Esercizi Trifase Svolti Elettrotecnica

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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase

ESERCIZI DI ELETTROTECNICA IN CORRENTE ALTERNATA TRIFASE ( completamente svolti )

A cura del Prof. M ZIMOTTI 1

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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase

DEFINIZIONI STS: sistema trifase trifase simmetrico di 3 circuiti che generano 3 tensioni dello stesso stesso

valore efficace, isofrequenziali , cioè stessa frequenza , sfasate di 120° CONDUTTORE NEUTRO: conduttore di ritorno delle correnti STS+N: sistema trifase simmetrico con 3 conduttori di linea + neutro CARICO EQUILIBRATO: tre impedenze di ugual valore ohmico CORRENTE DI LINEA

⇒

corrente che scorre nei tre conduttori di linea

(IL):

1-2-3 oppure R-S-T oppure L1-L2-L3 CORRENTE DI FASE

⇒

TENSIONE DI LINEA

(IF):

⇒ VL

corrente che attraversa le impedenze di carico

( o concatenata): tensione applicata o disponibile tra i

conduttori di linea (o stellata ): tensione applicata o disponibile tra un conduttore di linea e il conduttore di neutro TENSIONE DI FASE

⇒ VF

COLLEGAMENTO DI UN CARICO A STELLA : un carico si dice collegato a stella

quando presenta le fini collegate in un unico punto a costituire il centro stella e i principi ai tre conduttori di linea rispettivamente. Le correnti di fase e di linea sono uguali; se esso è equilibrato allora la tensione di linea è maggiore di 3 della tensione di fase. COLLEGAMENTO DI UN CARICO A TRIANGOLO: un carico si dice collegato a

triangolo quando la fine di una è collegata al principio dell'altra. Le tensioni di fase coincidono con le tensioni di linea; mentre se il carico è equilibrato allora le correnti di linea sono maggiori di 3 delle correnti di fase. POTENZA ATTIVA P

⇒

P =

3 *VL*IL*cos

ϕ

la potenza di un carico trifase , indipendentemente dal collegamento a stella o a triangolo dove ϕ è lo sfasamento sfasamento della tensione e corrente di fase dell'impedenza di di carico POTENZA REATTIVA Q⇒ Q =

3 *VL*IL*sin

ϕ

la potenza di un carico trifase , indipendentemente dal collegamento a stella o a triangolo dove ϕ è lo sfasamento sfasamento della tensione e corrente di fase dell'impedenza di di carico 2

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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase

DEFINIZIONI STS: sistema trifase trifase simmetrico di 3 circuiti che generano 3 tensioni dello stesso stesso

valore efficace, isofrequenziali , cioè stessa frequenza , sfasate di 120° CONDUTTORE NEUTRO: conduttore di ritorno delle correnti STS+N: sistema trifase simmetrico con 3 conduttori di linea + neutro CARICO EQUILIBRATO: tre impedenze di ugual valore ohmico CORRENTE DI LINEA

⇒

corrente che scorre nei tre conduttori di linea

(IL):

1-2-3 oppure R-S-T oppure L1-L2-L3 CORRENTE DI FASE

⇒

TENSIONE DI LINEA

(IF):

⇒ VL

corrente che attraversa le impedenze di carico

( o concatenata): tensione applicata o disponibile tra i

conduttori di linea (o stellata ): tensione applicata o disponibile tra un conduttore di linea e il conduttore di neutro TENSIONE DI FASE

⇒ VF

COLLEGAMENTO DI UN CARICO A STELLA : un carico si dice collegato a stella

quando presenta le fini collegate in un unico punto a costituire il centro stella e i principi ai tre conduttori di linea rispettivamente. Le correnti di fase e di linea sono uguali; se esso è equilibrato allora la tensione di linea è maggiore di 3 della tensione di fase. COLLEGAMENTO DI UN CARICO A TRIANGOLO: un carico si dice collegato a

triangolo quando la fine di una è collegata al principio dell'altra. Le tensioni di fase coincidono con le tensioni di linea; mentre se il carico è equilibrato allora le correnti di linea sono maggiori di 3 delle correnti di fase. POTENZA ATTIVA P

⇒

P =

3 *VL*IL*cos

ϕ

la potenza di un carico trifase , indipendentemente dal collegamento a stella o a triangolo dove ϕ è lo sfasamento sfasamento della tensione e corrente di fase dell'impedenza di di carico POTENZA REATTIVA Q⇒ Q =

3 *VL*IL*sin

ϕ

la potenza di un carico trifase , indipendentemente dal collegamento a stella o a triangolo dove ϕ è lo sfasamento sfasamento della tensione e corrente di fase dell'impedenza di di carico 2

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POTENZA APPARENTE A

⇒A

=

3 *VL*IL

la potenza di un carico trifase, indipendentemente dal collegamento a stella o a triangolo RIFASAMENTO :

C=

 P * ( tgϕ

− tg ϕ ' ) 2

3 * ω *V  L

[F]

la capacità dei condensatori collegati a triangolo che effettuano il rifasamento di un carico trifase.

Triangolo Potenze

Triangolo Tensioni

Triangolo Impedenze

CIRCUITO ELETTRICO COLLEGAMENTO A STELLA COLLEGAMENTO A TRIANGOLO

DIAGRAMMA VETTORIALE

Tensioni di fase E ( V F ) e Tensioni di linea linea VL E1 = 2 • E1∠90°[V ] = j  2 • E1 [V ] E 2 = 2 • E2∠ - 30°[V ] = 2 • E2 [cos( −30°) + j  sin(−30°)] E3

= 2 • E3∠ - 150°[V ] = 2 • E3 [cos( −150°) + j  sin(−150°)]

V 12 V 23

= 2 • V12∠120° = 2 • V12 [cos(120°) + j  sin(120°)][V ] = 2 • V23∠0° = 2 • V23

V 31 =

2 • V31∠ − 120° =

2 • V31[cos( −120°) + j  sin(−120°)][V ] 3

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ES.1 Un carico trifase è costituito da tre resistenze collegate a triangolo , di uguale valore , ciascuna 8 Ω. La tensione di alimentazione è costituita da un STS con tensioni concatenate VL=220 V , f=50 Hz. Calcolare: 1. le correnti che scorrono nelle tre resistenze 2. le correnti di linea 3. la potenza attiva assorbita dal carico 4. il diagramma vettoriale

SOLUZIONE

CIRCUITO ELETTRICO

DATI VL=220 V f = 50 Hz Zt= 8 ohm

CALCOLARE 1. IF [27.5 A] 2. IL [47.6 A] 3. P [18.15 kW] 4. DV/I

PL

1. IF1 =IF2=IF3=IF IF = VF/Zt VF = V L 2. IL=

3 *IF

3. P= 3 *VL*IL*cos ϕ ϕ=0

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ES.2  Un sistema trifase simmetrico con tensioni concatenate di valore V=260 V , f = 50 Hz, alimenta un carico equilibrato con R= 4 Ω e XL=3 Ω con le fasi collegate a triangolo. Calcolare : 1. le correnti di linea 2. la potenza attiva 3. la potenza reattiva

SOLUZIONE

CIRCUITO ELETTRICO

DATI VL = 260 V f = 50 Hz RT  = 4 Ω XLT = 3 Ω

CALCOLARE 1. IL [90 A] 2. P [32.425 W] 3. Q [24.320 var]

PL

1. IL= 3 I12 I12 = V12/Z12 V12 =VL 2 Z12 = RT2 + X LT 

triangolo impedenze

2. P = 3 VL*IL*cos ϕ ϕ = arctg (XLT /RT ) 3. Q=

3

VL*IL*sinϕ

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ES.3  Un carico trifase è costituito da tre impedenze uguali di valore 4 Ω ciascuna , collegate a stella e alimentate da un STS con tensione concatenate di valore V=380V. Calcolare le correnti di linea e la potenza attiva.

SOLUZIONE

CIRCUITO ELETTRICO

DATI

STS 1.IL RS = 4Ω 2. P VL=380 V f = 50 Hz

CALCOLARE

[55 A] [36.2kW]

PL

1. IL = I10 I10 = V10 /Z10 V10 =VL / 3 Z10 = RS 2. P = 3 *VL*IL*cosϕ ϕ =0°

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ES.4  Una linea trifase , alimenta un forno elettrico trifase della potenza di 10 KW , f.d.p.=1, ed un motore asincrono trifase della potenza P = 15 KW , f.d.p. 0,75. Determinare la corrente di linea e il f.d.p. risultante. La tensione di alimentazione è costituita da un STS con tensioni concatenate VL=380 V , f=50 Hz.

SOLUZIONE

CIRCUITO ELETTRICO

DATI VL= 380 V f = 50 Hz PF =10 KW f.d.p.F = 1 PM = 15 KW f.d.p.M = 0,75

CALCOLARE 1. IL [43.16 A] 2. f.d.p tot [0.88]

PL

1.

IL= PT  / 3 *VL*cosϕT  PT  = PF+PM ϕT = arctg QT  / PT  QT  = QF+ QM QF = 0 QM = PM * tg ϕM

[ PT =

3 *ILVL*cosϕT ]

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ES.5  Una linea trifase con neutro e con tensioni concatenate VL = 380 V, f = 50 Hz, alimenta tre carichi costituiti da tre gruppi di lampade ad incandescenza di potenza rispettivamente P1 = 2500 W, P2 = 3000 W, P3 = 1500 W. Determinare la corrente nel filo neutro. SOLUZIONE

CIRCUITO ELETTRICO

DATI

CALCOLARE

VL= 380 V 1. I0 f = 50 Hz P1 =2500 W P2 = 3000 W P3 = 1500 W

[6 A]

PL

1.

Io = I1 + I2 + I3 I1 = I10 I10 = V10 / Z 10 V10 = 2 V10 ∠ +90° V10 = Vf Vf = V L / 3 Z 10 = R1 R1= Vf2 / P1 I2 = I20 I20 = V20 / Z 20 V20 = 2 V20 ∠ -30° V20 = Vf Z 20 = R2 R2= Vf2 / P2 I 3 = I30 I30 = V30 / Z 30 V30 = 2 V30 ∠ -150° V30 = Vf Z 30 = R3 R3= Vf2 / P3 8

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ES.6  Un carico trifase è costituito da tre impedenze uguali , collegate a triangolo , di valore R = 15 Ω , XL = 12 Ω. La tensione di alimentazione è costituita da un STS con tensioni concatenate VL=380 V , f=50 Hz. Calcolare le correnti di linea.

SOLUZIONE

CIRCUITO ELETTRICO

DATI VL = 380 V f = 50 Hz RT  = 15 Ω. XLT  = 12 Ω.

CALCOLARE 1. IL [34.28 A]

PL

1. IL= 3 *I12 I12 = V12 / Z12 2 Z12 =  RT2 + X LT 

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ES. 7  Si vogliono alimentare tre resistenze da 100 Ω ciascuna con una linea trifase a VL=380 V . Determinare la corrente di linea e la potenza attiva assorbita collegando le tre resistenze prima a stella e dopo a triangolo.

SOLUZIONE

DATI CALCOLARE STS 1.IL(S) [2.2 A] VL=380 V 2.P(S) [1446 W] 3.IL(T) [6.58 A] 4.P (T) [4330.8 W] PL STELLA

1. IL = I1 I1 = I10 I10 = V10 / Z10 V10 = VL / 3 Z10 = R 2. P =

3

*VL*IL

TRIANGOLO

3. IL = I1 I1 = 3 *I12 I12 = V12/Z12 V12 = VL Z12 = R 4. P =

3 *VL*IL

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ES. 8  Una linea trifase simmetrica con tensione VL=380 V , f = 50 Hz., alimenta un carico trifase RL equilibrato con R=30 Ω e L=0.05 Henry , con le fasi collegate a stella. Calcolare le correnti di linea e il fdp. Inoltre nel caso di interruzione di una fase calcolare la nuova corrente di linea.

S OLU Z I O N E  

CIRCUITO ELETTRICO

DATI VL = 380 V f = 50 Hz RS =30 Ω

CALCOLARE 1.IL 2.fdp 3. IL'

[6.5 A] [0.88] [5.6 A]

PL

1. IL = I1 I1 = I10 I10 = V10 / Z10 V10 = VL / 3 2 Z10 =  RS2 + X LS  XLS = ω*LS ω= 2*3.14*f 2. ϕ = arctg (XLS / RS) 3. I'L = V12 / Z12 V12 = VL 2 Z12 = 2 RS2 + 2 X LS  11

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ES. 9  Una linea trifase simmetrica con V L=380 V, f=50 Hz , alimenta una stella di resistenze uguali a 15,5 Ω e un triangolo di condensatori di capacità C=75 µF. Determinare la potenza attiva e reattiva assorbita dal circuito, il fdp e l'intensità di corrente assorbita dal circuito.

SOLUZIONE

CIRCUITO ELETTRICO

DATI VL =380 V RS = 15.5 Ω C∆ = 75 µF f = 50 Hz

CALCOLARE 1. P [9367.74 W] 2. Q [1020.5 VAR] 3. cos ϕ [0.676] 4. IL [21 A]

PL

1. P = 3*VF2 / RS VF = V L / 3 2. Q = 3*VL2 / XC XC = 1 / ω* C∆ ω = 2*3.14*f 3. cos ϕ = P / S S =  P 2 + Q2 4. IL = S/

3 *VL

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ES.10 Tre carichi trifasi equilibrati sono collegati in parallelo ad una linea STS con VL = 380 V, f = 50 Hz. Essi presentano le seguenti caratteristiche : 1 carico : P1 = 6 kW con fdp = 0.8 2 carico : Q2 = 4 kVAR capacitiva con fdp = 0.45 3 carico : S3 = 12 kVA con un angolo ϕ3 = 45° Calcolare le potenze totali attiva , reattiva e apparente assorbite e le correnti di linea.

SOLUZIONE

CIRCUITO ELETTRICO CALCOLARE

DATI

VL = 380 V P1 = 6kW cos ϕ1 = 0,8 Q2 = 4 kVAR cos ϕ2 = 0.65 S3 =12 kVA ϕ3 = 45°

1.P 2.Q 3.ST  4.IL

[17.906.3 W] [8985 VAR] [20034 VA] [30.4 A]

PL

1. PT = P1+P2+P3 P2 = Q2 / tg ϕ 2 ϕ2 = arccos ( ϕ2) P3 = S3*cos ϕ3 2. QT  = Q1+Q2+Q3 Q1 = P1*tg (ϕ1) Q3 = S3*sin (ϕ3) 3. ST  =

2

 PT

4. IL = ST /

+ QT 2 3

*VL 13

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ES.11 Due carichi RL ed RC equilibrati entrambi collegati a triangolo di valore R1 = 4 Ω ed Xc1 = 3 Ω , R2 = 5 Ω e Xl2 =3 Ω sono alimentati da un STS con tensioni concatenate VL = 380 V, f =50 Hz. Determinare le correnti di linea e le potenze attive e reattive totali.

SOLUZIONE

CIRCUITO ELETTTRICO DATI CALCOLARE STS 1.IL [286.6A] R1 = 4 Ω 2.P [133 MW] XC1=3 Ω 3.Q [13,8 Mvar] R2 = 5 Ω XL2 = 3 Ω VL= 380 V f = 50 Hz ω = 314 rad/s PL

1. IL = ST  / 3 *VL ST  =  PT2 + QT 2 PT  = P1+P2 P1 = 3 *VL*I’L cos ϕ1 I’L = 3 *I’12 I’12 = V12 / Z’12 V12 = VL Z’12 =  R12 + X C 2 ! ϕ1 = arctg (XC1 / R1) P2 = 3 *VL*IL"* cos ϕ2 I”L = 3 *I” 12 I” 12 = V12 / Z”12 Z”12 =  R22 + X  L22 ϕ2 = arctg (XL2 / R2) QT = Q1+Q2 Q1 = P1*tg ϕ1 Q2=P2*tgϕ2 14

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ES.12 Due carichi equilibrati collegati a stella sono alimentati da un sistema trifase simmetrico con tensione Vl = 380 V. Essi assorbono le potenze P 1 = 20 kW con fdp = 0.8 in ritardo e P2=16 kW con fdp=0,6 in anticipo. Determinare la corrente in linea e la potenza attiva totale assorbita.

SOLUZIONE

CIRCUITO ELETTRICO

DATI STS VL = 380 V P1 = 20 kW cos ϕ1 = 0.8 P2 =16 kW cos ϕ2 = 0.6

CALCOLARE 1.IL 2.P

[55.4 A] [36 kW]

PL

1. IL = ST  / 3 *VL ST  =  PT2 + QT 2 2. PT  = P1+P2 QT  = Q1+Q2 Q1 = P1*tg ϕ1 Q2 = P2*tg ϕ2

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ES.13 Una linea trifase con resistenza R L = 0,24 Ω e reattanza XL= 0.36 Ω alimenta un carico equilibrato collegato a stella che assorbe una potenza PC =12 kW con un fattore di potenza cos ϕ = 0.8. La tensione di fase è VF = 150 V. Determinare le tensioni concatenate all’inizio della linea.

SOLUZIONE

CIRCUITO ELETTRICO

DATI RL = 0.24 Ω XL= 0.36 Ω PC =12 kW cos ϕ = 0.8 VF = 150 V

CALCOLARE 1.VL [284 V]

PL

1. VL = ST  / 3 *IF ST  =  PT2 + QT 2 PT  = PL+PC PL = 3*RL*IL2 IL = I10 I10 = PC /( 3 *VL'*cos ϕ) VL '= 3 *VF QT  = QL+QC QL = 3*XL* IL2 QC = PC*tg ϕC ϕC = arc cosϕ 16

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ES.14 Due carichi equilibrati collegati rispettivamente a stella e a triangolo presentano i seguenti valori: Rs =3 Ω , XLs=8 Ω , RT =18Ω, XLT =6 Ω. Sono alimentati da un sistema trifase simmetrico di tensione V L=260 V. Determinare le correnti di linea e le potenze attive e reattive assorbite dai due carichi.

SOLUZIONE

CIRCUITO ELETTRICO

DATI VL=260V RS = 3 Ω XLS = 8 Ω RT =18 Ω XT = 6 Ω

CALCOLARE 1.IL [39.5 A] 2.PT  [13610 W] 3.QT  [11420 VAR]

PL

1. IL = ST / 3 *VL ST  =  PT2 + QT 2 PT  = P1+P2 P1= 3*RS*I’102 I’10 = V10 / Z’10 V10 = VL / 3 Z’10=  RS2 + X S 2 P2 = 3*RT *I122 I12 = V12/Z12 V12 = VL Z12 =  RT2 + X T 2 QT  = Q1+Q2 Q1 = 3*XS*I’102 Q2 = 3*XT *I122 17

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ES.15 Un carico equilibrato con le impedenze a triangolo di valore R=8 Ω e XL=12 Ω , assorbe una potenza attiva P=6 kW. Determinare le correnti e le tensioni di linea.

SOLUZIONE

CIRCUITO ELETTRICO

DATI RT  = 8 Ω XLT =12 Ω P = 6 kW

CALCOLARE 1.IL [27.3 A] 2.VL [213 V]

PL

1.

IL = IF =

2.

3

*IF  P 

3 * RT 

VL= P / ( 3 *IL*cos ϕ) cos ϕ = cos (artg (XLT / RT ))

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ES.16 Un STS alimenta un carico equilibrato collegato a stella che assorbe la potenza attiva P =18 kW e una potenza reattiva Q =12 kvar, con una tensione di linea VL=380 V. Calcolare i valori della resistenza e reattanza di ciascuna fase del carico.

SOLUZIONE

CIRCUITO ELETTRICO

DATI VL =380 V P =18 kW Q =12 kvar

CALCOLARE 1.RS 2.XS

[5.5 Ω] [3.7 Ω]

PL

1.

RS = P/3*IF2 IF = I L IL= P / 3 *VL* cos ϕ cos ϕ= cos (artg (Q / P))

2.

XS = Q / 3*IF2

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ES.17 Un STS con tensione VL = 380 V, f = 50 Hz, alimenta una linea trifase con filo neutro alla quale sono allacciati i seguenti carichi : un forno elettrico tra i conduttori 2-0, un gruppo di lampade tra i conduttori 3-0, un motore asincrono trifase alimentato dalle tre tensioni di linea . Si conoscono la potenza attiva totale assorbita PT  =20 kW con fdp=0.94 , la potenza attiva assorbita dal forno P F = 4kW e quella assorbita dalle lampade ad incandescenza PL= 6 kW. Calcolare: 1. la potenza attiva assorbita dal motore ed il suo fdp 2. le correnti di linea I1 , I2 ,I3 3. la corrente Io nel filo neutro 4. la resistenza equivalente del forno e del gruppo lampade SOLUZIONE

CIRCUITO ELETTRICO

DATI

VL =380 V f = 50 Hz PT  = 20KW cos ϕT = 0.94 PF = 4 KW PL = 6 KW

PL 1.

CALCOLARE

1. PM 2. cos ϕM 3. I1 4. I2 5. I3 6. Io 7. RF 8. RL

[10 kW] [0.8] [19A] [35 A] [44 A] [24.2 A] [12 Ω] [8 Ω]

PM = PT - PF - PL

2.

cos ϕM = cos[ artg (Q M / PM)] QM = QT - QF - QL QT  = PT *tgϕT  ϕT  = arc cos ϕT  QF = 0 QL = 0

3.

I1 = PM / ( 3 *VL* cos ϕM) I2 =  I 2  / 2 20

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I 2 = I 20' + I M2 I 20' = V 20 / Z 20' V 20 = 2 *V20 ∠ -30° V20 = VL / 3 Z 20 = R20 5.

R20 = V202 / PF I M2 =

2 *IM2

∠ αIM2

IM2 = I1

αIM2 = - (30°+ ϕM ) I3 =  I 3 /

2

I3 = I’30+IM3 I’30 = V30 / Z30 V30 =

2 *V30

V30 = VL /

∠ -150°

3

Z30 = R30 I M3 =

2 *IM3

∠ αIM3

IM3 = I1

αIM3 = (210° - ϕM ) 6.

R30 = VF2 / PL

4.

Io = I1+I2+I3 21

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ES.18 Una linea trifase con RL = 0.25 Ω e X L = 0.3 Ω alimenta un carico che assorbe una Pc = 12 kW con cos ϕc = 0.75 in ritardo, con una V LC = 260 V. Determinare : 1. le potenze attive e reattive assorbite all'ingresso della linea 2. il fdp complessivo 3. la tensione all'ingresso della linea

SOLUZIONE

CIRCUITO ELETTRICO

DATI

RL = 0,25 Ω XL = 0,3 Ω PC = 12 KW cos ϕc = 0.75 VLC = 260 V

CALCOLARE

1.PT  2.QT  3. cos ϕT  4.VLT 

[12.945 W] [11718 VAR] [0.74] [283 V]

PL

1.

PT  = PL+PC PL = 3*RL*IL2 IL = PC / 3 *VLC* cos ϕc

2.

QT = QL+QC QL = 3*XL*IL2 QC = PC*tg ϕc ϕc = arc cos ϕc

3.

cos ϕT  = cos (arctg (Q T  / PT ))

4.

VLT = ST  / 3 *IL ST =  PT2 + Qt 2 22

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ES.19 Un sistema trifase simmetrico con V L = 380 V , 50 Hz , alimenta un carico che assorbe la potenza attiva P = 30 kW e una potenza reattiva Q = 24 kvar. Si vuol procedere prima ad un rifasamento parziale per ridurre l'angolo di fase ϕ a soli 20° , poi ad uno totale , mediante una batteria di condensatori collegati a triangolo. Calcolare la capacità dei condensatori in entrambi i casi.

SOLUZIONE

CIRCUITO ELETTRICO

DATI

VL=380 V P = 30 kW Q = 24 Kvar ϕ'= 20° ϕ"= 0°

CALCOLARE

1.C' 2.C"

[96 µF] [176 µF]

PL

1.

C'=

 P * ( tgϕ

− tg ϕ ' ) 2

3 * ω *V  L

ϕ = tg (Q / P) 2.

C"=

P * tg ϕ 2

3 * ω *V  L

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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase

ES.20 Un carico equilibrato assorbe una corrente di linea di 20 A con un cos α = 0,707 e con VL = 260 V, f = 50 Hz. Sapendo che il carico ha le fasi collegate a stella , calcolare la capacità di una batteria di condensatori collegati a triangolo tali da ridurre la corrente in linea a 16 A.

SOLUZIONE

CIRCUITO ELETTRICO

DATI

CALCOLARE

VL =260 V 1.C IL = 20 A cos α = 0.707 IL' = 16 A

[47.3 µF]

PL

1.

C= Xc =

1 ω

*  X C 

3 *V  L2 QC 

QC = Q1-QT  Q1 = 3 *VL*IL* sen α QT = S T 2 − P T 2 ST  = 3 *VL*IL' PT  = P1 P1 = 3 *VL*IL* cos α

24

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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase

ES.21 Un STS con VL = 380 V, 50 Hz, alimenta due carichi equilibrati trifasi di cui il primo è collegato a stella con Rs= 8 Ω e XLs= 12 Ω e il secondo a triangolo con RT =24 Ω e XLT =15Ω. Calcolare: 1.le tre correnti di linea 2.le potenze attive , reattive e apparente 3.la capacità della batteria di condensatori trifase con collegamento a triangolo necessaria per portare l'angolo di fase al valore ϕ'=30 gradi SOLUZIONE

CIRCUITO ELETTRICO

DATI

VL = 380 V RS = 8 Ω XLS =12 Ω RT  =24 Ω XLT =15Ω

CALCOLARE

1.IL [39A] 2.PT  [19349W] 3.QT  [16820 var] 4.S [25638 VA] 5.C [41.5 µF]

PL

1. 4. 2.

4.

5.

IL = ST  / 3 *VL ST  =  PT2 + QT 2 PT  = P1+P2 P1 = 3*R1T *I122 I12 = V12 / Z12 V12 = VL 2 Z12 = RT2 + X LT  P2 = 3*RS*I1S2 I1S = I10 I10 = V10 / Z10 2 Z10 =  RS2 + X LS  QT  = Q1+Q2 Q1 = 3*XLT *I122 Q2 = 3*XLS*I1S2 C = PT *(tg ϕ - tg ϕ‘) / (3*ω*VL2) tg ϕ = QT / PT  25

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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase

ES.2 2  Due apparecchi utilizzatori trifasi , costruiti ciascuno per una tensione concatenata normale di 160 V ed aventi rispettivamente le seguenti caratteristiche : 1. potenza 5 kW , cos ϕ = 0,8 2. potenza 4 kW, cos ϕ = 0,7 debbono provvisoriamente essere allacciati ad una rete a 220 V. In mancanza di un trasformatore adatto allo scopo, si vuole utilizzare l’allacciamento stesso in modo che gli apparecchi funzionino nelle loro condizioni normali. A tale scopo , dato che i due apparecchi sono destinati a funzionare contemporaneamente ed in ogni caso alla loro potenza nominale, si vuole risolvere il problema inserendo , sulla conduttura comune di allacciamento dei due apparecchi alla rete, tre resistenze ( una per ogni filo ) di valore adeguato. Si calcolino: 1) il valore delle resistenze necessarie allo scopo; 2) il fattore di potenza complessivo dell’impianto , a valle ed a monte delle resistenze; 3) la potenza dissipata nelle resistenze stesse. SOLUZIONE

CIRCUITO ELETTRICO

DATI

CALCOLARE

VL=220 V 1. R [ 0.974 Ω] f = 50 Hz 2. cos ϕt [ 0,881] IL [47.6 A] 3. PR [5,4 kW] V’=160 V P1n= 5 kW cos ϕ1= 0,8 P2 = 4 kW cos ϕ2= 0,8 PL

1. 3.

2.

R = PR / 3* I22 PR = Pt - P Pt = S t 2 − Qt 2 St = 3 *VL * IL IL = P / 3 *VL*cos ϕ P = P1 + P2 ϕ = arctg Q / P Q = Q1 + Q2 Q1 = P1 * tg ϕ1 Q2 = P2 * tg ϕ2 Qt = Q cos ϕt = Pt / St 26

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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase

ES.23 Una linea trifase lunga 150 m , costituita da 3 conduttori di rame , aventi ciascuna una sezione s = 10 mm 2 ,è alimentata ad una estremità ad una tensione concatenata di 220 V che si supporrà in ogni condizione di possibile esercizio, costante , ed alimenta a sua volta, all’altra estremità tre utenze monofasi uguali, inserite a triangolo e costituite ciascuna da una resistenza di valore 24 Ω . Si supponga ora che uno dei conduttori di linea , per fusione della valvola in esso inserita, si interrompa .Si calcolino le tensioni esistenti ai capi delle tre resistenze costituenti le utenze , a linea integra e nelle condizioni anormali prima menzionate. Agli scopi del calcolo si trascurino gli effetti della induttanza della linea e si assuma, per il rame una resistività pari a 0,018 Ω *mm2 / m.

SOLUZIONE

CIRCUITO ELETTRICO

DATI

CALCOLARE

L = 150 m 1.VL’ [212.3 V] s = 10 mm2 2. VL” [213 V] VL = 220 V Z T = 24 Ω. ρCU = 0,018 Ω *mm2 / m.

PL

1.

VL '= 3 * VF’ VF’ = Zs* IF Zs = Zt / 3 IF = I10 I10 = V10 / Z10 V10 = VL / 3 Z10 = RL + Rs RL = ρCU * L / s 27

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28

2.

esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase

VL”= Zeq * I1’ Zeq = Zt *2 * Zt / [Zt + 2 * Zt ] I1’ = V13 / Z’ Z’ = Zeq + 2*RL

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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase

ES.TRASF1 Un trasformatore trifase da 100 kVA ha un rapporto a vuoto 6000 / 220 V ,ed una frequenza nominale 50 Hz .Dalle prove di collaudo si è dedotto che il trasformatore ha una tensione di cto cto percentuale vc% = 4.5% ,una perdita di cto cto uguale a 2% una perdita a vuoto percentuale Po% = 0,7 % .Il trasformatore alimentato con tensione e frequenza nominali, alimenta un carico trifase equilibrato ohmico-induttivo ad impedenza costante , che assorbe una potenza di 60 KW con un fattore di potenza uguale a 0,8. Calcolare : 1. la tensione di alimentazione del carico trifase 2. la corrente assorbita dal carico trifase 3. il rendimento convenzionale del trasformatore col carico allacciato

SOLUZIONE Pr i m a Pa r t e  

CIRCUITO EL

DATI

CALCOLARE

Dati di targa

1. Re” [0,0096Ω] 2. Xe” [0,0194Ω]

PL

1.

Re” = Pc / 3*I2n2 Pc = Pc% * Sn / 100 I2n = Sn / 3 V2n Xe” = Re” *tg ϕc ϕc = arc cos ( Pc% / vc% )

⇔ 29

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30

esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase

S e c ond a

Pa r t e  

CIRCUITO EL

1. 2.

{V = V {I =P 2

2

20

-

2/

3 I2*

(

3

DATI

CALCOLARE

V1n = 6000 V V20 = 220 V Sn = 100 kVA vc% = 4,5 % Pc % = 2 % Po% = 0,7 % cos ϕ2 = 0,8 P2 = 60 KW

1. V2 [ 213.2V] 2. I2 [203 A] 3. ηc [0.9695]

( Re” cos ϕ 2+Xe”sen ϕ 2)

V2*cos ϕ 2)

V2= V20 - ( Re” cos ϕ 2 +Xe”sen ϕ 2 )* P 2 / ( V2*cos ϕ 2) V22 cos ϕ 2 - V20V2 cos ϕ 2 + P 2 *( Re”cos ϕ 2 +Xe”sen ϕ 2) = 0

3.

ηc= P 2 / (P 2+Po +Pcu ) Po = Po% *Sn / 100 Pcu = 3 * Re” * I22

30

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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase

ES.TRASF2 Un trasformatore trifase da 500 kVA ha un rapporto a vuoto 10.000 / 3000 V, ed una frequenza nominale 50 Hz ed alimenta attraverso una linea di rame lunga 4 km tre utenze monofasi, collegate a triangolo, che assorbono una corrente di 50 A ciascuna con un f.d.p. uguale a 0,7. Il trasformatore ha una tensione di cto cto percentuale vc% = 5% ,una perdita di cto cto uguale 7,5 kW. La linea ha una resistenza R L = 0,23 Ω/Km ed una reattanza XL = 0,32 Ω/Km. Supposto di alimentare il trasformatore con tensione e frequenza nominali, calcolare : 1. la tensione di alimentazione delle tre utenze 2. la perdita di potenza percentuale della linea col carico stabilito 3. la caduta di tensione percentuale del trasformatore col carico stabilito.

SOLUZIONE CIRCUITO EL

DATI Sn = 500 kVA 1. V V1n = 10.000 V 2. PL% V20 = 3000 V 3. v% L = 4 km I = 50 A cos ϕ.= 0,7. vc% = 5% Pc% = 7,5 kW. RL’ = 0,23 Ω/Km XL’ = 0,32 Ω/Km ρcu = 0,018 Ω mm2/m

CALCOLARE [2647 V] [7.45%] [4%]

PL

V= V20 - 3 I2*[( Re”+RL) cos ϕ +(Xe”+XL)sen ϕ)] I2 = 3 *I Re” = Pc / 3*I2n2 Pc = Pc% * Sn / 100 I2n = Sn / 3 V2n Xe” = Re” *tg ϕc ϕc = arc cos ( Pc% / vc% ) RL = RL’* L XL = XL’ * L

1.

⇔ 31

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2.

esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase

P L % = 100 * 3 * R L * I22 / P P = 3 * V * I * cosϕ

⇔ 3.

v% = 100* (V20 - V2 ) / V20 V20 - V2= 3 *I2 ( Re” cos ϕ 2 +Xe”sen ϕ 2 ) ϕ 2 = arctg [Qt / Pt ] Qt = Q + Q L Q = P * tgϕ QL = 3 * XL * I22 Pt = P + PL PL = 3 * RL * I22

⇔

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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase

ES.TRASF3 Un trasformatore trifase da 200 kVA ha un rapporto a vuoto 3.000 / 380 V, ed una frequenza nominale 50 Hz , deve alimentare un carico trifase equilibrato a stella ohmico-induttivo ad impedenza costante che , alimentato con la tensione normale di 390 V , assorbe una potenza di 100 KW con una corrente di 185 A . In base a prove eseguite sul trasformatore si è potuto stabilire che il trasformatore ha una tensione di corto circuito percentuale uguale a 4,8 % e un fattore di potenza di cto cto uguale a 0,4 , che il trasformatore , alimentato a tensione e frequenza nominale, assorbe una corrente a vuoto uguale a 6 % della corrente nominale ed una potenza a vuoto uguale a 0,5 % della potenza nominale . Alimentando il trasformatore il trasformatore dal lato A.T. con la tensione nominale e con frequenza nominale, calcolare: 1. la corrente assorbita dal carico trifase allacciato al secondario del trasformatore 2. la corrente , in modulo e fase , assorbita dal primario del trasformatore 3. il rendimento convenzionale del trasformatore col carico stabilito 4. il rendimento in energia del trasformatore , nell’ipotesi che funzioni sotto carico ( col carico stabilito ) per otto ore al giorno e funzioni a vuoto per le rimanenti ore del giorno.

CIRCUITO EL

SOLUZIONE DATI

CALCOLARE

Sn = 200 kVA 1. I2 [177,5 A] V1n = 3.000 V 2. I1 [24,1 ∠48° A] V20 = 380 V 3. ηc [0.9755] P = 100 kW 4. ηW [0.9552] V = 390 V I = 185 A t=8h cos ϕc= 0,4 Io% = 6% *I1n Po% = 0.5 % * An

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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase

PL

1.

I2 =

V 20

3 * ( R + Re") 2

+ ( X + Xe") 2

V20 = V2n R = P / 3*I2 Re” = Pc / 3*I2n2 X = R * tg ϕ X e” = Re” * tg ϕc

2.

I1 = I1’+I0 I1’ = I1’ ( sen ψ 2+ j cosψ 2 ) I1’ = I2 / K0 ψ 2 = arctg [(X+Xe”) / (R+ Re”)] K0 = V2n / V1n I0 = I0 (sen ϕo + j cos ϕo ) Io = 6 % I1n I1n = I2n / K0 I2n = Sn / 3 V2n ϕ0 = arc [cos P0 / 3 *V1n*Io] P0 = P0% * Sn / 100

⇔ 3.

ηc = 3 * R * I22 / [Po + 3 * R * I22 + 3 * Re” * I22]

⇔ 4.

ηW= 3 * R * I22 * t / [24*Po + 3 * R * I22 *t+ 3 * Re” * I22 * t]

⇔

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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase

ES.TRASF4 Un trasformatore trifase da 600 kVA ha un rapporto a vuoto 10.000 / 500 V, ed una frequenza nominale 50 Hz , deve alimentare un carico trifase equilibrato a stella ohmico-induttivo ad impedenza costante che , alimentato con la tensione normale di 480 V , assorbe una potenza di 400 KW con una corrente di 642 A . In base a prove eseguite sul trasformatore si è potuto stabilire che il trasformatore ,alimentato da una terna simmetrica di tensioni attraverso una linea di rame, ha una caduta di tensione percentuale uguale a 6%, una tensione di corto circuito percentuale uguale a 5 % e un fattore di potenza di cto cto uguale a 0,4 , una corrente a vuoto uguale a 2A ed una potenza a vuoto 2,4 kW . Si sa che la resistenza della linea è doppia della reattanza di linea, calcolare: 1. tensione di alimentazione del trasformatore nelle condizioni di carico stabilite. 2. tensione di alimentazione della linea nelle condizioni di carico stabilite. 3. il rendimento convenzionale del trasformatore col carico stabilito. 4. il rendimento della linea con le condizioni stabilite. 5. il rendimento convenzionale totale dell’impianto (linea + trasformatore ) nelle condizioni di funzionamento stabilite.

SOLUZIONE CIRCUITO EL

DATI CALCOLARE Sn = 600 kVA 1. V [2647 V] V1n = 10.000 V 2. PL% [7.45%] V20 = 500 V 3. v% [4%] P2 = 400 kW V2 = 480 V I2 = 642 A cos ϕ.= 0,7. vc% = 5% Pc% = 7,5 kW. RL’ = 0,23 Ω/Km XL’ = 0,32 Ω/Km ρcu = 0,018 Ω mm2/m

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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase

PL

V= V20 - 3 I2*[( Re”+RL) cos ϕ +(Xe”+XL)sen ϕ)] I2 = 3 *I Re” = Pc / 3*I2n2 Pc = Pc% * Sn / 100 I2n = Sn / 3 V2n Xe” = Re” *tg ϕc ϕc = arc cos ( Pc% / vc% ) RL = RL’* L XL = XL’ * L

1.

⇔ 2.

P L % = 100 * 3 * R L * I22 / P P = 3 * V * I * cosϕ

⇔ 3.

v% = 100* (V20 - V2 ) / V20 V20 - V2= 3 *I2 ( Re” cos ϕ 2 +Xe”sen ϕ 2 ) ϕ 2 = arctg [Qt / Pt ] Qt = Q + Q L Q = P * tgϕ QL = 3 * XL * I22 Pt = P + PL PL = 3 * RL * I22

⇔

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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase

ESERCIZI DA SVOLGERE Un sistema trifase a tre fili , tensione di linea VL = 100 V, alimenta un carico equilibrato a triangolo avente impedenza Z = 20 Ω e fase 45°. Calcolare le correnti di linea. [I1 = I2 = I3 = 8.66 A] 1.

Tre impedenze uguali pari a 5 Ω e alfa = -30°, collegate a stella, sono alimentate da un sistema trifase a tre fili con tensione VL=150 V. Calcolare le correnti di linea . [I1 = I2 = I3 = 17.32 A] 2.

Tre impedenze uguali da 15 Ω e fase 30° , collegate a triangolo , sono alimentate da un STS con tensione VL = 200 V. Calcolare le correnti di linea. [I1 = I2 = I3 = 23.09 A] 3.

Uno stesso sistema trifase a tre fili , con tensione V L = 250 V , alimenta tre impedenze uguali da 10 Ω e fase 30° collegate a stella e tre impedenze da 15 Ω e fase 0° pure collegate a stella. Calcolate la potenza attiva sviluppata. [P = 9530 W] 4.

Uno stesso STS a tre fili ,tensione di linea 208 V, alimenta contemporaneamente tre impedenze uguali di valore ZT  =12 Ω e fase 30° ciascuna , collegate a triangolo e tre impedenze eguali del valore ZS = 5 Ω e fase 45° , collegate a stella .Calcolare le correnti di linea e la potenza attiva complessivamente erogata. 5.

[I1=I2=I3=53,6 A

P=15500 W ]

Un sistema a tre fili , tensione V L=240 V , alimenta un carico a triangolo nel quale Zab = 25 Ω e fase 90° , Zbc =15 Ωe fase 30° , Zca = 20 Ω e fase 0°. Calcolare le correnti di linea e la potenza attiva complessiva. [Ia=20.8 A Ib=14 A Ic=20 A Pt=6210W] 6.

Un STS con neutro, tensione di linea VL=208 V, alimenta un carico a stella composto da Za =10 Ω e fase = 0° , Zb =15 Ω e fase =30° , Zc=10 Ω e fase = -30°. Calcolare le correnti di linea e nel filo neutro, nonchè la potenza attiva complessiva. [Ia=12 A Ib=8A Ic=12 A In=5,69 A Pt=3519 W] 7.

Un STS con tensione VL=208 V alimenta tre impedenze identiche di valore 30 Ω e fase 30° , collegate a triangolo , attraverso una linea con R L= 0.8 ohm e XL=0.6 ohm . Calcolare il valore della tensione al carico. [V=189 V] Tre impedenze uguali di valore Z = 10 Ω e fase 53°, collegate a triangolo sono 9. alimentate da un STS con tensione di linea V=240 V. Calcolare le correnti di linea. [I1=I2=I3=41,6 A] 8.

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esercizi completamente svolti in corrente alternata trifase

Tre impedenze uguali di 15,9 Ω e fase 70° , collegate a triangolo sono alimentate da un STS con VL = 100 V. Calcolare le correnti di linea e la potenza attiva complessiva. [I1=I2=I3=10,9 A P=646 W]] 10.

Tre impedenze del valore Z = 42 Ω e fase = -35°, collegate a triangolo sono alimentate da un STS con VL= 350 V. Calcolare le correnti di linea e la potenza attiva totale. [I1=I2=I3=14.4 A P=7130 W] 11.

Un carico trifase a stella , equilibrato, costituito da impedenze di valore 6 Ω e fase 45° , è alimentato da un STS a 4 fili con tensione VL = 208 V. Calcolare le correnti di linea e quella del filo neutro. [I1=I2=I3=20 A Io=0 A] 12.

Un carico equilibrato a stella costituito da impedenze di valore 65 Ω e fase -20° è alimentato da un STS con V L=480 V. Calcolate le correnti di linea e la potenza attiva complessiva. [I1=I2=I3=4.24 A P=3320 W] 13.

Un STS , con VL = 480 V, alimenta contemporaneamente tre impedenze uguali di valore 9 Ω e fase -30° , collegate a triangolo e tre impedenze del valore 5 ohm e fase 45°, collegate a stella. Calcolare le correnti di linea e la potenza attiva complessiva. [I1=I2=I3=........ P=...] 14.

Un STS a VL=100 V alimenta un carico equilibrato formato da impedenze da 10Ω e fase -36,9° , collegate a triangolo , ed un carico equilibrato collegato a stella formato da impedenze da 5 ohm e fase 53,1°. Calcolare la potenza attiva assorbita da ciascun carico e il valore delle correnti di linea complessive. [P1=2400 W P2=1200 W I1=I2=I3=20,8 A] 15.

Tre impedenze uguali da 15 Ω e fase 60° , collegate a stella , sono alimentate da un STS con V L = 240 V. Le linee comprese fra l'alimentazione ed il carico presentano un impedenza con RL=2 Ω ed XL=1 Ω. Calcolare la tensione di linea ai capi del carico. [VL=213 V] 16.

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