Esercizi vari - Elettrotecnica

Analisi dei circuiti nel dominio di Laplace

Circuiti con memoria • Un circuito elettrico viene detto con memoria quando presenta al suo interno dei componenti con memoria. Questi sono di tre tipi: 9 CONDENSATORE dv ( t ) i (t ) = C dt

t

1 v ( t ) = ∫ i (τ ) dτ + v ( 0 ) C0

9 INDUTTORE di ( t ) v (t ) = L dt

t

1 i ( t ) = ∫ v (τ ) dτ + i ( 0 ) C0

9 INDUTTORI MUTUAMENTE ACCOPPIATI di1 ( t ) di2 ( t ) v1 ( t ) = L1 +M dt dt

di1 ( t ) di2 ( t ) v2 ( t ) = M + L2 dt dt

Il metodo di Laplace • La presenza di operazioni di derivazione e integrazione nelle equazioni costitutive dei componenti con memoria comporta che il sistema risolutivo del circuito complessivo sia di tipo integro-differenziale e non algebrico come nel caso di circuiti senza memoria. Questo è di certo una complicazione, dato che è più semplice risolvere sistemi lineari che equazioni differenziali. • Siamo quindi interessati ad uno strumento che ci permetta di risolvere i circuiti con memoria utilizzando le stesse semplici tecniche dei circuiti senza memoria. Questo strumento è appunto la trasformata di Laplace. • Infatti tenendo conto delle proprietà di derivazione e integrazione nel tempo della trasformata di Laplace, possiamo facilmente ridurre un sistema integro-differenziale in un sistema algebrico. Questo ci permette di poter risolvere il circuito nel dominio della variabile di Laplace, e quindi tornare agevolmente nel dominio del tempo tramite l’operazione di antitrasformazione.

Questo approccio può comunque essere migliorato, evitandoci di ricavare la formulazione del sistema integro-differenziale da risolvere.

IDEA:

Il metodo di Laplace per l’analisi e la risoluzione dei circuiti può essere applicato a livello delle equazioni costitutive dei componenti e delle leggi di Kirchoff.

RELAZIONI CONSTITUTIVE DEI COMPONENTI NEL TEMPO E IN s COMPONENTE Resistore Generatore di tensione controllato in corrente Generatore di tensione controllato in tensione Generatore di corrente controllato in corrente Generatore di corrente controllato in tensione Nullore

RELAZIONE COSTITUTIVA NEL TEMPO v ( t ) = Ri ( t )

RELAZIONE COSTITUTIVA NEL DOMINIO s V ( s ) = RI ( s )

v2 ( t ) = Av1 ( t )

V2 ( s ) = AV1 ( s )

i2 ( t ) = Ki1 ( t )

I 2 ( s ) = KI1 ( s )

i ( t ) = gv ( t )

I ( s ) = gV ( s )

v1 ( t ) = 0

V1 ( s ) = 0

i1 ( t ) = 0

I1 ( s ) = 0

v ( t ) = ri ( t )

V ( s ) = rI ( s )

COMPONENTE Trasformatore ideale Condensatore

RELAZIONE COSTITUTIVA NEL TEMPO v1 ( t ) = nv2 ( t )

RELAZIONE COSTITUTIVA NEL DOMINIO s V1 ( s ) = nV2 ( s )

1 i1 ( t ) = − i2 ( t ) n dv ( t ) i (t ) = C dt

1 I1 ( s ) = − I 2 ( s ) n I ( s ) = sCV ( s ) − Ck oppure I (s) k + V (s) = sC s V ( s ) = sLI ( s ) − Lk oppure V (s) k + I (s) = sL s

v ( 0− ) = k ∈ R

Induttore

Induttori mutuamente accoppiati

di ( t ) dt i ( 0− ) = k ∈ R v (t ) = L

⎧ di1 ( t ) di2 ( t ) = + v t L M ⎪⎪ 1 ( ) 1 dt dt ⎨ ⎪v ( t ) = M di1 ( t ) + L di2 ( t ) 2 ⎪⎩ 2 dt dt

i1 ( 0− ) = k1 ∈ R i2 ( 0− ) = k2 ∈ R

⎧⎪V1 ( s ) = sL1I1 ( s ) + sMI1 ( s ) − L1k1 − Mk2 ⎨ ⎪⎩V2 ( s ) = sMI1 ( s ) + sL2 I1 ( s ) − Mk1 − L1k2

OSSERVAZIONI • Le grandezze funzioni del tempo sono indicate da lettere minuscole mentre quelle in s da lettere maiuscole. • Le grandezze elettriche trasformate hanno dimensioni fisiche differenti da quelle reali corrispondenti (moltiplicazione per la variabile tempo). I parametri dei componenti senza memoria tuttavia non modificano la loro dimensione, anche se si usano termini differenti per indicarli: impedenza (rapporto tensione/corrente), ammettenza (rapporto corrente/tensione). • Le relazioni costitutive dei componenti con memoria vengono ottenute facilmente applicando le proprietà di integrazione e derivazione nel tempo della trasformata di Laplace. La trasformazione ci permette di vedere questi componenti come una impedenza con in serie un generatore di tensione (o ammettenza con generatore di corrente in parallelo). Impedenza e ammettenza in questo caso hanno dei valori che dipendono da s. I valori dei generatori dipendono dalle condizioni iniziali dei componenti originari. • Tutti i componenti nel dominio di Laplace si comportano come se fossero senza memoria.

LEGGI DI KIRCHOFF NEL DOMINIO s Non solo i singoli componenti possono essere trasformati in componenti fittizi senza memoria nel dominio di Laplace, ma anche l’intero circuito a costanti concentrate, ottenendo così nel dominio di s un circuito fittizio senza memoria.

Basta far vedere che una qualunque legge fisica che caratterizza il circuito reale (dominio del tempo) è soddisfatta anche dalle grandezze elettriche trasformate, relative al circuito fittizio nel dominio di Laplace. Tali leggi sono quelle di Kirchoff.

Questo può essere facilmente dimostrato considerando che le leggi di Kirchoff esprimono relazioni lineari tra le grandezze del circuito e la trasformata di Laplace è un operatore lineare.

Metodo simbolico di analisi nel dominio di Laplace Dalle premesse fatte (trasformazione delle equazioni costitutive dei componenti nel dominio di s e verifica della validità delle leggi di Kirchoff per le grandezze del circuito trasformato) possiamo elaborare il seguente procedimento per l’analisi di un circuito lineare e permanente: 1. Trasformare i generatori indipendenti 2. Trasformare i componenti senza memoria 3. Trasformare i componenti con memoria 4. Applicare al circuito fittizio senza memoria risultante uno dei metodi di analisi classici per circuiti senza memoria (i coefficienti del sistema risolvente algebrico sono funzioni razionali reali della variabile s). 5. Antitrasformare le funzioni della variabile s ottenute al passo 4), ricavando le grandezze elettriche richieste in funzione del tempo.

• Va detto che l’applicazione del metodo simbolico richiede la conoscenza dello stato del circuito al tempo t = 0 . Infatti la trasformata di Laplace è definita solo per t ≥ 0 .

Esercizio 1 Caratterizzare il tripolo inerte in figura con la matrice [Y]. R = 1 ohm k = -2  3 −2 sol. [Y ] =    −4 3 

Esercizio 2 Caratterizzare il quadripolo inerte in figura con la matrice [Z]. R1 = 1 ohm R2 = 1/4 ohm

 3 1 sol. [ Z ] =  2     1 3

Esercizio 3 Caratterizzare il bipolo in figura con il teorema di Thevenin. R1 = 1/2 ohm R2 = 1 ohm R3 = 2 ohm VD = 1·Ic

sol. Vth =1·Ig Rth =1

Esercizio 4 Caratterizzare il bipolo in figura con il teorema di Norton. R = 1 ohm

sol. INo=0.5·Vg (uscente) Rth =2

Esercizio 5 Caratterizzare il tripolo inerte in figura con la matrice [Z]. R = 1 ohm

 1  sol. [ Z ] =  2 − 1  2

 0  0 

Esercizio 6 Caratterizzare il quadripolo in figura con il teorema di Norton generalizzato. R = 1 ohm r = 2 ohm

sol. Ino1 = -Vg/4 (entrante) Ino2 = Vg/2 (entrante)  5  [YNO ] =  4 − 1  2

1 2  1 

Esercizio 7 Caratterizzare il tripolo in figura con il teorema di Thevenin generalizzato. R = 1 ohm

sol. Vth1 = Vg Vth2 = -3Vg  1 −1 [ ZT H ] =    −1 1 

Esercizio 8

Esercizio 9

Esercizio 10

Esercizio 11 Calcolare il valore della corrente Iu. R = 1 ohm Ig1 =1

Ig2 =2

 2 −1 [Y ] =    −1 3   1 1 [Z ] =    −1 1

Funzioni di rete

Eccitazione e risposta di un circuito • Grazie alla proprietà di linearità dei circuiti a cui siamo interessati è semplice identificare le cause e gli effetti dei fenomeni elettrici che hanno luogo al loro interno. Più propriamente parliamo di eccitazioni e risposte, che indichiamo rispettivamente: e ( t ) , u ( t ) . • Le eccitazioni possono essere suddivise in due categorie fondamentali: ─ Origine interna (generatori indipendenti descriventi azioni dall’esterno) ─ Origine esterna (generatori indipendenti dovuti alla trasformazione secondo Laplace dei componenti reattivi) • Il legame tra eccitazioni e risposte è facilmente individuabile nei circuiti lineari, specialmente se ci avvaliamo del metodo della trasformata di Laplace. In questo caso, la relazione tra una eccitazione e la sua relativa risposta (trasformate) sarà di pura proporzionalità: U (s) = F (s) E (s) La funzione F ( s ) prende il nome di funzione di rete. Essa dipenderà da:

─ ─ ─

Struttura del circuito Tipo e posizione dell’eccitazione Tipo e posizione della grandezza elettrica considerata come risposta.

• Nel caso ci siano più eccitazioni la risposta si ottiene come somma delle risposte dovute alle singole eccitazioni, per effetto della linearità del circuito (sovrapposizione degli effetti).

Classificazione delle funzioni di rete • In relazione alla posizione di eccitazione e risposta all’interno del circuito possiamo due tipi di funzione di rete: funzione di trasferimento e funzioni di ammettenza di ingresso. Le prime si riferiscono al caso in cui eccitazione e risposta si riferiscono a morsetti differenti nel circuito. Le secondo invece si hanno quando eccitazione e risposta sono prese allo stesso morsetto. • In relazione al tipo della causa e dell’effetto, le funzioni di rete si distinguono in 4 tipi, a seconda che eccitazione e risposta siano corrente o tensione. Ecco uno schema riassuntivo: Risposta \ Eccitazione

Tensione

Corrente

Tensione

Funzione di trasferimento in

Impedenza

tensione corrente

Ammettenza

Funzione di trasferimento in corrente

La Risposta Impulsiva • Per come è stata introdotta la funzione di rete non è la trasformata di Laplace di una grandezza elettrica presente nel circuito, bensì un rapporto di trasformate. Esiste comunque una situazione in cui la funzione di rete assume tale significato, ed è il caso in cui la funzione di rete coincide con la risposta, ovvero: E (s) = 1

U (s) = F (s)

• Trasformata dell’eccitazione uguale a 1 significa che nel tempo abbiamo a che fare con un impulso unitario, e quindi la risposta è detta risposta impulsiva. Ne deriva che: La risposta impulsiva è uguale all’antitrasformata della corrispondente funzione di rete • Data l’interscambiabilità tra risposta impulsiva e funzione di rete, possiamo concludere che la risposta impulsiva è sufficiente per caratterizzare il comportamento del circuito in presenza di eccitazioni di qualsiasi tipo.

• A questo punto siamo interessati a capire se è possibile ottenere una relazione esplicita nel tempo tra la risposta u ( t ) e l’eccitazione e ( t ) . Tenendo conto della relazione tra le trasformate (funzione di rete) e la proprietà di prodotto integrale nel tempo possiamo scrivere: t

u ( t ) = L ⎡⎣U ( s ) ⎤⎦ = L ⎡⎣ F ( s ) E ( s ) ⎤⎦ = ∫ h (τ ) e ( t − τ ) dτ −1

−1

0

La risposta di un circuito lineare e permanente è uguale al prodotto di convoluzione tra la risposta impulsiva e l’eccitazione • Va osservato che il concetto di risposta impulsivo è assai più generale di quello di funzione di rete: quest’ultima vale nel dominio s e può essere utilizzata solo per circuiti lineari e permanenti, mentre la prima può essere considerata per qualunque circuito.

Proprietà delle funzioni di rete

PROPRIETA’ DERIVANTI DAL CARATTERE COSTANTI CONCENTRATE • P1 - Ogni funzione di rete di un circuito lineare, permanente a costanti concentrate è una funzione razionale a coefficienti reali della variabile di Laplace s. Una funzione di variabile complessa F ( s ) è detta reale se calcolando F ( s ) sull’asse reale la sua parte immaginaria è uguale a zero. • P2 – Ogni funzione di rete di un circuito lineare, permanente e a costanti concentrate è una funzione reale della variabile diLaplace s. Dire che F ( s ) è razionale reale equivale a richiedere che è razionale a coefficienti reali: pertanto le due proprietà espresse sono del tutto equivalenti.

PROPRIETA’ DERIVANTI DALLA STABILITA’ • Un circuito è stabile se sottoposto a sollecitazioni esterne di durata limitata è capace di tornare alla situazione di riposo dopo che le sollecitazioni esterne hanno finito di agire. • Considerando, senza perdita di generalità, tali sollecitazioni come funzioni impulsive, possiamo caratterizzare facilmente il concetto di stabilità in termini di risposte impulsive. • Possiamo quindi adottare la seguente definizione di stabilità (asintotica): Un circuito lineare e permanente si dice stabile se tutte le sue risposte impulsive tendono a zero al crescere del tempo.

Per soddisfare la stabilità dovremo imporre delle condizioni sulle risposte impulsive, o meglio sulle funzioni di rete corrispondenti, tenendo conto che sono funzioni razionali reali.

• Ricordiamo che i poli della F ( s ) possono essere reali, complessi coniugati o all’infinito. Possono essere dimostrate le seguenti condizioni di stabilità: • C1 – C.n.s. affinché una risposta impulsiva tenda a zero al crescere di t è che la corrispondente funzione di rete abbia poli con parte reale negativa. • C2 – C.n.s. affinché una risposta impulsiva rimanga limitata al crescere di t è che la corrispondente funzione di rete abbia poli con parte reale non positiva, ed i poli sull’asse immaginario siano semplici (molteplicità uno).

I circuiti elettrici contengono tre tipi di componenti: ─ ─ ─

Con memoria: immagazzinano energia. Dissipatori di energia: sottraggono energia al circuito. Attivi: forniscono energia al circuito.

• I circuiti passivi sono i circuiti che non contengono elementi attivi. In assenza di eccitazioni esterne tali circuiti non possono incrementare la propria energia, quindi necessariamente l’andamento delle grandezze elettriche deve essere limitato al crescere del tempo.

Ogni risposta impulsiva di un circuito passivo rimane limitata al crescere di t, pertanto il circuito passivo è stabile (non asintoticamente) • La non asintotica stabilità dei circuiti passivi dipende dalla idealizzazione dei componenti. Per componenti con memoria con perdite la stabilità diventa asintotica. • I circuiti attivi sono i circuiti che contengono elementi attivi, quali il nullore, i generatori controllati, ecc. Non possiamo dire nulla a priori sulla stabilità di tali circuiti: in questo caso la stabilità è una condizione da imporre con opportuna progettazione dei valori dei parametri del circuito sotto esame..

Sistemi trifase

Sistemi trifase di generatori

I sistemi trifase rivestono un ruolo assai importante negli apparati e nei sistemi elettrici di potenza e rappresentano l’esemplare più illustre dei più generici sistemi polifase. Un sistema trifase di forze elettromotrici non è altro che un insieme di tre f.e.m. della stessa ampiezza ed equi-sfasate tra loro. Questo implica che le relazioni per le tre f.e.m. sono: e1 (t ) = EM sin (ωt ) 2 ⎞ ⎛ e2 (t ) = EM sin ⎜ ωt − π ⎟ 3 ⎠ ⎝ 4 ⎞ ⎛ e3 (t ) = EM sin ⎜ ωt − π ⎟ 3 ⎠ ⎝

Le tre f.e.m. costituiscono una terna simmetrica diretta rappresentata dai seguenti fasori, dove i valori efficaci si equivalgono ( E1 = E2 = E3 = E ):

E1 , E2 = e

2 −j π 3

E1 , E3 = e

4 −j π 3

E1

L’ordine progressivo delle fasi è nel verso orario. Scambiando tra loro le ultime due f.e.m. si ottiene una terna simmetrica inversa rappresentata dai seguenti fasori, dove i valori efficaci si equivalgono ( E1 = E2 = E3 = E ): E1 , E2 = e

2 +j π 3

E1 , E3 = e

4 +j π 3

E1

L’ordine progressivo delle fasi è nel verso antiorario.

Per entrambi i sistemi trifase considerati la risultante della somma dei vettori fasoriali è nulla, ovvero la somma delle f.e.m è nulla ad ogni istante.

Collegamenti a stella e a triangolo Terna generica di tensioni di fase e concatenate

1

V31 E1

0 E3

3

V12

E2

V23

1

2

1

E1

V12 E2

Terna simmetrica diretta

V31

E1 E3

V12

E3

2

E2

V31 3

V23 Terna simmetrica inversa

3

2 V23

Tre sorgenti f.e.m. si dicono collegate a stella quando il morsetto di ingresso o di uscita di ciascun bipolo è unito in un punto comune rappresentante il centro stella O dal quale può essere derivato un altro morsetto.

Tale configurazione costituisce una rete attiva accessibile da tre o quattro morsetti: è dunque un tripolo o un tetrapolo. Chiamiamo O = F1 = F2 = F3 il centro stella (morsetto comune ai tre bipoli esistenti), E1 , E2 , E3 le tre tensioni di fase, o stellate, mentre tensioni concatenate le tensioni tra i morsetti liberi della stella di f.e.m, ovvero seguendo il verso antiorario: v12 ( t ) = e1 (t ) − e2 (t ),

v23 ( t ) = e2 (t ) − e3 (t ),

v31 ( t ) = e3 (t ) − e1 (t ),

Queste tensioni costituiscono una terna simmetrica con risultante nulla. In termini fasoriali possiamo scrivere le seguenti (con valori efficaci che soddisfano V12 = V23 = V31 = V ):

V12 = E1 − E2 , V23 = E2 − E3 , V31 = E3 − E1 , Il legame tra i valori efficaci delle tensioni di fase e quelle concatenate è: ⎛π ⎞ V = 2 E cos ⎜ ⎟ = 3E ⎝3⎠

Tre sorgenti f.e.m. si dicono collegate a triangolo quando il morsetto di ingresso di una fase è collegato al morsetto di uscita di un’altra fase.

Tale configurazione costituisce una rete attiva accessibile da tre morsetti: è dunque un tripolo. In questo caso le tensioni concatenate e le tensioni di fase coincidono e costituiscono una terna simmetrica con risultante nulla.

Due reti attive a stella e a triangolo sono ai morsetti esterni elettricamente equivalenti, quando le tensioni concatenate sono ordinatamente coincidenti, ovvero: V12 = V12′ ,

V23 = V23′ ,

V31 = V31′ ,

E1 − E2 = E1′ , E2 − E3 = E2′ , E3 − E1 = E3′ , mentre per i valori efficaci vale:

E ′ = V ′ = 3E

Analisi di reti trifase Una semplice rete trifase è costituita dal collegamento in cascata di una rete attiva di generazione e di una rete passiva di utilizzazione. generatore

i1 ( t ) i2 ( t ) i3 ( t ) i0 ( t )

utente

La rete di utenza può essere di tre tipi: a stella, a stella accessibile o a triangolo, analogamente a quanto succede nel caso dei generatori. Il carico si dice equilibrato se le impedenze della rete passiva di utenza sono uguali. Nei collegamenti tra generatori e carichi trifasi si individua la terna delle correnti di linea, ovvero i1 (t ), i2 (t ), i3 (t ) . Per le reti a quattro fili si aggiunge la corrente i0 (t ) .

Terna generica di correnti di linea e delle fasi interne

I1 J 31 I3

J12

I2

J 23 I2

J12

I1

J 23 Terna simmetrica diretta

I2

I1

J12 J 31

I3 J 23

I3

J 31

Terna simmetrica inversa

Anche queste correnti possono stabilire una terna simmetrica come le tensioni viste in precedenza. Una conseguenza di questa simmetria è che la somma delle correnti di linea è nulla, in presenza o meno del neutro.

Per carichi a stella le correnti di linea sono proprio le correnti che attraversano le impedenze. Nei collegamenti a triangolo ciò non avviene e le correnti delle impedenze costituiscono la terna delle correnti delle fasi interne. Anche questa terna può essere simmetrica analogamente a quanto visto in precedenza, ed ancora ne deriva la proprietà che la somma di tali correnti è nulla. La relazione tra correnti di linea e correnti delle fasi interne è la stessa che c’è tra le tensioni concatenate e quelle di fase. Ovvero (nel tempo e nel piano dei fasori): i1 (t ) = j12 ( t ) − j31 ( t ) , I1 (t ) = J12 ( t ) − J 31 ( t ) ,

i2 (t ) = j23 ( t ) − j12 ( t ) , I 2 (t ) = J 23 ( t ) − J12 ( t ) ,

i3 (t ) = j31 ( t ) − j23 ( t ) I 3 (t ) = J 31 ( t ) − J 23 ( t )

Una prima possibile configurazione è quella stella-stella.

I1 E1

Z1 I0

0 E3

E2

0′

I2 I3

Z2

Z3

E’ possibile unire i centri stella con un quarto conduttore, supposto a impedenza nulla. I due centri sono quindi un punto unico, chiamato nodo O: esso si assume come riferimento a potenziale convenzionalmente nullo.

Il problema di analisi di questa semplice rete trifase consiste nella determinazione delle correnti I1 , I 2 , I 3 che interessano i tre conduttori di fase e della corrente I 0 che interessa i centri stella.

Dall’ispezione diretta della rete possiamo scrivere: E1 = ZI1 , E2 = ZI 2 , E3 = ZI 3 I 0 = I1 + I 2 + I 3 Se il sistema di tensioni è simmetrico ed il carico equilibrato, le correnti hanno lo stesso E valore efficace, pari a I = , e lo stesso sfasamento ϕ rispetto alle tensioni omologhe, 2 essendo ϕ l’argomento delle impedenze Z . I fasori delle correnti sono quindi:

I1 =

E1 − jϕ e , Z

I2 =

E2 − jϕ e , Z

I3 =

mentre nel tempo avremo: i1 (t ) = I M sin (ωt − ϕ ) 2 ⎞ ⎛ i2 (t ) = I M sin ⎜ ωt − ϕ − π ⎟ 3 ⎠ ⎝ 4 ⎞ ⎛ i3 (t ) = I M sin ⎜ ωt − ϕ − π ⎟ 3 ⎠ ⎝

E3 − jϕ e Z

La terna delle correnti di linea è perciò simmetrica, quindi vale pure: I0 =

1 E1 + E2 + E3 ) = 0 . ( Z

Se il carico è collegato a triangolo allora abbiamo la configurazione stella-triangolo. In questo caso si ha la connessione in cascata di due tripoli.

I1 J12

E1 Z1 E3

E2

I2 I3

Z3 J 31

J 23 Z2

Le correnti I1 , I 2 , I 3 e le correnti che attraversano le impedenze di carico Z ( J1 , J 2 , J 3 ) sono legate dalle seguenti relazioni (facilmente ottenibili per ispezione del circuito):

I1 = J1 − J 3 ,

I 2 = J 2 − J1 ,

I3 = J 3 − J 2

Le correnti di carico valgono: J1 =

V12 E1 − E2 = , Z Z

J2 =

V23 E2 − E3 = , Z Z

J3 =

V31 E3 − E1 = . Z Z

Esse costituiscono una stella simmetrica di fasori con ampiezza pari a J = sfasamento ϕ rispetto alle tensioni concatenate di alimentazione. I fasori delle correnti ai morsetti esterni soddisfano le seguenti: I1 = 3

E1 , Z

I2 = 3

Esse hanno valore efficace I = 3 J = 3 fase.

E2 , Z

I3 = 3

V E = 3 e Z Z

E3 Z

E e sfasamento ϕ rispetto alle omologhe tensioni di Z

L’analisi della rete può essere eseguita anche operando preliminarmente la trasformazione della rete a triangolo nella rete a stella elettricamente equivalente avente impedenze Z ′ =

Z . 3

Si otterrebbero per le correnti ai morsetti le espressioni già definite e da queste poi si deriverebbero le correnti di carico.

Queste procedure possono essere utilizzate anche per altri tipi di configurazioni, ricorrendo eventualmente alle opportune trasformazioni di rete.

I risultati ottenuti mettono in evidenza che, per un sistema simmetrico nelle tensioni ed equilibrato nelle correnti, dalle grandezze elettriche di una fase possono essere immediatamente ottenute le grandezze delle altre due fasi. È dunque conveniente eseguire l’analisi considerando il circuito equivalente monofase in cui la tensione e la corrente, prive di pedici, possono essere attribuite per esempio alla fase 1. Questo circuito è molto utile per la risoluzione delle reti trifase equilibrate e simmetriche: infatti possiamo sempre pensare di ricondurci al caso di configurazione stella-stella e quindi determinare tale circuito monofase rappresentato dalla maglia racchiusa da una fase e il neutro.

Il carico elettrico di una rete trifase può essere costituito da tre impedenze diverse tra loro. In tal caso pur essendo il sistema delle f.e.m. simmetrico, il sistema trifase risulterà squilibrato, cioè costituito da fasori aventi ampiezze e fasi diverse tra loro. Nel caso della configurazione stella-stella la corrente del neutro sarà necessariamente diversa da zero pari a: I0 =

E1 E2 E3 + + Z1 Z 2 Z 3

Per un sistema squilibrato non si può ovviamente definire un circuito equivalente monofase.

Potenza nei sistemi trifase

• Si consideri un sistema simmetrico trifase diretto di f.e.m. che generi un sistema trifase equilibrato di correnti. • La potenza istantanea totale associata al sistema trifase è uguale alla somma delle potenze istantanee associate a ciascuna fase: p = e1i1 + e2i2 + e3i3

che possiamo anche scrivere nel seguente modo:

2 ⎞ ⎛ 2 ⎛ ⎞ p = EM I M [sin (ωt ) sin (ωt − ϕ ) + sin ⎜ ωt − π ⎟ sin ⎜ ωt − π − ϕ ⎟ + 3 ⎠ ⎝ 3 ⎝ ⎠ 4 ⎞ ⎛ 4 ⎛ ⎞ + sin ⎜ ωt − π ⎟ sin ⎜ ωt − π − ϕ ⎟] 3 ⎠ ⎝ 3 ⎝ ⎠ da cui deriva la seguente formula:

p=

EM I M 4 ⎛ ⎞ [cos (ϕ ) − cos ( 2ωt − ϕ ) + cos (ϕ ) − cos ⎜ 2ωt − π − ϕ ⎟ + 2 3 ⎝ ⎠ 8 ⎛ ⎞ cos (ϕ ) − cos ⎜ 2ωt − π − ϕ ⎟] 3 ⎝ ⎠

Sapendo che E,I esprimono i valori efficaci delle f.e.m. e delle correnti, e che cos (ϕ ) è il fattore di potenza, la potenza istantanea totale assume la seguente forma: p = 3EI cos (ϕ ) Questa formula esprime una proprietà fondamentale dei sistemi trifase simmetrici nelle tensioni ed equilibrati nelle correnti: la costanza della potenza istantanea. Peraltro sappiamo che un sistema trifase di correnti genera un campo magnetico rotante nello spazio. Queste proprietà giustificano la possibilità di creare coppie elettromagnetiche di ampiezza costante nel tempo e quindi ben adatte ad alimentare motori elettrici trifasi.

Calcoliamoci ora la potenza attiva, reattiva e apparente:

T

1 P = ∫ p ( t ) dt = 3EI cos (ϕ ) T0

Q = 3EI sin (ϕ ) Papp = 3EI In termini di tensioni concatenate avremo: T

1 p = P = ∫ p ( t ) dt = 3VI cos (ϕ ) T0 Q = 3VI sin (ϕ ) Papp = 3VI

La potenza complessa totale è data da (circuito simmetrico e bilanciato):

S = E1I1* + E2 I 2* + E3 I 3* = P + jQ = 3EI ( cos ϕ + j sin ϕ )

La misura della potenza attiva e reattiva in un sistema trifase simmetrico e equilibrato si può fare con un solo wattmetro, inserito tra una fase e il neutro. Se questo non è disponibile può

essere costruito artificialmente mediante una stella di resistori dei quali due hanno resistenza R mentre l’altro in serie coi morsetti del wattmetro ha resistenza R − RV dove RV è la resistenza della bobina volumetrica del wattmetro. In questo modo la stella di resistori è perfettamente bilanciata ed il suo centro ha il potenziale del neutro e la tensione assorbita dalla bobina voltmetrica del wattmetro è proporzionale alla tensione stellata. Così misuriamo la potenza di una fase: moltiplicando per 3 otteniamo la potenza dell’intero sistema. Anche la potenza reattiva può essere calcolata con metodi tipici dei circuiti monofasi.

Analisi sequenziale delle reti trifasi NOTA: Le grandezze in gioco sono fasori, ma per comodità di notazione esse non sono state indicate al solito modo, es. A .

TEOREMA DELLE COMPONENTI SIMMETRICHE (Fortesque, 1918) Una terna di vettori arbitraria si può rappresentare in modo unico come sovrapposizione di una terna diretta, una inversa ed una omopolare, i cui primi vettori abbiano modulo e argomento opportuni.

Osserviamo che queste terne possono essere così rappresentate:

( A1 , A2 , A3 )

generica

( A ,α

diretta

+

2

A+ , α A + )

( A ,α A ,α A ) (A ,A ,A ) −

0

−

0

2

0

−

inversa omopolare

Il termine α rappresenta un operatore che nel caso di terne sinusoidali vale: α = e Il teorema di Fortesque ci dice che possiamo scrivere:

A1 = A+

+ A−

+ A0

A2 = α 2 A+ + α A− + A0 A3 = α A+ + α 2 A− + A0 e che tale sistema ammette una unica soluzione. In termini matriciali: A = ( A1 , A2 , A3 )′

A s = ( A+ , A− , A0 )′

1 1⎞ ⎛ 1 S = ⎜⎜ α 2 α 1⎟⎟ ⎜ α α 2 1⎟ ⎝ ⎠

⎛1 α α 2 ⎞ 1⎜ ⎟ 1 S −1 = ⎜1 α 2 α ⎟ = S † 3⎜ ⎟ 3 1 1 1 ⎝ ⎠ 1 A S = S −1A = S† A 3

A = SA s

2 j π 3

I vettori colonna della matrice S sono detti sequenze. S † è l’hermitiana (trasposta e complessa coniugata) di S . Accanto alla terna A possiamo considerare la terna concatenata A C = ( A23 , A31 , A12 )′ , dove: A23 = A2 − A3 , A31 = A1 − A3 , A12 = A1 − A2

Si pone il problema di calcolare le componenti simmetriche della terna concatenata. Innanzitutto, valendo A23 + A31 + A12 = 0 si ottiene AC0 = 0 . Le altre componenti possono essere scritte in funzione delle componenti della terna originaria A (che chiameremo stellata):

AC+ = − j 3 A+

AC− = j 3 A−

La trasformazione in componenti simmetriche della terna concatenata definisce quindi quella relativa alla terna stellata a meno della componente omopolare. Consideriamo ora un operatore lineare sulle terne, che agisce secondo la seguente: B = MA , dove A è la terna di partenza mentre B la terna immagine. Vogliamo determinare la rappresentazione in componenti simmetriche dell’operatore M . Dalla scomposizione delle terne A, B avremo:

1 B S = S †MSA S = M S A S 3 1 M S = S†MS diretta 3 1 M = SM S S† inversa 3 Queste relazioni tra M e M S permettono di mettere in luce una proprietà fondamentale della trasformazione di Fortesque, ovvero la congruenza tra matrici cicliche e diagonali. Infatti si può dimostrare che secondo le relazioni diretta e inversa valgono rispettivamente: ⎛ M1 ⎜M ⎜ 3 ⎜ ⎝ M2 ⎛ M1 ⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎝

0 M2 0

M2 M1 M3

M 3 ⎞ ⎛ M1 + α 2 M 2 + α M 3 ⎜ M 2 ⎟⎟ → ⎜ 0 0 M 1 ⎠⎟ ⎝⎜

0 M1 + α 2 M 3 + α M 2 0

⎞ ⎛M+ ⎟ ⎜ 0 ⎟⎜ 0 M 1 + M 2 + M 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0

0 M− 0

0 ⎞ ⎛ M1 + M 2 + M 3 α M1 + α 2 M 2 + α M 3 α 2 M1 + α M 2 + M 3 ⎞ ⎛ M 0 ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟⎟ → ⎜ α 2 M 1 + α M 2 + M 3 M1 + M 2 + M 3 α M1 + α 2 M 2 + α M 3 ⎟  ⎜ M + M 3 ⎟⎠ ⎜⎝ α M 1 + α 2 M 2 + α M 3 α 2 M 1 + α M 2 + M 3 M 1 + M 2 + M 3 ⎟⎠ ⎜⎝ M −

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ M 0 ⎟⎠ M− M0 M+

M+⎞ ⎟ M−⎟ M 0 ⎟⎠

I generatori e utilizzatori trifase sono nel caso più generale dei quadripoli che comunicano attraverso i tre morsetti di linea ed il morsetto di neutro.. Si ha quindi nel complesso un sistema a quattro fili che costituisce un doppio quadripolo. Se i morsetti del neutro del generatore e dell’utilizzatore non esistono, vengono soppressi o sono sopprimibili (circuito simmetrico e bilanciato) il doppio quadripolo si trasforma in doppio tripolo. Il tripolo collegato a stella si ottiene dal quadripolo sopprimendo il neutro, mentre quello collegato a triangolo si ottiene dal precedente applicando la trasformazione stella-triangolo. Consideriamo il caso della configurazione stella-stella (non necessariamente simmetrica e bilanciata), descrivibile tramite due terne di variabili fisiche: le tensioni di fase e le correnti di linea. Esse sono legate dalla seguente: E = ZI

I = YE

Y = Z -1

Dalla trasformazione in componenti simmetriche dei vettori di tensione e corrente avremo: E S = Z S IS

IS = YS E S

1 YS = S † YS 3 1 Z S = S † ZS 3

1 Y = SYS S † 3 1 Z = SZ S S † 3

Nel caso più comune sono assegnate le tensioni concatenate ai morsetti del quadripolo. In questo modo, per i risultati precedenti, si può dire di conoscere le componenti E + , E − del vettore E . La componente omopolare E 0 può essere determinata osservando che detta Eg0 la tensione omopolare delle tensioni stellate del generatore (supposta nota) e Z 0 l’impedenza del neutro si ha:

E 0 = Eg0 − Z 0 I 0

La trasformazione delle variabili fisiche alle componenti simmetriche ha un interesse reale solo quando semplifica la rappresentazione delle matrici ammettenza e impedenza, portandole a forma diagonale. Secondo i risultati visti in precedenza, dobbiamo presupporre che tali matrici siano cicliche: si parla quindi di quadripoli ciclici.

Potenza elettrica in componenti simmetriche Tenendo conto dell’espressione della potenza complessa precedentemente considerata e la decomposizione in componenti simmetriche di Fortesque possiamo scrivere: S = I † V = IS†S †SE S = 3 IS†E S

Possiamo quindi affermare che:

La potenza attiva e reattiva ai morsetti di un quadripolo o di un tripolo in regime di tensioni dissimmetriche e correnti squilibrate, sono le somme delle potenze attive e reattive delle tre componenti, diretta inversa e omeopolare moltiplicate per 3. S = E1I1* + E2 I 2* + E3 I 3* = 3 ( E + I +* + E − I −* + E 0 I 0* ) Nei sistemi trifase a tre fili vale I 0 = 0 , pertanto la componente omeopolare delle tensioni stellate non è associata ad alcuna potenza. Da ciò deriva che:

La potenza di un sistema trifase a tre fili è invariante rispetto alla scelta del punto di riferimento delle tensioni stellate.

Le misure di potenza nei sistemi di fase a tre fili possono farsi con il metodo dei due wattmetri, o metodo di Aron. Eccolo qui di seguito descritto:

Si consideri un circuito trifase a tre fili, composto da un generatore, una linea ed un utilizzatore e siano W13 , W23 due wattmetri con i morsetti ampermetrici inseriti in serie rispettivamente ai fili 1 e 2 e i morsetti voltmetrici collegati in derivazione rispettivamente tra quelli e il filo 3 della linea. Siano P13 , P23 le potenze attive misurate dai due wattmetri. La potenza attiva P trasportata dalla linea è, comunque dissimetrico e squilibrato sia il sistema, data dall’espressione:

P = P13 + P23 La potenza reattiva è invece data (nel solo caso di simmetria e equilibratura del sistema) da:

Q = 3 ( P13 − P23 )

Infatti, se scegliamo il filo 3 come riferimento delle tensioni stellate, avremo E1 = V13 , E2 = V23 e la potenza complessa si riduce a:

S = E1I1* + E2 I 2* = 3 ( E + I +* + E − I −* ) che equivale a dire:

P = Re S = Re (V13 I1* + V23 I 2* ) = P13 + P23 Il fatto di scegliere il filo 3 come riferimento è ammissibile visto che la scelta del centro stella fittizio non fa altro che determinare la componente omopolare della terna di tensioni stellate. Tale componente ha corrente nulla nei sistemi a tre fili, quindi non incide sul calcolo della potenza attiva. La scelta del riferimento è quindi libera e possiamo usare solo due wattmetri. Supponendo ora il sistema simmetrico e equilibrato e tenendo conto delle relazioni: V13 = e

possiamo derivare la seguente:

−j

π 6

E1

j

π

V23 = e 6 E2

P13 − P23 = Re (V13 I1* − V23 I 2* ) = π ⎡ ⎛ − jπ ⎤ j ⎞ ⎛ * *⎞ 6 6 = 3 ⎢ Re ⎜ e E1I1 ⎟ − Re ⎜ e E2 I 2 ⎟ ⎥ = ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎡ ⎛ ⎜ϕ − j ⎟ ⎜ϕ + j ⎟ ⎞⎤ ⎡ ⎛ π⎞ π ⎞⎤ ⎛ 6 ⎠ = 3 ⎢ Re ⎜ EIe⎝ − EIe⎝ 6 ⎠ ⎟ ⎥ = 3EI ⎢cos ⎜ ϕ − ⎟ − cos ⎜ ϕ + ⎟ ⎥ = ⎟⎥ 6⎠ 6 ⎠⎦ ⎝ ⎣ ⎝ ⎢⎣ ⎜⎝ ⎠⎦ Q = 3EI sin (ϕ ) = EI sin (ϕ ) = 3

È facile dimostrare (come intuire per analogia) che l’inserzione di due varmetri secondo Aron permette di calcolare la potenza reattiva di un sistema trifase a tre fili comunque dissimetrico e squilibrato.

Il metodo di Aron si estende facilmente al caso di sistemi trifasi a quattro fili, facendo uso di tre wattmetri per le misure di potenza attiva e di tre varmetri per le misure di potenza reattiva, con i morsetti ampermetrici in serie ai fili 1,2,3 e i morsetti voltmetrici in derivazione fra detti fili e il neutro.

Trasformazioni stella-triangolo e triangolo-stella

A

A

Z1s Z1t

Z 3t

Z 3s

Z 2s

STELLA-TRIANGOLO

B C

B C

Z 2t

⎧ Z1s Z 2 s = + Z1s + Z 2 s Z ⎪ 1t Z3s ⎪ ⎪ Z 2 s Z3s + Z 2 s + Z3s ⎨ Z 2t = Z 1s ⎪ ⎪ Z 3 s Z1s + Z 3 s + Z1s ⎪ Z 3t = Z 2s ⎩

TRIANGOLO-STELLA

⎧ Z1t Z 3t Z = ⎪ 1s Z1t + Z 2t + Z 3t ⎪ ⎪ Z1t Z 2t Z = ⎨ 2s Z1t + Z 2t + Z 3t ⎪ ⎪ Z 2 t Z 3t ⎪Z3s = Z1t + Z 2t + Z 3t ⎩

La trasformata di Laplace

Operazione di trasformazione

• L’operazione di trasformazione secondo Laplace di una funzione f (t ) è definita come:

F ( s ) = L ⎡⎣ f ( t ) ⎤⎦ = lim ∫ f ( t )e dt T

T →∞

− st

0

La funzione F ( s ) viene detta trasformata di Laplace della funzione f (t ) , mentre s è una quantità complessa detta variabile di Laplace. L è detto operatore di trasformazione secondo Laplace. L’operazione che permette di passare da F ( s ) a f (t ) viene detta antitrasformazione di Laplace, e viene indicata come segue: f ( t ) = L ⎡⎣ F ( s ) ⎤⎦ −1

• Non tutte le funzioni del tempo sono L -trasformabili: possono essere trasformate quelle funzioni per cui esiste finito il limite indicato in per almeno un valore della variabile s.

Può essere dimostrato che se la trasformata di f (t ) esiste allora F ( s ) è definita in tutti i punti dove β prende il nome di ascissa di del semipiano aperto per cui risulta Re ( s ) > β convergenza. • L’operazione di antitrasformazione secondo Laplace consiste nel calcolo dell’integrale principale di Cauchy di una funzione di variabile complessa, da eseguire lungo percorsi opportuni del piano complesso. Per i fini dell’analisi dei circuiti a cui siamo interessati possiamo tranquillamente avvalerci delle tabelle per il calcolo dell’antitrasformata, senza dover passare per la formula matematica che realizza L . −1

• Basti evidenziare l’unicità dell’operazione di trasformazione secondo Laplace, secondo cui ogni funzione L -trasformabile risulta completamente determinata dalla sua trasformata di Laplace. Infatti può essere dimostrato che due funzioni del tempo aventi la stessa F ( s ) in un certo semipiano di convergenza differiscono soltanto nei punti di un insieme di misura nulla (secondo Lebesgue).

Proprietà fondamentali

• LINEARITA’ Assegnate due funzioni f (t ), f (t ) L -trasformabili e date le loro trasformate F ( s ) , F ( s ) , la trasformata di Laplace di una loro combinazione lineare 1

1

2

2

f (t ) = af (t ) + bf (t ) 1

2

è pari alla combinazione lineare delle corrispondenti trasformate con gli stessi coefficienti: F ( s ) = L ⎣⎡ f ( t ) ⎤⎦ = aF ( s ) + bF ( s ) 1

• DERIVAZIONE RISPETTO AL TEMPO Data una funzione f (t ) e la sua trasformata F ( s ) , si ha:

2

⎡ df ( t ) ⎤ L⎢ ⎥ = sF ( s ) − f ( 0 ) dt ⎣ ⎦ dove f (0) è il valore assunto f (t ) da per t = 0 . • INTEGRAZIONE RISPETTO AL TEMPO Data una funzione f (t ) e la sua trasformata F ( s ) , si ha: F (s) L ⎡⎢ ∫ f (τ ) dτ ⎤⎥ = ⎣ ⎦ s t

0

• TRASLAZIONE NEL TEMPO Date una funzione f (t ) e la funzione f (t − a ) ottenuta traslando l’asse dei tempi della quantità reale non negativa a, risulta: L ⎡⎣ f ( t − a ) u ( t − a ) ⎤⎦ = e L ⎡⎣ f ( t ) ⎤⎦ − as

−1

dove u ( t ) è la funzione gradino unitario. −1

• SCALATURA TEMPORALE Date una funzione f (t ) e la funzione f (t a ) ottenuta scalando l’asse dei tempi della quantità reale non negativa a, risulta: L ⎡⎣ f ( t a ) ⎤⎦ = aF ( as )

• TEOREMA DEL VALORE INIZIALE Date una funzione f (t ) e la sua trasformata F ( s ) , sotto opportune ipotesi tra cui l’esistenza del limite per t → 0 di f (t ) , si ha: lim f ( t ) = lim ⎡⎣ sF ( s ) ⎤⎦ t →0

s →∞

• TEOREMA DEL VALORE FINALE Date una funzione f (t ) e la sua trasformata F ( s ) , sotto opportune ipotesi tra cui l’esistenza del limite per t → ∞ di f (t ) , si ha: lim f ( t ) = lim ⎡⎣ sF ( s ) ⎤⎦ t →∞

s →0

• PRODOTTO INTEGRALE NEL TEMPO Date due funzioni f (t ), f ( t ) definiamo il prodotto integrale tra le due (o prodotto di convoluzione) la seguente relazione: 1

2

t

f 3 ( t ) = f1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) = ∫ f1 (τ ) f 2 ( t − τ ) dτ 0

Considerate le trasformate F ( s ) , F ( s ) , si può dimostrare che: 1

2

F (s) = F (s) F (s) 3

1

2

Grandezze tipiche (in ingresso ai circuiti con memoria) • GRADINO UNITARIO E’ indicata con il simbolo u−1 ( t ) e presenta una discontinuità in zero dove il suo valore passa da zero a uno. t≥0 ⎧1 u−1 ( t ) = ⎨ t0 T ≤0

u0 ( t )

0 Si dimostra che per ogni funzione continua f ( t ) si ha:

⎧ f (0) = u t f t dt ( ) ( ) ⎨ ∫−∞ 0 ⎩0 T

T >0 T ≤0

Analogamente a quanto visto per il gradino unitario, possiamo definite un impulso di ampiezza non unitaria e traslato nel tempo, ovvero:

Au0 ( t − t0 )

Spiegazione intuitiva della distribuzione impulsiva unitaria

Consideriamo la funzione definita nel modo seguente:

u0,ε ( t ) =

1

⎡u ( t ) − u−1 ( t − ε ) ⎤⎦ ε ⎣ −1

L’integrale di questa funzione calcolato su tutto l’asse temporale vale: +∞

∫ u ε ( t ) dt = 1 0,

−∞

ed è quindi indipendente da ε .

u0,ε ( t ) 1

ε ε

0

La distribuzione di Dirac può essere vista come il limite per ε → 0 della successione di funzioni rappresentate da u0,ε ( t ) . Tutte queste funzioni hanno come invariante l’integrale di cui sopra. Possiamo pensare di definire distribuzioni di ordine superiore e indicarle con ui ( t ) , i ∈ ` . In generale vale la seguente: ui (τ ) =

T

∫ u (τ ) dτ i +1

−∞

i∈]

• FUNZIONE SINUSOIDALE È indicata come segue:

e ( t ) = A cos (ωt + ϕ ) dove i parametri A, ω ,ϕ rappresentano rispettivamente l’ampiezza, la pulsazione e la fase della funzione sinusoidale e ( t ) .

Alcune trasformate comuni • GRADINO UNITARIO ⎧1 u−1 ( t ) = ⎨ ⎩0

t≥0 tn e la molteplicità è data da r=m-n. Ciò accade quando il grado del numeratore è maggiore di quello del denominatore. 0

• Dall’analisi matematica complessa sappiamo che una qualsiasi funzione razionale può essere sviluppata in serie di Laurent nell’intorno di ogni suo punto singolare s . Vale infatti: 0

F (s) =

c (s − s 0

c c +"+ + ∑ c ( s − s ) = PS + PR (s − s ) ) (s − s ) 1⎛d G⎞ G (s) = (s − s ) F (s) c = ⎜ ⎟ , i ! ⎝ ds ⎠ r

+

∞

r −1

1

r −1

0

i =r

i −r

i

0

0

0

i

r

i

0

i

s = s0

0

0

dove i c sono i coefficienti dello sviluppo in serie di Laurent, mentre PS , PR sono rispettivamente la parte singolare e la parte regolare dello sviluppo. Nel caso di un polo all’infinito la parte singolare assumerà la seguente forma: 0

i

0

PS = c s + c s + " + c s r −1

r

∞

0

r −1

1

• Può essere dimostrato che la somma delle parti singolari di una funzione razionale F ( s ) nell’intorno di tutti i suoi poli (distinti), compreso l’eventuale polo all’infinito, è uguale alla funzione F ( s ) stessa a meno di una costante. In formula:

F ( s ) = ∑ PS + PS + c i

i

∞

Questo sviluppo prende il nome di SVILUPPO IN FRAZIONI PARZIALI.

• Sulla base di quanto derivato possiamo individuare il seguente procedimento di sviluppo in frazioni parziali di una funzione razionale: 1. Individuare i poli al finito della funzione F ( s ) = N ( s ) D ( s ) con la loro molteplicità. 2. Determinare il quoziente Q ( s ) ed il resto R ( s ) della divisione tra numeratore e denominatore, cioè:

N (s) R(s) F (s) = = Q(s) + = Q ( s ) + F ( s ) D(s) D(s) 3. Calcolare i coefficienti c per ogni radice s della funzione F ( s ) ottenendo tutte le parti singolari PS . 4. Lo sviluppo finale è dato da F ( s ) = ∑ PS + Q ( s ) . i

0

i

i

i

• Nel caso particolare in cui F ( s ) sia a coefficienti reali, avremo che i suoi poli saranno reali o complessi coniugati. Si può dimostrare che i coefficienti corrispondenti a poli complessi coniugati sono anch’essi complessi coniugati. • Le trasformate comuni descritte in precedenza sono quelle che usualmente ci interessano (in direzione inversa, quella di anti-trasformata) per antitrasformare le funzioni elementari facenti parte dello sviluppo in frazioni parziali.