂x c c

(5) (6)

Dalla (5) si deduce che deve essere A = 0, mentre dalla (6) si ricava l’equazione delle frequenze: ωl =0 c

cos

(7)

• Pulsazioni proprie Le pulsazioni proprie si ricavano risolvendo la (7) rispetto ad ω: π ωl = (2n + 1) c 2 • Modi principali di vibrare

⇒

ω=

(2n + 1)πc 2l

n = 0.1.2.3. . . .

(8)

Tenendo presenti i risultati ottenuti in precedenza, l’espressione analitica dell’ n-esimo modo principale di vibrare Θn (x) risulta: (2n + 1)πx (9) Θn (x) = Cn sin 2l dove Cn rappresenta una generica costante.

Caso b): Estremo libero - estremo libero

x l Figura 3 • Condizioni al contorno In x = 0 il momento torcente Mt `e nullo, quindi: ∂ϑ (0.t) = 0 ∂x In x = l il momento torcente Mt `e nullo, quindi: Mt (0.t) = GJp

Mt (l, t) = GJp

∂ϑ (l, t) = 0 ∂x

⇒

∂ϑ (0.t) = 0 ∂x

(10)

⇒

∂ϑ (l, t) = 0 ∂x

(11)

• Equazione delle frequenze Per ricavare l’equazione delle frequenze applichiamo le condizioni al contorno sopra riportate: ∂ϑ ω (0.t) = Bf (t) = 0 ∂x c ⇒   ∂ϑ ω ωl ω ωl (l, t) = − A sin + B cos f (t) = 0 ∂x c c c c (12) Dalla prima delle (12) si ottiene B = 0, mentre dalla seconda si ricava l’equazione delle frequenze:  ω ∂ϑ ωx ω ωx  (x, t) = − A sin + B cos f (t) ∂x c c c c

sin

ωl =0 c

(13)

Parte IV - Vibrazioni di sistemi continui - Rev. 8 ottobre 2008

185

• Pulsazioni proprie Le pulsazioni proprie si ricavano risolvendo la (13) rispetto ad ω: ωl = nπ c

⇒

ω=

nπc l

n = 1.2.3. . . .

(14)

• Modi principali di vibrare Tenendo presenti i risultati ottenuti in precedenza, l’espressione analitica dell’ n-esimo modo principale di vibrare Θn (x) risulta: nπx Θn (x) = Cn cos (15) l dove Cn rappresenta una generica costante.

Caso c): Incastro - incastro

x l Figura 4 • Condizioni al contorno In x = 0 lo spostamento `e nullo, quindi: ϑ(0.t) = 0

(16)

ϑ(l, t) = 0

(17)

In x = l lo spostamento `e nullo, quindi: • Equazione delle frequenze Per ricavare l’equazione delle frequenze applichiamo le condizioni al contorno sopra riportate: ϑ(0.t) = Af (t) = 0 ωx ωx  ϑ(x, t) = A cos + B sin f (t) c c 

⇒

  ωl ωl ϑ(l, t) = A cos + B sin f (t) = 0 c c

(18)

Dalla prima delle (18) si ottiene A = 0, mentre dalla seconda si ricava l’equazione delle frequenze: sin

ωl =0 c

(19)

• Pulsazioni proprie Le pulsazioni proprie si ricavano risolvendo la (19) rispetto ad ω: ωl = nπ c

⇒

ω=

nπc l

n = 1.2.3. . . .

(20)

• Modi principali di vibrare Tenendo presenti i risultati ottenuti in precedenza, l’espressione analitica dell’n-esimo modo principale di vibrare Θn (x) risulta: nπx Θn (x) = Cn sin (21) l dove Cn rappresenta una generica costante.

186

Esercizio 3.6

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008 - Cod. VIB-044

Calcolare le prime tre frequenze proprie relative alle vibrazioni torsionali di un’asta di acciaio con un estremo incastrato, alla quale `e fissato un disco di momento d’inerzia JD in corrispondenza dell’estremo libero.

d JD

Gρ

x l

Figura 1

Dati • • • • •

Lunghezza dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 1.2 m Modulo di elasticit` a tangenziale dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G = 80000 N/mm2 Densit` a dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . % = 7800 kg/m3 Diametro della sezione trasversale dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 20 mm Momento d’inerzia del disco applicato all’estremit`a libera dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . JD = 2.25 × 10−4 kg m2

Soluzione Per la risoluzione del problema adottiamo le convenzioni di segno indicate nella Figura 2:

Mt θ

+

+

Mt

Figura 2 L’equazione delle vibrazioni torsionali `e la seguente:  ωx ωx  ϑ(x, t) = Θ(x)f (t) = A cos + B sin (C cos ωt + D sin ωt) c c

(1)

dove s c=

G %

(2)

rappresenta la velocit` a di propagazione delle onde. La condizione al contorno relativa all’estremo incastrato (x = 0) `e: ϑ(0.t) = 0

(3)

Parte IV - Vibrazioni di sistemi continui - Rev. 8 ottobre 2008

187

Imponendo tale condizione si ricava: ϑ(0.t) = Af (t) = 0

⇒

A=0

(4)

La condizione sull’altro estremo (x = l) si pu`o ottenere esprimendo l’equilibrio delle coppie agenti sul disco; tali coppie sono rappresentate dal momento torcente Mt (l, t) e dalla coppia d’inerzia Ci (l, t) generata dal disco stesso (vedi Figura 3). ∂ 2θ (l,t) _______ C i(l,t) = JD 2 ∂t

∂ θ (l,t) Mt(l,t) = GJP _______ ∂x

d M t(l,t)

x

M t(l,t) θ

l

Ci (l,t)

Figura 3 Si ha pertanto: ∂2ϑ ∂ϑ (l, t) + JD 2 (l, t) = 0 (5) ∂x ∂t dove Jp indica il momento d’inerzia polare della sezione trasversale del’asta. Poich´e la costante A `e nulla (vedi equazione (4)), la derivata parziale rispetto ad x della funzione ϑ(x, t) risulta: ω ∂ϑ dΘ(x) ωx  (x, t) = f (t) = B cos f (t) (6) ∂x dx c c GJp

Per quanto riguarda la derivata parziale seconda rispetto al tempo possiamo scrivere:  d2 f (t) ωx  ∂2ϑ 2 2 (x, t) = Θ(x) = −ω Θ(x)f (t) = −ω B sin f (t) ∂t2 dt2 c

(7)

Sostituendo le (6) e (7), calcolate in x = l, nella (5) e semplificando, si ottiene l’equazione seguente: ωl ωl GJp cos − JD ω sin =0 c c c

(8)

Poich´e risulta G = %c2 (vedi equazione (2)) possiamo riscrivere la (8) nella forma: %Jp l ωl ωl ωl cos = sin JD c c c

(9)

Si osservi che il momento d’inerzia di massa dell’asta attorno al proprio asse risulta pari a12 : Jasta = %Jp l 12 Applicando

(10)

la definizione, il momento d’inerzia polare della sezione dell’asta vale: Z Jp = r2 dA [m4 ] A

Sempre applicando la definizione, il momento d’inerzia di massa dell’asta vale: Z Z Jasta = r2 dm = %l r2 dA = %lJp m

[kg m2 ]

A

essendo dm = % dV = %l dA (m = massa, V = volume, A = area). Per una sezione circolare di diametro d il momento d’inerzia polare vale: Z Z d/2 πd4 Jp = r2 dA = r2 2πr dr = 32 A 0

188

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Ponendo: %Jp l Jasta h= = JD JD

ωl β= = ωl c

r

% G

(11)

l’equazione (9) diventa: tan β =

h β

(12)

L’equazione (12), risolta per via numerica, fornisce i valori di β corrispondenti alle pulsazioni proprie del sistema in esame; la rappresentazione grafica dei due membri della (12) `e riportata nella Figura 4:

0

β1

β2

π

3π

2π β3

β

Figura 4 Si noti che, essendo β > 0, si considera soltanto il semiasse orizzontale positivo. Indichiamo con β1 , β2 e β3 le prime tre soluzioni della (12): dal grafico sopra riportato si deduce che: 0 < β1 <

π 2

π < β2 <

3 π 2

2π < β3 <

5 π 2

(13)

Con i dati numerici assegnati dal problema si ha: πd4 π × 0.022 = = 1.571 × 10−8 m4 32 32

(14)

%Jp l 7800 × 1.571 × 10−8 × 1.2 = = 0.653 JD 2.25 × 10−4

(15)

Jp =

h=

β1 = 0.730

β2 = 3.335

β3 = 6.385

(16)

La velocit` a di propagazione delle onde si ricava dalla relazione (2): s c=

G = %

r

80000 × 106 = 3203 m/s 7800

(17)

Parte IV - Vibrazioni di sistemi continui - Rev. 8 ottobre 2008

189

Le pulsazioni proprie risultano pertanto: c 3203 = 0.730 × = 1948 rad/s l 1.2 c 3203 ω2 = β2 = 3.335 × = 8901 rad/s l 1.2 3203 c = 17041 rad/s ω3 = β3 = 6.385 × l 1.2

(18)

ω1 1948 = = 310 Hz 2π 2π ω2 8901 f2 = = = 1417 Hz 2π 2π ω3 17041 f3 = = = 2712 Hz 2π 2π

(19)

ω1 = β1

e le corrispondenti frequenze: f1 =

Se si trascura la massa dell’asta, si ottiene un sistema ad un solo grado di libert`a del tipo illustrato in Figura 5 (disco incernierato a terra soggetto alla coppia generata da una molla torsionale).

kt

JD

Figura 5 La costante elastica kt rappresenta la rigidezza torsionale dell’asta e vale: k=

GJp l

La pulsazione propria `e pertanto: r r r kt GJp 80000 × 106 × 1.571 × 10−8 ω= = = = 2157 rad/s JD JD l 2.25 × 10−4 × 1.2

(20)

(21)

L’errore percentuale commesso sul calcolo della prima frequenza propria `e: ε=

2157 − 1948 ω − ω1 × 100 = × 100 ∼ = 10.7% ω1 1948

(22)

190

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 3.7

- Cod. VIB-045

Calcolare le prime tre pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare relativi alle vibrazioni trasversali della trave sotto riportata.

x

EJ ρ A s l Figura 1

Soluzione Indichiamo con: y(x, t) ϕ(x, t) M (x, t) T (x, t)

lo spostamento verticale di una generica sezione della trave; la rotazione di una generica sezione della trave; il momento flettente agente in una generica sezione della trave; la forza di taglio in una generica sezione della trave.

Per la risoluzione del problema adottiamo le convenzioni di segno indicate in Figura 2:

ϕ w +

+ M T

+

T M

Figura 2 L’equazione delle vibrazioni trasversali `e la seguente: y(x, t) = Y (x)f (t) = (A cos βx + B sin βx + C cosh βx + D sinh βx)(E cos ωt + F sin ωt) dove:

(1)

r

ω 2 %As EJ Le condizioni al contorno relative all’estremo incastrato (x = 0) sono:   y(0.t) = 0  ϕ(0.t) = ∂y (0.t) = 0 ∂x β=

4

Le condizioni al contorno relative all’estremo appoggiato (x = l) sono invece:  2  M (l, t) = EJ ∂ y (l, t) = 0 ∂x2  y(l, t) = 0

(2)

(3)

(4)

Per imporre le condizioni suddette occorre effettuare il calcolo delle derivate parziali rispetto ad x (prima e seconda) della funzione y(x, t): ∂y (x, t) = β(−A sin βx + B cos βx + C sinh βx + D cosh βx)f (t) ∂x

(5)

∂2y (x, t) = β 2 (−A cos βx − B sin βx + C cosh βx + D sinh βx)f (t) ∂x2

(6)

Parte IV - Vibrazioni di sistemi continui - Rev. 8 ottobre 2008

191

Utilizzando ora le espressioni di y(x, t) e delle sue derivate nelle condizioni al contorno (3) e (4), si ottiene, dopo opportune semplificazioni, il seguente sistema di equazioni:  A+C =0    B+D =0 (7) −A cos βl − B sin βl + C cosh βl + D sinh βl = 0    A cos βl + B sin βl + C cosh βl + D sinh βl = 0 Ricavando dalle prime due equazioni del sistema (7) i valori delle costanti C e D e sostituendoli nelle rimanenti equazioni, si perviene al seguente sistema:  A(cos βl + cosh βl) + B(sin βl + sinh βl) = 0 (8) A(cos βl − cosh βl) + B(sin βl − sinh βl) = 0 Affinch´e tale sistema abbia una soluzione non banale `e necessario che sia nullo il determinante della matrice dei coefficienti: (cos βl + cosh βl) (sin βl + sinh βl) (9) (cos βl − cosh βl) (sin βl − sinh βl) = 0 Ponendo, per semplicit` a α = βl e sviluppando il determinante, si ricava, dopo semplici passaggi, l’equazione delle frequenze sotto riportata: cos α sinh α − sin α cosh α = 0 (10) ovvero: tanh α = tan α

(11)

L’equazione (11), risolta per via numerica, fornisce i valori di α corrispondenti alle pulsazioni proprie del sistema in esame; la rappresentazione grafica dei due membri della (11) `e riportata in Figura 3:

0

π

α1

2π α2

3π α3

4π

α

Figura 3 Si noti che, essendo α > 0, si considera soltanto il semiasse orizzontale positivo. Indichiamo con α1 , α2 e α3 le prime tre soluzioni della (11): dal grafico sopra riportato si deduce che: π < α1 <

3 π 2

2π < α2 <

5 π 2

3π < α3 <

7 π 2

(12)

192

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

La soluzione numerica della (11) fornisce i seguenti risultati: α1 = β1 l = 3.927 α2 = β2 l = 7.069 α3 = β3 l = 10.21 Le pulsazioni proprie si ricavano risolvendo la (2) rispetto ad ω: s EJ 2 n = 1.2.3. . . . ω n = βn %As Per il calcolo dei modi principali di vibrare possiamo procedere come segue: • ricaviamo la costante B dalla seconda delle (8):   cos βl − cosh βl B = −A sin βl − sinh βl

(13)

(14)

(15)

• riscriviamo l’espressione di Y (x) tenendo presente che C = −A e D = −B: Y (x) = A(cos βx − cosh βx) + B(sin βx − sinh βx) • sostituiamo la (15) nella (16):     cos βl − cosh βl (sin βx − sinh βx) Y (x) = A (cos βx − cosh βx) − sin βl − sinh βl Con riferimento all’ n-esimo modo di vibrare potremo quindi scrivere:     cos βn l − cosh βn l Yn (x) = An (cos βn x − cosh βn x) − (sin βn x − sinh βn x) sin βn l − sinh βn l yn (x, t) = Yn (x)fn (t) = Yn (x)(En cos ωn t + Fn sin ωn t) Nelle figure seguenti sono rappresentate le deformate della trave relative ai primi tre modi di vibrare.

Figura 4: Primo modo di vibrare.

Figura 5: Secondo modo di vibrare.

Figura 6: Terzo modo di vibrare.

(16)

(17)

(18) (19)

Parte IV - Vibrazioni di sistemi continui - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 3.8

193

- Cod. VIB-046

Calcolare le prime tre pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare relativi alle vibrazioni trasversali della trave sotto riportata.

x

EJ ρ A s l Figura 1

Soluzione Indichiamo con: y(x, t) ϕ(x, t) M (x, t) T (x, t)

lo spostamento verticale di una generica sezione della trave; la rotazione di una generica sezione della trave; il momento flettente agente in una generica sezione della trave; la forza di taglio in una generica sezione della trave.

Per la risoluzione del problema adottiamo le convenzioni di segno indicate in Figura 2:

ϕ w +

+ M T

+

T M

Figura 2 L’equazione delle vibrazioni trasversali `e la seguente: y(x, t) = Y (x)f (t) = (A cos βx + B sin βx + C cosh βx + D sinh βx)(E cos ωt + F sin ωt) dove:

(1)

r

ω 2 %As EJ Le condizioni al contorno relative all’estremo incastrato (x = 0) sono:   y(0.t) = 0  ϕ(0.t) = ∂y (0.t) = 0 ∂x β=

4

Le condizioni al contorno relative all’estremo libero (x = l) sono invece:  ∂2y   M (l, t) = EJ 2 (l, t) = 0 ∂x 3   T (l, t) = EJ ∂ y (l, t) = 0 ∂x3

(2)

(3)

(4)

Per imporre le condizioni suddette occorre effettuare il calcolo delle derivate parziali rispetto ad x (prima, seconda e terza) della funzione y(x, t): ∂y (x, t) = β(−A sin βx + B cos βx + C sinh βx + D cosh βx)f (t) ∂x

(5)

∂2y (x, t) = β 2 (−A cos βx − B sin βx + C cosh βx + D sinh βx)f (t) ∂x2

(6)

194

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

∂3y (x, t) = β 3 (A sin βx − B cos βx + C sinh βx + D cosh βx)f (t) (7) ∂x3 Utilizzando ora le espressioni di y(x, t) e delle sue derivate nelle condizioni al contorno (3) e (4), si ottiene, dopo opportune semplificazioni, il seguente sistema di equazioni:  A+C =0    B+D =0 (8) −A cos βl − B sin βl + C cosh βl + D sinh βl = 0    A sin βl − B cos βl + C sinh βl + D cosh βl = 0 Ricavando dalle prime due equazioni del sistema (8) i valori delle costanti C e D e sostituendoli nelle rimanenti equazioni, si perviene al seguente sistema:  A(cos βl + cosh βl) + B(sin βl + sinh βl) = 0 (9) A(sin βl − sinh βl) − B(cos βl + cosh βl) = 0 Affinch´e tale sistema abbia una soluzione non banale `e necessario che sia nullo il determinante della matrice dei coefficienti: (cos βl + cosh βl) (sin βl + sinh βl) (10) (sin βl − sinh βl) −(cos βl + cosh βl) = 0 Ponendo, per semplicit` a α = βl e sviluppando il determinante, si ricava, dopo semplici passaggi, l’equazione delle frequenze sotto riportata: 1 + cos α cosh α = 0 (11) ovvero:

1 (12) cosh α L’equazione (12), risolta per via numerica, fornisce i valori di α corrispondenti alle pulsazioni proprie del sistema in esame; la rappresentazione grafica dei due membri della (12) `e riportata in Figura 3: cos α = −

0

α1 π/2

π

α2 3π / 2

2π

α3 5π / 2

3π 7π / 2

α

Figura 3 Si noti che, essendo α > 0, si considera soltanto il semiasse orizzontale positivo. Indichiamo con α1 , α2 e α3 le prime tre soluzioni della (12): dal grafico sopra riportato si deduce che: π < α1 < π 2

3 α2 ∼ = π 2

5 α3 ∼ = π 2

(13)

Parte IV - Vibrazioni di sistemi continui - Rev. 8 ottobre 2008

195

La soluzione numerica della (12) fornisce i seguenti risultati: α1 = β1 l = 1.875 α2 = β2 l = 4.694 α3 = β3 l = 7.854 Le pulsazioni proprie si ricavano risolvendo la (2) rispetto ad ω: s EJ 2 n = 1.2.3. . . . ω n = βn %As Per il calcolo dei modi principali di vibrare possiamo procedere come segue: • ricaviamo la costante B dalla seconda delle (9):   sin βl − sinh βl B=A cos βl + cosh βl

(14)

(15)

(16)

• riscriviamo l’espressione di Y (x) tenendo presente che C = −A e D = −B: Y (x) = A(cos βx − cosh βx) + B(sin βx − sinh βx) • sostituiamo la (16) nella (17):     sin βl − sinh βl (sin βx − sinh βx) Y (x) = A (cos βx − cosh βx) + cos βl + cosh βl Con riferimento all’ n-esimo modo di vibrare potremo quindi scrivere:     sin βn l − sinh βn l Yn (x) = An (cos βn x − cosh βn x) + (sin βn x − sinh βn x) cos βn l + cosh βn l yn (x, t) = Yn (x)fn (t) = Yn (x)(En cos ωn t + Fn sin ωn t) Nelle figure seguenti sono rappresentate le deformate della trave relative ai primi tre modi di vibrare.

Figura 4: Primo modo di vibrare.

Figura 5: Secondo modo di vibrare.

Figura 6: Terzo modo di vibrare.

(17)

(18)

(19) (20)

196

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 3.9

- Cod. VIB-047

Calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare relativi alle vibrazioni trasversali della trave sotto riportata.

x

EJ ρ A s l Figura 1

Soluzione Indichiamo con: Per la risoluzione del problema adottiamo le convenzioni di segno indicate in Figura 2: y(x, t) ϕ(x, t) M (x, t) T (x, t)

lo spostamento verticale di una generica sezione della trave; la rotazione di una generica sezione della trave; il momento flettente agente in una generica sezione della trave; la forza di taglio in una generica sezione della trave.

L’equazione delle vibrazioni trasversali `e la seguente:

ϕ w +

+ M T

+

T M

Figura 2 y(x, t) = Y (x)f (t) = (A cos βx + B sin βx + C cosh βx + D sinh βx)(E cos ωt + F sin ωt) dove:

r

(1)

ω 2 %As (2) EJ Le condizioni al contorno relative all’estremo sinistro (x = 0) sono:   y(0.t) = 0 2 (3)  M (0.t) = EJ ∂ y (0.t) = 0 2 ∂x Analogamente, per l’estremo destro (x = l) si ha:   y(l, t) = 0 2 (4)  M (l, t) = EJ ∂ y (l, t) = 0 2 ∂x Per imporre le condizioni suddette occorre effettuare il calcolo della derivata parziale seconda rispetto ad x della funzione y(x, t): ∂2y (x, t) = β 2 (−A cos βx − B sin βx + C cosh βx + D sinh βx)f (t) (5) ∂x2 Utilizzando ora le equazioni (1) e (5) nelle condizioni al contorno (3) e (4), si ottiene, dopo opportune semplificazioni, il seguente sistema di equazioni:  A+C =0    −A + C = 0 (6) A cos βl + B sin βl + C cosh βl + D sinh βl = 0    −A cos βl − B sin βl + C cosh βl + D sinh βl = 0 β=

4

Parte IV - Vibrazioni di sistemi continui - Rev. 8 ottobre 2008

197

Dalle prime due equazioni del sistema (6) si deduce che A = C = 0; le rimanenti equazioni possono quindi essere riscritte nella forma:  B sin βl + D sinh βl = 0 (7) −B sin βl + D sinh βl = 0 Affinch´e tale sistema abbia una soluzione non banale `e necessario che sia nullo il determinante della matrice dei coefficienti: sin βl sinh βl (8) − sin βl sinh βl = 0 Sviluppando il determinante e semplificando si ottiene: sin βl sinh βl = 0

(9)

Poich´e risulta sinh βl 6= 0 per βl 6= 0, la (11) d`a luogo all’equazione delle frequenze sotto riportata: sin βl = 0

(10)

I valori di β che soddisfano la (10) sono: βn =

nπ l

n = 1.2.3. . . .

(11)

Come si pu` o notare, l’equazione delle frequenze risulta in questo caso particolarmente semplice: non `e quindi necessario ricorrere a metodi numerici per la determinazione delle sue radici. Le pulsazioni proprie si ricavano risolvendo la (2) rispetto ad ω: s EJ ωn = βn2 n = 1.2.3. . . . (12) %As Sommando membro a membro le due equazioni del sistema (7) si pu`o immediatamente verificare che la costante D deve essere nulla; Poich´e anche le costanti A e C risultano nulle, possiamo scrivere: Y (x) = B sin βx

(13)

Con riferimento all’ n-esimo modo di vibrare si ha pertanto: Yn (x) = Bn sin βn x

(14)

yn (x, t) = Yn (x)fn (t) = Yn (x)(En cos ωn t + Fn sin ωn t)

(15)

Nelle figure seguenti sono rappresentate le deformate della trave relative ai primi tre modi di vibrare.

Figura 3: Primo modo di vibrare.

Figura 4: Secondo modo di vibrare.

Figura 5: Terzo modo di vibrare.

198

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 3.10

- Cod. VIB-048

Calcolare le prime tre pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare relativi alle vibrazioni trasversali della trave sotto riportata.

l ρE

d x

k

Figura 1

Dati • • • • •

Lunghezza dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 1 m Modulo di Young dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 206000 N/mm2 Densit` a dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . % = 7800 kg/m3 Diametro della sezione trasversale dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 20 mm Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 20000 N/m

Soluzione Indichiamo con: y(x, t) ϕ(x, t) M (x, t) T (x, t)

lo spostamento verticale di una generica sezione della trave; la rotazione di una generica sezione della trave; il momento flettente agente in una generica sezione della trave; la forza di taglio in una generica sezione della trave.

Per la risoluzione del problema adottiamo le convenzioni di segno indicate in Figura 2:

ϕ w +

+ M T

+

T M

Figura 2 L’equazione delle vibrazioni trasversali `e la seguente: y(x, t) = Y (x)f (t) = (A cos βx + B sin βx + C cosh βx + D sinh βx)(E cos ωt + F sin ωt)

(1)

dove: r β=

4

ω 2 %As EJ

Le condizioni al contorno relative all’estremo sinistro (x = 0) sono:   y(0.t) = 0  ϕ(0.t) = ∂y (0.t) = 0 ∂x

(2)

(3)

Parte IV - Vibrazioni di sistemi continui - Rev. 8 ottobre 2008

199

Le condizioni al contorno relative all’estremo destro (x = l) sono invece:  ∂2y   M (l, t) = EJ 2 (l, t) = 0 ∂x 3   T (l, t) = EJ ∂ y (l, t) = ky(l, t) ∂x3

(4)

Si osservi che la seconda delle (4) esprime la condizione di equilibrio delle forze agenti in corrispondenza dell’estremo destro della trave; tali forze, come risulta evidente dalla Figura 3, sono rappresentate dall’azione della molla k y(l, t) e dalla forza di taglio T (l, t).

∂3 w(l,t) T(l,t) = EJ _______ ∂x 3 k w(l,t) Figura 3 Estremo destro della trave. Per imporre le condizioni suddette occorre effettuare il calcolo delle derivate parziali (prima, seconda e terza) rispetto ad x della funzione y(x, t): ∂y (x, t) = β(−A sin βx + B cos βx + C sinh βx + D cosh βx)f (t) ∂x

(5)

∂2y (x, t) = β 2 (−A cos βx − B sin βx + C cosh βx + D sinh βx)f (t) (6) ∂x2 ∂3y (x, t) = β 3 (A sin βx − B cos βx + C sinh βx + D cosh βx)f (t) (7) ∂x3 Utilizzando ora le espressioni di y(x, t) e delle sue derivate nelle condizioni al contorno (3) e (4), si ottiene, dopo opportune semplificazioni, il seguente sistema di equazioni:  A+C =0    B+D =0 (8) −A cos βl − B sin βl + C cosh βl + D sinh βl = 0    3 EJβ (A sin βl − B cos βl + C sinh βl + D cosh βl) = k(A cos βl + B sin βl + C cosh βl + D sinh βl) Ricavando dalle prime due equazioni del sistema (8) i valori delle costanti C e D e sostituendoli nelle rimanenti equazioni, si perviene al sistema:   A(cos α + cosh α) + B(sin α + sinh α) = 0 (9) kl3  α3 [A(sin α − sinh α) − B(cos α + cosh α)] = [A(cos α − cosh α) + B(sin α − sinh α)] EJ dove si `e posto, per semplicit` a di scrittura, α = βl. kl3 Definendo ora λ = e riordinando i termini, il sistema (9) pu`o essere riscritto nella forma: EJ  A(cos α + cosh α) + B(sin α + sinh α) = 0 A[α3 (sin α − sinh α) − λ(cos α − cosh α)] − B[α3 (cos α + cosh α) + λ(sin α − sinh α)] = 0

(10)

Affinch´e tale sistema abbia una soluzione non banale `e necessario che sia nullo il determinante della matrice dei coefficienti: (cos α + cosh α) (sin α + sinh α)  3   3  =0 (11) α (sin α − sinh α) − λ(cos α − cosh α) − α (cos α + cosh α) + λ(sin α − sinh α) Sviluppando il determinante, si ricava, dopo alcuni passaggi, l’equazione delle frequenze sotto riportata: λ cos α sinh α − α3 = α3 cos α + λ sin α cosh α

(12)

200

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Tale equazione, risolta per via numerica, fornisce i valori di α corrispondenti alle pulsazioni proprie del sistema in esame; per risolvere la (12) occorre dapprima calcolare il valore del coefficiente λ, che risulta funzione di k (rigidezza della molla), l (lunghezza della trave), E (modulo di Young) e J (momento d’inerzia della sezione della trave rispetto all’asse neutro della flessione). Con i dati forniti dal problema si ottengono i seguenti valori: πd4 π × (20 × 10−3 )4 = = 7.854 × 10−9 m4 64 64

J=

(13)

20000 × 13 kl3 = 12.362 = EJ 206000 × 106 × 7.854 × 10−9 La rappresentazione grafica dei due membri della (12) `e riportata in Figura 4:

(14)

λ=

300

240

180

120

60 α1 0

1

2

α2 3

4

5

6

7

α3

8

9

10

60

Figura 4 Si noti che, essendo α > 0, si considera soltanto il semiasse orizzontale positivo. Indichiamo con α1 , α2 e α3 le prime tre soluzioni della (12): dal grafico sopra riportato si deduce che: 2 < α1 < 3

4 < α2 < 5

7 < α3 < 8

(15)

La soluzione numerica fornisce i seguenti risultati: α1 = β1 l = 2.735 α2 = β2 l = 4.818 α3 = β3 l = 7.881 Le pulsazioni proprie si ricavano risolvendo la (2) rispetto ad ω: s  α 2 EJ n 2 ωn = βn =K n = 1.2.3. . . . %As l

(16)

(17)

p avendo posto K = EJ/%As . Con i dati assegnati l’area della sezione trasversale As e la costante K risultano rispettivamente: πd2 π × (20 × 10−3 )2 = = 3.142 × 10−4 m2 4 4 s r EJ 2.06 × 1011 × 7.854 × 10−9 K= = = 25.7 m2 /s %As 7800 × 3.142 × 10−4 As =

(18)

(19)

Parte IV - Vibrazioni di sistemi continui - Rev. 8 ottobre 2008

201

Le prime tre pulsazioni proprie assumono pertanto i valori sotto indicati: ω1 = K ω2 = K ω3 = K

 α 2 1

l  α 2 2

l  α 2 3

l

 = 25.7  = 25.7  = 25.7

2.735 1

2

4.818 1

2

7.881 1

2

= 192 rad/s = 596 rad/s = 1596 rad/s

(20)

202

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 3.11

- Cod. VIB-049

Calcolare le prime tre pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare relativi alle vibrazioni trasversali della trave sotto riportata.

l ρE

d

M1

x Figura 1

Dati • • • • •

Lunghezza dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 0.8 m Modulo di Young dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 206000 N/mm2 Densit` a dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . % = 7800 kg/m3 Diametro della sezione trasversale dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 25 mm Massa applicata all’estremit` a destra dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M1 = 15 kg

Soluzione Indichiamo con: y(x, t) ϕ(x, t) M (x, t) T (x, t)

lo spostamento verticale di una generica sezione della trave; la rotazione di una generica sezione della trave; il momento flettente agente in una generica sezione della trave; la forza di taglio in una generica sezione della trave.

Per la risoluzione del problema adottiamo le convenzioni di segno indicate in Figura 2:

ϕ w +

+ M T

+

T M

Figura 2 L’equazione delle vibrazioni trasversali `e la seguente: y(x, t) = Y (x)f (t) = (A cos βx + B sin βx + C cosh βx + D sinh βx)(E cos ωt + F sin ωt)

(1)

dove: r β=

4

ω 2 %As EJ

(2)

Le condizioni al contorno relative all’estremo sinistro (x = 0) sono:   y(0.t) = 0  ϕ(0.t) = ∂y (0.t) = 0 ∂x

(3)

Parte IV - Vibrazioni di sistemi continui - Rev. 8 ottobre 2008

203

Le condizioni al contorno relative all’estremo destro (x = l) sono invece:  ∂2y   M (l, t) = EJ 2 (l, t) = 0 ∂x 2 3   T (l, t) = EJ ∂ y (l, t) = M ∂ y (l, t) 1 3 ∂x ∂t2

(4)

Si osservi che la seconda delle (4) esprime la condizione di equilibrio delle forze agenti in corrispondenza dell’ estremo destro della trave; tali forze, come risulta evidente dalla Figura 3 sotto riportata, sono rappresentate ∂2y dalla forza d’inerzia M1 2 (l, t) generata dalla massa concentrata e dalla forza di taglio T (l, t). ∂t 2w(l,t) F i(l,t) = M1 ∂_______ ∂ t2

∂ 3w(l,t) T(l,t) = EJ ______ ∂x3 Figura 3 Per imporre le condizioni suddette occorre effettuare il calcolo delle derivate parziali (prima, seconda e terza) rispetto ad x della funzione y(x, t): ∂y (x, t) = β(−A sin βx + B cos βx + C sinh βx + D cosh βx)f (t) ∂x ∂2y (x, t) = β 2 (−A cos βx − B sin βx + C cosh βx + D sinh βx)f (t) ∂x2 ∂3y (x, t) = β 3 (A sin βx − B cos βx + C sinh βx + D cosh βx)f (t) ∂x3 Le condizioni (3), relative all’estremo incastrato, forniscono le seguenti equazioni:   A+C =0 C = −A ⇒ B+D =0 D = −B

(5) (6) (7)

(8)

La prima delle (4) d` a luogo all’equazione: −A cos βl − B sin βl + C cosh βl + D sinh βl = 0

(9)

La seconda delle (4) richiede alcune considerazioni preliminari, Poich´e contiene una derivata parziale calcolata rispetto al tempo; ricordando che y(x, t) = Y (x)f (t) e che f (t) = E cos ωt + F sin ωt, si pu`o scrivere: d3 Y (x) ∂ 3 y(x, t) = f (t) ∂x3 dx3 ∂ 2 y(x, t) d2 f (t) = Y (x) = −ω 2 Y (x)f (t) ∂t2 dt2 Semplificando il termine f (t), presente in ambo i membri dell’equazione, la seconda delle (4) diviene: EJ

d3 Y (l) = −M1 ω 2 Y (l) dx3

(10) (11)

(12)

ovvero: β 3 (A sin βl − B cos βl + C sinh βl + D cosh βl) = −

M1 2 ω (A cos βl + B sin βl + C cosh βl + D sinh βl) EJ

(13)

Risolvendo la (2) rispetto ad ω 2 si ha: ω2 = β 4

EJ %As

(14)

204

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Sostituendo nella (13) l’espressione di ω 2 fornita dalla (14) e semplificando opportunamente si ottiene: A sin βl − B cos βl + C sinh βl + D cosh βl = −

M1 β (A cos βl + B sin βl + C cosh βl + D sinh βl) %As

(15)

Per semplicit` a possiamo porre α = βl e riscrivere la (15) nella forma seguente: A sin α − B cos α + C sinh α + D cosh α = −

M1 α(A cos α + B sin α + C cosh α + D sinh α) %As l

(16)

M1 che compare al secondo membro dell’equazione rappresenta il rapporto fra il %As l valore della massa M1 , applicata all’estremo libero, ed il valore della massa propria della trave m = %As l; posto λ = M1 /m e tenendo conto delle relazioni (8), le equazioni (9) e (16) assumono la forma sotto riportata:  A(cos α + cosh α) + B(sin α + sinh α) = 0 (17) A[(sin α − sinh α) + λα(cos α − cosh α)] − B[(cos α + cosh α) − λα(sin α − sinh α)] = 0 Si osservi che il termine

Affinch´e tale sistema abbia una soluzione non banale `e necessario che sfa nullo il determinante coefficienti: (cos α + cosh α) (sin α + sinh α) [(sin α − sinh α) + λα(cos α − cosh α)] − [(cos α + cosh α) − λα(sin α − sinh α)]

della matrice dei =0

(18)

Sviluppando il determinante si ricava, dopo alcuni passaggi, l’equazione delle frequenze sotto riportata: 1 + λα cos α sinh α = λα sin α − cos α cosh α

(19)

Tale equazione, risolta per via numerica, fornisce i valori di α corrispondenti alle pulsazioni proprie del sistema in esame; per risolvere la (19) occorre dapprima calcolare il valore del coefficiente λ, che risulta funzione di M1 (massa concentrata), % (densit` a del materiale costituente la trave), As (area della sezione trasversale della trave), ed l (lunghezza della trave). Con i dati forniti dal problema si ottengono i valori sotto riportati: πd2 π × (25 × 10−3 )2 = = 4.909 × 10−4 m2 4 4

(20)

m = %As l = 7800 × 4.909 × 10−4 × 0.8 = 3.063 kg

(21)

As =

M1 15 = = 4.897 m 3.063 La rappresentazione grafica dei due membri della (19) `e riportata in Figura 4: Si noti che, essendo α > 0, si considera soltanto il semiasse orizzontale positivo. Indichiamo con α1 , α2 e α3 le prime tre soluzioni della (19): dal grafico si deduce che: λ=

α1 ∼ =1

α2 ∼ =4

α3 ∼ =7

(22)

(23)

La soluzione numerica fornisce i seguenti risultati: α1 = β1 l = 0.874 α2 = β2 l = 3.950 α3 = β3 l = 7.083 Le pulsazioni proprie si ricavano risolvendo la (2) rispetto ad ω: s  α 2 EJ n =K n = 1.2.3. . . . ωn = βn2 %As l avendo posto K =

p

EJ/%As .

(24)

(25)

Parte IV - Vibrazioni di sistemi continui - Rev. 8 ottobre 2008

205

40

20

0

α2

α1 1

2

3

α3 4

5

6

7

8

20

40

Figura 4 Con i dati assegnati il momento d’inerzia J e la costante K risultano rispettivamente: π × (25 × 10−3 )4 πd4 = = 1.917 × 10−8 m4 64 64 s r EJ 2.06 × 1011 × 1.917 × 10−8 K= = = 32.12 m2 /s %As 7800 × 4.909 × 10−4 J=

Le prime tre pulsazioni proprie assumono pertanto i valori sotto  2  α 2 0.874 1 ω1 = K = 32.12 l 0.8  2  α 2 3.950 2 = 32.12 ω2 = K l 0.8  2  α 2 7.083 3 ω3 = K = 32.12 l 0.8

(26)

(27)

indicati: = 38.4 rad/s = 783.2 rad/s

(28)

= 2517.7 rad/s

Se avessimo trascurato la massa distribuita con continuit`a lungo l’asta, avremmo ottenuto un semplice modello ad un grado di libert` a del tipo indicato in Figura 5:

keq M1 Figura 5 La costante elastica keq `e data dalla rigidezza flessionale della trave a mensola: keq =

3EJ 3 × 2.06 × 1011 × 1.917 × 10−8 = = 23144 N/m 3 l 0.83

(29)

206

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

La pulsazione propria vale quindi: ∗

ω =

r

keq = M1

r

23144 = 39.3 rad/s 15

(30)

Come si pu` o notare, il valore della pulsazione propria calcolato mediante il modello approssimato risulta molto vicino al valore della prima pulsazione propria del modello a parametri distribuiti; ci`o `e dovuto al fatto che la massa della trave `e piccola rispetto alla massa concentrata nell’estremo libero (λ = M1 /m ∼ = 5); l’errore percentuale ∆% che si commette utilizzando il modello semplificato vale:  ∗    ω − ω1 39.3 − 38.4 ∆% = × 100 = × 100 = 2.38% (31) ω1 38.4 Chiaramente, l’impiego del modello semplificato (ad un solo grado di libert`a) non consente di ricavare le altre pulsazioni proprie del sistema.

Esercizi proposti

208

Esercizio 3.12

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008 - Cod. VIB-058

d

m

2m

l Il sistema vibrante rappresentato in figura `e costituito da due masse collocate alle estremit`a di una barra di acciaio scorrevole senza attrito su due supporti. a) Nell’ipotesi che la barra abbia massa trascurabile, si calcolino le frequenze proprie relative alle vibrazioni assiali del sistema. b) Supponendo che la massa della barra non sia trascurabile, si imposti il procedimento di calcolo che permette di determinare le frequenze proprie relative alle vibrazioni assiali.

Dati • • • • •

Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m 2m Lunghezza della barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l Diametro della barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d Modulo di Young dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E Densit` a dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . %

Parte IV - Vibrazioni di sistemi continui - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 3.13

209

- Cod. VIB-065

M

E, A, ρ

k

l Si ricavi l’equazione delle frequenze relativa alle vibrazioni assiali dell’asta rappresentata in figura.

210

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 3.14

- Cod. VIB-071

L

R

d J2 J1 k

k

k

Si imposti il calcolo delle pulsazioni proprie relative alle vibrazioni torsionali del sistema in figura, nell’ipotesi che la massa dell’albero che collega i due dischi non sia trascurabile.

Dati • • • • • • • •

Momento d’inerzia del disco all’estremit` a sinistra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 Momento d’inerzia del disco all’estremit` a destra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J2 Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k Raggio di avvolgimento delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R Modulo elastico tangenziale del materiale costituente l’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G Densit` a del materiale costituente l’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . % Lunghezza dell’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L Diametro dell’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .d

Parte IV - Vibrazioni di sistemi continui - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 3.15

211

- Cod. VIB-085

M, J k

EIρA

l/4

l/4

l/2

Si considerino le vibrazioni flessionali della trave elastica rappresentata in figura e si imposti il calcolo che permette di ricavare le pulsazioni proprie del sistema (scrittura delle condizioni al contorno relative ad ogni tronco).

Dati • • • • • • • •

Massa del corpo rigido fissato alla trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M Momento d’inerzia baricentrico del corpo rigido fissato alla trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J Densit` a del materiale costituente la trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . % Modulo di Young del materiale costituente la trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E Momento d’inerzia della sezione della trave rispetto all’asse neutro della flessione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I Area della sezione trasversale della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Lunghezza della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k

212

Esercizio 3.16

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008 - Cod. VIB-087

m

ρ A EI

k l/2

l/2

Si consideri il sistema in figura, costituito da una trave montata su due supporti, sulla quale `e fissata una massa m, vincolata a terra mediante una molla di rigidezza k. Domande 1. Si supponga in prima approssimazione che la massa della trave sia trascurabile rispetto alla massa concentrata m e si calcoli la pulsazione propria del sistema. 2. Si consideri ora il caso in cui la massa della trave non sia trascurabile e si imposti il calcolo che permette di determinare le pulsazioni proprie del sistema.

Dati • • • • • • •

Massa concentrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k Densit` a del materiale costituente la trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . % Modulo di Young del materiale costituente la trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E Momento d’inerzia della sezione della trave rispetto all’asse neutro della flessione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I Area della sezione trasversale della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Lunghezza della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l

Parte IV - Vibrazioni di sistemi continui - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 3.17

213

- Cod. VIB-092

x M

k

l Si imposti il calcolo delle pulsazioni proprie relative alle vibrazioni assiali del sistema in figura, nell’ipotesi che la massa dell’asta non sia trascurabile.

Dati • • • • • •

Massa fissata all’estremit` a destra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k Modulo di Young del materiale costituente l’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E Densit` a del materiale costituente l’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . % Lunghezza dell’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L Diametro dell’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .d

214

Esercizio 3.18

G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008 - Cod. VIB-097

Eρ l Supponendo di conoscere la distribuzione degli spostamenti assiali u0 (x) e la distribuzione delle velocit`a u˙ 0 (x) per una trave incastro-estremo libero, determinare l’espressione analitica delle vibrazioni u(x, t).

Dati • Lunghezza dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l • Modulo di Young del materiale costituente l’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E • Densit` a del materiale costituente l’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . %

Parte IV - Vibrazioni di sistemi continui - Rev. 8 ottobre 2008

Esercizio 3.19

215

- Cod. VIB-098

EA ρ l

δ0 F0

Un’asta avente sezione trasversale di area costante A, densit`a %, modulo elastico E e lunghezza l `e fissata ad una estremit` a ed `e libera all’altra. L’asta `e soggetta ad una forza assiale F0 applicata al suo estremo libero, come mostrato in figura. Studiare le vibrazioni assiali che si manifestano nell’asta quando la forza F0 viene improvvisamente rimossa.

Dati • • • • •

Area della sezione trasversale dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Densit` a del materiale costituente l’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . % Modulo di Young del materiale costituente l’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E Lunghezza dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l Forza applicata all’estremo libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F0

Questo testo `e stato composto dall’autore con l’ausilio del programma LATEX