Esercizi svolti di Analisi Matematica II - Alessandro Montanino

ALESSANDRO MONTANINO - Esercizi svolti di Analisi Matematica II - Università degli Studi di Firenze

Università degli Studi di Firenze, Facoltà di Ingegneria

Esercizi svolti di Analisi Matematica II Alessandro Montanino - [email protected]

Seconda versione: MARZO 2012 Nota per il lettore: questi appunti raccolgono le soluzione degli esami scritti di Analisi II, corso tenuto dalla prof.ssa Mariella Cecchi, per il C.d.L. in Ingegneria Civile, negli a.a. 2009/10, 2010/11 e 2011/12 (e presumibilmente negli anni a venire). La prof.ssa Cecchi ha inoltre tenuto, nei numerosi anni di insegnamento, per il C.d.L. in Ingegneria delle Telecomunicazioni, i corsi di: Metodi Matematici, Analisi II e Analisi Matematica (II modulo) i cui esami scritti sono identici a quelli del C.d.L. Civile. Per chi volesse, dispongo dei testi di numerosissimi compiti del C.d.L. Telecomunicazioni. Il documento non possiede alcuna pretesa di completezza, si tratta unicamente di un eccellente strumento atto ad aiutare lo studente al superamento dell’esame scritto. Nelle soluzioni di tali esercizi non sono stati riscontrati errori ma, man mano che essi saranno individuati, sarà aggiornato l’allegato “Errata Corrige”; spero che il lettore, senza dubbio più attento di me, abbia sempre occhio critico e si accorga di eventuali imperfezioni. Produrre il presente documento mi è costata immensa fatica e dedizione, mi sento in dovere quindi di richiedere quanto segue: TALE DOCUMENTO PUO’ ESSERE STAMPATO UNICAMENTE PER FINI DI STUDIO E NELLA SUA TOTALE COMPLETEZZA: MOSTRANDO COSI’ I NOMI DI COLORO CHE HANNO COLLABORATO, CON FATICA E CON IL LORO PREZIOSO TEMPO, ALLA REALIZZAZIONE.

Ringrazio infine a titolo personale: - LORENZO BUSSOLI (dottore di ricerca in Matematica) per la infinita pazienza nel ricevermi, nell’aver risposto ad ogni ora del giorno ai miei innumerevoli quesiti sull’Analisi e per avermi guidato nella corretta applicazione della teoria agli esercizi. - GIANCARLO GONNELLI (studente) per avermi aiutato nello studio della parte teorica e per la correzione degli esercizi. - DARIO SALVINI (studente) per le soluzioni dei flussi divergenza e rotore del 29 / 6 / 2011 applicando le definizioni di integrale superficiale di campo vettoriale.

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Il presente documento è ottenibile (fino a tempo da determinarsi) unicamente tramite acquisto inviando una mail all’indirizzo di cui sopra. Ciò è dovuto alla ragionevole motivazione che l’autore, visti tempo e fatica spesi, possa avere un rientro minimo in termini monetari.

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ALESSANDRO MONTANINO - Esercizi svolti di Analisi Matematica II - Università degli Studi di Firenze C.d.L. Ingegneria Civile

Ulteriori importanti note Esiste anche un’altra versione del documento, in pdf, messa in giro da me per pochissimi studenti del mio anno dove le premesse e gli errori noti sono scritti di mio pugno, si tratta in ogni caso di una buona copia sottoposta a diverse, attente, correzioni; consiglio comunque di stampare il presente documento più aggiornato (e dotato di questi capitoletti introduttivi di modesta utilità). Errata Corrige - Nel “capitolo” riguardante le serie numeriche, a volte, sia per verificare la condizione necessaria alla convergenza che per il criterio del confronto asintotico, viene eseguito erroneamente il limite della serie (più precisamente il limite della somma della serie, un limite di un limite), in realtà il limite è unicamente del termine generale. - Sempre nel “capitolo” delle serie numeriche, a volte, quando viene eseguito il criterio del confronto asintotico per serie a termini positivi con una serie armonica generalizzata nota come ![1/(n^2)] o ![1/(n^3)], se il limite fa 0 è stato riportato la dicitura “hanno lo stesso comportamento”. Il che è errato (ma il risultato giusto), vale a dire, se abbiamo due serie a termini positivi (anche definitivamente positivi) !an e !bn, allora se esiste il lim per n-> +" di [(an)/(bn)]=L appartenente ad R+U{+"} (si legge erre più unione più infinito), se L è uguale a: 0 , allora se inoltre !bn converge => !an converge. 0 < L < +" , hanno lo stesso comportamento. +" , allora se inoltre !bn diverge => !an diverge. Riassumendo, nel caso in esame ho erroneamente scritto che, essendo il limite 0, si comportano allo stesso modo, avrei dovuto scrivere: “Essendo il limite 0 e !bn convergente, converge anche !an.” - Nel “capitolo” delle serie di potenze, a volte quando si sostituisce l’estremo superiore dell’intervallo di convergenza S al termine x0 di (x-x0)^(n) e si scopre che, per x = supS, la serie converge, si scrive brutalmente che convergerà assolutamente anche per x = infS (serie a segno alterno da studiare con Leibniz). Questo fatto è da accertare con un serio studio della teoria, infatti il criterio di Leibniz si compone di due requisiti, ed è un criterio assai più stretto di quello della convergenza assoluta; esistono infatti serie convergenti semplicemente per Leibniz ma non assolutamente. [Aggiornamento]: la prof.ssa Cecchi alla restituzione dei compiti mi ha “chiarito” il dubbio: se per x = supS la serie converge e sostituendo x = infS si nota che il modulo della serie con l’infS sostituito è uguale alla serie con supS sostituito allora possiamo scrivere che per infS la serie converge assolutamente e quindi anche semplicemente.

- Nell’esercizio dell’ 08/02/2011 A.A.P. riguardante il flusso col teorema della divergenza di quel solido cilindrico U (simbolo d’unione) tronco di cono, la divergenza è sbagliata, l’esercizio è stato svolto correttamente ma con la divergenza pari ad un numero reale, in realtà la divergenza dovrebbe essere lineare rispetto ad y. Giacché è richiesto il teorema della divergenza, l’integrale esterno è in dy e quello interno è in dxdz, bisogna quindi studiare come varia la sezione xz (dapprimo costante e poi variabile con continuità, bisogna quindi applicare la linearità dell’integrale rispetto al dominio d’integrazione) ALESSANDRO MONTANINO - Esercizi svolti di Analisi Matematica II - Università degli Studi di Firenze C.d.L. Ingegneria Civile

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in funzione di y; brutalmente si tratta di applicare le formule di riduzione “per fette” rispetto ad y anziché z.

- Un errore di calcolo è presente nel “capitolo” degli integrali superficiali: presumibilmente (perché non mi hanno fornito dettagli a riguardo) in quello dell’08/09/2011. Lascio al lettore l’obbligo di individuarlo o (forse più semplice ma non utile a fini di studio) di inviare una mail a colui che appunto mi ha informato: [email protected] .

Sentitevi liberi di scrivermi per email in caso di dubbi e/o errori.

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